一种新的一致性风险度量的资本配置问题

2022-5-5 03:55:45

关于集体风险理论中一个新的一致风险测度的资本分配问题Hirbod-Assa*利物浦大学曼努埃尔·莫拉莱斯+蒙特雷亚尔大学哈桑·奥米迪·菲鲁齐蒙特雷亚尔大学初稿：2013年2月8日。本版本：2018年8月17日。本文介绍了一种新的关于RpL的相干累积风险测度，即具有拉普拉斯变换的cádlág过程的空间。事实证明，在一类模型中，这种新的一致性风险度量足够容易处理，其中总索赔是由方面正的Lévy过程驱动的。此外，我们还研究了保险背景下的资本分配问题，并证明了该风险度量的资本分配问题具有由Euler分配方法确定的唯一解。文中给出了一些例子。关键词。资本配置，欧拉配置法，相干风险测度，列夫保险过程，随机过程空间上的风险测度。1导言集体风险理论建立在菲利普·伦德伯格[15]的开创性工作基础上，现在它包含了大量的知识，涉及通过破产概率和相关数量衡量的保险人准备金风险的研究[4]。现在有大量关于各种模型的破产措施的文献，最新的是所谓的Lévy保险风险模型[8]和[9]。传统上，风险理论关注的是保险公司通过控制初始投资x来管理准备金偿付能力的能力。

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2022-5-5 03:55:48

在这类任务中，经常引用的数学工具是破产概率，因为它是衡量保险人的准备金最终不足以支付其长期负债的可能性。更准确地说，考虑保险公司风险准备金的以下一般模型，R（t）=x+CT- X（t），t≥ 0，（1）其中，聚合索赔过程X是一个具有零漂移的谱正Lévy过程，X（0）=0，跳跃测度用ν表示。此外，x是初始准备金水平，c是确定的恒定保费率asc=（1+θ）E[x（1）]（2）*通讯地址：Hirbod Assa。金融和精算数学研究所。利物浦大学。英国。电子邮件：assa@liverpool.ac.uk+邮寄地址：曼努埃尔·莫拉莱斯。数学与统计系。蒙特利尔大学。CP.6128成功。市中心。魁北克蒙特利尔。H3C3J7。加拿大电子邮件：morales@dms.umontreal.ca通讯地址：哈桑·奥米迪·菲鲁齐。数学与统计系。蒙特利尔大学。第6128页成功。市中心。魁北克蒙特利尔。H3C3J7。加拿大电子邮件：omidifh@dms.umontreal.cawhereθ>0是安全负载系数。那么相关的破产时间是τx:=inf{t≥ 0 | X（t）- CT≥ x} ，（3）且有限期破产概率可由ψ（x）：=Px（τx<∞) , （4）其中pxs是P的短手符号（·| X（0）=X）。集体风险理论中的许多文献研究了破产概率作为初始储备水平x函数的表达式和合理近似值的推导问题。这个问题是在一组不断增长的总索赔过程模型中解决的。关于所谓的破产理论，请参见[4]。自然地，破产概率ψ量化了净损失过程Yt:=Xt的偿付能力- CTA是初始储备水平x的函数。

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2022-5-5 03:55:51

事实上，我们可以定义一个风险度量ρβ：X-→ [0，1]在一个合适的模型空间X上（比如有界cádlág随机过程的空间R∞). LetYt=ct- xT是与储备过程（1）相关的净损失过程，然后是ρβ（Y）7-→ a:=inf{x≥ 0 |ψ（x）≤ β} ，（5）其中ψ是相关的破产概率（4）和β∈ [0,1]代表对毁灭的容忍度。可以将a解释为过程R具有可接受风险水平的最小初始水平，即其相关破产概率小于或等于可容忍的β。最近对此类风险度量进行了研究（见[27]），尽管它们表现出有趣的特性，但缺乏有效的风险管理工具的可处理性。事实上，任何有意义的风险管理应用程序，例如资本分配，都很难使用（5）实现。在本文中，我们恢复了度量保险风险过程风险的思想，并在拉普拉斯变换为映射ρ：RpL的cádlág过程空间上定义了一个一致的风险度量-→ R+。与第（5）项不同，这项措施足够容易处理，可以解决资本分配问题。这是在随机过程的合理空间上定义的一致和凸风险度量理论给出的框架内进行的。在之前关于这些问题的研究中，我们发现[11]和[12]作者在对某一财务状况的结果进行建模的随机过程空间中制定了风险度量，以及[13]他们以动态方式制定了风险度量。本文的贡献有两个方面。首先，在[1]和[6]的基础上，我们在有界cádlág过程空间上设计了一个新的风险度量，它可以捕捉与保险模型的路径性质相关的风险。为此，我们将[1]中首次引入的熵风险值的概念扩展到一个合适的随机过程空间。

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2022-5-5 03:55:54

第二，我们在保险业的背景下，利用这个新的风险度量来探讨资本分配问题，我们证明了欧拉分配法是唯一为这个风险度量分配所需资本的方法。论文的概要如下。在第2节中，我们介绍了累积风险价值（CEVaR1）的概念-β）作为有界随机过程空间上的一致风险测度，我们探讨了它的一些相关特征。在第三节中，我们探讨了资本分配问题，并给出了一个定理，该定理刻画了这些措施的资本分配集。事实上，对于CEVaR1，我们证明了这一点-β风险度量欧拉分配法是唯一分配风险资本的方法。最后，在第4节中，我们展示了forCEVaR1的一些结果-并提供一些例子。2累积熵风险度量let(Ohm , F、 P，`F）是一个过滤概率空间。我们考虑了[0，T]上的随机过程的空间rpo，它是cádlág，适应的，并且是X*:= sup[0，T]| Xt |∈ Lp(Ohm, F），与1≤ P≤ ∞.此外，假设(Ohm, F、 P）有一个可数稠密子集。在[11]和[12]中，作者发展了Rp（ρ：Rp）空间上的凸风险测度理论-→ R+。注意，对于任何1≤ P≤ ∞ , 赋范数| | X | | Rp=| | X的空间*||Lp是一个Banach空间。定义2.1。我们定义了子空间RPL，其中包含具有拉普拉斯变换的过程，即X∈ RpLif属于RpLif，仅在ifmt=E[exp(-s Xt）]∞ , s≥ 0代表t∈ [0，T]。我们在本文中提出的想法是使用基于[1]中定义的熵风险值的累积风险度量。也就是说，在[5]之后，我们测量arandom过程X的风险∈ RpL通过定义累积风险度量ρ：RpL-→ R+如下所示。设ρ为Lp上的给定风险测度(Ohm, F），即。

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2022-5-5 03:55:57

ρ：Lp(Ohm, F）-→ R、让ω：[0，T]-→ R+bea是一个合适的权函数，即RTω（t）dt=1。然后我们可以定义一个累积风险度量ρ：RpL-→ R+基于ρ作为随机过程X的加权总风险∈ RpL。更精确地说，ρ（X）：=ZTρ（Xt）ω（t）dt。（6） [5]中提出并研究了此类结构。这些措施的特点本质上取决于基本风险措施ρ的选择。事实上，如果风险度量ρ是一致的，那么（6）中的ρ也是一致的。定理2。1.设ρ为L上的一致风险度量∞(Ohm, F）。然后是风险度量ρ：RpL-→ （6）中给出的R+是空间RpL上的相干ri-s-k测度。证据首先，我们证明了ρ的正齐性和平移不变性。对于λ>0和m∈ R我们有，ρ（λX+m）=ZTρ（λXt+m）ω（t）dt=λρ（X）- mZTω（t）dt，它显示了正同质性和平移不变性性质s inceRTω（t）dt=1。至于单调性，如果≤ 伊塔。s、，然后ρ（Xt）≥ t的ρ（Yt）∈ [0，T]。现在，由于ω是一个正实值函数，我们有ρ（Xt）ω（t）≥ 任意t的ρ（Yt）ω（t）∈ [0，T]也是。这意味着ρ（X）≥ ρ（Y），证明了单调性。现在利用ρ的凸性，因为ω是一个正函数，所以ρ（Xt+Yt）ω（t）≤ ρ（Xt）ω（t）+ρ（Yt）ω（t），对于t∈ [0，T]。这直接暗示了ρ的凸性。i、 e.，ρ（X+Y）≤ ρ（X）+ρ（Y）。在本文中，我们建议使用熵风险值度量（EVaR1）-β）如（6）中的ρ所示。这在有界随机过程空间上产生了一系列有趣的风险度量。下面[1]我们给出了第一个定义。定义2.2。设X是L中的一个随机变量∞(Ohm, F）具有拉普拉斯变换，即[exp(-s X）]∞ , s>0。然后是风险熵值，用EVaR1表示-β、我给了拜耶夫aR1-β（X）：=infs>0lne[exp(-s X）]- lnβs.（7）以下是EVaR1的关键结果-可以在[1]中找到。定理2.2。

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2022-5-5 03:56:00

风险评估1-定义2.2中的β是一个连贯的风险度量。此外，对于任何X∈ L∞(Ohm, F）通过拉普拉斯变换，它的对偶表示具有formEV aR1-β（X）=supf∈副总裁(-fX），（8）其中D={f∈ L+(Ohm, F） | EP[F ln（F）]≤ - lnβ}与l+(Ohm, F） ={F∈ L(Ohm, F） |EP（F）=1}。（9）关于证据，我们参考[1]。如果我们在累积风险度量（6）的一般定义中使用风险度量（7），我们自然会在空间RPL上获得ris k度量，这将继承原始风险度量的一些关键特征。我们现在正式引入累积熵风险值的概念，用Cevar1表示-β、在空间RpL上。定义2.3。设X是RpLand Let EVaR1中的随机过程-β是定义2.2中的风险度量。然后，对于给定的权函数ω：[0，T]-→ R+（即RTω（t）dt=1），风险的累积熵值，用CEVaR1表示-β、我被CEV aR1定义-β（X）=ZTEV aR1-β（Xt）ω（t）dt。（10）使用（7）作为我们的基础度量的主要优点是，由此产生的累积风险度量（10）对于一系列广泛的集体风险模型来说足够容易处理。这是因为（7）中出现的期望值仅仅是随机变量Xt（对于t）的拉普拉斯指数≥ 0). 在集体风险理论中，许多用于保险准备金的模型都具有封闭形式的拉普拉斯变换，尤其是所谓的Lévy保险风险过程。如果总索赔过程由光谱负Lévy过程驱动，则基于EVAR1的累积熵风险度量-β是使用InRick management应用程序的自然选择。定义2.3中的风险度量属于[11]中开发的随机过程空间上公理化风险度量的一般框架。我们现在研究它的一些性质。推论2.1。

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2022-5-5 03:56:03

风险度量CEVaR1-β、定义2.3给出了空间RpL的一致风险度量。证据自EVaR1以来-β的形式为（6），具有一致的基本风险度量ρ，它紧随其后的是evar1-作为定理2.1的特例，β是一致风险度量。现在，我们可以注意到，在定义2.3中，权函数ω起着重要作用。权重函数的不同选择将导致不同的累积熵风险度量。人们可以自然地把ω看作一个密度函数，它在区间[0，T]上分布一个概率质量。有趣的选择是使用合适的停止时间τ的密度函数fτ∈ [0，T]，比如第一次通过时间或毁灭时间。这将根据某个有意义的事件在这些区域发生的可能性大小来惩罚区间[0，T]的某些区域。为了便于处理，在本文中，我们使用了一个统一的权重函数，即我们考虑ω（t）=t。在本文的剩余部分中，我们将研究以下CEVAR亚家族，CEV aR1-β（X）=TZTEV aR1-β（Xt）dt。（11）现在，我们在本文中感兴趣的目标是将（11）中的CEVaR应用于保险上下文中，其中总索赔由光谱正Lévy过程建模。然后，我们应该首先验证光谱正Lévy过程的类别可以包含在空间RPP中≥ 1.这将使我们能够将CEVaR用于此类流程。提议2.1。设（Xt）0≤T≤一个光谱正的Lévy过程，那么，（Xt）0≤T≤T∈ R.证明。

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能者818

2022-5-5 03:56:06

从Lévy Ito分解中，我们可以看到，每个谱正Lévy过程都有以下表示（见[2]），Xt=bt+σbt+Z0<x<1x~N（t，dx）+Zx≥1xN（t，dx），（12）其中b∈ R、 σ∈ R+，B是标准的布朗运动，N是一个独立的泊松随机测度，~N是与N相关的补偿泊松随机测度。定义Yt=σBt+R0<x<1xN（t，dx）和Zt=Bt+Rx≥1xN（t，dx）。已知（见[2]），过程（Yt）为0≥T≤这是一个具有有限时刻的鞅。通过对过程Y使用Doob的鞅不等式，我们得到了| | sup0≤T≤T | Yt | | p≤聚丙烯- 1 | | | YT | | p，这意味着过程（YT）为0≤T≤对于所有p>1的患者，这都在RPS中。为了证明这个断言，现在有必要证明进程（Zt）为0≤T≤在R.我们知道≤T≤T | Zt |]≤ E“sup0≤T≤T（| b | T+（Zt- （英国电信）#≤ |b | T+E“sup0≤T≤T（Zt- （英国电信）#≤ （|b |+c）T+E“sup0≤T≤T(-ct+Zx≥1xN（t，dx）#对于满足复合泊松过程安全载荷条件（2）的一些c>0≥1xN（t，dx）。现在，这足以证明这个过程-ct+Rx≥1xN（t，dx）在R中。为了做到这一点，我们使用processRx≥1xN（t，dx）是一个复合泊松过程，跳跃大于1，因此该过程（Ct=Ct）-Rx≥1xN（t，dx））0≤T≤在集体保险风险理论的经典克拉默-伦德伯格模型中，可以将其视为净聚合过程。然后我们可以确定相关的破产时间τu=inf{t≥ 0 | u+Ct<0}以及相关破产概率ψ（u）=P输入≥0Ct<-U.注意，破产概率只是随机变量inft分布的尾部≥0这样我们就可以为s写作了∈ （0,1），inf{u>0 |ψ（u）≤ β} =V aRβ输入≥0Ct.自inft以来≥0Ct≤ inf0≤T≤TCt，通过对V aR的定义可以看出，V aRβ（inf0≤T≤TCt）≤V aRβ（inft≥0Ct）。

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2022-5-5 03:56:09

众所周知[10]，ψ（u）≤ E-Ru，其中R是伦德伯格基本方程的最小正函数，即λ+cr=λMRx≥1xN（t，dx）（r），其中λ是复合泊松过程的强度率≥1xN（t，dx）和MRx≥1xN（t，dx）（r）是rx的动量生成函数≥1xN（t，dx）。这意味着当T>0时，varβinf0≤T≤TCt≤ V-aRβ输入≥0Ct≤- lnβR，（13）这反过来意味着，E“sup0≤T≤T(-Ct）#=-Einf0≤T≤TCt=ZV-aRβinf0≤T≤TCtdβ，其中最后一个不等式来自期望的分位数的积分表示。使用（13），我们最终可以写出E“sup0”≤T≤T(-（Ct）#≤ -RZlnβdβ<∞ ,这意味着过程在R中。这就完成了证明。2.1示例定义2.3中引入的累积熵风险度量的优点是，对于具有拉普拉斯变换的一大类过程来说，具有足够的可处理性，可以用作（1）中净损失过程的模型。在这里，我们讨论（11）中针对一些Lévy保险风险模型的CEVaR的几个例子和计算表达式。2.1.1具有Drif-tLet Yt=ut+σwt的布朗运动可以是具有漂移参数u和尺度参数σ的布朗运动∈ R、 σ>0。在集体风险理论中，这种过程被用作（1）中的净损失过程，近似于经典的Cramer-Lundberg模型（[22]）。YtisE（e）的拉普拉斯变换-sYt=e-uts+σst.通过（7）中的直接替换和对s、f或t的微分∈ [0，T]，EV aR1-β（Yt）=-ut+σp-2t-lnβ。（14） aR1中（14）结果的直接替换和整合-β（Y）=-uT+σp-2T-lnβ。我们观察到，该风险度量是σ的递增线性函数和保费率u的递减线性函数。

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2022-5-5 03:56:13

这在直觉上是很自然的，因为较高的保费会降低风险敞口，而索赔严重性的大幅波动会导致风险敞口的增加。2.1.2α-稳定从属函数let Yt=ut+Xtbe是具有拉普拉斯指数φ（u）漂移的α-稳定从属函数：=-tln E（E）-uYt）=0<α<1时的u+uα。该模型已在[21]中用作净损失过程。通过应用与前一示例相同的直线前进程序∈ [0，T]，EV aR1-β（Yt）=-αt（lnβαt）- 1)α-1α- ut.在[0，t]产量上的直接积分，CEV aR1-β（Y）=αlnβαT- 1αT+T- 1.αT- 1lnβα-uT.2.1.3伽马中子或恐龙莱特Yt=uT+Xtbe伽马过程，参数a、b>0，有漂移。这个过程有拉普拉斯公式φ（u）：=-tln E（E）-sYt）=- utu- ta ln（1+u/b）。在这种情况下，EVaR1-β（Yt）是下列等式的解，-taub+u+at-ln（1+ub）+lnβ=0，u≥ 0 .上述等式是通过在定义EVaR1中应用拉普拉斯指数获得的-β和关于u的直接微分。与前面的例子不同，该方程的解没有封闭形式的表达式。但一旦-通过数值计算得到β，我们可以计算CEVaR1-β（Y）通过[0，T]上的直接积分。3资本分配我们现在用我们在上一节介绍的一致风险度量CEVaR研究保险背景下的资本分配问题。讨论CEVaR的资本分配问题（这是RpL定义的一个风险度量）必须从分析EVaR的这个问题开始，EVaR是L的一个子空间上的一个风险度量∞(Ohm, F）。在随机过程空间上寻找风险度量的资本分配通常需要了解其稳健表示及其次梯度集（有关此问题的详细说明，请参见[6]）。

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2022-5-5 03:56:18

在通常需要功能分析工具的应用程序中，这种健壮的表示通常是一个难题。在EVaR的情况下，我们建议通过确定EVaR的资本分配，并使用EVaR和CEVaR之间的线性关系来获得CEVaR的资本分配，从而解决CEVaR的资本分配问题。我们现在给出本节中需要的一些定义。定义3.1。设ρ为L上定义的一致风险度量∞(Ohm, F）。现在让我们来看看D L+是最大的集合，对于ρ，ρ（X）=supf，以下稳健表示成立∈DL+EP(-（外汇）十、∈ L∞(Ohm, F），（15）其中L+是（9）中定义的集合。集合D被称为ρ的确定集合（见[20]）。以下定义摘自[14]。定义3.2。设ρ为L上定义的一致风险度量∞(Ohm, F）带着确定的setD L+。让X∈ L∞(Ohm, F）。函数f∈ 如果ρ（X）=EP（fX），则D称为X的极值函数∈ (-∞, ∞). 极端函数集将用χD（X）表示。以下结果取自[14]，并给出了上述极端函数集为非空的条件。提议3.1。让D L+是给定一致风险度量ρonL的确定集∞(Ohm, F）。现在考虑以下集合，L（D）：={X∈ L∞(Ohm, F） |林-→∞supf∈DEP[f | X | I{X |>n}]=0}。（16）如果判定集D是弱紧集，且X∈ L（D），那么X的极值函数集不是空的，即χD（X）6=.现在，我们将注意力转向资本配置的概念。考虑一个向量risksX=（X，…，Xd），这样Xi∈ L∞(Ohm, F）对于i=1，d、是代表由风险头寸或部门组成的投资组合的现金流或风险敞口的随机变量。

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nandehutu2022

2022-5-5 03:56:21

在本文中，这些将是保单合同在给定时间的净损失头寸。给定L上的一致风险测度ρ∞(Ohm, F），我们现在来看如何分配投资组合ρ的总风险的问题X+··+Xd在不同的部门中，每个部门的个人风险都得到了适当的衡量。[18]和[19]提出了资本配置的以下正式定义，这是我们在本文中开始研究的内容。事实上，以下给出了资本配置的数学定义或一致的风险度量。定义3.3。考虑L上的一致风险度量ρ∞(Ohm, F）和一个向量ris ks X=（X，…，Xd），这样Xi∈ L∞(Ohm, F）对于i=1，d、 X的公平资本分配是avector（K，…，Kd）∈ 例如：1。dXi=1Ki=ρdXi=1Xi！，2.dXi=1hiKi≤ ρdXi=1hiXi！， h=（h，…，hd）∈ Rd+。第一个条件称为完全分配属性，它简单地说明了一个事实，即整个投资组合的总风险应该是每个部门的总风险。第二个条件称为资本配置的线性多元化性质。事实上，该条件与相干风险度量ρ的正齐性和次可加性性质一一对应（见[24]）。由于我们在本文中使用的是一致的风险度量，因此采用这种资本配置的定义在某种程度上是自然的。以下是一个有趣的结果，描述了一组可能的此类资本配置，它改编自【14】。定理3.1。让D L+是给定一致风险度量ρonL的确定集∞(Ohm, F）设X=（X，…，Xd）是一个向量，使得Xi∈ L∞(Ohm, F）对于i=1，d、考虑以下setG={（EP(-f X），EP(-f Xd）|f∈ D} 路（17）布景U X=（X。

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2022-5-5 03:56:24

，Xd），满足定义3.3，是凸的且有界的，其形式为u=argmaxx∈G<e，x>，（18）其中<·，·>是Rd中的内积，e=（1，…，1），argmax是G的一组点，<e，x>达到其最大值。此外，如果X，除息的∈ L（D）和D是弱紧的，那么U可以被识别为beU=(EP(-f X），EP(-f Xd）| F∈ χDdXi=1Xi！）。（19）证据。在[14]中，作者给出了相干效用函数定理的证明。结果是，对于给定的一致风险度量ρ，如果我们设置ρ*（十）：=-ρ(-十）我们得到了一个一致的效用函数，并且[14]中的结果成立。所以，从ρ（X）=-ρ*(-十）我们定理陈述的结果成立。布景G Rdin定理3.1被称为X和ρ的生成器（见[14]）。下面的推论给出了G上资本配置唯一性的条件。推论3.1。在定理3.1的条件下。此外，如果 RDI是严格凸的（即其内部非空且其边界不包含间隔），则有一个独特的资本分配满足定义3.3。证据参见[14]f，了解有关一致效用函数的证明。推论3.1为我们提供了充分的条件，使这种资本配置具有唯一性。下面的结果通过给出其各个组成部分的表示来描述这种独特的资本配置。定理3.2。让D L+是给定一致风险度量ρonL的确定集∞(Ohm, F） L（D）是（16）中定义的相关集合。此外，设X=（X，…，Xd）是一个向量，使得Xi∈ L∞(Ohm, F）对于i=1，d、如果d是弱紧的，X，除息的∈ L（D）和χD（Pdi=1Xi））是一个单子，那么，对于1≤ 我≤ d、 EP(-fXi）=lim↓0ρ（Pdj=1Xj+Xi）- ρ（Pdj=1Xj）。（20）证据。

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2022-5-5 03:56:29

由于χD（Pdi=1Xi）是单态且D是弱紧的，那么从定理3.1来看，存在一个唯一的函数f∈ χD（Pdi=1Xi），因此，资本分配集isU={（EP(-外汇），EP(-fXd）。这意味着资本配置的每个组成部分(-fXi）只是XitoPdi=1Xi的风险贡献（见[14]）。如果我们使用标准符号表示ithrisk贡献*ρ（Xi | Pdi=1Xi），这意味着*ρ（Xi | dXi=1Xi）=supf∈χD（Pdi=1Xi）EP(-fXi）。然后，可以充分证明，△ρ（Xi | dXi=1Xi）=lim↓0ρ（Pdj=1Xj+Xi）- ρ（Pdj=1Xj），对于1≤ 我≤ D（21）对于一致效用函数，（21）中的结果如[14]所示。自ρ*（十）：=-ρ(-十）对于任何相干风险度量ρ，它是一个相干效用函数，直接得出（21）也适用于相干风险度量。3.1 CEVaR和资本配置问题本文的主要目标是在资本配置问题中应用累积熵风险度量。在上一节中，我们讨论了L上风险度量的资本配置问题的关键概念∞(Ohm, F）。在本节中，我们应用这些结果来回答CEVaR的资本分配问题，这是RpL的一种风险度量。注意，这是一个更复杂的问题，因为这个问题有一个动态组件。在这里，CEVaR1的累积特性克服了这一点-β. 我们首先将定义3.3扩展到更一般的资本配置概念，即空间RpL上的一致风险度量。以下定义摘自[7]。定义3.4。允许Xt，XdtT∈[0，T]是RPL代表财务职位或部门的随机过程。此外，考虑一个一致的风险度量ρ：RpL-→ R+定义空间RpL。公平的资本分配Xt。

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2022-5-5 03:56:33

，XdtT∈[0，T]关于ρ是一个向量（L，…，Ld）∈ 因此，1。dXi=1Li=ρdXi=1Xi！，2.dXi=1hiLi≤ ρdXi=1hiXi！， h=（h，…，hd）∈ Rd+，其中Pdi=1氧化该过程Pdi=1XitT∈[0，T]。在本节中，我们将展示当使用CEVaR作为风险度量时，如何获得满足定义3.4的资本配置。我们首先需要证明稳健表示（15）中集合D的边界为1-β不是凸集。这导致（17）中的集合G也不是凸集。事实上，这立即意味着欧拉分配（见[26]）是评估和评估的唯一可能的分配方法。定理3。3.设D为EVaR1的稳健表示（8）中的决定集-β. 然后是布景D={f∈ L∞+: EP（f ln（f））=- lnβ}不是凸集证明。对于任何λ，证明这一点是足够的∈ [0,1]和中的任意两个函数f和gD、函数λf+（1）- λ） g不在D.定义正实线空间上的函数H，取实值如下，H（x）：=x ln x，对于所有x∈ R+。很明显，f函数H在正实线上是严格凸的。因为，对于所有x，H′（x）=lnx+1和H′（x）=x>0∈ R+。现在，我们再次使用合成函数H（λf+（1））定义[0,1]上的一个新函数K，其值在R中- λ） g）如下所示，K（λ）=EP（H（λf+）（1- λ） g）），对于中的固定函数f和gD.注意，我们使用了一种轻微的符号滥用，这里是h（λf+（1）- λ） g）应逐点理解。也就是说，f或x∈ R、函数H（λf+（1）-λ） g）-→ H（λf（x）+（1）- λ） g（x））。如果我们取f函数K的第一和第二导数，我们会发现这个函数也是严格凸的。（f（EP（＝λ′）- g）（H′（λf+）（1- λ） g）和K′（λ）=EP（（f）- g）（H′（λf+）（1- λ） g））=（f-g） λf+（1）-λ） g>0。

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能者818

2022-5-5 03:56:36

现在，考虑K（0）=EP（H（f））和K（1）=EP（H（g））以及函数K的严格凸性，我们得到了不等式K（λ）=EP（H（λf+）（1）- λ） g）<- lnβλ ∈ (0, 1).这证明了我们的主张。下面的结果说明了所谓的欧拉分配方法的唯一性。提议3.2。设（X，…，Xd）为每个Xi∈ L∞(Ohm, F），对于i=1，d、代表一个风险岗位或部门的现金流或风险敞口。我们表示byX=Pni=1XIT在给定时间段内产生的投资组合范围内的现金流。此外，对于L上给定的风险度量ρ∞(Ohm, F）定义函数Fρ（u，…，un）=ρ（Pni=1uiXi）。如果ρ为EVaR1-β如（2.2）所定义，则分配给满足3.3 i定义的每个部门的资本由Ki=dρdh（X+hXi）|h=0唯一确定=uifρ（1，…，1）1≤ 我≤ N（22）证据。作为定理3.3的结果，我们看到（17）中的关联集G是严格凸的。i、向量X=（X，…，Xd）的资本分配是唯一的。自那时起，风险度量就变了-β是正齐次的，也就是说，对于所有λ>0，我们有EVaR1-β（λX）=λEVaR1-β（X），我们推导出上述函数fρ是齐次函数。根据齐次函数的欧拉定理，我们得到了ρ（u，…，un）=nXi=1uiuifρ（u，…，un）。现在，通过应用定理3.2和uifρ在（1，…，1）处，我们推断分配给每个部门的资本由（22）给出。这证明了定理。现在，我们将描述满足定义3.4的资本配置与CEVaR1的关系-β. 请注意，自CEVaR1以来，这似乎是一个更复杂的问题-随机过程的测度是在β-Arside空间上定义的。然而，由于CEVaR1的累积特性，这是可能的-β.定理3.4。设（Xt，…，Xdt）0≤T≤t是一个向量，每个退出0≤T≤T∈ RpL（对于i=1。

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2022-5-5 03:56:39

，d）代表一个风险岗位或部门在timet的现金流或风险敞口∈ [0，T]。然后，在[0，T]期间满足定义3.4的资本分配，与CEVaR1有关-β、对于i=1，…，i是唯一确定的，d by，Li=TZTKitdt，其中kit由（22）给出。证据通过替换CEVaR1的表示-方程（11）中给出的β转化为定义3.4，我们可以看到，资本配置减少到EVaR1-定义3.3中给出了β。方程式（22）立即暗示了结果。定理3.4给出了有限时间段内随机过程的资本分配问题的一个解决方案[0，T]。有趣的是，与这个问题的其他解决方案不同，这个资本分配可以很容易地计算出一大类过程。现在，我们将注意力转向结果的应用。3.2保险风险过程的资本分配我们现在应用定理3.4来回答保险风险过程的资本分配问题。这里我们考虑一家由n个部门组成的保险公司。对于每个部门，我们都将风险准备金流程设置为表（1）。换句话说，Rit=xi- Yitwhere Yit=Xit- cit表示与ith部门相关的净损失索赔流程。我们重申，xi是初始准备金，ci是加载保费，xit是聚合收益的模型，而指数i指的是n个部门中的一个。为了对保险公司进行更丰富的描述，我们将总索赔流程视为i部门支付的总金额，由m个独立索赔类别的分数组成。也就是说，让我们，Wmtbe m独立的光谱正Lévy过程模型将m种不同类型的索赔汇总在一起。例如，你可以考虑与意外事故、房屋损坏、医疗保险等相关的索赔。

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2022-5-5 03:56:42

然后，ith部门支付的总索赔额将是这些过程的线性组合。例如，考虑汽车保险合同产生的总索赔。我们假设一个部门将支付财产损失保险（合同索赔总额的一小部分），而另一个部门将支付第三方责任费用（合同索赔总额的另一小部分）。数学上，我们让Wt，Wmtbe m独立谱正Lévy过程f orj=1，m、现在，我们让每个元素都是Wt的部分或全部的线性组合，Wmt，即X=XtXt。。。Xnt=A.a1ma。a2m。。。。an1。安WTWTWT。。。Wmt, （23）其中aij是1的非负实数≤ 我≤ n和1≤ J≤ m、我们指出，我们之所以选择这种结构，是因为它通过定理3.4为资本分配问题提供了一个简洁的解决方案。人们总是可以求助于更简单的案例，即每个部门只支付一种类型的索赔，而不是支付不同类型索赔的细分。这相当于在（23）中有n=m和一个对角线矩阵，对角线中的所有元素都等于一，从而产生Xit=wit for all i。我们还指出，这种构造通过聚合声明Xi赋予过程Ri具有依赖结构。下一个结果是我们论文的主要贡献之一。定理3.5。考虑n risk过程瑞特0≤T≤T∈ RpL，对于i=1，n、现在，让我们一起来看看- Yitwhere Yit=Xit- cit表示与ITH部门相关的净损失索赔流程。此外，总风险流程应为（23）中定义的流程。

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2022-5-5 03:56:45

然后，对于每个净损失过程，满足定义3.4的资本分配[0，T]，以及与风险度量CEVaR1相关的资本分配-β是，Li=TZTKitdt+ciT，（24）其中kit=-tmXj=1aijφ′j（s*nXk=1akj），t∈ [0，T]，（25）和E（E）-sWj）=e-φj（s）表示s≥ 0，φ′j（0）≤ 0, 1 ≤ 我≤ n和1≤ J≤ m、证据。首先，我们要根据风险度量EVaR1确定资本配置-在应用定理3.4之前。对于L上定义的任何一致风险度量ρ∞(Ohm, F）根据现金不变的性质，我们得到，对于每个t∈ [0，T]，ρ（nXi=1Yit）=ρ（nXi=1Xit）+nXi=1cit。也就是说，为了确定资本分配（t∈ [0，T]），关于一致风险度量（尤其是对于EVaR1-β），我们只需要为每个索赔流程确定资本分配。关于ρL的一个相合测度∞(Ohm, F），让我们定义函数Fρ（u，…，un）：=ρ（Pni=1uiXit）。考虑到过程的结构，Xnt，我们可以写作，福特∈ [0，T]，fρ（u，…，un）=ρ（nXi=1uiXit）=ρ（mXj=1ua1jWjt）+（mXj=1ua2jWjt）+··+（mXj=1uanjwjt）= ρ（nXi=1uia1）Wt+（nXi=1uia2）Wt+···+（nXi=1uiain）Wmt！。如果我们让dj=nXk=1ukkj，（26）我们可以写一个更紧凑的形式，fρ（u，u，…，un）=ρ（dWt+dWt+·dmWmt）。（27）通过使用主要因素的独立性Wi，我们得到，对于t∈ [0，T]，lnE（E）-s（dWt+dWt+·dmWmt））= 自然对数πmj=1E（e）-sdjWjt）mXj=1lnE（E）-sdjWjt）= -tmXj=1φj（sdj），其中最后一个等式来自E（E-sWjt=e-tφj（s）。如果我们将上述方程专门化为EVaR的情况，那么方程（27）变成，fort∈ [0，T]，fEV aR1-β（u，u，…，un）=EV aR1-β（dWt+dWt+·dmWmt）=infs≥0-tPmj=1φj（sdj）- lnβs.（28）现在，考虑等式（28）的右侧。通过对s求导数，对于t∈ [0，T]，s-tPmj=1φj（sdj）- ln！s=-stPmj=1djφ′j（sdj）+tPmj=1φj（sdj）+lnβs。

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2022-5-5 03:56:48

（29）通过将等式（29）设置为零，我们可以找到s值*（t，u，…，un）将（28）中的右侧最小化。如符号所示，该最小值为s*（t，u，…，un）是t和ui1的函数≤ 我≤ n但在下面我们使用更简单的符号s*对于这个值。请注意，值为s*事实上也是母亲。基于单边Lévy过程拉普拉斯变换的凸性和条件φ′j（0）≤ 0时，应在我们表示的某个点达到（28）中的上限*（见[23]）。根据命题3.2，欧拉分配是forEVaR1唯一可能的分配方法-β. 因此，为了确定资本分配，有必要确定等式（28）右侧s端对变量Ui的导数，并在U=（1，1，…，1）点对其进行评估。对于i=1，…，直接微分率，n和t∈ [0，T]，uifEV aR1-β（u，u，…，un）=-s*tPmj=1（s）*idj+aijs*)φ′j（s）*dj）+ts*iPmj=1φj（s*dj+s*ilnβs*2，（30）我们使用符号s*我=s*用户界面。自从*如果方程（29）的解等于零，我们可以将（30）简化如下，对于i=1，NuifEV aR1-β（u，u，…，un）=-tmXj=1aijφ′j（s*dj）。（31）在点u=（1，1，…，1）处的计算公式（31）得出在时间t时与ITH部门相关的分配资本∈ [0，T]。也就是说，对于i=1，n、套件=uifEV aR1-β（u，u，…，un）=-tmXj=1aijφ′j（s*nXk=1akj）。（32）使用定理3.4并将Kitin（32）积分得到满足定义3的分配资本。4关于风险度量CEVaRβ。

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2022-5-5 03:56:52

因此，就CEVaR1而言，在[0，T]期间分配给ITH部门的资本-β是，Li=TZTKitdt+ciT。这就完成了证明。4例在本节中，我们有兴趣研究定理3.5中的一些例子，以阐明如何计算资本分配。我们提供了第2.1节中已经讨论过的示例的资本分配。正如我们将看到的，在某些情况下，我们可以获得资本分配的显式表达式。在其他情况下，这种显式形式是不可用的，但仍然可以通过标准的数值方法获得解。困难在于当et等于零时，求解方程（29）。4.1带尺度参数的布朗运动考虑通过等式（23）确定的一般设置。让主要因素，WMT是m独立的布朗运动，具有不同的尺度参数σi>0和拉普拉斯变换E（E-sWit=eσist。我们现在只需要应用定理3.5。通过解方程（29）等于零，我们得到，对于t∈ [0，T]，stmXj=1djσj-stmXj=1djσj+lnβ=0，（33），其中dj在（26）中给出。或者相当于s*=-2 lnβtPmj=1djσj！。（34）将（34）代入方程（32）中，在点u=（1，1，…，1）我们可以计算出i=1，n、也就是说，Kit=t-2 lnβPmj=1σj（Pnk=1akj）！mXj=1σjaijnXk=1akj，（35）对于t∈ [0，T]。因此，就CEVaR1而言，分配给ITH部门的资本-β可以计算为，Li=T-2 lnβPmj=1σj（Pnk=1akj）！mXj=1σjaijnXk=1akj+ciT.（36）现在作为特例，让主因子Wt，wmt是m个独立的布朗运动，具有公共尺度参数σ>0和公共拉普拉斯变换E（E-sWit）=eσst.So，（34）减少了tos*=-2 lnβσtPmj=1dj！，（37）那么Kit的值是t∈ [0，T]，Kit=σT-2 lnβPmj=1（Pnk=1akj）！mXj=1aijnXk=1akj。

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2022-5-5 03:56:55

（38）因此，分配给ITH部门的资本Li符合第3.4条关于评估1的定义-对于这种特殊情况，β可以写成，Li=Tσ-2 lnβPmj=1（Pnk=1akj）！mXj=1aijnXk=1akj+ciT.（39）4.2伽马从属关系考虑通过等式（23）确定的一般设置。我们让主要因素，Wmto是具有不同参数αi、bi>0和拉普拉斯变换（e）的m独立伽马过程-sWit）=1+sbi-αit=exph-tαiln1+sbii、 s≥ 0 . （40）我们现在只需要应用定理3.5。通过求解等于零的方程（29），我们得到：∈ [0，T]，tmXj=1αjln（1+sdjbj）- sdjbj+sdj+ lnβ=0，s>0，（41），其中dj在（26）中给出。这并不像上一个例子中的等式那样直接。尽管如此，它的价值仍然很高*通过数值计算可以得到满意的结果（41）。在u=（1，1，…，1）点进行评估，并代入（32）中，得出资本分配值Kitfori=1，n、也就是说，Kit=-tmXj=1aijαjbj+s*Pnk=1kJ, （42）对于t∈ [0，T]在哪里*是方程（41）的解。因此，分配给ITH部门的资本符合关于CEVaR1的定义3.4-β由，Li=-aTmXj=1aijαjbj+s*Pnk=1kJ+ ciT（43）为1≤ 我≤ n、 4.3α-稳定从属关系考虑通过等式（23）确定的一般设置。我们让主要因素，Wmto是具有不同参数αi的m独立α稳定过程∈ （0,1）和拉普拉斯变换（e-sWit=e-sαi，s≥ 0 . （44）我们现在只需要应用定理3.5。通过解方程（29）等于零，我们得到以下方程，对于t∈ [0，T]，- tmXj=1αj（sdj）αj+tmXj=1（sdj）αj+lnβ=0，（45），其中dj在（26）中给出。再一次，这不是一个需要解决的直接方程。尽管如此，它的价值仍然很高*在数值上可以得到满意的（45）。在点u=（1，1，…）处计算。

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2022-5-5 03:56:59

，1）并替换（32）得出i=1，…，的资本分配值Kit，n和t∈ [0，T]。作为一种特殊情况，考虑以下主要因素：，Wmto是具有公共参数α的m独立α-稳定过程∈ （0,1）和公共拉普拉斯变换（e-sWit=e-sα，s≥ 0 . （46）我们现在只需要应用定理3.5。通过求解等于零的方程（29），我们得到：∈ [0，T]，-sαtαmXj=1（dj）α+sαtmXj=1（dj）α+lnβ=0，在这种情况下，可以很容易地得到一个溶液，产生s*=- lnβ（1）- α） tPmj=1dαj！α、（47）对于t∈ [0，T]。在u=（1，1，…，1）点处将（47）代入（32），得到i=1，…，的资本分配值Kit，n在时间t∈ [0，T]。也就是说，Kit=-tαα- lnβ（1）- α） Pmj=1（Pnk=1akj）α！α-1αmXj=1aij（nXk=1akj）α-1，（48）对1≤ 我≤ n、资本分配满足第3.4条关于CEVaR1的定义-β是给定的，Li=TZTKitdt+ciT，或者更准确地说，Li=-αα+1Tα- lnβ（1）- α） Pmj=1（Pnk=1akj）α！α-1αmXj=1aij（nXk=1akj）α-1+ciT.（49）参考文献[1]Ahmadi Javid A.，熵风险价值：一种新的一致性风险度量。优化理论与应用杂志，斯普林格。2011年。[2]Applebaum D.Lévy过程和S t ochastic微积分（第二版），剑桥大学出版社（2009）[3]Artzner P.，Delbaen F.，Eber J.-M.，和Heath D.一致性风险度量。数学《金融》，1999年。[4] Asmus sen S.破产概率，统计科学与应用概率高级系列第2卷。世界科学出版公司，新泽西州河边，2000年。[5] 有界cádlág过程和应用的风险测度的Assa H.Lebesgue性质。，2009年[6]Assa H.关于不同风险度量的某些方面及其应用博士论文，2011年。[7] Billera，L.J.，Heath，D.C.，分摊成本的分配：一套产生唯一程序的公理。数学奥普。第7（1）号决议：1982年第32-39页。[8] 比夫斯，E，莫拉莱斯，M。

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2022-5-5 03:57:02

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