我们有以下内容，而不是形式1。引理4。设xC是X的连续部分。如果g是一个连续函数，其反导函数g和二次反导函数g，则ztug（Xs-)d[Xc]s+2Xu≤s≤t[\'G（Xs）- XsG（Xs-)]= 2.Ztu（G（Xu）- zxTx（xTx+xSg）- K） dK= 2.Ztu（G（Xu）- G（Xs））dXs+ZXug（K）（K）- Xt）+dK+Z∞Xug（K）（Xt）- K） +dK.证据如果f是两次连续可微的，那么通过半鞅的^o引理，f（Xt）=f（Xu）+Ztuf′（Xs-)dXs+Ztuf′（Xs-)d[Xc]s+Xu<s≤t[f（Xs）- Xsf′（Xs-)]利用泰勒定理，余项的积分形式为f（Xt）=f（Xu）+f′（Xu）（Xt）- Xu）+ZXtXuf′（K）（Xt）- K） dK=f（Xu）+f′（Xu）（Xt）- Xu）+ZXuf′（K）（K）- Xt）+dK+Z∞Xuf′（K）（Xt）-K） +dK。通过比较上述方程，我们得到了ztuf′（Xs-)d[Xc]s+2Xu≤s≤t[f（Xs）- Xsf′（Xs-)]= 2.Ztu（f′（Xu）- f′（Xs））dXs+ZXtXuf′（K）（Xt- K） dK= 2.Ztu（f′（Xu）- f′（Xs））dXs+ZXuf′（K）（K）- Xt）+dK+Z∞Xuf′（K）（Xt）- K） +dK.最后，用g代替f′，我们得到了期望的结果。定理5。对于具有反导数g和二次反导数g的连续函数g，我们有ZTntgF（n）s-dhF（n）cis+2Xt<s≤总氮[\'G（Fs）-\'G（Fs-) - FsG（财政司司长）-)]F（n）t= 2er（Tn）-t） Z∞g（K）φ（n）t（St，K）d kfortn-1.≤ 证明。对引理4的结果进行Q-期望，X=F（n）。对于一个半鞅过程，我们得到了与推论3相同的结果。推论6。假设标的股票价格S是一个半鞅。对于双连续可微函数g（x），如果g′（F（n））∈ LQ，[（Fc）（n）]（[Tn-1，Tn]×Ohm), 然后是福顿-1.≤ t<Tn，EQhgF（n）TnFti=gF（n）t+ er（Tn）-t） Z∞dgdx（K）φ（n）t（St，K）dKor，EQ[g（STn）| Ft]=ger（Tn）-t） 圣+ er（Tn）-t） Z∞dgdx（K）φ（n）t（St，K）dk.证明。应用半鞅的^o引理和定理5。现在我们有了以下关于亚式期权价格的递推公式的定理。定理7。

一个人≤ N≤ N- 2，负（n）（x，…，xn）=e-rτn+1g（n+1）（x，…，xn，erτn+1xn）+Z∞g（n+1）xn+1（x，…，xn，K）φ（n+1）（xn，K）dKandg（n）-1） （x，…，xN）-1） =Nc（N）xN-1.N.E-N-1Xi=1Xi！{PN-1i=1xi<NE}+e-rτNN-1Xi=1Xi+xN-1.- 氖！{PN-1i=1xi≥不！。假设g（n）是连续的，与xnand相对应的g（n）xn圣，STN-1，F（n）∈ LQ[F（n）]（[Tn-1，Tn]×Ohm)一个人≤ N≤ N-1.然后是在时间0时对亚式期权支付的贴现风险中性预期≤ t<t由eqt“e”给出-r（T）-t） NNXi=1STi- E！#=E-r（T）-t） g（1）呃(T)-t） 圣+Z∞dg（1）dx（K）φ（1）t（St，K）dk证明。注意等式“e”-rτNPNi=1STiN- E+FTN-1#=Nc（N）STN-1.N.E-N-1Xi=1STi！{PN-1i=1STi<NE}+e-rτNN-1Xi=1STi+STN-1.- 氖！{PN-1i=1STi≥不=Nc（N）erτNSTN-1.N.E-N-1Xi=1STi！{PN-1i=1STi<NE}+e-rτNN-1Xi=1STi+STN-1.- 氖！{PN-1i=1STi≥嗯！=g（N）-1)圣，STN-1..此外，根据推论6，我们有-rτN-1g（N-1)圣，STN-1.FTN-2i=e-rτN-1g（N-1)圣，STN-2，erτN-1STN-2.+Z∞g（N）-1)xN-1.圣，STN-2，Kφ（N）-1)STN-2，KdK。递归地应用结果，我们得到了期望的结果。解决期权价格问题的一个好处是，我们可以很容易地计算出这些灵敏度。推论8。亚式期权在时间0时的增量≤ t<Tist=dg（1）dx呃(T)-t） 圣+ 呃(T)-t） Z∞dg（1）dx（K）φ（1）tx（St，K）d K.证明。通过区分期权价格与基础价格，我们得到了预期结果。备注9。在定理7中，函数gn（x，…，xn）表示期权价格与给定观察到的基础价格x，…，的时间，xnat T，分别是Tn。福顿≤ t<Tn+1时，t时的亚洲看涨期权价格表示为另一个亚洲看涨期权价格。那个isEQE-r（TN）-t） NNXi=1STi-E+英尺=N- nNEQE-r（TN）-t） N- nNXi=n+1STi- 嗯+英尺wheren=NE-Pni=1STiN- n、 例1。

考虑一个在Black-Scholes框架下有两个观察时间的算术亚式期权。在此假设下，算术期权价格由一个积分公式表示。我们有g（1）（x）=c（2）（x，2E）- x） 1{x<2E}+e-rτ（x）- E） 1{x≥2E}。和dg（1）dx（x）=c（2）x（x，2E）- 十）-c（2）K（x，2E）- x） !！{x<2E}+e-rτ{x≥2E}和dg（1）dx（x）=c（2）x（x，2E）- 十）+c（2）K（x，2E）- 十）-2.c（2）十、K（x，2E）- x） !！{x<2E}。注意，在该框架下，欧洲看涨期权价格isc（2）（x，K）=xN（d（x，K））- 柯-rτN（d（x，K）），其中N是标准的正常c.d.f.，d（x，K）=logxK+r+στσ√τ、 d（x，K）=d（x，K）- σ√τ.自从c（2）x（x，K）=N（d（x，K）），c（2）K（x，K）=-E-rτN（d（x，K）），c（2）x（x，K）=N′（d（x，K））xσ√τ=xσ√2πτexp-d（x，K）,c（2）K（x，K）=e-rτN′（d（x，K））Kσ√τ=τ-rτKσ√2πτexp-d（x，K）,c（2）十、K（x，K）=-E-rτN′（d（x，K））Kσ√τ= -E-rτKσ√2πτexp-d（x，K）,我们有dg（1）dx（x）=2σ√2πτxexp-d（x，2E）- 十）+E-rτ2E- xexp-d（x，2E）- 十）+2e-rτ2E- xexp-d（x，2E- 十）{x<2E}。因此，亚式期权在0时的价格≤ t<TisEQ“e-r（T）-（t）ST+ST- E+英尺#=e-r（T）-（t）c（2）呃(T)-t） St，2E- 呃(T)-t） 圣{er（T）-t） St<2E}+e-rτ呃(T)-t） 圣- E{er（T）-t） 圣≥2E}+2σ√2πτZ2EKexp-d（K，2E）- （K）+E-rτ2E- Kexp-d（K，2E）- （K）+2e-rτ2E- Kexp-d（K，2E）- （K）φ（1）t（St，K）dK。要处理观察次数众多的算术亚式期权价格，最好使用下一个结果。对于简单性，在下一个定理中，假设τ=τ≤ N≤ N、 即平均分布的观察时间。定理10。让“A”(l)（w） ,，-∞ < w<∞, 表示算术亚式期权价格l-观察时间，当前s锅价格1，罢工p米w，然后“A”(l)（w）=(l - 1)l“A(l-1)Wl - erτerτ(l - 1)+Z∞WlK(l - 1)“A(l-1)WWl - KK(l - 1)φ（1，K）dk，其中A（1）（w）=c（1，w）1{w>0}+（1）- E-rτw）1{w≤0}.证据我们可以把g（n）改写为（Pn）的二维函数-1i=1xi，xn）。

注9，g（n）n-1Xi=1Xi，xn=xn（N）- n） n\'A（n-n）氖-Pni=1xixn（N- n）.注意g（n）xn（u，xn）=（NE- u） xnN（N）-n）’A（N）-n）W氖- U- xnxn（N）- n）其中u=Pn-1i=1xi。通过定义g（n），xn（n-n） n\'A（n-n）氖-Pni=1xixn（N- n）=xn（N）- N- 1） N\'A（N-N-1)氖-Pni=1xi- erτxnerτxn（N- N- 1)+Z∞（东北）-Pni=1xi）KN（N-N- 1)’A（N）-N-1)W氖-Pni=1xi- KK（N）- N- 1)φ（xn，K）dK。设置xn=1，我们有¨A（N-n）氖-Pni=1xi（N- n）=N-N-1N- n\'A（n-N-1)氖-Pni=1xi- erτerτ（N）- N- 1)+Z∞（东北）-Pni=1xi）K（N-n） （n）- N- 1)’A（N）-N-1)W氖-Pni=1xi-KK（N）-N- 1)φ（1，K）dK。Putw=NE-Pni=1xiN- n、 然后A（n-n） （w）=（n）- N- 1） （N）- n） ’A（n）-N-1)w（N）- n）- erτerτ（N）- N- 1)+Z∞w（N）- n） K（n）- N- 1)’A（N）-N-1)Ww（N）- n）- KK（N）-N- 1)φ（1，K）dk和通过设置l = N- n、 我们完成了证明。3数值结果3。1 Black-Scholes模型在本小节中，我们考虑具有几何布朗运动的算术亚式期权价格。对于数值计算，我们应用定理10。首先，我们在合理的罢工线上计算A（1）（w），例如w∈ （0,2），步长为0.0025，并计算其二阶导数。第二个导数由原始函数值的差来近似。接下来，我们用第10章中的数值积分公式计算走向层位上的A（2）（w）。对于数值积分，走向范围设定为0.01至2 w，步长为0.001，并应用辛普森规则。我们重复同样的过程，直到得到A（90）（w），并根据当前现货价格调整期权价值。数值结果如表1所示，其中S=100，σ=0.2，r=0.05，τ=1天，TN=90天。我们报告了2×10路径的蒙特卡罗模拟结果作为比较。我们还报告了基于Vecer（2001）的偏微分方程方法的结果。

Mathematica使用来自作者主页的程序实现，边界设置为-5σTN和5σTN.表1:Black-Scholes框架下的亚洲期权价格，观察时间为90次，其中s=100，σ=0.2，r=0.05，τ=1天，TN=90天。亚洲罢工我们的方法M.C.Vecer80 20.3732 20.3728 20.378385 15.4368 15.4364 15.442690 10.5501 10.5481 10.553995 6.0270 6.0206 6.0214100 2.6157 2.6082 2.6020105 0.8042 0.7975 0.7914110 0.1709 0.1674 0.1650115 0.0252 0.0252 0.0243 0.0238120 0.0026 0.0024 0.0024 0.0025.2指数L evy以前，我们在Black-S框架下计算亚洲期权价格。对于更一般的情况，包括指数L’evy模型，我们计算期权价格的方法是适用的。一旦我们有了作为标的资产价格函数的欧式期权价格的解析解，亚式期权价格的计算就很简单了。众所周知，到期日为τ且行使K的欧佩恩看涨期权的价格由c（S，K）=S∏（F，K）表示- 柯-rτ∏（S，K），其中满足∏（S，K）=+πZ的泛概率∞重新E-iu log Kψτ（u- i） iuψτ(-（一）du，π（S，K）=+πZ∞重新E-iu log Kψτ（u）iu杜。ψτ（u）=EQ[exp（iu log Sτ）]。然而，由于被积函数的分布是u型的，所以很难直接计算数值积分→ 0.为了应用数值计算，我们可以使用一些修正的看涨期权价格的傅里叶变换的解析表达式，例如阻尼期权价格、期权价格的时间值或期权价格减去Black-Scholes价格。考虑这些修正的看涨期权价格函数的原因是获得一个平方可积函数。对于平方可积函数，我们采用傅里叶变换方法。

Carr和Madan（1998年）以及Cont和Tankov（2004年）对这些方法进行了介绍和解释。无论选择哪种修正期权价格函数，计算亚洲期权价格的算法都是相似的。首先，定义修改后的欧式看涨期权价格zτ作为log s trike k的函数。例如，我们选择阻尼期权价格作为数值计算的修改价格函数。通过设置S=1，我们定义了一个固定的期权价格zτbyzτ（k）=eαkEQ[e-rτ（Sτ）- ek）+]。其次，我们推导了zτ（k）的傅里叶逆变换的解析公式。设ζτ（v）=Z∞-∞eivkzτ（k）dk。然后ζτ（v）=Z∞-∞eivkzτ（k）dk=e-rτψτ（v）- （α+1）i）α+α- v+i（2α+1）v.然后通过ζτ和e的傅里叶变换相乘，得到S=1和对数敲打k的看涨期权价格cτ（k）-αk.更精确地说，\'cτ（k）=e-αk2πZ∞-∞E-ivkζτ（v）dv=e-αkπZ∞E-ivkζτ（v）dv。计算傅里叶变换部分的一种有效方法是基于FFT。有关如何应用FFT方法计算欧洲期权价格的详细信息，请参见C arr和Madan（1998）。当前p价格x和行使K的欧洲看涨期权价格由cτ（x，K）=x′cτ得出logKx.我们可以通过获得的d iscrτ值的差异来计算近似导数“c′τ”和“c′τ”。此外，我们还可以通过FFT方法D’cτdk（k）=e计算导数-αk2πZ∞-∞-艾维-ivkζτ（v）dvd洎cτdk（k）=e-αk2πZ∞-∞ve-ivkζτ（v）dv。关于基于FFT的导数，请参见Johnson（2011）。事实证明，基于两种方法的亚式期权价格非常相似。在数值计算中，我们使用了通过获得的“cτ”值的差异计算的数值模拟。最后，我们使用上一小节中解释的相同方法，通过定理10计算亚式期权价格。对于价格过程，我们假设一个指数方差伽马过程。

设γ-tbea-γ过程，平均速率参数为1，方差参数为ν。考虑由xt=θt+σWγt给出的方差伽马过程。表2:VG过程下的亚式期权价格，观察时间为90次，σ=0.3，ν=0.3，θ=-0.1，r=0.05，τ=1天，TN=90天，我们的方法M.C.80 20.4850 20.478985 15.6820 15.674890 11.0325 11.022395 6.7146 6.6981100 3.1644 3.1382105 1.3803 1.3558110 0.6958 0.6812115 0.3794 0.3714120 0.2185 0.2138对于标准布朗运动W。假设风险中性的基础价格过程为t=Sexp（rt+Xt（σ，θ，ν）+ωt），其中ω=（1/ν）log（1-θν -σν). Madan等人（1998）表明，S=1的对数stl的特征函数是ψτ（u）=exp{iu（r+ω）τ}1.- iθνu+σuν-τ/ν.对于FFT，离散求和的数量设置为2，有效上限设置为2000。我们计算A（1）（w），w∈ （0,2），步长为0.005，并按照上一小节计算其二阶导数。对于数值积分，走向范围设定为0.1到2，步长为0.001，并应用辛普森规则。表2显示了算术亚式期权定价的数值结果，其中σ=0.3，ν=0.3，θ=-0.1，r=0.05，τ=1天，TN=90天s。我们报告了蒙特卡罗模拟结果，并与2×10路径进行了比较。4.结论：我们推导了算术亚式期权价格的递推公式，使其与欧式期权价格一致。基于二次变分法，亚式期权价格由积分公式表示，其被积函数取决于欧式期权价格。我们的方法适用于semimartin gale基础价格过程。Black-Scholes和指数方差Gamma期权模型的应用是自己的。

由于已知Black-Scholes和指数方差Gamma模型下的欧式期权价格，我们能够在给定的框架下计算算术亚式期权价格。只要知道欧式期权的价格，我们的方法是适用的。基于我们方法的亚式期权价格的准确性取决于欧式期权价格是否正确。参考Bayraktar，E.和Xing，H.（2011）。为跳转差异定价亚洲期权。《数学金融》，21117-143。Bouaziz，L.，Briys，E.，和Crouhy，M.（1994）。远期启动亚洲期权的定价。《银行与金融杂志》，18823-839。卡尔，P.和马丹，D.B.（1998）。使用快速傅里叶变换进行运算估值。《计算金融杂志》，第2期，第61-73页。卡尔，P.和吴，L。(2009). 差异风险溢价。《金融研究回顾》，221311–1341。Carverhill，A.和Clewlow，L.（1990年）。灵活的卷积。风险，3,25-29。张正中和曹正英（2011）。有效且准确的二次逼近法，用于亚洲行使期权的定价。定量金融，11729-748。Choe，G.H.和Lee，K.（2011）。利用高频时间序列和期权数据测量和预测资产收益率分布中的不对称性和尾部极值。工作文件。Cont，R.和Tankov，P.（2004年）。具有跳跃过程的金融建模。查普曼和霍尔/华润。Fouque，J-P.和Han，C-H.（2003）。随机波动的亚式期权定价。《反ZF金融》，3353-362。约翰逊·S·G.（2011）。关于基于FFT的微分的注释。肯纳，A.G.Z。和Vorst，A.C.F.（1990年）。基于平均资产价值的期权定价方法。《银行与金融杂志》，14113-129。Kim，B.和Wee，I.（2011）。Heston随机波动模型下几何亚式期权的定价。首先是数量金融。郭浩（2006）。随机积分导论。

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