基于最优鞅的亚式期权模型独立定价

2022-5-7 05:09:58

此类模型的范围很广，过去曾被研究过，在金融行业也被广泛使用，用于计算金融产品的价格并进行风险价值分析。这种方法的一个问题是选择“正确”的模型。用于定价和风险分析的模型的个别选择并非完全武断，但仍基于强有力的假设。这种对过程真实规律的缺乏认识导致了对模型风险的关注，而传统方法通常忽略了这一点，因此无法捕捉到这一点。由于不了解这些信息，我们非常感谢FWF在P26736赠款项下提供的财政支持。这是作者提交的一篇论文的一个版本，部分满足了维也纳大学理学硕士学位的要求。2.FLORIAN Stefall：在真实的过程中，几乎不可能让你的用户了解你提出的模型的偏差范围。解决这个问题的早期方法之一是霍布森[29]。他提出了一种解决这个问题的方法，而不是基于单一模型来确定单一价格，而是通过对过程制定一些（一致的）规律来努力确定可能达到的全部价格范围。在[29]之后，发表了许多资料，讨论了不同类别资产的问题。[29]中讨论了回望期权，[10,11]中讨论了障碍期权，[15,26,27]中讨论了篮子期权，[12,30,24]中也讨论了波动率掉期。这些论文通常利用Skorokhod嵌入问题的各种解决方案，这些解决方案碰巧具有某些有益的性质。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 05:10:02

霍布森[23]的一组课堂讲稿中可以找到该方法的总结。inObloj的调查[36]概述了各种有用的Skor okhod嵌入。在最近的一系列论文中，使用Monge[34]和Kantorovich[31,32]介绍的最优运输问题的最初设计结果，开发了一种获得模型独立价格范围的新方法。Galichon、Henry Labordèreand To uzi[20]、Beiglb"ock、Henry Labordère and Penkner[4]、Acciaio、Beiglb"ock、Penkner and Schachermayer[1]、Bouchard and Nutz[7]以及Dolinsky and Soner[18]对经典对偶结果进行了修改。该方法已被具体应用于[28,25]中的远期启动跨档期权，以及[5,22]中两个固定时间点的股票价格所决定的一般类外期权。本文主要关注后一系列论文的技术在亚洲风格选项中的新应用。亚式期权的定价在传统方法中也是一个难题，只能在一般市场环境下进行数值计算。我们将能够给出某些类型的亚式期权的最大化和最小化定价模型的几何特征，这些模型是不明确和连续的。首先，我们将建立我们的符号，并在下一节中简要介绍模型独立融资的主要问题。之后，我们将讨论亚式期权及其各种形式，并简要概述之前关于其估值的结果。然后，我们将讨论亚洲期权，该期权在一定的时间内监控股票价格，并给出模型的特征，该模型给出了平均值仅为两个值的期权的极值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 05:10:06

最后，我们还将概述这些离散时间结果与亚洲期权的关系，亚洲期权是通过股票价格的连续平均值确定的。亚洲期权的模型独立定价32。模型独立金融的主要问题我们不需要考虑一个框架，在这个框架中我们可以考虑流动交易资产的空间。这只是一个由一组随机变量（代表各种资产的收益）构成的向量空间。该框架的灵感来源于霍布森在[23]中开发的框架，该框架可以被视为在F"ollmer and Schied[19]中介绍的框架的扩展，Cox和Oblój在[13,14]中使用了该框架。更具体地说，我们考虑一个经过过滤的可测量空间(Ohm, F、（Ft）t∈[0，T]）当设置Ohm := C[0，T]。过滤应为最小右连续过滤，以使坐标过程Xt（ω）：=ω（t）与之相适应。我们将坐标过程XT解释为某些基础sset的远期（即贴现）价格。虽然将这个框架扩展到多股票是相当简单的，但我们将省略它，并将我们自己限制为单一股票设置。我们可以把V看作FT可测随机变量空间的线性子空间。（因此，奇异路径选项是V以外的任何可测量随机变量。）根据我们想要使用的市场环境，我们可以假设V包含各种资产。V中一种非常突出和重要的资产类型将是Vanilla看涨期权，带有一些K∈ R（CK:=（XT）-K） +）是许多市场不可或缺的一部分。此外，通常情况下，V包含自我融资交易策略的空间五、定义2.1（自筹资金交易策略）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 05:10:09

I f（Ht）t∈[0，T]是一个适用于F的过程，并且其中的路径是有界变化的，那么我们称之为随机m变量giv en by（H·X）T:=RTHtdXtaself-financing trading strategy。S:={（H·X）T:H ada pted to F}。这只是意味着，我们总是可以使用一些（足够常规的）适应策略来交易基础资产。请注意，我们在这里始终使用远期价格。因此，我们认为无风险利率为0，因此我们可以借钱购买股票，而无需任何利息。在第5节中，我们也将考虑具有有限数量的椎间盘连续性的路径，但将演示它们如何被连续路径近似，从而使上述空间确实足够。这个积分是Lebesgue Stieltjes意义上的积分，因此是路径积分。哪类过程和被积函数允许路径随机积分是随机演算中的一个经常性问题。Bichteler[6]和Karandikar[33]已经讨论过这个问题。最近一篇关于这个问题的著名论文是Nutz[35]。在这篇论文中，我们可以限制自己处理边界（总）变分的e s，这确保了对于一个具有连续路径的过程，由于初等演算的结果，e s积分中存在路径积分。我们将在第5.4节FLORIAN Stebegg中再次需要这一点，现在我们可以并且将定义V上的定价函数P。这些是流动交易资产的价格，因为它们是由市场决定的。由于V中的所有资产都是在市场上流动交易的（或流动交易资产的线性组合），因此它们在特定时间0（当前）将有一个完全确定的价格。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-7 05:10:12

由于市场应该没有套利，我们可以为P假设以下条件：（P1）P（A+λB）=P（A）+λP（B）对于A，B∈ 五、 λ∈ R.（P2）A≤ B=> P（A）≤ P（B）代表A，B∈ 五、（P3）P（A）=0 f或A∈ 美国。条件（P1）（线性）与金融中的“一价定律”有关。类似地，（P2）基本上是“无套利”条件（无风险）。最后一个条件（P3）也自然来自金融市场的基本考虑，因为我们可以在不需要任何初始捐赠的情况下获得自融资交易策略的支付，因此其价格应该为零。在这个框架中，我们现在要解决的问题是，在一个额外的资产上添加一个aprice标签/∈ V是可测量的。我们考虑空间VA:=V+（λA）λ∈我们想把P扩展到函数PA:VA→ 使条件（P1）-（P3）继续保持。显然，这相当于选择pA:=pA（A），这样我们就不会违反单调性。在独立于模型的金融中，我们不仅努力找到一个可能的价格，而且努力找到所有符合这些条件的价格。可能的概率集很容易被看作是凸的，这意味着它是一个区间，所以我们想要找到这个区间的边界。这个问题是一个线性优化问题，但在初始市场资产V和资产a的选择上有很大的不同，我们希望找到其价格范围为e的资产。2.1. 通过次级/超级套期保值来限定价格。避免价格套利的一个必要条件是将价格保持在超复制衍生工具的投资组合的任何价格之下。类似的lowerbound由一个子复制portf olio的价格给出。在上述框架中，我们希望找到Al，Au∈ V suchthat Al≤ A.≤ 欧。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 05:10:15

这就产生了边界P（Al）≤ 帕≤ P（Au）。一般来说，我们会假设我们有一个V的生成系统。然后这个系统代表了给定价格的资产，因为它们实际上是在市场上交易的，V由可能的投资组合组成，即这些资产的线性组合。定义2.2（普通证券）。让{Fι：ι∈ 我} V是一个随机变量族，比如{Fι：ι∈ 一} 这是一个V的生成系统，然后我们可以把这组V称为普通证券。在这个意义上，V的元素是生成系统的有限线性组合。亚洲期权的模型独立定价5定义2.3（半静态投资组合）。我们称之为Vsemi静态文件夹中的元素。如果我们得到一项资产/∈ V半静态组合Al:=Pι∈IclιFι和Au:=Pι∈IcuιFι，只有许多cuι和clι与零不同，因此≤ A.≤ Auholds，则我们称之为A的Ala半静态子种子投资组合和Aua半静态子种子投资组合。备注2.4（套利机会）。如果我们能把帕苏克的话∈ V和A≤ 如果我们有pA>P（Au），那么这将通过做空和做多来立即给出一个错误的可能性。为了避免这种情况，我们需要对allP（Au）取最小值，这样≤ 欧。这就是模型独立金融的优化问题。下限的情况是类似的。备注2.5。请注意，我们几乎没有以一种确定的方式来描述次级和超边缘投资组合的不平等性，因为我们没有规定基础模型。2.2. 按模型限定价格。计算可能价格范围的另一种方法是优化从传统方法获得的价格。一开始描述的确定价格的传统方法是规定一些一致的法律。定义2.6（一致鞅测度）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-7 05:10:19

对于任何普通的安全性Fι，我们有P（Fι）=EQ[Fι]的度量称为一致鞅度量。我们用M（P）表示一致鞅测度集。给定一些一致的martinga-le测度Q，我们就可以计算出额外资产的价格。备注2.7。如前所述，我们希望忽略折扣。因此，我们可以认为无风险利率为零，也可以考虑普通证券和额外（异国）证券的收益，因为它们是按给定的方式贴现的。这在通过套期保值的abo ve估值方法中并不起作用，因为套期保值一直是单调的，因此半静态投资组合是否是超优势不会改变。以这种方式生成的价格会自动根据预期值的属性来填充一致性条件。如上所述，我们可以最大化所有可能的定律Q，以获得a一致价格区间的可能上界。请注意，在任意市场环境V中，现有价格a与之一致（根据价格过程的某些定律，价格是预期值这一事实已经是一个假设），没有任何先验的理由必须存在任何定律Q。同样，也没有先验的理由来解释为什么不能通过引起市场价格的法律来实现对资产的套利价格。如果我们想知道这个优化问题的最优界真的是我们想要找到的区间的最优上界，我们需要证明我们刚刚列出的两个优化的强对偶性。这意味着我们需要检查一下∈M（P）EQ[A]=infA≤Au∈副总裁（非盟）。例如[4]和[20]已经在各种市场环境（V，P）中建立了这种二元性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 05:10:23

请注意，对于任何Q∈ M（P）和Au∈ Vwith A≤ 我们显然有EQ[A]≤ 等式[Au]=P（Au）。因此他们的产品质量上乘∈M（P）等式[A]≤ 英法≤Au∈副总裁（非盟）微不足道。我们将回到第4.2.3节中[4]的对偶结果。市场限制。为了更好地了解我们通常会在M（P）中找到的一组度量，我们想在这里讨论一些常见的限制。引理2.8。考虑上述框架，并考虑可测空间上的一些测度Q(Ohm, F）使得函数P（A）：=V full fill（P1）-（P3）上的等式[A]。然后，坐标过程（Xt）与Q证明有关。从到目前为止的讨论中我们知道，V包含所有的自我融资策略，它们的成本为0（P3）。在这种情况下，考虑一些0≤ T≤ T≤ T和一些任意函数h∈ Cb（R）并观察等式[h（Xt）（Xt- Xt）]=EQZTh（Xt）1t≤T≤tdXt= PZTh（Xt）1t≤T≤tdXt= 0 .现在假设香草的价格需要一些成熟度0<t≤ 忍受一切可能的打击∈ R是已知的。Breeden和Litzenberger[9]观察到，这决定了时间t的边际，即Xt（特定时间t的X a t值，而不是整个过程）相对于Q的分布。这可以通过考虑函数c（K）：=EQ[（Xt）来实现-K） +]=P（Xt- K） +）=R（x- k） +du（x），其中u=LawQ（Xt）。这意味着我们假设市场对到期日为T的欧洲看涨期权的估值符合某些定律Q a，我们知道它以这种方式获得的价格。该函数的第一个导数（在分布意义上）由C′（K）=Eu给出[-1K<Xt]=-(1 - u[Xt≤ K] ）。这使我们能够恢复u的分布函数~ Xt#Q来自通话价格。亚洲期权的模型独立定价73。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 05:10:26

亚洲期权价格的简要概述最后，我们努力为亚洲期权建立（或者更确切地说是描述）清晰的模型独立价格界限。亚洲期权是指在期权开始和到期之间的固定时间范围内，押注于期权的平均价值。通过考虑股票在某个特定时间点的平均价格而非价格，可以获得一种与股票本身相比波动性较小的资产。这通常会使亚洲人的选择比普通的欧式选择更便宜。根据合同的具体形式，这些选项以各种不同的形式出现。主要区别在于平均值的粒度和类型。我们只对连续或离散监测的股票价格AC:=TZTXtdt，Ad:=NNXi=1Xti的经典算术平均值感兴趣。这里是0≤ t<·tN≤ T或者可以考虑对数的几何平均或平均。在这些平均值上，通常的赌注以“曲棍球”功能的形式出现。因此，我们可以将亚洲看跌期权或看涨期权视为（Ac，d）- K） +和（K）- 分别为Ac，d）+。如果我们可以在一系列不同的交易中进行交易，我们就有可能合成平均值的ar-bitra r y凸函数，因此一个一般的亚式期权对一些凸函数φ具有支付φ（Ac，d）。亚式期权的定价是一个特别有趣的研究课题，因为如果我们使用标准的Black-Scholes模型，价格甚至没有一个封闭形式的解决方案。例如，参见Boyle和Potachik[8]的surveyarticle，了解普利辛加斯期权的传统方法。各种类型的亚式期权的模型独立界限也一直是一个活跃的讨论话题。Dhaene等人[17]的一篇文章是关于这个主题的早期工作。最近，Albrecher等人[2]提出了一个与模型无关的下限。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 05:10:29

Deelstra等人在[16]中讨论了在某些强市场条件下的改进。我们可以很容易地遵循他们的方法，在我们的框架中找到一个下限，通过利用凸函数的Jensen不等式来展示价格过程的任何联合规律，在第5节中，我们将实际演示亚洲期权如何在包含具有相同到期日的欧洲期权和自融资交易策略的投资组合中超边缘化。8弗洛里安人认为：E“φNNXi=1Xti！#=E“E”φNNXi=1Xti！英尺##≥ E“φNNXi=1E[Xti | Ft]！#=E[φ（Xt）]。因此，我们通过到期日为t的欧洲期权的价格找到了亚洲期权价格的下限，这是平均值的第一个样本点（前提是我们知道这个价格，这是在[16]中假设的）在[2]或[16]中，这些界限并不是很明显。这意味着我们只知道infQ∈M（P）等式[A]≥ E[B]其中A是亚式期权，B是到期日为t的欧式期权。如果我们只知道t时的边际值，可以证明边界是尖锐的。这可以通过与我们在第5节中使用的方法类似的方式实现，但我们在这里不再进一步讨论。在[16]中，假设到期日为t，它们以众所周知的价格交易。在这种情况下，下面这个简单的例子说明，通常情况下，边界并不尖锐。例3.1。考虑具有边际u：=δ、ut:=δ和ut:=（δ+δ）的远期价格，以及具有离散平均（Pi=1Xti）的亚洲期权- 1)+. 通过这种方法得到的价格下限显然是0，而通过选择一致鞅测度得到的唯一可能的真正远期价格是0。4.离散时间选项的界限我们现在将在我们的设置中尝试改进这个界限，找到实际的模型Q，从而最小化上述函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-7 05:10:32

最后，我们不得不把自己限制在一个亚式期权上，它是在两个时间点0<t<t的股票价格的平均值上写的。所以我们想给出一个有支付φ的衍生工具的价格Xt+Xt其中φ是凸函数。我们希望这个价格在上述给定的意义上是最优的，只使用关于普通期权的买入价格的信息，其纯度与Xt和Xt定律相当。我们需要考虑的数学对象将在以下定义4.1中给出。考虑两个度量单位u和ν。这些测度s的鞅耦合集或马尔代尔传输集是给定亚式期权的模型独立定价9byM（u，ν）：={ρ∈ P（R）：projx#ρ=u，projy#ρ=ν，ρ是鞅测度}。其中P（R）表示R上的概率测度。对于最大和最小成本，通过沿鞅将u转移到ν来实现，我们设置¨D:=supπ∈M（u，ν）Z | x+y | dπ（x，y）；\'D:=infπ∈M（u，ν）Z | x+y | dπ（x，y）。利用这一定义，我们现在将制定以下定理来描述优化模型。定理4.2。按凸顺序考虑两个度量u和ν，使得u是连续的，并且支持（u） R+。此外，我们还需要| y | dν<∞.我们可以找到π，π∈ M（u，ν），使得‘D=Z | x+y | D |π（x，y）’D=Z | x+y | D |π（x，y）成立。此外，可以选择π，使其集中在两个实孔l可测函数的图上+→ R+和“Tl:R”+→ R.“TUI”不增加。类似地，可以选择π，使其集中在两个实函数Tu:R的g图上+→ R+和“Tl:R”+→ R和第二对角线-Id.“TU为非递减。推论4.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 05:10:35

如果我们有一个如上所述的设置，其中u的支持度不限于R的正半部分，那么m（u，ν）中存在最大化和最小化鞅测度，其支持度分别为以下形式：o在R的右半平面上，优化器的支持度如定理4所述。2.在左半平面上，支架的形式如图4.2所述，绕平面中心旋转180°o.在我们开始解释这个定理的重要性之前，我们想指出一些关于它的重要细节。人们可能会注意到，我们在这里把自己局限于一个单一的支付函数，即绝对值，而不是所有可能的凸函数。虽然覆盖任意凸函数可能是有利的，但在这一点上，这似乎有点太难了。a B绝对10 FLORIAN STEBEGGxy+xy→XY图1。带有纯正和负u以及它们的混合值的最小化运输计划的集中集确实涵盖了用于期权的最重要的凸函数类型，即“曲棍球棒”函数下注。注意我们有x+y- K+=十、-K+y-K+=十、-K+y-K+所以，当r（x+y）/2+kdπ（x，y）的值在所有度量π上都是常数∈ M（u，ν），它等价于将r |x+|y | d |π（|x，| y）的to t al值在|π上最大化的原始问题∈ 其中，我们分别设置|u：=（2x+K）#u和|ν：=（2x+K）#ν。这种转变使得有必要在所有R中支持度量u和ν，即使人们只对理论的财务应用感兴趣，其中u和ν通常只在R+上支持。这个优化问题的优化者（最大化者或最小化者）不是唯一的。通过考虑度量u和ν，可以很容易地看出这一点，即supp（u），supp（ν） R+。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 05:10:38

在这种情况下，任何度量单位inM（u，ν）将导致相同的值，因此同时是最大值和最小值。当然，在不限于正半轴的测量中，这个问题仍然存在。进一步注意，这个定理属于最优鞅运输理论，它是具有附加（线性）约束的最优运输，即运输是鞅测度。在这个理论中，我们称之为支付函数的函数（这里c（x，y）=| x+y |）通常被称为成本函数。我们将在两步鞅测度的上下文中使用这些术语。我们将把这个定理的解释推迟到以后，首先对所描述的设置和之前的结果进行进一步的专门化，这些结果可用于获得上述类型的选择的结论。首先，我们考虑一类仅依赖于路径的有限个值的路径依赖选项。因此，我们考虑Φ（（Xt）t形式的亚式期权的支付模型独立定价∈[0，T]）：=带0的Φ（Xt，…，Xtn）≤ t<·tn≤ T（显然，这种类型是一种分散监控的选择）。在不丧失一般性的情况下，我们甚至可以设置ti:=iand和T=n，稍后我们将对此进行澄清。当（Xt）是关于某个测度Q的鞅不连续时间，那么X，Xnis显然是一个关于Q的离散时间鞅。我们进一步假设Xiare的边缘定律如前所述给出。此外，如果我们定义一个离散时间鞅Y，Yn，我们可以通过设置xt:=yifori来构造一个具有正确边缘的mart ingale- 1<t≤ i、所以，如果我们最大化上述整体离散时间鞅，我们得到的结果与最大化整体连续时间鞅的结果相同。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-7 05:10:42

我们现在需要这个最大化指标给我们这个支付的最优鲁棒界。这是前面提到的关于强对偶性的结果，如[4]所示。我们将在下面的小节中详细讨论。4.1. 离散时间的强对偶性。由一致律得到的带支付Φ（X，…，Xn）的导数的价格的最小上界是该期权的超级套期保值的最小价格。为此，我们需要考虑可行边集。在第2节所述的框架中，我们让空间V被自我融资交易策略和欧洲看涨期权（即带支付的衍生品）所包围（Xi）- K） +对于某些i=1，这意味着半静态投资组合的形式是h（φi）i，（hj）j:=nXi=1φi（xi）+n-1Xj=1hj（x，…，xj）（xj+1）- xj）带φi∈ L（ui）凸，和hj:Rj→ R有界可测。式中，ui是Xi的概率定律，由条件Eui[（Xi）通过价格函数P唯一确定-K） +]=P（Xi-K） +代表K∈ R如前所述。为了将来使用，我们定义了定义4.4（超边缘策略）。给予一些回报Φ：Rn→ 我们称h（Φ）：={（（φi）i=1，…，n，（hj）j=1，…，n-1）：Φ（x，…，xn）≤ H（φi）i，（hj）j}可行的超边缘策略集。n y H（φi）i，（hj）jis的价格由p（Hφi，hj）=nXi=1P（φi（Xi））+n给出-1Xj=1P（hj·（Xj+1- Xj））=nXi=1P（φi（Xi））12 FLORIAN Step，其中我们使用了第2节中的条件（P1）-（P3）。然后，最佳robustbound形式上由‘P:=inf（nXi=1Eui[φi]：（hj）j=1，。。。，N-1s。t、 H（φi）i，（hj）j∈ H（Φ））。上述问题有一个不方便的缺点，即边缘的设置不紧凑，因此不总是最小值，如[4]所示。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-7 05:10:45

这可以通过考虑对偶问题来避免。我们已经从第2节知道，任何一致性定律Q都必须是这样的，即过程Xi是鞅，即EQ[Xi | X，…，Xi-1] =Xi-1对于2≤ 我≤ n、此外，XI和r的分布必须在上面描述。显然，这个问题只关心（X，…，Xn）的分布，所以我们将研究度量，而不是原始（摘要）Ohm. 设M（u，…，un）表示Rn上具有边际ui且为边际定律的度量集。M（u，…，un）不是空的当且仅当边缘ui为凸序时。Strassenin[37]已经观察到了这一结果。[5]中也概述了这一事实的证据。现在我们可以考虑对偶优化问题D:=sup{EQ[Φ（X，…，Xn）]：Q∈ M（u，…，un）}。对于任何H（φi）i，（hj）j∈ H（Φ）和Q∈ 由于Q的鞅性质和P（φi（Xi））=Eui[φi（Xi）]=EQ[H（φi）i，（hj）j]，我们显然有P（H（φi）i，（hj）j）=Pni=1Eui[φi（Xi）]=EQ[φi（Xi）]。此外，等式[H（φi）i，（hj）j]≥ 等式[Φ]。由于期望值的单调性而成立。这表明≥“D总是成立的（如果对偶问题不可行，它甚至可以成立很小的问题）。如前所述，强对偶性已在[4]中得到证明，并总结在以下定理中：定理4.5。假设，unare Borel概率测度R，使得M（u，…，un）i为非空。让我们来看看→ (-∞, ∞]是一个较低的连续函数，使得Φ（x，…，xn）≤ Rn上的K·（1+| x |+···+| xn |）对于某些常数K，则不存在对偶间隙，即“P=”D。此外，对偶值“D”得到，i。e、存在一个鞅测度Q∈ M（u，…，un），使得¨D=EQ[Φ]。最后一个断言是由于M（u，…，un）的弱紧性。双重优化程序的几何描述。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-7 05:10:48

上一节的对偶问题类似于[38]和[39]中广泛涉及的RNA经典最优运输问题的结果。最优运输的一个非常常见的特点是，最优运输计划通常集中在集合上，集合是几何模型独立的亚式期权定价。这些结果中最著名的是Brenier定理，它描述了二次成本函数的最优运输计划几何。它声称这些运输计划被称为单调运输计划。这意味着它们由Rn上的凸函数的梯度给出。对于一维测度，我们将从现在开始考虑martinga-le的情况，这相当于说，Trans-nspor t计划集中在一个非递减函数的图上。这启发我们去寻找最优集市-集市耦合（即运输计划）的几何特性。由于问题的相似性，我们将M（u，ν）（u和ν按凸顺序排列）的元素称为上述marting-ale运输计划中定义的元素。对于仅依赖于两个时间点Φ（（Xt）t的选项，许多作者都考虑过这个问题∈[0,2]：=c（X，X）。Hobson a和Neuberger[28]以及Hobson和Klimek[24]描述了forwar d起始跨骑c（x，y）的优化几何结构：=|x- y |。Beiglb"ock和Juillet[5]以及Henry Labordère和Touzi[22]分别考虑了支付形式为c（x，y）且cxyy>0和cxyy<0的期权的最大值和最小值。鞅运输计划不能像在非鞅问题中那样集中在一个图上，除非两个测度一致，在这种情况下，相同的运输是唯一可行的鞅运输计划。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 05:10:51

在前面考虑的情形中，它们通常集中在两个或三个图上，这似乎是鞅情形中的自然类比。在经典最优运输问题中，推导二维最优运输计划几何结构的一个广泛使用的工具是循环单调性的概念，我们在此不再讨论这个概念。在[5]中，有一个类似的notio n，可用于制定最优鞅运输计划。它被称为变量引理。引理4.6（变分引理）。设u和ν为凸阶概率测度，c:R→ R一个相对可测量的成本函数，其hsaties c（x，y）≥ a（x）+b（y）对于可积函数a和b（分别相对于u和ν）。假设π∈ M（u，ν）是一个模拟martinga l e运输计划的变量，它会导致有限的cos ts。然后存在一个π（Γ）=1的Borel集，如下所示：如果α是对rW的一个度量，具有有限的支持，那么 Γ然后我们得到了rc dα≤Rc dα′对于每个度量α′，使得（i）α′的边缘值为α，并且（ii）Ry dαx（y）=Ry dα′x（y）对于（projx#α）-a.e.xwhere（αx）x∈RDE注意到α相对于projx#α的不整合。实际上，我们需要定理4.2的证明，这个引理的一个推广，我们将在下面阐述。接下来是[5]中给出的引理4.6的一个14 FLORIAN证明。它也直接来自于[3]中的结果。引理4.7。设u和ν为凸阶概率测度和c，c′：R→ Borel可测量的成本函数，使c满足引理4.6中的条件，d c’满足c’（x，y）的分析条件≤ 可积函数f和g的f（x）+g（y）。假设π∈ M（u，ν）是一个最小化鞅运输计划，在所有rc′dπ>-∞ 持有。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-7 05:10:55

然后存在一个π（Γ）=1的BorelsetΓ（π的单调性集），这样下面的结果是：如果α是rW上的一个测度，并且有有限的支撑，那么 Γnwe haveRc dα≤Rc dα′和Rc dα=Rc dα′意味着Rc′dα≥对于引理4.6中的每个度量α′，Rc′dα′。指导原则是，如果运输计划不是最优的，可以通过重新安排质量来改进。条件c和c′确保目标值是确定的。除了重要引理4.6之外，我们还需要另一个辅助引理，它也是从[5]中得到的。引理4.8。设k为正整数，Γ R.假设有无数的∈ R满足|Γa |≥ 其中Γa:={b:（a，b）∈ Γ}.存在a和b<bk∈ Γ测量每一个ε>0，就可能发现a′>a和b′<·b′k∈ Γa′与max（|a- a′|，|b- b′||bk- b′k |）<ε。此外，还可能发现a′<a和b′<b′k∈ Γa′与max（|a- a′′|，|b- b′′||bk- b′\'k|）<ε4.3。尽量减少交通布局。我们现在配备了最终证明定理4.2中提出的优化结构所需的工具。由于其复杂性，我们将项目分成两部分。我们将首先证明最小值的结构，并在下一小节中使用最大值。证明的总体思路受到成本函数| x的优化结构证明的启发- y |如[5]所述。这个代价函数的选择是唯一的，尽管这不是增加证明复杂性的例子。为了避免非均匀性，我们提出了一个二次优化问题。在成本函数c（x，y）的所有最小化运输计划中：=|x+y |我们正在寻找使rc（x，y）ydπ（x，y）的值最大化的运输计划。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 05:10:58

利用这个二次优化问题，我们精确地得到了定理4.2的建议形式。亚式期权的模型独立定价15请注意，定理4.2中所述的第三个矩是有限的条件对应于引理4.7中关于c和c′的条件。检查0是很简单的≤ |x+y|≤ |x |+| y |以及0≤ |x+y | y≤ |x | y+| y|≤ |x |+2 | y |保持。使用该u还具有有限的第三个时刻，因为u ν、我们确信所有的成本都是有限的。我们将把部分proo f外包给一个引理和两个easycorolary。引理4.9。Le tπ是一个极小的m-artingale输运规划，它是给定凸阶边际分布u和ν的二次优化问题的最大化者，并设Γ为引理4.7给出的单调集。让我来-< y<y+和一些λ∈ [0,1]这样的y=（1）- λ） y-+ λy+保持不变。考虑函数sf（t）=（1- λ） | t+y-| + λ| t+y+|- |t+y |和g（t）=（1）- λ） | t+y-|（y）-)+ λ| t+y+|（y+）- |t+y | y.（i）没有x，x′，因此（x，y）-), （x，y+，（x′，y）∈ Γ和f（x）>f（x′）。（ii）没有x，x′，因此（x，y-), （x，y+，（x′，y）∈ Γ和f（x）=f（x′），其中g（x）<g（x′。证据显然，从f（x）>f（x′）可以得出（1）-λ） | x+y-|+λ| x+y++| x′+y |>（1）-λ） |x′+y-|+λ|x′+y++x+y |。如果我们考虑有限测度α：=λδ（x，y-)+(1-λ） δ（x，y+）+δ（x′，y），然后α′：=λδ（x′，y）-)+ ( 1 - λ） δ（x′，y+）+δ（x，y）是α的竞争对手，例如Rc dα>Rc dα′。因此我们与引理4.6相矛盾。同样的论点适用于第二部分，使用f和g。推论4.10。考虑边值u的单调集Γ的一些极小（和二次极大）鞅输运π带SUP的ν（u） R+和（x，y+）（x，y-), （x′，y′）∈ Γ以至于-<-x<y+和y-< y′<y+。那就不可能是(i)-x<y′和x<x′或（ii）y′<-x和x′<x证明。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-7 05:11:01

我们从上面的引理中画出函数f的范例图，这表明在这些情况下，它认为f（x）>f（x′，而结果是由上述引理4.9:x得出的-十、-Y-Y--y+y+x′-y\'y\'16 FLORIAN STEBEGGx-十、-Y-Y--y+y+x′-y\'y\'推论4.11。考虑边值u的单调集Γ的一些极小（和二次极大）鞅输运π带SUP的ν（u） R+。设（x，y+）（x，y-), （x′，y′）∈ Γ-x′<-十、≤ Y-< y+。那就不可能是这样了-< y′<y+。证据我们再次从上述引理4.9中为函数f和gf绘制范例图。可以清楚地看到，f（x）=f（x′）和g（x′）>g（x），从中可以得到推论。x′-x′-Y-Y--y+y+x-十、-y\'y\'x\'-x′-Y-Y--y+y+x-十、-y\'y\'定理4.2（极小部分）的证明。设¨π为使二次成本函数最大化的最小鞅输运。设Γ为引理4.7中定义的单调集。我们首先表明，分布在x右边的每个点x的质量集中在递增函数图上。这意味着Γ∩ {（x，y）：x≤ y} 图（图）∪ A×R，可数。考虑元素（x，y+）（x，y-), （x′，y′）∈ Γy在哪里-< x<y+和x<x′≤ y′。假设y-< y′<y+。如果-< -x根据推论4.10第（i）部分，我们处于无法发生的幻觉中。如果我们有-≥ -Coro lla ry 4.11告诉我们，我们所处的情况是不可能的。这表明质量集中的集合必须增加。现在假设质量集中在多个图形上。然后我们可以通过引理4.8x<x′和x<y-< y′<y+和x′<y′（和（x，y+）（x，y-), （x′，y′）∈ Γ）这将与该集合的单调性性质相矛盾，因此得出第一个陈述的证明结论。亚式期权17x的模型独立定价-xy-y+yy′x′x-xy-y+yy′x′x-十、-x′y-y+yy′x′图2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 05:11:04

这三种情况会影响运输计划左侧的拟议结构f。现在我们考虑集合ΓΓ=Γ\\ 具有 = {（x，-x）：x∈ R} 。引理4.7中所述的Γ的性质当然是由Γ继承的，因此上述推论继续成立。假设我们有不可数的多个点x，这样|Γx |≥ 3.这个集合将有一个n a累积点（引理4.8）x，这样我们就有了y-< （x，y）的y<x<y+-), （x，y），（x，y+）∈~Γ. 我们必须考虑三种情况：oy-< y<-x：在这种情况下，我们可以找到x′<x和y-< y′<-x带（x′，y′）∈Γ引理4.8。根据推论4.10（ii），这是不可能的Y-< -x<y：引理4.8的另一个应用给出了x<x′和-x<y′<y+带（x′，y′）∈~Γ. 这与Corrollary 4.10（i）相矛盾-x<y-< y：同样通过引理4.8，我们用（x′，y′）找到x′<x和y′∈Γ-x′<y-还有y-< y′<y+。这个方案的不可行性可以从Collary 4.11的应用程序中看出。这表明，分布在左侧且未映射到次对角线的质量集中在图形上。有关结构的知识可用于制定不同的方程式，以计算Tuan和Tl。只有当边际测度的密度在分析上可处理时，这才有可能。因此，只有在某些特殊情况下才会有明确的解决方案。如图3所示18 FLORIAN Stebeggxy。对u=1[0,1]#λ和ν的|x+y |极大和极小鞅输运的支持=[-2,0]∪[1,3]#λ在（x，y）-平面上。目的：我们在图3.4.4中给出了用于非常简单的边缘测量的Tuan和Td图。最大化交通布局。最大化运输布局结构的证明与最小化运输布局的证明非常相似。我们需要一个二次优化问题来消除解的不均匀性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 05:11:07

这一次，我们在成本函数c（x，y）的所有最大化器中寻找：=|x+y |最小值为rc（x，y）ydπ（x，y）。我们还有一个引理，我们将在两个推论中使用它来计算一般星座中的bta，这在最优运输计划中是不可能的。我们将省略推论的证明，因为它们的工作方式与最小化情形完全相同。注意，|x+y |的最大值就是-|x+y |所以我们可以继续以自然的方式使用引理4.7，尽管我们现在有一个最大化问题，一个二次最小化问题，而不是相反的方式。引理4.12。Le tπ是一个最大化鞅输运规划，它将gi ven边际分布u和ν的二次优化问题简化为凸序，并将Γ设为引理4.7给出的主要优化集。让我来-< y<y+∈ supp（ν）和someλ∈ [0，1]使得y=（1- λ） y-+ λy+保持不变。考虑函数sf（t）=（1- λ） | t+y-| + λ| t+y+|- |t+y |和g（t）=（1）- λ） | t+y-|（y）-)+ λ| t+y+|（y+）- |t+y | y.（i）不存在x，x′，因此（x，y）-), （x，y+，（x′，y）∈ Γ和f（x）<f（x′）。亚式期权的模型独立定价19（ii）不存在x，x′，因此（x，y-), （x，y+，（x′，y）∈ Γand f（x）=f（x′），其中g（x）>g（x′。证据显然，从f（x）<f（x′）可以得出（1）-λ） | x+y-|+λ| x+y++| x′+y |<（1）-λ） |x′+y-|+λ|x′+y++x+y |。因此，如果我们再次像引理4.9的证明那样构造α和α′，那么在这种情况下，我们有Rc dα<Rc dα′，因此与引理4.7相矛盾，同样的论点适用于第二部分，使用f和G。推论4.13。考虑一些最大鞅传输π，它最小化了边缘u的二次优化问题带SUP的ν（u） R+和单调性seΓ。设（x，y+）（x，y-),（x′，y′）∈ Γ以至于-< -x′<y+和y-< y′<y+。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 05:11:10

那么它就不能是（i）y′≤ -x′和x<x′或（ii）-x′≤ y′和x′<x证明。类似于最小化鞅输运的情况。推论4.14。考虑边缘u的一些最大化（和二次最小化）鞅输运π 带SUP的ν（u） R+。设Γ为其单调集。设（x，y+）（x，y-), （x′，y′）∈ Γ带x′<x和-十、≤ Y-. 那就不可能是这样了-< y′<y+。证据同样，这个证明与最小化输运的情况完全相似。定理4.2（极大值部分）的证明。与最小化器类似，我们首先表明，分布到r ig htof x的每个点x的质量集中在递减函数Tu的图上（与最小化部分的证明中给出的相同意义）。考虑元素（x，y+）（x，y-), （x′，y′）∈ Γy在哪里-< 十、≤ y+和x′<x和x′≤ y′。假设y-< y′<y+。如果-< -x根据Coro lla r y 4.13第（ii）部分，我们处于无法发生的情况下。如果我们有-≥ -Coro lla ry 4.14告诉我们，我们所处的情况是不可能的。这表明集合Γ∩ {（x，y）：y>x}是单调递减的。即对于x<x′和y∈ Γx∩ {z:z>x}，y′∈ Γx′∩ {z:z>x\'}我们有y\'\'≤ y、它集中在一个单图形上，然后以与极小值相同的方式出现。假设现在，我们有无数个点，它们由π分布到两个以上的点（即|Γx |≥ 3). 这个集合将有一个累积点x，这样我们就有了y-< （x，y）的y<x<y+-), （x，y），（x，y+）∈ Γ. 我们必须考虑同样的三种情况，即具有略微不同的参数的最小值，以及一种额外的情况，因为我们不能像对待最小值那样排除第二对角线：20 FLORIAN STEBEGGx-xy-y+yy′x′x-xy-y+yy′x′-x′x-十、-x′y-y+yy′x′x-十、-x′y-y+‘yy’x’图4。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 05:11:12

这四种情况与交通计划左半部分的拟议结构相反oy-< y<-x：在这种情况下，我们可以找到x<x′和y-< y′<-x带（x′，y′）∈ 引理4.8。根据推论4.13（i），这是不可能的Y-< -x<y：引理4.8的另一个应用给出了usx′<x和-x<-x′<y′<y+带（x′，y′）∈ Γ. 这是对推论4.13（ii）的反驳-十、≤ Y-< y：同样通过引理4.8，我们用（x′，y′）找到x′<x和y′∈ Γ-十、≤ Y-< y′<y+。对于-x′≤ Y-通过应用循环4.14，我们可以看出这个方案是不可能的；为了你-< -我们通过推论4.13（ii）得到期望的矛盾Y-< y=-x：在这里我们发现（x′，y），（x′，y′）∈ Γ与x′<x，x′<x<y+</y以及y-< y′。现在，如果y′<-x′保持不变，元素（x′，\'y），（x′，y′）和（x，y+）与第4.13（i）条相反。如果，而不是y′≥ -如果x′成立，同样的元素与推论4.14相矛盾。所以我们确实证明了质量集中在两个图上。亚洲期权的模型独立定价备注214.15。很简单的一点是，如果图小于次对角线，那么它就会减小；如果图大于次对角线，那么图就会减小。5.关于连续时间案例的注释5。1.一个边缘案例。现在，我们将讨论n资产具有连续平均的远期价格的anAsian期权的情况。给定一个进程（Xt）0≤T≤T（具有连续路径）在某个时间间隔[0，T]上，我们考虑带Φ（（Xt）0）的选项≤T≤T）：=φTZTXtdt式中φ：R→ R是凸下半连续f函数。我们再次寻求Φ的可能价格的最优上界和下界。我们通过提供第2节中概述的原始问题和对偶问题的候选人，并检查他们是否同意，来做到这一点。Sowe提供了一致鞅测度给出的价格，以及相同价格的超级对冲。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-7 05:11:15

然而，最大化和最小化模型不会有连续的路径，而是有很多确定的时间点，在这些时间点上，路径要么是左连续的，要么是右连续的。因此，我们将首先证明一个引理，表明我们可以用连续模型的值来近似这种模型得到的值。为了简单起见，我们将假设一个只有单跳的模型。更具体地说，我们将展示以下引理。引理5.1。考虑两个随机变量（X，Y）和一个概率律Q，使得（X，Y）是关于Q的两步鞅。设φ：R→ R是一个低s emi的连续凸函数。然后我们可以找到一个序列（Ynt）t∈[0，T]上具有连续路径的连续时间鞅的[0，T]，使得limn→∞呃φTRTYntdti=EφtTX+T-tTY.如果我们有一个进程（Xt），在tin处有一个跳跃，我们将Xt=X设为0≤ t<tand Xt=Y表示t≤ T≤ 那么它得到的值显然是序列Yn的极限值。我们可以得到一个类似的结果，一个左连续跳远以及许多跳。对于证明，我们需要另一个引理，我们假设它是众所周知的，但由于我们无法在文献中找到它，我们仍将在这里提供一个证明。引理5.2。设ν，u，u，u。应采用适当的测量方法，以确保u，u，u，·· ν和unco弱地接近u。假设ν是可积函数，对于某些凸函数φ：R→ 我们有φdν<∞.然后limn→∞Rφdun=Rφdu保持不变。22弗洛里安·斯蒂夫。首先我们假设φ≥ 0.现在定义辅助函数φm，ψm:R→ R乘以φm:=（φ- m） +和ψm:=φ- φm.观察到φmis对所有m都是明显凸的。此外，我们还发现ψmis被m误导，并且ψmis是一个单调递增序列，它在点方向上收敛到φ。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-7 05:11:18

因此，通过凸阶和monoto neconvergence，我们可以选择足够大的m，使得对于固定ε>0，我们有（0≤)Zφmdu≤Zφmdν=Zφ- ψmdν<ε。类似地，我们有φmdun<ε。现在，因为ψ有界，我们有弱收敛→∞Zψmdun（x）=Zψmdu。这意味着我们可以选择足够大的n，使得| Rψmd（u-un）|<ε综合起来，我们可以得出结论Zφd（u- un）≤Zφmdu+Zφmdun+Zψmd（u）- un）< 3ε.对于一般凸φ，我们可以找到一个函数g（x）：=ax+b，例如ψ：=φ+g≥ 0.Asψ明显凸且满足φdν<∞, 我们有limn→∞Rψdun=Rψdu。此外，对于所有n，我们有Rg du=Rg du，因为通过定义凸序，u和u的平均值与ν相同。由此我们可以得出结论，limn→∞Rφdun=Rφdu保持不变。引理5.1的证明。定义流程（Ynt）∈[0，T]通过为0设置Ynt=xf≤ T≤ T- 对于n/Y=1≤ T≤ T对于t- 1/n<t<t我们可以在X和Y之间对b进行插值，使得过程是连续鞅。有各种各样的结构，例如参见[21]。现在我们可以很容易地计算出这个过程ZTYntdt-tTX-T- tTY=TEZtt-1/nXt- X dt≤TZtt-1/nE[|Xt |]+E[|X |]dt≤新界北→∞→ 所以我们在L中有收敛性，这意味着Tyntdt定律弱收敛于Tx+T定律-tTY。我们还有RTYNTDT，tTX+T-tTY Y和E[φ（Y）]<∞. 通过引理5.2我们得到了期望的结果。在第一步中，我们假设我们可以用来确定该期权价格的信息是带有任意删除和到期日的普通期权。Breeden和Litzenberger[9]指出，这意味着我们对亚洲期权的独立定价模型23了解XT的分布。我们进一步假设x的定律由δE[XT]给出。通过这一观察，我们可以很容易地确定Φ可能价格的上限和下限。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 05:11:21

不管怎么说我们都看到了φZTXtdtT≤ EZTφ（Xt）dtT≤中兴通讯[φ（XT）]dtT=E[φ（XT）]，EφZTXtdtT≥ φ中兴[Xt]dtT= φ（X）。这些界限由联合定律f或过程假设，使得xt=xt0表示0<t≤ T和Xt=xf或0≤ 分别为t<t。这意味着我们要么从一开始跳到XT定律，然后保持不变，要么一直保持不变，直到最后，然后跳到终值的分布。这意味着，任何稳健的超边缘的成本都不能低于E[φ（XT）]。然后，通过引理5.1的近似得出，对于具有连续路径的过程，这确实是一个严格的界。在这种情况下，我们还可以设计最佳路径次边和超边策略。由于不投资该资产，次级优势本质上是微不足道的。可通过以下计算得出超边界。为了简单起见，我们假设φ是可微的。不，因为φ的凸性，几乎在任何地方都是这样，在剩余点s上，我们这里使用的导数可以用任意元素f r代替，f r是φ的次微分ZTXtdtT≤ZTφ（Xt）dtT=φ（Xt）-ZT（φ（XT）- φ（Xt））dtT≤ φ（XT）-ZTφ′（Xt）（Xt）- Xt）dtT=φ（Xt）-zttφ′（Xt）dXsdtT=φ（Xt）-ZTTZtφ′（Xs）dsdXt。这种超级对冲的价格显然是E[φ（XT）]（=P（φ（XT）），这使得它是最优的。第一个术语可以用普通调用和put的对开本复制。第二项给出了资产的交易策略，因此这实际上是一种成本最低的辅助对冲。请再次注意，上述计算应理解为一种横向推导。这意味着关于x的积分不是It^o积分，而是关于x的p的正则勒贝格-斯蒂尔杰积分。这些定义是因为被积函数是有界的总变差（φ′（Xt）是常数，24 FLORIAN STEBEGGRtφ′（Xs）ds是绝对连续的）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝