随机分析过滤理论研讨会

2022-5-6 07:34:23

悉尼大学数学与统计学院过滤随机分析研讨会作者：安德鲁Papanicolaoualpapani@maths.usyd.edu.auThese笔记最初是为2011年2月普林斯顿大学运筹学和金融工程系的随机分析研讨会撰写的。研讨会由研究培训小组的成员参加并提供支持，作者部分获得了NSF grantDMS-0739195的支持。内容1隐马尔可夫模型41.1基本非线性滤波。52过滤和VIX 92.1随机波动率。92.2波动率。102.2.1波动率公式。113赫斯顿模型143.1的随机波动率过滤器。153.2提取风险溢价。183.3快速时间尺度下的平均波动率过滤。194 Zakai方程214.1贝叶斯视角下的离散动机。224.2 Zakai方程的推导。254.2.1伴随Zakai方程。274.2.2库什纳-斯特拉托诺维奇方程。284.2.3平滑。285创新方法305.1创新布朗运动。305.2非线性滤波器。325.2.1相关噪声滤波。

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2022-5-6 07:34:27

. . . . . . . . . . . . . 345.2.2卡尔曼-布西滤波器。356逼近非线性滤波器的数值方法376.1逼近非线性滤波器的定理。386.1.1弱收敛。386.1.2一致性定理。406.2马尔可夫链近似。426.2.1连续时间马尔可夫链滤波器的近似值。426.2.2 SDEs系统的滤波器近似值。446.2.3离散时间观测。447线性滤波467.1通用线性滤波器。467.1.1簧片/匹配滤波器。477.1.2傅里叶变换和带宽滤波器。487.1.3小波滤波器。517.2线性高斯模型。557.2.1维纳滤波器。557.2.2卡尔曼滤波器。588 Baum-Welch&Viterbi算法638.1滤波、平滑和预测方程。638.1.1过滤。648.1.2平滑。658.1.3预测。668.2学习参数的Baum-Welch算法。678.2.1参数转移概率的模型重新估计。

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2022-5-6 07:34:30

698.2.2有限状态马尔可夫链的模型重新估计。698.3维特比算法。709颗粒过滤器729.1颗粒过滤器。729.1.1顺序重要性抽样（SIS）。739.1.2抽样重要性重抽样（SIR）。749.2示例。769.2.1 Heston型颗粒过滤器。779.2.2 Rao Blackwellization。7810有限状态滤波器的稳定性、李雅普诺夫指数和遍历理论8110.1主要思想及其历史。8110.1.1反例。8410.2马尔可夫链模型的稳定性。8610.2.1 Perron Frobenius和Oseledec定理。8710.2.2滤波器的李雅普诺夫指数。8910.2.3证据√d | sin（a，b）|≤ 灵魂- bk≤√d | sin（a，b）|。91第1章隐马尔可夫模型我们首先介绍隐马尔可夫模型（HMM）的概念。让我们∈ [0, ∞)表示时间，考虑一个马尔可夫过程Xt，它在状态空间S中取值。假设Xt的分布函数有质量或密度，我们用pt（x）表示质量/密度，这样pt（x）=ddxP（Xt≤ x）对于任意密度，x=x≥ 0和十、∈ S.XT的生成元是域为B（Q）的算子Q，对于任何有界函数g（x）∈ B（Q）我们有一个反向方程，E[g（Xt+t） |Xt=x]- g（x）T→ Qg（x）ast&0表示任何x∈ s

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2022-5-6 07:34:33

只要满足正则性条件，伴随就得到了正演方程，ddtpt（x）=Q*pt（x）。例1.0.1。如果S={x，…，xm}（有限空间）和算子Q是跳跃强度矩阵，那么Qji≥ 0表示所有i 6=j和pi6=jQji=-QJJJ适用于所有人∈ {1，…，m}。正演方程为DDTPT（xi）=mXj=1pt（xj）Qji。例1.0.2。如果S=R，Xt是一个It^o过程，比如DXT=a（Xt）dt+σdBt，那么Q=L=σx·+a（x）x是发电机。对于任何有界函数g，后向方程为thenddtEg（Xt）=ELg（Xt）=σEg（Xt）+Ea（Xt）g（Xt）∈ C（R）。假设a（x）和初始分布满足某些正则性条件，则伴随函数也给出了一个正方程tpt（x）=L*pt（x）=σxpt（x）- a（x）xpt（x）- 任意x的a（x）pt（x）∈ R.除了Xt，还有另一个过程是Xt的噪声函数。过程可以由SDEdYt=h（t，Xt）dt+γ（t，Xt）dwt给出，其中wt是一个独立的维纳过程，或者可以离散地给出，Ytk=h（tk，Xtk）+γ（Wtk）- Wtk-1）其中（tk）kis是收集数据的一组离散时间。作为一对，（Xt，Yt）是一个马尔可夫链。这个过程是我们最感兴趣的，被称为“信号”过程，但它是不可观测的。相反，这个过程在某种程度上是可以观察到的，因此我们称之为“测量”因此，（Xt，Yt）是一个HMM，目标是计算Xt的估计值，在Yt上的观测值在后验意义上是最优的。1.1基本非线性滤波器FYtdenote由Y到时间t的观测值生成的滤波。根据均方误差（MSE）对x的最佳后验估计为bxt=E[Xt | FYt]=arg minf∈FYtE（f- Xt）。提议1.1.1。BXT是唯一的FYt可测最小均方误差。证据设f是另一个FYt可测量的Xt估计值。

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2022-5-6 07:34:36

然后mse（f）=E（f- Xt）=E（f-bXt+bXt- Xt）=E（f-bXt）+2E（f-bXt）（bXt）- Xt）+E（bXt- Xt）=E（f-bXt）+2Eh（f-bXt）E[（bXt）- Xt）|FYt]i+E（bXt- Xt）=E（f-bXt）+E（bXt）- Xt）≥ E（bXt）- Xt）=MSE（bXt），几乎所有地方都保持相等。过滤度量定义为πt（A）=P（Xt∈ A | FYt）对于任何Borel集A，对于任何可测函数g^gt=E[g（Xt）| FYt]。备注1。还有平滑分布和预测分布。当后验概率有密度时，我们写出πt | t（dx）=P（Xt）∈ dx | FYT）。我们说πt |是t>t时的平滑密度，如果t<t时的预测密度。平滑需要大量计算，但预测简单要求我们在初始条件为πt的区间[t，t]中求解Xt的正向方程。示例1.1.1。用离散观测值进行滤波；贝叶斯案例。设为可数状态空间，设h（x）为已知非线性函数，设γ（x）=γ>0，对于k=0，1，2，3。要有特定的时间来收集观察结果。在每个时间tk，让Yk=ytk表示直到时间tkasY0的测量历史：k={Y，Y，…，Yk}。表示Xk=Xt-k、考虑以下离散差异：Yk+1=Yk+h（Xk+1）tk+γ工作地点tk=tk+1- 特坎德Wk=Wtk+1- Wtk。使用Bayes规则，我们发现对于任何x，过滤分布都有一个质量函数πk（x）=P（Xk=x | Y0:k）∈ 它可以递归地写成，πk+1（x）=ck+1ψk+1（x）等式*tk[πk]（x）（1.1）式中：*tk[·]是Xt正向跃迁概率的核，ψk+1（x）是给定Yk+1，ψk+1（x）=exp-h（x）tk- 2（Yk+1）- Yk）h（x）tk2γck+1=Rψk+1（x）等式*tkπk（dx）是一个归一化常数。方程（1.1）可以通过使用贝叶斯公式和HMM证明的独立性证明成立。

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2022-5-6 07:34:40

关于{Xk+1=x，Yk}givenYk+1的似然函数，它是（Yk+1 | Yk，Xk+1=x）∝ 经验(-Yk+1- Yk- h（x）tkγtk)= 经验-（Yk+1）- Yk）+h（x）tk- 2h（x）（Yk+1）- Yk）2γ既然我们只对这种可能性随x的变化感兴趣，我们可以去掉其中没有x的项，∝ 经验-h（x）tk- 2h（x）（Yk+1）- Yk）2γ= ψk+1（x），所以它实际上是{Xk+1=x}的似然比。现在，通过贝叶斯公式，我们得到了πk+1（x）=P（Xk+1=x；Y0:k+1）P（Y0:k+1）=P（Yk+1 | Xk+1=x；Y0:k）P（Xk+1=x；Y0:k）P（Y0:k+1）=ψk+1（x）P（Xk+1=x；Y0:k）P（Y0:k+1）=ψk+1（x）Pv∈SP（Xk+1=x，Xk=v；Y0:k）P（Y0:k+1）=ψk+1（x）Pv∈SP（Xk+1=x | Xk=v）P（Xk∈ dv；Y0:k）P（Y0:k+1）=ψk+1（x）Pv∈SP（Xk+1=x | Xk=v）P（Xk∈ dv | Y0:k）P（Yk+1 | Y0:k）=ψk+1（x）Pv∈SP（Xk+1=x | Xk=v）πk（dv）P（Yk+1 | Y0:k）=ψk+1（x）等式*tkπk（dv）P（Yk+1 | Y0:k）显然，P（Yk+1 | Y0:k）是x上最后一行分子的积分。贝叶斯滤波器是非线性滤波数值计算的重要工具。卡尔曼滤波器（见Jazwinski[28]）也是一个重要工具，但它仅适用于线性高斯模型或近似模型。计算非线性滤波器的当代方法是使用粒子滤波器（我们将在后面的部分中讨论）通过蒙特卡洛法。在连续时间内，基于微分方程离散化的近似滤波器已被证明收敛为对于某一类过滤问题，t&0，但我们必须能够近似Xt定律，h必须有界（见Kushner[33]）。总之，HMM由一对过程（Xt，Yt）组成，其中Xt是一个不可观测的信号，它是一个马尔可夫过程，而Yt是一个可观测的过程，它通过一个由已知函数和已知参数组成的系统依赖于Xt。

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2022-5-6 07:34:43

我们使用滤波来计算给定FYt的后验分布。第2章过滤和VIX2。1随机波动性考虑一个具有随机波动性的股票模型，dSt=uStdt+f（Xt）stdwt当sti是股票的价格时，函数f（x）是已知的，x是一个隐藏的马尔科夫过程。例如，赫斯顿模型，其中f（x）=√X和dxt=κ（m- Xt）dt+γpxtdbt，其中我们通过用ρ表示TEBTWT=ρ来模拟波动率杠杆效应∈ [-1, 0).一般来说，如果我们观察到价格的连续性，那么f（Xt）相对于{Sτ：τ产生的过滤是可测量的≤ t} 。让Yt=log St，注意dyt=u -f（Xt）dt+f（Xt）dWt。对于固定的t>0，假设（tk）kbe是[0，t]的一个划分，那么Y的二次变化是累积方差[Y]t=limkP k&0Xk(Ytk=Ztf（Xτ）dτ，其中kP k=supk（tk+1- tk）。显然，rtf（Xτ）dτ是FYt可测的，如果f（Xt）是一个连续过程，那么ddt[Y]t=f（Xt）也是FYt可测的。因此，至少（例如，对于f（Xt）是一个连续过程）挥发性在几乎所有的t中都是可观测的，如果f-1存在。尽管如此，拥有Xt的马尔可夫结构仍然是有益的，这样我们就可以对St上的衍生品进行定价。例如，在Elliot[22]的例子中，当ρ=0 isC（t，St，Xt；t，K）=E时，存在马尔可夫波动性的欧洲看涨期权的Black-Scholes价格*[CBS（t，St；t，K，Z[t，t]）| Xt，St]=E*[CBS（t，St；t，K，Z[t，t]）|FYt]其中Z[t，t]=t-tRTtf（Xs）ds和E*[·]是市场的定价标准。给定X和市场测度下X的动力学参数，我们可以显式地或通过蒙特卡罗计算看涨期权的预期回报。如果未知（即。

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mingdashike22

2022-5-6 07:34:46

观察结果是离散的）那么我们可以取一个过滤期望值C（t，St；t，K）=ZC（t，St；t，K，x）πt（dx），但如果市场对波动性有任何溢价，那么这样的价格会有很大的偏差。该期权定价公式举例说明了在金融数学中解释过滤器的挑战。2.2 VIXFiltering可用于提取市场对波动性的风险溢价。让我们看看标准普尔500指数。对于任何时间t和某个时间窗口t>0，VIX指数是市场在[t，t+t]期间预测的平均方差的平方根，Vt=E*TZt+Ttf（Xs）dsFmtE在哪里*[·]是市场的定价指标，而Fmt是市场中所有信息（即FYt）产生的过滤 Fmt）。过程vt是方差Swap的“公平”价格，其波动段是已实现的方差，RV[t，t+t]=limkP k和0TXk(Ytk）=pTZt+Ttf（Xs）ds，其中（tk）是[t，t+t]的一个分区（即t=t<t<…tN=t+t，kP k=supk（tk+1- tk）随着N变大而变为零）。对于预先指定的名义金额，差额掉期的支付为名义×RV[t，t+t]- 及物动词.2.2.1波动率公式对于没有跳跃的扩散模型，Demeter Fi等人[19]表明，在期货合约中，一个无本金看涨期权和看跌期权合约以及一个空头头寸的组合复制了波动率。Carr等人【14，15】表明，具有跳跃的模型可以通过相同的设置进行近似。下面的引理导出了区分策略：引理2.2.1。T表示合同的有效期，Ft，T表示未来价格on+T时间T≥ 设r为速率，使Ft，T=SterT。如果性传播感染纯粹是一种分化过程（即。

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2022-5-6 07:34:50

在其差异中没有跳跃项），那么市场对未来实现方差的预期是vt=2erTTZK≤Ft，TPt（K，T）dKK+ZK≥Ft，TCt（K，T）dKK！（2.1）式中，Pt（K，T）和Ct（K，T）分别表示在时间T和到期时间T的看跌期权和看涨期权的价格。证据在市场条件下，有一个维纳过程dW*t确保股票收益率满足Ddstst=rdt+f（Xt）dW*t原木价格满足原木（St）=dYt=R-f（Xt）dt+f（Xt）dW*t、将收益率和对数价格分别积分，然后相减，我们可以消除所有随机性，得到累积方差Zt+TtdSτSτ-Zt+TtdYτ=Zt+Ttf（Xτ）dτ，这表明实现的方差满足以下条件：RV[t，t+t]=tZt+TtdSτSτ- 日志（St+T/St）=TZt+TtdSτSτ- 对数（St+T/Ft，T）- 原木（英尺、吨/英尺）. (*)然后，通过一些简单的演算，我们看到-对数（St+T/Ft，T）=-St+T- Ft，TFt，T+ZK≤Ft，T（K- St+T）+dKK+ZK≥Ft，T（St+T- K） +dKK。将此表达式插入-将（St+T/Ft，T）记录到(*) 我们发现，已实现的差异可以写成几个合同的支付，以及在时间t:RV[t，t+t]=TZt+TtdSτsτ时的看跌期权和看涨期权的连续体-St+T- Ft，TFt，T- 对数（英尺、英尺/英尺）+ZK≤Ft，T（K- St+T）+dKK+ZK≥Ft，T（St+T- K） +dKK！。考虑到这两个因素对市场指标的预期，噪声会消失，因为log（Ft，T/St）=rT和E*T=Ft，T，我们有vt=E*[RVt，T | Fmt]=TZK≤Ft，TE*[（K）- St+T）+| Fmt]dKK+ZK≥Ft，TE*[（St+T）- K） +| Fmt]dKK如果我们将RHS除以e-我们得到了结果。风险溢价根据市场衡量标准，方差互换的预期收益为零。然而，从统计学上讲，方差互换对合同持有人表现出轻微的偏见。换句话说，接受概念×（RV[t，t+t]-Vt）在t+t时，平均回报率略为负值。

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2022-5-6 07:34:53

但由于波动性杠杆效应，当波动性较高且股票损失时，方差互换有可能以正现金流的形式提供缓解。在市场上报价时，波动率指数是Vtin百分比的平方根，是一个均值回复过程，在15%和50%之间漂移。VIX有一个绰号叫“投资者恐惧量表”，因为它本应如此，因为它主要由资金外期权组成，这意味着每当VIX增加时，对崩溃的恐惧就会增加。为了更准确地理解投资者的担忧，最好是消除波动性的任何实际增加，只检查市场指标预测方差的偏差。换句话说，我们希望预测物理测量的方差，然后将其与波动率指数的预测进行比较，以了解有多少apremium处于风险之中，或者有多少恐惧存在。如果我们能识别出一个HMM，其可观察成分会产生Fmt，那么市场的波动性风险价格（又称风险溢价）isRPt=Vt- ETZt+Ttf（Xs）dsFmt.备注2。Carr和Wu[16]指出，如果我们用Radon-Nykodym导数Mt定义测量的鞅变化，那么Vt=E*t[RVt，t+t]=Et[Mt+TRVt，t+t]Et[Mt+t]=Et[RVt，t+t]+covtMt+TEt[Mt+T]，RVt，T+T其中Et[·]=E[·| Fmt]和E*t[·]=E*[·| Fmt]，这导致了风险溢价的表达式，并且如果已知Mt+T，Fmt是可测量的。历史上，标准普尔500指数表现出与波动相反的运动。特别是，高波动期往往与熊市同时出现。Whaley[46]描述了可交易波动性资产（如波动率指数）如何为做市商提供了对冲他们所写期权的新方法。

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2022-5-6 07:34:56

例如，做空期权组合的做市商总是能够在其他类型的合同中做多，从而将投资组合的增量减少到几乎为零，这意味着该组合不会受到基础资产价值微小变化的巨大影响。引入VIX后，同一个做市商也有机会对冲其期权空头头寸的Vega。在使用波动性对冲工具之前，做市商可能会面临随着波动性增加而出现的期权价格上涨的风险。然而，VIX期货和VIX期货看涨期权等工具改变了这一切，因为如果VIX合约数量合适，期权的空头头寸可能会使其Vega几乎为零。交易员使用波动率指数期货和期权在SPXO或SPY波动不确定时进行对冲。当波动率交易者注意到波动率指数和波动率指数期货之间的价差时，他们意识到有可能出现修正。因此，如果VIX的交易价格高于VIX期货价格，那么在SPY和VIX中买入看涨期权都会赚钱，因为a）VIX下跌，而SPY上升，这将使SPY看涨期权投入资金；或者b）VIX保持上涨，而VIX期货填补了VIX看涨期权投入资金的缺口。当波动率指数明显低于波动率指数期货价格时，可以设计一种类似的策略，包括看跌期权和波动率指数。经验法则是：如果波动率指数和波动率指数期货之间的价差足够大，波动率指数的修正将在市场上产生足够大的变化，其中一个跨区间可以弥补其初始成本，并为投资者提供一些好处。

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2022-5-6 07:34:59

本段提到的策略中的关键词是传播，这正是我们在筛选风险溢价时所寻找的。SPX是标准普尔500指数；SPY是标准普尔500指数的追踪股票。第3章Heston模型的随机波动率滤波器在离散观测的情况下，我们推导了Heston模型的贝叶斯随机波动率滤波器。让YT表示股权的原价，并让√XT表示波动性。这些过程的动力学是，dXt=κ（`X）- Xt）dt+γ-pXtdBt（3.1）dYt=u -Xtdt+pXtρdBt+p1- ρdWt（3.2）模型参数的解释如下：\'-X=Xtκ的长期平均值=均值回归率（在Xt上）γ=波动率的波动率ρ=当ρ∈ (-1,0）u=股票的平均回报率需要对参数进行某些限制，例如伐木条件：γ≤√2κX，以确保充分定义XTI（参见[24]中的“波动时间尺度”一章）。有一些时间（tn）可以实际观察到这个过程，如果我们的模型是正确的，那么fmt=FYt=σ{Ytn:tn≤ t} .\'“正确”不仅意味着过程遵循这些参数SDE，还意味着{Wt}和{Bt}是该系统特有的特殊噪声，与市场中的其他数据不相关。3.1过滤器我们在之前的讲座中表明，当连续观察Y时，X是可测量的。这也直接证明了E[g（Xt）|FYt]→ g（Xt）作为[0，t]的分区缩小到零。引理3.1.1。对任何人来说∈ Z+设[0，t]划分为N个点，并设FNtdenote由Y在划分点的观测值生成的过滤（即FNt=σ{Ytn}Nn=0}）。如果过滤率随着N的增加而增加，那么在（3.1）和（3.2）给出的模型中，我们有[g（Xt）|FNt]→ g（Xt）a.s.as N%∞ 对于任意函数g（x）。证据设FYt=σ{Ys:s≤ t} 。

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2022-5-6 07:35:03

我们假设过滤率随着N的增加而增加，并且它们肯定以FYt，FNt为界 FN+1t . . . ··· FYt。因此存在F*茅草∞N=1FNt=F*t、现在因为所有非零概率集合上的Yistocontinuous路径，F中包含的信息*这就足够测量任何y的事件{Yt=y}∈ R即使t不是任何单元的分割点。因此，F*t=FYta。s、根据L’evy 0-1定律，我们有limne[g（Xt）|FNt]=E[g（Xt）|F*t] =E[g（Xt）|FYt]=g（Xt），这证明了引理。从引理3.1.1中，我们知道我们的后验估计在划分时是一致的。现在我们需要确定特定分区的过滤器。从这里开始，考虑时域的特定划分，我们只在数据到达时考虑过滤器。为了便于记法，我们让Xn=Xtn，Yn=YtnandFYn=FYtn。提议3.1.1。设（Yt，Xt）为（3.1）和（3.2）中Heston模型中的价格和波动过程，并假设Feller条件γ≤ 2′Xκ。然后是一个核函数，它给出了X的跃迁密度，eQ*xp（Xt）=124v+T≤ x | Xt=v）对于任何x，v∈ R+，以及Xnat观测时间tn=n的滤波分布t有密度。这个密度递归地表示为πn（x）=cnZEhL（y |（Xu）{tn-1.≤U≤伊恩-1)Xn=x，Xn-1=v，Yn-1ieQ*t（x | v）πn-1（dv）y=Yn，（3.3）对于几乎所有的x∈ R+，其中Cn是一个规范化常数，L是任何路径（xu）{tn）的可能性-1.≤U≤tn}给定观察值Yn和Yn-1，并由（y |（xu）{tn-1.≤U≤伊恩-1） =exp-（y）-伊恩-1)-uT-.5Rtntn-1徐都-ρξn（x）q（1）-ρ） Rtntn-徐都！问题（1）- ρ） Rtntn-具有ξn（x）=γ的1xUDU(xn-1.- κXT-Ztntn-1徐都！）。证据给定Feller条件，CIR过程dXt=κ（`X- Xt）dt+γ√众所周知，XTDBTis的跃迁密度可以用修改后的贝塞尔函数（见[1]）来表示，等等t（·v）是所有v的光滑密度函数≥ 0

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2022-5-6 07:35:06

此外，在[20]中还表明，（Yt，Xt）有一个平滑的跃迁密度函数，即Pt（y，x | s，v）=YxP（Yn）≤ y、 Xn≤ x|Yn-1=s，Xn-1=v）在x>0、y>0和t>0，且在x=0或y=0时不收集质量。因此，过滤器的密度可以用贝叶斯规则来表示：πn（x）=RPt（Yn，x | Yn）-1，v）πn-1（v）dvR[分子]dx，这里我们不需要假设πn的光滑性-1因为它通过与P的卷积而变得平滑锡的dv积分。现在，从方程（3.2）中，我们注意到：- 伊恩-1= uT-Ztntn-1Xudu+ρZTNTNT-1pXudBu+p1- ρZtntn-1pXudWu=duT-Ztntn-1Xudu+ρZTNTNT-1pXudBu+s（1- ρ） Ztntn-1徐都Z，其中“=d”表示分布相等，Z是另一个独立的标准正态随机变量。这意味着有条件的路径（Xu）tn-1.≤U≤TN和Sn-1.Yn- 伊恩-1.-uT-Rtntn-1Xudu+ρRtntn-1.√许德布问题（1）- ρ） Rtntn-1Xudu=dZ。然后注意到ξ在（许）tn处未估价-1.≤U≤tn与ξn（X）=Rtntn相同-1.√XudBu，下面是thatYn- 伊恩-1.-uT-Rtntn-1Xudu+ρξn（X）问题（1）- ρ） Rtntn-1Xudu=dZ。这显示了路径（Xu）tn的可能性-1.≤U≤TNSN-1和Sn=y实际上是函数L。最后，给定密度πn的Bayes规则，等式（3.3）中的表达式显示了使用转移密度概率表示的过滤器：Pt（y，x | Yn）-1，v）=yZyPt（z，x | Yn）-1，v）dz=yP（Yn）≤ y | Xn=x，Xn-1=v，Yn-1)Γt（x | v）=延恩≤YXn=x，Xn-1=v，Yn-1oΓt（x | v）=叶海宁≤Y（徐）{tn-1.≤U≤伊恩-1oXn=x，Xn-1=v，Yn，Yn-1iΓt（x | v）=E延恩≤Y（徐）{tn-1.≤U≤伊恩-1oXn=x，Xn-1=v，Yn，Yn-1.Γt（x | v）∝ EhL（y |（Xu）{tn-1.≤U≤伊恩-1)Xn=x，Xn-1=v，Yn-1ieQ*t（x | v）。最后，在基于时间n观测值计算可能性时，最后一行的计算值为y=Yn。这就完成了命题的证明。目前看来，过滤器相当复杂，很难实时实现。

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2022-5-6 07:35:09

通常情况下，人们可能会考虑一个近似SDE的离散方案：伊恩-1= (u - .5Xn-1)t+pXn-1(ρBn-1+p1- ρ工作-1) (3.4)Xn-1=κ（`X）- Xn-1)t+γpXn-1.Bn-1（3.5）在哪里伊恩-1=Yn-伊恩-1和Xn-1=Xn-Xn-1.使用（3.4）和（3.5），我们可以将近似的过滤密度输入到命题3.1.1中给出的密度：△πn（x）=cnZψn（x，v）等式*t（x | v）~πn-其中ψn（x，v）是{Xn=x，Xn的可能性-1=v}给定{Yn，Yn-1} ，ψn（x，v）=pv（1）- ρ)特克斯-(伊恩-1.- (u - .5v）T-√vρBn-1（x，v））2v（1- ρ)T具有Bn-1（x，v）=γ√五、十、- 五、- κ（`X）- 五）T.如果（3.4）和（3.5）中给出的模型简化被认为是“正确的”，则无需质疑（3.6）中给出的过滤器的有效性。但一般来说，如果知道连续时间SDE是正确的模型，则需要进行一些分析，以验证近似滤波器（如（3.6）中的滤波器）收敛为就是t&0Zg（x）~πn（dx）-Zg（x）πn（dx）→ 在强烈的意义上T→ 0

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2022-5-6 07:35:12

如前所述，众所周知（见Kushner[33]）近似滤波器有时是一致的，但[33]中的结果不适用于Heston模型。3.2提取物理测量下的风险溢价，我们有，EXt=EXe-κt+-X（1- E-κt）以及实现方差的预期值（RV[0，t].=TRTXsds）isERV[0，t]=\'X-\'X- EXκT1.- E-κT其中，我们（在不丧失普遍性的情况下）考虑了时间0的情况，并将后验期望表示为E*[·]=E*[·| FY]和E[·]=E[·| FY]。因此，风险溢价有以下闭合公式：E*RV[0，T]- ERV[0，T]=E*RV[0，T]-\'X+\'X- EXκT1.- E-κT.当波动率平方由带漂移项κ（`X）的AMEA回复SDE建模时，风险溢价的表达式成立- Xt），而不仅仅是赫斯顿模型。在风险中性措施下，市场在dXt中增加了一个风险溢价条款：dXt=κ（`X- Xt）dt- ∧tXtdt+γpXtdB*这里是*以及市场波动下的风险。我们把∧topen的模型留在这里，因为我们不会深入研究它的相关结构。然而，∧很可能被认为是一个均值回复过程，并且可以这样建模。根据市场的衡量标准，预计会出现以下变化*Xt=EXt-中兴通讯*[Xs∧s]e-κ（t-s） ds。从这里，我们可以看到E*RV[0，T]可以写为：*RV[0，T]=TZTE*Xtdt=TZTEXtds-TZTZtE*[Xs∧s]e-κ（t-s） dsdt=E[RV0，T]-κTZT1.- E-κ（T-（s）E*[Xs∧s]ds |{z}风险溢价(**) .在(**), 注意，如果X和∧是独立的，那么对于κ 1风险溢价简化为κTZT1.- E-κ（T-（s）E*[Xs∧s]ds~ -\'XTE*∧T.3.3过滤快速时间尺度中的平均波动率波动率建模中快速时间尺度的目的是捕捉2到3天内发生的均值回复效应。

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2022-5-6 07:35:15

在赫斯顿模型中，假设我们处于一个快速时间尺度，其中γ~√κ代表κ大。然后，可以证明，Xt的分布几乎在瞬间变成Γ分布，Xt=> Γ\'X，作为κ%∞对于所有的t>0。因此，对已实现方差TZTXSD进行快速平均→概率为κ%的X∞因此，作为已实现方差函数的任何合同的预期收益都是不确定的，除非“X”是随机和/或未知的。因此，以我们在上一节中所做的方式将风险溢价构建到XT的动态中，在初始时间尺度上是没有意义的。另一种想法是，将“X”作为一个由另一个马尔可夫链控制的隐藏状态过程，从而为HMM增加另一个维度。然后，我们可以将已实现的方差作为观察值，并编写一个过滤器来估计“X”状态。我们的做法如下：将“XT”设为一个带有生成元Q的马尔可夫链，我们假设它是变化的标准结构；“Xt”的变化受泊松跳跃过程控制，因此在一定时间间隔内t、多次改变状态的概率为o(t）。Xtare-thendXt=κ（`Xt）的新动力学- Xt）dt+γpxtdbt对于这种模型，实现的方差是快速时间尺度下的随机变量TZTXSD~TZT’XSD表示κ大。设（tn，`）n`是某个有限时间间隔的一个划分，比如10年，其中n表示第n周，`表示第`次交易。然后tn+1`- tn，`t=1周，对于任何\'tn，`+1- tn，`=从第次报价到第n周的下一笔交易的时间。我们对每个tn的Ytat进行观察，`（即Yn，`=Ytn，`是第n周的第次观察）。对于任何n和\'letYn，`=Yn，`+1-为了简单起见，让tn=tn，0。然后，我们有以下模型，用于每周观察已实现方差Zn+1=德克萨斯州`(Yn，`）=tZtn+1tn\'Xsds+n+1在哪里n+1是一个带有E的噪声过程N如果n6=n，则n=0。

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2022-5-6 07:35:18

很明显，Zn是可观察的，（Zn，`Xn）是一个马尔可夫过程。在此基础上，我们的目标是估计“Xt”的状态空间和转移率，然后将非线性滤波结果应用于估计方差风险溢价。假设πn（xi）=P（\'Xtn=xi | Y0:n），我们可以估计物理量对已实现方差的期望值：EtnTZtn+TTNXSD≈ EtnTZtn+Ttn\'Xsds=TZtn+TtnXixieQ*（s）-tn）－πn（xi）ds，表示κ~ γ 1.第四章Zakai方程∈ S是带生成元Q的马尔可夫过程。设Q的域用B（Q）表示，设Bb（Q）表示B（Q）中有界函数的子集。对于任何函数g（x）∈ Bb（Q）我们有以下极限：E[g（Xt+t） |Xt=x]- g（x）T→ Qg（x）ast&0，对于任何x∈ 如果Q是稠密定义的，且其预解集包含所有正实数，则Hille-Yosida定理适用，允许我们用收缩半群写出Xt的分布。在这些注释中，我们假设这样的条件成立，并且跃迁密度/质量由一个由等式表示的算子半群产生*t、 SDE理论中的一个标准非线性滤波问题假设Xt是不可观测的，并且一个过程Yt由一个SDEdYt=h（t，Xt）dt+γdWtobserved（4.1）给出，其中wt是一个独立的维纳过程，γ>0，我们假设h（t，·）对于所有t<∞.这对（Xt，Yt）是一个HMM，可以使用过滤来查找后验分布。设FYt=σ{Ys:s≤ t} 对于任何可测函数g（x），设^gt=E[g（Xt）|FYt]。^GT的后验期望最终是过滤的期望值，但获得后验分布的方法非常复杂。我们在前面的课程中使用的离散贝叶斯工具不能在这里使用，因为我们处于一个连续统一体中，不允许我们分解HMM的各个层。

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2022-5-6 07:35:21

相反，我们将利用SDE理论中的著名思想来获得过滤分布的差异。特别是，我们将使用Girsanov定理来获得Zakai方程。4.1贝叶斯视角下的离散动机在他们的书中，Karatzas和Shreve[30]给出了Girsanov定理如何工作的离散动机。以类似的方式，我们考虑一个离散问题，然后根据适当密度的比率构造度量的变化。然后我们展示了它是如何与连续时间对应的，并导出了Zakai方程的离散近似。为此，我们首先考虑（6.1）的离散时间模拟，Yn=Yn-1+h（总氮）-1，Xn-1)t+γWn-假设Xt的无条件分布是所有t的密度≥ 0（当Xt的分布具有质量函数时，sameidea将适用）。我们可以很容易地应用Bayes定理来获得Borel集a上的滤波分布：πn（a）=cnZψn（v）eQ*t（A | v）πn-1（dv）式中*t表示Xt跃迁密度的核，似然函数为ψn（v）=exp(-.5.伊恩-1.- h（tn-1，v）tγ√T), 具有伊恩-1=Yn- 伊恩-1，Cn是一个标准化常数。Lebesgue微分定理可用于获得后验密度，|A |πn（A）→ πn（dx）=cnZψn（v）等式*t（dx | v）πn-1（dv）当A很好地收缩到{x}时。记住这个离散模型和过滤器，让我们把注意力转移到所有观测的联合密度函数和（x，x，…，xn），dpn所取的可能路径（x，x，…，xn）P（Y，Y，…，Yn；dx，dx，…，dxn）=P（Y，Y，…，Yn | x，x，…，xn）P（dx，dx，…，dxn）=n-1Y`=0ψ`（x`）！×P（dx，dx，…，dxn）=n-1Y`=0e-.5.Y`-h（t`，x`）tγ√T!x P（dx，dx，…，dxn）=e-.5Pn-1`=0Y`-h（t`，x`）tγ√Tx P（dx，dx，…，dxn），其中P（dx，dx。

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2022-5-6 07:35:24

，dxn）可以使用Q的指数*.接下来，考虑▄P中的等效度量，其中Yn/γ是独立于Xn的布朗运动，Xn定律也是如此。在这种新的测量方法下，联合密度函数为pn=~P（Y，Y，…，Yn；dx，dx，…，dxn）=~P（Y，Y，…，Yn）~P（dx，dx，…，dxn）=n-1Y`=0e-.5.γ√T!x P（dx，dx，…，dxn）=e-.5Pn-1`=0γ√Tx P（dx，dx，…，dxn）。这些密度的比率如下所示：dpndpn.=锰FYn=exp（n-1X`=0h（t`，x`）γ-N-1X`=0h（t`，x`）tγ），这是离散观测模型任何路径的似然比。这也是我们在Girsanov定理中使用的指数鞅的离散模拟。此外，我们可以使用Mn来根据替代度量重写过滤期望，例如[g（Xn）| FYn]=Rg（Xn）dpnRdpn=Rg（Xn）Mnd＠pnRMnd＠pn=＠E[g（Xn）Mn | FYn]~E[Mn | FYn]，如果我们定义φn[g]＝＠E[g（Xn）Mn＠FYn，我们可以将过滤期望写为＠gn=E[g（Xn）＠g（Xn）＠FYn）FYn∈ Bb（Q）。事实证明，在P-测度下进行分析是有利的，因为当我们移动到连续观测时，动力学φn是线性的。为了获得线性的感觉，考虑下面的离散展开式t、 φn+1[g]=E[g（Xn+1）Mn+1 | FYn+1]=Eg（Xn+1）1+h（tn，Xn）γ伊恩锰FYn+1+ o(t） =~Ehg（Xn+1）MnFYn+1i+~Eg（Xn+1）h（tn，Xn）γ锰FYn+1Yn+o(t）因为Mn+1=1+h（tn，Xn）γ伊恩Mn+o(t）通过对其^o引理的离散解释Ynis FYn+1-可测量。

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2022-5-6 07:35:28

现在，因为X在P下独立于Y，在时间n+1之前的条件是非常复杂的，我们可以把它减少到时间n，=~Ehg（Xn+1）MnFYni+~Eg（Xn+1）h（tn，Xn）γ锰FYnYn+o(t）。然后我们可以再次利用X与Y在P下的独立性，并使用X的向后算子的近似值=~E（~Ehg（Xn+1）MnFYn∨ XniFYn）+E（~Eg（Xn+1）h（tn，Xn）γ锰FYn∨ XnFYn）Yn+o(t） =E（（I+Q）t） ~Ehg（Xn）锰FYn∨ XniFYn）+E（（I+Q）t） ~Eg（Xn）h（tn，Xn）γ锰FYn∨ XnFYn）Yn+o(t） =~Eh（I+Q）t） g（Xn）MnFYni+~E（I+Q）t） g（Xn）h（tn，Xn）γ锰FYnYn+o(t）然后利用这个事实Yn·t=o(t），我们有＝E[g（Xn）Mn | FYn]＋E[Qg（Xn）Mn | FYn]t+~Eg（Xn）h（tn，Xn）γMnFYnYn+o(t） =φn[g]+φ[Qg]t+φ生长激素γYn+o(t）这预示着在离散环境下的Zakai方程，φn[g]=φ[Qg]t+φ生长激素γYn+o(t） .4.2 Zakai方程的推导在本节中，我们使用Girsanov定理作为连续时间非线性滤波方程形式推导的主要工具。为了便于记法，我们让h（t，x）=h（x），但这确实会改变结果，因为只需要重写，将时间依赖性包含在h（）中。我们首先考虑有限区间[0，T]，并定义以下指数，Mt.=exp2γZth（Xs）ds+γZth（Xs）dWs= 经验-2γZth（Xs）ds+γZth（Xs）dy尽管如此，t∈ [0，T]。由于最初假设WT是独立的，因此我们可以定义一个等效的测量值P bydP=M-1TdP。根据吉尔萨诺夫定理，我们知道。P是一个概率度量，2。Yt/γ是t的P-布朗运动∈ [0，T]，以X为条件。用矩母函数可以很容易地表示P（Xt≤ x） =P（Xt）≤ x）。

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大多数88

2022-5-6 07:35:32

我们可以很容易地证明mtt是一个真的P-鞅，~EMt=ZMt（ω）dP（ω）=ZMt（ω）M-1T（ω）dP（ω）=E[Mt/Mt]=E经验-2γZTth（Xs）ds-γZTth（Xs）dWs= 1.最后，一个简单引理表明，X和Y在P:lemma 4.2.1下是路径独立的。X和Y在P证明下是路径独立的。对于任意路径函数，fwe有Ef（Y/γ）=E[~E[f（Y/γ）| X]=~E[Ef（W）]=Ef（W），表明Y/γ是X上的P-布朗运动无条件。对于另一个任意路径函数，fwe有Ef（Y/γ）f（X）＝E[f（Y/γ）| X]=~E[f（Y/γ）＝E[f（X）Ef（W）=Ef（W）~Ef（W）~Ef）Ef（X）＝f（Y）和X）是独立的。从这里开始，将φt Bb（Q）定义为φt[g]=~E[g（Xt）Mt | FYt]。有了这个新的测度，我们可以表达关于Girsanov测度变化的另一个重要结果，即Kallianpur-Streibel公式：引理4.2.2。Kallianpur-Streibel公式：E[g（Xt）|FYt]=φt[g]φt[1]对于任何g（x）∈ B（Q）。证据对于任何一个∈ 哈维AE[g（Xt）|FYt]= E[1Ag（Xt）]=~E[1Ag（Xt）Mt]=~EnAE[g（Xt）Mt | FYt]o=~E（AE[g（Xt）Mt | FYt]| E[Mt | FYt]~E[Mt | FYt]）=~EAφt[g]φt[1]~E[Mt | FYt]=~E~EAφt[g]φt[1]MtFYt=~EAφt[g]φt[1]Mt= Eφt[g]由于A是一个任意集，这表明结果是wp1。现在，不管怎样∈ [0，T]，我们使用富比尼定理将微分引入到预期中，并从那里应用它的^o引理，这给了我们以下微分，dE[g（Xt）Mt | FYT]＝E[Qg（Xt）Mt | FYT]dt+-Eg（Xt）h（Xt）γMtFYT任意g（x）的动态∈ Bb（Q）。由此，我们可以构造差异的整体形式，~E[g（Xt）Mt | FYT]=~E[g（X）|FYT]+Zt | E[Qg（Xs）Ms | FYT]ds+Zt |Eg（Xs）h（Xs）γMsFYTdYsand由于X在P度量下独立于Y，我们可以将所有s的过滤从fyto减少到fysf≤ T，给我们，~E[g（Xt）Mt | FYt]=E[g（X）]+Zt ~E[Qg（Xs）Ms | FYs]ds+Zt |Eg（Xs）h（Xs）γMsFYsdYs（4.2）适用于所有t≤ T

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2022-5-6 07:35:36

在（4.2）中尽可能插入φs[·]，然后取关于t的微分，我们得到了Zakai方程：dφt[g]=φt[Qg]dt+φt生长激素γdYt（4.3）适用于所有t≤ TZakai方程也可用于一般无界函数G（x）∈ B（Q），但我们将自己限制在有界情况下，以确保φt[g]几乎肯定是有限的。（4.3）的解的存在是直接的，因为我们通过微分E[g（Xt）Mt | FYt]得出它。Kurtz和Ocone[32]使用过滤鞅问题，Rozovsky[42]使用φt的Radon测度表示，证明了（4.3）的测度值解的唯一性。4.2.1伴随Zakai方程根据过滤问题的性质，非正规化概率测度φt[·]可能具有密度/质量函数。例如，假设∈ R是一个满足SDEdXt=a（Xt）dt+σdBtwhere Bt的微分过程⊥ Wt。那么发生器是Q=L=σx·+a（x）x·和Zakai方程dφt[g]=φt[Lg]dt+γφt[gh]dYt=σφtxgdt+φtA.xg具有二阶导数的任意有界函数g（x）的dt+γφt[gh]dyt。依赖于a（x）、σ和初始条件，~πt可以是一个密度，使得φt[g]=Zg（x）~πt（x）dx，并且假设满足一定的正则性条件，Zakai方程的伴随给出了~πt，d ~πt（x）=L的SPDE*初始条件为π（x）=P（x）的πt（x）dt+h（x）γπt（x）dYt（4.4）∈ dx），并使用byL给出的伴随算子*=σx·-x（a（x）·）。这种密度的存在和唯一性超出了这些注释的范围。对解的规律性感兴趣的读者应该阅读Pardoux[37]的书。对于由质量函数组成的过滤分布，伴随方程类似。例如，如果∈ {x。

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何人来此

2022-5-6 07:35:39

是一个具有生成元Q的有限状态马尔可夫链，伴随方程在没有任何正则性条件的情况下成立，d∧πt（xi）=Q*~πt（xi）dt+h（xi）γ~~πt（xi）dYt=mXj=1Qji ~~πt（xj）dt+h（xi）γ~~πt（xi）dYt。~πtin的一般存在性和唯一性这个离散情况由Rozovsky[41]证明。4.2.2 Kushner-Stratonovich方程使用（4.3）的Zakai方程，并观察到我们关于h有界的假设简化了P（φt[1]）∞) = 1为所有t∈ [0，T]，我们可以应用它的^o引理来获得d^gt=dφt[g]φt[1]=cQgtdt+cght- ^gt^htγ戴特-^htdt. （4.5）然而，应该提到的是，（4.5）最初是在使用其他方法得到Zakai方程之前几年获得的。在适当的正则条件下，Kushner-Stratonovich方程是伴随（4.5），是滤波分布的非线性方程，dπt（x）=Q*πt（x）dt+h（x）-^htγπt（x）戴特-^htdt其中πt（x）是密度函数或质量函数（取决于问题的类型）。4.2.3平滑平滑滤波器已在[10]中推导，但在正则化过程中，伴随Zakai方程成立。在本节中，我们得到了一个类似的结果，但对于Bb（S）中函数的一般情况，我们还将得到正则化情况下光滑的后向SPDE。考虑时间τ和t，使得0≤ τ ≤ t、 g（Xτ）isE[g（Xτ）|FYt]＝E[Mtg（Xτ）|FYt]〕E[Mt | FYt]＝E[Mtg（Xτ）|FYt]φt[1]的过滤期望值。对于τ固定和t增加，Zakai方程为：t>τ，~E[Mτg（Xτ）| FYt]=γ＠E[Mth（Xt）g（Xτ）| FYt]dYtfor t，~E[Mτg（Xτ）| FYτ]=φτ[g]。若要获得τ-lf分布，则可以通过求解τ-lf分布，或通过求解τ-lf分布来获得微分方程。然而，在常规情况下，有一个向后的SPDE，它将为τ的变化提供差异。

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mingdashike22

2022-5-6 07:35:42

这种向后的SDE将提高编码和分析的效率。假设有充分的正则性，所以∧πt（x）=φt[δx]满足伴随Zakai方程（见方程（4.4））。给定FYt，任何时间的平滑滤波器τ∈ [0，t]isddxP（Xτ）≤ x | FYt）=E[Mtδx（xτ）|FYt]~E[Mt | FYt]=~E[Mτδx（xτ）~E[Mt/Mτ|FYt∨ FXτ]|FYt]~E[Mt | FYt]=~E[Mτδx（xτ）~E[Mt/Mτ| FYt∨ {Xτ=X}]|FYt]~E[Mt | FYt]=~E[MτδX（Xτ）|FYt]·E[Mt/Mτ| FYt]∨ {Xτ=X}]~E[Mt | FYt]=E[MτδX（Xτ）| FYτ]·E[Mt/Mτ| FYt∨ {Xτ=X}]~E[Mt | FYt]=πτ（X）ατ，t（X）φt[1]，其中ατ定义为ατ，t（X）=~EhMt/MτFYt∨ {Xτ=X}i=~E经验-2γZtτh（Xs）ds+γZtτh（Xs）dyFYt∨ {Xτ=X}.函数ατ，t（x）是平滑分量，满足以下反向ατ，t（x）=Qατ，t（x）dτ-γh（x）ατ，τ的t（x）dYτ≤ t、 αt，t≡ 1，或以积分形式ατ，t（x）=1-ZtτQαs，t（x）ds+γZtτh（x）αs，t（x）dy。第五章创新途径∈ S是带生成元Q的马尔可夫过程。设Q的域用B（Q）表示，设Bb（Q）表示B（Q）中有界函数的子集。对于任何函数g（x）∈ Bb（Q）我们有以下极限：E[g（Xt+t） |Xt=x]- g（x）T→ Qg（x）ast&0，对于任何x∈ 如果Q是稠密定义的，且其预解集包含所有正实数，则Hille-Yosida定理适用，允许我们用收缩半群写出Xt的分布。

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2022-5-6 07:35:45

在这些注释中，我们假设这样的条件成立，并且跃迁密度/质量由一个由等式表示的算子半群产生*t、 SDE理论中的一个标准非线性滤波问题假设Xt是不可观测的，并且一个过程YIT由SDEdYt=h（Xt）dt+γdWtobserved（5.1）给出，其中WT是一个独立的维纳过程，γ>0，我们假设h是有界的。让过滤FYt=σ{Ys:s≤ t} 对于可积函数g（x），我们有^gt.=E[g（Xt）|FYt]代表所有∈ [0，T].5.1创新布朗运动令νT忽略创新过程，其微分如下dνT=dYt-^htdt。其中^ht=E[h（Xt）|FYt]。提议5.1.1。v t/γ过程是FYtBrownian运动。证据很明显，νtis（i）FYt在[0，T]上是可测的、连续的和平方可积的。为了证明这是一个局部鞅，我们对任何一个鞅取期望值≤ t如下[νt|FYs]- νs=EYt-Zt^hτdτFYs-Y-Zs^hτdντ= Eγ（Wt- Ws）+Ztsh（Xτ）dτFYs- EZt^hτdτFYs+Zs^hτdντ=Eγ（Wt- Ws）+Ztsh（Xτ）dτFYs- EZts^hτdντFYs= γEhWt- WsFYsi+EZtsh（Xτ）dτ-Zts^hτdντFYs= 此外，νt/γ的交叉变异与Wt的交叉变异相同，因此根据布朗运动的L’evy特征（见Karatzas和Shreve[30]），νt/γ也是FYtBrownian运动。考虑到ν是FYt布朗运动，任何L-可积和FYt可测的随机变量都有一个积分表示，但FYt=σ{νs:s并不容易看出≤ t} 。下面的命题提供了一个证据来证明它确实是正确的。提议5.1.2。FYT可测的每个平方可积随机变量N都有一个形式N=EN+γZTfsdνsw的表示，其中f={fs:s≤ T}逐渐可测量，FYt适应，EhRTfsdsi<∞.证据尽管如此，t∈ [0，T]，定义Zt=扩展-γRt^hsdνs-2γRt^hsdso。

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