资本配置的序贯蒙特卡罗采样器

2022-5-7 00:13:00

Noname手稿编号（将由编辑插入）资本分配的顺序蒙特卡罗采样器欠总体依赖风险模型Rodrigo S.Targino·Gareth W.Peters·Pavel V.ShevchenkoFebruary，2015Abstract在本文中，我们假设已经为投资组合开发了一个多元风险模型，其资本作为同质风险度量衍生。然后，欧拉（或梯度）原理指出，要分配给投资组合每个组成部分的资本必须作为罕见事件的预期条件来计算，这在实践中可能很难评估。我们利用投资组合风险中的copuladependence，设计了一个基于序贯蒙特卡罗抽样的对问题中涉及的边际条件期望的估计，并通过一系列计算实例展示了它的有效性。关键词风险管理·资本分配·顺序蒙特卡罗（SMC）·Copula模型SMSC 2010:65C40、65C05、62P05JEL分类：C15、G21、G221简介由于金融机构从事风险管理和重新分配业务，其内部风险管理的一个重要部分是拥有适当水平的资本，以抵御意外损失。通常情况下，零售银行、投资银行和保险公司必须满足其当地司法管辖区版本的资本充足率，这通常是由当地监管机构根据《巴塞尔协议II/III银行监管指南》或《偿付能力II保险指南》的某个版本规定的。在这种情况下，资本可以指两个不同的数量：经济资本（EC）或监管资本（RC）。第一种是在没有监管的情况下选择的资本。

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2022-5-7 00:13:03

它代表了该机构为了在给定的信心水平和固定的时间范围内保持偿付能力而估计的金额，并且是为了满足某些信用风险评级而设定的。监管资本反过来反映了监管指南和规则给出的需求。需要注意的是，机构实际持有的资本（以下简称资本）始终是EC和RC之间的最大值。对于银行和保险公司来说，监管已经演变为基于风险度量的监管资本（见第2节）。对于银行而言，《巴塞尔协议II》为风险价值设定了标准（巴塞尔协议III仍在使用），而偿付能力II和瑞士偿付能力测试等保险指令则对所使用的风险衡量标准有所不同（第一项建议使用风险价值和之前的预期差额）。需要注意的是，尽管RC和EC在大多数金融机构中会有所不同，但这两个数量通常基于同一类风险度量，仅在信任水平上有所不同。罗德里戈·S·塔吉诺大学学院伦敦，伦敦，英国，电子邮件：r·塔吉诺。12@ucl.ac.ukGareth英国伦敦W.彼得斯大学学院、澳大利亚悉尼Pavel V.Shevchenkoccsiro和英国伦敦大学学院罗德里戈S。

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2022-5-7 00:13:07

Targino等人的业务线1公司金融2交易和销售3零售银行4商业银行5支付和结算6代理服务7资产管理8零售经纪人事件类型1内部欺诈2外部欺诈3雇佣惯例和工作场所安全4客户、产品和商业惯例5有形资产损坏6业务中断和系统故障7执行，交付和流程管理表1.1《新巴塞尔协议》业务线（左）和活动类型（右）——见[5]，附件8和9。这项工作的重点是研究资本分配问题，尤其是运营风险（OpRisk）资本——请参阅[42]一本介绍OpRisk建模的教科书。为了单独研究这一方面，我们将假设已选择参数风险模型，并在每个业务部门或部门对所有相关风险类型进行参数估计。然后利用这些模型，银行或保险公司从模型中获得了总资本的估计值。基于该资本图，我们的工作旨在研究待持有资本计算后的一个问题，即将资本分配给不同部门和业务单位作为资本费用的二阶问题（见表1.1）。一旦计算出总资本，金融机构将面临如何在不同风险源之间分配给定资本的问题，以便了解每个风险单元对总风险（资本）的贡献程度，并评估其风险管理控制和绩效，作为巴塞尔协议II/III支柱III中讨论的流程的一部分。换句话说，必须向每个部门和业务部门分配资本费用，这些部门和业务部门必须相应地反映给定业务部门的风险。

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kedemingshi

2022-5-7 00:13:10

这继续为遵循先进计量方法（AMA）的银行提供了仔细建模其独立性结构的激励。除了这些风险单元中的一些损失可能是依赖性的这一事实之外，《巴塞尔协议II》[5]§657还确保，如果依赖性建模得到当地监管机构的批准，资本估算可以产生分散效益。换言之，如果银行能够证明各业务线之间或业务线内不同风险类型之间的损失过程中存在依赖性特征，则可以授权银行留出较少的监管资本。我们还将假设投资组合中所有风险单元之间的依赖关系是从模型选择和估计的第一阶段就知道的。更准确地说，我们将假设银行的投资组合由X表示的D个人损失（在风险单元级别）组成。。。，Xd，每一个都被建模为随机变量（rv），其连续累积分布函数（cdf）由Fi给出，i=1。。。，d、损失的相关结构将由（已知）copula C（u，…，ud）给出（关于copulas的定义和一些结果，请参见附录B），从而得出给定损失的联合分布yfx（x）=CF（x）。。。，Fd（xd）,其中X=（X，…，Xd）和X=（X，…，Xd）。近年来，许多学术著作致力于运营损失的联合建模及其对资本计算的影响。最近，[7]引入了一个零膨胀依赖模型，然后使用不同的连接函数（阿基米德、椭圆、单个学生的t和vine）进行耦合。之前，[23]使用了α-稳定的边缘分布和Student t copula（对称和倾斜的）；[6] 假设广义帕累托分布和L’evy copulas的风险操作值的导出近似。

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2022-5-7 00:13:13

在OpRisk的背景下，[39]开发了一个动态OpRisk模型，其中频率、严重程度和年度损失之间的copula依赖结构是可能的模型结构。此外，在[14]和[38]中可以找到依赖性建模和资本估算的详细说明。本文其余部分的结构如下。在第2节中，我们展示了与风险贡献相关的结果，并特别注意欧拉分配规则及其对偶性，以及罕见事件的预期条件。在理解了欧拉原理和条件期望之间的关系后，第3节介绍了估计这些期望的不同方法：从simpleMonte Carlo方案到最近开发的重要性抽样方法。为了能够讨论所提出的顺序蒙特卡罗采样器（SMCS）算法，第4节简要讨论了如何设计一个概率密度序列，该序列收敛于分配问题中涉及的条件分布。第5节详细描述了正式的顺序程序，第6节设计了分配问题所需的算法要素。我们用第7节的一些模拟例子和第8节的最后评论来结束本文。copula相关风险模型下资本分配的SMC采样器32风险贡献和资本分配本节回顾了一些主要与一致的资本分配原则有关的关键结果。本文简要概述了风险贡献的相关理论，重点介绍了欧拉分配原则，第6节[33]对此进行了更详细的介绍。3、[45]和[41]第3节。一般来说，我们可以考虑X。。。，XD表示投资组合中不同资产的回报。

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2022-5-7 00:13:16

在OpRisk建模的情况下，该符号将对应于银行或保险机构部门内不同业务部门和风险类型组合的损失。如果这些资产在投资组合中的权重由λ=（λ，…，λd）给出∈ Λ Rd\\{0}然后我们将表示投资组合范围内的损失byX（λ）=dXi=1λiXi。（2.1）特别是，如果λ=（1，…，1），我们将写X=X（λ）。在OpRisk建模的情况下，PDI=1λIXI给出的总损失金额将代表整个机构的年度总损失，通常权重为1。如果所有的损失都是X。。。，xD定义在公共概率空间中(Ohm, F、 P），那么我们表示ρ：Ohm → R是一种通用的风险度量。给定一个特定的风险度量ρ，函数rρ∧→ Rρ（λ）=ρ（X（λ））将被称为风险度量函数。在OpRisk方面，《巴塞尔协议II/III指南》明确规定了资本充足率标准的建议监管要求。例如，在欧盟（EU）地区，金融服务业的资本要求指令（CRD）制定了一个监管框架，以反映其资本计量和资本标准指南。在欧盟地区，CRD IVD一揽子计划于2013年7月17日生效，反映了巴塞尔III标准，扩展了现有的巴塞尔监管欧盟指令（2013/36/EU）和欧盟监管（575/2013）。这些欧盟指令与其他司法管辖区的相关指令一样，包括关于一级和二级资本金额、流动性比率和其他相关资本充足率标准的规定。

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2022-5-7 00:13:19

在本文中，我们对资本成分的具体细分不太感兴趣，相反，在这方面，在本文中，我们将相对宽松地将资本称为与金融机构必须持有的总资产量相对应，以减轻其年度损失敞口，该资产量是根据机构风险模型对风险度量进行量化得到的。从现在起，我们假设银行资本定义为给定风险度量ρ的函数，定义为标准差、风险值或预期缺口（见定义2.1）。例如，出于监管目的，拟持有的OpRisk资本由ρ（X（λ））=V aRα（X（λ）），例如，监管资本α=0.999，经济资本α=0.9995给出。定义2.1（风险度量的特殊选择）如果X。。。，xD是连续的随机变量，X=Pdi=1x三种最常用的风险度量选择由1给出。标准偏差：ρ（X）=pV ar（X）；2.风险值：ρ（X）=varα（X）：=inf{X∈ R:FX（x）=α}；3.预期短缺：ρ（X）=ESα（X）：=E[X | X≥ V aRα（X）]。假设已选择风险度量ρ，且ρ（X（λ）），已计算出投资组合（机构）的风险（资本），则分配过程包括了解投资组合的每个组成部分应承担多少风险（资本）。就OpRisk而言，这涉及到根据机构总资本要求中基于风险的“公平”资本分配，在所有巴塞尔协议III风险类型中，每个部门的总资本要求是什么，以及每个业务部门和风险类型组合的资本要求应该是什么。

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能者818

2022-5-7 00:13:22

这涉及机构总资本的分解，即业务单元/风险类型结构，该结构将特定于给定机构，但可以通过巴塞尔协议II/III中提出的56个业务单元/风险类型类别来表示，让我们用Cρi（λ）表示当投资组合的损失由X（λ）给出时分配给xi的一个单位的资本。为了简单起见，为了推导欧拉分配，我们将接受以下一组假设。假设2.2如果个人和投资组合损失分别由X。。。，xd和方程（2.1），然后我们假设（i）分配给位置λixii的资本由λiCρi（λ）给出；4 Rodrigo S.Targino等人（ii）总体风险资本rρ（λ）完全分配给投资组合中的各个头寸：dXi=1λiCρi（λ）=rρ（λ）。（2.2）对第一个假设的解释是，我们要求按比例持仓拥有按比例的资本股份，第二个假设确保总资本将分配给各个持仓。由于这些假设，我们只需要计算Cρi（λ），对于i=1。。。，d、按照[33]中的命名法，我们将称为Cρi:∧→ Rdis是一种单位资本分配原则，如果（2.2）适用于所有λ∈ Λ.到目前为止，我们尚未对用作分配原则基础的风险度量施加或假设任何特定要求，但为了引入流行的欧拉分配原则，我们需要将自己限制为正同质（一级）风险度量。定义2.3（正同质性）对于任何随机变量X和λ>0，如果ρ（λX）=λρ（X），则称风险度量ρ为正同质性（一度）。很容易验证风险价值（VaR）是正同质的，以及任何一致的风险度量（在[2]的意义上）。

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2022-5-7 00:13:26

对于正齐次风险度量，相关风险度量函数rρ满足rρ（tλ）=trρ（λ）也很简单。因此，在rρ上应用Euler的齐次函数定理（见附录A），我们得到rρ（λ）=dXi=1λirρλi（λ）（2.3）（2.2）和（2.3）的组合导致了所谓的欧拉分配原则（有时称为梯度分配），其中分配给投资组合第i部分的资本由偏导数给出，Cρi（λ）：=rρλi（λ）。欧拉分配原则出现在不同的文献背景下。例如，在[19]和[29]中，欧拉原理是由两套（不同的）公理驱动的，导致了一致的分配原则（有关一致的风险度量和一致的资本分配之间的关系，请参见[8]）。假设X。。。，xd是连续的随机变量，在评估风险度量时，我们现在根据2.1中给出的不同风险度量，给出了欧拉贡献的一些显式形式。命题2.4如果X=Pdi=1xind X=（X，…，Xd）具有节理连续密度，则欧拉位置采用以下公式1。标准偏差：ρ（X）=pV ar（X）==> Cσi（Xi）=Cov（Xi，X）pV ar（X）；2.风险价值：ρ（X）=V aRα（X）==> CV aRi（Xi）=E[Xi | X=varα（X）]；3.

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2022-5-7 00:13:29

预期短缺：ρ（X）=ESα（X）==> CESi（Xi）=E[Xi | X≥ V aRα（X）]。证明见[33]，第6.3节和其中的参考文献。备注2.5即使X的分布不是连续的，命题2.4仍然有效，但应满足其他技术条件（见[44]和[26]）。2.1层次结构中的欧拉分配这里我们将欧拉分配的概念扩展到银行结构中，如表1.1所示。假设一家银行的结构如图2.1所示，由K个业务单元（B.U.）和每个B.U.（l=1，…，K）中的dlEvent类型（E.T.）组成。在这种情况下，我们定义d=PKl=1LAS应分配资本的单元格总数，X=Pdi=1XIT银行损失，X[l]=Pdlm=1XM，l=1。。。，K.在伦敦大学的损失。。假设银行资本由ESα（X）给出（如定义2.1中所述），那么欧拉原理表明，对于每个B.U.l=1，…，B.U.级别的资本应由E[X[l]|X>V aRα（X）]给出。。。，K.基于copula的风险模型5BankB下资本配置的ToSMC采样器。U.2E。T.1 E.T.2E。T.1B。U.1E。T.2 E.T.3B。尤克。T.2E.T.3E。T.1 E.T.4b b bFig。2.1分层银行结构，k B.U.将第1个单位的计算资本分配到其E.T.我们可以假设该资本是一个（同质）风险度量，定义为ρ（X[l]）=E[X[l]|X>V aRα（X）]。然后，根据欧拉原理，很容易检查第l个B.U.中的第m个E.T.的分配[Xm | X>V aRα（X）]。读者应该注意到，同样的分配可以通过以下方式“启发式”得出。首先，总资本ESα（X）直接分配给每个DE.T.。然后，对于第1个B.U.而言，资本计算为dlE分配的总和。T.在这个单位。

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2022-5-7 00:13:32

虽然结果可能是相同的，但我们强调第一种方法，因为它是欧拉原理的直接应用（两次）。3从资本配置到条件预期在本节中，我们探讨了以下事实，即使用两种最重要的风险度量来衡量OpRisk，刚刚在欧拉分配原则下描述的资本分配框架可以重新定义为条件预期的计算。这实际上是一个非常有吸引力的结果，因为这意味着可以使用下文详细介绍的专门蒙特卡罗抽样解决方案来估计资本的分配。自始至终，我们假定边际损失过程是连续的随机变量。因此，所有的边际逆分布函数（分位数函数）都是F-1定义明确，且持续不断。此外，可以应用Sklar定理说明损失向量X的依赖结构将由copula函数C唯一确定（有关copula理论的一些结果，请参见附录B）。形式上，向量X的联合cdf和pdf可以写成fx（X）=P[X≤ 十、除息的≤ xd]=C（F（x）。。。，Fd（xd））和fx（x）=cF（x）。。。，Fd（xd）dYi=1fi（xi），其中C和C分别是copula和copula密度。从命题2.4中，我们可以看到基于VaR和基于ES的分配都可以计算为公式cρi（Xi）=E[h（X）|g（X）的期望值∈ A] ，（3.1）对于以下h、g和A的选择：。对于VaR：h（X）=Xi，g（X）=Pdi=1Xi，A=hV aRα（Pdi=1Xi），V aRα（Pdi=1Xi）i；2、对于ES：h（X）=Xi，g（X）=Pdi=1Xi，A=hV aRα（Pdi=1Xi）+∞.6 Rodrigo S.Targino等人指出，在任何实际情况下，α将被选择为接近一个，并且两个条件事件的概率都非常小，即P[g（X）∈ A]≈ 0

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2022-5-7 00:13:35

更准确地说，这一事件将有可能发生-在ES情况下为α，在VaR情况下为概率零（无论α的选择如何），因为设定的Ais只是一个点。因此，在实践中，在VaR的情况下，可以使用通过将条件事件设置为-A的球由B给出（A）根据B（A） =hV aRα（Pdi=1Xi）- , V aRα（Pdi=1Xi）+如果有一些小的阳性反应在零点附近， ∈n、 e.（0+）。[25]和[18]都提倡这种方法。从风险管理的角度来看，h和g的许多其他选择可能会令人感兴趣。例如，如果有人对衡量投资组合中边际尾部事件的影响感兴趣，可以计算形式E[Pdi=1Xi | Xk>varα（Xk）]的预期，其中h、g和A的选择微不足道。在实践中，除了依赖结构和边际分布（例如[3]）的非常特殊的选择外，（3.1）中的预期的分析表示将不可用，我们需要在一些数值近似中进行排序，以在实践中评估此类数量。有几种与此任务相关的算法，因此，在介绍基于顺序蒙特卡罗（SMC）采样器的解决方案之前，我们回顾了文献中的一些最新建议。3.1计算罕见事件条件预期的模拟方法为了确定在整个工作中使用的符号，在本节中，我们描述了一个基于蒙特卡罗的通用估计量，然后详细介绍了一些与我们提出的方法进行比较的专门方法。重要的是要认识到蒙特卡罗、重要性抽样和基于序贯蒙特卡罗抽样的解决方案之间的差异。

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2022-5-7 00:13:38

这些是不同类别的解决方案技术，将在下文详细介绍。一般期望E[h（X）|g（X）∈ A] 通过使用条件分布fX（x | g（x）中的一组N加权样本{x（j），W（j）}Nj=1，pnj=1W（j）=1，可以通过蒙特卡罗模拟进行近似∈ A）。那么，期望值的近似值是[h（X）|g（X）∈ A]≈NXj=1W（j）h（x（j））。例如，如果我们可以直接从X | g（X）的分布中取样i.i.d.实现∈ A（例如，使用拒绝方案）我们将得到W（j）=1/N。不过，一般来说，上述条件分布中的样本并不容易获得，我们需要使用重要抽样分布（与拒绝步骤相结合），相应地计算权重以消除偏差。在这两种情况下，都可以使用拒绝机制，只接受满足条件事件的粒子。然而，如果真的这样做，会导致非常大的排斥率，随着条件反射事件变得越来越少或维度d变得越来越大，这种排斥率会表现得很差。在此设置中，我们感兴趣的调节事件可以定义为[X]∈ GX]，其中GX:={x∈ Rd:g（x）∈ A} ，（3.2）自g（X）起∈ A.<==> 十、∈ GX。考虑到我们的多元损失模型的唯一特征是a总体（通过参数联合分布，显式或隐式地），区域GXin Rd与[0,1]d中的某个区域保持密切关系。如果我们定义：=U∈ [0,1]d：F-1（u）。。。，F-1d（ud）∈ GX（3.3）然后它保持∈ GX<==> U∈ 顾。因此，与无条件多元分布的模拟类似，从X | g（X）∈ A.我们可以。从C中产生一个加权样本{u（j），W（j）}Nj=1，使得u（j）=（u（j）。。。，u（j）d）∈ GUfor allj=1。。。，N2.

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2022-5-7 00:13:43

返回加权样本{x（j），W（j）}Nj=1，其中x（j）i=F-1i（u（j）i），对于i=1。。。，d、 j=1。。。，N.copula相关风险模型下资本分配的SMC采样器7请注意，我们可以计算关于X的条件预期，如下[h（X）| g（X）∈ A] =EhhF(-1）（u）。。。，F(-d） d（ud）|U∈ 图形用户界面（3.4）≈NXj=1W（j）hF(-1）（u（j））。。。，F(-d） d（u（j）d）. （3.5）显然，如果所有的边际分位数函数-如果已知，那么所提议的方法的困难在于从受约束的copula中采样。Arbenz、Cambou和Hoffert在[1]中独立提出了在约束copula空间中执行采样程序的想法（参见第3.3节中的算法概述），其中重要采样分布旨在针对u | u的分布∈ 顾。在本文中，我们不是针对美国的稀有地区∈ GUwe建议在一个特别设计的SMC取样器程序中，以较少的稀有区域为目标，该程序在第4节和第5节中进行了精确说明。在介绍这些专门算法之前，请简要评论精算文献中基于替代重要性抽样（is）的方法。在这一阶段，我们观察到有许多不同类型的罕见事件模拟算法可用，具体类型的选择主要取决于如何定义样本空间中的“罕见事件”概念。尽管以下关于基于IS的替代解决方案的简要讨论并没有直接针对资本分配中面临的同一类型的多变量罕见事件问题，但它们对讨论具有参考价值，尤其是在相对误差的概念方面。我们还注意到，有几类渐近近似结果可用于资本分配的近似。

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2022-5-7 00:13:46

例如，为了估计二元结构中形式（3.1）的期望值，[9]假设g（X）的大值对应于h（X）的高值（在它们的情况下h（X）=Xi）。在这些约束条件下，作者使用极值理论（EVT）的结果导出（3.1）的估计量，并研究其一些性质。我们请感兴趣的读者参考[9]中的参考文献，了解此类渐近近似的进一步背景，相反，我们继续关注基于抽样的解决方案。3.2相关蒙特卡罗和重要性抽样方法在高斯连接函数[25]的特殊情况下，提出了一种近似条件期望的IS方案。对于同一系列模型，[43]最近提出了一种基于傅里叶变换的方法来计算边际风险贡献。在[32]中，作者发展了一类满足有界相对误差条件的基于IS的估计量。特别是，他们在单变量框架中估计尾部事件，通过基于指数族构造的分布，这将保证估计尾部泛函中的有界相对误差。他们开发的这类方法围绕着目标分布尾部的指数倾斜，在精算文献中也称为埃舍尔变换或平移。此外，在[32]中，有人认为，对于尾部事件，方差或标准误差是评估算法性能时需要考虑的一个不那么令人满意的数量，而不是以平均值（如相对误差）来衡量的版本。因此，[32]建议考虑相对误差，即估计器标准误差偏差与其平均值之比。

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2022-5-7 00:13:49

在第5.3节中，我们将在提出的SMC算法的背景下对此概念进行一些讨论。[32]中提出的方法选择IS分布，通过将问题重写为Renyi广义收敛性最小化的解决方案，使稀有概率的相对误差最小化。在几个简单的单变量例子中，我们可以证明，如果以这种方式选择，相对误差是有界的。这很有趣，因为它与其他基于is的方法相反，后者寻求最小化重要性抽样权重方差。[1]最近开发了与我们提出的SMC取样器解决方案最接近的基于IS的解决方案。在详细介绍我们的方法之前，我们先介绍一下这个问题。3.3 Arbenz-Cambou-Hoffert算法与本文提出的采样方法一样，最近在[1]中开发的方法涉及从约束copula给出的目标分布进行采样。这一点尤其重要，因为它为采样带来了方便的有界状态空间，因为当无约束时copula的支持度为[0,1]，因此受约束copula将位于这个超立方体的子空间上。8 Rodrigo S.Targino等人。与我们提出的解决方案不同，[1]的方法涉及开发一个针对受限copula分布的重要抽样（IS）方案。然而，与我们的方法不同的是，他们的方法不涉及任何中间序列的约束区域，这些区域平滑地通向罕见的事件约束。相反，他们试图直接逼近最佳重要性抽样方案。这通常是一项非常具有挑战性的任务，他们有一些有趣的见解。

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2022-5-7 00:13:52

因此，我们在下文简要介绍了他们的方法，因为这将与我们开发的方法形成直接比较。在[1]中，他们工作的目的是从无条件copula生成一个样本，其中大多数粒子满足（3.3）等条件。为了生成这些样本，重要抽样分布被设计为条件连接的混合。更正式地说，IS分布定义为fv（u）=ZC[λ]（u）dF∧（λ），（3.6），其中C[λ]是u的分布，条件是其至少一个分量超过λ，即C[λ]（u）=P[u≤ UUd≤ ud | max{U，…，ud}>λ]。在[1]中介绍的主要算法中，重要度分布的样本是通过喷射生成的，但也提出了“条件采样算法”。总的来说，他们提出的方法的一个吸引人的方面是，它没有明确地使用copula密度。在copula密度计算成本很高甚至未知的情况下，这可能是有利的。然而，与所有蒙特卡罗方法一样，我们认为，所提出的方法也有缺点，可以通过开发约束copula空间中的顺序蒙特卡罗采样器（SMC采样器）解决方案而不是IS解决方案来克服。在简化U的联合行为的假设下，给出了F∧的最佳分布，但一般来说，选择混合分布F∧的唯一限制是P[∧=0]>0。

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能者818

2022-5-7 00:13:55

从X | X>B中取样，提出的算法之一如下所示。算法1：来自[1]的IS-ACH算法。输入：N：FV的期望样本量；F∧：混合分布（如（3.6）所示）；对于j=1。。。N样本∧（j）~ F∧；样本u（j）~ C直到max{u（j），…，u（j）d}>∧（j）；定义x（j）i:=F-1iu（j）i对于i=1。。。，D计算重要性权重w（j）：=w（u（j）），如第5节[1]中所述；计算归一化重要性权重W（j）=W（j）PNj=1w（j）；定义{eu（jk）}eNk=1为{u（j）}Nj=1的子集，即Pdi=1ex（jk）i>B；最终结果：加权随机样本（随机样本大小）：u（j），W（j）eNj=1；关于算法1，需要强调几点。首先，让E[NV]表示来自C的期望绘图数，以使样本满足max{u，…，ud}>∧。可以很容易地证明（见[1]，引理4.2）E[NV]=Z1- C（λ1）dF∧（λ），其中1=（1，…，1）∈ Rd.因此，要从FV中生成固定大小N的样本，有必要从C中（平均）采样N×E[NV]次。该算法的另一个重要方面是了解以非零权重获得的“粒子”（样本）数量。由于p:=p[λ=0]必然是正的，我们可以确保FvN中的一些样本实际上来自无条件copula C，这意味着p×0.99×100%的粒子预计不会满足条件Pdi=1Xi>V aR0。99（Pdi=1Xi）。对于λ>0，预期会出现相同的行为，在实践中导致toeN（如算法1最后一步中所定义）小于N，并且在与资本配置相关的情况下，这种差异可能是显著的，在资本分配问题中，这种情况在计算成本和效率方面可能是一个严重的问题，这将在第7节中讨论。接下来，我们将介绍一类与所讨论的基于IS的解决方案完全不同的方法。

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2022-5-7 00:13:59

这些将基于一类算法，该算法将IS解决方案扩展到顺序设置，在统计学文献中称为顺序蒙特卡罗采样器（SMC采样器）。为了理解SMC采样器，我们首先将SMC算法称为SMC算法，然后将其推广到SMC采样器算法类。copula相关风险模型下资本配置的SMC采样器94通过中间集合序列达到罕见事件使用中间集合近似条件密度fX | g（X）的想法∈A（x）是从无条件分布fX（x）开始采样，并通过“不太罕见”集将加权粒子移向稀有条件集。使用上一节中的符号，对于固定函数g和集合a，让{At}Tt=1e一系列嵌套集合收缩为a，即，At 在-1在↓ A、当t→ T.这个集合序列定义了一个区域序列（如前所述）：GXt:={xt∈ Rd:g（xt）∈ 在}，GUt：=美国犹他州∈ [0,1]d：F-1（ut，1）。。。，F-1d（ut，d）∈ GXt.虽然这是真的∈ GXt<==> 美国犹他州∈ 内脏，含ut=（ut，1，…，ut，d）：=F（xt，1）。。。，Fd（xt，d）我们将在续集中看到，在有界空间[0，1]dwe中工作将在算法设计中具有一些优势。在这个设置中，我们的目标最终是从条件连接词c（uT | uT）中获得（加权）样本nu（j）T，W（j）ToNj=1∈ 然后通过边缘逆cdf进行转换，以便从fX（x | x）获得加权样本∈ GXT）。按照第5.2节中使用的符号，我们定义了每个时间步（水平）t=1。。。，T作为πT（ut）：=c（ut）1{ut∈GUt}（ut）P[ut∈ [内脏]。（4.1）4.1 Copula约束几何在我们形式化从约束Copula中采样的算法之前，我们将研究Copula空间中约束区域的一些性质，定义在（3.2）和（3.3）中，对于g（X）=Pdi=1xind A=[B+∞).

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2022-5-7 00:14:03

其想法是，对限制区域的了解可以帮助我们设计更有效的采样方案。对于不同的限制条件，可以进行类似的分析。在Rd中，我们的兴趣是研究Pdi=1xi=B的点，这些点与[0,1]中的点相同，比如Pdi=1F-1i（ui）=B。很容易看出，这些曲线中的每一条（在Rdor[0,1]d中）都位于a和d中- 一维空间。形式上，这些曲线通过以下映射SEGx定义：=（（x，…，xd）-1) ∈ 研发部-1:（x，…，xd）-B，1-D-1Xi=1Xi），eGU：=U-d:=（u，…，ud）-1) ∈ [0,1]d-1:Uud-1，r（u）-d）, （4.2）其中r（u）-d）：=FdB-警察局-1i=1F-1i（用户界面）.首先，请注意，如果g是一个一般的连续函数，所有的边缘CDF都是F。。。，F连续那么曲线Egu（定义类似于（4.2））将是连续的。此外，区域GUin（3.3）不是不相交集的并集，而是一个连续区域。在特定情况下，这些区域的一些其他属性可能会被导出。例如，我们知道在线性情况下（g（X）=Pdi=1Xi），[0,1]中的曲线将通过这些点F（B），0。。。，0,0，F（B），0。。。，0, ...,0, ..., 0，Fd（B）.另一个关于曲线的有趣信息是由曲线给出的，如下一个建议所示。命题4.1（4.2）中定义的曲线在（u，…，ud）处是凸的-1，r（u）-d））ifhu-Dr（u）-d） u-di>0，U-D∈ 研发部-1，其中hx，yi是x和y的内积f是原始spacex10中f.10 Rodrigo S.Targino等人10 20 40 50 6020 40 60 80 100约束的Hessian矩阵。2 Copula空间中的0.4 0.6 0.8 1.00.2 0.4 0.6 0.8约束10 20 30 50 6020 40 60 80 100原始空间中的约束x1x20。2 Copula空间中的0.4 0.6 0.8 1.00.2 0.4 0.6 0.8约束210 20 30 50 6020 40 60 80 100原始空间x1x20中的约束。2 0.4 0.6 0.8 1.00.2 0.4 0.6 0.8 Copula空间中的约束2图。

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2022-5-7 00:14:06

4.1参数为2的Frank copula，对数正态边际cdf，两者都具有相同的u=3，σ=0.4，σ=0.6。（顶层）原始空间中的约束，对于B=0,23,46（底层）Copula空间中的约束[0,1]，对于等价级别。在特殊情况下，r（u-d）：=FdB-警察局-1i=1F-1i（用户界面）Hessianmatrix的一般术语如下所示：Ruj英国（u-d） =fdB-警察局-1i=1xifj（xj）fk（xk），J6=k，j，k=1。。。，D- 1.Ruj（u-d） =fdB-警察局-1i=1xifj（xj）+fdB-警察局-1i=1xifj（xj）[fj（xj）]，j=k，j=1。。。，D- 这里，我们再次使用符号xi=F-1i（用户界面）使上述公式更具吸引力。根据命题4.1，在d=2和X的特殊情况下≥ 0（例如，代表损失）仅由签准（B）确定的图形凹度-x） f（x）+f（B-x） f（x）。这是因为分母是密度函数（非负）的幂，而它是非负的。在图4.1中，我们可以看到，对于不同的约束级别，[0,1]中的曲线呈现不同的形状，从凸区域到凹区域不断变化。5序贯蒙特卡罗方法（SMC）在本节中，我们将介绍称为序贯蒙特卡罗（SMC）的一般算法类，以及罕见事件模拟的一个重要变体，SMC采样器方法类。这一系列蒙特卡罗算法是用来逼近由概率密度函数序列构成的积分序列的。

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2022-5-7 00:14:09

当然，当兴趣仅存在于一个分布中时，调整是可能的，例如中间事件序列中的终端分布，如第4节中介绍的想法所示。近年来，SMC方法已经出现在工程、概率和统计学领域。这些方法的变体有时出现在粒子过滤或相互作用粒子系统的名称下，例如[40]、[20]、[16]，其理论性质已在[13]、[16]、[11]、[30]中进行了广泛研究。关于该主题的最新调查，重点是经济、金融和保险应用，读者可参考[12]和[18]。有关金融环境中罕见事件的应用，请参见[10]。copula相关风险模型下资本配置的SMC采样器11标准SMC方法的一般背景是，人们想要近似（通常是自然发生的）概率密度函数（pdf）序列eπtT≥1该序列中每个功能的支持定义为支持eπt= Et和Et的维数形成一个递增序列，即dimEt-1.< 暗淡的Et. 例如，读者可以想到E=Rd。。。，Et=Rd×t，这正是整个工作中要使用的顺序。我们还可以假设，eπ仅已知一个归一化常数，eπt（x1:t）=Z-1teft（x1:t），其中x1:t:=（x，…，xt）∈ Et=Rd×t。如第3.1节所述，eπt的近似值由随机样本（也称为“粒子”）的加权和给出。在程序上，我们初始化算法，从分布eπ中采样一组N个粒子，并将归一化权重设置为W（j）=1/N，对于所有j=1。。。，N如果不能直接从eπ中取样，则应从重要性分布eq中取样，并相应地计算其权重（参见算法2）。

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2022-5-7 00:14:13

然后通过三个主要过程：突变、校正（增量重要性加权）和重采样，粒子依次在序列中的每个分布eπ中传播。在第一步（突变）中，我们从时间t开始传播粒子- 1到时间t，在第二次（校正）中，我们计算粒子的新重要性权重。这种方法可以看作是一系列的IS步骤，其中每个步骤的目标分布为iseft（x1:t）（eπt的非标准化版本），重要性分布由eqt（x1:t）=eq（x）tYj=2Kj（xj）给出-1，xj），（5.1）其中Kj（xj）-1、·）是从时间t开始传播粒子的机制- 1到t，称为突变阶段。该算法的工作方式如下：算法2：标准SMC算法。输入：是密度均衡（正向）变异核Kt（xt）-1，xt）Tt=1；对于j=1。。。，N来自x的样本x（j）~ eq（·）（突变步）；计算权重w（j）=ef（x（j））eq（x（j））；计算归一化权重W（j）=W（j）PNj=1w（j）（校正步骤）；对于t=2。

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2022-5-7 00:14:16

，T doj=1。。。，N样本x（j）t来自XtXt-1=x（j）t-1.~ Kt（x（j）t-1、·（突变步骤）；创建向量x（j）1:t:=（x（j）1:t-1），x（j）t）；计算权重w（j）t=eft（x（j）1:t）eqt（x（j）1:t）=w（j）t-1ft（x（j）1:t）eft-1（x（j）1:t-1） Kt（x（j）t-1，x（j）t）|{z}增量权重：eα（x（j）1:t）；end计算归一化权重W（j）t=W（j）tPNj=1w（j）t（校正步长）。最终结果：加权随机样本x（j）1:t，W（j）tNj=1近似eπt，对于所有t=1。。。，T如果x（j）1:t，W（j）tNj=1是SMC算法返回的一组加权粒子，nnxj=1W（j）t~n（x（j）1:t）-→ Eeπt[~n（X1:t）]：=ZEt~n（X1:t）eπt（X1:t）dx1:t，（5.2）eπt–几乎可以肯定为N→ +∞, 对于任何测试函数，使得eπtexists下的期望值。备注5.1读者应注意，对于通用SMC算法的实现，eπtup到标准化常数的知识是有效的，因为eπtandeft和eπtandeft的权重标准化版本是相同的。12 Rodrigo S.Targino等人[21]对SMC方法中变异核（SMC重要性分布）的最佳选择进行了广泛研究，并对最小化增量重要性抽样权重方差的最佳选择进行了良好的教程回顾。文献中还提供了SMC算法的一系列已知概率属性，用于保险背景下关于这些属性的教程参见[18]。这包括SMC算法的中心极限定理结果、渐近方差表达式、有限样本偏差分解、混沌传播以及有限样本浓度不等式边界的详细信息。

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2022-5-7 00:14:21

还有一些关于SMC算法的教程，如[21]和[16]的书长覆盖率。5.1重采样和移动粒子在实践中，前一节中介绍的通用算法最终（随着t的增加）将只基于几个不同的粒子，即几乎所有其他粒子都具有可忽略的权重。这种现象被称为粒子简并。为了克服这个问题，当系统太简并时，可以在校正步骤后对所有粒子x1:t重新采样，选择概率与W（j）t成正比的第j个粒子。在[31]中，建议使用有效样本量（ESS）来测量样本简并度，其中：=NXj=1（W（j）t）-1只有当ESSt<M时，才应执行重新采样步骤——根据经验，我们可以设置M=N/2。需要注意的是，在这一步之后，我们需要为所有粒子设置W（j）t=1/N，因为它们是均匀分布的。尽管重采样步骤缓解了简并问题，但在取样器的每个阶段，其连续重新应用都会产生所谓的样品贫化，即不同粒子的数量非常少。在[24]中，有人建议添加一个带有任何内核的移动，以使目标分布相对于它保持不变，从而使系统恢复活力。例如，该核可以是马尔可夫链核，它将从目标分布的等权重样本开始，然后在Metropolis Hastings接受-拒绝机制的单个步骤下对它们进行扰动。

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2022-5-7 00:14:24

这将保留目标分布，并为粒子云增加多样性。更准确地说，我们可以应用任何内核M（x1:t，x）*1:t）这使得eπt移动粒子x1:ttox*1:t（恒星将表示“移动”步骤后的粒子），即eπt（x）*1:t）=ZM（x1:t，x*1:t）eπt（x1:t）dx1:t。构造这样一个核M的两种最简单的方法是使用吉布斯采样器或Metropolishistings（M-H）算法。为了使用吉布斯抽样算法，完整条件分布eπt（x1:t，i | x1:t，1，…，x1:t，i-1，x1:t，i+1。。。，x1:t，d），对于i=1。。。，d、必须按比例了解，而M-H则不需要。另一方面，在M-H算法中，需要设计适当的密度Q（x1:t，x）*1:t）移动粒子x1:tOx*1：针对它的某些组件，例如xttox*t、 Gibbs采样器的算法为3。有关Metropolis Hastings和/或CMC方法的更多详细信息，请参见[22]。算法3：吉布斯取样器算法。输入：完整的条件pdf:eπt（x1:t，1 | x1:t，2，…，x1:t，d）。。。，eπt（x1:t，d | x1:t，1，…，x1:t，d）；来自eπt:x1:t=（x1:t，1，…，x1:t，d）的样本；样本x*1:t，1~ eπt（x1:t，1 | x1:t，2，…，x1:t，d）；样本x*1:t，2~ eπt（x1:t，2 | x*1:t，1，x1:t，3。。。，x1:t，d）；。。。样本x*1:t，d~ eπt（x1:t，d | x）*1:t，1。。。，十、*1:t，d-1) ;结果：eπt:x的新样本*1:t=（x）*1:t，1。。。，十、*1:t，d）；将重采样和“移动”步骤纳入通用SMC算法中，会产生“重采样移动”算法，该算法首次出现在[24]中，随后在SMC文献中广泛使用。SMC算法的通用类虽然在实践中广泛使用，但不能直接应用于本工作中解决的问题，因为序列（4.1）中的所有分布都是在相同的支持下定义的，即Et=E，而不是Et=E×。。。

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kedemingshi

2022-5-7 00:14:27

根据刚刚描述的SMC算法的要求。copula相关风险模型下资本配置的SMC采样器13为了克服这个问题，下一节将介绍这种方法的一个特殊变体，名为SMC采样器。5.2 SMC Sampler提出了SMC类算法，相比之下，我们现在提出的SMC类算法涉及与SMC算法相同的机制，也在每次迭代中使用变异、校正和重采样阶段。然而，SMC采样器算法的类别在确定采样分布序列的空间中有着重要的不同。与第5节不同，我们现在感兴趣的是近似概率分布的一般序列{πt}Tt=1，即supp（πt）=supp（πt-1） =E对于所有t=1。。。，T（人们可能再次想到E=Rd）。在这里，我们还可以假设我们的目标分布仅已知一个归一化常数，即πt（xt）=Z-1英尺（xt）。为了清楚起见，放大空间中的功能将用aupper tilde、aseft:Et表示-→ R.[37]和[17]中提出的想法是将这个问题转化为一个类似于通常公式的问题，其中目标分布序列{eft}Tt=1定义在产品空间上，即supp（eft）=e×e×。。。x E=Et。ft（路径空间中的密度）的构造为：eft（x1:t）=ft（xt）eft（x1:t）-1 | xt），对于t=2。。。，T（5.3），其中eft（x1:T-1 | xt）是空间Et上的概率分布-1.无论如何∈ E.与（5.1）类似，我们可以在时间t进行重要性分布的构造。如[37]和[17]所述，这是一个明智的选择-1 | xt）由eft（x1:t）给出-1 | xt）=t-1Ys=1Ls（xs+1，xs），其中每个LSI表示（人工）后向马尔可夫核的密度。

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2022-5-7 00:14:30

需要注意的是，通过构造，eft（x1:t）允许ft（xt）作为边缘，因为ZEFT（x1:t）dx1:t-1=ft（xt）Zt-1Ys=1Ls（xs+1，xs）dx1:t-1=英尺（xt），t>1。此外，如果EFTADMITS FTA为边缘，则放大密度的标准化常数将与原始密度相同：Zeft（x1:t）dx1:t=Z Zeft（x1:t）dx1:t-1dxt=Zft（xt）dxt=Zt。现在我们回到上一节的SMC框架，我们可以很容易地编写SMC算法（算法4）。此外，第5.1节中的重采样移动策略仍然可以使用。5.2.1反向内核选择引入内核序列{Lt-1} Tt=2在SMC采样器中创建了一个新的自由度，与通常的SMC算法相比，后者只需设计前向变异核{Kt}Tt=1。在本节中，我们将讨论在给定核{Kt}Tt=1的情况下，如何优化反向核{Lt]的选择-1} Tt=2。用qt（xt）表示时间t的边际重要性分布，由qt（xt）=Zeqt（x1:t）dx1:t给出-1=Zq（x）tYj=2Kj（xj-1，xj）dx1:t-1.（5.4）在我们知道如何精确计算qt的情况下，我们可以通过加权样本{x（j）t，W（j）t}来近似目标分布，其中xt~ qt和WT是WT的标准化版本：=ft（xt）qt（xt）。从QT的定义可以看出，如果很容易从qand和所有内核中取样，那么从QT中取样是很简单的。另一方面，如果我们是14 Rodrigo S.Targino等人算法4:SMC采样器算法，QT的密度将是可处理的。输入：是密度q，（正向）变异核Kt（xt）-1，xt）Tt=1，（人工）向后内核书信电报-1（xt，xt-1)Tt=1，移动内核Mt（bxt，xt）；对于j=1。。。，N来自x的样本x（j）~ eq（·）（突变步）；计算权重w（j）=ef（x（j））eq（x（j））；计算归一化权重W（j）=W（j）PNj=1w（j）（校正步骤）；对于t=2。

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