CxLS属性的风险度量

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收藏 2022-05-07

英文标题：
《Risk measures with the CxLS property》
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作者：
Freddy Delbaen, Fabio Bellini, Valeria Bignozzi and Johanna F. Ziegel
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
In the present contribution we characterize law determined convex risk measures that have convex level sets at the level of distributions. By relaxing the assumptions in Weber (2006), we show that these risk measures can be identified with a class of generalized shortfall risk measures. As a direct consequence, we are able to extend the results in Ziegel (2014) and Bellini and Bignozzi (2014) on convex elicitable risk measures and confirm that expectiles are the only elicitable coherent risk measures. Further, we provide a simple characterization of robustness for convex risk measures in terms of a weak notion of mixture continuity.
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中文摘要：
在本文中，我们刻画了在分布水平上具有凸水平集的由法律决定的凸风险测度。通过放松Weber（2006）中的假设，我们证明了这些风险度量可以用一类广义短缺风险度量来识别。作为直接结果，我们能够扩展Ziegel（2014）和Bellini and Bignozzi（2014）中关于凸可引出风险度量的结果，并确认预期值是唯一可引出的一致风险度量。此外，我们利用混合连续性的弱概念，给出了凸风险测度鲁棒性的一个简单刻画。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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Risk_measures_with_the_CxLS_property.pdf
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大多数88

2022-5-7 02:49:47

CxLS属性的风险度量Freddy Delbaen，Fabio Bellini，Valeria Bignozziand Johanna F.Ziegel 2018年9月1日7日摘要在本文中，我们描述了在分布水平上具有凸水平集的由法律确定的凸风险度量。通过放松Weber（2006）中的假设，我们证明了这些风险度量可以与一类广义短缺风险度量相识别。作为直接结果，我们能够扩展Ziegel（2014）和Bellini and Bignozzi（2014）关于凸可引出风险度量的结果，并确认预期值是唯一可引出的一致风险度量。此外，我们利用混合连续性的弱概念，给出了凸风险测度鲁棒性的一个简单刻画。关键词：决策理论，可引出性，凸水平集，不足风险度量，混合连续性，鲁棒性。1引言本文的主要目的是研究和刻画具有“分布水平上的凸水平集”（CxLS）的风险度量，即ρ（F）=ρ（G）=γ=> ρ（λF+（1）- λ） G）=γ，对于每个λ∈ （0，1），其中F和G是概率分布。对这一属性的财务解释是，两个风险相同的头寸的任何组合都具有相同的风险。在风险度量的公理理论中，将风险的点态和视为公共状态空间上的随机变量，引入凸性或拟凸性要求是有代价的Ohm, 以模拟多元化的激励。

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大多数88

2022-5-7 02:49:51

相反，Cxls属性自然地作为可引出性的必要条件出现，即被定义为是适当预期损失的最小值的属性。更正式地说，如果存在评分函数S:R，则可以导出由法律确定的风险度量ρ→ 使得ρ（F）=arg minxZS（x，y）dF（y）。几位作者提出，可引出性是与回溯测试和风险度量不同预测的准确性比较相关的要求。我们参考了感兴趣的读者Togneting（2011）、Ziegel（2014）、Bellini和Bignozzi（2014）、Embrechts等人（2014）、Davis（2013）以及其中的参考文献。在决策理论中，CxLS属性通常被称为中间性；这是VonNeumann-Morgenstern理论的独立性公理的可能放宽之一（例如，见Dekel，1986；Chew，1989）。在韦伯（2006）的开创性论文中，作者证明，在我们在第3节详细讨论的附加条件下，在分布水平上具有上下凸水平集的货币风险度量属于F¨ollmer和Schied（2002）引入的短缺风险度量类，如下所示：ρ（F）=infM∈ R|Zl（十）- m） dF（x）≤ 0,对于一个合适的非减量和非恒定损失函数l : R→ R.与韦伯定理相比，我们将自己局限于凸风险测度的更受限制的情况。相反，我们放松了Weber的假设条件，以完全刻画具有CxLS性质的凸律确定风险测度。我们在定理3.8中看到，这样的风险度量对应于广义空头函数，在广义空头函数中，损失函数也可以假定+∞.

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mingdashike22

2022-5-7 02:49:54

因此，我们确认了Ziegel（2014）的结果（另见？），并表明唯一可引出的一致性法律确定的风险度量是预期，可定义为与损失函数相关的短期风险度量lα（x）=αx+- (1 -α） x-,对于α≥. 有关预期的更多信息，请参考纽伊和鲍威尔（1987年）、德尔巴恩（2013年）、贝利尼等人（20 14）。作为我们分析的副产品，我们提供了凸风险度量鲁棒性的一个简单表征。在Kr¨atschmer等人（2014年）、Stahl等人（2012年）和其他人的工作之后，法律确定的风险度量的稳健性概念通常与其与ψ-弱收敛的连续性相一致，由fnψ定义→ F如果Fn→ F弱与zψdFn→ZψdF，其中ψ：R→ [0, + ∞) 连续规范函数满足ψ吗≥ 1外面有一些紧凑的装置和边缘→∞ψ（x）=+∞. 我们在命题2中展示。5.对于凸律确定的风险度量ρ，稳健性等价于混合连续性的弱形式：limλ→0+ρ（λδx+（1）-λ） δy）=ρ（δy），对于每个x，y∈ R.众所周知，在关于风险度量的文献中，几个指示系统和符号约定共存。为了便于参考，本文将遵循Delbaen（2012），因此凸风险度量的概念将被凹效用函数的概念取代。本文的结构如下：在第2节中，我们讨论了稳健性问题，而在第3节中，我们提供了凹的、由法律决定的CxLS的特性。辅助结果移至附录。2.凹型货币效用函数2的连续性。1注释和初步在本小节中，我们设置了编号，并回顾了concaveutility函数的基本性质。所有未经引用的结果可在Delbaen（2012）中找到。让(Ohm, F、 P）是一个无原子概率空间。

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kedemingshi

2022-5-7 02:49:57

这不是一个很大的限制，因为它只是意味着Ohm 我们可以用连续分布函数定义一个随机变量。有几条语句只对无原子空间有效，所以我们将使用这一假设，不再重复。效用函数是任何函数u:L∞→ R.对于每个h，如果u（ξ+h）=u（ξ）+h，我们说u是翻译不变量∈ R它是单调的≤ ηa.s。=> u（ξ）≤ u（η）；如果u是平移不变、单调且满足u（0）=0，则它是货币。货币效用函数的性质可以通过其接受集a:={ξ来恢复∈ L∞| u（ξ）≥ 0};特别地，u是凹的当且仅当接受集A是凸的。效用函数u由定律决定（或定律不变）ifLaw（ξ）=定律（η）=> u（ξ）=u（η）。一个由定律决定的效用可以被看作是M1，c（R）上的一个函数，这是R上具有紧支撑的概率测度集。单调性性质意味着每个F，G∈ M1，c（R）F≤stG=> u（F）≤ u（G），在哪里≤St表示通常的随机顺序，称为一阶随机优势；如果u是凹的，那么alsoF≤cvG=> u（F）≤ u（G），在哪里≤Cv是凹阶，也被称为二阶随机优势（例如见B¨auerle and M¨uller，2006；Cherny a and Grigoriev，2007）。可接受位置的分布集将用n表示：={Law（ξ）|ξ∈ A} 。由函数u:M1，c确定的定律→ 如果u（Fn），R是弱连续的→u（F）当Fn→ F弱；它是ψ-弱连续的ifFnψ→ F=> u（Fn）→ u（F）。显然，由于ψ-弱收敛意味着弱收敛，因此它允许弱连续性意味着ψ-弱连续性，并且对于每个规范函数ψ，弱闭集是ψ-弱闭的。一个效用函数u:L∞→ 如果对于每个ξn，r是Fat-ou性质∈ L∞, 用supnkξnk∞< +∞, 它包含ξnP→ ξ => u（ξ）≥ 林尚→+∞u（ξn）。

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nandehutu2022

2022-5-7 02:50:00

(1) ?法头？货币凹效用函数u:L∞→ 具有Fatou性质的R具有以下对偶表示：u（ξ）=inf式[ξ]+c（Q）|Q∈ P, (2) ?二重的其中P={Q | Q<< P} 是关于P和惩罚函数c:P绝对连续的概率测度集→ [0, +∞] isconvex和下半连续。我们通常会通过Radon-Nikodym导数dQ/dP将P识别为L+的子集。如果货币凹效用函数u是由定律决定的，那么u（ξ）≤ EP[ξ]（见附录中的引理4.2），这意味着c（P）=0。以下Kusuoka代表持有（Kusuoka，2001））：u（ξ）=infnZuα（ξ）ν（dα）+c（ν）|ν∈ M[0，1]o，（3）？库苏卡？其中M[0，1]是[0，1]上所有概率测度的集合，c:M[0，1]→[0, +∞] 是凸的和下半连续的，uα代表α级的尾部风险值（TVaR）∈ （0，1）由uα（ξ）=αZαqx（ξ）dx定义，其中qx表示x级的分位数函数，u（ξ）=ess inf（ξ）。如果罚函数c:P，则货币凹效用u具有弱紧性（WC）→ [0, +∞] 在对偶表示中（2）有较低的水平集Sm:={Q∈ P|c（Q）≤ m} 在弱拓扑σ（L，L）中是紧的∞). WC属性相当于所谓的delebsgue属性：ξnP→ ξ、 supnkξnk∞< +∞ => u（ξn）→ u（ξ），（4）？勒贝格？这是一个比法头地产更强烈的连续性要求。如果确定了u，那么WC属性相当于Kusuoka表示中惩罚函数c的以下属性：ν（{0}）>0=> c（ν）=+∞.在相干情况下，对偶表示为comesu（ξ）=inf式[ξ]|Q∈ s,在哪里 P是概率测度的凸集，闭于σ（L，L）中∞)拓扑结构。WC性质相当于σ（L，L）中S的紧性∞) 拓扑，由Dunford-Pettis定理得到的拓扑等价于S的一致可积性。

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大多数88

2022-5-7 02:50:03

还记得吗 Lis一致可积ifε > 0 δ>0，使得P（A）<δ=> supφ∈SZAφdP<ε。一致可积性的特征是德拉瓦利-普桑准则：Sis一致可积当且仅当存在函数Φ：R+→ R、增加，凸，Φ（0）=0和Φ（x）/x→ +∞ 为了x→ +∞, 如此之多∈SEhΦdQdP我+∞.在法律认定的案件中，Kusuoka代表becomesu（ξ）=infZν（dα）uα（ξ）|ν∈ s,对于每一个ν，WC性质等价于ν（{0}）=0∈ S.A（有限值）杨函数是凸函数Φ：[0，∞) → [0, ∞)Φ（0）=0和limx→+∞Φ（x）=+∞. 在{Φ>0}上，一个Young函数必须是非增、连续且严格递增的。Orliczspace LΦ定义为LΦ：={X|E[Φ（c|X|）]<∞ 对于某些c>0}；Orlicz heart isHΦ：={X|E[Φ（c|X|）]∞ 对于每一个c>0}。卢森堡标准定义为kxkΦ：=infnλ>0 | E[Φ（|X/λ|）]≤ 1AND生成LΦ和HΦBanach空间。最后，我们说Φsatifiesa条件如果Φ（2x）≤ kΦ（x），对于某些k>0，对于x≥ 十、在这种情况下，HΦ=LΦ。对于Orlicz空间理论和风险度量的应用，请参考Rao和Ren（1991）、Edgar和Sucheston（1992）、Cheridito和Li（2008）、Cheridito和Li（2009）以及其中的参考文献。2.2混合连续性在这一部分中，我们研究了由法律决定的凹型货币效用的混合连续性。我们说效用u是F，G的连续混合物∈ M1，c，函数λ7→ u（λF+（1）- λ） G）在[0,1]上是连续的。下一个命题表明，在F=δx，G=δy且x<y的情况下，λ的连续性∈ （0，1）总是令人满意的。命题2.1.让u:L∞→ R是由货币效用决定的凹律，设x，y∈ R、当x<y时，映射λ7→ u（λδx+（1）- λ） δy）在每个λ处是连续的∈ （0，1）。证据。

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能者818

2022-5-7 02:50:06

所考虑的并矢变量在αo级的TVaR由uα（λδx+（1）给出- λ） δy）=（λαx+α-λαy如果0<λ<αx如果α≤ λ ≤ 是λ的分段线性、非增凸函数。因此，对于每一个ν∈ M[0,1]，函数gν（λ）：=Zuα（λδx+（1）- λ） δy）ν（dα）也是非递增的，且与gν（0）=y和gν（1）=x成凸关系- λ） δy）=inf{gν（λ）+c（ν）|∈ M[0，1]}，通过单调性，函数u（λδx+（1- λ） δy）在（0，1）上保持连续（至少对于x<y）。引理4.3表示u（λδx+（1- λ）对于λ，δy）在λ中是连续的∈ (0, 1). 最后，（1）给出slim supλ→1.-u（λδx+（1）-λ） δy）≤ u（δx），所以从单调性来看，它遵循limλ→1.-u（λδx+（1）- λ） δy）=u（δx）。最简单的例子是λ的混合连续性→ 0+表示相干实用程序u（ξ）=ess inf（ξ）。还有许多其他例子，例如u（ξ）=γE[ξ]+（1）- γ） ess inf（ξ），对于γ∈ (0, 1). 事实上，我们证明了命题2.5，对于一个由λ的混合连续性性质决定的定律→ 0+相当于WC性能。我们从描述本质开始。引理2.2。让你：我∞→ R是由货币效用决定的凹形定律。如果存在a>0和kn↑ 你说什么α ∈ （0，1）我们有u（αδkn+（1）- α） δa）<0，则u（ξ）=ess inf（ξ）。证据我们首先表明，对于每个knand，对于所有B∈ 当P（B）>0时，存在一个Q∈ P与c（Q）≤ -克南德Q（公元前）≤-克纳。(5) ?情商：cBc？让B∈ F，P（B）>0。然后从假设u（knB+aBc）<0和双重表征来看，存在Q∈ P使得knq（B）+aQ（Bc）+c（Q）<0，从而使saq（Bc）+c（Q）<-knQ（B）≤ -kn，hencec（Q）≤ -克南德Q（公元前）≤-克纳。对于任何ξ∈ L∞, ξ ≥ 0，且β>0，letB:={ξ≤ ess-inf（ξ）+β}。显然，P（B）>0。

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能者818

2022-5-7 02:50:11

把Q作为（5），我们有tha-tu（ξ）≤ 式（ξ）+c（Q）≤ （ess-inf（ξ）+β）Q（B）+kξk∞Q（Bc）+c（Q）≤ ess-inf（ξ）+β+-knakξk∞- 千牛。因为这个不等式适用于每一个β>0，所以↑ 0表示u（ξ）=ess-inf（ξ）。引理2.3。让你：我∞→ R是由货币效用决定的凹形定律。如果存在a>0，kn→ -∞ αn∈ （0，1）使得u（αnδkn+（1- αn）δa）≥ 0，则u具有WC属性。证据我们证明了Sm={dQ/dP | c（Q）≤ m} 是一致可积的。让P（A）≤ αn.然后αnδkn+（1-αn）δa≤stP（A）δkn+（1）-P（A））δA，sou（knA+aAc）≥ 0表示所有QknQ（A）+aQ（Ac）+c（Q）≥ 0，这意味着Q（A）≤a+c（Q）-千牛≤a+m-千牛。让kn→ -∞, 我们发现，集SMI关于P是一致绝对连续的，因此是一致可积的。前面的引理表明有三种可能的情况。Letk<0，a>0。为了简洁起见，假设条件C对（k，a）成立，如果存在α∈ （0，1）使得u（αδk+（1- α） δa）≥ 0.提议2.4。让你：我∞→ R是由货币效用决定的凹形定律。然后有以下替代方案：a）u（ξ）=ess inf（ξ），在这种情况下，条件C对任何（k，a）都不成立，b）u（ξ）具有WC属性，在这种情况下，条件C对每个（k，a）都成立，C）u（ξ）6=ess inf（ξ），并且没有WC属性，在这种情况下，条件C只对某些（k，a）成立。证据a）如果u（ξ）=ess-inf（ξ），那么条件C显然永远不会成立。

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能者818

2022-5-7 02:50:14

因此，相反的含义是引理2.2的直接结果。b）如果u（ξ）具有WC性质，那么函数λ7→ u（λδx+（1）- λ） δy）对λ也是连续的→ 0+，这是Lebesgue属性的结果。实际上，对于任何序列λn→ 0+，设ξn~ λnδx+（1）- λn）δy，ξ=y P-a.s.和ξnP→ ξ、用supnkξnk∞≤ |y |，所以f r om（4）我们得到u（λnδx+（1）- λn）δy）→ u（δy）。由于u（k）=k<0且u（a）=a>0，存在α∈ （0，1）这样的tha-tu（αδk+（1-α） δa=0；因此，条件C适用于每一个（k，a）。反向复制是引理2.3的结果。c）紧接着从a）和b）开始。评论与韦伯（2006）中的条件（3.1）进行比较很有趣。在我们的符号中，韦伯的要求是存在a>0，这样对于每k<0，条件C保持（k，a）。对于凹律决定的货币效用，当且仅当u（ξ）具有WC性质时，满足韦伯条件（3.1）。if部分来自命题2.4第b项），而only if部分来自引理2.3。在命题2.1中，我们证明了由货币效用决定的任何凹律在λ的并矢变量上是混合连续的∈ （0，1）。从命题2.4的三分法可以得出λ的附加连续性→ 对于某些规范函数ψ，0+等价于WC性质和ψ-弱连续性。提议2.5。让你：我∞→ R是由货币效用决定的凹形定律。以下是等效的：a）u具有WC属性。b）对于some规范函数ψ，u是ψ-弱连续的。c）对于每个x，y∈ 当x<y时，函数λ7→ u（λδx+（1）- λ） δy）对于λ是连续的→ 0+.证据首先，我们展示a）=> b）。让我们首先考虑一下你是不同的情况。然后，从WC属性可以得出，对偶表示u（ξ）=inf中的广义符号集式[ξ]|Q∈ s在σ（L，L）中是紧的∞) 拓扑，因此一致可积。

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何人来此

2022-5-7 02:50:16

根据德拉瓦利-普桑准则，存在一个年轻函数Φ和Φ（x）x→ +∞ f或x→ +∞ 真是太好了∈东南方ΦdQdP< +∞,所以S在Orlicz空间LΦ中有界。根据Cheridito和Li（2008）以及Cheridito和Li（2009）的结果，用ψ表示Φ的凸共轭，可以得出一致效用u在Orlicz炉床ψ上的有限值。如果ψ满足条件，然后从Kr¨atschmer等人（2014）的结果来看，对于ψ（x），u是ψ-弱连续的：=ψ（|x |），hencewe立即有b）。反之，如果ψ不满足条件，然后我们考虑规范函数ψ（x）=+∞Xk=1λkψ（k | x |），其中λk=kψ（k）。设ξnψ→ ξ. 根据斯科罗霍德的表述，可以假设ξn→ ξa。s、和E[ψ（|ξn |）]→ E[ψ（|ξ）]。(6) ?卷积和多项式相乘？通过ψ的连续性，它遵循ψ（|ξn |）→ ψ（|ξ|）a.s.，自ψ（|ξn |）≥ 0a.s.和E[ψ（|ξn |）]→ E[ψ（|ξ|）]，从舍夫引理可以得出ψ（|ξn |）L→ ψ（|ξ|），所以特别是族ψ（|ξn |）是一致可积的。因此，对于所有ε>0，存在C>0，因此对于所有nε≥ E[ψ（|ξn |）{ψ（|ξn |）≥C} ]和自ψ（x）≥ λkψ（k | x |）我们有ε≥ λkE[ψ（k |ξn |）{ψ（|ξn |）≥C} ]≥ λkE[ψ（k |ξn |）{ψ（k |ξn |）≥C/λk}]，从而得到族ψ（k |ξn |）的一致可积性。ψ（k |ξn）族-ξ|）也是统一可积的，因为ψ（|x）-y |）≤ ψ（2 | x |）+ψ（2 | y |）。因此，在（6）中，它认为e[ψ（k |ξn- ξ|)] → 对于每个k>0，这反过来意味着kξn- ξkψ→ 0（参见Edgar and Sucheston（1992）中命题2.1.10的例子）。然后，本文从|u（ξn）以来的不等式出发- u（ξ）|≤ supQ∈序号[|ξn- ξ|] ≤ 2 supQ∈sdQdPΦ·kξn- ξkψ→ 0.现在让我们考虑一个更一般的情况，其中u有一个双重代表u（ξ）=inf式[ξ]+c（Q）|Q∈ P.从WC属性中，设置Sk:={Q∈ P|c（Q）≤ k} 在σ（L，L）中是紧的∞) 拓扑，对于每个k≥ 0 .

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nandehutu2022

2022-5-7 02:50:19

让我们：=dQdP1+c（Q）|Q∈ P.Sis在σ（L，L）中相对顺序紧∞) 拓扑，因为对于任意序列Qn∈ 有两种选择：要么完全属于某个Sk，要么属于某个子序列c（Qnj）→ +∞. 在这两种情况下，qnHa序列都是aσ（L，L∞) 收敛子序列。用S的实闭凸壳表示，S在σ（L，L）上是紧的∞)拓扑，因此一致可积。删除：={f∈ L|ε>0，s.t.εf∈ S} 。Luxemburg范数为：=infnλ的Banach空间|f |λ∈ 所以由于S是一致可积的，根据德拉瓦利-普桑准则，存在一个带Φ（x）x的年轻函数Φ→ +∞ 作为x→ +∞ 这样的t hatsupf∈SE[Φ（|f |）]+∞.亨塞斯 LΦ 五十、我们可以假设∈ , 所以LΦ=HΦ。传给我们的二人组∞ Lψ （ES）*,式中，ψ是Φ的凸共轭。（ES）上的对偶范数*由kξku=supQ给出∈体育课dQdP1+c（Q）|ξ|,自从kξku≤ 1.<==> u(-|ξ|) ≥ -1.因此，u在（ES）上是有限的*因此也在Orlicz心脏Hψ上 Lψ。然后，按照连贯的案例进行证明。证明b）=> c），设u是弱连续的，设x，y∈ R，x<y，则λδx+（1- λ） δy|ψ→ λ的δyf→ 0+，所以从∧ψ-弱连续性，它遵循t hatu（λδx+（1- λ） δy）→ u（δy）。证明（c）=> a），我们通过矛盾假设u不具有WC性质。从命题2.4中，我们知道条件C f针对一些（\'k，\'a\'），其中\'k<0且\'a>0。从命题2.1开始，映射λ7→ u（λδ′k+（1）- λ） δ′a）对于λ是连续的∈ （0，1），它必须保持λ→0+u（λδ′k+（1）-λ） δ\'a）<0<\'a，与c）相矛盾。我们注意到，由于Fatou地产，它始终持有Fn∈ N、补充（Fn） K表示一些紧凑的K和Fn→ F weakly意味着F∈ N

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kedemingshi

2022-5-7 02:50:22

根据前面的定理，如果u具有wc性质，那么对于某些规范函数ψ，接受集N是ψ-弱闭的。3具有cxls的货币凹效用函数从现在起，我们假设货币凹律决定了效用u:L∞→ R在分布水平（CxLS）上具有凸水平集的性质，即isu（f）=u（G）=γ=> u（λF+（1）- λ） G）=γ，对于每个λ∈ (0, 1).我们记得N={Law（ξ）|u（ξ）≥ 0}是分布级别上u的接受集。我们有以下内容：引理3.1。假设u是一个由货币凹律决定的效用函数，使用CxLS。然后：a）N和Ncare关于混合物是凸的。b）设u（ξ）6=ess-inf（ξ）。然后存在一个k<0，使得对于每一个>0，都存在一个α∈ （0，1）使得u（αδk+（1-α） δa）≥ 0.证明。a）让F，G∈ N，让ξ，η使得定律（ξ）=F，定律（η）=G取A∈ 假设变量ξ、η和集合A是独立的。ξ、η和A的存在由引理4.1保证。在不丧失一般性的情况下，假设u（ξ）=u（η）+β，其中β≥ 0，并设ξ′：=ξ- β. 由平移不变性u（ξ′）=u（ξ）- β=u（η）。LetF′=定律（ξ′）；然后ξA+ηAchas定律αF+（1）-α） G和ξ′A+ηAchas定律αF′+（1）-α） G.因为ξA+ηAc=ξ′A+ηAc+βA≥ ξ′A+ηAc，从单调性和CxLS可以看出u（ξA+ηAc）≥ u（ξ′A+ηAc）=u（η）≥ 这就给出了关于混合物的凸性。类似的论点也适用于Nc。b）从命题2.4可知，存在k<0、a>0和α∈ （0，1）使得u（αδk+（1-α） δa）≥ 我们必须证明，对于eacha>0，存在一个合适的α∈ （0，1）使得u（αδk+（1-α） δa）≥ 0 . Ifa≥ a、然后通过莫名其妙α=α来满足论文。

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何人来此

2022-5-7 02:50:25

然后让0<a<a。首先注意，由于u（αδk+（1-α） δa）≥ 0和u（0）=0，根据CxLS和a），对于每个λ∈ （0,1）u（λαδk+（1）- λ)δ+ λ(1 - α） δa）≥ 0.通过选择λ=a（1- α） a+αa，因此λαδk+（1- λ)δ+ λ(1 - α） δa≤cvλαδk+（1）- λα）δa，这意味着u（λαδk+（1- λα）δa）≥ 0.注意。在没有CxLS假设的情况下，项目b）是错误的，这可以通过考虑u（ξ）=ess-inf（ξ）+E[ξ]和k=-a、引理3.1表明，当u（ξ）6=ess-inf（ξ）时，数量k:=inf{k<0|a>0，α ∈ （0,1）与u（αδk+（1）-α） δa）≥ 0} (7) ?卡帕？定义明确，命题2.4表明K=-∞ 当且仅当u具有WC属性。引理3.2。让t（K）和e∈ （K，0）和a>0。ThenC（k，a）：={α| u（αδk+（1- α） δa）≥ 0}是一个闭合区间。此外，让α（k，a）：=max C（k，a），（8）？阿尔法它认为α（k，a）相对于k和a是不减的，而u（α（k，a）δk+（1-α（k，a））δa=0。证据论文的第一部分和最后一个等式来自命题2.1。假设k∈ （K，0）因此0<a（K，a）<1。从u的单调性中我们得到了≤ k′，a≤ a′=> C（k，a） C（k′，a′），它产生α（k，a）的单调性。我们现在平行于Weber（2006）的建设，也包括caseK>-∞. 首先，我们定义了：（K+∞) → R如韦伯（2006）所述。Weset~n（0）=0。为了k∈ （K，0），我们通过φ（K）α（K，1）+（1）隐式定义了φ（K）- α（k，1））=0，因此φ（k）=-1.- α（k，1）α（k，1）=1-α（k，1）<0，（9）？phi1？这在k中是不变的，引理是3.2。对于a>0，我们定义一个参考点k∈ （K，0）和通过（K）α（K，a）+（a）（1）隐式定义（a）- α（k，a））=0，因此φ（a）=-~n（k）α（k，a）1- α（k，a）=~n（k）1+α（k，a）- 1.> 0, (10) ?phi2？这在a中是一个lso非减量，因为|（k）<0。根据参考点k的选择，可以很容易地检查出φ（1）=1。

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大多数88

2022-5-7 02:50:28

因此，一个有效的函数Lа：M1，c→ 当u=α（k，a）δk+（1）时，给定的R等于（9）和（10）中定义的μ的Zudu消失-α（k，a））δaoru=α（k，1）δk+（1- α（k，1））δ。在下面的引理中，我们证明了在更一般形式的所有并矢变量u=α（k，a）δk+（1-α（k，a））δa，α（k，a）在（8）中定义。引理3.3。设K如（7）所示，α（K，a）如（8）所示，而φ如（9）和（10）所示。让k∈ （K，0）和a>0。然后α（k，a）~n（k）+（1）- α（k，a））ν（a）=0。证据如果k=kor，如果a=1，则论文从（9）和（10）直接开始，因此我们假设k6=kanda6=1。允许 =((λ, λ, λ) ∈ R |λi≥ 0和xi=1λi≤ 1），让我们： → M1，c（R）由Φ（λ，λ，λ）=（1）定义-Xiλi）δk+λδ+λδa+λδk。Φ是在M1的有限维面上，由k，k，1，a中有支撑的测度驱动。LetD:={（λ，λ，λ）∈ | Φ(λ, λ, λ) ∈ N} C:={（λ，λ，λ）∈ | Φ(λ, λ, λ) ∈ Nc}。从引理3.1可以看出，D和C是凸的，D是封闭的，C是相对开放的. 我们考虑以下几点：:x:=（1）- α（k，1），0，0）x:=（0，1）-α（k，a），0）x:=（1）- α（k，1），0，α（k，1））x:=（0，1）-α（k，a），α（k，a））。由（8）可知，xi∈ 关于每个闭包，xid是相对的. 我们的目的是证明xis是x，x，x的一个有效组合。因为通过定义，i=1时r k dΦ（xi）=0，3，这将意味着rdΦ（x）=0，这就是本文。为了证明xis是x，x，x的一个有效组合，我们将分离理论应用于凸集和不相交集D和C。存在一个非中心线性f:R→ R和s∈ R使得f（x）≤ C和f（x）上的s≥ 从（0,0,0）开始∈ C和f（0，0，0）=0，因此s≥ 0.如果s=0，对于i=1，…，我们将得到f（xi）=0，3因为XI是C的相对闭包，这意味着f=0，这是一个矛盾；因此s>0。

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kedemingshi

2022-5-7 02:50:32

非平凡超平面f（x）=s上的点x，x，x，xlie；从x，x，xit的线性独立性来看，xis是x，x，x的一个有效组合。设K为第（7）项中的K，而φ为第（9）项和第（10）项中的K。让k，k∈ （K，0）和a>0。如果ξ由k，k，1，a支撑，那么u（ξ）<0当且仅当ifE[ψ（ξ）]<0。引理3.4。设K为第（7）项中的K，而φ为第（9）项和第（10）项中的K。设ξ由无数个点支撑，所有点都大于K。那么u（ξ）<0当且仅当ifE[ν（ξ）]<0。证据让k，k，千牛<0≤ A.aMbe有不同的观点。类似于引理3.3的顶部，我们定义 = {（λ，…，λN，γ，…，γM）|Xλi+Xγj=1，λi≥ 0，γj≥ 0}，Φ（λ，γ）=NXi=0λiδki+MXj=1γjδaj，D={（λ，γ）∈ | Φ(λ, γ) ∈ N} ，C={（λ，γ）∈ | Φ(λ, γ) ∈ Nc}。在引理3.3的证明中，D和C是凸的，D是封闭的，C是相对开放的. 根据分离定理，推理如引理3.3的证明，有一个有效的泛函g： → R使得g（x）<0∈ C和g（x）≥ 0代表x∈ D.设G:={x | G（x）=0}。然后G∩ 是紧凸的，其极值点位于. 让我们一起走，走到角落里分别对应于δk和δai。有四种类型的边：[ki，ki′，[aj，aj′，[ki，0]，[ki，aj]，aj>0。通过分析不同的可能性，得出以下结论：∩ 对应于δ或mα（k，a）δk+（1）的并矢变量-α）（k，a）δa，α（k，a）由（8）给出。因此，对于G的所有极值点，r k dΦ（x）=0∩ , 对于每个x，henceR~ndΦ（x）=0∈ G∩ .设F={x∈ RN+M+1 | R~ndΦ（x）=0，PN+Mi=0xi=1}。维数为N+M的F和G面积函数空间- 1和G 所以G=F。亨塞克斯∈ C<==> g（x）<0<==>R k dΦ（x）<0，这给出了论文。引理3.5。函数φ：（K+∞) → R在（K，0）和[0]上是凹的+∞) 而且是连续的。证据

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kedemingshi

2022-5-7 02:50:35

取k，k<0，让α：=α（k，1）和α：=α（k，1），因此u（αδk+（1-α） δ）=u（αδk+（1）- α)δ) = 0.来自CxLS，对于每个γ∈ （0,1），它认为u（γ（αδk+）（1-α)δ) + (1 - γ）（αδk+（1）- α） δ））=0，或等效于（γαδk+（1-γ） αδk+[γ（1- α) + (1 - γ)(1 - α)] δ) = 0.设λ=γαγα+（1）- γ） α和k=λk+（1- λ） k.然后γαδk+（1）-γ） αδk≤cv（γα+（1- γ） α）δk，因此u相对于凹阶的等渗性意味着u（（γα+（1-γ） α）δk+[γ（1）- α) + (1 - γ)(1 - α)] δ) ≥ 从引理3.4我们得到（γα+（1）- γ） α）ν（k）+[γ（1）- α) + (1 - γ)(1 - α)] ≥ 0，或а（k）≥ -(1 - γ)(1 - α) + γ(1 - α)γα+ (1 - γ)α=γαγα+ (1 - γ)α(-1.- αα) +(1 -γ)αγα+ (1 - γ)α(-1.- αα）=λν（k）+（1）- λ） ~n（k）。类似的参数可用于确定[0]上的凹度+∞).让我们↓ 设αn:=α（k，an），α由（8）给出。从α的单调性来看，序列α是非递增的；我们用α表示它的极限。LetBαn∈ F，P（Bαn）=αn，设ξn=kBαn+anBcαn，然后ξnP→ ξ、 ξ=kBα，并根据Fatou性质u（ξ）≥ lim sup u（ξn）≥ 0，因为ξn∈ A.因此EP[ξ]=kP[Bα]≥ u（ξ）≥ 0表示α=0。自从（an）=-αn~n（k）1-αn，它的结果是φ（an）→ 0当→ 0.从现在起，我们定义了φ（K）=limx↓K~n（x）。引理3.6。如果ξ≥ K a.s.，则u（ξ）<0当且仅当E[ψ（ξ）]<0。证据设ξn>K，ξn完全支撑，其中ξn↓ ξ和kξn- ξk∞→ 0.Thenu（ξ）<0<==> n.s.t.u（ξn）<0<==> n s.t.E[ψ（ξn）]<0<==> E[ν（ξ）]<0，其中第二个等价来自引理3.4，最后一个等价来自0中的右连续性。引理3.7。ν在（K）上是凹的+∞) 因此在（K+∞).证据证明沿着引理3.5的思路进行，使用引理3.6而不是引理3.4来获得更强的论点。我们最终可以证明所宣布的特征：定理3.8。乐图：L∞→ R是一种货币，凹形法则，与CxLS有关。

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mingdashike22

2022-5-7 02:50:38

那么就存在一个凹的φ：R→ R∪ {-∞} 使u（ξ）≥ 0当且仅当E[ψ（ξ）]≥ 0.证明。如果u（ξ）=ess-inf（ξ），那么φ（x）=(-∞ 如果x<00如果x≥ 满足了论文的要求。如果u（ξ）6=ess inf（ξ），则定义=(-∞ 如果x<K~n（x）如果x≥ Kwith~n和K的定义与之前相同。如果ξ≥ K.a.s.，当引理3.6给出thatu（ξ）≥ 0当且仅当E[ψ（ξ）]≥ 0，这是论文。如果P（ξ<K）>0，则为ne[ξ（ξ）]=-∞. 为了证明u（ξ）<0，设B是由事件{ξ<K}和{ξ）生成的代数≥ K} ，设η=E[ξξ<K+ξξ≥0 | B]。Thenu（η）≥ u（ξξ<K+ξξ）≥0) ≥ u（ξ）和u（η）<0，通过定义K，使u（ξ）<0，这就完成了这个过程。3.1示例示例3.1（绝对必要）。让我们来看看→ R∪ {-∞}, 带φ（x）=(-∞ 如果x<00如果x≥ 0当A={ξ|ξ≥ 0}和u（ξ）=ess-inf（ξ）。例3.2（有限短缺）。让我们来看看→ R为凹形，并随φ（0）增加=0。ThenA={ξ∈ L∞|E[ψ（ξ）]≥ 0}是由CxLS确定的凹律的接受集。在特殊情况下，我们有u（ξ）=E[ξ]。让我们注意一下，函数φ（x）=x代表x≤ 0和ψ（x）=0表示x≥ 0还定义了基本信息。例3.3（截断的短缺）。让我们来看看→ R凹进，并随着а（0）=0和K<0而增加。设置：R→ R∪ {-∞}~n（x）：=(-∞ 如果x<K~n（x）如果x≥ KThen A={ξ| E[~n（ξ）≥ 0], ξ ≥ K} 。例3.4（截断平均值）。设φ（x）：=（x如果x≥ -1.-∞ 如果x<-1 Thena={ξ∈ L∞s、 t.ξ≥ -1和E[ξ]≥ 0}，andu（ξ）=min（E[ξ]，1+ess-inf（ξ））。很容易看出λ的混合连续性→ 0+失败，所以从命题2开始。5 WC属性不适用。事实上，惩罚函数c是给定的，即c（Q）=1- ess infdQdPand没有σ（L，L∞) 自c（Q）以来的紧凑低层集≤ 1.例3.5。

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大多数88

2022-5-7 02:50:41

设K<0且φ（x）=（对数（x- （K）- 日志(-K）如果x>K-∞ 如果x≤ 例如3.6。~n（x）：=(√x+1代表x≥ -1.-∞ 在别处注意，在最后两个示例中，Д′+（K）=+∞, 因此，它们不属于示例3.3.4附录引理4.1中考虑的“截断短缺”家族。让(Ohm, F、是一个无原子的空间。然后可以构造可测子集（At）0的两个包含族≤T≤1和（Bt）0≤T≤1，这样每个t∈ [0,1]，P（At）=P（Bt）=t，西格玛代数：=σ（At；0）≤ T≤ 1） B:=σ（Bt；0）≤ T≤ 1）他们是独立的。证据见Delbaen（2012）。引理4.2。如果你：我∞(Ohm, F、 P）→ R是一个凹的，由定律决定的效用，那么对于每一个G F和ξ∈ L∞它认为u（E[ξ| G]）≥ u（ξ）。证据让我们从G={, Ohm}. 以ξni为例。i、 d.用定律（ξn）=定律（ξ），所以u（ξn）=u（ξ）。从强大数定律，ξ+·ξ+nna。s→ E[ξ]，并从Fatou性质和uu的凹性（E[ξ]）≥ 林尚→+∞Uξ+···+ξnn≥ 林尚→+∞nnXk=1u（ξ）=u（ξ）。现在让G由有限部分G生成，从那以后Ohm 如果是无原子的，则可以为每个条件概率P[·Gk]构造一个序列ξn，该序列为i.i.d.，并且对于每个k=1，m、前面的推理可以应用于每个Gk，并且因为ξ+·ξ+nna。s→ E[ξ| G]，接下来是u（E[ξ| G]）≥ u（ξ）。最后，对于一般G和固定ξ∈ L∞, 总是可以构造一个完全生成的序列Gn，使得e[ξ| Gn]L∞→ E[ξ| G]，所以我们有u（E[ξ| G]）=limn→+∞u（E[ξ| Gn]）≥ u（ξ）。引理4.3。设φi[0,1]→ R是非减量且凸的，D<φi<D，且ci从下方有界。nφ（x）：=infiφi（x）+ci（0，1）的紧子集上的isLipschitz。证据设0<ε<1，ε≤ x<y≤ 1.- ε、 z=y+ε。

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可人4

2022-5-7 02:50:44

然后z≤ 1安迪=（1）- λ） z+λx，其中λ=ε+y- x、因此φi（y）≤ (1 - λ） φi（z）+λφi（x），表示φi（y）-φi（x）≤ (1 - λ） [φi（z）- φi（x）]≤Y- xε（D）- D）。因此，{φi（x）+ci}族在[ε，1]上是等价的- ε] 也就是φ（x）=supiφi（x）+ciLipschitz在[ε，1]上吗- ε]; 让ε→ 0给出了论文。参考Bauerlemuller2006年N.B–auerle和A.M–uller。随机顺序和风险度量：一致性和界。保险数学。经济。，38:1 32–148, 2006.BelliniBignozzi2013 F.Bellini和V.Bignozzi。关于可引出的风险度量。即将到来。《金融》，2014年。贝利尼塔尔2014 F.贝利尼、B.克拉尔、A.穆勒和E.罗莎·贾宁。广义量化作为风险度量。保险数学。经济。，54:41–48, 2014.CheriditoLi2008 P.Cheridito和T.Li。Orlicz心脏风险测量特性的双重表征。数学财务部。经济。，2:29– 55, 2008.CheriditoLi2009 P.Cheridito和T.Li。Orlicz心脏的风险评估。数学《金融》，2009年第19期，第189-214页。ChernyGrigoriev A.S.Cherny和P.G.Grigoriev。扩张单调风险测度是不变的。金融斯托赫。，11:291– 298, 2007.Chew 1989 S.H.Chew。具有中间性的公理效用理论。安。奥普。Res.，19:273–2981981989。戴维斯2013 M.戴维斯。风险度量估计的一致性。预印本，帝国理工学院伦敦分校，2013年。德克尔1986 E.德克尔。不确定性下偏好的公理化描述：削弱独立公理。《经济学理论》，40:304–3181986。Delbaen 2012 F.Delbaen。货币效用函数。大阪大学出版社，2012年。Delbaen 2013 F.Delbaen。关于期望值结构的评论。预印本，苏黎世ETH，2013年。Edgarsucheston 1992年G.A.Edgar和Louis Sucheston。停止时间和定向过程，数学及其应用百科全书第47卷。剑桥大学出版社，剑桥，1992年。ISBN 0-521-35023-9。

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大多数88

2022-5-7 02:50:47

内政部：10.1017/CBO9780511574740。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511574740.EmbrechtsETAL2014P.Embrechts、G.Puccetti、L.R–uschendorf、R.Wang和A.Beleraj。对Ba sel 3.5的学术反应。《风险》，2014年2月25日至48日。Follormerschied 2002 H.F¨ollmer和A.Schied。风险和交易约束的凸度量。金融斯托赫。，6:429 –47, 2002.Gneiting 2011 T.Gneiting。制定和评估ECAST的要点。J.艾默尔。统计学家。协会，106:746–762，2011年。KratschmerETAL2013诉Kr–at schmer、A.Schied和H.Z–ahle。法律入侵风险度量的比较稳健性和定性稳健性。金融斯托赫。，19:271–295, 2014.库苏卡-久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久久。关于一致风险度量的法律不变性。《数学经济学进展》，第3卷，第3卷，高级数学。经济。，第83-95页。斯普林格，东京，2001年。纽威·鲍威尔1987 W·纽威和J·鲍威尔。不对称最小二乘估计和检验。《计量经济学》，55:819–8471987。RaoRen1991 M.M.Rao和Z.D.Ren。Orlicz空间理论，第146卷纯数学和应用数学专著和教科书。马塞尔·德克尔公司，纽约，1991年。ISBN 0-8247-8478-2。StahlETAL2012 G.St ahl、J.Zheng、R.Kiesel和R.R¨ulicke。风险管理中的稳健性概念化，2012年。杜伊斯堡-埃森大学预印本。韦伯2006 S.韦伯。分布不变风险度量、信息和动态一致性。数学《金融》，16:419–4412006。Ziegel2013 J.F.Ziegel。连贯性和启发性。即将到来的数学课。《金融》，2014年。

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