指数OU模型下的最优多次交易时间

2022-5-8 03:26:58

具有交易费用的指数OU模型下的最优多次交易时间*Tim Leung+Xin LiZheng Wang§2018年7月9日摘要本文研究了均值回复价格动态下受实际交易成本影响的交易时机。当价格受指数OrnsteinUhlenbeck过程驱动时，我们解决了一个最优双停问题，以确定进入和随后退出市场的最佳时间。此外，我们还分析了一个涉及交易顺序的相关最优切换问题，并确定了双停止和切换问题允许相同最优进入和/或退出时机策略的条件。在我们的结果中，我们发现投资者通常在价格较低时进入，但如果当前价格足够接近于零，则可能会发现等待是最理想的。换句话说，进入的持续（等待）区域断开。数值结果说明了定时策略对模型参数和交易成本的依赖性。关键词：最优双停、最优切换、指数OU过程、交易成本EL分类：C41、G11、G12数学主题分类（2010）：60G40、91G10、62L151简介个人和机构投资者通常面临的一个重要问题是确定何时购买和出售资产。当潜在投资者观察资产的价格过程时，她可以决定立即进入市场或等待未来的机会。完成首次交易后，投资者需要选择结束头寸的时间。这促使我们研究交易的最佳顺序时机。当然，最佳交易时间顺序应该取决于风险集合的价格动态。

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2022-5-8 03:27:03

例如，如果价格过程是一个超/次鞅，那么寻求最大化预期清算价值的投资者要么立即卖出，要么永远等待。当基本价格遵循几何布朗运动时，就会出现这样一个小的时间点。Shiryaev等人（2008年）也有类似的观察结果。另一方面，人们广泛观察到，许多资产价格表现出均值回归，从股票和商品到货币和波动性指数（见Metcalf和Hassett（1995年）、Bessembinder等人（1995年）、Casassus和Collin Dufresne（2005年），以及其中的参考文献）。为了结合正价格过程的均值回归，定价和投资应用的一个流行选择是指数回归*我们感谢两位匿名推荐人对我们的论文进行了透彻的审查，并发表了有益的评论。+IEOR系，哥伦比亚大学，纽约，纽约10027；电子邮件：tl2497@columbia.edu.纽约哥伦比亚大学IEOR系，纽约10027；电子邮件：xl2206@columbia.edu.§IEOR系，哥伦比亚大学，纽约州纽约市，邮编10027；电子邮件：zw2192@columbia.edu.Ornstein-根据Schwartz（1997）提出的商品价格的Uhlenbeck（XOU）m模型，由于其分析的可处理性。它也是更复杂的均值回复模型的基础。本文研究了考虑交易成本的XOU模型下的最优交易时机。我们考虑两种不同但相关的配方。首先，我们考虑单进单出的交易问题，每笔交易产生固定成本。这使我们分析了一个最优双停问题。在第二个公式中，假设投资者以交易成本多次进出市场。

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nandehutu2022

2022-5-8 03:27:06

这就产生了一个最优切换问题。我们解析地导出了非平凡的进入和退出时机策略。在这两种方法下，当资产价格足够高时出售是最佳选择，尽管价格水平不同。作为进入时机，我们发现，在某些情况下，当投资者面临最优切换问题时，完全不进入市场是最优的。在这种情况下，对于具有顺位的投资者，最优切换问题转化为最优停止问题，其中最优清算水平与最优双停止问题相同。否则，双重停车和切换问题的最佳进入时机策略由基础的第一次通过时间描述为零级以上的时间间隔。换言之，输入的连续区域与形式（0，A）断开∪ （B）+∞), 临界价格水平为A和B（见下面的定理3.2和3.4）。这意味着投资者通常在价格较低时进入，但如果当前价格太接近于零，投资者可能会发现等待是最佳选择。我们发现，由于XOU模型下的固定交易成本，这种现象是一个明显的后果。事实上，当没有固定成本时，即使存在比例交易成本（见Zhang和Zhang（2008）），进入时间也只是以单一价格水平为特征。由扩散驱动的最优停止问题的典型解决方法包括相关自由边界p问题或变分不等式（VIs）的分析和数值研究；参见Bensoussan and Lions（1982）、Oksendal（2003）和Sun（1992）。当最优买入/卖出策略的结构已知时，这种方法非常有用。

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2022-5-8 03:27:09

与VI方法相反，我们通过将值函数（入口和出口）描述为相应奖励函数的最小凹主函数（见Dayanik和Karatzas（2003）以及其中的参考文献）来解决双重停止问题。这使我们能够直接构造值函数，而无需预先找到候选值函数，也无需对停止和继续区域施加条件，例如它们是否连接。换句话说，我们的方法将导出停止和继续区域的结构作为输出。此外，当奖赏函数的形式不具备一些可修正的性质时，VI方法变得更具挑战性，例如凸性、耳鸣性m和正性。这为我们的概率方法提供了另一个原因，因为进入问题的奖励函数既不是凸/凹的，也不是单调的，也不总是正的。在解决了最优双s-Toping p问题后，我们确定了买入/卖出/等待区域的最优结构。然后，我们应用这一点来推导最优切换问题的近似解结构，并用变分不等式进行验证。在文献中，Zhang和Zhang（2008）研究了XOU价格动态下的最优切换问题，考虑了滑动（比例交易成本）。作为扩展，Kong和Zhang（2010）允许卖空，以便投资者可以通过多头或空头仓位进入市场，并在下一次交易中收盘。作为一种数值方法，Song等人（2009）讨论了一种随机近似方案，该方案通过先验假设XOU模型下的低买高卖策略来计算最优买入和卖出价格水平。与这些研究不同的是，我们研究了在固定交易成本条件下的最优双停止和切换问题。

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2022-5-8 03:27:13

特别是，固定交易成本下的最佳进入时机与滑动时的最佳进入时机截然不同。Zervos等人（2013年）考虑了一类时间同质差异下具有固定交易成本的最优转换问题，包括GBM、基础均值回复C EV和其他模型。然而，他们的结果不适用于指数OU模型，因为它违反了他们论文的假设4（另见下面的备注4.5）。事实上，他们的模型假设限制了最优进入区域由一个临界值表示，而我们表明，在XOU模型中，最优进入区域的特征是两个正价格水平。关于最优违约止损的相关应用，Leun g和Li（2015）研究了在止损约束下交易违约价差的最佳时机。Karpowicz和S zajowski（2007）从保险公司的角度分析了风险过程的双重停止时间。Leung和Ludkovski（2011）（欧洲和美国期权）以及Leung和Liu（2012）（信用衍生品）也研究了买入/卖出衍生品的时机问题。Menaldi等人（1996）研究了一般马尔可夫过程的最优启停问题，并给出了值函数的数学特征。论文的其余部分结构如下。在第二节中，我们讨论了最优双停止和最优切换问题。然后，我们给出了第3节的分析和数值结果。第4节详细介绍了我们主要结果的证明。

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2022-5-8 03:27:17

最后，附录包含了一些引理的证明。2问题概述在背景中，我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P），其中P是历史概率度量。在这一节中，我们将概述我们的最优双停止和切换问题，它将涉及一个指数Ornstein-Uhlenbeck（XOU）过程。XOU过程（ξt）t≥0由ξt=eXt，dXt=u（θ）定义- Xt）dt+σdBt。（2.1）这里，X是一个由标准布朗运动B驱动的OU过程，具有常数参数u，σ>0，θ∈ R.换句话说，X是正XOU过程的对数价格ξ。2.1最优双停止问题对于具有XOU价格过程的风险资产，我们首先考虑最佳出售时机。如果在某个时间τ出售资产股份，则投资者将获得价值ξτ=eXτ，并支付恒定交易成本cs>0。用F表示B生成的过滤，T表示所有F停止时间的集合。为了最大化预期贴现值，投资者解决了最优停止问题v（x）=supτ∈特克斯E-rτ（eXτ）- （政务司司长）, （2.2）其中r>0是恒定贴现率，且≡ E{·| X=X}。价值函数V（x）表示与ξ相关的预期清算价值。另一方面，当前价格加上交易成本构成了进入交易的总成本。在持有风险资产之前，投资者总是可以选择开始交易的最佳时机，或者根本不进入。这导致我们分析了交易问题中的进入时机。精确地说，我们解j（x）=supν∈特克斯E-rν（V（Xν）- eXν- （cb）, （2.3）当交易成本cb>0时，在购买时产生红色。换言之，交易方寻求最大化价值函数V（Xν）与当前交易成本cb之间的预期差异。

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nandehutu2022

2022-5-8 03:27:20

价值函数J（x）表示价格过程ξ中投资机会的最大预期价值，在进入和退出时，交易成本分别为CbC和csincurred。根据我们的分析，CBC和CSC的交易成本可能有所不同。为了便于演示，我们将函数shs（x）=ex表示为- Cs和hb（x）=ex+cb。（2.4）如果结果是J（X）≤ 对于某个初始值X，则投资者不会开始交易X。在任何给定的动力学中，识别琐碎的情况都很重要。在XOU模型下，自从supx∈R（V（x）- 血红蛋白（x））≤ 0表示J（x）≤ 0代表x∈ R、因此，我们将重点讨论CaseWithUpx∈R（V（x）- hb（x））>0，并求解非平凡最优定时策略。2.2最优转换问题在最优转换方法下，投资者有义务承诺一定数量的交易。顺序交易时间由停止时间ν、τ、ν、τ、·来建模∈ 不是这样的≤ ν≤ τ≤ ν≤ τ≤ . . . .风险资产的一部分分别在νi和τi，i时买卖∈ 投资者交易的最佳时机取决于初始头寸。准确地说，在XOU模型下，如果投资者从零位开始，那么第一个交易决定是何时买入，相应的最优切换问题是)J（x）=sup∧Ex(∞Xn=1[e-rτnhs（Xτn）- E-rνnhb（Xνn）]，（2.5）和一组容许停止时间∧=（ν，τ，ν，τ，…），以及（2.1）中定义的奖励。另一方面，如果投资者最初持有该资产的一部分，那么投资者首先决定何时出售并解决V（x）=sup∧Ex（e）-rτhs（Xτ）+∞Xn=2[e-rτnhs（Xτn）- E-rνnhb（Xνn）]，（2.6）与∧=（τ，ν，τ，ν。

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2022-5-8 03:27:23

)总之，最佳双停和切换问题在交易数量上有所不同。注意，双停止问题（2.1）和（2.1）的任何策略也分别是切换问题（2.2）和（2.2）的候选策略。因此，V（x）≤~V（x）和J（x）≤~J（x）。我们的目标是推导和比较这两种方法下相应的最优时间策略。3分析结果摘要我们首先总结分析结果并说明最佳交易策略。解的方法及其证明将在第4节中讨论。我们从XOU模型下的最优停止问题（2.1）和（2.1）开始。表示输出过程X在（2）中的最小生成器byL=σddx+u（θ- x） ddx。（3.1）回想一下微分方程lu（x）=ru（x）的经典解∈ R、是（参见Borodin and Salminen（2002）第542页）和Prop。Alili等人（2005）的2.1:F（x）≡ F（x；r）：=Z∞uru-1eq2μσ（x）-θ） u-udu（3.2）G（x）≡ G（x；r）：=Z∞uru-1eq2μσ（θ）-x） u-乌杜。（3.3）直接分化产生F′（x）>0，F′（x）>0，G′（x）<0和G′（x）>0。因此，我们观察到F（x）和G（x）都是严格正的和凸的，它们分别严格递增和递减。通过τκ=inf{t，确定X到某一水平κ的首次通过时间≥ 0:Xt=κ}。众所周知，F和G都承认了概率表达式（见o和McKean（1965）和Rogers和Williams（2000））：Ex{e-rτκ}=（F（x）F（κ）如果x≤ κ、 G（x）G（κ）if x≥ κ、 3.1最佳双停车问题我们现在给出最佳退出时机问题的结果。定理3.1最优清算问题（2.1）允许解v（x）=（eb*-脑脊液（b*)F（x）如果x<b*,前任- csif x≥ B*,（3.4）最优原木价格水平为b*对于清算，只能从方程ebf（b）=（eb）中找到- cs）F′（b）。

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2022-5-8 03:27:26

（3.5）最佳清算时间由τ给出*= inf{t≥ 0:Xt≥ B*} = inf{t≥ 0:ξt≥ 电子束*}.定理3.2在XOU模型下，最优进入时机问题（2.1）允许解j（x）=pf（x）如果x∈ (-∞, A.*),V（x）- （ex+cb）如果x∈ [a]*, D*],QG（x）如果x∈ （d）*, +∞),（3.6）康斯坦斯=V（a*) - （ea）*+ cb）F（a）*), Q=V（d）*) - （埃德*+ cb）G（d）*),以及关键级别a*和d*分别满足F（a）（V′（a）- ea）=F′（a）（V（a）- （ea+cb）），（3.7）G（d）（V′（d）- ed）=G′（d）（V（d）- （ed+cb））。（3.8）最佳进入时间由νa给出*,D*:= inf{t≥ 0:Xt∈ [a]*, D*]}.总之，一旦价格达到上限B，投资者就应该退出市场*. 相比之下，最佳进入时机是XOU价格ξ首次进入区间[ea]的时间*, 预计起飞时间*]. 换句话说，如果当前价格ξ太接近于零，即如果ξt<ea，则等待是最佳的*. 此外，间隔[ea]*, 预计起飞时间*] 包含在（0，eb）中*), 因此，市场进入的延续区域是断开的。3.2最优切换问题我们现在转向XOU模型下（2.2）和（2.2）中定义的最优切换问题。为了便于演示，我们表示fs（x）：=（μθ+σ）- r）- ux+rcse-x、 fb（x）：=（μθ+σ- r）- ux- rcbe-x、将运算符L（见（3））应用于Hs和hb（见（2.1）），其结果如下（L-r） hs（x）=exfs（x）和（L）- r） hb（x）=exfb（x）。因此，fs（resp.fb）保留了（L）的符号- r）房协（负责）- r）血红蛋白）。可以看出，fs（x）=0有一个唯一的根，用xs表示。然而，fb（x）=0（3.9）可能没有根、一个根或两个不同的根，如果它们存在的话，由xb1和xb2表示。

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2022-5-8 03:27:29

下面的观察结果也很有用：fs（x）（如果x<xs，则大于0），如果x>xs，则小于0，以及fb（x）（如果x<0）∈ (-∞, xb1）∪ （xb2+∞),> 如果x为0∈ （xb1，xb2）。（3.10）根据问题数据，最优切换问题有两组不同的解。定理3.3对于x，最优切换问题（2.2）和（2.2）允许解J（x）=0∈ R、 V（x）=（eb*-脑脊液（b*)F（x）如果x<b*,前任- csif x≥ B*,（3.11）其中b*满足条件（3.1），如果下列任何相互排斥的条件成立：（i）方程（3.2）没有根或单一根。（ii）有两个不同的根（3.2）。而且 ~a*∈ （xb1，xb2）使得*)ea*= F′（~a）*)（e)a*+ cb），（3.12）安第斯山脉*+ cbF（~a）*)≥电子束*- 脑脊液（b*). （3.13）（iii）（3.2）有两个不同的根，但（ii）不成立。在eorem 3.3中，J=0表示根本不进入市场是最佳选择。另一方面，如果从标的资产的一个单元开始，最优切换问题将简化为最优单停问题。事实上，投资者在退出后永远不会重新进入市场。这与最优清算问题（2.1）相同，其中只有一个（退出）交易。这种情况下的最优策略与（3.1）中的V相同——当原木价格X达到阈值b时，退出市场是最优的*.当定理3.3中的任何条件都不成立时，我们也讨论剩下的情况。

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2022-5-8 03:27:33

接下来，最佳策略将涉及进入和退出阈值。定理3.4如果（3.2）有两个不同的根，即xb1和xb2，并且存在一个数a*∈（xb1，xb2）满足*+ cbF（~a）*)<电子束*- 脑脊液（b*), （3.14）然后，最优切换问题（2.2）和（2.2）允许解J（x）=如果x，则P F（x）∈ (-∞, ~a*),~KF（x）- （ex+cb）如果x∈ [~a*,~d*],QG（x）如果x∈ （~d）*, +∞),（3.15）~V（x）=（~KF（x）如果x∈ (-∞,~b*),QG（x）+ex- csif x∈ [b]*, +∞),（3.16）其中a*满意度（ii）和~P=~K-ea*+ cbF（~a）*),~K=e~d*G（~d）*) - （e~d）*+ cb）G′（~d）*)F′（~d）*)G（~d）*) - F（~d）*)G′（~d*),~Q=e~d*F（~d）*) - （e~d）*+ cb）F′（~d）*)F′（~d）*)G（~d）*) - F（~d）*)G′（~d*).存在唯一的临界水平*和b*从非线性方程组中发现：edG（d）- （ed+cb）G′（d）F′（d）G（d）- F（d）G′（d）=ebG（b）- （eb）- cs）G′（b）F′（b）G（b）- F（b）G′（b），（3.17）edF（d）- （ed+cb）F′（d）F′（d）G（d）- F（d）G′（d）=ebF（b）- （eb）- cs）F′（b）F′（b）G（b）- F（b）G′（b）。（3.18）此外，临界水平为*∈ （xb1，xb2）和*> xs。定理3.4中的最优策略由停止时间∧描述*= (ν*, τ*, ν*, τ*, . . . ),和∧*= (τ*, ν*, τ*, ν*, . . . ), 用ν*= inf{t≥ 0:Xt∈ [~a*,~d*]},τ*i=inf{t≥ ν*i:Xt≥~b*}, 和ν*i+1=inf{t≥ τ*i:Xt≤~d*}, 因为我≥ 1.换句话说，如果价格在[ea]范围内，最好购买*, ed*] 然后当pr iceξ达到eb时卖出*. 买入/卖出区域的结构类似于双止点情况（见定理3.1和3.2）。特别是，~a*和一个*因为方程（3.2）和（ii）是等价的。a级*仅与首次购买相关。从数学上讲，a*是与d分开确定的*和b*. 如果我们从零位开始，那么最好输入pr iceξ是否在区间[ea]内*, ed*].

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mingdashike22

2022-5-8 03:27:36

然而，在随后的所有交易中，只要价格达到ed，我们就进入*从上方（在eb处退出后*之前）。因此，较低的水平a*请注意，区分第3.3条和第3.4条的条件是详尽且相互排斥的。如果定理3.3中的条件成立，那么定理3.4中的条件必须成立。特别地，定理3.3中的条件（ii）成立的当且仅当Zxb1-∞ψ（x）exfb（x）dx<Zxb2xb1ψ（x）exfb（x）dx，（3.19），其中ψ（x）=2F（x）σW（x），W（x）=F′（x）G（x）- F（x）G′（x）>0。（3.20）不平等（3.2）可以在给定模型输入的情况下进行数值验证。3.3数值示例我们以数值方式实现定理3.1、3.2和3.4，并说明相关的进入/退出阈值。在图1（左）中，最佳的入门级是d*和d*分别从0.7425上升到0。7912和fr om 0.8310到0.8850，随着平均回归速度u从0.5增加到1。另一方面，关键出口级别为b级*和b*保持相对温度在u以上。至于关键的低级别a*从最优双停止问题来看，图1（右图）显示它在以u为单位减少。s ame模式适用于临界较低级别a中的最优切换问题*对一个*, 如上所述。我们现在来看图2中交易成本的影响。在左边的面板上，我们观察到，随着交易成本cb的增加，最优切换进入和退出水平之间的差距，~d*和b*, 变宽了。这意味着最好同时推迟进入和退出。直觉上，为了抵消交易成本增加导致的利润率下降，有必要以更低的价格买入，以更高的价格卖出，以寻求更大的价差。相比之下，退出级别为b*从分析角度来看，双停止问题与进入成本无关，因此它在图中保持不变。

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2022-5-8 03:27:41

相比之下，入门级d*, 然而，随着CBD的增加而减少，但比d明显减少*. 图2（右）显示*, 这对于最佳双停止和切换问题都是一样的，随着cb的增加，这一点会增加。在图1和图2中，我们可以看到进入和退出水平的间隔，（~d）*,~b*), 与最佳sw瘙痒问题相关的是相应的时间间隔（d*, B*) 从最佳双停问题。从直觉上看，如果想在完成当前交易后再次进入市场，交易者更愿意提前进入/退出，这意味着交易范围缩小。50.60.70.80.911.11.2ud*~b*D*B*0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-9.4-9.2-9-8.8-8.6-8.4微安*图1：（左）最优进入和退出水平与均值回归速度的关系。参数：σ=0.2，θ=1，r=0.05，cs=0.02，cb=0.02。（右）进入区域a的临界较低级别*随着u从0.5增加到1，单音从-8.4452减少到-9.2258。参数：σ=0.2，θ=1，r=0.05，cs=0.02，cb=0.02.0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.70.80.911.11.2cb)d*~b*D*B*0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-9.5-9-8.5-8.-7.5-7.-6.5cba*图2：（左）最优进入和退出水平与交易成本之比。参数：u=0.6，σ=0.2，θ=1，r=0.05，cs=0.02。（右）进入区域a的临界较低级别*随着Cb从0.01增加到0.1，从-9.4228单调增加到-6.8305。参数：u=0.6，σ=0.2，θ=1，r=0.05，cs=0.02。等待区。图3显示了模拟路径和相关的入口/出口级别。当路径开始于ξ=2.6011>ed时*> 预计起飞时间*, 投资者等待进入，直到路径到达较低级别*（双重停车）或紧急停车*（切换）根据第3.2条和第3.4条。进入后，投资退出处于最佳水平*（双重停车）或eb*（切换）。

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mingdashike22

2022-5-8 03:27:44

最佳转换阈值是指投资者在第188天首次进入市场，其基础资产价格为2.3847。相比之下，最佳双停时机会在第845天价格波动时产生一个较晚的条目*= 2.1754. 至于退出时机，在最佳切换设置下，投资者在第268天以eb的价格提前退出市场*= 2.8323. 在价格到达ESEB的第1160天，双停时间要晚得多*= 3.0988. 此外，在最优切换问题下，投资者在同一时间跨度内执行更多交易。如图所示，投资者将在双止点投资者首次清算之前完成市场上的两次“最后一程”（买入和卖出）交易。0 200 400 600 800 1000 120011.522.533.544.5天经验（b*)exp（~b）*)exp（~d）*)经验（d）*)图3：一个指数OU路径示例，以及入口和出口级别。在双停止设置下，投资者以νd进入*= inf{t≥ 0:ξt≤ 预计起飞时间*= 2.1754}带d*= 0.7772，并在τb处退出*= inf{t≥νd*: ξt≥ 电子束*= 3.0988}带b*= 1.1310. 最优转换投资者在νd处进入*= inf{t≥ 0:ξt≤ed*= 2.3888}带?*= 0.8708，并在τ/b处退出*= inf{t≥ ~nd*: ξt≥ eb*= 2.8323}带)b*= 1.0411. 进入区域的临界下限为ea*= 1.264 · 10-4.带着*= -8.9760（图中未显示）。参数：u=0.8，σ=0.2，θ=1，r=0.05，cs=0.02，cb=0.02.4求解和证明方法我们现在从定理3.1和3.2开始为第3节中的分析结果提供详细证明，以获得最佳双停问题。4.1从任意x开始的最优双停止问题∈ R、我们用τa表示∧ τb间隔[a，b]w的退出时间-∞ ≤ A.≤十、≤ B≤ +∞. 如果a=-∞, 那么我们有τa=+∞ a、在美国，这将移除较低的出口级别。同样，b=+∞, τb=+∞ a、美国。

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2022-5-8 03:27:47

因此，通过考虑区间型策略，我们还包括达到单一水平的停止策略类别（如上述理论3.1）。现在，让我们介绍一下转换ψ（x）：=FG（x），（4.1）和定义za=ψ（a），zb=ψ（b）。使用奖励函数hs（x），并使用（4.1），我们计算相应的预期折扣奖励：Ex{e-r（τa）∧τb）hs（Xτa）∧τb）}=hs（a）Ex{e-r（τa）∧τb）{τa<τb}}+hs（b）Ex{e-r（τa）∧τb）{τa>τb}（4.2）=hs（a）F（x）G（b）- F（b）G（x）F（a）G（b）- F（b）G（a）+hs（b）F（a）G（x）- F（x）G（a）F（a）G（b）- F（b）G（a）=G（x）hs（a）G（a）ψ（b）- ψ（x）ψ（b）- ψ（a）+hs（b）G（b）ψ（x）- ψ（a）ψ（b）- ψ（a）= G（ψ）-1（z））H（za）zb- zzb- za+H（zb）z- 扎兹布- za, （4.3）其中h（z）：=hsGo ψ-1（z）如果z>0，limx→-∞（hs（x））+G（x）如果z=0。（4.4）最后一个等式（4.1）将问题从x坐标转换为z=ψ（x）坐标（见（4.1））。反过来，候选者的最佳退出间隔[a]*, B*] 通过最大化（4.1）中的期望值来确定。这相当于转化问题中Zazbin和zbin的最大化（4.1）。因此，对于每一个z≥ 0，我们有w（z）：=sup{za，zb:za≤Z≤zb}H（za）zb- zzb- za+H（zb）z- 扎兹布- za, 应用（4.1）到（4.1），我们可以表示最大期望折扣报酬asG（x）W（ψ（x））=sup{a，b:a≤十、≤b} 前{e-r（τa）∧τb）hs（Xτa）∧τb）}。现在，需要证明所提出的停止策略的最优性。这也为value函数提供了一个解析表达式。定理4.1在XOU模型（2）下，在（2.1）中定义的值函数V（x）为giv en byV（x）=G（x）W（ψ（x）），其中G、ψ和W分别在（3）、（4.1）和（4.1）中定义。该证明类似于Leung和Li（2015）中定理3.2的证明，因此被省略。根据eorem 4.1，对于XOU模型下的最优清算问题，考虑区间型策略是有效的。

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2022-5-8 03:27:50

注意，最佳水平（a*, B*) 取决于初始值x，它们可能重合或取值-∞ 或者+∞. 因此，停止和继续区域的结构可能具有多个区间的特征，从而导致断开的继续区域（见上述定理3.2）。为了确定最优退出时间策略并求解V，主要挑战在于分析函数H和W。4.1.1最优退出时间在为下一个结果做准备时，我们将（4.1）和（3）-（3）应用于（4.1）中H的定义，并总结H的关键性质。引理4.2函数H在[0]上是连续的+∞), 在（0+∞) 并且具有以下性质：（i）H（0）=0，和H（z）（<0如果z∈ （0，ψ（ln-cs）），如果z∈ （ψ（ln-cs）+∞).（ii）H（z）严格地为z增加∈ （ψ（ln-cs）+∞), 和H′（z）→ 0作为z→ +∞.（iii）H（z）是（凸的，如果z∈ （0，ψ（xs）]，如果z是凹的∈ [ψ（xs）+∞).基于引理4.2，我们在图4中绘制了H。利用H的性质，我们现在求解最佳退出时间。zHWz*= ψ（b）*)ψ（ln-cs）ψ（xs）图4：H和W的示意图。根据引理4.2，H在ψ（xs）的左边是共凸的，在右边是凹的。最小的凹主曲线W是一条与H在z处相切的直线*在[0，z]上*), 与[z]上的H重合*, +∞).定理3.1的证明我们寻找f形式的值函数：V（x）=G（x）W（ψ（x）），其中W是H的最小凹主。通过引理4.2，我们观察到H是[ψ（xs）上的凹+∞), （ψ（ln-cs）上的严格正+∞), 和H′（z）→ 0作为z→ +∞. 因此，存在一个唯一的e数z*> ψ（xs）∨ ψ（ln-cs）使得h（z）*)Z*= H′（z）*).

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mingdashike22

2022-5-8 03:27:55

（4.6）反过来，H的最小凹主分量由w（z）=（zH（z）给出*)Z*如果z∈ [0，z*),H（z）如果z∈ [z]*, +∞).替代b*= ψ-1（z）*) 在（4.1.1）中，我们有（z*)Z*=H（ψ（b）*))ψ（b）*)=电子束*- 脑脊液（b*),andH′（z）*) =eψ-1（z）*)G（ψ）-1（z）*)) - （eψ）-1（z）*)- cs）G′（ψ）-1（z）*))F′（ψ）-1（z）*))G（ψ）-1（z）*)) - F（ψ）-1（z）*))G′（ψ）-1（z）*))=电子束*G（b）*) - （eb）*- cs）G′（b）*)F′（b）*)G（b）*) - F（b）*)G′（b）*).等价地，我们可以用b来表示（4.1.1）*:电子束*- 脑脊液（b*)=电子束*G（b）*) - （eb）*- cs）G′（b）*)F′（b）*)G（b）*) - F（b）*)G′（b）*),简化后相当于（3.1）。因此，我们得到了w（ψ（x））=（ψ（x）H（z）*)Z*=F（x）G（x）eb*-脑脊液（b*)如果x∈ (-∞, B*),H（ψ（x））=ex-csG（x）如果x∈ [b]*, +∞).反过来，价值函数V（x）=G（x）W（ψ（x））由（3.1）给出。4.1.2最佳进入时间我们可以直接遵循产生定理4.1的参数，但回报为^h（x）=V（x）- hb（x）=V（x）- （ex+cb）和与H类似的定义^H:^H（z）：=^hGo ψ-1（z）如果z>0，limx→-∞（^h（x））+G（x）如果z=0。我们将寻找形式为：J（x）=G（x）^W（ψ（x））的值函数，其中^W是^H的最小凹主函数。下一个引理给出了^H的性质。引理4.3函数^H在[0]上是连续的+∞), 在（0+∞), （0，ψ（b）上的二次可微*)) ∪ （ψ（b）*), +∞), 并且具有以下性质：（i）^H（0）=0，并且存在一些b<b*使得^H（z）<0表示z∈ （0，ψ（b））∪ [ψ（b）]*), +∞).（ii）^H（z）对于z是严格递减的∈ [ψ（b）]*), +∞).（iii）定义康斯坦茨*= θ +σ2u-ru- 1.存在一些常数XB1和xb2，其中-∞ < xb1<x*< xb2<xs，解fb（x）=0，使得^H（z）是（凸的，如果z∈ （0，ψ（xb1））∪ （ψ（xb2）+∞)如果z是凹的∈ （ψ（xb1）、ψ（xb2））和^z:=arg maxz∈[0,+∞ )^H（z）∈ （ψ（xb1），ψ（xb2））。图5根据引理4.3给出了^H的简图，并说明了相应的smalles tconcave m ajorant^W。z^H^W^z=ψ（a）*)^z=ψ（d）*)ψ（b）ψ（b）*)图5：^H和^W的草图。

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2022-5-8 03:27:59

最小的凹面主凹面^W是在^zon[0，^z]与^H相切的直线，与[^z，^z]上的^H重合，等于（^z）上的^H（^z）+∞).定理3.2的证明如引理4.3和图5所示，通过定义^H的最大化子，^z表示方程^H′（^z）=0。（4.7）还有一个唯一的数字^z∈ （xb1，^z）使得^H（^z）^z=^H′（^z）。（4.8）使用（4.1.2）、（4.1.2）和图5，^W是在^zon[0，^z]与^H相切的直线，与[^z，^z]上的^H重合，等于（^z）上的^H（^z）+∞). 因此，^W（z）=z^H′（^z）如果z∈ [0，^z），^H（y）如果z∈ [^z，^z]，^H（^z）如果z∈ （^z+∞).代替*= ψ-1（^z）到（4.1.2），我们有^H（^z）^z=V（a）*) - （ea）*+ cb）F（a）*),和^H′（^z）=G（a）*)（V′（a）*) - ea*) - G′（a）*)（V）（a）*) - （ea）*+ cb）F′（a*)G（a）*) - F（a）*)G′（a）*).等价地，我们可以用a来表示条件（4.1.2）*:V（a）*) - （ea）*+ cb）F（a）*)=G（a）*)（V′（a）*) - ea*) - G′（a）*)（V）（a）*) - （ea）*+ cb）F′（a*)G（a）*) - F（a）*)G′（a）*),简化后相当于（3.2）。此外，我们可以用a表示^H′（^z）*:^H′（^z）=^H（^z）^z=V（a）*) - （ea）*+ cb）F（a）*)= P.此外，替换为d*= ψ-1（^z）到（4.1.2），我们有g（d）*)（V′（d）*) - 预计起飞时间*) - G′（d）*)（V（d）*) - （埃德*+ cb）F′（d*)G（d）*) - F（d）*)G′（d）*)= 0，可以进一步简化为（3.2）。此外，^H（^z）可以用d表示*:^H（^z）=V（d）*) - （埃德*+ cb）G（d）*)= Q.通过直接替换^W的表达式和相关函数，我们得到了（3.2）中的值函数。4.2最优切换问题利用前面章节的结果，我们可以推断切换问题的买卖区域的结构，然后继续验证其最优性。在这一部分中，我们提供了定理3.3和3.4的详细说明。orem 3.3（第1部分）第一部分t的证明，hs（x）=ex- 政务司司长，我们要区别对待hsF′（x） =（例如- cs）F′（x）- exF（x）F（x）。

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2022-5-8 03:28:03

（4.9）另一方面，根据伊藤引理，我们有hs（x）=Ex{e-香港电台（Xt）}- 前任中兴通讯-鲁（L）- r）许都房协.请注意{e-rths（Xt）}=e-rte（x）-θ） e-ut+θ+σ4u（1-E-2ut）- 反恐精英→ 0作为t→ +∞.这意味着hs（x）=-前任Z+∞E-鲁（L）- r）许都房协= -G（x）Zx-∞ψ（s）（L）- r） hs（s）ds- F（x）Z+∞xΦ（s）（L）- r） hs（s）ds，（4.10），其中ψ在（3.2）中定义，Φ（x）：=2G（x）σW（x）。最后一行来自罗杰斯和威廉姆斯（Rogers and Williams，2000年，第293页）的定理50.7。用F（x）除以两边，并对（4.2）的RHS进行微分，我们得到hsF′（x） =-女朋友′（x） Zx-∞ψ（s）（L）- r） hs（s）ds-GF（x）ψ（x）（L）- r） hs（x）- Φ（x）（L）- r） hs（x）=W（x）F（x）Zx-∞ψ（s）（L）- r） hs（s）ds=W（x）F（x）q（x），其中q（x）：=Zx-∞ψ（s）（L）- r） hs（s）ds。由于W（x），F（x）>0，我们推断hsF′（x） =0等于q（x）=0。使用（4.2），我们现在看到（3.1）相当于q（b）=0。接下来，由（3.2）得出q′（x）=ψ（x）（L）- r） hs（x）（如果x<xs，则大于0，如果x>xs，则小于0）（4.11）这一点，以及在limx处的事实→-∞q（x）=0，意味着存在唯一的b*这样的q（b）*) = 0当且仅当limx→+∞q（x）<0。接下来，我们证明这个不平等性成立。通过定义HSF和F，我们得到了HS（x）F（x）=ex- csF（x）>0表示x>ln-cs，limx→+∞hs（x）F（x）=0，hsF′（x） =W（x）F（x）Zx-∞ψ（s）（L）- r） hs（s）ds=W（x）F（x）q（x）。（4.12）由于q在（xs）中严格递减+∞), 当且仅当limx→+∞q（x）<0。因此，我们得出结论，存在唯一的b*使ebF（b）=（eb- cs）F′（b）。使用（4.2），我们可以看到*> 所有x<b的x和q（x）>0*. （4.13）观察到eb*, F（b）*), F′（b）*) > 0，我们可以得出hs（b）的结论*) = 电子束*- cs>0，或等效Yb*> 在cs。现在，我们通过直接替换来验证（3.3）中的∧V（x）和∧J（x）满足一对变量不等式：min{r∧J（x）- L~J（x），~J（x）- （V（x）- hb（x））}=0，（4.14）min{r＠V（x）- L~V（x），~V（x）- （J（x）+hs（x））}=0。

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可人4

2022-5-8 03:28:06

（4.15）首先，请注意，J（x）等于0，因此满足等式（r）- 五十） ~J（x）=0。（4.16）以证明J（x）- （V（x）- 血红蛋白（x））≥ 0，我们看不相交的间隔(-∞, B*) 和[b]*, ∞)分别地为了x≥ B*, 我们有V（x）- 血红蛋白（x）=-（cb+cs），这意味着J（x）- （V（x）- hb（x））=cb+cs≥ 0.当x<b时*, 不等式J（x）- （V（x）- 血红蛋白（x））≥ 0可以重写ashb（x）F（x）=ex+cbF（x）≥电子束*- 脑脊液（b*)=房协（b）*)F（b）*). （4.17）为了确定这一点的必要条件，我们考虑（4.2）的LHS的导数：hbF′（x） =W（x）F（x）Zx-∞ψ（s）（L）- r） hb（s）ds=W（x）F（x）Zx-∞ψ（s）esfb（s）ds。（4.18）如果fb（x）=0小时没有根，那么（L- r） hb（x）对所有x都是阴性的∈ R.另一方面，如果只有一个根x，那么（L- r） hb（~x）=0和（L）- r）对于所有其他x，hb（x）<0。无论哪种情况，hb（x）/F（x）都是严格递减函数，（4.2）是真的。否则，如果fb（x）=0有两个不同的根xb1和xb2，且xb1<xb2，则（L- r） hb（x）（<0如果x∈ (-∞, xb1）∪ （xb2+∞),> 如果x为0∈ （xb1，xb2）。（4.19）应用（4.2）到（4.2），导数（hb/F）′（x）在(-∞, xb1）。因此，hb（x）/F（x）在(-∞, xb1）。我们进一步注意到b*> xs>xb2。注意，在区间（xb1，xb2）上，整数是正的。因此，（hb/F）′在somex处改变符号是可能的∈ （xb1，xb2）。要做到这一点，积分的正部分必须大于负部分的绝对值。换句话说，（3.2）必须保持不变。

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2022-5-8 03:28:09

如果（3.2）成立，那么一定存在一些*∈ （xb1，xb2）使得（hb/F）′a*) = 0，或相当于（ii）持有：hbF′（a）*) =h′b（~a）*)F（~a）*)-血红蛋白（~a）*)F′（~a）*)F（~a）*)=ea*F（~a）*)-（e)a*+ cb）F（a）*)′F（~a）*).如果（ii）成立，那么我们有Zxb1-∞ψ（x）exfb（x）dx=Z~a*xb1ψ（x）exfb（x）dx。此外，由于ZxB2a*ψ（x）exfb（x）dx>0，在Zxb1-∞ψ（x）exfb（x）dx<Zxb2xb1ψ（x）exfb（x）dx。这就建立了（ii）和（3.2）之间的等价性。在这种情况下，hb/F在（xb1，~a）上严格降低*). 然后，要么严格地在（~a）上增加*, B*), 或者存在一些“x”∈（xb2，b）*) 使得hb（x）/F（x）在（~a）上严格增加*, 并且在（\'x，b）上严格递减*). 在这两种情况下，（4.2）当且仅当（ii）成立时才成立。或者，如果（3.2）不成立，那么在（4.2）中，积分（hb/F）′将始终为负。这意味着函数hb（x）/F（x）对于所有x都是严格递减的∈ (-∞, B*), 在这种情况下（4.2）成立。因此，我们能够证明（4.2）成立，尤其是最小值0作为（4.2）的结果实现。为了证明（4.2），我们也经历了类似的过程。检查（r）- 五十） ~V（x）≥ 我们考虑两种情况。

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2022-5-8 03:28:13

首先当x<b时*, 我们得到（r）- 五十） ~V（x）=eb*- 脑脊液（b*)（r）- 五十） F（x）=0。另一方面，当x≥ B*, 不平等性（r- 五十） ~V（x）=（r）- 五十） hs（x）>0，从b开始*> xs（4.2）和（3.2）的第一个不等式。类似地，当x≥ B*, 我们有V（x）- （J（x）+hs（x））=hs（x）- hs（x）=0。当x<b时*, 这个不等式成立：~V（x）- （J（x）+hs（x））=hs（b*)F（b）*)F（x）- hs（x）≥ 0，相当于hs（x）F（x）≤房协（b）*)F（b）*), 由于（4.2）和（4.2）。orem 3.4（第1部分）的证明定义了函数sqg（x，z）=z+∞xΦ（s）（L）- r）血红蛋白（s）ds-Z+∞zΦ（s）（L）- r） hs（s）ds，qF（x，z）=Zx-∞ψ（s）（L）- r）血红蛋白（s）ds-Zz-∞ψ（s）（L）- r） hs（s）ds。我们寻找d点*<~b*这样的qg（~d）*,~b*) = 0和qF（~d*,~b*) = 这是因为这两个方程分别等价于（3.4）和（3.4）。现在，我们开始通过缩小f或d的范围来求解方程*和b*. O bservethatqG（x，z）=ZzxΦ（s）（L）- r） hb（s）ds+Z∞zΦ（s）[（L）- r）（hb（s）- hs（s）]ds=ZzxΦ（s）（L）- r）血红蛋白（s）ds- r（cb+cs）Z∞zΦ（s）ds<0，（4.20）对于所有x和z，使得xb2≤ x<z。因此，~d*∈ (-∞, xb2）。自从b*> X满意度q（b）*) = 0和a*< XB2统计（二）我们有Limz→+∞qF（x，z）=Zx-∞ψ（s）（L）- r）血红蛋白（s）ds- q（b）*) -Z+∞B*ψ（s）（L）- r） hs（s）ds>0，适用于所有x∈ （a）*, xb2）。此外，我们注意到资历架构z（x，z）=-ψ（z）（L）- r） hs（z）（<0如果z<xs，>0如果z>xs，（4.21）和qf（x，x）=Zx-∞ψ（s）（L）- r） [hb（s）- hs（s）]ds=-r（cb+cs）Zx-∞ψ（s）ds<0。（4.22）那么，（4.2）和（4.2）意味着存在一个独特的函数β：[a]*, xb2）7→ rstβ（x）>xsandqF（x，β（x））=0。（4.23）关于x的微分（4.2），我们看到β′（x）=ψ（x）（L- r） hb（x）ψ（β（x））（L- r） hs（β（x））<0，对于所有x∈ （xb1，xb2）。此外，根据b*> X满意度q（b）*) = 0，~a*满足度（ii）是qF的定义，我们有β（~a）*) = B*.到（4.2），我们有极限↑xb2qG（x，β（x））<0。

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2022-5-8 03:28:16

通过计算，我们得到了ddxqg（x，β（x））=-Φ（x）ψ（β（x））- Φ（β（x））ψ（x）ψ（β（x））（L- r）血红蛋白（x）=-ψ（x）G（x）F（x）-G（β（x））F（β（x））（L）- r） hb（x）<0，对于所有x∈ （xb1，xb2）。因此，存在一个独特的d*这样qG（~d）*, β（~d）*)) = 0当且仅当*, β（~a）*)) > 如果（3.4）成立，上述不等式成立。实际上，直接计算产生了等价性：qG（~a）*, β（~a）*)) =Z+∞~a*Φ（s）（L）- r）血红蛋白（s）ds-Z+∞B*Φ（s）（L）- r） hs（s）ds=-血红蛋白（~a）*)F（~a）*)-G（b）*)F（b）*)Zb*-∞ψ（s）（L）- r） hs（s）ds-Z+∞B*Φ（s）（L）- r） hs（s）ds=-ea*+ cbF（~a）*)+电子束*- 脑脊液（b*).当这个解决方案存在时，我们就有了*∈ （xb1，xb2）和*:= β（~d）*) > xs。接下来，我们证明了（3.4）和（3.4）中给出的函数J和V满足（4.2）和（4.2）中的VIs对。与定理3.3的证明一样，我们证明了- 五十） ~J（x）≥ 0通过检查3个不相交的区域，其中J（x）呈现不同的形式。当x<a*,（r）- 五十） ~J（x）=~P（r）- 五十） F（x）=0。接下来，当x>d*,（r）- 五十） ~J（x）=~Q（r）- 五十） G（x）=0。最后是x∈ [~a*,~d*],（r）- 五十） ~J（x）=（r）- 五十）（KF（x）- hb（x））=-（r）- 五十） hb（x）>0，这是自a以来（4.2）的结果*,~d*∈ （xb1，xb2）。接下来，我们验证（r- 五十） ~V（x）≥ 事实上，我们有- 五十） ~V（x）=~K（r）- 五十） F（x）=0表示x<b*. 当x≥~b*, 我们得到了不等式（r- 五十） ~V（x）=（r）- 五十）（QG（x）+hs（x））=（r- 五十） hs（x）>0，因为b*> xsand由于（3.2）。它很容易证明J（x）- （V（x）- 血红蛋白（x））≥ 0和V（x）- （J（x）+hs（x））≥ 0.当x<a*,我们有J（x）- （V（x）- hb（x））=（P-~K）F（x）+（ex+cb）=-F（x）ea*+ cbF（~a）*)+ （ex+cb）≥ 这个不等式成立，因为我们已经在定理3.3的证明中证明了hb（x）F（x）对于x<a是严格递减的*.

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2022-5-8 03:28:19

此外，V（x）- （~J（x）+hs（x））=F（x）e ~a*+ cbF（~a）*)- （例如- （政务司司长）≥ 0，因为（4.2）（以及随后的解释）意味着hs（x）F（x）对于所有x<~a都在增加*.在另一个区域，x∈ [~a*,~d*], 我们有J（x）- （V（x）- hb（x））=0，~V（x）- （J（x）+hs（x））=hb（x）- hs（x）=cb+cs≥ 0.当x>b时*, 很明显，J（x）- （V（x）- hb（x））=hb（x）- hs（x）=cb+cs≥ 0，~V（x）- （J（x）+hs（x））=0。建立x的不等式∈ （~d）*,~b*), 我们首先表示J（x）：=J（x）- （V（x）- hb（x））=QG（x）-~KF（x）+hb（x）=F（x）Zx~d*Φ（s）（L）- r）血红蛋白（s）ds- G（x）Zxd*ψ（s）（L）- r） hb（s）ds，gV（x）：=V（x）- （J（x）+hs（x））=KF（x）-QG（x）- hs（x）=F（x）Zb*xΦ（s）（L）- r） hs（s）ds- G（x）Zb*xψ（s）（L）- r） hs（s）ds。反过来，我们计算得到g′J（x）=F′（x）Zx~d*Φ（s）（L）- r）血红蛋白（s）ds- G′（x）Zx~d*ψ（s）（L）- r） hb（s）ds，g′V（x）=F′（x）Z＠b*xΦ（s）（L）- r） hs（s）ds- G′（x）Z~b*xψ（s）（L）- r） hs（s）ds。回想一下xb2和xs的定义，以及G′<0<F′这一事实，我们有G′~J（x）>0表示x∈ （~d）*, xb2）和g′V（x）<0表示x∈ （xs，~b）*). 这些，再加上*) = g~V（~b）*) = 0，意味着对于x，gJ（x）>0∈ （~d）*, xb2），而对于x，g)V（x）>0∈ （xs，~b）*).此外，因为我们有g)J（)b*) = cb+cs≥ 0，gV（d*) = cb+cs≥ 0、（4.24）和（1）- r） g~J（x）=（L）- r） hb（x）<0表示所有x∈ （xb2，~b）*), （4.25）（L）- r） g~V（x）=-（L）- r） hs（x）<0表示所有x∈ （~d）*, xs）。考虑到不等式（4.2）和（4.2），最大值原理意味着gJ（x）≥ 0和gV（x）≥ 0代表所有x∈ （~d）*,~b*). 因此，我们得出结论，J（x）-（V（x）-血红蛋白（x））≥ 0和V（x）-（J（x）+hs（x））≥ 0等待x∈ （~d）*,~b*).定理3.3和3.4的证明（第2部分）我们现在证明，定理3.3和3.4中的候选解，用j和v表示，分别等于最佳开关值函数j和Vin（2.2）和（2.2）。

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2022-5-8 03:28:24

首先，我们注意到≤~J和~v≤~V，因为~J和~V主导了任何可行策略的预期折扣成本。接下来，我们展示反向不平等。在第1部分中，我们已经证明了j和v满足VIs（4.2）和（4.2）。特别是，我们知道（r- 五十） ~j≥ 0和（r）- 五十） ~v≥ 然后通过Dynkin的公式和Fatou的引理，如Oksendal（2003，第226页），对于任何停止时间ζ和ζ，例如0≤ ζ≤ ζ几乎可以肯定，我们有不等式-rζ~j（Xζ）}≥ 前{e-rζ~j（Xζ）}，和Ex{e-rζ~v（Xζ）}≥ 前{e-rζ~v（Xζ）}。（4.26）对于∧=（ν，τ，ν，τ，…），注意到≤ τ几乎可以肯定，我们有j（x）≥ 前{e-r~nj（Xν）}（4.27）≥ 前{e-rν（~v（Xν）- hb（Xν））}（4.28）≥ 前{e-rτ~v（Xτ）}- 前{e-rνhb（Xν）}（4.29）≥ 前{e-rτ（~j（Xτ）+hs（Xτ））}- 前{e-rνhb（Xν）}（4.30）=Ex{e-rτj（Xτ）}+Ex{e-rτhs（Xτ）- E-rνhb（Xν）}，（4.31），其中（4.2）和（4.2）跟在（4.2）后面。此外，（4.2）和（4.2）分别来自（4.2）和（4.2）。注意到（4.2）是一个递归，并且j（x）≥ 在定理3.3和3.4中，我们都得到了∧j（x）≥ 前任(∞Xn=1[e-rτnhs（Xτn）- E-rνnhb（Xνn）]）。在所有∧上最大化会产生∧j（x）≥~J（x）。类似的证明给出了v（x）≥~V（x）。备注4.4如果Entry没有交易成本，即cb=0，则fb（现在是一个具有非零斜率的线性函数）有一个根x。此外，对于x，我们有fb（x）>0∈ (-∞, x）对于x，fb（x）<0∈ （十）+∞). 这意味着输入区域必须是(-∞, d），对于某些数字d。因此，输入的连续区域是连通区间（d，∞).备注4.5假设Lξ是XOU过程ξ=eX的最小生成器，并定义函数Hb（y）：=y+cb≡ hb（lny）。

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2022-5-8 03:28:28

换句话说，我们有等价性：（Lξ）- r）血红蛋白（y）≡ （L）- r） hb（lny）。关于（3.2）和（3.2），我们有（Lξ- r） Hb（y）（y大于0）∈ （yb1，yb2），<0表示y∈ （0，yb1）∪ （yb2，∞),（4.32）其中yb1=exb1>0和yb2=exb2和xb1<xb2是（3.2）或（Lξ）的两个不同根- r） Hb（y）<0，代表y∈ （0，y）*) ∪ （y）*, ∞), （4.33）其中y*= 前任*还有x*是（3.2）的单根。在这两种情况下，都违反了Zervos等人（2013）的假设4，其结果无法应用。事实上，他们需要（Lξ）- r） Hb（y）在形式（y）的连通区间上严格为负，∞), 对于一些固定的≥ 0.然而，从（4.5）和（4.5）中可以清楚地看出，这样一个区域是断开的。事实上，Zervos等人（2013）的方法适用于最优切换问题，其中最优等待进入区域（对数价格）为f形式（~d）*, ∞), 而不是d断开的区域(-∞, ~a*) ∪ （~d）*, ∞), 就像我们对XOU的例子一样。使用等待进入区域的新推断结构，我们修改了Zervos et al.（2013）中的参数，以解决定理3.3和3.4的最优切换问题。附录。引理4.2的证明（H的性质）。h on（0+∞) 直接从hs，G和ψ的表达式中推导出来。另一方面，我们有H（0）：=limx→-∞（hs（x））+G（x）=limx→-∞（例如-cs）+G（x）=limx→-∞G（x）=0。因此，H在0 f处的连续性从Limz开始→0H（z）=limx→-∞hs（x）G（x）=limx→-∞前任- csG（x）=0。接下来，我们证明了H的性质（i）-（iii）。（i）这与ψ（x）是严格增函数且G（x）>0这一事实非常相似。（ii）通过定义H，H′（z）=ψ′（x）（hsG）′（x）=[exG（x）- （例如- cs）G′（x）]ψ′（x）G（x），z=ψ（x）。为了x∈ （在cs中+∞), 前任- cs>0，G′（x）<0，所以exG（x）- （例如- cs）G′（x）>0。

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2022-5-8 03:28:31

此外，由于ψ′（x）和G（x）都是正的，我们得出结论：H′（z）>0f或z∈ （ψ（ln-cs）+∞).H′（z）极限的证明将使用财产（iii），因此推迟到财产证明（iii）之后。（iii）通过微分，我们得到h′（z）=σG（x）（ψ′（x））[（L- r） hs]（x），z=ψ（x）。由于σ，G（x）和（ψ′（x））都是正的，我们只需要确定（L）的符号- r） hs（x）=exfs（x）。因此，财产（iii）遵循第（3.2）款的规定。为了确定H′（z）的极限，我们首先观察到→+∞hs（x）F（x）=0。（A.1）事实上，我们有极限→+∞hs（x）F（x）=limx→+∞E-xF（x）=limx→+∞Z+∞uru-1e（q2）-u）徐-q2μσθu-乌杜-1=极限→+∞Zqσ2uuru-1e（q2）-u）徐-q2μσθu-udu+Z+∞qσ2uuru-1e（q2）-u）徐-q2μσθu-乌杜-1.由于Rhs上的第一项为非负项，第二项为严格递增和凸x项，因此极限为零。现在转到H′（z），我们注意到H′（z）=ψ′（x）（hsG）′（x），z=ψ（x）。如我们所示，对于z>ψ（ln-cs）∧ ψ（xs），H′（z）是一个正的递减函数。因此，这种限制是存在和满足的→+∞H′（z）=limx→+∞ψ′（x）（hsG）′（x）=c≥ 0.（A.2）观察这个极限→+∞hs（x）G（x）=+∞, 利克斯→+∞ψ（x）=+∞ , 还有limx→+∞（hs（x）G（x））′ψ′（x）存在，ψ′（x）6=0。我们将L\'Hopital规则应用于getlimx→+∞hs（x）F（x）=limx→+∞hs（x）G（x）F（x）G（x）=limx→+∞（hs（x）G（x））′ψ′（x）=c.（A.3）比较（A）和（A）意味着c=0。从（A）中，我们得出limz的结论→+∞H′（z）=0。A.2引理4.3的证明（^H的性质）。可以直接检查V（x）在任何地方都是连续的和可微分的，除了x=b之外，在任何地方都是两次可微分的*. ^h（x）具有相同的性质。由于G和ψ在任何地方都是二次可微的，所以^H在（0+∞) （0，ψ（b）上的二次微分*)) ∪ （ψ（b）*), +∞) 直接跟随。要查看^H（y）在0处的连续性，请注意V（x）→ 0和ex→ 0作为x→ -∞.

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2022-5-8 03:28:34

那么我们有^H（0）：=limx→-∞（^h（x））+G（x）=limx→-∞（V（x）- 前任- cb）+G（x）=limx→-∞G（x）=0，limz→0^H（z）=limx→-∞^h（x）G（x）=limx→-∞-cbG（x）=0。在0处有连续性。（i）为了x∈ [b]*, +∞), 我们有^h（x）≡ -（cs+cb）<0。接下来是极限极限→-∞V（x）→ 0和limx→-∞前任→ 0表示limx→-∞^h（x）=V（x）- 前任- cb→ -cb<0。在此之前，对于x，存在^h（x）<0的一些b∈ (-∞, b）。对于所讨论的非平凡情况，对于某些x，^h（x）必须是正的，所以我们必须有b<b*. 结论e，x的^h（x）<0∈ (-∞, b）∪ [b]*, +∞). 这一点，以及ψ（x）∈ (0, +∞) 是一个严格递增的函数，G（x）>0，意味着性质（i）。（ii）通过微分^H（z），我们得到^H′（z）=ψ′（x）（^hG）′（x），z=ψ（x）。为了确定^H′的符号，我们观察到≥ B*,（^h（x）G（x））′=(-（cs+cb）G（x））\'=（cs+cb）G′（x）G（x）<0。另外，ψ′（x）>0表示x∈ 因此，对于z，^H（z）是严格递减的≥ ψ（b）*).（iii）为了研究凸/凹性，我们研究了二阶导数^H′（z）=σG（x）（ψ′（x））（L- r） ^h（x），z=ψ（x）。由于σ，G（x）和（ψ′（x））都是正的，我们只需要确定（L）的符号- r） ^h（x）：（L- r） ^h（x）=σ（V′（x）- ex）+u（θ）- x）（V′（x）- （前）- r（V（x）- 前任- cb）=（[ux- (uθ +σ- r） ]ex+rcbif x∈ (-∞, B*),如果x，r（cs+cb）>0∈ （b）*, +∞).这表明^H（z）对于z是凸的∈ （ψ（b）*), +∞).此外，对于x∈ （xs，b）*), 我们有- r） ^h（x）=[ux- (uθ +σ- r） ]ex+rcb=-根据xs的定义，exfs（x）+r（cs+cb）>r（cs+cb）>0。因此，^H（z）在（ψ（xs），ψ（b）上也是凸的*)). 因此，我们建立了^H（z）在（ψ（xs）上是凸的+∞).接下来，我们确定（0，ψ（xs）]上^H（z）的凸性。表示^z:=arg m axz∈[0,+∞ )^H（z）。自从supx∈R^h（x）>0，我们必须有^h（^z）=supz∈[0,+∞ )^H（z）>0。由于连续性和微分性，^H在^z处必须是凹的。

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