关于L\'{e}vy模型的下降幅度、渐近性和持续时间

2022-5-8 11:03:43

提款量出现在业绩指标中，如卡尔玛比率、英镑比率、伯克比率等；例如，请参见Schuhmacher和Eling[34]，以获取此类基于缩减的性能度量的集合。此外，提款问题在各种研究领域引起了相当大的理论和实践兴趣，包括概率、财务、风险管理和统计学；请参阅第1.1节，了解简要的文献综述。这是ISI/BS在伯努利发表的原始文章的电子版，2017年，第23卷，第1432-458号。这本再版在页码和排版细节上与原版不同。1350-7265摄氏度 2017 ISI/BS2 D.Landriault，B.Li和H.Zhang在本文中，我们考虑了一维L’evy过程X={Xt，t≥0}定义于(Ohm, F、 F={Ft，t≥0}，P），满足通常条件的过滤概率空间。X的提取过程定义为asYt=Mt-Xt，t≥ 0，其中Mt=sup0≤U≤TxU是时间t时X的运行最大值（历史峰值）。设τa=inf{t≥0:Yt>a}，这是水位下降幅度首次超过预先规定的阈值a>0。考虑到（max0≤s≤tYs>a）=（τa<t）P-a.s.，最大水位下降幅度的分布研究相当于停止时间τa的研究。然而，从风险管理的角度来看，水位下降幅度本身不足以提供极端水位下降风险的综合风险评估。例如，对于龙卷风和洪水等极端风险，自然也要调查水位下降的频率和持续时间。Landriault等人[22]最近研究了布朗运动过程的下降频率，根据历史运行最大值是否重置，确定了两种类型的下降时间序列。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:03:46

在本文中，我们将考虑提款的持续时间，也被称为“恢复时间”（TTR），这是基金管理行业的历史最高运行时间。从数学上讲，随机过程的下降持续时间可以被认为是从其运行最大值开始的偏移长度。对于t≥0，设Gt:=sup{0≤s≤t:Ys=0}是在t之前或t时，过程Y最后一次处于0级（或相当于X=M）。因此，t时的下降持续时间为t-Gt。然后我们定义一个停止时间ηb=inf{t≥ b:t-燃气轮机≥b} ，（1.1）这是首次提款持续时间超过预先规定的时间阈值b>0。等效地，事件（ηb>t）意味着时间t之前的最大下降持续时间比b短。停止时间ηbis与所谓的巴黎时间有关，这是第一次从固定的空间水平（而不是其运行最大值）偏移的长度超过预先规定的时间阈值；例如，参见Chesney等人[9]和Czarna and Palmowski[11]。此外，Loe ffen等人[26]提供了一个统一的证据，以推导出在有限时间范围内（在精算学中称为Parisianruin概率）巴黎时间发生在光谱负L’evy过程中的概率。请注意，与巴黎时间相比，停止时间ηbis几乎肯定是有限的（例如，Bertoin[4]第105页），这促使我们在本文中研究ηbin的拉普拉斯变换（LT）。另一个相关概念是所谓的保险盈余过程的红色周期；参见Kyprianou和Palmowski[21]。红色周期对应于保险盈余过程在破产时恢复其损失所需的时间长度。但它不同于ηb的分布研究，尤其是当X没有负跳跃（例如布朗运动）时。关于L’evy模型的下降幅度、渐近性和持续时间31.1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-8 11:03:50

泰勒[36]首先导出了布朗运动过程中τa和Mτa的联合拉普拉斯变换。后来，Lehoczky[24]将其推广到时间均匀扩散过程。Douady等人[13]和Magdon等人[28]分别推导了标准布朗运动和漂移布朗运动的τa分布的有限级数展开式。对于谱负L’evy过程，Mijatovi’c和Pistorius[29]获得了τa的联合拉普拉斯变换和从Mτaprior到τa的最后通过时间的一般六元组公式，以及运行最大值、运行最小值和Y在τa的超调量的联合分布。此外，关于下降、上升、，从运行的最小值开始测量底层流程的价值增加；例如，参见Pistorius[30]、Hadjiliadis和Veˇceˇr[16]、Pospisil等人[32]以及Zhang和Hadjiliadis[38,39]。在财务和风险管理方面，研究人员在评估、管理和降低提款风险方面投入了大量精力。例如，格罗斯曼和周[15]研究了一个受提取约束的投资组合选择问题。Cvitanic和Karatzas[10]将讨论扩展到了多个资产。Chekhlov等人[8]提出了一系列新的风险度量，并研究了新度量下的参数选择和组合优化问题。Pospisil和Veˇceˇr[31]发明了一种新的灰色分类，用于检查投资组合对提款的敏感性。Carr等人[5]设计了一些欧洲风格的数字提款保险合同，并提出了使用障碍期权和普通期权的半静态对冲策略。最近关于提款保险的其他工作还有Zhang等人。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:03:54

[37,40]等。此外，金融和保险领域的一些先验无关问题也与提款问题密切相关。例如，俄罗斯期权的定价（例如Shepp和Shiryaev[35]、Asmussen等人[1]和Avram等人[2]）以及带有“反射障碍”的最优股息模型（例如Avram等人[3]、Kyprianou和Palmowski[21]以及Loe ff en[27]）是两个常见的例子。1.2. 目标和结构在本文中，我们首先本着莱霍茨基[24]的精神开发了一种近似技术，以通过基本函数恒等式重新审视关于光谱负L’evy过程下降幅度的几个已知LT结果。第二，作为下降幅度a的阈值↓ 0时，我们检查了这些LTs的渐近行为，对于任何标度函数在0+时表现良好的谱负L′evy过程（见下面的假设4.1）。我们还证明了这种渐近性对于任意正复合泊松跳的扰动是鲁棒的，从而得到了一类具有双边跳的L'evy模型的下降估计的渐近性。最后，我们通过ηb的LT来研究水位下降的持续时间。首先，我们开发了ηb的LT的近似方案。为了获得一个明确的极限，我们将问题转化为运行中的最大过程M的密度的行为，以及水位下降过程Y的一些潜在度量的收敛性D.Landriault，B.Li和H.Zhang。由于获得的渐近结果和最近关于L’evy过程的运行极大值分布的一些工作（例如，Chaumont[6]，Chaumont和Ma lecki[7]，以及Kwa’snicki等人）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-8 11:03:57

[19] 对于一类具有双边跳跃的L’evy过程（一般的谱负部分加上正的复合泊松结构），我们得到了升梯时间过程右尾的ηbin项定律。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们回顾了谱负L’evy过程的标度函数和一般L’evy过程的升梯过程。在第3节中，我们基于近似方法重新讨论了一些已知的关于光谱负L’evy过程下降幅度的LT结果。第4节研究了这些LTs在小阈值下的渐近行为，我们还研究了存在正复合泊松跳时的渐近行为。在第5节中，我们推导了一大类具有双边泵的L’evy过程的ηbis的LT。第6节给出了一些明确的例子。为了完备性，附录中给出了关于扩展连续性定理的一些结果。2.初步介绍在本节中，我们简要介绍了L’evy工艺的一些初步结果。读者可以参考Bertoin[4]和Kyprianou[20]了解更详细的背景。为了便于记法，在本文中，我们让R=(-∞, ∞), R+=[0，∞) andH+={s∈ C:Re（s）≥ 0}. 我们用X=X表示L’evy过程的定律∈ R.为简洁起见，我们写P=P。实数u，v的最小值用u表示∧ v=min{u，v}。对于（0）上的函数f（·），∞) 还有x∈ [0, ∞], 我们写f（x）=o（g（x））asx→ 对于正函数g（·）如果limx→xf（x）/g（x）=0.2.1。谱负L’evy过程和尺度函数考虑谱负L’evy过程X={Xt，t≥ 0}. 在整篇论文中，我们假设| X |不是从属项，因此0是（0）的正则项，∞) （参见Kyprianou[20]的定义6.4和定理6.5，了解正则性的定义和等效特征）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:04:01

X的拉普拉斯指数由ψ（s）：=tlog E[esXt]=-us+σs+Z(-∞,0）（esx-1.-sx1{x>-1} /（dx），（2.1）每s∈ H+。给，先生≥0，并且在(-∞, 0）带Z(-∞,0）（1∧x） π（dx）<∞.关于L’evy模型5的下降幅度、渐近性和持续时间，已知X具有有界变化路径当且仅当ifR(-1,0）|x |∏（dx）<∞σ=0。在这种情况下，我们可以将（2.1）改写为ψ（s）=sd+Z(-∞,0）（esx-1） π（dx），s≥ 0，（2.2）其中漂移d=-u+R(-1,0）|x |∏（dx）>0，因为|x |不是从属关系。不管怎样≥ 方程ψ（s）=q至少有一个正解，我们用Φ（q）表示最大的一个。众所周知{ecXt-ψ（c）t，t≥ 0}是任意c的鞅≥ 0.这导致测量的PCDP发生变化Ft=ecXt-ψ（c）t，t≥ 0.（2.3）在新的测度Pc下，X仍然是一个谱负的L′evy过程，其拉普拉斯指数由ψc（s）=ψ（s+c）给出-ψ（c）对所有s∈这样s+C∈ H+。任何问题≥ 0，q-标度函数W（q）：r7→[0, ∞) 是唯一支持的函数（0，∞) 用拉普拉斯变换Z（0，∞)E-sxW（q）（x）dx=ψ（s）-q、 s>Φ（q）。已知W（q）是连续的，并且在（0）上增加，∞). 此后，我们假设跃迁测度∏（dx）没有原子，那么W（q）∈ C（0，∞) （例如，库兹涅佐夫等人[18]的引理2.4）。此外，如果高斯系数σ>0，那么w（q）∈ C（0，∞) 尽管如此，q≥ 0（例如库兹涅佐夫等人[18]的定理3.10）。q-标度函数W（q）与频谱负L′evy过程X关于formT第一次通过时间的出口问题密切相关+(-)x=inf{t≥ 0:Xt≥(≤)x} ，x∈R.给出了谱负L’evy过程的两个众所周知的函数恒等式（例如，Kyprianou[20]，定理8.1）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:04:04

问≥0和0≤十、≤ a、我们有-qT+a{T+a<T-}] =W（q）（x）W（q）（a）（2.4）安第斯山脉[e]-qT-{T-<T+a}]=Z（q）（x）-Z（q）（a）W（q）（x）W（q）（a），（2.5），其中Z（q）（x）=1+qRxW（q）（y）dy。下面的引理给出了0+和∞; 例如，参见库兹涅佐夫等人[18]的引理3.1和3.2。关系式（2.6）来自Egamiet al.[14]的（3.13）。6 D.Landriault，B.Li和H.ZhangLemma 2.1。任何问题≥ 0，W（q）（0+）=如果σ>0或(-1,0）|x |∏（dx）=∞ （无界变化），d，否则（有界变化），W（q）′（0+）=σ、如果σ>0，∞, 如果σ=0且∏(-∞, 0) = ∞,q+π(-∞, 0）d，如果σ=0且∏(-∞, 0) < ∞,安德利姆→∞W（q）′（x）W（q）（x）=Φ（q）。(2.6)2.2. 一般L’evy过程的升梯过程在这一小节中，我们考虑一般L’evy过程X={Xt，t≥ 0}以其特征指数ψ（s）为特征：-tlog E[eisXt]=ius+σs+ZR\\{0}（1-eisx+isx1{| x |<1}）π（dx），（2.7）适用于所有s∈R.如果X有界变差，我们可以将（2.7）改写为ψ（s）=-isd+ZR\\{0}（1-eisx）π（dx），（2.8），其中漂移d:=-u -R0<| x |<1x∏（dx）。X在其运行最大值时的本地时间，用L={Lt，t表示≥ 0}，是一个连续的、非递减的、R+值的过程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:04:07

逆本地时间过程，也称为上升阶梯时间过程，定义为L-1={L-1t，t≥ 0}其中-1t:=inf{s>0:Ls>t}，如果t<L∞,∞, 否则阶梯高度过程H={Ht，t≥0}定义为：=特大号-1t，如果t<L∞,∞, 否则当地时间倒数-1对应于达到新最大值的实际时间，上升梯高度过程H对应于新最大值的集合。关于L’evy模型的下降幅度、渐近性和持续时间-1，H）={（L）-1t，Ht），t≥ 0}被称为X的上升阶梯过程，是一个具有联合拉普拉斯变换[e]的二维（可能是死的）从属过程-αL-1t-βHt{t<L∞}] = E-κ（α，β）t，α，β≥联合拉普拉斯指数由κ（α，β）=κ（0，0）+αdL+βdH+Z（0，∞)(1 -E-αx-βy）∧（dx，dy），α，β≥0，（2.9）其中（dL，dH）∈ R+和∧是（0，∞)令人满意的Z（0，∞)(1 ∧px+y）∧（dx，dy）<∞.当我-1和H是独立的，∧的形式为∧（dx，dy）=∧L（dx）δ（dy）+x，y的∧H（dy）δ（dx）≥ 0.特别是，如果X是一个光谱负的L’evy过程，可以选择Lt=Mt，这意味着L-1t=T+T，Ht=XT+T=T在{T<L∞}, 进一步的κ（α，β）=Φ（α）+β。通过在（2.9）中取β=0，我们得到了上升阶梯时间过程的拉普拉斯指数，-t日志E[E]-αL-1t{t<L∞}] = κ（α，0）=κ（0，0）+αdL+Z（0，∞)(1 -E-αx）νL（dx），α≥ 式中，νL（dx）=∧（dx，（0，∞)) 是L的跳跃度量-1.通过部分积分得出κ（α，0）-κ(0, 0) = αdL+Z（0，∞)E-αx′νL（x）dx, α ≥ 0，（2.10）式中|L（x）：=νL（x，∞).与阶梯高度过程h相关的更新函数h为定义灰（x）：=Z（0，∞)P{Ht≤x} dt，x≥ 0.（2.11）当X是光谱负的L′evy过程时，很容易看出h（X）=R（0，X）e-x的Φ（0）Tdtf≥ 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:04:10

我们回顾了以下关于更新函数和收缩性质之间关系的结果（见Bertoin[4]第三章定理5和第六章定理19）。这里我们说，如果X进入（X，∞) 连续不断地。引理2.2。以下断言是等价的。（i）对于某些X>0的情况，P{X在X}>0上爬行。（ii）漂移系数dH>0.8d.Landriault，B.Li和H.Zhang（iii）更新函数H是绝对连续的，H′是有界的。此外，当这些断言成立时，有一个版本h′是连续的，并且在（0，∞). 最后，limx↓0h′（x）=dH>0，对于所有x>0.3的情况，P{x在x}=dHh′（x）上爬行。下降幅度在本节中，我们通过波动恒等式和Lehoczky[24]提出的近似方法，重新讨论了光谱负L’evy过程下降幅度的一些已知结果。这种方法符合一般It^o的短途旅行理论的精神。引理3.1。问≥ 0和x>0，我们有-qT+x{Mτa≥x} ]=exp-W（q）′（a）W（q）（a）x. （3.1）证据。对于固定x>0和n∈ N、设{sn，i，i=0，…，N}是区间[0，x]的递增划分序列，其中0=sn，0<sn，1<···<sn，N=xn=max1≤我≤n（sn，i）-嗯，我-1）随着n的增加减少到0→∞. 利用X的强Markov性质，我们提出了近似事件（Mτa）≥x） byTnm=1（T+sn，i<T-嗯，我-1.-a | X=sn，i-1），因此使用en:=nYi=1E[e-qT+sn，i{T+sn，i<T-嗯，我-1.-a} |X=sn，i-1] ，作为E[E]的近似值-qT+x{Mτa≥x} ]。通过（2.4），我们haven=nYi=1W（q）（a）W（q）（a+sn，i-嗯，我-1） =exp（nXi=1ln）1.-W（q）（a+sn，i）-嗯，我-1) -W（q）（a）W（q）（a+sn，i）-嗯，我-1)).自W（q）∈C（0，∞) 并且在（0，∞), 我们有W（q）（a+sn，i）-嗯，我-1) -W（q）（a）W（q）（a+sn，i）-嗯，我-1)≤W（q）（a+n）-W（q）（a）W（q）（a）≤K(n），共1人≤ 我≤ n和一些常数K>0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:04:14

事实上-ln（1）- ε） =ε+o（ε）对于小ε>0，则e[e]-qT+x{Mτa≥x} ]=limn→∞exp（nXi=1ln）1.-W（q）（a+sn，i）-嗯，我-1) -W（q）（a）W（q）（a+sn，i）-嗯，我-1))关于L’evy模型9=limn的下降幅度、渐近性和持续时间→∞经验(-nXi=1W（q）（a+sn，i-嗯，我-1) -W（q）（a）W（q）（a+sn，i）-嗯，我-1））=exp-W（q）′（a）W（q）（a）x,这就完成了证据。通过在（3.1）中设q=0，很容易看出Mτa服从平均值为W（a）/W′（a）的指数分布。然后从（3.1）中得出，对于q≥ 0和x≥ 0，E[E]-qT+x | Mτa=x]=exp-W（q）′（a）W（q）（a）-W′（a）W（a）十、. （3.2）接下来，我们考虑以下与向下退出有关的引理。引理3.2。对于q，s≥ 我们有-qT--s（a）-XT-)|T-< T+a]=W（a）W′（a）Z（p）s（a）W（p）′s（a）-pW（p）s（a）W（p）s（a），（3.3），其中p=q-ψ（s），W（p）和Z（p）是Ps证明下的p-s标度函数。我们首先考虑的是≤ Φ（q），或等效的q≥ ψ（s）。为了0≤ 十、≤ y、辛塞特-∧T+yis a.s.定义，按测量值（2.3）和（2.5）的变化，例如[e]-qT--s（x）-XT-){T-<T+y}]=Esx[e-pT-{T-<T+y}]（3.4）=Z（p）s（x）-Z（p）s（y）W（p）s（x）W（p）s（y）。由（2.4）和（3.4）可知：-qT--s（a）-XT-)|T-< T+a]=limε↓0Ea[e-qT--s（a）-XT-)|T-< T+a+ε]（3.5）=limε↓0Z（p）s（a）-Z（p）s（a+ε）W（p）s（a）W（p）s（a+ε）W（a+ε）W（a+ε）-W（a）=W（a）W′（a）Z（p）s（a）W（p）′s（a）-pW（p）s（a）W（p）s（a）。10 D.兰德里奥，B.李和H.张是近似limε的另一侧↓0Ea-ε[e-qT--s（a）-XT-)|T-< T+a]也会导致（3.5）。然后通过（3.3）到s的分析扩展完成证明≥ 0为了获得本节的主要结果，我们注意到，X的样本路径直到τacan可以分为两部分：上升部分和随后的碰撞部分。由于（0）的0的规律性，∞), 我们知道最后通过时间（Gτa | Mτa=x）=（T+x | Mτa=x），P-a.s.（另见Kyprianou[20]第158页的讨论）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:04:18

我们的分析基本上遵循了这个观点：关系（3.2）和（3.3）分别对应于上升和下降部分。通过在转折点Gτa处粘贴这两部分，可获得以下四重LT。定理3.1。对于q，r，s，δ≥我们有-qτa-rGτa-sYτa-δMτa]=W（q+r）（a）δW（q+r）（a）+W（q+r）′（a）Z（p）s（a）W（p）′s（a）-pW（p）s（a）W（p）s（a），（3.6），其中p=q-ψ（s）。证据通过对x>0的事件（Mτa=x）进行条件化，我们得到了τa=Gτa+T-十、-A.oθGτa和T-十、-A.o θGτa<T+xo θGτa，P-a.s.其中θ是定义为asXt的马尔可夫移位算子oθs=Xt+s。因此，通过（3.2）和（3.3），我们得到[e]-qτa-rGτa-sYτa | Mτa=x]=E[E-（q+r）Gτa-q（τa）-Gτa）-sYτa | Mτa=x]=E[E-（q+r）GτaE[e-qT-十、-A.oθGτa-s（x）-XT-十、-a） |T-十、-A.oθGτa<T+xoθGτa]|Mτa=x]（3.7）=E[E-（q+r）Gτa | Mτa=x]Ex[e-qT-十、-A.-s（x）-XT-十、-a） |T-十、-a<T+x]=exp-W（q+r）′（a）W（q+r）（a）-W′（a）W（a）十、W（a）W′（a）Z（p）s（a）W（p）′s（a）-pW（p）s（a）W（p）s（a）。将（3.7）乘以Mτa的密度，然后对x积分，得到（3.6）。关系式（3.6）通过结合Gτa和Mτa的结合，推广了Avram等人[1]的定理1。此外，通过类似的近似参数，可以求解方程（3.6）的联合分布，但可以利用Yτa定律，从而恢复Mijatovi\'c和Pistorius[29]的定理1中的结构定律（τacan处的最小值也可以很容易地结合）。关于L’evy模型的下降幅度、渐近性和持续时间114。水位下降幅度的渐近在本节中，我们研究水位下降幅度的LT（3.6）的渐近性，作为↓ 0表示光谱负L’evy过程。此外，我们还证明了这种符号对于正复合泊松跳跃的扰动是鲁棒的。4.1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:04:22

光谱负L’evy过程第四，我们对0+时标度函数的行为做出以下假设。假设4.1。利克斯↓0xW′（x）=0。事实上，自从xW′（x）≥ 0表示所有x>0，只要W′在sensethatlimx中在0+处表现良好↓0xW′（x）=对于某些c∈[0, ∞],从W′在0+处的可积性可以推断c=0。备注4.1。来自外稃2。如果高斯分量σ>0或∏，则假设4.1显然成立(-∞, 0) < ∞. 此外，光谱负的α稳定过程具有指数α∈ （1，2），其拉普拉斯指数ψ（s）=sα和标度函数w（x）=1{x≥0}xα-1Γ（α），也满足假设4。1.由于标度函数只在少数情况下已知，我们在假设4时检查拉普拉斯指数的有效条件，以确定情况。1保持。备注4.2。对于具有拉普拉斯指数ψ的一般谱负L′evy过程，通过引理2。1，可以选择任意的s>Φ（0）并定义函数g（x）：={x>0}e-sxxW′（x），在R\\{0}上是非负连续的。通过库兹涅佐夫[18]和（2.6）的引理3.3，我们进一步知道g（x）∈ L（R）。通过部分积分和分析延拓，我们可以得到thatZReisxg（x）dx=洎（s-是的∈ R、 12 D.Landriault，B.Li和H.Zhang，其中φ（s）：=sψ′（s）-ψ（s）ψ（s）表示Re（s）≥ 0.通过傅立叶反演和支配收敛定理，我们知道了假设的一个充分条件。1.将其固定-i·）∈ L（R），因为它意味着g（·）在R.引理4.1上是连续的。根据假设4。我们有limx↓0xW（q）′（x）=每q为0≥ 0.证明。由于（0）上支持比例函数W，∞), 对于任何k≥1.我们有DDXW*（k+1）（x）=Z（0，x）W′（x-y） W*k（y）dy+W（0+W）*k（x）≤xk-1（k）-1)!Wk（x）Z（0，x）W′（x）-y） dy+W（0+）（4.1）=xk-1（k）-1)!Wk+1（x），其中上述不等式是由Kyprianou[20]的等式（8.23）和W的单调性引起的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:04:27

通过（4.1）并将导数逐项取为已知的恒等式y（q）（x）=P∞k=0qkW*（k+1）（x），其中W*kis是W与自身的第k次卷积，得到xW（q）′（x）=xW′（x）+x∞Xk=1qkddxW*（k+1）（x）≤ xW′（x）+qxW（x）∞Xk=1（qxW（x））k-1（k）-1)!= xW′（x）+qxW（x）eqxW（x）。当最后一个等式的右边接近0为x时，证明就结束了↓ 0根据假设4。1.外稃4。1对于导出以下渐近结果至关重要。定理4.1。考虑一个满足假设4的谱负L'evy过程X。1.对于任何q，s≥ 0，我们有limε↓0W（q）′（ε）W（q）（ε）（1）-E[E]-qτε-sYτε]=（s，如果X有无界变化，s+q-ψ（s）d，如果X有界变差。证据利用（3.6），我们可以推导出W（q）′（ε）W（q）（ε）（1）-E[E]-qτε-sYτε]），关于L’evy模型13=s的下降幅度、渐近性和持续时间-（q）- ψ（s））W（q）′（ε）W（q）（ε）Z（0，ε）e-sxW（q）（x）dx（4.2）+s（q）-ψ（s））Z（0，ε）e-sxW（q）（x）dx+（q-ψ（s））e-sεW（q）（ε）。根据W（q）（·）的单调性，我们得到了0≤W（q）′（ε）W（q）（ε）Z（0，ε）e-sxW（q）（x）dx≤W（q）′（ε）W（q）（ε）εW（q）（ε）=εW（q）′（ε）。它由（4.2）和引理4.1得出↓0W（q）′（ε）W（q）（ε）（1）-E[E]-qτε-sYτε]=s+（q- ψ（s））W（q）（0+，用引理2结束证明。1.4.2. 一类具有双边跳跃的L’evy模型下，我们考虑一类具有双边跳跃的L’evy过程，其形式为Xt=~Xt+S+t，（4.3），其中X是满足假设4的谱负L’evy过程。1，S+是一个复合泊松过程，到达率λ+=π（0，∞) ∈ (0, ∞) 以及i.i.d.正泵大小和分布函数F+。假设两个过程X和S+是独立的。因为我们假设| | X |不是一个从属项，并且是（0）的正则项，∞),很明显，X也是如此。X的特征指数由ψ（s）=ψ（s）+λ+Z给出∞(1 -eisx）F+（dx），s∈ R、（4.4）式中，ψ（·）是X的特征指数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:04:30

从今以后，我们将符号e添加到所有数量中，当它们仅与光谱负的L’evy分量X有关时。通过调节第一个正跳跃到达时间和跳跃大小，我们得到了（τε，Yτε）的联合拉普拉斯变换的以下表示。引理4.2。对于q，s≥ ε>0，我们有-qτε-sYτε]=E[E-（q+λ+）～τε-s~Y~τε]+E[E-qτε-sYτε{τε>ξ+，J+<Yξ+-}]1.-（λ+/（q+λ+）（1-E[E]-（q+λ+）～τε]+E[E-qξ+{τε>ξ+，J+<Yξ+-}],（4.5）式中，ξ+和J+分别是X的第一次向上跳跃的时间和大小。14 D.兰德里奥、B.李和H.张。回想一下，ξ+与平均值1/λ+呈指数分布。根据X的强马尔可夫性和（τε<ξ+=（？）τε<ξ+）a.s.，E[E]-qτε-sYτε]=E[E-qτε-sYτε{τε<ξ+}]+E[E-qτε-sYτε{τε>ξ+}]=E[E-q~τε-s~Y~τε{τε<ξ+}]+E[E-qτε-sYτε{τε>ξ+，J+≥Yξ+-}]+ E[E]-qτε-sYτε{τε>ξ+，J+<Yξ+-}]= E[E]-（q+λ+）～τε-s~Y~τε]+E[E-qξ+{τε>ξ+，J+≥~Yξ+-}]E[E]-qτε-sYτε]+E[E-qτε-sYτε{τε>ξ+，J+<Yξ+-}].求解E[E]-qτε-sYτε），得到[e]-qτε-sYτε]=E[E-（q+λ+）～τε-s~Y~τε]+E[E-qτε-sYτε{τε>ξ+，J+<Yξ+-}]1.-E[E]-qξ+{τε>ξ+，J+≥~Yξ+-}]. （4.6）对于（4.6）右边的分母，我们注意到-qξ+{τε>ξ+，J+≥~Yξ+-}]= E[E]-qξ+]-E[E]-qξ+{τε<ξ+}]-E[E]-qξ+{τε>ξ+，J+<Yξ+-}] （4.7）=λ+q+λ+（1）-E[E]-（q+λ+τε]）-E[E]-qξ+{τε>ξ+，J+<Yξ+-}].将（4.7）替换为（4.6），以完成（4.5）的证明。我们提出了一个理论4的类似物。1用于L’evy工艺（4.3），带有两个侧泵。注意，在（4.4）中，~X和X的特征指数d的漂移在~X有界变化时是相同的。定理4.2。以勒维模型（4.3）为例。对于q，s≥0，我们有limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-qτε-sYτε]）=s、如果X有无界变化，s+q-■ψ（s）d，如果≈X有界变化。证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:04:34

由于X和S+是独立的，并且（τε<ξ+）=（ττε<ξ+）a.S.，我们有p{τε>ξ+，J+<Yξ+-} = P{τε>ξ+，J+<Yξ+-}关于L’evy模型的下降幅度、渐近性和持续时间15≤ P{τε>ξ+，J+<ε}（4.8）=（1）-E[E]-λ+～τε]）P{J+<ε}≤ (1 -E[E]-（q+λ+）～τε]）F+（ε）。它来源于定理4。1.W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）P{τε>ξ+，J+<Yξ+-}(4.9)≤W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-（q+λ+）～τε]）F+（ε）=o（1），对于小ε>0。通过（4.5）、（4.8）和（4.9），我们可以得到W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-qτε-sYτε]（4.10）=W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-（q+λ+）～τε-s~Y~τε]-λ+q+λ+（1）-E[E]-（q+λ+τε]）+o（1）1-λ+q+λ+（1）-E[E]-（q+λ+）～τε]+o（1）。我们首先考虑X有无限的变化。来自外稃2。1，我们推导出W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）→∞ asε↓ 根据理论。这进一步意味着-E[E]-（q+λ+）～τε]=o（1）。（4.11）从（4.8）和（4.11）中可以得出结论，（4.10）右侧的分母接近1，即ε↓ 此外，根据定理4.1，limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-qτε-sYτε]=limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-（q+λ+）～τε-当X有界变化，但L’evy测度∏时(-∞, 0) = ∞, 注意（4.11）仍然由引理2保持。1.因此，从（4.8）可以看出，（4.10）右侧的分母也接近1，即ε↓ 此外，通过定理4.1，我们得到了limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-qτε-sYτε]=s+q+λ+-ψ（s）d-λ+q+λ+q+λ+d=s+q-■ψ（s）d.最后，当≈X有界变差且∏(-∞, 0) < ∞, 通过外稃2。1和理论4。1，limε↓0(1 -E[E]-q~τε-s~Y~τε]=q+sd-§ψ（s）q+π(-∞, 0). （4.12）16 D.Landriault，B.Li和H.Zhang然后，通过（4.10），（4.8）和定理4.1，可以直接验证limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-qτε-sYτε]=s+q-■ψ（s）d，这就完成了证明。5.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:04:38

下降持续时间在本节中，我们通过（1.1）中定义的停止时间ηbde的LT来检查具有双边跳跃的L’evy模型（4.3）的下降持续时间。为此，我们使用了许多研究人员在类似背景下开发的微扰方法（例如Dassios和Wu[12]、Landriault等人[23]、Li和Zhou[25]、Loeffen等人[26]和Zhang[37]）。为了展示主要思想，让ε>0，并定义以下停止时间顺序：τε=τε，θ=τε+T+Mτεoθτε, . . ., τiε=θi+τεoθθi，θi=τiε+T+Mτiεoθτiε，对于i∈ N，其中θ代表马尔可夫移位算子。ηεb=inf{t给出的ηbis的近似值∈ （τiε，θi]：t-τiε≥b有些我∈ N} ，只考虑高度超过ε的Y偏移。通过构造，可以看出ηεbis随ε单调递减↓0，ηb=limε↓0ηεb，P-a.s.对于固定的q>0，我们考虑一个平均值为1/q的独立指数rv eq。通过X的强马尔可夫性质，P{eq>ηεb}=P{eq>ηεb，θ>τε+b}+P{eq>ηεb，θ<τεb}=P{eq>∧θ>τε+b}+P{θ<eq∧（τε+b）}P{eq>ηεb}，这意味着sp{eq>ηεb}=P{eq∧θ>τε+b}1-P{θ<eq∧（τε+b）}。（5.1）通过调节Yτε，然后利用X在τε时的强马尔可夫性质，我们发现{θ<eq∧（τε+b）}=Z[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{T+y<eq∧b} （5.2）=E[E-qτε]-Z[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{T+y>eq∧b} 关于L’evy模型17和P{eq的下降幅度、渐近性和持续时间∧θ>τε+b}=Z[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{eq∧T+y>b}（5.3）=e-qbZ[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{T+y>b}。将（5.2）和（5.3）代入（5.1），我们得到[e]-qηεb]=P{eq>ηεb}=e-qbR[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{T+y>b}1-E[E]-qτε]+R[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{T+y>eq∧b} 。（5.4）从表述（5.4）来看，似乎与定义x>0和p相关≥ 0，有界辅助函数f（p）ε（t）：=Z[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{T+y>ep∧t} （5.5）=Z[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{Mep∧T≤y} ，其中（5.5）对q的依赖性是静默假设的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-8 11:04:41

因此，我们重写了（5.4）asE[e]-qηεb]=e-qbf（0）ε（b）1-E[E]-qτε]+f（q）ε（b）。（5.6）获得f（p）ε（b）asε的精确渐近性↓ 0，关键是研究测度E[E]的收敛性-qτε{Yτε∈dy}]asε↓ 0，这与第4节的交感反应结果密切相关。正如我们将在下文中看到的，根据L’evy过程是否具有有界或无界变化，度量函数的收敛性。5.1. 有界变差情况我们首先表明，X的运行最大值的分布函数是良好的。提议5.1。设X是一个有界变化的L′evy过程，漂移d>0，初始特征指数表示（2.8）。那么，对于任何固定的p≥0和t>0，函数P{Mep∧T≤y} /y以y为界∈ (0, ∞). 此外，如果我们进一步假设∏(-∞, 0) = ∞ π上没有原子(-∞, 0），功能P{Mep∧T≤ y} /y对于每个y也是连续的∈ (0, ∞).18 D.兰德里奥、B.李和H.张。对于任何固定的p≥ 当t>0时，我们表示byF（p）t（y）：=p{Mep∧T≤y} /y.我们首先考虑p=0的情况。利用Chaumontand Ma lecki[7]方程（4.16）中的上界（适用于一般的L’evy过程），我们知道f（0）t（y）≤ee-1κt、 0h（y）y，（5.7）我们回忆起h（·）是（2.11）中定义的更新函数。由于X有界变差且d>0，我们根据Kyprianou[20]的定理7.11推导出X向上爬行。从引理2.2我们知道h（y）/y收敛到一个有限极限，即y↓ 因此，我们从（5.7）中得出结论，F（0）t（y）是有界的∈ (0, ∞).接下来，我们考虑p>0的情况。通过Wiener–Hopf分解，众所周知)mepf服从平均值为1/)Φ（p）>0的指数分布。此外，由于≥~Mta。s

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:04:45

无论如何≥ 0，得到f（p）t（y）=Z（0，t）pe-psP{Ms≤y} yds+e-ptP{Mt≤y} y≤Z（0，∞)体育课-psP{Ms≤y} yds+e-ptF（0）t（y）=1-E-■Φ（p）yy+e-ptF（0）t（y）。通过F（0）t（·）的有界性，我们推导出F（p）t（y）对y也是有界的∈(0, ∞).最后，假设我们还有∏(-∞, 0) = ∞ π上没有原子(-∞, 0).对于任何固定的t>0，根据Sato[33]的定理27.7，我们知道关于Lebesgue测度，~Xt的定律是绝对连续的，卷积的性质也是如此。此外，根据Kyprianou[20]的定理6.5，我们知道X对于（0）是正则的，∞) 当X有界变化且d>0时。因此，从Chaumont[6]的定理1中，我们得出关于Lebesgue测度的Mt定律是绝对连续的。因此，P{Mep∧T≤y} /y对于每个y都是连续的∈ (0, ∞). 备注5.1。对于L′evy模型（4.3），X有界变化且∏(-∞, 0) =∞, 因此P{Mep∧T≤ y} /y对于y是有界且连续的∈ (0, ∞) 由于我们假设| | X |不是从属函数，| X是（0）的正则函数，∞), 而∏没有原子(-∞, 0).我们现在准备介绍本小节的主要结果。关于L’evy模型的下降幅度、渐近性和持续时间，定理5.1。以勒维模型（4.3）为例。如果X具有有界变化和满足假设4。1.对于任何q>0的情况，我们都有-qηb]=e-qbR（0，∞)P{Mb≤y} π(-dy）q+R（0，∞)P{Meq∧B≤y} π(-dy）。证据我们首先考虑∏的情况(-∞, 0) = ∞. 从（5.5）到p≥ 0，我们有W（q+λ+）\'（ε）W（q+λ+）（ε）f（p）ε（b）=W（q+λ+）\'（ε）W（q+λ+）（ε）Z[ε，∞)E[E]-qτε{Yτε∈dy}]P{Mep∧B≤y} （5.8）=Z（0，∞)P{Mep∧B≤y} 一,-E-y·W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）{y≥ε}(1 -E-y） E[E]-qτε{Yτε∈dy}]=Z（0，∞)P{Mep∧B≤y} 一,-E-yμε（dy），其中με（dy）是（0，∞) 定义为με（dy）=W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）{y≥ε}(1 -E-y） E[E]-qτε{Yτε∈dy}]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:04:49

（5.9）根据定理4。2，我们有limε↓0Z（0，∞)E-syμε（dy）=limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（E[E]-qτε-sYτε]-E[E]-qτε-（s+1）Yτε]=1+~ψ（s）-■ψ（s+1）d，适用于所有s≥另一方面，我们从（2.2）中注意到，∞)E-sy1-E-yd∏(-dy）=dZ(-∞,0）（esy-1） π（dy）-dZ(-∞,0）（e（s+1）y-1） π（dy）=1+/ψ（s）-因此，由命题a。1，我们得出结论，作为ε↓ 0，με（dy）弱收敛于测度d-1(1-E-y） π(-dy），这是对（0，∞) 因为X有边界变化。20 D.兰德里奥、B.李和H.张来自命题5。注5.1，我们知道函数P{Mep∧B≤y} /（1）-E-y） y的有界连续∈ (0, ∞). 通过弱收敛性的定义，它遵循（5.8）thatlimε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）f（p）ε（b）=limε↓0Z（0，∞)P{Mep∧B≤y} 一,-E-yμε（dy）=Z（0，∞)P{Mep∧B≤y} 一,-E-yd（1-E-y） π(-dy）（5.10）=dZ（0，∞)P{Mep∧B≤y} π(-dy）。因此，通过（5.6），（5.10）和定理4.2，我们得到了[e]-qηb]=e-qblimε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）f（0）ε（b）limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-qτε]+limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）f（q）ε（b）=e-qbR（0，∞)P{Mb≤y} π(-dy）q+R（0，∞)P{Meq∧B≤y} π(-dy）。最后，我们考虑∏的情况(-∞, 0) < ∞. 在（4.12）之前，对于任何≥ 0，我们有limε↓0Z（0，∞)E-syE[e]-qτε{Yτε∈dy}]=ψ（s）-sd+π(-∞, 0）q+π(-∞, 0）=Z（0，∞)E-sy∏(-dy）q+π(-∞, 0).根据命题A。1，我们看到测度E[E]-qτε{Yτε∈dy}]弱收敛于测度∏(-dy）/（q+π）(-∞, 0）asε↓ 0.自{Mep∧B≤ y} 在y上是有界且上半连续的∈(0, ∞), 它由弱收敛的波特曼多定理得出lim supε↓0f（p）ε（b）=limsupε↓0Z（0，∞)P{Mep∧B≤y} E[E]-qτε{Yτε∈（5.11）≤q+π(-∞, 0）Z（0，∞)P{Mep∧B≤y} π(-dy）。另一方面，自从{Mep∧b<y}在y中是下半连续的∈(0, ∞).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-8 11:04:54

再次利用波特曼托定理，我们得到了lim infε↓0f（p）ε（b）≥ lim-infε↓0Z（0，∞)P{Mep∧b<y}E[E-qτε{Yτε∈[dy}]≥q+π(-∞, 0）Z（0，∞)P{Mep∧b<y}∏(-dy）（5.12）关于L’evy模型的下降幅度、渐近性和持续时间21=q+π(-∞, 0）Z（0，∞)P{Mep∧B≤y} π(-dy），其中最后一个等式成立，因为∏上没有原子(-∞, 0）和P{Mep∧b<y}=P{Mep∧B≤y} 对于几乎所有的y>0。通过让ε↓ 在（5.6）的每一项中取0，并使用（5.11），（5.12）和（4.12），这就完成了定理5.1的证明。5.2. 无界变差情况我们现在考虑无界变差情况，对于这种情况，我们对Xt的密度做了如下假设。假设5.1。如果X有无界变化，我们假设Xt的密度，即pXt（X），对于所有t>0都有界。备注5.2。我们指出这个假设。1与inChaumont和Ma lecki[7]的假设（H1）相同，这相当于假设特征函数-tψ（·）∈ L（R）表示所有t>0。同样清楚的是，如果X是一个具有无界变化的谱负的L'evy过程，Y是一个独立于X的任意L'evy过程，那么X+Y之和满足假设5。1和X一样长。因此，满足假设5.1的Levy过程的例子包括σ>0或σ=0的过程，以及α为负的α-稳定跳跃分布的过程∈ (1, 2).下面的命题表明，对于变量无界的L’evy过程，满足假设5。1，在0+时运行的最大密度表现良好。提议5.2。设X是一个具有无限变化的L’evy过程，它向上爬行并满足假设5。1.那么，对于每t>0和fur ther，limx，运行最大Mt有一个连续的密度Mt（·）↓0pMt（x）=νL（t）+κ（0，0）dH>0，其中∠L（·）是上升阶梯时间过程跳跃测量的尾部（见（2.10））。证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:04:58

来自外稃2。2.我们知道更新密度h′可以选择为一个连续函数，其极限h′（0）=dH>0。由于X具有无界变量，Chaumont和Ma lecki[7]的假设（H2）也成立。通过Chaumont和Ma lecki[7]的命题2和定理1，我们知道，对于每t>0，mt有一个连续的密度mt（x），并且，limx↓0pMt（x）h′（x）=dHlimx↓0pMt（x）=n（ζ>t），22 D.Landriault，B.Li和H.Zhang，其中n（ζ>t）是长度超过t>0的偏移的偏移度量。从Kyprianou[20]的（6.11）和（6.14）（另请参见Bertoin[4]的第IV.4节），我们知道n（ζ>t）=νL（t）+κ（0，0）>0，这就完成了证明。推论5.1。在命题5的条件下。2.对于任何固定的p≥ t>0，函数P{Mep∧T≤ y} /y对于y是有界且连续的∈ [0, ∞), 其中y=0时的价值定义为权利限制↓0P{Mep∧T≤y} y=dHZ（0，t）pe-ps′νL（s）ds+e-pt′νL（t）+κ（0,0）.证据来自命题5。2.只剩下证明P{Mep的极限了∧T≤ y} /y asy↓ 0.再次利用支配收敛定理和命题5.2，我们得到↓0P{Mep∧T≤y} y=Ztpe-精神病↓0P{Ms≤y} yds+e-突然↓0P{Mt≤y} y=Ztpe-精神病↓0pMs（y）ds+e-突然↓0pMt（y）=dHZ（0，t）pe-ps′νL（s）ds+e-pt′νL（t）+κ（0,0）,这就结束了证明。现在我们准备好介绍本小节的主要结果。定理5.2。以勒维模型（4.3）为例。如果X有u边界变化，并且满足4.1和5.1，对于任何q>0，我们有[e]-qηb]=e-qb′νL（b）+κ（0,0）R（0,b）qe-qt′νL（t）dt+e-qb′νL（b）+κ（0,0）。证据很明显，L’evy模型（4.3）向上爬行，因为它的光谱负分量X向上爬行，其向上跳跃遵循复合泊松结构。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-8 11:05:01

此外，由于X满足假设5。1.通过注释5.2，我们可以看出，第5.2点的所有条件都是满足的。对于（5.9）中定义的有限测度με（dy），可以直接从定理4.2中验证，对于任何≥ 0，limε↓0ZR+e-syμε（dy）=limε↓0W（q+λ′）（ε）W（q+λ+）（ε）（E[E]-qτε-sYτε]-E[E]-qτε-（s+1）Yτε]）关于L’evy模型23=1=ZR+e的水位下降幅度、渐近性和持续时间-syδ（dy）。它源于命题A。1.με（dy）弱收敛于狄拉克测度δ（dy）为ε↓0.此外，根据推论5。我们知道函数P{Mep∧T≤y} /（1）-E-y）对于y也是有界且连续的∈[0, ∞), 其中，y=0时的值定义为y↓从（5.8）和推论5.1中，我们得到了limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）f（p）ε（b）=limε↓0ZR+P{Mep∧B≤y} 一,-E-yμε（dy）=limy↓0P{Mep∧B≤y} 一,-E-y（5.13）=dHZ（0，b）pe-pt′νL（t）dt+e-pb′νL（b）+κ（0,0）.根据（5.6），（5.13）和定理4.2得出：-qηb]=e-qblimε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）f（0）ε（b）limε↓0W（q+λ+）′（ε）W（q+λ+）（ε）（1）-E[E]-qτε]+f（q）ε（b））=e-qb′νL（b）+κ（0,0）R（0,b）qe-qt′νL（t）dt+e-qb′νL（b）+κ（0,0），这结束了证明。一般来说，函数¨νLandκ（0，0）仅通过（2.10）和维纳-霍普夫分解隐式已知。当X没有正跳跃时，我们可以表示E[E]-qηb]是pXt的显式中介。推论5.2。设X是一个具有无界变量和满足假设的谱负L’evy过程4。1和5.1。对于任何q>0，我们都有-qηb]=e-qbR（b，∞)spXs（0）dsR（0，b）qe-qtR（t，∞)spXs（0）ds dt+e-qbR（b，∞)SPX（0）ds。证据根据肯德尔的身份，对于任何固定的t，y>0，我们有yp{Mt≤y} =yZ（t，∞)P{T+y∈ ds}=Z（t，∞)spXs（y）ds。根据傅里叶逆变换，对于任何y∈R和s>0,0≤SPX（y）≤2πsZR|e-sψ（u）|du。24 D.兰德里奥、B.李和H。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:05:04

根据Chaumont和Ma lecki[7]命题5的证明，我们知道对于任何固定的t>0,2πZ（t，∞)sZR|e-sψ（u）| du ds<∞.由支配收敛定理和推论5。1，我们有¨νL（t）+κ（0，0）dH=limy↓0P{Mt≤y} y=Z（t，∞)spXs（0）ds，它使用定理5完成证明。2.6.示例示例6.1。考虑布朗运动，即Xt=ut+σwt，σ>0。对于任何固定的t>0，我们有pxt（x）=σ√2πtexp-（十）-ut）2σt.根据注释4。1，5.2和推论5.2，我们有-qηb]=e-qbg（b）R（0，b）qe-qtg（t）dt+e-qbg（b），其中g（t）：=R（t，∞)spXs（0）ds=σ√2πte-ut/（2σ）-2.N(-u√tσ）和N（·）是标准正态rv的累积分布函数。例6.2。考虑拉普拉斯指数ψ（s）=sα与α的谱负α稳定过程∈ (1, 2). 对于固定t>0，众所周知（如Sato[33]第87-88页），pxt（x）=πt-1/α∞Xn=1(-1） n-1Γ（1+n/α）n！罪nπα（t）-1/αx）n-1，其中Γ（·）是伽马函数。下面是z（t，∞)spXs（0）ds=απΓα罪παT-1/α.根据注释4。1，5.2和推论5.2，我们有-qηb]=eqbb1/αR（0，b）qe-qtt-1/αdt+1。关于L’evy模型的下降幅度、渐近性和持续时间25例6.3。考虑一个拉普拉斯指数ψ（s）=sd+Z的谱负伽马过程(-∞,0）（esx-1） β| x|-1eαxdx=sd-βlog（1+s/α），s∈ H+，其中α、β>0为常数。来自Remark4。2.我们定义了ψ（s）：=sψ′（s）-ψ（s）ψ（s）=βlog（1+s/α）- βs/（s+α）（sd）-βlog（1+s/α）。我们可以很容易地验证，对于任何固定的s>Φ（0），我们都有φ（s+i·）∈ L（R）是黑猩猩的假设。1保持。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-8 11:05:07

使用肯德尔恒等式和pxt（x）=αβsΓ（βt）（sd）-y） βs-1e-α（sd）-y） {y<sd}，x∈ R、 t>0，我们有p{t+y>t}=yZ（t，∞)sαβsΓ（βs）{y<sd}（sd-y） βs-1e-α（sd）-y） ds，y>0，t>0。因此，通过Fubini定理和一些计算，我们可以证明z（0，∞)P{Mt≤y} π(-dy）=Z（0，∞)P{T+y>T}∏(-dy）=Z（0，∞)yZ（t，∞)sαβsΓ（βs）{y<sd}（sd-y） βs-1e-α（sd）-y） dsβe-αyydy=（dα）βsZ（t，∞)Γ（βs）sβs-2e-αSDD。使用定理5。1，一个结论-qηb]=e-qb（dα）βsR（b，∞)sβs-2e-αsdΓ（βs）dsq+（dα）βsR（0，b）qe-qtdtR（t，∞)sβs-2e-αsdΓ（βs）ds+e-qb（dα）βsR（b，∞)sβs-2e-αsdΓ（βs）ds。例6.4。考虑由xt=ut+σWt+N+tXi=1J+i给出的Kou跳跃扩散模型-N-tXj=1J-j、 26 D.兰德里奥、B.李和H.张∈ R、 σ>0，N±是两个独立的泊松过程，到达率λ±>0，J±是一系列i.i.d.指数分布的随机变量，平均值为1/η±>0。其拉普拉斯指数由ψ（s）=σs+us+λ给出-η-η-+ s-1.+ λ+η+η+-s-1., s∈ (-η-, η+).根据Asmussen等人[1]的推论1和Kyprianou[20]的第6.5.4节，已知上升梯高度的拉普拉斯指数由κ（α，β）=（β+ρ1，α）（β+ρ2，α）（β+η+，α，β）给出≥其中ρ1，α和ρ2，α（ρ1，α<η+<ρ2，α）是ψ（s）=α的两个不同的非负解。根据注释4。1，5.2和定理5.2，得到[e]-qηb]=e-qb′νL（b）+ρ1,0ρ2,0η+R（0，b）qe-qt′νL（t）dt+e-qb′νL（b）+ρ1,0ρ2,0η+。附录以下结果来自Kallenberg[17]的定理5.22。定理A.1（扩展连续性定理）。让我们，让我们。具有特征函数μn（t）的关系数据库的概率测度→ 对于每一个t，都要有针对性地∈ Rd，其中极限φ在0处连续。然后，对于RDN中的某个概率度量，un弱地收敛到u，且^u=u。相应的语句适用于Rd+上测量的拉普拉斯变换。提议A.1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:05:11

设{un}n∈Nbe对[0，∞) 用拉普拉斯变换^un（s）=ZR+e-syun（dy），代表n∈ N和s≥ 0.假设limn→∞^un（s）=对于所有s≥ 其中φ（·）是[0]上的正连续函数，∞). 然后un弱收敛到uas n→ ∞,对于[0]上的某些有限测量值u，∞), ^u=^。证据自从limn→∞^un（0）=^（0）>0，我们可以考虑一系列概率度量νn（dy）：=un（dy）^un（0）-1.根据我们的假设，很容易看出→∞^νn（s）=^（s）^（0）-1，它是0处的连续函数。根据理论。1，我们得出结论{νn}n∈nweaklyconverge到[0]上的某个概率测度v，∞) 带^v（·）=^（·）^（0）-1.因此，通过设置u（·）：=v（·）~n（0），我们可以看到un弱收敛到uas n→∞ ^u=^。关于L’evy模型的下降幅度、渐近性和持续时间，27参考文献[1]阿斯穆森，S.，阿夫拉姆，F.和皮斯托留斯，M.R.（2004）。指数阶段型L’evy模型下的俄罗斯和美国期权。随机过程。阿普尔。109 79–111.MR2024845[2]Avram，F.，Kyprianou，A.E.和Pistorius，M.R.（2004）。光谱负L’evy过程的退出问题以及（加拿大化）俄罗斯选项的应用。安。阿普尔。Probab。14 215–238.MR2023021[3]Avram，F.，Palmowski，Z.and Pistorius，M.R.（2007）。关于谱负L′evy过程的最优红利问题。安。阿普尔。Probab。17 156–180.MR2292583[4]Bertoin，J.（1996）。列维进程。剑桥数学教程121。剑桥：剑桥大学出版社。MR1406564[5]卡尔，P.，张，H.和Hadjiliadis，O.（2011）。最高支取保险。Int.J.理论。阿普尔。财务部14195–1230。MR2881003[6]Chaumont，L.（2013）。关于L’evy过程的上确界定律。安。Probab。411191–1217.MR3098676[7]Chaumont，L.和Ma lecki，J.（2013）。L′evy过程上半群密度的渐近行为。预印本。[8] Chekhlov，A.，Uryasev，S.和Zabarankin，M。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 11:05:15

(2005). Portfolio优化中的缩减措施。Int.J.Theor。阿普尔。财务8 13–58。MR2122349[9]切斯尼，M.，让布兰克·皮克维，M.和约尔，M.（1997年）。布朗旅行和巴黎障碍选项。Adv.在应用中。Probab。29 165–184.MR1432935[10]Cvitanic，J.和Karatzas，I.（1995年）。关于“提取”约束下的投资组合优化。IMA数学与应用课程讲稿65 77–88。[11] Czarna，I.和Palmowski，Z.（2011）。谱负L′evy风险过程的带巴黎时滞的破产概率。J.阿普尔。Probab。48 984–1002.MR2896663[12]Dassios，A.和Wu，S.（2010）。扰动布朗运动及其在巴黎期权定价中的应用。金融斯托奇。14 473–494.MR2670422[13]杜亚迪，R.，Shiryaev，A.N.和约尔，M.（2000年）。关于标准布朗运动中“下降”的概率特征。Probab理论。阿普尔。44 29–38.[14] Egami，M.，Leung，T.和Yamazaki，K.（2013）。由光谱负L’evy过程驱动的默认交换游戏。随机过程。阿普尔。123 347–384.MR3003355[15]格罗斯曼，S.J.和周，Z.（1993）。控制提款的最佳投资策略。数学财务3241-276。[16] Hadjiliadis，O.和Vecer，J.（2006）。布朗运动模型中涨势前的缩编。定量。财务6 403–409。MR2261219[17]卡伦伯格，O.（2002）。《现代概率基础》，第二版，《概率及其应用》（纽约）。纽约：斯普林格。MR1876169[18]库兹涅佐夫，A.，基普里亚努，A.E.和里韦罗，V.（2012）。谱负L′evy过程的尺度函数理论。在《列维事件2》。数学课堂讲稿。206197–186. 斯普林格，海德堡。MR3014147[19]Kwa\'snicki，M.，Ma lecki，J.和Ryznar，M.（2013）。列夫过程的上确界。安。Probab。41 2047–2065.MR3098066[20]Kyprianou，A.E.（2006）。关于L’evy过程的波动及其应用的介绍性讲座。Universitext。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-8 11:05:19

柏林：斯普林格。MR225061[21]Kyprianou，A.E.和Palmowski，Z.（2007）。一般L’evy保险风险过程的de Finetti红利问题的分布研究。J.阿普尔。Probab。44 428–443.MR234020928 D.兰德里奥，B.李和H.张[22]兰德里奥，D.，李，B.和张，H.（2015）。关于布朗运动过程的下降频率。J.阿普尔。Probab。52 191–208.MR3336855[23]兰德里奥，D.，雷诺，J.-F.和周，X.（2011）。谱负L’evy过程的占据时间及其应用。随机过程。阿普尔。121 2629–2641.MR2832417[24]莱霍茨基，J.P.（1977）。停止扩散过程的公式，停止时间基于最大值。安。Probab。5 601–607.MR0458570[25]李本周，X.（2013）。关节拉普拉斯变换用于不同的占用时间。Adv.在应用中。Probab。45 1049–1067.MR3161296[26]洛芬，R.，查纳，I.和d帕尔莫夫斯基，Z.（2013）。谱负L′evy过程的巴黎破产概率。伯努利19599–609。MR3037165[27]洛芬，R.L.（2008）。关于谱负L′evy过程的de Finetti分割问题中障碍策略的最优性。安。阿普尔。Probab。18 1669–1680.MR246254[28]马格登·伊斯梅尔，M.，阿提亚，A.F.，普拉塔普，A.和阿布·莫斯塔法，Y.S.（2004）。关于布朗运动的最大下降。J.阿普尔。Probab。41 147–161.MR2036278[29]Mijatovi\'c，A.和Pistorius，M.R.（2012）。关于完全不对称过程的缩减。随机过程。阿普尔。122 3812–3836.MR2965927[30]皮斯托留斯，M.R.（2004）。光谱单侧L’evy过程的退出和遍历性反映在其内部。J.Theoret。Probab。17 183–220.MR2054585[31]Pospisil，L.和Veˇceˇr，J.（2010）。投资组合对最大和最大提款变化的敏感性。定量。财务10 617–627。MR2676788[32]Pospisil，L.，Veˇceˇr，J.和Hadjiliadis，O.（2009）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝