延迟行动原则与自筹资金投资组合动力学

2022-5-9 06:07:55

延迟行动原则和自融资投资组合动力学2018年8月18日摘要我们推导出了不同对冲策略的自融资投资组合动力学的一致差异表示。在推导的基础上，有一个所谓的“延迟作用原理”，它代表了依赖于随机变量演化的因果关系。我们以van illa和storageoption为例演示了这一原理。1简介在本文的第一部分中，我们推导了一个由普通期权、动态交易线性对冲和现金账户组成的自融资投资组合的演化方程。从某种意义上说，投资组合是自我融资的，可以认为是“孤立的”——现金流完全是通过对冲交易产生的，不需要外部资金。我们使用演化方程来研究具有不同享乐策略的投资组合的动力学。我们将对终端投资组合分布感兴趣。显然，期权定价公式不会影响最终投资组合价值，因为在到期时，它只是变得等于确定性的支付。相反，不同的投资策略会影响最终投资组合的分布和预期价值：o如果交易者持有裸（未对冲）香草期权，则投资组合的最终价值是随机的，预期投资组合价值等于预期报酬，即亲婴儿期权价格所谓的“风险中性”套期保值策略使终端投资组合等于“风险中性”期权价格，且分布任意狭窄。

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2022-5-9 06:07:58

“风险中性”投资组合对市场波动不敏感，这使得它非常特殊在无漂移市场上，任意的对冲策略会导致预期的终端投资组合价值与“风险中性”投资组合一致，但分布取决于对冲策略在市场上，预期价值和终端投资组合的分布与套期保值策略有关。在我们的分析中，我们考虑了三种不同的期权定价公式——Black-Scholes（我们也将BS期权定价和对冲策略称为“风险中性”），概率和内在。除此之外，我们还研究了不同的套期保值策略，特别是，我们考虑了与不同的期权定价公式相对应的Deltaheding。我们还展示了如何从内在套期保值策略计算期权时间价值。在第二部分中，我们概括了存储期权的方程，并展示了如何通过遵循滚动内在套期保值策略来计算存储期权的时间价值。2具有漂移的市场F（t）是时间t时标的物的价格。标的物应遵循具有漂移的广义维纳过程：dF（t，t）=u（F，t）dt+σ（F，t）dWt。（2.1）对于几何布朗运动（GBM），我们有u=uF，σ=σF。漂移项被认为是真实且具有统计意义的，不同于风险中性原则中考虑的虚拟漂移（见第2.1节）。dr ift的存在影响了结果分布，并引入了一种统计上的随机性。我们将使用以下等式：hdF i=u（F，t）dt（2.2）dF=σ（F，t）dt（2.3）。市场漂移的一个重要方面是，只有在流动性有限的不完整市场上才能观察到一致且具有统计意义的漂移。

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2022-5-9 06:08:02

另一方面，我们将处理投资组合演化方程，该方程是在假定交易方进行连续动态套期保值的情况下推导出来的，这在非流动性市场上几乎是不可能的。因此，具有漂移的市场的结果可以被视为一个近似值，在市场流动性允许的范围内，可以在现实中进行近似。无漂移市场意味着u=0，因此hdF i=0。对于在无漂移市场假设下推导的公式，我们将使用标签[无漂移]：2.1虚拟漂移和r isk Neutral pricingA标准期权定价理论是在有效市场假设以及市场完整性（即流动性和无市场摩擦）的假设下发展起来的。在这种情况下，任何资产价格动态的随机模型都必须服从一个特定的性质：相应的价格过程应该是一个鞅-马尔可夫过程。任何偏离鞅性质的行为都会立即导致统计套利，这在有效的液体市场框架内是不可能的。据观察，对于一大类资产，资产价格的典型行为有三个主要的动态特征——漂移、扩散和违约。漂移的特征是价格的短期系统性下跌，差异描述为随机零均值波动，违约描述了价格下跌的随机发生。对于某些资产，无故障事件意味着跳到零，即随后存在的资产。对于其他资产，违约可能只是部分违约，因此允许“回收率”。捕获所有三个特征的最简单的价格过程可以用以下形式表示：DFF=＠udt+σdW+dZ（2.4），其中＠u描述短期漂移，dW描述差异，dZ是一个随机跳跃过程，描述随机m默认事件。

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2022-5-9 06:08:05

鞅条件n的结果为：△udt+hdZi=0（2.5），因此漂移项不是任意的，而是由跳跃过程确定的。这种关系反映了一个众所周知的事实，即风险较高的资产（即违约率较高的资产）具有较高的短期增长率。在金融文献中，考虑截断价格过程是很常见的，在截断价格过程中，跳跃部分被删除：dFF~=■udt+σdW（2.6）在这种截断形式下，方程违反了鞅条件（为了强调这一点，我们使用了符号~=). 尽管有这个缺点，但在某些情况下，后一种模式是有用的。通常，默认过程在跳跃之间有很长的期望时间。在这种情况下，等式（2.6）很好地描述了短期内的价格过程动态。该方程的优点在于它的实用性，因为它很容易通过分析追踪，而基于跳跃扩散过程的大多数结果要么非常复杂，要么根本没有封闭形式的解。然而，正如已经注意到的，等式（2.6）违反了鞅条件，因此不能用于概率期权定价。事实上，预期的PRIC e增量变为~=■udtf，导致期权价格出现系统性偏差。漂移项¨u只有在由默认跳转过程补偿时才有意义。我们将¨u值称为虚拟漂移，以强调它代表未补偿漂移，这违反了鞅条件。根据截断的演化方程，产出价格的分布被称为“现实世界测度”。具有讽刺意味的是，它并没有描述现实世界的衡量标准，因为它包含着无系统的偏见。为了应对不一致的价格动态，人们发展了风险中性定价理论。

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2022-5-9 06:08:08

该理论使用投资组合应用方法（delta he dging strategy）来推导（或者更好地说，定义）风险中性期权价格，该价格与虚拟漂移无关。风险中性价格相当于简化价格过程下的概率价格dff=σdW（2.7）。该模型没有任何短期漂移或违约跳跃成分。然而，它保留了马丁酒的条件，在许多情况下，它对期权定价是有效的。相当复杂的风险中性定价理论，其中很大一部分是基于测度理论，本质上需要证明为什么应该省略虚拟漂移项。在本文中，我们有时考虑一个带有漂移的价格过程，如等式（2.1）。我们应该强调的是，在这种情况下，漂移u不是虚拟漂移，而是一种真正的可观测且具有统计意义的漂移。正如之前所注意到的，这种漂移只在流动性有限的市场中可能发生，这不允许大多数市场参与者利用和利用统计套利。流动性有限的市场不必满足鞅条件。这种情况下的期权定价变得相当模糊，因为它取决于对冲策略。无论选择何种对冲策略，我们都使用概率方法来推导期权价格。3平均我们将处理随机价格过程的平均。在这篇文章中，我们需要对符号做一些评论。设f（t，f）是价格过程f（t）和时间的函数。给定初始条件f（0），f的平均值是f作为随机变量f（T）的函数的期望值。我们表示这个平均值，它是hf（t，F（t））|FiF的缩写。

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2022-5-9 06:08:11

她的e-FTI是由布朗运动产生的过滤。差异增量dF可以用F a和布朗驱动因素差异表示。我们可以定义过滤Ft下dW的平均值。我们指定了dWashdF idw上的平均值，它是hdF（F，dW）| FtidW的缩写。F的任何显式函数的差分都会变成dW的函数，因此我们将dW上的平均值设为DFIDW。注意，在过滤F下，差分df（t，F）是两个随机变量F（t）和dW的函数，因此平均hdf（t）是一个随机变量。因此，对于不同的表达式，我们可以引入一个完整的平均值，包括对增量dW和随机变量F（t）的平均值。hdfiF，dW=hhdfid如果考虑一个不同形式的h dg，其中h（t，F）是随机过程F的函数，dg是F和dW的函数。当对dW进行平均时，函数h可以从平均括号中去掉：hh dgidW=h hdgidw对于我们得到的完整平均值：hh dgi=hh hdgidwi。在这种情况下，对F的平均不能被分解，因为值h和hdgidWare都是F的函数。特别是Rhh dF i=hhuifdt请注意另一个适用于无漂移价格过程的有用表达式：[无漂移]：hh dF i=hh hdF idWiF=0如果从上下文中可以明显看出其意义，我们将省略平均括号的下标。通常我们指的是hgi或hh dgi等表达式的完全平均值，以及hdgi或hdF i.4投资组合价值函数等表达式的平均值。让我们考虑一个由在某个时间到期的普通期权、线性套期保值头寸h（t）和现金账户P（t）组成的投资组合。我们指定H（t）为对冲头寸的价值。也让C（F，t）作为期权价格。应该强调的是，C（F，t）并不意味着任何特定的定价公式，例如Black-Scholes。

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2022-5-9 06:08:14

对期权价格的唯一要求是它与期权报酬C（F，Te）=K（F）所产生的到期日。正如导言中所讨论的，我们考虑了期权价格的三种不同特殊情况——风险中性、内在和概率。投资组合价值定义为∏（t）=C（t）+H（t）+P（t）（4.1）。重要的是要理解，我们对投资组合价值的定义与投资组合市场价格不同，即在一般情况下∏（t）不是投资组合可以（或应该）在市场上买卖的价格。事实上，即使在流动性较小的市场中，我们也知道投资组合的正确市场价格是通过使用BS期权定价公式获得的。内在看涨期权价格忽略了期权时间价值，因此相应的投资组合价值低估了其市场价格。然而，在期权到期时，所有的期权定价公式都是自由的，因为它们与期权支付一致。因此，最终投资组合价值与期权定价公式无关。它简单地等于期权报酬和hedg e交易的累积现金流之和。在流动性较差的市场中，投资组合市场价格的概念一点也不明确。首先，市场上没有观察到价格，因为市场缺乏流动性。公共关系在数学上没有很好的定义。事实上，最终投资组合分布——均值和方差——取决于对冲策略。风险中性策略具有消失风险（由于市场不完全和缺乏流动性，总有一些剩余风险）。然而，还有其他一些策略会带来更高的预期收益，这是一个带有不可还原风险的组合。具有一定风险偏好的交易可能会认为风险策略更具吸引力。

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kedemingshi

2022-5-9 06:08:18

因此，“公平”的公关并不存在，因为不同的交易者有不同的风险偏好，对公平价格有不同的看法。相比之下，投资组合价值∏（t）的定义非常明确。终端投资组合分布提供了有关预期收益和相关风险的详细信息，因此我们有兴趣分析终端投资组合的价值分布。特别是，预期的终端投资组合价值将是我们的主要关注点。设f（f，t）为风险中性，g（f，t）为概率，I（f）为内在期权价格。我们考虑了投资组合的三个定义：“风险中性”的“rn=f（f，t）+H（t）+P（t）（4.2）“概率”的“P=g（f，t）+H（t）+P（t）（4.3）”和“内在”的“i=i（f）+H（t）+P（t）（4.4）在所有三种情况下，考虑的初始投资组合价值是不同的，由初始期权价格h（0）=0（4.5）P（0）=0（4.6）∏（0）=C（F，0）（4.7）定义，最终期权价值不取决于定价公式，因为它在到期时与付息K（F）C（F，Te）=F（F，Te）=g（F，Te）=I（F，Te）=K（F）一致。预期的最终期权价值只是预期的付息，因此，与初始概率期权价值HC（F，Te）i=hK（F）i=g（0）（4.8）一致，这对任何期权价格公式都是有效的，例如hf（Te）i=hg（Te）i=hI（Te）i=g（0）终端投资组合价值取决于终端期权价格和hedg e交易产生的现金流。终端投资组合价值是一个随机变量（风险中性对冲策略除外）。所以我们不能说终端投资组合分布。我们指定∏e=∏（Te）该值定义正确，因为∏（Te）不依赖于期权定价公式。

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可人4

2022-5-9 06:08:21

特别是，我们将对预期值h∏ei感兴趣。如下所示，在无漂移市场中，预期值h∏ei不取决于套期保值策略，且与风险中性期权值一致。另一方面，标准偏差取决于对冲策略。唯一的风险控制策略是零标准差。在具有漂移的市场中，预期值h∏ei和标准偏差hh∏ei都受到套期保值策略的影响。风险中性套期保值策略产生风险中性终值和零标准差。其他对冲策略会导致投资组合组成部分的∏e.5动态产生不同的预期值和标准差。在本节中，我们考虑控制投资组合动态的演化方程。在下面的任何地方，我们都假设利率为零，这相当于使用无风险债券作为基准利率。通过改变变量（见附录A），可以转换为货币单位。5.1套期保值价值动态套期保值价值定义为asH（t）=h（t）F（t）（5.1），其中F是即期价格，h是套期保值头寸。为了简单起见，我们省略了timeargument，因为它不会导致歧义。h和F都是随机变量。套期保值的差异增量由Ito规则dh=h dF+F dh+dh dF=h dF+（F+dF）dh给出。（5.2）右手边的第一个表达式对于两个变量都是对称的，但第二个表达式可以给出有意义的解释。h dF反映了远期价格变化导致的套期保值价值变化。第二项（F+dF）dh对应于与更新对冲头寸相关的附加值。

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kedemingshi

2022-5-9 06:08:24

由于新套期保值是在观察到价格变化后计算的，因此必须以新价格F+dF购买套期保值头寸dh的修正。5.2现金账户动态和延迟行动原则现金账户动态是套期保值头寸变化的结果。现金账户的差异增量由DP=-（F+dF）dh（5.3）我们将这种关系称为“延迟作用”原理。它反映了一个事实，即套期保值头寸是在观察到价格变化后更新的。延迟行动原则是自我融资投资组合的一种不同代表。迟缓行为原则反映了因果关系。市场价格增量dF定义为一个独立的随机变量。相反，套期保值增量dh由套期保值策略定义，因此是时间和市场观察值的函数：dht=dh（t，F，dF）。因此，价格增量dF和套期保值增量dh之间存在因果关系——后者是前者的函数，而不是相反。然而，如果一个观察者被赋予连续时间矩的dF和dh的一系列观察值，他将无法分辨哪个变量是另一个变量的函数。对冲价值差异的对称表达LDH不包含dF和dh之间因果关系的信息。dP的表达式是内在不对称的，并且反映了因果关系：增量dh是在观察到增量dF后计算的，这导致在现金流差异中出现一个额外的术语dF dh。请注意，因果关系只是维纳过程的一个特征，因为现金流中的附加项是二次项，在普通微分计算中会被忽略。表达式（5.3）的推导方式应确保对冲组合不会因对冲头寸的变化而发生变化。

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2022-5-9 06:08:27

事实上，套期保值与现金账户的组合具有以下dy namicsd（H+P）=H dF（5.4）。该表达式不包含与dh成比例的术语，该术语可被视为对重新估价行动原则的形式定义。等式（5.4）尤其意味着套期保值头寸的开盘或收盘对投资组合没有影响，即使dh不是非常小。请注意，在无漂移的市场中，套期保值平均值不赚钱：[无漂移]：hd（H+P）idW=H hdF idW=0（5.5）预期套期保值与现金流量增量之间的关系[无漂移]：hdHidW=-hdP idW（5.6）将在以后的应用程序存储选项中使用。在存在市场漂移的情况下，对冲投资组合的预期漂移不会消失，并对整个投资组合的演化做出了重要贡献。5.3期权价格动态使用Ito规则，我们可以写C=˙C dt+C′dF+C′dF（5.7），其中我们指定了˙C=Ct、 C′=CF、 C′\'=CF该发展方程适用于任何期权定价公式，前提是它可以表示为t和F的s函数。下面我们将考虑风险中性、概率和内在期权价格的特殊情况。5.4完整的投资组合动态考虑到等式（5.4），完整的投资组合动态变成∏=dC+h dF（5.8）用表达式代替期权差异，我们得到∏=C dt+（C′+h）dF+C′dF（5.9），如前所述，初始投资组合价值与期权价格∏（0）=C（0）一致。从某种意义上说，初始套期保值的建立具有Zero成本：H（+0）+P（+0）=H（0）dF=0，因此投资组合在第一时间没有间断。最终投资组合价值是通过积分公式。

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2022-5-9 06:08:31

（5.8）随着时间的推移：∏e=C（Te）+ZTeh dF（5.10）在无漂移市场中，第二项的平均值消失，我们得到预期值[无漂移]：hd∏（t）idW=hdCidW（5.11）h∏ei=hC（Te）i=g（0）（5.12）预期的最终投资组合价值由期权报酬和基础资产的最终分布决定。在有漂移的市场中，hh dF i一词不会消失，因此预期的最终投资组合值变为SH∏ei=hC（Ta）i+Zhh dF i=g（0）+Zhh dF i（5.13），因此最终投资组合值取决于套期保值策略。下面我们考虑几个例子。5.5增量对冲投资组合动态增量对冲策略定义为ash（t）=-C′（t）（5.14）注意，这种策略取决于期权价格的定义。下面我们考虑三种不同的增量hedg策略——风险中性（对应于风险中性期权价格）、漂移调整（对应于概率期权价格）和内在（对应于内在期权价格）。我们将使用“hat”来表示三角洲对冲投资组合的特殊情况：三角洲对冲投资组合遵循以下动力学d∏=˙C dt+C′dF（5.15）。三角洲对冲投资组合的组成不依赖于dF，因此是确定性的过滤Ft。请注意，无论期权定价公式如何，三角洲对冲投资组合都是确定性的。这是我们对投资组合价值定义的结果（见第4节）。6对冲策略6。1风险中性delta hedging对于“风险中性”期权价格，投资组合动态由byd∏rn=df+h df=˙f dt+（f′+h）df+f′df给出。风险中性期权价值f（f，t）可根据以下逻辑推导得出。让我们使用arisk neutra l delta对冲策略h=-f′我们指出，对象df可以被形式化地认为是确定性的，这是一种采用inIto演算的行话。

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2022-5-9 06:08:34

在任意小但固定时间增量dt的混凝土时间中，值dF是一个随机数，dF也是一个随机数。然而，在连续时间框架下，积分的标准差在dt的极限内→ 因此，我们可以正式地认为DFA是确定性的。然后，投资组合的动态性变为^∏rn=˙f dt+f′dF（6.1）。在过滤Ft下，该表达式是确定性的（即无风险）。风险中性定价理论的“无风险午餐”论点是，无风险的投资组合应该是常数。因此，风险中性期权价格应遵循˙f dt+f′dF=0（6.2）的关系，即Black-Scholes方程。如果期权价格由BS方程确定，并且如果遵循增量对冲策略，则投资组合价值为常数：d^∏rn≡ 0，^∏rn（Te）=^∏rn（0）。这是风险中性定价理论的显著特点：通过增量对冲，投资组合可以降低风险，独立于市场波动。风险中性套期保值的另一个特性是，套期保值复制了期权的演化。实际上，fr om d∏rn=df+dH+dP=0we getdH+dP=-df（6.3），这意味着投资组合的对冲部分复制了期权的行为，并带有相反的符号。值得强调的是，在有限的时间内t等式（6.2）的左侧是一个零均值随机变量˙ft+f′\'F=ε，hεi=0，因此复制公式（6.3）仅对随机变量ε有效。

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2022-5-9 06:08:37

通过使用复制期权gammaf′和期权theta˙f的非线性产品进行套期保值，可以实现更准确的复制。注意到∏rn（0）=f（0），并且在无漂移的市场上，我们得出[无漂移]：g（0）=f（0），因此，如果市场动态较小，风险中性期权价格与概率价格一致。现在让我们考虑一个使用BS期权价格但采用任意对冲策略的投资组合。考虑到BS方程，期权价格的演变可以用dF=f′dF（6.4）来表示，因此对于任意的套期保值策略，我们得到：d∏rn=（f′+h）dF（6.5）随时间积分并平均收益率∏ei=rn（0）+ZTeh（f′+h）dfi=f（0）+ZTeh（f′+h）ui dt平均∏ewe的平方表达式- h∏ei和hh∏ei的表达式允许计算任意对冲策略在市场漂移情况下对终端投资组合分布的影响。这些表达式可能看起来很简单，但它们涉及到价格路径上的平均值，即要求h表示为F的显式函数。如果h是F上的一个函数，那么价格p的平均化将涉及路径积分，整个计算可能变得非常复杂。作为一个更有趣的套期保值策略的例子，让我们考虑一个报价优化套期保值。该套保策略是每个时间步的一项规则，仅部分更新套保头寸，以平衡投资组合中未套保部分的风险和市场融资成本。该策略可通过以下等式建模：-k（h+f′）dt与一些常数k。

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2022-5-9 06:08:40

显然，对于k=0，h（t）=（h（0）-f′代表k→ ∞随着时间积分，我们得到h（t）=h（0）e-k t- 中兴通讯-k（t）-u） f′（u）dut选项δf′可以显式表示为Ff′（t）的函数≡ f′（t，f（t））因此套期保值头寸成为一个函数h[f（t）]。估计这种对冲策略的终端投资组合分布需要计算路径积分。6.2漂移调整delta hedging我们从概率期权价值g的微分表达式开始：dg=˙g dt+g′dF+g′dF+g′dF（6.6）概率期权价值具有零预期漂移的特性hdgi=0（6.7）。该特性源自概率期权的定义。事实上，对于两个任意时间矩和t>twe haveg（t）=hge | Fi=ZdFeP（Fe | F）K（Fe）=ZdFP（F | F）ZdFeP（Fe | F）K（Fe）=hg（t）| fti是x在y上的一个期望，P（x | x）是x上的一个xconditional的概率分布函数。我们还指定了ge=g（Te）、Fe=F（Te）、F（Te）、F=F（t）、F=F=F（t）、F=F=F（t）。hg=llows（hg=llows+llows）- g（t）=0。通过对dg除以dW的表达式进行平均，我们发现无漂移市场中的˙g dt+g′hdF i+g′dF=0（6.8），且g遵循与风险中性期权价格具有相同终端边界条件的相同BS方程。因此，正如预期的那样，概率期权价格与风险中性价格一致。来自Eqs。（6.6,6.8）我们得到dg=g′（dF- hdF i）（6.9）（将其与等式（6.4）进行比较）。

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2022-5-9 06:08:44

投资组合动态遵循asd∏p=（g′+h）dF- g′hdF i（6.10）在dW yieldshd∏pi=h hdF i上对该表达式求平均值，因为概率概率概率有漂移，并且不存在消除漂移的对冲策略（心房策略除外）。漂移调整的增量对冲策略定义为：-g′（6.11）它产生了以下对冲投资组合动态Cd^∏p=-g′hdF i（6.12）与风险中性投资组合类似，增量是确定性的。但与风险中性的投资组合不同，亲婴儿的投资组合有一个dr ift。“没有免费午餐”的论点不适用于这里，原因如下。对于风险投资组合动力学，期权价格遵循“无免费午餐”的论点。然而，在漂移调整投资组合的情况下，假设了期权定价公式（这与我们的投资组合价值定义一致）。delta套期保值投资组合的终值由∏e=∏p（0）给出-ZTeg′hdF i=p（0）-ZTeg′udt（6.13）这是一个随机值，因为g′和hdF i都可以表示为价格F的显式函数。终端投资组合的期望值是通过对价格路径情景进行平均得到的。在任意对冲策略的情况下，在dW上平均的投资组合增量由hd∏pidW=h hdF i=hudt给出。因此，终端投资组合的预期值由h∏ei=p（0）+ZTehh dF i=πp（0）+ZTehhui dt（6.14）给出，其中在价格情景下进行平均。根据漂移方向和对冲策略，预期的终端投资组合价值可以任意调整。这是一个随机数的陷阱。

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2022-5-9 06:08:48

投资组合具有不可约风险，只有通过接近风险中性对冲策略，并放弃更高收益的机会，才能将其最小化。6.3滚动内在delta heding内在期权价格没有明确的时间依赖性。因此，期权价格的演变由di=I′dF+I′dF给出。由于我们将概率期权价格作为投资组合的一部分，因此投资组合具有不可约的漂移。与风险中性投资组合相比，该投资组合具有不同的起始点和不可减少的漂移。将后一个等式代入公式（5.9）中，我们得到∏i=（i′+h）dF+i′dF（6.15）的内在增量对冲策略定义为：-增量套期保值投资组合的演变为∏I=I′dFi。e、由内在选项gamma驱动。积分d^∏越时间越长，平均产量d^∏eE-^∏i（0）=中兴通讯I′dF（6.16）投资组合的初始价值等于初始内在期权价值I（0）。在风险中性度量下，终端产品组合^∏Ee的预期值等于预期期权报酬（见等式（5.12）），等于风险中性期权价格。因此，风险中性期权时间价值可以计算为[无漂移]：VT=ZTeI′dF=ZTehdIi（6.17）在最后一个积分中，平均值为满，即超过dW和F。6.3.1看涨期权时间值我们假设市场没有漂移hdF i=0。让我们考虑一下欧洲看涨期权。内在期权价格由i（F）=（F）给出- K） θ[F- K] （6.18）式中，θ[x]是Heaviside函数，F是sp ot价格，K是罢工价格。内在期权价格的变化很容易计算：dI=θ[F- K] dF+δ[F]- K] dF（6.19），其中δ[x]是狄拉克δ函数。

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2022-5-9 06:08:50

一阶和二阶项给出了选项delta和gamma:I′=θ[F- K] ，I′′=δ[F- K] （6.20）内在套期保值投资组合的动态变为^∏i=δ[F- K] dF。（6.21）请注意，对于滚动内在策略，投资组合价值正在严格增长。这一结果为交易者所知，有时被用作保守的交易策略，因为PnL（尽管^∏i低估了投资组合的市场价值）从未下降。通过积分d^∏iover time和平均值，我们得到期权时间值asVT=ZTeδ[F]- K] dF（6.22）我们在附录B.7中对无漂移市场上的存储选项进行了显式计算，用于演示。t为观察时间，t为交付时间。让Ft（T）为在时间T上观察到的远期价格，并在时间T上交货。Ft（T）作为T的函数称为ward曲线。在本节中，我们考虑无漂移市场。假设前向曲线遵循一个具有独立增量的鞅连续随机过程，例如instancedFt（T）Ft（T）=σdWt，hdFt（T）i≡ 0特定形式的流程不起作用。这里，dFt（T）是一个与时间增量dt相关的变量，被认为是T的函数。通常，对于任何函数ft（T），我们将使用表示为dft（T）或δft（T）的变化，并定义为时间间隔dt上的增量：δft（T）=ft+dt（T）- ft（T）让TEB确定存储合同的期限，例如：∈ [0，Te]在每一时刻t，套期保值头寸都是交割时间的函数：ht（t）套期保值的价值定义为asH（t）=ZTetht（t）Ft（t）dT（7.1）。该定义意味着在时间t交割的线性远期合约的价值被分配到当前时间t。实际上，未来合约的实际现金流可能在其他时间发生。然而，从数学的角度来看，这是无关紧要的。

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nandehutu2022

2022-5-9 06:08:54

选择后一种定义是为了方便。我们同意，通过定义，初始对冲等于0:h（T）≡ 0，H（0）=0套期保值价值的增量由DH（t）决定-ht（t）Ft（t）dt+ZETht（T）δFt（T）+Ft（T）+δFt（T）δht（T）dT（7.2），其中δFt（T）和δht（T）是对应于观测时间增量dT的变化。第一个术语不是别的，而是行使交易——套期保值组合的即时部分，它变成了实物。由于时间范围较短，套期保值的价值因交易而变小。期权交易也应反映在不断变化的期权价值中。根据减损行动原则，现金账户的增量由Dp（t）给出-ZTetFt（T）+δFt（T）δht（T）dT（7.3）注意，由于套期保值期间已在期货市场上支付了相应的基础资金，因此不存在与电子交易相关的现金流。我们定义了行权交易asdE（t）=ht（t）Ft（t）dt，E（0）=0（7.4），其中Ft（t）是时间t上的现货价格。让C（t）是剩余时间范围[t，Te]的存储期权的价格，用时间t上的初始条件计算。对于整个投资组合增量，我们由此得到：d∏（t）=dC（t）- dE（t）+ZTetht（t）δFt（t）dT（7.5）将后一个表达式与等式（5.8）进行比较，我们注意到存储投资组合动力学有一个附加项dE。初始投资组合价值与初始期权价格∏（0）=C（0）（7.6）一致，这是显而易见的，因为初始对冲成本为零：H（+0）+P（+0）=-h（0）F（0）dt+ZTe[h（T）δF（T）]dt=0，其中我们使用了h（T）≡ 0.由于初始对冲的设置，投资组合没有发生跳跃，因此在t=0时正确定义。终端选项值显然是ze roC（Te）=0，现在平均为Eq。

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2022-5-9 06:08:57

（7.5）并随时间积分yieldsh∏ei=-ZTehdEi=-hE（Te）i（7.7），我们利用了无漂移市场假设。这个表达式的结论如下。预期的最终投资组合价值仅由行权交易确定，不受对冲交易的影响。套期保值仅对围绕预期价值的期末投资组合的分布产生影响。对于储备期权，存在一个使预期期权价值最大化的最优行使策略。次优的行使策略会导致预期期权价值的不可还原性。接下来我们介绍目标函数（t）=C（t）- 带边界条件的E（t）（7.8）ss（0）=C（0）（7.9）hS（Te）i=-hE（Te）i=h∏ei（7.10）根据这一定义，投资组合动态可以写成d∏（t）=dS（t）+ZTetht（t）δFt（t）dT（7.11），这是公式（5.8）的存储选项推广。使用无漂移假设，我们发现hd∏idW=hdSidW（7.12）。目标函数是时间t的普通函数，是前向曲线Ft（t）上的函数，因此完全的差异可以用一般的伊藤公式（t）表示=stdt+ZTetδSδF（u）δF（u）du+ZZTetδSδF（u）δF（v）δF（u）δF（v）du dv（7.13）在后一个公式中，为了便于记法，我们省略了下标t，例如δF（u）意味着δFt（u）。将dS的表达式与等式（7.11）a相结合，并引入相关函数∧t（u，v）=dtδFt（u）δFt（v）（7.14），我们得到了投资组合的动态Cd∏=stdt+ZETδSδF（u）+h（u）δF（u）du+dtZZTetδSδF（u）δF（v）∧（u，v）du dv该公式是avanilla期权投资组合演化方程（5.9）的存储期权一般化。

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2022-5-9 06:09:00

在这里S/t表示选项θ，函数导数δS/δF（u）表示选项δ，二阶函数导数δS/δF（u）表示选项γ。Delta hedge定义为asht（T）=-δSδFt（T）这是一个连续时间模拟的普通期权δ对冲。对于Delta套期保值投资组合的动态，我们得到=stdt+dtZZTetδSδF（u）δF（v）λ（u，v）du dv（7.15）这是等式（5.15）的一个类似物。7.1风险中性价格比TC（t）r代表一个时间范围内的风险中性存储期权价格[t，Te]。在这种情况下，我们可以遵循与风险中性的普通期权定价相同的逻辑。由于投资组合增量具有确定性（过滤不足），因此不会暴露于市场风险，因此应保持不变。我们因此获得s这是Black-Scholes方程的未定权益推广。形式上，这是一个一维函数S上的积分微分方程，被认为是t的函数，对于t的所有可能值，都是Ft（t）。在任何时间t，给定远期曲线Ft（t），函数S[t，Ft（t）]等于存储期权值，就像函数f（t，f（t））等于给定时间t的普通期权价格和现货价格f（t）一样。

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可人4

2022-5-9 06:09:05

注意到时间导数S/t是存储选项θ，而s二阶导数δs/δF（u）δF（v）代表存储选项伽马，BS方程在θ和伽马之间建立联系的方式与普通选项完全相同。考虑到BS方程，三角洲对冲投资组合动态变得微不足道≡ 0对于任意对冲策略，投资组合动态变为∏=ZETδSδF（u）+ht（u）δF（u）du（7.17）该方程允许估计投资组合漂移和方差hd∏i=0d∏=dtZZTetδSδF（u）+ht（u）δSδF（v）+ht（v）∧（u，v）du dvs可以明确表示为函数o n Ft（T）。7.2滚动内在策略在本节中，我们考虑滚动内在存储期权定价和hedg策略。滚动内在策略定义如下。对于每个观察时间t，市场上都观察到一条正向曲线Ft（t）。如果t时刻的存储水平为q（t），那么我们可以用初始条件n q（t）来解决剩余时间范围[t，Te]的本质优化问题。让我们将在时间t计算的内在最佳运动策略指定为˙qint（t，t）。这里我们解释q（t，t）是时间t的函数，由观测时间t参数化。时间导数是关于t的：˙qint（t，t）=钦特（t，t）/T为了简单起见，我们将指定T（T）=˙qint（T，T）。固有存储选项值可以简单地表示为asI（T）=-ztett（T）Ft（T）dT（7.18）该积分表示用当前正向曲线在本质上计算的未来曲线。根据滚动内在策略，时间t的套期保值头寸定义为asht（t）=-δIδFt（T）=rt（T）和行权交易de（T）=rt（T）Ft（T）dt对于正确的期权定价来说，行权交易是最优的至关重要。

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2022-5-9 06:09:08

文献[1]表明，最佳储存运动与内在运动在前导顺序上一致。这就需要使用滚动内在策略来估计预期的存储选项价值。I的初始值提供了存储选项内在值I（0）=vint I的终值明显为零：I（Te）=0通过积分exerc ise trades（t）=Ztrτ（τ）Fτ（τ）dτ给出练习E（t）。该积分表示已结束交易的价值。这里我们假设E的初始值为0，E（0）=0。E的预期终值用相反的符号表示预期期权价值（见等式（7.7））。-对于目标函数S=i，hE（Te）i=h∏eiNow- 我们有S（0）=Vint（7.19）hS（Te）i=h∏ei（7.20）因此，时间值可以通过vt=ZTehdSiF，dW，（7.21）获得。接下来我们注意到目标函数S仅通过积分的极限E和i依赖于t。很容易看出我t=Et=rt（t）Ft（t），因此s最后，我们得到了tar-get函数的演化方程ds（t）=zetδSδF（u）δF（u）du+dtZZTetδSδF（u）δF（v）v∧（u，v）du dv（7.22），现在平均并考虑到hδF i≡ 0我们得到hds（t）i=dtZZTetδSδF（u）δF（v）∧（u，v）du dv允许的时间值为δSδF（u）δF（v）∧（u，v）du dv（7.23）如果目标t函数可以表示为正向曲线F（t）的明确函数，则该表达式允许计算时间值。我们可以得到时间值的另一个表达式，它包含最优本征策略δrt（T）=rt+dt（T）的变化- rt（T）。

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2022-5-9 06:09:11

为此，我们注意到目标函数的“闭合”部分（t）相对于正向曲线变化是恒定的（正向曲线的变化只影响t>t时电流F（t，t）的未来值），hencedS=dI，（7.24），其中我们指定了应为恒定时间t计算的变量。ThusVT=ZTehdIi。（7.25）接下来，我们观察到对冲价值与负的内在期权价值一致：H（t）=ztett（t）Ft（t）dT=-I（t）和hencehdIi=-hdHi=hdP i（7.26），其中P是对冲交易的累积现金流量。如果我们考虑到HδF i，则第二个关系式源自H和dP的定义≡ 0，并且变量d保持积分极限不变。因此，时间值可以计算为vt=ZTehdP i。也可以通过直接计算显示，对冲交易的预期累积现金流产生期权时间价值（见附录C）。替换dP的定义：dP（t）=-zet（F+δF）δr dt我们最终得到的时间值为vt=-中兴通讯“Ztteh（F+δF）δri dT#（7.27），其中平均值已满。该表达式允许计算存储选项时间值，前提是我们知道最佳内在运动策略rt（T）的解析表达式。通常，运动策略rt（T）在前向曲线Ft（T）上起作用.然后，应根据正向电流变化δF来表示固有频率δr的变化。平均后，关于δF的一阶项消失。因此，时间值将用相关函数∧t（u，v）表示。附录a利率变量的变化在正文中，价格以无风险债券的单位表示，因此在任何演化表达式中都不存在利率。

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2022-5-9 06:09:14

为了转换成一种货币的单位，其值以r的速率递减，我们需要引入以下变量的变化（我们使用“bar”表示新变量）：1。所有以货币为单位的数值，如即期价格F、期权价格F等，都按“F=er tF（A.1）”和“F=er tF（A.2）2进行缩放。考虑到时间是自变量之一，我们正式引入了一个新的时间t=t。根据t=“t+r”F\'F（A.3）F=er’t\'F（A.4）F=e2 r¨t\'F（A.5）B普通看涨期权时间值我们偏离公式（6.22）VT=ZTeδ[F]- K] dF（B.1）让F（t）跟随GBM:dF（t）F（t）=σdWt；（B.2）该表达式的平方yieldsdF=σFdt。（B.3）因此Γ=dthdIiF，dW=σδ[F]- K] FF如何计算v值Γ，我们需要在随机pric e F上平均这个表达式。LetP（F，t）是F在t时刻的概率密度函数。对于GBM，它readsP（F，t）=Fσ√2πtexp-lnFF+σt2σt; （B.4）对于Γ，我们得到Γ=ZP（x，t）σxδ[x]-K] dx=σKP（K，t）；（B.5）用P代替，我们最终得到Γ=σK√2πtexp-lnKF+σt2σt; （B.6）时间值VT是通过在时间范围内积分Γ得到的：VT=ZTeΓdt（B.7）B.1积分Γ变量的变化=√Tdy=dt√t（B.8）给定t=σK√2πe-2 a bZ√特克斯[-嗯- b/y]dy（b.9），式中为σ√; b=σ√LNKF利用Sec的积分。

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2022-5-9 06:09:17

B.2我们得到：F<K:VT=σK√2πe-2 a北京+[√T]=（F）- K+FΦ[K]+KΦ[K]）（B.10）F>K:VT=σK√2πe-2 a北京-[√T]=（K- F+FΦ[k]+kΦ[k]）（B.11），其中Φ[x]是误差函数，k=σT- lnKFσ√2t，k=σT+lnKFσ√2 T很容易证明通过该方法获得的时间值与Black Scholetime值一致：VT=CallOptionV值（F，K，T）- 麦克斯（F）- K、 0）。请注意，Black-Scholes期权价值通常用累积正态分布函数N[x]表示，它与误差函数asN[x]有关=1 + Φ十、√.B.2积分评估我们有一个不确定的积分I和定义版本J:I=Ze-斧头-b/xdx，J[T]=ZTe-斧头-b/xdx（b.12）我们正在以误差r函数的形式寻找（b.9）的解：Φ（x）=√πZxe-tdt，Φ（±∞) = ±1 . （B.13）注意到ddxΦ（a x+B/x）=√πe-2 a bA.-bxE-斧头-b/x（b.14）ddxΦ（a x- b/x）=√πe2 a ba+bxE-斧头-b/x（b.15）我们发现E4abΦ（ax+b/x）+Φ（ax- b/x）=4 a√πe2a-be-斧头-b/x（b.16）因此我们得到i=C+√π4ae2 a bΦ（ax+b/x）+e-2 a bΦ（a x- b/x）; （B.17）使用T的限制→ 0b>0:limT→+0Φ（AT+b/T）=1，极限→+0Φ（a T）- b/T）=-1（B.18）B<0:limT→+0Φ（a T+b/T）=-1.限制→+0Φ（a T）-b/T）=1（b.19）我们发现定义积分：b>0:J+[T]=√π4aE-2 a b- e2ab+e2abΦ（at+b/T）+e-2 a bΦ（a T-b/T）（B.20）B<0:J-[T]=√π4ae2 a b- E-2ab+e2abΦ（at+b/T）+e-2 a bΦ（a T-b/T）（B.21）C累积现金流在这里，我们展示了如何从滚动内在对冲交易的累积现金流中获得存储期权的时间价值。使用公式（7.3），我们得出总累计现金流asP（Te）=-ZTedTZT（Ft（T）+δFt（T））δht（T）（C.1），其中ht（T）=˙qint（T，T）。内积分超过观测时间t。

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