纯路径无概率伊藤积分

2022-5-9 14:45:18

Cont和Fourni’e的定义在ω上并不完全一致，但Ananova和Cont在[1]中对此进行了修正（因为对非预期函数F的额外限制）。其他论文（如Perkowski和Pr¨omel[17]以及Davis等人[6]）通过放松关于F的规律性假设，扩展了F¨ollmer的结果，这需要包含本地时间。所有这些论文都假设ω具有二次变化（以一种不同的方式定义），并且当ω是一个典型的价格路径时，该假设是满足的（参见，例如[20]；此类ω的二次变化的存在性在，例如[24]和[23]；下面将给出精确的定义）。典型连续价格路径的局部时间的存在源自[24]的主要结果（如[17]第13页所述），并在[17]中得到了明确证明，以及它的几个优良性质（定理3.5）。最近的论文[15]并非完全没有概率。此外，它还依赖于集合论的其他公理（添加连续体假设是有效的），正如作者所指出的，他的“随机积分的‘构造’在正确意义上不是‘建设性的’；它只产生一个存在的结果”。本文的结构是明确的。关于这一主题的另一篇论文是[23]，但其中使用的结构是F¨ollmer的，而[23]中唯一的新颖之处在于，它表明了典型的c`adl`ag价格路径（在有界跳跃的条件下）存在二次变异。为了澄清通常的“路径”概念和我们所说的“纯粹路径”之间的关系，让我们考虑两个例子，其中路径定义实际上纯粹是路径的，但非常有限。例1（格伦·沙弗）。考虑时间相关函数F（[22]，推论2.3.6）的It^o积分F（ω（s），s）dω（s）的F¨ollmer类型定义；该定义隐含在[9]）。

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2022-5-9 14:45:22

如果f不依赖于它的第一个参数f（·，s）=φ（s），我们得到了tφdω的纯路径定义。问题是函数f必须是非常正则的（C2,1类），因此这种构造只适用于非常正则的φ（例如C）。例2。第二个例子是F？ollmer对It^ointegralRt的定义F（X（s））dX（s）对于函数X:[0，∞) → Rd具有路径二次变化（如F–ollmer所定义）；该定义如[9]第147-148页和[22]定理2.3.4所示。让我们取d=2，将X的分量表示为φ，ω：X（t）=（φ（t），ω（t））表示所有t∈ [0, ∞). 对于路径二次变化的存在，必须假设φ和ω是理想化金融市场中不同证券的价格路径（例如，参见[23]，第5节）。取F（φ，ω）：=φω，我们得到了纯路径It^o积分的和的定义。在这种特殊情况下，积分不再是积分器的函数，但即使我们忽略了RTφdω和RTωdφ仍然没有单独定义的事实，φ和ω在同一个市场上共同交易的事实在逻辑上引入了它们之间的许多依赖关系；e、在φ（t）=ω（t）的情况下- ）对于某些>0和所有≥ 我们希望积分φdω得到很好的定义，但交易φ和ω的市场变成了货币机器（除非φ和ω退化，例如常数）。

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2022-5-9 14:45:25

即使φ不是交易证券的价格路径，二次变异的存在也是一个强大且不必要的假设。本文完全解耦了φ和ω（至少在c`adl`ag的情况下），并且φ从来没有被假定为价格路径。本文受Rafa l Lochowski最近的论文[12]的启发，该论文介绍了一类广泛的交易策略φ的It^o积分φdω，在类似于[24]和[18]的无概率环境中被积分；与[18]相比，[12]的主要进步是对c`adl`ag价格过程的处理。本文的主要观察结果是，RTφdω可以在不假设φ是给定策略的实现路径的情况下定义。给出其^o积分纯路径定义的文献包括[3]（定理7.14）和[10]，但这些文献中的存在性结果并非无概率。最后，从表面上看，Perkowski和Pr–omel的论文[18]并没有给出纯粹的路径定义（即，他们假设被积函数是一个过程而不是一条路径）。Perkowski和Pr–omel认为有两种方法可以将其定义为“o积分”。第二种方法的一个缺点是，它“将被积函数集限制为‘局部看起来像’”ω（[18]，第4节的开头）。他们的第一种方法（以定理3.5为顶点）构造了φdω，其中φ是Rd中连续路径样本空间上的过程路径，使得φ成为ω的非预期函数。

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2022-5-9 14:45:28

然而，它可以应用于由两个分量组成的ω，这两个分量可以用作被积函数和积分器（如上面的例子2所示），关键的是，定理3.5（另见推论3.6）的证明[16]表明，不需要在被积函数中进行交易；因此，它也证明了我们的定理1.3在连续情况下对it^o积分的定义。在我们的术语和定义中，我们将主要遵循技术报告[24]的第2节。我们考虑连续时间内现实（金融市场）和怀疑（交易者）之间的博弈：时间间隔为[0，∞). 首先怀疑论者选择他的交易策略（暂时定义），然后现实地选择连续函数ω和φ映射[0，∞) 对R；ω被解释为金融证券的价格路径（不要求非负），φ是我们希望通过ω积分的函数。为了将这幅图形式化，我们将使用Galmarino风格的定义，这比标准定义（在[24]的期刊版本中使用）更直观；参见，例如[5]。允许Ohm := C[0，∞)（1）是所有可能对的集合（ω，φ）；这是我们的样品空间。我们装备Ohm由函数（ω，φ）生成的σ-代数F∈ Ohm 7.→ （ω（t），φ（t）），t∈ [0, ∞) （即使它们可测量的最小σ代数）。我们经常考虑Ohm 和功能Ohm 这是可测量的toF。如[25]所示，可测量性的要求非常重要：没有它，很容易在极短的时间内变得非常丰富。和往常一样，事件是F-可测量的集合Ohm, 随机变量是这种类型的可测函数Ohm → R、一个扩展的随机变量是F-可测函数Ohm → [-∞, ∞].

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2022-5-9 14:45:33

每个o=（ω，φ）∈ Ohm 已识别函数o:[0，∞) → 定义为o（t）：=（ω（t），φ（t）），t∈ [0, ∞).停止时间是一个扩展的随机变量τ：Ohm → [0, ∞] 这样，对于所有o和o\'inOhm,o|[0，τ（o）]=o′|[0，τ（o）]==> τ（o）=τ（o′，其中f|Astands表示f对A和f的域的交集的限制。一个随机变量X被称为τ-可测，其中τ是所有o和o′in的停止时间ifOhm,o|[0，τ（o）]=o′|[0，τ（o）]==> X（o）=X（o′）。按照概率论的惯例，我们经常会忽略对o的明确提及∈ Ohm当背景清楚时。简单的交易策略G被定义为一对（（τ，τ，…），（h，h，…），式中：oτ≤ τ≤ · · · 是一个不递减的停止时间序列，因此∈ Ohm, 画→∞τn（o）=∞;o 对于每个n=1，2。，Hn是一个有界τn-可测函数。对应于简单交易策略G和初始资本c的简单资本过程∈ R定义为o=（ω，φ），单位为kg，ct（o）：=c+∞Xn=1hn（o）ω（τn+1）∧ （t）- ω（τn）∧ （t）, T∈ [0, ∞),忽略总和中的零项（这使得每个t的总和都是有限的）。hn（o）是怀疑论者在时间τn=τn（o）时的赌注，KG，ct（o）是怀疑论者在时间t时的资本。这个定义背后的直觉是怀疑论者只允许在ω上下注，但ω和φ的当前和过去值都可以用于选择赌注。非负资本过程是任何可以用以下形式表示的函数：=∞Xn=1KGn，cnt，（2）其中简单资本过程KGn，cnt要求为非负（即KGn，cnt（o）≥ 0代表所有t和o∈ Ohm), 非负级数∞n=1需要收敛。总和（2）可以取值∞.

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2022-5-9 14:45:42

由于KGn，cn（o）=cnn不依赖于o，S（o）也不依赖于o，有时会缩写为S。集合E的外部度量 Ohm （不一定是E∈ F）定义为asP（E）：=infso∈ Ohm : lim inft→∞St（o）≥ 1E（o）, （3）其中S在非负资本过程中变化，1E代表E的指示函数。很明显，如果我们用lim sup替换（3）中的lim inf，P（E）不会改变。如果p（E）=0，则集合E为空。这个条件等价于非负资本过程S的存在，使得S=1，在事件E中，limt→∞St=∞ （例如，参见[24]第2节）。如果我们更换limt，等价物仍然有效→∞林苏普→∞. 我们会说这样的开关E是空的。o的性质∈ Ohm 如果失败的o集为空，则几乎可以肯定（a.s.）。备注1。定义（3）不如[18]中提出的修改受欢迎（后者也被用于[17]、[2]、[13]和[12]）。我们选择原始定义（3）的理由是，它更保守，因此使我们的结果更强。它的财务解释是，如果怀疑论者可以变得非常富有，只需将一个货币单位的初始资本拆分成可数个账户，并对每个账户执行简单的交易策略，确保任何账户都不会负债，那么E是无效的。现在我们有了定义It^o积分φdω所需的一切。首先，我们定义一个停止时间序列Tnk，k=0，1，2。，由Tn（o）：=0感应，其中o=（ω，φ）和Tnk（o）：=infnt>Tnk-1（o）|ω（t）- ω（Tnk）-1)∨φ（t）- φ（Tnk）-1)= 2.-对于k=1，2。（和往常一样 := ∞); 我们对每个n=1，2。我们让tn（o）代表第n个分区，即setTn（o）：={Tnk（o）|k=0，1。

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2022-5-9 14:45:45

.} .请注意，分区的嵌套性 T · · · , 我们的定义既不要求也不暗示。备注2。序列（4）的定义不同于[24]第5节中的定义，因为它不仅使用ω的值，还使用φ的值。在这方面，它让人想起[3]（定理7.14）和[10]中的定义，其中类似的停车时间序列仅取决于φ的值。尽管如此，t∈ [0, ∞), φ ∈ C[0，∞), ω∈ C[0，∞), 定义（φ·ω）nt：=∞Xk=1φ（Tnk-1.∧ （t）ω（Tnk）∧ （t）- ω（Tnk）-1.∧ （t）, n=1，2。（5）定理1。对于每个t>0，（φ·ω）nsconverge在s上一致∈ [0，t]几乎可以肯定为n→ ∞.定理1中断言其存在的极限将被表示为（φ·ω）或φdω，并称为φ×ω的It^o积分。由于每个t的收敛是一致的[0，t]，因此，（φ·ω）是s的连续函数∈ [0, ∞), 几乎可以肯定。4定理证明1让我们首先检查止损时间Tnk的以下基本属性（这将允许我们使用这些止损时间作为简单交易策略的组成部分）。引理1。每n，Tnk→ ∞ 作为k→ ∞.证据让我们用n和t来表示，对于一些k，Tnk>t∈ [0，t]具有ω和φ变化小于2的高度-n、根据区间[0，t]的紧致性，我们可以选择该区间的一个有限覆盖层，由这样的邻域组成，每个这样的邻域最多包含一个Tnk。根据“几乎肯定”的定义（以及前面的评论），任何非负资本过程K与K<∞ 满意的支持∈[0,∞)Kt<∞ 几乎可以肯定。下面的引理将其推广到非负资本过程序列。引理2。对于任何序列Kn，n=1，2。，非负资本流程的实现≤ 1.我们有supt∈[0,∞)Knt=O（n）as n→ ∞ a、美国证据。

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2022-5-9 14:45:50

辛塞彭-2K这是一个非负的资本过程，初始值是有限的，我们有suptxnn-2Knt<∞ a、这意味着-2Knt<∞ a、这反过来又意味着-2suppknt<∞ a、可重写为suptKnt=O（n）a.s。t的值将在本节其余部分固定。证明了区间s上的函数序列（φ·ω）∈ [0，t]几乎肯定是柯西（在统一度量中）。让我们安排停车时间Tn，Tn，Tn。和Tn-1，田纳西州-1，田纳西州-1.进入一个严格递增的序列（如果需要，移除重复项）ak，k=0，1，…：0=a<a<a<···，每一个AKI等于一个TNK或一个Tn-1k，ak中的每个TNKI，以及每个Tn-这就是正义与发展党。让我们应用这个策略来实现超级马丁格尔（25）（最终我们将在（26）中感兴趣）toxk:=bn（φ·ω）nak- （φ·ω）nak-1.-（φ·ω）n-1ak- （φ·ω）n-1ak-1.= bnφ（a′k）-1）（ω（ak）- ω（ak）-1)) - φ（a′k）-1）（ω（ak）- ω（ak）-1))= bnφ（a′k）-1) - φ（a′k）-1)（ω（ak）- ω（ak）-1）），（6）式中bn:=n（该选择的理由将在稍后明确），a′k-1:=Tnk\'，其中k\'是最大整数，因此Tnk\'\'≤ ak-1和a′k-1:=Tn-1k′，其中k′是最大的整数，因此-1k′\'≤ ak-1.（注意eithera\'k-1=ak-1或a′k-1=ak-1.）非正式地，我们考虑简单的资本过程KNW，起始资本1对应于每次ak，k=0，1。形式上，下注时间为akis Knakbn（φ（a′k）- φ（a′k））。我们通常不会在符号中反映n（例如akand xk），但这不应导致歧义。引理8的条件满足| xk |≤ bn-n+1-N≤ 0.5，（7）其中最后一个不等式（确保（25）和（26）真的是超鞅）适用于所有n≥ 1.通过引理8，我们将拥有知识≥KYk=1exp（xk- xk），K=0，1。

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能者818

2022-5-9 14:45:53

引理8的证明表明，除此之外，我们还有≥ 诀窍-1exp（xk，s- xk，s），k=1，2，s∈ [ak-1，ak]，其中xk，s:=bn（φ·ω）ns- （φ·ω）nak-1.-（φ·ω）n-1s- （φ·ω）n-1ak-1.= bnφ（a′k）-1) - φ（a′k）-1)（ω（s）- ω（ak）-1））（8）（参见（6）；注意（7）对于xk仍然成立，而不是xk）。这个简单的资本过程显然是非负的。为了覆盖（6）和（8），我们修改了（8）toxk，s:=bnφ（a′k）-1) - φ（a′k）-1)（ω（ak）∧ （s）- ω（ak）-1.∧ s））。（9）我们有一个从1开始的非负资本过程knth，它在时间s的值至少为texpbn（φ·ω）ns- （φ·ω）n-1s-∞Xk=1xk，s！。（10）让我们展示一下∈[0，t]∞Xk=1xk，s=o（1）（11）作为n→ ∞ 几乎可以肯定。这需要证明这一点∈[0，t]∞Xk=1N-n+1（ω（ak）∧ （s）- ω（ak）-1.∧ s） )= o（1）（12）几乎可以肯定。使用导致K29鞅（27）的交易策略，我们得到了简单资本过程Kns=n-3+∞Xk=1N-n+1（ω（ak）∧ （s）- ω（ak）-1.∧ s） )-∞Xk=1n-n+1（ω（ak）∧ （s）- ω（ak）-1.∧ s））！=N-3+∞Xk=1n-2n+2（ω（ak）∧ （s）- ω（ak）-1.∧ s））（13）- N-2n+2（ω（s）- ω(0)).在形式上，这个简单的资本过程对应于初始资本Kn=n-3.赌博-2n-2n+2（ω（ak）- ω（0））在时间ak，k=1，2。（参见第28页）onp。23). 让我们在n的第一刻停止交易，使这个简单的资本过程非负-2n+2（ω（s）- ω（0））达到n-3（对于足够大的n，在时间t之前不会发生）；请注意，即使addendP∞忽略（13）中的k=1（···）。因为Knis是一个初始值为n的非负性资本过程-3.将引理2应用于n)Kngives sups≤t~Kns=O（n-1） =o（1）a.s.因此，集水坑∞k=1（··）在（13）iso（1）a.s.中，完成了（11）的证明。与（11）、（10）结合使用意味着≥ 经验bn（φ·ω）ns- （φ·ω）n-1s- 1.为了所有的人≤ 从某种意义上说，几乎可以肯定。

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2022-5-9 14:45:58

将导致超鞅（25）的策略应用于-xk，代替xk，对得到的简单资本过程进行平均（如（26）所示），我们得到了一个简单的资本过程“knsatizing”Kns≥经验bn（φ·ω）ns- （φ·ω）n-1s- 1.（14）为了所有的人≤ 从某种意义上说，几乎可以肯定。通过“Knand引理2”的定义，我们得到了∈[0，t]expN（φ·ω）ns- （φ·ω）n-1s- 1.= 几乎可以肯定。最后一个不平等意味着支持∈[0，t]（φ·ω）ns- （φ·ω）n-1s= O对数nn.自从Seriepn（logn）n-2收敛，我们得到了（φ·ω）NSS上几乎确定的一致收敛性∈ [0，t]作为n→ ∞.5二次变量在这一节中，我们将证明ω沿Tnkexists的二次变量。如[24]和[23]所示，但分区顺序不同。定义（基本上遵循[24]第5节）Ant（o）：=∞Xk=1ω（Tnk）∧ （t）- ω（Tnk）-1.∧ （t）, n=1，2，对于o=（ω，φ）。引理3。每个t≥ 0，函数的序列An:s∈ [0，t]7→ Ans收敛为n→ ∞ 几乎可以肯定。我们将使用符号（o）表示极限（当它存在时），并将其称为ω在s处的二次变化。我们还将使用符号A（o）表示二次变化s≥ 0 7→ 价格路径ω的As（o）。引理3的证明。该证明将以第4节中定理1的证明为基础（但将更简单）；我们从定义t的值开始。让我们检查序列An |[0，t]在统一度量中几乎肯定是柯西的。让我们应用上鞅（25）toxk:=bn阿纳克（o）- 阿纳克-1（o）-一-1ak（o）- 一-1ak-1（o）= bnω（ak）- ω（a′k）-1)-ω（ak）-1) - ω（a′k）-1)-ω（ak）- ω（a′k）-1)+ω（ak）-1) - ω（a′k）-1)= bn-2ω（ak）ω（a′k）-1） +2ω（ak）-1） ω（a′k）-1） +2ω（ak）ω（a′\'k）-1) - 2ω（ak）-1） ω（a′k）-1)= 20亿ω（a′k）-1) - ω（a′k）-1)（ω（ak）- ω（ak）-1））和-xk，a\'k在哪里-1，a′k-1和bn的定义与之前一样，我们只对n感兴趣≥ 4.

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可人4

2022-5-9 14:46:02

我们现在有了| xk |≤ 20亿-n+1-n=bn-2n+2≤ 0.5（最后一个不等式取决于我们的假设n≥ 4). （14）的类似物为“Kns”≥经验bnAns（o）- 一-1s（o）- 1.,所以我们有晚餐∈[0，t]expNAns- 一-1s- 1.= 几乎可以肯定。这意味着∈[0，t]Ans- 一-1s= O对数nn因此，Ansover s的几乎确定一致收敛性∈ [0，t]作为n→ ∞.6 It^o公式在本节中，我们陈述了It^o公式的一个版本，它表明我们对It^o积分的定义与F^ollmer[9]的定义一致（当后者专门用于连续情况和我们的分区序列时）。定理2。让F:R→ R是C类的函数。那么，对于所有t≥ 0，F（ω（t））=F（ω（0））+ZtF′（ω）dω+ZtF′（ω）dA（ω，F′（ω））a.s.（15）（15）中的符号F′（ω）和F′（ω）代表合成：例如，F′（ω）（s）：=F′（ω）（s）代表合成≥ 0.积分F′（ω）dA（ω，F′（ω））可以用勒贝格-斯蒂尔杰的意义来理解。的参数“（ω，F′（ω））”是指定义证明时使用的分区序列（（4）φ：=F′（ω））。根据泰勒公式，F（ω（Tnk））- F（ω（Tnk）-1））=F′（ω（Tnk）-1))ω（Tnk）- ω（Tnk）-1)+F′（ξk）ω（Tnk）- ω（Tnk）-1),在哪里∈ [ω（Tnk）-1），ω（Tnk）]。求和k=1的等式，K、其中K是最大的K，因此Tnk≤ t、并以n的形式传递到极限→ ∞.由于它的公式（15）也适用于F^ollmer的[9]积分F′（ω）dω（见[9]中的定理），F^ollmer的积分（仅在F′（ω）dω的上下文中定义）几乎肯定与我们的一致。对于φ：=F′（ω）的分区序列（4）也是如此，前提是它是稠密的（如F¨ollmer的定义所要求的，在这种情况下，它相当于我们的定义：cf。

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2022-5-9 14:46:05

[23]，命题4）。7在c`adl`ag被积函数和积分器的情况下，在这一节中，我们允许ω和φ是c`adl`ag函数，这需要在现实的移动，c`adl`ag函数ω中添加更多的分量*ω*以可预测的方式控制ω的跳跃。样本空间Ohm （现实中所有可能的动作）现在变成了Ohm :=(ω, ω*, ω*, φ) ∈ D[0，∞)| T∈ (0, ∞) : ω*（t）-) ≤ ω（t）≤ ω*（t）-), （16）其中D[0，∞) 是[0]上所有c`adl`ag实值函数的Skorokhod空间，∞), 和f（t）- ) 代表左极限极限↑t>0时f的tf（s）。这个Ohm 在上一节中，（1）嵌入Ohm 通过设置ω*:= ω和ω*:= ω.备注3。（16）中给出的ω跳跃的条件与[23]中给出的条件类似，后者假设ω*ω*是ω的函数（即有函数f*和f*这样ω*（t） =f*（ω（t））和ω*（t） =f*（ω（t））对于所有t>0）和ω=（ω*+ ω*)/2.它涵盖了两种重要的特殊情况：o跳跃ω（t）：=ω（t）- ω（t）-) ω的绝对值以已知常数为界；这相当于ω*:= ω - C和ω*:= ω+C；oω被认为是非负的（在现实世界的Tenare市场中是价格路径）和相对跳跃ω（t）/ω（t）-) （0/0时：=0）由已知常数C限定；这相当于ω*:= 0和ω*:=（1+C）ω。每个o=（ω，ω）*, ω*, φ) ∈ Ohm 与函数o:[0，∞) → Rde定义的byo（t）：=（ω（t），ω*（t），ω*（t），φ（t）），t∈ [0, ∞).样本空间Ohm 具有由函数o生成的σ代数的泛完备F∈ Ohm 7.→ o（t），t∈ [0, ∞). 在这一变化之后，事件、随机变量、停止时间τ和τ-可测量随机变量的定义仍与之前相同（但使用新的σ-代数F）。在定义F时，我们需要一个普遍的完备性，才能得到下面的引理。引理4。

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2022-5-9 14:46:15

如果 R是一个闭集，它的输入time由ω，τ（o）：=min{t∈ [0, ∞) : ω（t）∈ A} ，o代表（ω，ω）*, ω*, φ），是一个停车时间。证据例如，见[7]中的第三个例子（结合解析集的普遍可测性，见[8]中的定理III.33）。然而，为了完整起见，我们将详细说明这个简单的论点。由于A是闭合的，{τ≤ t} 这个项目是吗Ohm 关于集合{（s，o）∈ [0，t]×Ohm | ω（s）∈ A} 。结合c`adl`ag过程（如Ss（o）：=ω（s））的渐进可测性，这意味着，由于{（s，o）∈ [0，t]×Ohm | ω（s）∈ A} 在σ-代数Bt×Ft（其中Bt代表[0，t]上的Borelσ-代数）中，{τ≤ t} 是分析型的。备注4。引理4的类似物也适用于φω*, ω*代替ω（如同一个参数所示）。简单交易策略、简单资本过程、非负资本过程和外部度量的定义与第3节中的定义相同，将参数“o=（ω，φ）”替换为“o=（ω，ω）”*, ω*, φ)”; “几乎肯定”的定义也和以前一样。TNKI的定义（4）通过用一个不等式替换等式进行了修改：Tn（o）：=0和Tnk（o）：=infnt>Tnk-1（o）|ω（t）- ω（Tnk）-1)∨φ（t）- φ（Tnk）-1)≥ 2.-不，k=1，2。（17）进行此更改后，（φ·ω）n的定义保持不变（5）。引理1的分析仍然成立：引理5。每n，Tnk→ ∞ 作为k→ ∞.证据这个证明类似于引理1的证明，只是现在我们选择每个引理的一个邻域∈ [0，t]其中ω的变化小于|ω（s）|+2-nandφ的变化小于|φ（s）|+2-n、在每个这样的社区中，Tnk的值都不到10（对于固定的n）。下面的定理断言，在我们当前的上下文中，几乎可以确定它是^o积分。定理3。对于每个t>0，（φ·ω）nsconverge在s上一致∈ [0，t]几乎可以肯定为n→ ∞.证据

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2022-5-9 14:46:19

修正t>0，设E为（φ·ω）nss未能在s上一致收敛的事件∈ [0，t]作为n→ ∞. 我们的目标是证明E为空。在不丧失普遍性的情况下，假设ω（0）=0（可以这样做，因为（5）对ω加一个常数是不变的）。首先，我们注意到（如[23]中定理1的证明），它需要考虑现实不输出ω的修正游戏*ω*但instead只能产生ω∈ D[0，∞) 令人满意的晚餐∈[0,∞)|ω（s）|≤ c对于给定常数c>0。事实上，假设定理3（对于给定的t）的陈述在任何c的修改博弈中成立，并且让SCC成为一个非负资本过程，证明修改博弈中事件E的模拟为空。证明E在原始名称中为空的非负资本过程可定义为：=∞XL=1-LSL∧σL（18），其中σLis表示停止时间σL:=infs |ω*（s）∨ (-ω*（s） )≥ 2L（直觉上，这是我们无法保证ω不会立即跳到2Lin绝对值或超过2Lin绝对值的第一个时刻；引理4和备注4给出了停止时间）。让我们检查（18）中的每个加数不仅在修改后的游戏中是非负的，而且在原始游戏中也是非负的。事实上，如果SLs在某些情况下小于0≤ σL，修正博弈中SLin的非负性（c=2L）意味着，对于某些s′∈ [0，s]，|ω（s′）|>2L。通过（16），最后一个不等式意味着ω*（s′）-) > 2Lorω*（s′）-) < -2L。所以ω*（s′）>2Lorω*（s′）<-2l对于某些s′<s′≤ s≤ σL，这与σL的定义相矛盾。现在让我们检查S（我们已经知道在原始游戏中是非负的）是否见证了E为空。If（ω，ω）*, ω*, φ) ∈ E、有一个恒定的c边界-ω*|[0，t]和ω*|[0，t]从上面。（18）中2L>c的任何加数都趋向于与s一致→ ∞ （事实上，最终将是ats=t）。在这个证明的其余部分中，现实被限制为sups |ω（s）|≤ C

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2022-5-9 14:46:27

在不丧失一般性的情况下，将c:=0.5。我们遵循与定理1相同的方案，再次使用相同的bn定义xkby（6）和xk，sby（9）。注意，福恩≥ 2.我们一直都有φ（a′k）-1) - φ（a′k）-1)≤ 2.-n+1（19）in（6）和（9）；因此，我们可以用| xk |替换（7）≤ bn-n+1≤ 0.5（与xk，s的类似不等式），其中最后一个不等式为真n≥ 8，我们从现在开始在这个证明中假设。本质上，与第3节相同的论点表明（11）仍然成立。事实上，它需要检查（12）。对于足够大的n，过程的非负性ω[0，t]≤ 0.5; 也就是说，当n-2n+20.25≤ N-3、~KN将是非负的，即使∞忽略（13）中的k=1（···）。现在再次应用引理2得到（11）。现在，证明的完成方式与定理1.8的证明相同。对于可预测的非c`adl`ag被积函数和连续积分器，我们将在本节中考虑非c`adl`ag被积函数φ，首先是受田中公式的启发，该公式涉及的积分器包括φ（t）：=1ω（t）>a（连续ω的低连续），φ（t）：=1ω（t）≥a（连续ω的上半连续）或φ（t）：=符号（ω（t）- a）（一般来说都不是）。这样的函数甚至不受调节：它们有本质的不连续性（即点t），使得φ（t-) 或φ（t+）不存在）。在φ和ω之间存在某种协同作用的情况下，我们将定义此类φ的It^o积分φdω：非常粗略地说，我们将要求ω在φ的基本不连续性周围不会发生太大变化（这将涵盖本段开头给出的示例）。这一部分的结果非常初步；特别是，在本文中，我们只考虑连续ω的情况。我们将要求被积函数φ“以可预测的方式”为非c`adl`ag。

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2022-5-9 14:46:32

我们现在正式定义样本空间Ohm 成为片场Ohm :=n（ω，φ，φ）*, φ*) ∈ C[0，∞) ×R[0，∞)×D[0，∞)| T∈ (0, ∞) :φ*（t）≤ lim infs↓tφ（s）≤ 小吃↓tφ（s）≤ φ*（t） &φ*（t）≤ φ（t）≤ φ*（t） )；集合{t∈ [0, ∞) | φ*（t） 6=φ*（t） }是closedo（20）由四个leso=（ω，φ，φ）组成*, φ*) （21）直觉上*φ*控制φ的非c`adl`ag跳跃。这个Ohm 在上一节中，（16）在ω是连续的限制下，嵌入到Ohm 通过设置φ*:= φ和φ*:= φ.与该部分类似，我们设置为（t）：=（ω（t），φ（t），φ*（t），φ*（t））t∈ [0, ∞),并装备样本空间Ohm 由函数o生成的σ-代数的泛完备F∈ Ohm 7.→ o（t），t∈ [0, ∞), 因此，事件、随机变量、停止时间τ、τ-可测量随机变量、简单交易策略等的定义也适用于本案例。本节主要结果（定理4）的条件之一是对盒维数的标准概念进行轻微修改（类似于将Riemann积分修改为Riemann–Stitjes积分）。对于实线的区间I和定义为onI的实值函数，f在I上的振动isoscI（f）：=supt，t∈I | f（t）- f（t）|=支持∈如果（t）- 输入∈如果（t）。设ω为[0]上定义的实值函数，∞) E是[0]的有界子集，∞). SetMω（E，）：=min（k≥ 1 | 我··Ik:Ek[i=1Ii&maxi=1，…，koscIi（ω）≤ 我，我。

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2022-5-9 14:46:37

在[0，∞), 和setdimω（E）：=lim sup↓0对数Mω（E，）对数（1/）。对于单位函数ω（t）：=t，T∈ [0, ∞), 这成为了上盒维数（也称为Minkowski维数，尽管只有Pontryagin和Shniell\'man[19]首次以这种形式给出）的通常定义。假设（21）在时间t是tame，符号中的tamet（o），如果dimω（E）<2，其中E:={s∈ [0，t]|φ*（s） 6=φ*（s）哦。现在，通过设置Tn（o）修改Tnkis的定义（17）：=0和fork≥ 1:o如果φ*（秋明）-1) = φ*（秋明）-1），Tnk（o）：=infnt>Tnk-1（o）|ω（t）- ω（Tnk）-1)∨φ（t）- φ（Tnk）-1)≥ 2.-也不是φ*（t） <φ*（t） o；o如果φ*（秋明）-1) < φ*（秋明）-1），Tnk（o）：=infnt>Tnk-1（o）|ω（t）- ω（Tnk）-1)≥ 2.-否（要求“集合{t |φ*（t） 6=φ*（t）（16）中的“}已关闭”是确保Tnkare确实停止时间的简单方法随着这种变化，（φ·ω）nsis的定义（5）。引理1的类似物是显而易见的。定理4。对于每个t>0，（φ·ω）nsconverge在s上一致∈ [0，t]几乎肯定是在这个事件上→ ∞.在证明定理4之前，我们先简要讨论它的表述，尤其是条件tameωt（φ）。定理4更详细的陈述是：foreach t>0，即（21）的集合，使得函数序列s∈ [0，t]7→ （φ·ω）nsn在[0，t]上的一致度量中不能收敛为n→ ∞o tamet（o）为空。下面的引理表明，条件在一定意义上是温和的。引理6。几乎可以肯定的是，对于任何t>0，dimω（[0，t]）=2。证据让我们使用[24]中的定理3.1（Dubins–Schwarz结果的无概率版本）。ω的二次变化在第5节中有定义，但在此我们也可以使用[24]中给出的定义（不涉及φ）。由于可数零事件的并集为零，因此必须证明dimω（[0，τ]）=2，其中τ是ω的二次变化首次达到给定常数c>0。

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2022-5-9 14:46:41

这减少了我们证明标准布朗运动的典型路径ω的dimω（[0，c]）=2的任务。如果我们把[0，c]分成n个等长的c/n部分，L’evy的连续性模定理（见[14]，定理1.14）表明，ω在每个部分上的振动等价于top2（c/n）ln或lessas n→ ∞. 对于：=p2（c/n）ln，我们得到mω（[0，c]，）≤ n=Olog,这仍然是事实↓ 引理6可以解释为，定理4中的dimω（E）<2隐式条件意味着E的质量仅略小于[0，t]的整体质量。另一方面，下一个引理表明，田中公式中本质连续性的集合{ω=a}通常质量要小得多。引理7。让我们∈ 几乎可以肯定，对于任何t>0，dimω（{ω=a}∩ [0，t]）≤ 1.（22）证据。与引理6的证明类似，它需要证明标准布朗运动的典型路径ω的（22）。在这种情况下（22）直接遵循，例如，当地时间在0（或a）的向下穿越表示：参见，例如[14]，定理6.1。定理4的证明。修正t>0。在定理3的证明中，我们将在不丧失普遍性的情况下假设|ω|≤ 0.5; 在不丧失普遍性的情况下，我们还将假设类似不等式适用于φ，φ*, φ*. （这将确保| xk，s |≤ bn-N≤ 0.5，假设n≥ 7.）最后，由于可数多个零集的并集为零，因此用dimω（E）<2替换dimω（E）<2的条件时不会失去一般性- 对于给定的δ>0，式中e:={s∈ [0，t]|φ*（t） <φ*（t）哦。因此，我们假设↓ 0，E可以被O（δ）覆盖-2）间隔I使得oscI（ω）≤ . 这意味着k的数量使得Tnk≤ t和φ*（Tnk）<φ*（Tnk）isO（2（2）-δ） n）。（23）必须证明（11）仍然成立。在不丧失普遍性的情况下，我们假设总和大于k，这样ak-1<t。

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2022-5-9 14:46:45

我们将k分为四类（在下面四个相应的项目中，默认值是pk代表该项目中考虑的k的总和）：1。第一类k是满足φ的*（ak）-1) < φ*（ak）-1）（记住，我们只对k感兴趣-1<t）。因为我们总是有ω（ak∧ （s）- ω（ak）-1.∧ s） |≤ 2.-n、小吃∈[0，t]Xkxk，s=O(2-δ） nbn-2n= o（1）。（我们使用了一个事实，即k的数量≤ t和φ*（Tnk）<φ*（Tnk）为（23），且k的数量使Tn-1k≤ t和φ*（Tn）-1k）<φ*（Tn）-1k）是（23）。）2.第二类k是满足φ的*（ak）-1) = φ*（ak）-1) & φ*（a′k-1) < φ*（a′k-1).这样的k满足a′\'k-1<ak-1和a\'k-1=ak-1.我们不能说这样的k的数量是（23），因为不同的k可能导致相同的a′k值-1，所以我们需要一个更复杂的论点，利用K29鞅（27）。首先我们注意到-10+Xk（ω（ak）∧ （s）- ω（ak）-1.∧ s） )-Xk=1,2，…：Tn-1k-1<t，φ*（Tn）-1k-1)<φ*（Tn）-1k-1)ω（Tn）-1k∧ （s）- ω（Tn）-1k-1.∧ （s）（24）是一个简单的资本过程在s时的价值≤ t、 subtrahendin（24）isO(2-δ） n-2n= o（n）-10）所以鞅值（24）是非负的，即使我们忽略它的二次加法pk（··）。让我们在简单的资本过程变为零时通过补仓交易使其非负；对于足够大的n，这不会影响过程。引理2，（24）是O（n）-8）在s中一致∈ [0，t]，所以（24）的第二个加数是O（n）-8），a.s.所以，大家好∈[0，t]Xkxk，s=sups∈[0，t]Xkbnφ（ak）-1) - φ（a′k）-1)×（ω（ak）∧ s- ω（ak）-1) ∧ s） =Onn-8.= o（1）a.s.3。第三类k是满足φ的*（ak）-1) = φ*（ak）-1) & φ*（好的-1) < φ*（好的-1).这种k与第二种k的处理方法相同。4.

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2022-5-9 14:46:48

最后一类k是φ*（ak）-1) = φ*（ak）-1) & φ*（好的-1) = φ*（好的-1) & φ*（a′k-1) = φ*（a′k-1).这样的k满足（19），我们又有了SUP∈[0，t]Xkxk，s=o（1）a.s.9结论进一步研究的最明显方向是：o探索rφdω对划分Tnk选择的依赖性，o将定理2推广到凸函数F，o放松定理4的条件。感谢Rafa l Lochowski就[12]进行了有益的讨论并向我通报，感谢Glenn Shafer的评论，感谢Nicolas Perkowski和David Pr–omel澄清了与[18]的关系，感谢Nicolas就随机积分的设计进行了有益的讨论。这项研究得到了美国空军科学研究办公室（FA9550-14-1-0043）的支持。参考文献[1]Anna Ananova和Rama Cont.关于有限二次变化路径的路径积分。技术报告arXiv:1603.03305[math.PR]，arXiv。org电子打印档案，2016年3月。[2] 马蒂亚斯·贝格洛克、亚历山大·M·G·考克斯、马丁·休斯曼、尼古拉斯·珀科夫斯基和大卫·J·普罗梅尔。路径超级复制viaVovk的外部度量。技术报告arXiv:1504.03644[q-fin.MF]，arXiv。org电子打印档案，2015年4月。[3] 克劳斯·比切特勒。随机积分与半鞅的Lp理论。《概率年鉴》，1981年9:49-89。[4] Rama Cont和David Antoine Fourni’e.路径空间上非预期泛函变量公式的变化。功能分析杂志，259:1043–1072，2010。[5] 菲利普·库尔和皮埃尔·普里奥雷特。临时协议与基金会：对等关系、合作关系与合作关系。巴黎大学统计研究所出版物，14:245–2741965。[6] 马克·戴维斯、扬·奥布·洛伊和彼得罗·西尔帕斯。带有局部时间的路径随机演算。

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2022-5-9 14:46:53

技术报告arXiv:1508.05984[math.PR]，arXiv。org电子打印档案，2015年8月。[7] 克劳德·德拉切里。例如，家庭成员、可能成员、团队成员和非家庭成员。《斯特拉斯堡概率论》，1978年12:746-756。[8] 克劳德·德拉切里和保罗·安德烈·迈耶。概率和潜力。北荷兰，阿姆斯特丹，1978年。第一章至第四章法文原文：1975年；2008年重印。[9] 汉斯·福尔默。无概率计算。《德斯特拉斯堡概率论》，1981年第15:143–150页。[10] 拉杰娃·L·卡兰迪卡尔。关于路径随机积分。《随机过程及其应用》，57:11–18，1995。[11] 安德烈·N·科尔莫戈罗夫。这是我的名字。阿迪·德拉·雷亚卡迪亚国家队。科学、艺术、艺术类。伦迪康蒂第六季，185:917–91929。[12] 拉法·l·M·洛乔斯基。关于模型自由价格路径的集成跳跃。技术报告arXiv:1511.08194[q-fin.MF]，arXiv。orge Print archive，2015年11月。[13] 拉法·l·M·洛乔斯基。无模型价格路径和带跳的半鞅的截断变差的渐近性。技术报告arXiv:1508.01269[math.PR]，arXiv。org电子打印档案，2015年9月。[14] 彼得·莫特斯和尤瓦尔·佩雷斯。布朗运动。剑桥大学出版社，英国剑桥，2010年。[15] 马塞尔·纳茨。随机积分的路径构造。概率中的电子通信，17（24）：2012年1-7月。[16] 尼古拉斯·珀科夫斯基和大卫·J·普罗梅尔。私人通讯，2016年4月。[17] 尼古拉斯·珀科夫斯基和大卫·J·普罗梅尔。当地时间提供典型的价格路径和pathwise Tanaka公式。技术报告arXiv:1405.4421[math.PR]，arXiv。org电子打印档案，2015年4月。期刊版本：概率电子期刊，20（46）：2015年1月至15日。[18] 尼古拉斯·珀科夫斯基和大卫·J·普罗梅尔。无模型金融的路径随机积分。

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2022-5-9 14:46:57

技术报告arXiv:1311.6187[math.PR]，arXiv。org电子打印档案，2015年5月。期刊版本：伯努利，22:2486–252012016。[19] Lev S.Pontryagin和Lev G.Shniel\'man。这是一个维度。《数学年鉴》（新系列），33:156-1621932。[20] 坎迪亚·里加。连续时间交易的一种明智方法。技术报告arXiv:1602.04946[q-fin.MF]，arXiv。org电子打印档案，2016年2月。[21]佐井武之、宫部健史和竹村明美。Erd"os–Feller–Kolmogorov–Petrowsky自规范化鞅重对数定律：一种博弈论方法。技术报告arXiv:1504.06398[math.PR]，arXiv。org电子打印档案，2015年4月。[22]迪特尔·桑德曼。《金融随机微积分导论：一种新的教学方法》，经济学和数学系统选集第579卷。柏林斯普林格，2006年。[23]弗拉基米尔·沃夫克。理想化金融市场中的无概率演算。技术报告arXiv:1108.0799v2[q-fin.TR]，arXiv。org电子打印档案，2014年8月。期刊版本：立陶宛数学杂志，55:270–2902015。[24]弗拉基米尔·沃夫克。连续时间交易和概率的出现。技术报告arXiv:0904.4364v4[math.PR]，arXiv。org e-Printarchive，2015年5月。期刊版本：金融与随机，16:561–6092012。[25]弗拉基米尔·沃夫克。用选择的公理快速致富。

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2022-5-9 14:47:02

技术报告arXiv:1604.00596v2[q-fin.MF]，arXiv。org电子打印档案，2016年5月。附录A：有用的离散时间超鞅我们对定理1、3和4的证明基于一个简单的大偏差超鞅（将在本附录中定义），以及一个可追溯到[11]的经典鞅（将在下面的附录B中定义）。我们考虑离散时间的情况，即下面的perfectinformation协议：投注于有界的下变量splayers:怀疑论者和现实论者：怀疑论者宣布K∈ R.对于k=1，2，…：怀疑论者宣布Mk∈ R.现实宣布xk∈ [-0.5, ∞).怀疑论者宣布Kk≤ Kk-1+Mkxk。我们在k轮结束时将KK解释为怀疑论者的资本。请注意，怀疑论者允许选择他的初始资本，并在每轮结束时扔掉他的部分资金。过程是定义在所有有限序列（x，…，xK），K=0，1，…，上的实值函数。，现实的行动。如果我们为怀疑论者制定一个策略，他的资本KK，K=0，1。，将成为一个过程。这种过程被称为超鞅。引理8。进程kk:=KYk=1expxk- xk（25）是一个超级艺术家。我们不需要先验的可测性，但（25）当然是可测的。证明中使用的怀疑论者对应策略为Mk:=Kk-1，因此也将是可测量的。如果间隔[-0.5, ∞) 协议中的[-0.683, ∞) （但这将不再适用于[-0.684, ∞)).证据需要证明的是，在k轮中，怀疑论者可以将k>0的资本转化为至少TK exp的资本xk- xk;换句话说，他至少可以获得一笔奖金xk- xk- 1.这将遵循不等式expxk- xk- 1.≤ xk。设置x:=xk，将1移到右边，取两个边的日志，我们将这个不等式改写为asx- 十、≤ ln（1+x），其中x∈ [-0.5, ∞).

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