最优控制问题的高维一阶BSPDEs

2022-5-11 02:16:31

最优控制问题Snikolai-Dokuchaev的高维一阶BSPDEs*提交日期：2016年3月22日；修订版：2018年10月25日摘要pa per研究了之前针对具有边界的多维状态域的情况提出的一阶BSPDEs（反向随机部分微分方程）。这些方程代表了Hamilton-Jacobi-Bellman方程的类似物，并允许构造具有非特定动态的随机最优控制问题的值函数，其中基本过程不一定满足已知类型的随机微分方程，且具有给定的结构。财务建模中出现了一些问题。关键词：随机最优控制，汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程，后向系统，一阶BSPDEs。数学学科分类（2010）：91G80 93E20，91G101简介在Bender和Dokuch aev（2016a，b）中，针对一维状态变量的情况，提出并研究了一些特殊的一阶倒向随机偏微分方程（BSPDE）。这些方程被用于在基础支付过程中假设非常温和的摇摆期权定价问题的最优值函数。本文将这些结果推广到多维情形。*Curtin大学电气工程、计算和数学科学学院，邮政信箱U1987，珀斯，西澳大利亚6845，电子邮件N。Dokuchaev@curtin.edu.auThis是发表在《暹罗控制与优化杂志》（2018）55（2），818-834上的一篇文章的扩展版作者。

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2022-5-11 02:16:35

在这个版本中，第6节已经扩展。随机偏微分方程（SPDE）在文献中得到了很好的研究，包括向前和向后方程的情况；例如，见沃尔什（1986年）、阿尔奥斯等人（1999年）、乔诺夫斯卡·米哈利克（1987年）、罗佐夫斯克·y（1990年）、周（1992年）、帕杜（1993年）、巴利等人（1994年）、乔诺夫斯卡·米哈利克和戈尔迪斯（1995年）、马斯洛夫斯基（1995年）、达·普拉托和图巴罗（1996年）、吉隆吉（1998年）、克雷洛夫（1999年）、马丁利（1999年）、杜安等人（2003年）、卡拉巴洛等人（2004年）、多库恰耶夫（2005年）、穆罕默德等人（2008年）、冯和赵（2012年），以及其中的参考书目。反向随机偏微分方程（BSPDE）代表了所谓的Bibi-Peng方程的版本，其中微分项不是先验的，而是需要找到的；参见胡和彭（1991年）、彭（1992年）、周（1992年）、多库恰耶夫（19921995200820011201120122015a，b）、杜和唐（2012年）、杜阿特（2013年）、胡等人（2002年）、马和勇（1999年），以及其中的b传记。文献中通常对矫顽力施加一些附加条件；参见罗佐夫斯基（1990）中的条件（0.4），C h.4。没有这些条件，抛物线型SPDEI被认为是d退化的。这些二阶退化方程（具有松弛守恒条件）也得到了广泛的研究；参见杜等人（2013）、杜和张（2013）、杜库恰耶夫（2015a）中的参考书目。对于整个空间中的退化后向SPDE，即无边界，在马和勇（1999）、胡等人（2002）、杜和唐（2012）、杜在等人（2013）中获得了正则性结果。Gikhman和Mestechkina（1983年）和Kunita（1990年）采用特征线法，以及Hamza和Klebaner（2006年）中考虑了一些无边界的特殊一阶正向SPD。

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2022-5-11 02:16:38

这些工作中开发的方法不能应用于有边界的区域，因为正则性问题阻止使用非退化算子近似微分算子。结果表明，畴中的简并SPDE理论比整个空间中的理论要困难得多，而且据我们所知，现有文献中尚未对其进行阐述，但Bender和Dok-uchaev（2016a，b）以及Dokuchaev（2015a）的研究除外。本文还考虑了这类问题。通常使用BSPDE作为反向Kolmogorov-Fokkerpanck方程或相关Hamilton-Jacobi-Bellman方程的随机模拟，这些方程已知用于受控马尔科夫扩散型过程。在非马尔可夫控制问题中，后向Hamilton-JacobiBellman方程必须用相应的后向SPDE代替；这是Peng（1992）在一个二阶方程的反向SPDE的环境中首次观察到的，即高阶系数的矩阵是正的。在Bender和Dokuchaev（2016a，b）中，引入了新的特殊第一批BSPDEs。他们给出了与连续时间内摆动期权定价相关的一些非马尔可夫随机最优控制问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的类似物。这些方程并不是完全不同的，因为它们的解在时间上可能是不连续的，并且它们允许对具有非特定动力学的随机过程施加非常温和的条件。更确切地说，该方法不必假定潜在过程的特定演化规律；基本过程不一定满足给定结构的已知类型的随机微分方程。

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2022-5-11 02:16:44

对于随机控制和HJBequations理论来说，这是一个不同寻常的背景。正如下面第4节所讨论的，e必须知道给定ftk和采样序列{tk}x（tk+1）的条件分布 [0，T]用于分析结果的数值实现。设一个正整数n。对于x=（x，…，xn）∈ Rnand y=（y，…，yn）∈ Rn，我们写x y当且仅当xi≤ 好吧，我来吧 Rn可以是一个闭凸二次曲线集，如果x∈ Rn，x bx和bx∈ Γ然后x∈ 对于任何x=（x，…，xn）∈ Γ和任何j∈ {1，…，n}，存在M>0这样的x=（x，…，xj+M，…，xn）/∈ Γ. 让bg∈ Rn是一个给定的正分量向量，设Γ=y∈ Rn:y=x+bg，x∈ Γ}.例2.1具体而言，以下Γ的选择是可接受的。（i） Γ={x=（x，…，xn）∈ 注册护士：xi≤ αi，i=1。。。，n} ，其中αi>0。（ii）Γ={x∈ Rn:xA.≤ 1} ，a∈ RNA是一个具有正分量的给定向量。（iii）Γ={x=（x，…，xn）∈ Rn:xaj≤ 1，j=1。。。，m} ，其中m>0，其中aj∈ r给定了非零向量和非负分量，这样，对于任何∈ {1，…，n}，存在j，使得aj的第i分量为正。让K 它可以是一个给定的凸集。为了你∈ 假设U（t，y）是过程的集合U（s）=（U（t）。。。，n（t））：[t，t]×Ohm → K与FTA相适应，因此y+RTtu∈ Γa.s.设函数f（x，u，t）：Rn×K×[0，t]→ R将被给予。我们考虑两种情况：（i）f（x，u，t）=u对于某些给定的L>0，x和K=[0，L]。（ii）f（x，u，t）=u十、- UGu，m=n，当G是对称正定义矩阵时，k=Rn。这些条件似乎非常特殊，但它们涵盖了数学金融中的许多重要优化问题。

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2022-5-11 02:16:47

G=0和n=1的特殊情况涵盖了Bender和Dokuchaev（2016a，b）中考虑的摆动选项的定价问题。2.1给定y的最优控制问题∈ Γ和t<t，我们考虑最大化EF（u，t）的问题∈ U（y，t）。（2.1）此处f（u，t）=ZTtf（X（s），u（s），s）ds。（2.2）设y为Ft可测随机变量，其值在[0,1]中，且letJ（t，y）=ess supu∈U（t，y）EtF（U，t）。（2.3）换句话说，这是问题（2.1）的值函数。这里Et=E{·| Ft}；我们使用这个符号是为了简洁。在Financin Bender和Dokuch aev（2016a，b）中的应用中，上述引入的优化问题（2.1）（n=1，K=[0，L]和G=0）给出了具有潜在支付过程X（t）的摆动期权定价问题的解决方案。在此设置中，u（t）是期权持有人选择的行使率。摆动期权持有人希望通过选择行使权的时间分布u（T）最大化预期累积收益。此外，这个问题可以用来近似多维美式期权的价格，选择L→ +∞. 类似地，n>1的问题（2.1）可以解释为消耗n种不同类型能量的摆动选项的定价问题。选择G6=0可以用来模拟对运动速度没有严格限制的环境，而不是对过度运动速度进行惩罚。同样，这些问题可以用来近似多维期权定价问题的经典解。

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2022-5-11 02:16:50

因此，我们可以考虑→ 0和K=Rn或G6=0，K=[0，L]n和L→ +∞.另一种可能的设置是，摇摆期权持有人必须最大化预期的累积收益，但有一个更好的行使率向量eu（t）；它可以是动态变化的技术或市场条件定义的可观察的随机过程。设X（t）为基础收益的当前向量。摆幅期权持有者设为最大化zt[X（t）u（t）- （u（t）- 欧盟（t））G（u（t）- eu（t））]dt。术语（u（t）- 欧盟（t））G（u（t）- eu（t）代表了与优惠利率eu（t）不匹配的一些惩罚。这相当于zt[X（T）的最大化u（t）+2eu（t）顾（t）- u（t）Gu（t）]dt=ZT[eX（t）u（t）- u（t）Gu（t）]dt，其中ex（t）=X（t）+2Geu（t）。这是上述问题的一个特例。Dokuchaev（2015c）开发了一些与最佳能源交易相关的设置。最优u的存在性和JLemma 2.1对每对（t，Y）的性质，其中t是一个停止时间，Y是一个Ft可测的随机向量，其值在Γ中，存在一个最优控制u∈ U（t，Y）。设ut，y（s）为（2.3）的最优控制（或最优控制之一）。t的引理2.2（i）∈ [0，T]和“y”∈ Γ，苏比∈Γ：\'yy、 t∈[0，T]ess supω| J（T，y）|≤ 康斯特。（ii）对于任何t∈ [0，T]和y，由∈ Γ以至于我们有J（t，by）≤ J（t，y）a.s.（iii）对于任何t∈ [0，T]和j∈ {1，…，n}，J（t，y）几乎肯定是[0，t]×Γ的任意有界子集中y一致的Lipschitz。引理2.3函数J（t，y）在y中是凹的∈ Γa.s.为所有t∈ [0，T]。根据引理2.3，左手偏导数D-yjJ（t，y）和右手偏导数D+yjJ（t，y）存在且唯一定义。3主要结果用D±yJ（s，y）表示向量列{D±yiJ（s，y）}mi=1in。

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能者818

2022-5-11 02:16:53

我们表示（x）+=max（x，0）。允许Γ是Γ的边界。定理3.1值函数J满足（t，y）中的一阶BSPDE:J（t，y）=EZTtsupv∈K（f（X（s），v，t）+vD+yJ（s，y））ds英尺, t<t，y∈ Γ，J（t，y）|y∈Γ= 0.（3.1）特别是，如果f（t，x，u）=uX和K=[0，L]n，那么方程的形式是j（t，y）=LE（ZTtnXi=1（Xi（s）+D+yiJ（s，y））+！dst<t，y∈ Γ，J（t，y）|y∈Γ= 0.如果K=Rnand f（t，x，u）=u十、- U那么方程的形式是j（t，y）=eZTt（X（s）+D+yJ（s，y））G-1（X（s）+D+yJ（s，y））ds英尺,t<t，y∈ Γ，J（t，y）|y∈Γ= 0.注3.1定理3.1和引理2.1暗示问题（3.1）解的存在。然而，它并没有说明它的独特性。对于n=1和G=0的特例，唯一性在Bender和D okuchaev（2016b）中建立；这项任务需要大量的分析工作。我们将n>1的解的唯一性问题留待进一步研究。4.在马尔可夫模型的数值实现上，可以使用有限差分法求解相应的HJB方程。幸运的是，这种方法可能对描述马尔可夫模型动力学的大量参数无效。一阶BS PDE（3.1）的特性允许使用下面描述的一些替代方法。关于X（t）方程（3.1）的非特定动力学定律的数值可行性，可使用t和y中的一阶有限差在t中向后离散后求解，并通过蒙特卡罗方法计算每个步骤的条件期望。这种方法允许使用方程（3.1）的以下吸引人的特点：即使对于没有规定X（t）动力学定律的模型，也可以计算该方程的解。

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2022-5-11 02:16:56

为此，我们需要知道，对于时间离散序列{tk}，给定Ftk的X（tk+1）的条件分布。这样做的好处是，我们不需要关于X的动力学或其演化方程的假设，即如果它是一个it^o方程等。此外，还有一些模型，其中关于X（tk+1）分布的信息比关于动力学定律的信息更容易获取和可靠。一般来说，X的动力学定律更难建立，因为它对概率分布的变化不具有鲁棒性，从下面的例子可以看出。例4.1设X为维纳过程。这个过程可以用路径绝对连续过程Xε（t）来近似，因此，它在统计上与X不可区分，但具有非常不同的动态s定律，没有It^o’s过程的惊人特征。如果X（t）的动力学由一个特定的方程（如It^o方程）描述，那么方程的参数将确定结果的条件期望，但不必直接使用。在假设X（t）的动力学定律已知的情况下，有可能使用所谓的路径最优控制来估计J。在本节结束之前，我们假设{Ft}是维纳过程W（t）取Rn中的值产生的过滤。我们假设X（t）是一个适用于Ft的RCLL随机过程。考虑一个线性赋范空间\'X=L（[0，t]；L）(Ohm, FT，P；Rn））。设X为闭子空间，作为从X开始的关于{Ft}过程的所有渐进可测集合的闭包。为了你∈ Γ，让U（t，y）\'X是一组过程u（s）=（u（t）。。。，n（t））：[t，t]×Ohm → K可测量所有t，并且y+RTtu（s）ds∈ Γa.s.假设我们得到y∈ Rm。

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2022-5-11 02:17:01

让我们考虑一个最优控制问题，使EF（u，0）在u上最大化∈ U（y，0）。（4.1）设y（0）u=u，yku（t）=Rty（k）-1） u（s）ds，k=1，2，3。。。，式中，yu（t）=Rtu（s）ds。考虑一个线性赋范空间V=L（[0，T]；L）(Ohm, FT，P；Rn×n）。设V是从V开始的关于{Ft}过程的所有渐进可测集的闭包。引理4.1让我们∈\'U（0，y）。以下陈述是等效的：（i）u∈ U（0，y）。（ii）存在k>1使得y（k）u∈ 十、（iii）对于任何k≥ 0，y（k）u∈ 十、（iv）对于任何k≥ 0和任何v∈ V，EZTu（t）y（k）u（t）dt=EZTu（k）（t）u（t）dt=0。这里M（t）=Rtv（s）dW（s），u（t）=M（t）- M（t），u（0）=u，u（k）（t）=-RTtu（k）-1）（s）ds，k=1，2，3。。。。让k∈ {0, 1, 2, ..} 被选中。为了v∈ 设M（t）=Rtv（s）dW（s）。显然，M（T）∈ L(Ohm, FT，P）和M（t）=EtM（t）。设置u（t）=M（t）- M（t）。为了你∈\'U（0，y），v∈ V和u（k）=u（k）（·，V）如上定义，引入拉格朗日（u，V）=F（u，0）+EZTu（k）（t）u（t）dt。以下定理类似于Dokuchaev（2015a）的定理5.1。Bender和Dokuchaev（2016b）的定理5.1给出了一个相关结果。定理4.1supu∈U（0，y）EF（U，0）=supu∈\'U（0，y）infv∈VL（u，v）=infv∈Vsupu∈\'U（0，y）L（U，v）。（4.2）可以注意到，定理4.1没有证明鞍点的存在。然而，它可以用来估计supu的值∈使用u（k）的蒙特卡罗模拟和问题supu的路径解得出UEF（u，0）∈UL（u，v）遵循Dav-isand Burstein（1992年）、Rogers（2007年）、Andersen and Broadie（2004年）、Haugh and Kogan（2004年）、Bender（2011年）、Brown等人（2010年）、Bender和Dokuchaev（2016a，b）中制定的方法精神；在预测控制类中使用路径优化可以找到这个上限∈“‘U’不需要调整。

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2022-5-11 02:17:04

这种方法的一个优点是，它只寻求从特定y（0）开始的解，而上述HJB方法需要从所有起点计算解。这里提到的论文建议在一组被认为是拉格朗日独立变量的马氏体上运行蒙特卡罗。在定理4.1中，这意味着在集合v上最大化∈ 五、不幸的是，这一套太过宽泛了。另一方面，在一些已知的经验解的情况下，最优鞅对潜在的随机过程和最优值函数有着非常特殊的依赖性。例如，对于Bender和Dokuchaev（2016b）中考虑的一个相关问题，相应的最优鞅被发现为u（t）=DyJ（t，Y（t）），其中Y（t）是非最优状态过程J（t，Y）是最优值函数f，或者满足一阶BSPDE的问题是HJB方程的类似物（Bender和Dokuchaev（2016b）中的定理5.1）。这表明，一系列随机生成的m artin鞅在合理的时间内可能不会与最优鞅接近。定理4.1允许通过模拟更特殊的过程u（k）（t）来代替鞅的模拟- 1时间路径可微，具有绝对连续导数dk-1u（k）（t）/dtk-1.在离散化之后，这些过程可以表示为k阶误差范围减小的过程。这有助于减少计算时间。Davis和Burstein（1992）、Rogers（2002）、Andersen和Broadie（2004）、Haugh和Kogan（2004）、Bender（2011b）、Brown等人（2010）、Bender和Dokuchaev（2016a，b）研究了k=0对应鞅对偶的情况。5引理2.1的证明。对于g6=0的情况，证明遵循二次型的标准性质。

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2022-5-11 02:17:07

G=0的证明重复了Bender和Dokuchaev（2016a）的p roof。引理2.2的证明。为了证明陈述（i），必须观察| u（t）X（t）|≤ L | X（t）|如果G=0，那么对于g6=0，最优u不能太大。声明（ii）来源于J的定义和U的事实（t，by） U（t，y）。让我们来证明陈述（三）。设yj<byj，y=（y，…，yn）, by=（y，…yj）-1，裴勇俊，yj+1。。。，（伊恩）. 显然，J（t，by）≤ J（t，y）a.s.对于任何t.补充，J（t，y）≤ J（t，by）+ess supv∈U（t，y）：RTtv（s）ds-（作者-y）∈ΓEtZTt|X（s）v（s）|ds≤ J（t，by）+const·Etess sups∈[t，t]| X（s）|（裴勇俊）- yj）a.s。。这就完成了引理2.2的证明。引理2.3的证明。可以证明[J（y，t）+J（y，t）]≤ 我们有[J（y，t）+J（y，t）]=supu∈U（t，y）F（X，U，t）+supu∈U（t，y）F（X，U，t）=supu∈U（t，y），U∈U（t，y）[F（X，U，t）+F（X，U，t）]≤ 苏普∈U（t，y），U∈U（t，y）F（X，（U+U）/2，t）≤ 苏普∈U（t，（y+y）/2）F（X，U，t）=J（（y+y）/2，t）a.s.这就完成了引理2.3的证明。本节的剩余部分将用于证明定理3.1.5.1关于y的一些初步结果∈ Γ，t∈ [0，T]，θ∈ （t，t），设U（t，θ，y）为过程的集合U（s）=（U（s）。。。，n（s））：[t，θ]×Ohm → K适应于Fsand，使得y+Rθtu（s）ds∈ Γa.s。。引理5.1[动态规划原理]∈ [0,1]和任何时间θ∈ （t，t），J（t，y）=supu∈U（t，θ，y）EtZθtf（X（s），u（s），t）ds+J（y+νu，θ）.证据必须证明j（t，y）≤ 苏普∈U（t，θ，y）EtZθtf（X（s），u（s），s）ds+J（y+νu，θ）,你在哪里=Rθtu（s）ds。我们有j（t，y）≤ 苏普∈U（t，y）EtZθtf（X（s），u（s），s）ds+ZTθf（X（s），u（s），s）ds= 苏普∈U（t，θ，y）supv∈U（θ，T，y+νU）EtZθtf（X（s），u（s），s）ds+EθZTθf（X（s），v（s），s）ds= 苏普∈U（t，y）EtZθtf（X（s），U（s），s）ds+supv∈U（θ，T，y+νU）EθZTθf（X（s），v（s），s）ds！。这就完成了证明。

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2022-5-11 02:17:11

设tk=kT/N，N∈ {1, 2, ...}, k=0，1，2。。。，N.让UN（s，y）成为所有可接受文件的集合∈ U（s，N）使得U（t）≡ u（tk），t∈ [tk，tk+1），tk=kT/（N）- 1），k=0，1。。。，N- 1.乐视网（t，y）=内华达州∈ L(Ohm, Ftk，P，Rm），其中tk=max{tm:tm≤ t} ，使v∈ K a.e.，y+（tk+1- t）五∈ Γa.s.o引理5.2假设X（t）=X（tk）表示t∈ [tk，tk+1），k=0，1，…，N- 1.那么，对于任何（s，y），在U（t，y）过程U中都存在最优解∈ 联合国（s，y）。此外，J（t，y）=ess supv∈V（t，y）h（tk+1- t） [X（tk）五、- 五、Gv]+EtJ（tk+1，y+（tk+1- t） v）i（5.1）代表t∈ [tk，tk+1]对应的v∈ V（t，y）对所有（t，y）都存在。引理5.2的证明。给k，t∈ [tk，tk+1]代表美国∈ U（t，tk，y），设νU=Rtk+1tu（s）ds，\'νU=EtνU，eνU=\'νU/（tk+1）- t）。我们有j（t，y）=supu∈U（t，tk，y）EtZtk+1tf（X（s），u（s），s）ds+J（tk，y+νu）= 苏普∈U（t，tk，y）X（tk）νu- EtZtk+1tu（s）古（s）ds+EtJ（tk+1，y+νu）.（5.2）通过J（t，y）在y中的凹度，可以得出EtJ（tk+1，y+νu）≤ EtJ（tk+1，y+？/u）。根据f（x，u，s）在u中的共度，它遵循j（t，y）=supu∈U（t，tk，y）hX（tk）ν - （tk+1）- t） ε显然，任何Ftk可测量的单位∈[t，tk+1]对于（5.2）if（tk+1）是最佳的- t） v=νu=°νufor vbeing optimal for（5.1）。这就完成了引理5.2的证明。5.2分段常数XProposition的情况5.1假设X（t）=X（tk）表示t∈ [tk，tk+1）（即引理5.2的假设成立）。然后定理3.1成立。证明。

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kedemingshi

2022-5-11 02:17:14

对于k=N- 1，N- 2.1,0，letVk={v∈ L∞（[tk，tk+1]，Rn）：v（t）∈ K} ，让函数Jk:[tk，tk+1]×Γ×Ohm → 因此，R被定义为确定（在给定Ftk的条件概率空间上）控制问题的值函数最大化EBJK+1（τx，sk，yx，s（τx，sk））+Zτx，sksf（x（t），v（t），t）dt除以v∈ Vk，受制于，sdt（t）=v（t），yx，s（s）=x，τx，sk=tk+1∧ inf{t>s:yx，s（t）/∈ Γ}.（5.3）HerebJk（t，y）= EtJk（t，y）。我们假设th atbJN（T，y）≡ 换句话说，Jk（y，s）=supv∈VkbJk+1（τx，sk，yx，s（τx，sk））+Zτx，sksf（x（t），v（t），t）dt！。假设X是分段常数，我们得到了th atFt=Ftk，t∈ [tk，tk+1）。（5.4）因此，Jk（t，·）对于t是可测量的∈ [tk，tk+1]。在给定Ftk的条件概率空间上，可以认为Jk（t，x）的值对于t是确定的∈ [tk，tk+1]。此外，我们还发现，每个jk都是问题maximizebjk+1（tk+1，yx，s（tk+1））+Ztk+1sf（X（t），v（t），t）dt除以v的值函数∈英国（s，x），受制于x，sdt（t）=v（t），yx，s（s）=x。这里是x∈ Γ，s∈ [tk，tk+1），bJk+1（t，y）=EtkJk+1（t，y），\'Uk（s，x）={v∈ L∞（[tk，tk+1]，Rn）：v（t）∈ K、 x+Ztk+1sv（r）dr∈ Γ}.通过引理5.1，我们得到，因此对于k=N- 1，N- 2.1,0，thatJ（t，y）=Jk（t，y），t∈ [tk，tk+1）。（5.5）以下证明适用于n=m，Xk（t）的特殊情况≥ 0，G6=0或K=Rn。让我们证明J=JK是边值问题的唯一粘性解Jt（t，y）+supv∈K（f（y，v，t）+vD+yJ（t，y）），t∈ [tk，tk+1]，y∈ Γ，J（tk+1，y）=bJk+1（tk+1，y），J（tk+1，y）|y∈Γ= 0.（5.6）本声明可能源于已知的具有一阶HJB方程的确定性受控方程理论。为此，我们需要HJBequations（5.6）的解的存在性，以及将它们与控制问题联系起来的验证定理。

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2022-5-11 02:17:17

到目前为止，我们无法确定一个覆盖我们案件的结果；最接近e的是Garavello（2003）的定理5.2；不幸的是，这个定理中的条件（iv）在我们的例子中并不成立。其他现有文献包括无边界域或有界域的d域；参见《狮子》（1982）。现有的一阶HJB方程可解性结果需要附加条件，如C-光滑边界函数；例如，见Bressan和Flores（1994年）、Crandall（1983年）、Dacorogna和Marcellini（1998年）。为了克服这些困难，我们直接使用特殊设置施加的特性，推导出了J=jk的下式（5.6）。设为（t，θ）=y+v（θ）- t），t∈ [tk，tk+1），θ∈ [t，tk+1），对于（5.1）中的最优v。显然，策略u（s）=v是问题（2.3）的最优解的[tk，tk+1]上的部分，t=tk。分别，过程（u（s），y（s））=（v，by（t，s））是问题（2.3）的最优过程的[tk，tk+1]上的部分。因此，v∈ V（t，y）是（5.1）的最佳点当且仅当，对于任何θ∈ [t，tk+1），这是p问题j（t，y）=ess supv的一个最大点∈V（t，y）h（θ）- t） [v]X（tk）- 五、Gv]+EtJ（θ，by（t，θ））i.（5.7）引理5.3假设t的X（t）=X（tk）∈ [tk，tk+1），k=0，1，…，N- 1.假设g6=0，K=Rn。那么下面的说法成立了。（i）（5.7）的唯一最佳点是v=G-1[X（tk）+D+yJ（θ，by（t，θ））]。（ii）对于任何t∈ [tk，tk+1），θ∈ [t，tk+1），J（t，y）=（θ）- t） [v]X（tk）- 五、Gv]+J（θ，y+v（θ）- t））=（θ- t） [v]X（tk）- 五、Gv]+J（θ，by（t，θ））。（5.8）（iii）对于t∈ [tk，tk+1），J（t，y）=Ztk+1tX（s）+D+yJ（s，y）G-1.X（s）+D+yJ（s，y）ds+bJk+1（tk+1，y）。（5.9）引理的证明5.3。陈述（i）-（ii）紧跟在（5.8）和v的最优性之后。

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2022-5-11 02:17:21

让我们展示一下atJ（t，y）=vZtk+1t十(s)- Gv+D+yJ（南、西）ds+bJk+1（tk+1，y）。（5.10）到（5.8），我们得到了dtj（t，y）=-X（tk）v+vGv公司- D+yJ（θ，y+v（θ）- t） )v=-X（tk）v+vGv- D+yJ（θ，by（t，θ））v、由此得出D+yJ（θ，by（t，θ））v=D+yJ（θ，by（t，θ））v表示任意θ，θ∈ [tk，tk+1]。如果我们假设D+yJ有一些额外的规律性，我们就得到了D+yJ（t，y）v=D+yJ（θ，by（t，θ））因此，DtJ（t，y）=-五、（X（t）+D+yJ（t，y））+vGv=-X（t）+D+yJ（t，y）G-1.X（t）+D+yJ（t，y）.这给出了（5.9）。没有这些额外的规律性假设，我们证明（5.9）如下。我们观察到j（t，y）=vZtk+1t十(s)- Gv+D+yJ（tk+1，由（s，tk+1））ds+bJk+1（tk+1，y）=vZtk+1t十(s)- Gv+D+yJ（s+ε，by（s，s+ε））任意ε的ds+bJk+1（tk+1，y）∈ （0，tk+1）- tk）。HenceJk（t，y）=Ztk+1tX（s）+D+yJ（s，y）G-1.X（s）+D+yJ（s，y）ds+bJk+1（tk+1，y）+ξε（t，y），其中ξε（t，y）=Ztk+1tX（s）+D+yJ（s+ε，by（s，s+ε））G-1.X（s）+D+yJ（s+ε，by（s，s+ε））-X（s）+D+yJ（s，y）G-1.X（s）+D+yJ（s，y）ds。对于任意选择的η∈ L∞（0，1），设γε（t）=Rξε（t，y）η（y）dy。根据L-uzin定理，我们有γε（t）→ 0为ε→ 因此（5.10）成立。用最优v代换得到所需的公式。这就完成了引理5.3的证明。.LetbDyiJ（t，y）=h∈ [D+yiJ（t，y），D-yiJ（t，y）]使得| h+Xi（t）|=明∈[D+yiJ（t，y），D-yiJ（t，y）|g+Xi（t）|。显然，这个定义中的h是不独立的。引理5.4假设t的X（t）=X（tk）∈ [tk，tk+1），k=0，1，…，N- 1.假设k=[0，L]和G=0。

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2022-5-11 02:17:24

让我们∈ [tk，tk+1）和y∈ Γ被给予，让v∈ V（t，y）是（5.1）中的最优点，因此是（5.7）f中的最优点或所有θ∈ [t，tk+1]），其中by（t，θ）=y+v（θ）- t），t∈ [tk，tk+1），θ∈ [t，tk+1）。然后，在引理5.2的假设下，以下公式成立。（i）J（t，y）=vX（tk）（θ）- t） +J（θ，由（t，θ））表示t∈ [tk，tk+1）和θ∈ [t，tk+1）。（ii）如果vi=0，那么Xi（tk）+D+yiJ（θ，by（t，θ））≤ 如果vi=L，那么Xi（tk）+D+yiJ（θ，by（t，θ））≥ 0.（iii）如果vi∈ （0，L）然后Xi（tk）+bDyiJ（θ，y（t，θ））=0。（iv）对于t∈ [tk，tk+1），J（t，y）=nXi=1LZtk+1tXi（s）+bDyiJ（s，y）+ds+bJk+1（tk+1，y）。（5.11）Le mma 5.4的证明。声明（i）紧跟在（5.7）之后，适用于最优性V。报表（二）如下（一）。考虑在给定Ftk的条件概率空间上进行优化。让我们回顾一下声明（三）。如果vi∈ （0，L）对于（5.7）是最优的，那么它对于由任何θ代替的k+1是最优的∈ （tk，tk+1），然后是0∈ [Xi（tk）+D+yiJ（t，by（t，θ）），Xi（tk）+D-yiJ（t，by（t，θ））]。HenceXi（tk）+bDyiJ（t，by（t，θ））=0。（5.12）让我们证明陈述（iv）。根据Bd的定义和J in yi的凹度，我们得出以下结论：如果Xi（t）+D+yiJ（t，by（t，θ））≥ 0，那么Xi（t）+bDyiJ（t，by（t，θ））≥ 如果Xi（t）+D+yiJ（t，by（t，θ））<0，那么（Xi（t）+D+yiJ（t，by（t，by（t，θ））+=（Xi（t）+bDyiJ（t，by（t，θ）））+=0。对于陈述（ii）-（iii）中列出的所有情况，我们有vi（Xi（t）+D+yiJ（t，by（t，θ））=L（Xi（t）+D+yiJ（t，by（t，θ））+。因此，对于陈述（ii）-（iii）中列出的所有情况，我们有vi（Xi（t）+D+yiJ（t，by（t，θ））=L（Xi（t）+D+yiJ（t，by（t，θ））+=vi（Xi（t）+bDyiJ（t，by（t，θ））=L（Xi（t）+bDyiJ（t，by（t，by（t，θ））+。通过陈述（i），我们得到了dtj（t，y）=-X（tk）五、- D+yiJ（θ，by（t，θ））v、由此得出D+yJ（θ，by（t，θ））v=D+yJ（θ，by（t，θ））v表示任意θ，θ∈ [tk，tk+1]。

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2022-5-11 02:17:27

D+yJ的一些额外规律给出了D+yJ（t，y）v=D+yJ（θ，by（t，θ））因此，DtJ（t，y）=-五、（X（t）+D+yJ（t，y））。没有这些额外的规律性假设，我们证明（5.11）如下。我们观察到j（t，y）=vZtk+1tX（s）+D+yJ（tk+1，by（s，tk+1））ds+bJk+1（tk+1，y）=nXi=1LZtk+1tXi（s）+D+yiJ（s+ε，by（s，s+ε））+ds+bJk+1（tk+1，y），对于任何ε∈ （0，tk+1）- tk）。HenceJk（t，y）=nXi=1LZtk+1tXi（s）+D+yiJ（s，y）+ds+bJk+1（tk+1，y）+ξε（t，y），其中ξε（t，y）=nXi=1LZtk+1tXi（s）+D+yiJ（s+ε，by（s，s+ε））+-Xi（s）+D+yiJ（s，y）+ds。对于任意选择的η∈ L∞（0，1），设γε（t）=Rξε（t，y）η（y）dy。根据L-uzin定理，我们有γε（t）→ 0为ε→ 因此（5.11）成立。这就完成了引理5.4的证明。.我们现在可以证明命题5.1。通过（5.6），我们得到了jk（t，y）=bJk+1（tk+1，y）+Ztk+1tsupv∈K[f（X（s），v，s）+vD+yJk（s，y）]ds，t∈ [tk，tk+1]，y∈ Γ，Jk（tk+1，y）|y∈Γ= 0.（5.13）这可以重写为jk（t，y）=EbJk+1（tk+1，y）+Ztk+1tsupv∈K[f（X（s），v，s）+vD+yJk（s，y）]dsFtk,T∈ [tk，tk+1]，y∈ Γ，Jk（tk+1，y）|y∈Γ= 0.（5.14）根据（5.5），（3.1）对J成立。这就完成了命题5.1的证明。.命题5.2，对于N=1，2。。。，考虑定义为asXN（t）=tk+1的分段常数过程- tkEtkZtk+1tkX（s）ds，t∈ [tk，tk+1），tk=T（k- 1） /（N）- 1），k=0，1，2。。。，N.设jn为X的相应函数J，用XN代替。ThenEZT | XN（t）- X（t）| dt→ 0作为N→ +∞,（5.15）JN（y，t）≤ J（y，t）a.s.f或所有t，JN→ J a.e.as N→ +∞,（5.16）D+yJN→ D+yJ a.e.作为N→ +∞.（5.17）证据。（5.15）中的限制来自于[0，T]×上应用于平均的条件期望的性质Ohm; 参见《束缚》（1977）。让我们证明一下（5.16）。

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2022-5-11 02:17:31

如果G=0，则它立即从定义开始，即∈U（t，y）EtF（XN，U，t）=ess supu∈UN（t，y）EtF（XN，u，t）=ess supu∈联合国（t，y）EtF（X，u，t）→ 苏普女士∈U（t，y）EtF（X，U，t）作为N→ +∞ a、不管怎样。（5.18）如果G6=0，则必须观察该ETZTTU（s）XN（s）ds=EtZTt¨u（s）XN（s）dsand-中兴图(s)顾(s)ds≤ -中兴通讯(s)G’uN（s）ds a.s代表所有t，其中‘uN（t）=tk+1- tkEtkZtk+1tku（s）ds，s∈ [tk，tk+1）。让我们证明（5.17）。我们将使用下面的引理。引理5.5表示α∈ R和β∈ (α, +∞), 设f:[α，β]→ R和fN:[α，β]→ R可以是有界的、凹的、一致的Lipschitz函数，使得fN（s）→ f（s）as N→ +∞, 新界北（s）≤ f（s）代表所有s∈ [α, β]. 然后D+fN（s）→ D+f（s）代表a.e.s.作为N→ +∞.引理5.5的证明。对于s∈ （α，β）和h>0，使得s+h∈ （α，β），letb（2）高频=f（s+h）- f（s）- D+f（x）h.根据卡丘罗夫斯基定理，我们得到了b（2）高频≤ 0和b（2） hfN≤ 0代表所有h和N。让gN= F- fN。我们有f=fN+gNandb（2） hf=b（2） hfN+b（2） hgN。因此|（b）（2） hgN）-| ≤ |B（2） hf |适用于所有∈ （α，β），h，N，（5.19），其中（x）-= 最小值（x，0）。假设引理的陈述是不正确的。在这种情况下，存在一个区间（\'α，\'β） [α，β]，\'α<\'β，以及一个映射r:（\'α，\'β）→ (0, +∞) 使得r（s）>0和| D+gN（s）|≥r（s）代表所有s∈ (α,β). 显然，D+gN→ 0在L（‘α，’β）中弱地表示为N→ +∞. 因此，uN→ 0作为k→ +∞, 在哪里= 最大{124;β- α|; α ≤ α< β≤β，符号D+gN（s）=常数，s∈ (α, β)}.这种不断增加的gNimplies振荡（5.19）并不成立。这意味着（5.17），并完成了引理5.5的证明。对于任何给定的y=（y，…，yn）和任何j∈ 对于给定的（y，…，yj），路径f（yj）=J（y，t）和fN（yj）=JN（y，t）满足引理5.5的假设-1，yj+1。。。，yj的∈ [α，β]和一个区间[α，β]如y=（y，…，yj）-1，yj，yj+1。。。，（伊恩）∈ Γ. 这是命题5.2的完整证明。

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2022-5-11 02:17:34

我们现在可以完成定理3.1的证明了。定理3.1的证明。设XN=（XN1，…，XNn）而jn应该如命题5所述。2.从现在开始，我们将考虑子序列N=Nk，k=1，2。。。，这样XN→ Xa。E可以注意到，对于任何y，都有一个可积过程ξ（t，ω），使得| XN（t）|+| DyJN（t，y）|≤ ξ（t，ω）。假设K=[0，L]n，n=m，f（t，x，u）=uX.到（5.17），我们有t<t和a。e、 y∈ ΓthatEtZTtnXi=1（XNi（s）+D+yiJN（s，y））+！ds→ EtZTtnXi=1（Xi（s）+D+yiJ（s，y））+！dsa。e、作为N→ +∞.通过（5.16），我们得到了这种情况下的定理陈述。对于g6=0的情况，证明是相似的。引理4.1的证明很简单，这里将省略d。它基于这样一个事实：根据鞅表示定理u（t）=RTtbu（s）dw（s），对于某些bu∈ 五、定理4.1的证明。第一个等式来自引理4.1。此外，我们还发现L（u，v）在u中是凹的∈ v中的U和a∈ 五、此外，L（u，v）是连续的∈ L（[0，T]×Ohm) 给定v∈ V，L（u，V）在V中是连续的∈ V给你∈ U.该定理的陈述遵循Ekland and Temam（1999）第六章中的命题2.3。陈述（ii）遵循Ekland and Temam（1999）第六章中的命题（i）和命题1.2。6讨论与未来发展本论文在不明确基本输入过程演化规律的情况下，考虑了环境中的随机控制问题。导出了HJBE方程的一阶BSPDEs表示式；它们代表了inBender和Dokuchaev（2016a，b）最初提出的概念的进一步发展。

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2022-5-11 02:17:37

本文将这种方法推广到多维状态空间，并给出了不同的证明，证明了这些方程解的存在性，以及基本控制问题的值函数满足这些方程的事实。似乎这种类型的第一个ord er BSPDE可以应用于许多其他问题。例如，考虑以下等式v（t，y，z）=Eξ（y，z）+LZTt（X（s）v′z（s，y，z）+v′y（s，y，z））+ds英尺, T∈ [0，T]。（6.1）根据我们的初步分析，这个新方程可以用于各种数学金融问题。首先，可以根据成交量加权平均价格（VWAP）对亚洲期权进行定价，非恒定和随机权重W（t）由持有人的消费率C（t）确定。相应的定价公式要求计算ERTW（t）X（t）dt- K+,其中w（t）=C（t）ZTC（s）ds-1，对于给定的随机过程C（t）≥ 0和X（t），这里X（t）是基础价格过程。对于（C，X）的典型分布类来说，这个定价问题相当麻烦。此外，很难证明关于C演化的特定假设是正确的。为了克服这一点，Dokuchaev（2013）建议将价格计算为supC（·E）RTW（t）X（t）dt- K+. 这就引出了最优控制问题ZTtW（s）X（s）ds- K+在C（·）上，其中W（t）=C（t）ZTtC（s）ds-1,C(s)∈ [0，L]。我们的猜想是，价格过程满足方程（6.1），边界条件为v（t，1，z）=0，v（t，y，z）=ξ（y，z）=（z/y）-K） +。相应的状态过程是y（t）=y+RtsC（q）dq和z（t）=z+RtsX（q）c（q）dq。此外，方程（6.1）的应用示例可以在投资组合选择问题中找到。考虑一个可以被称为股票投资组合的最优逐步清算问题。

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2022-5-11 02:17:40

让我们考虑一个单一风险股票价格为X（t）的市场，以及利率为零的阿里斯克自由债券或货币账户。设γ（t）为投资组合中的野兔数量。我们寻找一个过程γ（t），使得γ（0）=1，γ（t）=0，dγdt（t）∈ [-五十、 0]。最后一个条件意味着清算是渐进的，投资组合的变动率有限。例如，出于税收考虑，这可能是合理的。此外，我们希望从交易中获得一些额外的好处。这可以用以下最优控制问题来表示：ZTγ（t）dX（t）在γ（·）上，其中U是给定的单调非减损效用函数。我们的猜想是，这个问题的最佳值由方程（6.1）确定，边界条件为sv（t，1，z）=0，v（t，y，z）=ξ（y，z）=U（z）- X（0））。非线性方程（3.1）和（6.1）由优化问题引起，代表了Hamilton-Jacobi-Bellman方程的版本。还可以给出非平凡线性一阶BSDPESC的例子。特别是，对于具有恒定权重的经典亚式期权，方程（6.1）必须替换为一维空间域中的线性版本。例如，我们推测价格为RX（t）dt- K+对于给定的随机过程X（t），一个非常普遍的过程是v（0，0），其中v满足以下线性一阶方程v（t，z）=E（z）- K） ++ZtX（s）v′z（s，z）ds英尺, T∈ [0, 1].（6.2）这是将这一理论推广到相当普遍的模型上的一种方法。例如，一个可能的扩展适用于RTTU（s）ds上的约束被具有输入的更一般方程的解的约束所取代的情况。我们将其留给未来的研究。确认这项工作得到了澳大利亚ARC授予作者的DP120100928的支持。参考文献[1]E.Al\'os，J.A.Le\'on，D.Nualart。(1999).

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