中的长期债券、长期远期测度和长期因子分解

2022-5-25 17:45:55

Heath-Jarrow-Morton模型中的长期债券、长期远期计量和长期因子分解*和Vadim Linetsky+西北大学工业工程与管理科学系McCormick工程与应用科学学院摘要本文证明了长期债券的存在，Filipovi\'c（2001）函数空间框架中Heath Jarrow Morton（HJM）模型中Alvar ez和Jermann（2005）以及Hansen和Scheinkman（2009）的随机贴现因子（SDF）的长期远期测度和长期因子分解。给出了远期利率波动率曲线希尔伯特空间中权重的有效条件，以确保长期债券波动过程、长期债券过程和SDF的长期因子分解以长期债券收益率贴现，以及*likuanqin2012@u.northwestern.edu+linetsky@iems.northwestern.edua鞅分量定义了长期向前测度，即T-向前测度的长期极限。1简介随机贴现因子（SDF）将当前价格分配给备选投资期的风险未来收益。它通过同时贴现未来和调整风险来实现这一点。SDF的一个常见表示是将因子分解为短期无风险利率下的因子贴现和调整风险的鞅分量。该鞅实现了从数据生成（物理）度量到风险中性度量Q的概率变化。最近，Alvarez和Jermann（2005）、Hansen等人（2008）、Hansen和Scheinkman（2009）、Hansen（2012）以及Qin和Linetsky（2017）研究了SDF的替代长期因子分解。

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2022-5-25 17:45:58

长期因子分解分解了无套利资产定价模型ST=e中的定价核（PK）过程-λtπtM∞按长期贴现率λ（长期债券的收益率，一种到期时间较长的零息票债券），一个描述长期债券净长期贴现率的总持有期回报的过程πt，以及一个正鞅M∞t确定长期前瞻性措施L.过程B∞t=eλtπt从时间零点到时间t追踪长期债券的总收益。然后，从时间t+τ到时间t的S DF取形式St+τSt=R∞t、 t+τM∞t+τM∞t、其中∞t、 t+τ=B∞tB∞t+τ=e-λτπtπt+τ是指在t和t+τ之间以持有长期债券获得的回报率进行贴现的贴现系数，以及系数M∞t+τ/米∞十码风险调整。Alvarez和Jermann（2005）最初在离散时间遍历经济中引入了长期因子分解。Hansen和Scheinkman（2009）介绍并研究了连续时间马尔可夫经济中的长期因式分解，并将其表示为定价算子的Perron-Frobenius主特征函数。最近，Qin和Linetsky（2017）将长期因子分解扩展到一般半鞅经济体。他们的长期冰特征化鞅方法不需要马尔可夫规范，而是基于一个限制程序，构建由鞅M定义的长期向前测量∞tas随着到期日的增加，T-到期日远期限额衡量数学金融中熟悉的数量（Jarrow（1987）、Jamshidian（1989）、Geman等人（1995））。

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2022-5-25 17:46:01

长期贴现率λ和过程π与Hansen和Scheinkman（2009）的Perron-Frobenius特征值和特征函数相对应，因为在马尔可夫经济体中，过程πT导致马尔可夫态函数π（Xt），其中π（x）是具有特征值e的定价算子的Perron-Frobeniuseigenfunction-Hansen和Scheinkman（2009）中的λtas（参见Qin和Linetsky（2016）了解马尔可夫模型的更多详细信息）。SDF的长期因式分解可方便地应用于长寿命资产的定价以及风险回报交易基金期限结构的理论和实证研究。除上述参考文献外，关于长期因子分解及其应用的不断增长的文献包括Hansen和Scheinkman（2012）、Hansen和Scheinkman（2017）、Boroviˇcka et al.（2016）、Boroviˇcka et al.（2011）、Boroviˇcka和Hansen（2016）、Bakshi和Chabi Yo（2012）、Bakshi et al.（2015）、Christensen（2017）、Christensen（2016）、Qin和Linetsky（2016）、Qin et al.（2016），Backus等人（2015）、Filipovi\'c等人（2017）、Filipovi\'c等人（2016）、Lustig等人（2016）。本文的实证研究表明，鞅M∞它具有很高的挥发性和经济重要性。Bakshi和Chabi-Yo（2012）提供了鞅分量波动性的理论和经验边界。Christensen（2017）估计了与宏观经济基本面相关的结构性资产定价模型中的长期因素分解。Qin等人（2016）在动态期限结构模型（DTSM）中估计了长期因素分解，并展示了长期因素分解中的鞅成分如何控制债券市场风险回报交易的期限结构。

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nandehutu2022

2022-5-25 17:46:04

特别是，他们直接估计了马丁格尔M的波动率∞在一个参数DTSM中，我们展示了这个鞅如何引起债券夏普比率的向下倾斜的期限结构。L ustig等人（2016年）将长期因素分解应用于外汇市场研究。虽然Qin和Linetsky（2017）提供了一般半鞅模型中长期因子分解存在的理论基础和抽象有效条件，但没有马尔可夫假设，迄今为止，文献中只研究了马尔可夫模型规范。本文的目的是构造Heath-Jarrowmoton期限结构模型的长期因子分解，从而说明长期因子分解在非马尔可夫模型中的作用。我们采用菲利波维奇（2001）、卡莫纳（Carmona）和特兰奇（Tehranchi）（2007）以及比约克（Bjork）的观点，并将正向曲线视为适当特定函数空间的元素。特别是，我们遵循菲利波维奇（2001）的规定。在第2节中，在回顾了菲利波维奇（2001）设定的HJM模型框架后，我们给出了远期利率波动的共有性的充分条件，从而确保HJM模型中存在长期债券过程、长期远期测度和长期因子分解。从利率建模的角度来看，这种有效条件是很自然的，并且会产生长期债券的波动过程。定理2总结了我们的理论结果，构成了本文的主要结果。附录中给出了证明。

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何人来此

2022-5-25 17:46:08

在第3节中，我们以高斯HJM模型（通常为n个马尔可夫模型）为例说明了我们的结果，在这些模型中，我们的假设及其含义可以以一种简洁的方式看到。与Hansen和Scheinkman（2009）的原始理论相比，本文中长期因子分解的显式构造提供了长期因子分解如何产生的另一种机制。他们最初的长期因子分解公式是基于马尔可夫过程理论，有效条件依赖于遍历性假设，这些假设提供了与长期行为密切相关的pr icing半群的主特征值和IGenfunction。Qin和Linetsky（2017）给出了一般半鞅模型中长期极限存在的一般充分条件，并说明了当信息过滤是马尔可夫过程且定价核是生成过滤的马尔可夫过程的乘法函数时，Hansen Scheinkman的结果是如何产生的。与这些参考文献相比，本文中的显式结构通过对远期曲线波动性的渐近行为施加条件，阐明了非马尔可夫HJM模型中长期因子分解产生的机制。该条件是完全明确的，证明表明在此条件下，HJM模型验证了Qin和Linetsky（2017）在一般半鞅模型中的抽象充分条件。此外，我们的高斯例子显示了在具有常数参数的高斯模型的特殊情况下，如何从关于前向曲线波动率渐近行为的假设中恢复长期因子分解的Hansen-Scheinkman主特征函数构造。对于美国国债数据的长期因子分解的实证分析，我们参考了Qin等人。

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可人4

2022-5-25 17:46:11

（2016年）。2 Heath-Jarrow-Morton模型中的长期因子分解经典Heath et al.（1992）框架假设零息票债券过程{（PTt）t∈[0，T]，T≥ 0}在成熟度p参数T上是非常平滑的，因此存在一系列等价的远期利率过程{（f（T，T））T∈[0，T]，T≥ 0}使得PTt=e-RTtf（t，s）ds，对于每个到期日t，远期利率假设在n维布朗运动驱动的时间间隔[0，t]上遵循It^o过程。解释JM模型的另一种观点是，将FTA视为一个在定义良好的正向曲线的适当功能空间中取值的快速过程。为此，Musiela（1993）的正向曲线参数化ft（x）：=f（t，t+x）很方便。这里x表示到期的剩余时间，所以t+x是到期日。这一观点还允许波动率函数依赖于整体前进曲线。在这种方法中，我们使用p进程（ft）t≥0在R+（状态fti是成熟时间x的函数，ft（x），x∈ R+。在函数空间中取值的随机过程的数学基础可以在inPrato和Zabczyk（2014）中找到，这种观点在利率建模中的发展可以在Bj¨ork和Christensen（1999）、Bj¨ork和Gomb an i（1999）、Bj¨ork和Svensson（2001）、Carmona和Tehranchi（2007）以及Filipovi（2001）中找到。在本文中，我们遵循菲利波维奇（2001）的处理方法。HJM正向曲线动力学读数为：dft=（dft+ut）dt+σt·dWPt。（1）有限维标准布朗运动WP={（WP，jt）t≥0，j=1，2，…}是一系列独立的标准布朗运动，适用于基础参考过滤（Ft）t≥概率空间上的0(Ohm, F，P）。此处σt·dWPt=Pj∈NσjtdWP，jt。

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2022-5-25 17:46:14

只需设置σjt，即可产生有限维情况≡ 0表示所有j>n表示部分n。前向曲线（ft）t≥0是一个在希尔伯特空间hw中取值的过程，我们将很快定义它。漂移ut=u（t，ω，ft）和波动率σjt=σj（t，ω，ft）在相同的希尔伯特空间h中取值，并取决于ω和ft（注意w和ω的差异；前者是希尔伯特空间定义中的权重函数，而后者是样本空间的一个元素Ohm). 为了简化符号，我们通常不显式地显示系数对ω和f的依赖性。公式（1）中漂移的附加项Dft来自Musiela的参数化，其中操作符D被解释为相对于到期时间的第一个导数，Dft（x）=xft（x），下面更确切地定义为希尔伯特空间Hw中的一个操作符。继Filipovi\'c（2001）之后，我们接下来定义了希尔伯特空间Hwof远期曲线，并给出了波动率和漂移的条件，以确保HJM演化方程的解为。（1）存在于适当的意义上（以便远期曲线在时间演化时保持在其规定的函数空间），并规定了无套利期限结构。让w：R+→ [1，∞)是一个非递减的C函数，使Z∞w-1/3（x）dx<∞. （2）我们认为：={h∈ Llo c（R+）h′∈ Llo c（R+）和khkw<∞}, （3）式中，khkw：=| h（0）|+ZR+| h′（x）| w（x）dx，h′（x）是弱导数。也就是说，hw定义为R+上局部可积函数的s步，具有局部可积弱导数，以及有限范数khkw。软件等价类的元素。回想一下，如果h∈ Llo c（R+）具有弱导数h′∈ 那么等价类h存在一个绝对连续的表示，使得h（x）- h（y）=Rxyh′（z）dz。因此，HW的元素具有绝对连续的代表。

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2022-5-25 17:46:18

用绝对连续的代表性来确定所有感兴趣的金融量，如远期曲线。通过一些符号，在下面的内容中，我们不区分作为等价类的HW元素和它们的绝对连续代表。Hw范数的不确定性对函数（正向曲线）的导数h′施加了相对于成熟时间的尾部衰减，因此当成熟时间趋于足够快时，它衰减为零，因此导数可与权函数w平方积，而权函数w的增长速度足够快，因此R∞w-1/3（x）dx<∞. 根据H¨older不等式，很容易看出RR+| H′（x）| dx<∞ 对于所有h∈ 硬件。因此，绝对连续代表h（x）收敛到极限h(∞) ∈ R为x→ ∞, 这可以解释为长期远期利率。换言之，Hw中的所有正向曲线在渐进长期到期时都会非常快。因此，我们得到以下结果。提案2.1。如果初始正向曲线f∈ Hw，则存在一个常数λ，使得→∞PT公司-t/PT=eλt，（4），其中λ=f(∞) 是远期利率。回想一下，我们总是用Hw元素的绝对连续代表来识别正向曲线。表示绝对连续正向曲线f的极限值(∞) = λ。然后，根据债券价格和远期利率之间的关系，方程式（4）紧随其后，PTt=e-RTtft（u）du。我们注意到，Qin和Linetsky（2017）假设初始远期曲线满足等式（4），以推导半鞅定价核的长期因子分解，其中长期债券因子为表B∞t=eλtπt。在HJM模型的上下文中，命题1只是前向曲线假定的希尔伯特空间结构的即时序列。

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可人4

2022-5-25 17:46:20

从财务角度来看，属性（4）是自然的，只要求初始正向曲线达到渐近长成熟度。虽然在经验数据中，我们没有观察到渐进长期到期的远期曲线，但我们通常会观察到期限结构在20年和30年之间发生变化。我们强调，初始远期曲线的这种行为不会对期限结构动态施加任何限制，例如，与掉期市场模型文献中常见的“低方差鞅”（LVM）假设相反（参见Gaspar和Pimentel（2016））。配备KHKW的空间HW是一个可分离的Hilber t空间（Filipovi\'c（2001）中的第5.1.1条）。定义Hwby（Ttf）（x）=f（t+x）上的翻译算子半群。根据Filipovi\'c（2001）定理5.1.1，它在Hw中是强连续的，我们表示它的最小生成器byD。这是由于Mus iela重新参数化而出现在等式（1）漂移中的运算符th。接下来，我们根据HJM动力学给出了远期曲线保持在Hwasit中的漂移和波动率的条件。首先，我们需要引入一些额外的符号。定义子空间Hw Hwby Hw={f∈ HW使f(∞) = 0}。对于R+上的任何连续函数f，定义一个连续函数Sf:R+→ R乘以（Sf）（x）：=f（x）Zxf（η）dη，x∈ R+。该算子用于方便地表示著名的HJM无套利漂移条件。根据菲利波维奇（2001）定理5.1.1，存在一个常数K su ch，kShkw≤ KKHKWF全部∈ 硬件。Filipovi\'c（2001）推论5.1.2证明了S的局部Lipschitz性质，该推论用于确保HJM方程解的存在性和唯一性。

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2022-5-25 17:46:23

也就是说，S映射Hwto Hwand是局部Lipschitz连续的：kSg- Shkw≤ C（kgkw+khkw）kg- hkw，g、 h类∈ Hw，（5）其中常数C仅取决于w。接下来考虑l, squ的Hilbert空间是可积序列，l= {v=（vj）j∈N∈RN | kvkl:=Pj公司∈N | vj |<∞}. 让Ej表示中的标准正交基l. 对于可分Hilbert空间H，设L（H）表示Hilbert-Schmidt算子的空间l对于H，Hilbert-Schmidt范数kφkL（H）：=Pj∈NkφjkH<∞, 式中φj：=φej。我们将用它的H值系数（φj）j来识别操作符φ∈N、我们现在准备给出HJM市场风险价格和HJM波动性的条件，以确保远期曲线保持在希尔伯特空间Hw。回想一下，我们有一个过滤概率空间(Ohm, F，（Ft）t≥0，P）。设P表示可预测的西格玛场。对于任何度量空间G，我们用B（G）表示G的Borel sigma场。假设2.1。（波动性、风险市场价格和初始远期曲线的条件）（i）初始远期曲线f∈ 硬件。（ii）风险γ的（负的）市场价格是（R+×）的可测量函数Ohm ×Hw，PB（Hw））进入(l, B类(l)) 这样就存在一个函数Γ∈ 满足γ（t，ω，h）k的L（R+）l2.≤ Γ（t）表示所有（t，ω，h）。（6）（iii）波动率σ=（σj）j∈Nis（R+×）中的可测函数Ohm ×Hw，P B（Hw））i nto（L（Hw），B（L（Hw）））。假设在h中为Lipschitz连续且一致有界，即存在常数D，Dsuch，对于所有（t，ω）∈ R+×Ohm 和h，h，h∈ Hωkσ（t，ω，H）- σ（t，ω，h）kL（Hw）≤ Dkh公司- hkHw，kσ（t，ω，h）kL（Hw）≤ D、（7）如果WPI尺寸有限，只需更换l使用Rn。

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2022-5-25 17:46:28

（1）中的漂移ut=u（t，ω，ft）由HJM漂移条件定义，其形式为我们的符号u（t，ω，ft）=αHJM（t，ω，ft）- （γ·σ）（t，ω，ft），其中αHJM（t，ω，ft）=Xj∈NSσj（t，ω，ft）。以下定理总结了这种情况下HJM模型（1）的特性（见Filipovi\'c（2001）定理5.2.1）。定理2.1。（HJM模型）（i）式（1）具有唯一的连续弱解。（ii）对于每个t≥ 0英尺(∞) = f级(∞).（iii）定价核的风险中性因子分解ST=ATMT，隐含储蓄账户At，鞅Mt，风险中性度量由：At=exp给出Ztfs（0）ds, （8） Mt=经验值Ztγs·dWPs-Ztkγsklds公司, Q | Ft=MtP | Ft.（9）工艺WQt：=WPt-Rtγsds在Q下是一个（有限维）布朗运动。（iv）T到期债券估值过程在P下的形式为：PTtPT=AtexpZtσTs·γsds-ZtσTs·dWPs-ZtkσTsklds公司, t型∈ [0，T]，其中T到期债券的波动率为σTt=ZT-tσt（u）du，t∈ [0，T]。Q下的流程为：PTtPT=Atexp-ZtσTs·dWQs-ZtkσTsklds公司, t型∈ [0，T]。（10）关于此处使用的弱溶液的定义，请参见Filipovi\'c（2001）定义2.4.1。定理2.1的证明源自菲利波维奇（2001）的结果，为了方便读者，在附录中对其进行了总结。我们现在已经准备好在HJM模型中制定长期的工厂化。首先，我们通过定理2.1观察到，定价核与T-到期债券的总回报的乘积mtt：=StPTtPT=exp-Ztkγs- σTsklds+Zt（γs- σTs）·dWPs（11）是t上的正P鞅∈ [0，T]从单位开始，MT=1。我们可以用它来定义一个新的概率测度QTon-FTby-QT | FT=MTTP | FT。QT是最初由Jarrow（1987）和Geman（1989）以及Jamshidian（1989）引入的T向前测度。在QTtheT下，债券的零到期日作为计价标准。我们对长期限制感兴趣→ ∞.

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2022-5-25 17:46:31

天真地接受下面表达式中的限制并写出M∞t： =StP∞tP∞通常不起作用，因为P∞斜纹织物通常会因在有限的范围内打折而消失。然而，比率的极限，limT→∞在一般的半鞅模型中，PTtPT是精确的。Qin和Linetsky（2017）在Emery的半鞅拓扑中定义了这一极限（有关Emery距离的定义，请参见“Emery（1979）和Qin和Linetsky（2017））。为此，首先可以方便地将过程PTt/PTt扩展到所有t∈ [0，∞) 在[0，T]之外，考虑一种自融资展期策略，该策略从时间零点开始，将一个账户单位投资于1/pt到期零息票债券。债券到期时，该策略的价值为1/pt账户单位。我们通过重新投资于到期日为2T的零耦合债券的1/（PTP2TT）单位来滚动收益。我们继续采用展期策略，每次kT都会重新投资债券P（k+1）TkT。我们用BTt、BTt来表示这种自我融资策略的财富过程=Qki=0P（i+1）TiT-1P（k+1）Tt，t∈ [kT，（k+1）T），k=0，1，…。很明显，BTtextendsPTt/PTto始终为T≥ 因此，乘积StBTtalso将鞅mtt扩展到t的所有倍≥ 我们继续使用MTT表示StBTt。MTtnow为所有t≥ 0，我们仍然用QT表示它。完成这些准备工作后，我们现在准备在HJM模型中制定长期因子分解。定理2.2。（HJM模型中的长期因子分解）支持初始远期曲线和风险市场价格γt满足假设2.1（i）和（ii）。

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2022-5-25 17:46:34

假设波动率σ=（σj）j∈Nis（R+×）中的可测函数Ohm ×Hw，P B（Hw））转化为（L（H'w），B（L（H'w）），并且在H中是Lipschitz连续的，并且与假设2.1（ii）中一样统一有界，其中H'w HW带“w满意”∞\'\'w-1/3（x）dx<∞ 并且具有大x渐近性：(R)w（x）=O（x-（3+））（12）对于某些>0。那么以下结果成立。（i）（MTt）t≥0收敛到正鞅M∞tin-Emery半鞅拓扑。（BTt）t≥0接近积极流程B∞tin-Emery半鞅拓扑。qt收敛到极限测度Q∞总变化定额。（ii）HJM定价内核允许长期因子分解ST=e-λtπtM∞t、（13）其中B∞t=eλtπ是长键过程。（三）过程σ∞t： =Z∞σt（u）du（14）定义良好，长键过程B∞tsatis公司：B∞t=AtexpZtσ∞s·γsds-Ztσ∞s·dWPs-Ztkσ∞sk公司lds公司（15）波动率σ∞t、（iv）鞅M∞tsatis fies：M∞t=经验值Ztγ∞sdWPs-Ztkγ∞sk公司lds公司, （16）其中风险的市场价格为γ∞t=γt- σ∞t、（v）测量值Q∞由DQ给出∞dP | Ft=M∞t、 Q以下∞, WQ公司∞t： =WPt-Rtγ∞sds是标准布朗运动，Q∞-远期曲线、纯贴现债券和长期债券的动态为：dft=（dft+αHJMt- σ∞t·σt）dt+σt·dWQ∞t、（17）PTtPT=AtexpZtσTs·σ∞十二烷基硫酸钠-ZtσTs·dWQ∞s-ZtkσTsklds公司, t型∈ [0，T]，（18）B∞t=Atexp-Ztσ∞s·dWQ∞s+Ztkσ∞sk公司lds公司, t型≥ 0.（19）证明见附录。长期债券B∞这是从时间0到时间t持有零息票债券的总回报，该债券在时间0到时间t内渐近到期。Q∞被称为远期措施（在Qin和Linetsky（2017）中也表示为L），作为T-forwardmeasure的限制。

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2022-5-25 17:46:38

远期曲线波动率的有效条件是确保长期债券、长期因子分解和长期远期测度的存在，这加强了假设2.1中菲利波维奇关于HJM SDE（1）在Hw中存在解的远期曲线波动率的条件。作为长期因子分解存在的一个有效条件，我们要求加权Sobolev空间H中的权重函数w（其中波动性分量取其值）满足渐近性（12），这加强了菲利波维奇在定义正向曲线自身演化的空间HW的范数时对权重w的假设。或者，我们可以假设w满足渐近（12），并从一开始就使用这个较小的函数空间。然而，这是没有必要的，因此我们保持对远期曲线空间的假设不变，与菲利波维奇的假设相同，同时对远期利率波动施加有效条件，以确保长期因子分解的存在。权重f函数的典型选择是：对于α>0，w（x）=eαxf；对于α>3，w（x）=（1+x）α，这两种函数都满足共形（12）。满足式（2）但不满足式（12）的示例为w（x）=（1+x）（对数（2+x））。我们注意到，确保HJM模型中长期极限存在的机制是结合了由空间Hw结构保证的长期正向曲线快速衰减，以及由空间H’w结构保证的长期正向曲线波动快速衰减。特别是，远期曲线对长期限债券的衰减速度非常快，因此长远期利率过程(∞) existsand是常数（定理2.1第（ii）部分）。远期曲线波动率衰减很快，因此积分（14）给出的长期波动率得到了很好的定义。

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2022-5-25 17:46:41

验证长期债券（14）的波动性是证明的关键部分（见附录）。定理2.2提供了由有限维布朗运动驱动的HJM模型中长期因式分解的完全显式构造。长键的存在完全由正向曲线的动力学决定。为了确保长期债券的再次存在，对远期曲线的波动性施加了充分的条件。一个明显的必要条件是，长期远期利率必须是常数（如果存在），否则，当长期远期利率受到冲击时（根据Dybvig等人（1996）的定理，必要的正值），长期债券将立即减少到零。菲利波维奇（2001）的框架已经通过限制前向曲线的空间和前向曲线的波动性来确保这一必要条件。定理2给出了波动率曲线空间上的一个充分条件，以确保长期债券的存在和HJM定价核的长期因子分解。特别是，定理2.2给出了HJM模型γt=σ中风险市场价格的明确分解∞t+γ∞tinto与长期债券的波动率σ相关的组成部分∞接地组件γ∞定义鞅M∞tand，inturn，长向前测量Q∞.3示例：高斯HJM模型与初始正向曲线f相同∈ Hw，某些重量w满足（2）。当前向曲线波动率具有确定性（与ω和前向曲线ft无关）时，eorem 2.2中的波动率条件简化为σ（t，ω，h）=σ（t）∈ L（H'w）对于某些重量'w，使得1/'w（x）=O（x-（3+）），σ（t）一致有界。在这些假设下，前向电流遵循高斯过程，取Q和Q下的hw值∞.

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2022-5-25 17:46:44

如果风险γt的市场价格（假设满足（6））也是确定性的，则HWP中也允许高斯过程。我们注意到，这个高斯过程通常不是马尔可夫过程。我们现在考虑σj（t）（x）=σj（x）=σje的特殊情况-κjx，（20）其中σj≥ 0，κj≥ 0和P∞j=1σj（1+κj）<∞.设w（x）=x-4.∧ 1、THNKσtkL（H'w）=∞Xj=1kσjtkH'w=∞Xj=1σj1+Z∞κje-2κjx'w（x）dx≤∞Xj=1σj1+Z∞κje-2κjxdx=∞Xj=1σj（1+κj/2）<∞.（21）因此，σtsatis fies（7）。这确保了模型满足了理论2.2中的所有假设，并且理论2.2中的所有结果都成立。为了简化符号，对于所有j>1，考虑σ>0且σj=0的标量情况，并将指数1放在σ中，这就是所谓的扩展Vasicek模型，也称为Hull-White模型。在风险中性措施（设定风险γttozero的市场价格）下，SDE（1）的解决方案是合理的（参见Carmona和Tehranci p.178）：ft（x）=f（t+x）+σκe-κx（1- e-κt）（1- e-κx（1+eκt）/2）+σe-κxZte-κ（t-s） DWQ。在极限x内→ ∞, 我们明确地获得了恒定的长远期利率：ft(∞) = f级(∞) =: λ表示所有t≥ 0（初始正向曲线f∈ HW具有长远期利率f(∞), 随着正向曲线的演化，它在HJM演化下及时保留）。

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2022-5-25 17:46:47

我们强调，这个例子通常是时间不均匀的，因此这里λ被定义为前进率的极限值，而不是定价半群的主要特征函数，如Hansen和Scheinkman（2009）中的马尔可夫案例。另一方面，假设x=0，我们得到了短期速率rt=ft（0）：rt=f（t）+σ2κ（1）的扩展Vasicek演化- e-κt）+σ中兴通讯-κ（t-s） dWQs，满足SDE drt=κ（θQ（t）- rt）dt+σdwqt，随时间变化的参数θQ（t）=κf′（t）+f（t）+σ2κ（1- e-2κt）。特别是，如果我们需要θQis常数，那么我们就可以得到初始正向曲线κf′（t）+f（t）+σκ（1）上的约束- e-κt）=θQ，其解为时间齐次Vasicek（1977）模型中的初始正演曲线：f（t）=θQκ-σ(1 - e-κt）2κ1.- e-κtκ+re-现在，在这个具有常数参数的特殊情况下，模型是时间齐次马尔可夫模型，正向曲线指数的极限值成为Vasicek模型中常见的主要特征函数：f(∞) = λ=θQ- σ/（2κ）。返回具有一般初始正向曲线f的扩展Vasicek模型∈ Hw，长期债券的波动率是常数：σ∞t=σ∞=Z∞σe-κxdx=σκ，长键具有简单的Q-动力学：B∞t=Ate-σκWQt-σκt，其中At=ertrsds是储蓄账户。为了进一步说明在最可能的情况下的计算，我们现在还假设风险的市场价格是恒定的，γt=γ。

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2022-5-25 17:46:51

在这种情况下γ∞= γ- σ∞= γ-σκ也是常数，M∞指数P鞅：M∞t=eγ∞WPt公司-（γ∞)t、那么f前进曲线有Q∞-测量动力学：ft（x）=f（t+x）-σ2κe-2κx（1- e-2κt）+σe-κxZte-κ（t-s） dWQ公司∞s、特别是对于我们得到的短速率：rt=f（t）-σ2κ（1- e-2κt）+σ中兴通讯-κ（t-s） dWQ公司∞s、满足SDE drt=κ（θQ∞（t）-rt）dt+σdWQ∞t与q下的时间相关参数∞:θQ∞（t） =κf′（t）+f（t）+σ2κ（1+e-2κt）=θQ（t）-σκ。长键Q∞-动力学为：B∞t=Ate-σκWQ∞t+σκt。这个例子说明了在一个简单的高斯模型中的长期因子分解，并明确说明了布朗风险γ的市场价格是如何明确分解为长期债券σ的波动性的∞tplus长期预测γ下的风险市场价格∞定义了鞅分量M∞t长期因子分解。根据最近债券市场的经验证据，后一个组成部分很大且经济意义重大，asit控制着债券夏普比率期限结构的形状。我们请读者参考Qin等人（2016），其中根据美国国债数据对特定的马尔可夫物种进行了经验估计。相比之下，本文提供了非马尔可夫HJM模型中布朗风险市场价格的一般分解，特别是在时间非齐次高斯模型中，例如在实践中流行的多因子赫尔-怀特模型。定理2的证明为了准备定理2的证明，我们首先简要地勾勒出定理1的证明，有关详细信息，请参考Lilipovi\'c（2001）。定理2.1的证明。（i）我们首先考虑γ=0的风险中性情况：dft=（dft+αHJM（t，ω，ft））dt+Xj∈Nσj（t，ω，ft）dWQ，jt。（22）根据假设2.1，αHJM（t，ω，h）在h中是Lipschitz连续的且一致有界（参见Filipovi\'c（2001）引理5.2.2）。

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2022-5-25 17:46:54

因此，根据菲利波维奇（2001）的定理2.4.1，等式（22）具有唯一的连续弱解。一个非零γ弱解的唯一性遵循Girsanov定理的应用。我们已经有了γ=0的弱解的唯一性。根据（6），γ满足Novikov条件（参见Filipovi\'c（2001）引理2.3.2）。因此，我们可以通过P | Ft=exp定义一个新的度量值P-Ztkγsklds公司-Ztγs·dWQsQ | Ft.（23）然后根据Girs-an-ov的有限维布朗运动定理（参见Filipovi\'c（2001）），WPt=WQt+Ztγsds（24）是P下的有限维标准布朗运动。因此，FTI是P下HJM方程（1）与一般γ的唯一弱解。（ii）自αHJM起∈ Hw，ft(∞) 是常量。（iii）根据菲利波维奇（2001）定理5.2.1，零息票债券价格过程（PTt/At）t≥0相对于过程的Taken=eRtfs（0）dsare Q-鞅。根据P.（iv）Filipovi'c（2001）等式（4.17）的规定，这立即产生了定价核的风险中性系数，给定SPTTPT=Atexp-ZtσTs·dWQs-ZtkσTsklds公司. （25）使用公式（24）给出了P。定理2.2的证明。我们现在准备好证明定理2了。证明由两部分组成。我们首先证明（15）和（16）右侧的过程定义良好（指数中的积分定义良好）。接下来我们证明ept[ST]EP[ST]L-→ M∞助教T→ ∞ （26）带M∞tde由（16）的右侧定义。根据Qin和Linetsky（2017）的定理3.1和3.2以及命题2.1，（i）-（iv）如下。WQ的表达式∞t则遵循Girsanov定理（参见Filipovi\'c（2001）定理2.3.3）和FTQ下的SDE∞然后立即跟进。自M起∞t=机顶盒∞t、我们只需要证明（15）的右侧定义良好。我们首先证明了以下引理，它是所有后续估计的核心。引理A.1。

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2022-5-25 17:46:57

以下估计值适用于任何函数h∈ 高宽比：Z∞T | h（x）| dx≤ C（T）khk'w，其中C（T）=K（T-/2∧ 1）对于某些K>0和>0。证据自w（x）起≥ 1，所有h∈ H？wwe可以写入H（x）|=Z∞xh′（s）ds≤ khk？wZ∞xds？w（s）1/2≤ khk？wZ∞xK（s）-（3+）∧ 1） ds公司1/2≤ khk？wK（x-（1+2）∧ 1），其中常数K可以从s阶跃变为阶跃。因此，R∞T | h（x）| dx≤ khk？wK（T-/2∧ 1）。引理A.1确保向量σ的每个元素∞锡（3.9）定义良好。下一个引理确定σ∞t型∈ l（15）的RHS定义良好。引理A.2。Rtkσ∞sk公司lds公司≤ C（0）tD。证据引理A.1，R∞|σjs（u）| du≤ C（0）kσjsk'w。这意味着ztkσ∞sk公司lds公司≤ZtXj公司∈NZ∞|σjs（u）| duds公司≤ZtXj公司∈NC（0）kσjsk？wds=C（0）ZtkσskL（H？w）ds≤ C（0）tD，（27），其中Dis为等式（7）中的波动率界限。通过上述引理，很好地定义了（15）中的最后一个积分。随机积分rσ∞由于It^o的等距，s·dWPsis得到了很好的定义。第一个积分以zt为界kγskl+ kσ∞sk公司lds公司≤ZtΓ（s）ds+C（0）tD，（28），这可以通过以下事实得到很好的定义：∈ L（R+）。因此，（15）的右侧定义良好。现在我们来验证等式（26）。我们首先重写PTt/PTand B∞根据Q-布朗运动WQt，由式（15）确定的tde:PTtPT=Atexp-ZtσTs·dWQs-ZtkσTsklds公司, （29）B∞t=Atexp-Ztσ∞s·dWQs-Ztkσ∞sk公司lds公司. （30）固定电流t≥ 我们注意到，条件（26）可以在与任何估值过程V:limT相关的任何局部等价概率测度qvas下写入→∞等式[| BTt/Vt- B∞t/Vt |]=0。（31）我们可以利用此自由选择适合手头设置的度量。在这里，我们选择在Q下进行验证，即limT→∞均衡器PTtPTAt公司-B∞tAt公司= 0。（32）我们首先介绍一些符号。为了v∈ [0，t]和t∈ [t，∞] 确定数量jtv：=ZvσTs·dWQs，kTv：=ZvkσTsklds，（33）(R)σTv：=σ∞v- σTv=Z∞T-vσv（u）du，zTv：=Zvk'σTsklds，YTv：=e-（jTv-j∞五）-zTv。

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2022-5-25 17:47:00

（34）对于p≥ 1和一个随机变量X表示kxkp：=公式[| X | p]1/p，只要预期明确。那么等式（32）可以重写为limt→∞ke公司-jTt公司-kTt公司- e-j∞t型-k∞tk=0。（35）根据H¨older不等式，limT→∞ke公司-jTt公司-kTt公司- e-j∞t型-k∞tk公司≤限制→∞ke公司-j∞t型-k∞tkke公司-（jTt-j∞t）-（kTt）-k∞t）- 1k。（36）下面的引理A.3和A.4表明ke-j∞t型-k∞tkis定义和限制→∞ke公司-（jTt-j∞t）-（kTt）-k∞t）- 1k=0。引理A.3。对于每个t>0，都存在这样的C，即SUPV≤tkYTvk公司≤ C<∞ 和ke-j∞t型-k∞tk公司≤ C<∞. （37）证明。我们首先考虑过程（YTv）=e-（2jTv-2j∞五）-4zTv+2ZTF用于t∈ [0，T]。根据It^o\'sformula，e-（2jTv-2j∞五）-4zTvis局部鞅。因为它也是正的，所以它是一个超鞅（实际上，根据引理a.2和Novikov标准，它是一个真鞅）。因此，对于所有v≤ t、等式[e-（2jTv-2j∞五）-4zTv]≤ 1.（38）类似于引理A.2，| zTv |≤C（T- v） vD。因此，kYTvk=等式[e-（2jTv-2j∞五）-4zTv+2zTv]≤eC（0）vD。这意味着SUPV≤tkYTvk公司≤ eC（0）tD。（39）类似地，（e-j∞t型-k∞t） =e-2j∞t型-4k∞t+2k∞t、过程e-2j∞t型-4k∞这是一个超级马丁格尔，k∞t型≤C（0）tD（引理A.2）。因此，ke-j∞t型-k∞tk公司≤ eC（0）tD。引理A.4。限制→∞ke公司-（jTt-j∞t）-（kTt）-k∞t）- 1k=0。（40）证明。我们需要以下两个中间引理。引理A.5。对于T≥ t、 supv公司≤t | kTv- k∞v |≤ C（0）C（T- t） tD。证据supv公司≤t | kTv- k∞v |=supv≤t型Xj公司∈新西兰元ZT公司-s+Z∞σjs（u）duZ∞T-sσjs（u）duds公司≤Xj公司∈新西兰元Z∞|σjs（u）| duZ∞T-s |σjs（u）| duds公司≤Xj公司∈NZtC（0）kσjsk'wC（T- s） kσjsk？wds=C（0）C（T- t） ZtXj公司∈Nkσjsk？wds=C（0）C（T- t） ZtkσskL（H'w）ds≤ C（0）C（T- t） tD。（41）引理A.6。限制→∞基特- 1k=0。（42）证明。根据It^o公式，YTt=1+ZtYTv'σTv·dWQv。（43）根据It^o等距，我们得到了Kytt- 1k=等式ZtkYTv‘∑Tvkldv. （44）引理A.1，|σT，jv |≤ C（T- v） kσjvk'w。

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nandehutu2022

2022-5-25 17:47:03

苏斯基特- 1公里≤ 均衡器Xj公司∈NZt | YTv | C（T- v） kσjvk？wdv≤ C（T- t）等式Zt | YTv | Xj∈Nkσjvk？wdv= C（T- t）等式Zt | YTv | kσvkL（H'w）dv≤ C（T- t）等式Zt | YTv | Ddv≤ C（T- t）DZtEQ（| YTv |）dv≤ C（T- t）DZtCdv（引理A.3）=C（t- t）DCt。（45）自限制→∞C（T- t） =0，等式（42）已验证。现在我们返回引理A.4的证明。ke公司-（jTt-j∞t）-（kTt）-k∞t）- 1k=kYTtezTt-（kTt）-k∞t）- 1公里≤ k（年初至今）- 1） ezTt公司-（kTt）-k∞t） k+kezTt-（kTt）-k∞t）- 1k。（46）回想引理A.5，| kTt- k∞t |≤ C（0）C（T- t） tD。使用与Lemma相同的方法。2，我们可以证明| zTt |≤C（T- t） tD。因此，我们有-（jTt-j∞t）-（kTt）-k∞t）- 1公里≤ 基特- 1摄氏度（T-t） tD+C（0）C（t-t） tD+eC（t-t） tD+C（0）C（t-t） tD公司- 1.（47）最后，利用引理A.6和limT→∞C（T- t） =0。参考文献f。阿尔瓦雷斯和U.J.杰曼。使用资产价格来衡量财富边际效用的持续性。《计量经济学》，73（6）：1977–2016，2005。D、巴科斯、N.博亚琴科和M.切尔诺夫。资产价格和回报的期限结构。可用SSRN，http://ssrn.com/abstract=2762069，2015年。G、 Bakshi和F.Chabi Yo。随机贴现因子的永久性和暂时性分量的方差界。《金融经济学杂志》，105（1）：191–208，2012年。G、 Bakshi、F.Chab i-Yo和X.Gao。我们可以信任的复苏？推导和检验恢复定理的限制。技术报告，工作文件，2015年。T、比约克和B·J·克里斯滕斯。利率动态和一致的远期利率曲线。数学金融，9（4）：323–3481999。T、比约克和A.贡巴尼。利率模型的最小实现。《金融与随机》，3（4）：413–4321999。T、比约克和L.斯文森。关于非线性前向速率模型有限维实现的存在性。《数学金融》，11（2）：205–2432001年。J、 Boroviˇcka、L.P.Hansen、M.Hendricks和J.A.Scheinkman。风险价格动态。《金融计量经济学杂志》，9（1）：3–65，2011年。J

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2022-5-25 17:47:06

Boroviˇcka、L.P.Hansen和J.A.Scheinkman。错误指定的恢复。《金融杂志》，71（6）：2493–25442016。J、 Boroviˇcka和L.P.Hansen。宏观经济中不确定性的术语结构。《宏观经济学手册：第2B卷，第20章，第1641-1696页》。Elsevier B.V.，2016年。R、 Carmona和M.R.Tehr an chi。利率模型：有限维随机分析视角。施普林格科学与商业媒体，2007年。T、克里斯滕森先生。正特征函数的非参数识别。计量经济学理论，31（6）：1310–1330，2016。T、 M.Christens en。非参数随机贴现因子d组合。即将发表于《计量经济学》，2017年。P、 H.Dybvig、J.E.Ingersoll和S.A.Ross。远期利率和零利率永远不会下降。《商业杂志》，69（1）：1-251996年。M、金刚砂。半鞅空间上的拓扑。在S'eminaire de Probabilit'es XIII中，第721卷，第260–280页。斯普林格，1979年。D、 Filipovi\'c.Heath Jarrow Morton利率模型的一致性问题。斯普林格，2001年。D、菲利波维奇、M.拉尔森和A.B.特罗尔。线性生成过程与线性有理模型的关系。2016年，SSRN 2753484提供。D、菲利波维奇、M.拉尔森和A.B.特罗尔。线性合理期限结构模型。《金融杂志》，72（2）：655–7042017。R、 M.Gaspar和R.Pimentel。掉期利率动态：冻结还是不冻结？《国际计算机数学杂志》，2016年第1-15页。H、杰曼。前向中性概率在利率随机方法中的重要性。W Working paper，ESSEC，1989年。H、 Geman、N.El Karoui和J.Rochet。计价方式的变化、概率测度的变化和期权定价。《应用概率杂志》，32（2）：443–4581995。五十、 P.Hansen。随机经济中的动态估值分解。《计量经济学》，80（3）：911–9672012。五十、 P.Hansen和J。

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