对偶Orlicz空间上的凸函数

2022-5-30 20:49:33

那么BΦ：={ξ∈ 五十： E[Φ（ξ）]≤ 1} 当L的闭凸实数子集包含一个非零常数时，thusit生成一个具有闭单位球BΦ的Banach格，称为Orlicz空间：LΦ：=Sλ>0λBΦ={ξ∈ L：λ>0，E[Φ（λξ）]<∞},给定范数kξkΦ：=inf{λ>0：ξ∈ λBΦ}和a.s.逐点顺序。一般来说，L∞ LΦ l连续注射。共轭Φ*（y）：=supx（xy- Φ（x））是一个（有限强制）杨函数，所以Orlicz空间LΦ*定义类似。一个年轻的函数Φ可以满足-条件，用Φ表示∈ , iflim supx→∞Φ（2x）/Φ（x）<∞, 或等效ypΦ：=infx≥0pΦ（x）：=infx≥0supy>xyΦ（y）Φ（y）！<∞,（1.1）其中Φ是Φ的左导数（见[20]，第II.2.3条）。如果Φ∈ , LΦ的对偶LΦ通过hξ，ηi=E[ξη]与LΦ识别*给定一个等价范数kξk（Φ*):=supη∈BΦE[ηξ]；更精确的kξkΦ*≤ kξk（Φ*)≤ 2kξkΦ*, 和E[ηξ]≤ kηkΦkξk（Φ*).特别是，如果Φ和Φ都是*∈ ; 如果出现以下情况，该条件也是必要的(Ohm, F，P）是无原子的。在续集中，我们假设Φ∈ 除非另有说明。我们的基本兴趣是了解τ（LΦ*, 通过概率有界集上的序列收敛，证明了凸函数的下半连续性和连续性。在这一点上，我们注意到“有界集”有两种可能的解释；范数有界集和序有界集，即 LΦ*包含在订单间隔中[-ζ、 ζ]：={ξ：-ζ≤ ξ≤ ζ} ，0≤ ζ∈ LΦ*, i、 e.以LΦ为主*. 自[-ζ、 ζ] kζkΦ*BΦ*, 序有界集是范数有界的，在L∞, 有界性的两个概念是相同的。本文的核心是对偶LΦ中Komlós定理的几个变体*ofa公司-Orlicz空间LΦ。经典的Komlós定理[13]指出，lha中的任何有界序列（ξn）都是一个子序列（nk）kas以及ξ∈ 对于任何进一步的子序列（nk（i））i，Cesáro意味着snpi≤Nξnk（i）收敛于a.s。

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2022-5-30 20:49:37

至ξ。我们变体的基本形式（定理3.6）断言，在LΦ有界的更强假设下*在P中收敛，可以选择一个子序列，使对偶或licz空间3Cesáro平均上的凸函数在LΦ中有序有界*也其实际有用的结果（推论3.10）是LΦ中的任何范数有界序列*, 不必在P中收敛，具有阶有界（且a.s.收敛）的前向凸组合序列ζn∈ conv（ξk；k≥ n），n≥ 1、此外，如果(Ohm, F，P）是无原子的，Komlós定理的这个版本的特征是-Orlicz空间（定理3.11）。根据Krein-Smulian定理，这种形式的Komlós定理产生一个凸集C LΦ*isσ（LΦ*, LΦ）-当（且仅当）订单关闭时关闭：ζ∈ LΦ*, C∩ [-ζ、就函数而言，ζ]在L.（1.2）中是闭合的，这表示为：LΦ上的适当凸函数f*是σ（LΦ）*, LΦ）lsc当（且仅当）f是LΦ中Lon阶区间拓扑的lsc*, 或显式yf（ξ）≤ lim infnf（ξn）每当ξn→ ξin P和supnξn∈ LΦ*（定理4.4）。τ（LΦ）的相似特征*, 也给出了LΦ）-连续性（定理4.5）。LΦ中序闭凸集的弱闭性问题*是由[5]在凸风险度量表示的背景下提出的。他们在[5，引理6]中声称，这是因为σ（LΦ*, LΦ）具有以下性质：（C）如果ξα→ ξinσ（LΦ*, LΦ），存在一系列指数（αn）和ζn∈ conv（ξαk；k≥ n），n≥ 1，使得ζn→ ξa.s.和supn |ζn |∈ LΦ*.不幸的是，这是不正确的；（C）仅当LΦ为反函数（[10]）时成立（当且）。

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2022-5-30 20:49:40

对于（ζn），nin（C）收敛于σ（LΦ*, LΦ），因此（C）意味着对于任何凸集C LΦ*, 它的弱*闭包与序列弱*闭包C（1）：={ξ：ξ=w一致*- limnξnw与（ξn）n C} ，而任何非反射Banach空间在对偶中都有一个凸集C，这样C（1）就不是弱*闭的（[19，Th.2]；关于序列弱*闭问题的历史，请参见[18]，可追溯到Banach[4]）。另一方面，推论3.10表明（C）性质适用于有界网（回想一下，收敛网不需要有界）。2 Orlicz空间上的Mackey拓扑σ（LΦ，LΦ）的下列准则*)-已知紧集（例如[20]，第IV.5.1条），但我们在附录中提供了一个简短的证明。这里是-不需要条件。引理2.1。（不考虑Φ∈ ,) a组a LΦ是相对σ（LΦ，LΦ*)-紧当且仅当对于每个ξ∈ LΦ*, Aξ：={ηξ：η∈ A} 是一致可积的。引理2.2。τ（LΦ*, LΦ）小于τLto LΦ的限制*, 和（2.1）ζ∈ LΦ*, τ（LΦ*, LΦ）|[-ζ、 ζ]=τL|[-ζ、 ζ]。特别是τ（LΦ*, LΦ）在序有界集上是可度量的。如果Φ∈ , 我们有（2.2）σ（LΦ*, LΦ）| BΦ* τL | BΦ* τ（LΦ*, LΦ）| BΦ*.不考虑Φ∈ 和凸度σ（LΦ*, LΦ）-关闭=> 订单已关闭=> 范数闭合，因为LΦ与LΦ的阶连续对偶一致*范数收敛序列具有阶收敛子序列；有关详细信息和无法解释的术语，请参见例[21，Ch.14]。4 F.Delbaen和K.Owarifroof。BL的（LΦ中的图像）∞是σ（LΦ，LΦ*)-紧凑，因此定义了Mackey连续半形式ξ7→ supη∈基本法∞|E[ξη]|=E[|ξ|]≥ E[|ξ|∧ 1] ，soτ（LΦ*, LΦ）小于τL的限制。另一方面，对于任何σ（LΦ，LΦ*)-压缩集A LΦ和ζ∈ LΦ*, 一个具有limNsupη∈AP（|η|∨ |ζ|>N）=0，pA（ξ）：=supη∈A | E[ηξ]|≤supη∈AE[|ηζ| 1{|η|∨|ζ|>N}]+NE[|ξ|∧ 1] ，则，N∈ N、在上[-ζ、 ζ]。

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2022-5-30 20:49:45

然后，一个标准对角化过程显示pAisτL-连续[-ζ、 ζ]，我们看到τ（LΦ*, LΦ）|[-ζ、 ζ] τL|[-ζ、 ζ]。最后，如果Φ∈ , so LΦ*= LΦ，BΦ*isσ（LΦ*, LΦ）紧凑，因此ηBΦ*, η∈ LΦ一致可积。因此ξn∈ BΦ*和ξn→ ξinP表示E[ηξn]→ E[ηξ](η∈ LΦ），即ξn→ ξinσ（LΦ*, LΦ），这证明了（2.2）。最后一部分，假设Φ∈ 仅用于确保有界序列相对σ（LΦ*, LΦ）-紧凑型。因此，同样的论点表明：推论2.3。（不考虑Φ∈ ,) 如果序列（ξn）nin LΦ*在P中为null，在σ（LΦ）中收敛*, LΦ）至ξ，然后ξ=0。备注2.4。在BΦ上*, τ（LΦ*, LΦ）通常与L的拓扑不同。例如，如果∈ F与P（An）>0不相交，ξn=P（An）-1/2形成序列inBL，在P中为null，但kξnk≡ 1，而τ（L，L）是范数拓扑。提案2.5。如果Φ∈ , 以下是所有凸C的等价条件 LΦ*:（1） C为σ（LΦ*, LΦ）-关闭；（2） C依次为σ（LΦ*, LΦ）-关闭；（3）对于每个λ>0，C∩ λBΦ*在L中闭合，或等效于ξn∈ C类(n），ξn→ ξin Pand supnkξnkΦ*< ∞ 隐含ξ∈ C、证明。根据Krein-Smulian定理，（1）<=> C∩ λBΦ*, λ>0，为σ（LΦ*, LΦ）-闭，C的三种闭度相同∩ λBΦ*根据（2.2）。3 Komlós型结果在续集中，我们假设Φ∈ 所以LΦ*= LΦ，除非另有说明。回想一下Φ∈ 当且仅当pΦ=infx≥0pΦ（x）<∞ 式中，pΦ（x）=supy>xyΦ（y）Φ（y）（见（1.1））。设qΦ：=limx→∞pΦ（x）pΦ（x）-1=pΦpΦ-1> 1与约定1/0=∞.引理3.1（参见[14]，第2.b.5条）。对于任何1≤ q<qΦ，LΦ*具有较高的q估计，即存在常数Cq，Φ*> 0，因此对于任何n∈ N和不联合支撑ξ。。。，ξn∈ LΦ*（即ξk=ξkak和Ak∈ F成对不相交），Xk公司≤nξk（Φ*)≤ Cq，Φ*Xk公司≤nkξkkq（Φ*)!1/q.（3.1）证明。

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2022-5-30 20:49:50

q=1的情况很简单（我们可以取Cq，Φ*= 1），注意1<q<pΦpΦ-1仅当q=pp时为Fand-1对于某些p∈ （pΦ（x），∞) x>0。固定q、p和x。然后ψ（x）：=Φ（x）xx1[0，x]（x）+Φ（x）1（x，∞)（x）是一个-ψ（x）=Φ（x）forx的Young函数≥ x、因此，Lψ=LΦ，具有等效规范（因为(Ohm, F，P）是一个概率空间，见[20]，Th。五、 1.3）；因此，存在一个C>0，使得（3.2）C-1k·k（ψ*)≤ k·k（Φ*)≤ Ck·k（ψ*).对偶Orlicz空间5上的凸函数，当x＞0且pψ（0）=1时，ψ（x）＞0∨ pΦ（x）=pΦ（x）<p<∞; 特别是对于任何λ≥ 1和x>0，logψ（λx）ψ（x）=Rλtxψ（tx）ψ（tx）dtt≤ p logλ，因此（3.3）ψ（λx）≤ λpψ（x）对于x>0，λ≥ 因此1=E[ψ（η/kηkψ）]≤ kηk-pψE[ψ（η）]，0<kηkψ≤ 1，其中FirsteQuality是Φ的另一个结果∈ . 因此我们有（3.4）kηkψ≤ E[ψ（η）]1/p对于所有η∈ Bψ。现在如果ξk=ξkAk∈ LΦ*= Lψ*使用Ak∈ F不相交，则对于任何η∈ Bψ，E“Xk≤nξk！η#≤Xk公司≤nkξkk（ψ*)kη1Akkψ（3.4）≤Xk公司≤nkξkk（ψ*)E[ψ（η）1Ak]1/p≤Xk公司≤nkξkkq（ψ*)!1/qXk≤nE[ψ（η）1Ak]！1/p≤Xk公司≤nkξkkq（ψ*)!1/q，sincePk≤nE[ψ（η）1Ak]≤ E[ψ（η）]≤ 1、取η的上确界∈ Bψ，CXk公司≤nξk（Φ*)（3.2）≤Xk公司≤nξk（ψ）*)≤Xk公司≤nkξkkq（ψ*)!q（3.2）≤ CXk公司≤nkξkkq（Φ*)!q、推论3.2。如果（ξn）nis是LΦ中的范数有界不相交支撑序列*, 然后支持ξ+···+ξnn∈ LΦ*和ξ+···+ξnnΦ*→ 0.证明。设ξn=ξnan，其中∈ F不相交，a：=supnkξnk（Φ*)< ∞, 1<q<qΦ，C=Cq，Φ*如引理3.1所示。输入ξn：=ξ+···+ξnn。然后k′ξnk（Φ*)≤ aC（nn-q） 1/q=aCnq-1.→ 0.接下来，观察k supn |ξn | k（Φ*)= 超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级≤N |ξN | k（Φ*)安徒生≤N |ξN |=Xk≤Nsupn公司≤N |ξN |！Ak=Xk≤Nsupk公司≤n≤Nn |ξk |！Ak=Xk≤Nk |ξk |，而主键≤Nkξn（Φ*)≤ 空调主键≤Nkq公司1/季度≤ 空调P∞k=1kq1/q<∞, so supn |ξn |∈ LΦ*.注意到“ξn=ξn+1+····+ξ2nn=2ξ+···+ξ2nn”-ξ+···+ξnn∈ conv（ξn，ξn+1，…），我们得到：推论3.3。

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2022-5-30 20:49:55

任意范数有界不交序列（ξn）nin LΦ*具有前向凸组合的序有界和范数空序列\'ξn∈ conv（ξk；k≥ n）。由于范数有界不相交序列的任何子序列都是有界和不相交的，所以对于任何子序列都是相同的结论；ThusCollary 3.4。LΦ中的任意范数有界不交序列*isσ（LΦ*, LΦ*)-无效的6 F.Delbaen和K.Owariermark 3.5。最后两个推论也可以从Banach格E的对偶具有阶连续范数的事实中得出，因为E中的每个范数有界不相交序列都是弱空的（[21，Th.116.1]或[15，Th.2.4.14]）。In LΦ*, （ξn）晶格意义上的nisdisjoint，如果它是不相交支撑的，而LΦ*= LΦ⊕ L∞, 其中∞是L的极坐标∞ LΦ*in LΦ*. LΦ的投影*在LΦ和L上∞A有序连续（例如[3]）。但是我∞是AL空间，因此具有顺序连续范数（无论; e、 g.[21，Th.133.6]），因此Φ∈ 意味着（k·k（Φ）=k·kLΦ*|LΦ，因此）k·kLΦ*是顺序连续的，所以有界不相交序列是弱空的。现在我们可以陈述Komlós型结果的基本版本。定理3.6。如果（ξn）是LΦ中的范数有界序列*, 在P中收敛到某个ξ∈ LΦ*, 然后存在一个子序列（ξnk）ksuch，对于任何进一步的子序列（ξnk（i））i，Cesáro意味着snpk≤Nξnk（i）收敛于ξ，即supNNXi公司≤Nξnk（i）∈ LΦ*安德西≤Nξnk（i）N→ ξa.s.（3.5）这里，原始有界序列（ξn）应在P中收敛，这是为了确保Cesáro意味着任何子序列本身按顺序收敛。如果没有这一先验假设，我们仍然有一个稍弱的结论。定理3.7。任意范数有界序列（ξn）nin LΦ*允许子序列（ξnk）kas以及ξ∈ LΦ*这样，对于任何子序列（ξnk（i））i，CesáromeansNPk的序列≤Nξnk（i）具有收敛于ξ的子序列阶，即。

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2022-5-30 20:49:58

有一个序列（Nl）lwith suplNlPi≤Nlξnk（i）∈ LΦ*andNlPi≤Nlξnk（i）→ ξa.s.引理3.8（参见[17]）。如果ξn→ P和if中的0（Φ*（ξn））nis一致可积，存在一个子序列（ξnk）ksuch∈ LΦ*; 尤其是ξn→ 0英寸τ（LΦ*, LΦ）。证据该假设意味着E[Φ*（ξn）]→ 0，因此有一个子序列（ξnk）ksuchthatPkE[Φ*（ξnk）]<∞. 注意Φ*（|η|∨ |η|）=Φ*（η） 1{|η|>|η|}+Φ*（η） 1{|η|≤|η|}≤Φ*（η） +Φ*（η），一个简单的归纳和单调收敛定理表明Φ*SUP|ξnk|≤ 利姆Φ*高级大床房≤m |ξnk|≤ limmXk公司≤mE[Φ*（ξnk）]≤∞Xk=1E[Φ*（ξnk）]∞.因此supkξnk∈ LΦ*. 特别是ξnk→ 0英寸τ（LΦ*, LΦ）乘以（2.1）。由于（ξn）nar的假设继承到任何子序列，我们推断每个子序列都有τ（LΦ*, LΦ）-空子序列；因此，（ξn）nitself为τ（LΦ*, LΦ）-空。定理3.6和3.7的证明。设（ξn）nbe为LΦ中的范数有界序列*, L.Komlós定理中的fortiori有界产生一个子序列，仍然用（ξn）n表示，和一个ξ∈ 任何进一步子序列的Cesáro均值收敛于ξ；然后ξ∈ LΦ*用法头引理。我们可以归一化（ξn）nso，ξ=0，kξnkΦ*≤ 1个(<=> E[Φ*（ξn）]≤ 1）。然后将Kadec–Pelczy'nski定理（例如[1，引理5.2.8]）应用于有界序列（Φ*（ξn））nyields a subsequence（ζn）nof（ξn）以及不相交序列（An）nin F，使得（Φ*（ζnAcn））nis一致可积。设ζrn：=ζnAcnandζsn：=ζnAnso，即ζn=ζrn+ζsn。对偶Orlicz空间7上的凸函数现在，如果原始序列（ξn）在P上收敛（通过上述约化为0），则（ζn）n （ξn）nas以及（ζr）nare null in P.自（Φ*（ζrn））nis一致可积，引理3.8产生一个正整数的子序列（nk），使得η：=supk |ζrnk |∈LΦ*.

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2022-5-30 20:50:03

另一方面，（ζsn）n（及其任何子序列）是范数有界的不相交序列，因此推论3.2表明，对于任何子序列（k（i））i，supNNXi公司≤Nζnk（i）≤ supN公司NXi公司≤Nζrnk（i）+ supN公司NXi公司≤Nζsnk（i）≤ η+supNNXi公司≤Nζnk（i）∈ LΦ*.辛森皮≤Nζnk（i）→ 通过构造，我们得到了定理3.6。接下来，如果（ζn）在P中不为null，我们就不能再期望正则部分（ζrn）n有一个“普适界”。然而，一旦选择了子序列（nk）kis，我们就得到了？ζn：=NXk≤Nζnk=NXk≤Nζrnk+NXk≤Nζsnk=：\'ζrN+\'ζsN→ P中的0，通过（ζn）n的构造。同样通过推论3.2，（(R)ζsN）Nis阶有界且normnull。特别是，’ζrN=’ζN-(R)ζsN→ P中的0，和（Φ*（(R)ζrN））Nis自Φ起一致可积*是凸面的。因此，通过引理3.8，我们发现一个子序列（N（i））是（(R)ζrN（i））i，因此（(R)N（i））i=（(R)ζrN（i）+ζsN（i））itoo是有序的。因为最后一段中的（(R)ζrN）在P和（Φ）中为空*（(R)ζrN））Nis一致可积，在τ（LΦ）中为空*, LΦ）通过引理3.8的最后部分。因此，我们还有：推论3.9。任意范数有界序列（ξn）nin LΦ*具有子序列（ξnk）和ξ∈ LΦ*对于任何进一步的子序列（nk（i））i，NPi≤Nξnk（i）→ ξinτ（LΦ*, LΦ）。目前，尚不清楚是否可以放弃定理3.6中P的收敛假设，或者是否可以等效地放弃定理3.7中的Cesáro平均数是阶有界的，而不需要传递到另一个子序列。这个问题留待将来解决。然而，在不适用的情况下，这一点并不重要；由于LΦ中的任意范数有界序列*（a fortiori有界于L）根据通常的Komlós定理有一个a.s.收敛的前向凸组合序列，并且凸组合的凸组合是凸组合（参见Cesáro均值的Cesáro均值不是Cesáro均值），我们得到定理3.6的以下效用级版本。推论3.10。

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2022-5-30 20:50:08

任意范数有界序列（ξn）nin LΦ*允许一系列前凸组合\'ξn∈ conv（ξk；k≥ n）以及ξ∈ LΦ*使得ξn→ ξ按顺序排列，即supn |ξn |∈ LΦ*和ξn→ ξa.s.关于[5]的性质（C），我们可以确认这对于有界网络是正确的，而正如引言中所指出的那样，不能放弃有界性。的确，如果（ξα）α是LΦ中的有界网*收敛于σ（LΦ*, LΦ）至ξ∈ LΦ*, 然后，如[5，引理6]所述，我们可以找到指数序列（αn）以及ηn∈ conv（ξαk；k≥ n）例如ηn→ ξa.s.（该部分正确）。然后推论3.10得出ζn∈ conv（ηk；k≥n） conv（ξαk；k≥ n）带supnζn∈ LΦ*.最后，当(Ohm, F，P）是无原子的，这些Komlós型结果表征了Orlicz空间；在这种情况下，Φ∈ 当（且仅当）limnkξ1{|ξ|>n}k（Φ）=0时，每ξ∈ LΦ（即k·k（Φ））在LΦ上是顺序连续的；见【21，第133.4条】）。8 F.Delbaen和K.OwariTheorem 3.11。假设(Ohm, F，P）是无原子的，设Φ为（有限强制）Youngfunction（非先验假设). 则以下为等效值：（1）Φ∈ ;（2） LΦ中的每个范数有界序列*具有τ（LΦ）的子序列*, LΦ）-平均收敛；（3） LΦ中的每个范数有界序列*有σ（LΦ*, LΦ）-向前凸组合的收敛序列；（4） LΦ中的每个范数有界序列*具有前向凸组合的顺序有界序列。证据（1）=> （4）是推论3.10，（1）=> （2）是推论3.9和（2）=> （3）和（4）=>（3）都很清楚。有待证明（3）=> （1）。自(Ohm, F，P）无原子，Φ<yieldssome 0≤ ζ∈ BΦ带limnsupη∈BΦ*E[ζη1{ζ>n}]=limnkζ{ζ>n}k（Φ）>0，soζBΦ*不是一致可积的，因此有0≤ ηn∈ BΦ*, 不相交集∈ F，n≥ ε>0，使得E[ζηnAn]≥ ε(n）。

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2022-5-30 20:50:12

然后有界序列（ηnAn）nhasnoσ（LΦ*, LΦ）-收敛的前向凸组合：ifξn∈ conv（ηkAk；k≥ n），n≥ 1，然后ξn→ P中的0，因为Anare不相交，所以唯一可能的σ（LΦ*, LΦ）-根据推论2.3，极限为0，这是不可能的，因为E[ζξn]≥ infkE[ζηkAk]≥ ε。4凸集的闭性现在我们从推论3.10中推导出定理4.1。凸子集C LΦ*isσ（LΦ*, LΦ）-闭合当且仅当对于每个ζ∈ LΦ*, 交叉点C∩ [-ζ、 ζ]在L中关闭（即订单关闭）。证据必要性显而易见，因为[-ζ、 ζ]在陆面τ（LΦ）中闭合*, LΦ）|[-ζ、 ζ]=τL|[-ζ、 ζ]。为了提高效率，需要C∩ λBΦ*, λ>0，在L中闭合（命题2.5）。在C中选择一个序列（ξn）∩ λBΦ*带ξn→ P.推论3.10 yieldsa序列ξn∈ conv（ξk；k≥ n） C（通过凸性），其中ζ：=supn |(R)ξn |∈ LΦ*, 和ξn→ ξa.s.但λBΦ*和C∩ [-ζ、 ζ]是τL-闭合的，因此ξ∈ C∩ [-ζ、 ζ]∩ λBΦ*.据我们所知，弱*-闭的这个标准只适用于实数集（即A LΦ*带ζ∈ A和ξ≤ |ζ|=> ξ∈ A）；见【2，第4.20条】。但具有实下层集的凸函数是对称的，因此排除了所有非平凡单调凸函数，尤其是凸风险测度。此外，由于σ（LΦ*, LΦ）|[-ζ、 ζ] τL|[-ζ、 ζ]=τ（LΦ*, LΦ）|[-ζ、 ζ]，ζ∈ LΦ*（根据（2.1）和（2.2）），条件也等效于：C∩ [-ζ、 ζ]，ζ∈ LΦ*, 为σ（LΦ*, LΦ）-关闭。备注4.2。2016年9月12日至14日，我们的结果在维也纳数学金融大会上发表后(https://fam.tuwien.ac.at/events/vcmf2016/)，在与牛山高讨论之后，他和他的合作者[9]提出了定理4.1的自己的证明。他们使用了一种不同的技术，我们认为这不会产生Komlós型定理。Hans F"ollmer在上述维也纳会议上提出了获得Komlós型定理的问题。

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2022-5-30 20:50:16

虽然Banach空间对偶中的Mackey和弱*闭凸集是相同的，但序列Mackey闭凸集不必是对偶Orlicz空间9closed上的（序列）弱*凸函数。例如，A={（αn）n∈ `: α=Pn≥2αn}在`=c中是范数闭的，但不是序列弱*闭的（见[4]），而由于τ（`，c）-收敛序列是范数收敛的，所以A是序列τ（`，c）-闭的。然而，在我们的情况下，由于τ（LΦ*, LΦ）|[-ζ、 ζ]=τL|[-ζ、 ζ]，ζ∈ LΦ*, 是可度量的，定理4.1暗示推论4.3。顺序τ（LΦ*, LΦ）-LΦ中的闭凸集*为σ（LΦ*, LΦ）关闭。LΦ上真凸函数的对偶表示*, 或等于σ（LΦ*, LΦ）-lsc(<=> τ（LΦ*, LΦ）-lsc），其特征如下。定理4.4。关于LΦ上的真凸函数f*, 以下是等效的：（1）f是σ（LΦ*, LΦ）-lsc，或等效f（ξ）=supη∈LΦ（E[ηξ]- f*（η）），ξ∈ LΦ*;（2） f为顺序τ（LΦ*, LΦ）-lsc；（3） f是每阶区间上的τL-lsc[-ζ、 ζ]（ζ∈ LΦ*), 或等效顺序lsc:f（ξ）≤ lim infnf（ξn）每当ξn→ ξa.s.和（ξn）nis阶有界于LΦ*.对于τ（LΦ*, LΦ）-连续性，我们有定理4.5。对于任意凸函数f:LΦ*→ R、以下是等效的：（1）f是τ（LΦ*, LΦ）-在LΦ上连续*;（2） f为顺序τ（LΦ*, LΦ）-在LΦ上连续*;（3） f为顺序τ（LΦ*, LΦ）-闭合球上的连续λBΦ*（λ>0）；（4） f为顺序τ（LΦ*, LΦ）-连续的订单间隔；（5） f在序区间上是τL-连续的，或等价的序连续的，即f（ξ）=limnf（ξn），只要ξn→ ξa.s.和（ξn）nis阶有界于LΦ*.证据（1）=> （2）=> （3）=> （4）都是琐碎的；（4）<=> （5）自τ（LΦ*, LΦ）与τL在序有界集上重合。假设（5）。然后，根据定理4.4，f=f**, 因此，根据Moreau定理【16】，每个∧c：={η∈ LΦ：f*（η）≤ c} ，c∈ R、是σ（LΦ，LΦ*)-契约

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nandehutu2022

2022-5-30 20:50:20

根据杨氏不等式，对于任何λ>0，ξ∈ LΦ*和η∈ ∧c，（4.1）| E[ηξ1A]|=E[ηξ1A]∨ E[η(-ξ） 1A]≤λ（f（λξ1A）∨ f级(-λξ1A）+c），这意味着∧cξ，ξ∈ LΦ*, 一致可积，因此∧cisσ（LΦ，LΦ*)契约如果∧cξ不是一致可积的，则ε>0∈ 风扇ηn∈ ∧C取P（An）≤ 2.-nand | E[ηnξ1An]|≥ ε; 此处注意E[|ζ| 1A]≥ 2ε表示| E[ζ1A∩{ζ>0}]|≥ ε或| E[ζ1A∩{ζ<0}]|≥ ε和P（A∩ {ζ 0}）≤ P（A）。但由于|λξ1An |≤ λ|ξ|和λξ1An→ 对于每个λ>0，（5）和（4.1），P中的0以及径向变元表明| E[ηnξ1An]|→ 0，矛盾。f在每个闭球上（顺序）τL-连续的性质意味着（通过（5））f的Mackey连续性。当且仅当τ（LΦ）时，逆蕴涵适用于所有单位凸函数*, LΦ）| BΦ*= τL | BΦ*. 实际上，生成Mackey拓扑的半形式是有限值Mackey连续凸函数。如备注2.4所示，如果Φ（x）=x，则情况并非如此；更一般地说，每当Φ*∈ （那么LΦ是反作用力）。当τ（LΦ）精确时*, LΦ）与τLonBΦ重合*这是一个有待进一步调查的微妙问题。10 F.Delbaen和K.Owariermark 4.6。在（5）的证明中=> （1），我们只使用了f=f的事实**和f|[-ζ、 ζ]在0处是τL-连续的，由此我们得出f是τ（LΦ*, LΦ）-0时连续。因此，如果f是先验的，则假定为σ（LΦ*, LΦ）-LΦ上的lsc*（或定理4.4中的任何等价物）和f（ξ）<∞ （我们可以通过平移假设ξ=0），以下保持等效：（1）f是τ（LΦ*, LΦ）-在ξ处连续，（2）f依次τ（LΦ*, LΦ）-在ξ处连续，（3）f（ξ）=limnf（ξn），每当ξn→ ξinτ（LΦ*, LΦ）和supnkξnkΦ*< ∞, （4）相同，但带有|ξn |≤ 对于某些ζ∈ L+Φ*, （5） ξn相同→ ξin P和ξn≤ 对于某些ζ∈ L+Φ*.

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2022-5-30 20:50:24

4.1货币效用函数的应用效用理论中的凹函数u:LΦ*→ R∪ {-∞} 满足以下属性的称为货币效用函数（参见[7，8]）：u（0）=0；ξ∈ LΦ*, ξ≥ 0=> u（ξ）≥ 0；（4.2）a∈ R、 ξ∈ LΦ*=> u（ξ+a）=u（ξ）+a.（4.3）自-u是一个凸函数，称为凸风险测度，定理4.4和4.5具有明显的符号变化，刻画了mackey拓扑τ（LΦ）u的基本规律*, LΦ）。（4.2）和（4.3）给出了更好的描述。定理4.7。一个货币效用函数u:LΦ*→ R∪ {-∞} isσ（LΦ*, LΦ）-上半连续（或相同的，τ（LΦ*, LΦ）-上半连续）当且仅当ifit从上方连续：ξn↓ ξ=> u（ξ）=limnu（ξn）。（4.4）在这种情况下，u的对偶表示可以写成（4.5）u（ξ）=inf{EQ[ξ]+c（Q）：c（Q）<∞},其中Q通过概率绝对连续w.r.t.P和dQ/dP运行∈ LΦ，c（Q）=(-u）*(-dQ/dP）和等式[ξ]=E[ξdQ/dP]。证据从定理4.4中可以清楚地看出，由于ξn↓ ξ表示ξn→ ξ有序。对于效率，我们首先表明（4.2）–（4.4）意味着u是单调的，即（4.6）ξ，η∈ LΦ*, ξ≤ η=> u（ξ）≤ 由于（4.3），我们可以假设u（ξ）=0。对于每个ε∈ （0，1），设αε=（1- ε） /ε，因此ζε：=η+εξ-+αε（η+εξ--ξ）≥ 0、输入λε：=αε/（1+αε）∈ （0，1），我们有η+εξ-=λεξ+（1- λε）ζε，因此由凹度u（η+εξ-) ≥ λεu（ξ）+（1- λε）u（ζε）≥ 然后（4.4）表示u（η）=limnu（η+n-1ξ-) ≥ 0=u（ξ）。现在通过定理4.4应用于凸函数-u、 σ（LΦ*, LΦ）-u的上半连续性等价于u（ξ）的性质≥ lim supnu（ξn）每当ξn→ ξa.s.和（ξn）nis阶界为LΦ*; 考虑到u的单调性（4.6），这相当于（4.4）。

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2022-5-30 20:50:27

f的对偶表示=-u加上（4.2）和（4.3）产率（4.5）是标准的。对偶Orlicz空间11上的凸函数注意，如果u是有限值（R值），（4.2）和（4.3）仍然暗示（4.6），而不假设（4.4）。对于ε7→ u（η+εξ）-) 作为R上的有限值凸函数是连续的。我们可以很容易地看到，任何货币效用函数都是τ（LΦ*, LΦ）连续0为有限值。对于这样的u，定理4.5得出定理4.8。一个货币效用函数u:LΦ*→ R为τ（LΦ*, LΦ）-连续如果（且仅当）它从下方连续，即ξn↑ ξ=> u（ξ）=limnu（ξn）。证据考虑到u是有限的、单调的和变换的，下面的连续性意味着上面的连续性。对于ifξn↓ ξ、然后u（ξ）≥u（ξn）+u（2ξ- ξn），因此从下到下的连续性和单调性意味着0≤ u（ξn）-u（ξ）≤u（ξ）- u（2ξ- ξn）↓ 自2ξ起为0- ξn↑ ξ。特别地，u是σ（LΦ*, LΦ）-usc。另一方面，同样通过单调性，u从下面开始的连续性等价于当ξn时u（ξ）=limnu（ξn）的性质→ ξa.s.和（ξn）nis阶有界inLΦ*. 现在的结果来自定理4.5。附录命题1.2的证明。仅（3）=> （1）值得一个证明。（3）根据命题1.1，意味着f=f**, 和| E[η1A]|≤n（f（n1A）∨ f级(-n1A）+c）表示A∈ F和η∈ L带f*（η）≤ c.杨氏不平等；因此（3）意味着{η∈ 五十： f级*（η）≤ c} 一致可积，因此σ（L，L∞)-由Dunford-Pettis定理压缩。NowMoreau定理[16]表明f是τ（L∞, 五十） -连续。引理2.1的证明。对于每个ξ∈ LΦ*, η7→ ηξ连续映射（LΦ，σ（LΦ，LΦ*))into（L，σ）（L，L∞)) 自ξζ起∈ Lζ∈ L∞. 因此，如果A相对σ（LΦ，LΦ*)紧致，其像Aξ在L中相对弱紧致，即。

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2022-5-30 20:50:31

一致可积。相反，如果Aξ，ξ∈ LΦ*, 一致可积，则cξ：=supη∈AE[|ηξ|]<∞对于每个ξ∈ LΦ*, 所以A在代数对偶L#Φ中是逐点有界的*LΦ的*, andA相对σ（L，L∞)-L中的紧致。因此，如果（ηα）α是a中的一个网，其逐点极限f（ξ）=limαE[ηαξ]在L#Φ中*, 存在唯一η∈ 也就是f | L∞（ξ） =E[ηξ]表示ξ∈ L∞. 然后对于每个ξ∈ LΦ*, E[|ηξ|]=上[ηξ1{|ξ|≤n} sgn（ηξ）]=supnf（ξ1{|ξ|≤n} sgn（ηξ））≤ cξ，因此η∈ LΦ，而| f（ξ）- f（ξ1{|ξ|≤n} ）|=| f（ξ1{|ξ|>n}）|≤supη∈AE[|ηξ| 1{|ξ|>n}]→ 0，因为Aξ是一致可积的；因此f（ξ）=E[ηξ]。因此A是逐点有界的，其σ（L#Φ*, LΦ*)-L#Φ闭合*位于LΦ；henceA相对σ（LΦ，LΦ*)-契约参考文献[1]Albiac，F.和N.J.Kalton（2006）：Banach空间理论中的主题，《数学研究生课程》，第233卷。斯普林格，纽约。[2] Aliprantis，C.D.和O.Burkinshaw（2003）：局部实心Riesz空间及其在经济学、数学调查和专著中的应用，第105卷。美国数学学会，普罗维登斯，RI，第二版[3]和^o，T.（1960）：Orlicz空间上的线性泛函。Nieuw Arch。一线生机。（3） 8，1–16.12 F.Delbaen和K.Owari【4】Banach，S.（1932年）：TheOrie des opérations linéaires，Monogo fie Matematyczne，第1卷。瓦萨瓦Matematyczny Polskiej Akademi Nauk研究所。切尔西出版公司1955年再版。[5] Biagini，S.和M.Frittelli（2009）：关于Namioka-Klee定理的推广和风险度量的Fatou性质。《金融经济学中的最优与风险现代趋势》，柏林斯普林格出版社，第1-28页。[6] Delbaen，F.（2009）：效用函数的可微性。《数学金融中的最优与风险现代趋势》，柏林斯普林格出版社，第39-48页。[7] Delbaen，F.（2012）：货币效用函数，大阪大学CSFI讲座笔记系列，第3卷。大阪大学出版社。[8] F"ollmer，H.和A。

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2022-5-30 20:50:34

Schied（2011）：随机融资。Walter de Gruyter&Co.，柏林，第三版，《离散时间导论》。[9] Gao，N.、D.H.Leung和F.Xanthos（2016）：风险度量的双重表示问题。arXiv:1610.08806。[10] Gao，N.和F.Xanthos（2015）：关于C属性和w*-风险度量的表示。arXiv:1511.03159。[11] Grothendieck，A.（1973）：拓扑向量空间。Gordon和Break Science出版社，纽约。奥兰多·查柳布（OrlandoChaljub）将《数学及其应用注释》从法语翻译而来。[12] Jouini，E.、W.Schachermayer和N.Touzi（2006）：法律不变风险度量具有Fatou属性。In：数理经济学进展。第9卷，高级数学。经济。，第9卷，Springer，东京，第49-71页。[13] Komlos，J.（1967）：斯坦豪斯问题的推广。数学学报。Acad。Sci。亨加。18217–229。[14] Lindenstrauss，J.和L.Tzafriri（1979）：经典Banach空间。二、 Ergebnisseder Mathematik and ihrer Grenzebiete[数学和相关领域的结果]，第97卷。Springer Verlag，柏林，纽约。函数空间。[15] Meyer Nieberg，P.（1991）：Banach格。UniversityText。施普林格·维拉格，柏林。[16] Moreau，J.-J.（1964）：Sur la fonction polaire d\'une fonction semi-continue supéurement。C、 R.Acad公司。Sci。巴黎2581128–1130。[17] Nowak，M.（1988）：关于Orlicz格的序结构。公牛波兰Acad。Sci。数学36239-249（1989）。[18] Ostrovskii，M.I.（2001）：Banach空间理论中的弱*序列闭包及其应用。In：Banach空间中的一般拓扑，Nova Sci。出版物。，纽约州亨廷顿，第21-34页。[19] Ostrovskii，M.I.（2011）：对偶Banach空间中的弱*闭包和导出集。记事本。31229–138。[20] Rao，M.M.和Z.D.Ren（1991）：Orlicz空间理论，专著和纯数学和应用数学教科书，第146卷。Marcel Dekker，Inc.，纽约。[21]Zaanen，A.C.（1983）：Riesz空间。

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