关于一致性风险度量的索赔表示和套期保值

2022-5-31 06:12:21

财务状况以适当的概率速度建模为本质上有界的随机变量(Ohm, F、 P）。一致风险测度是L上的实值泛函∞(Ohm, F、 P）即现金流入、单调、凸、正齐次；见【10】。一致的风险度量为每个财务状况分配了一个真实的价值：那些*Saul D.Jacka感谢EPSRC赠款EP/P00377X/1提供的资金，也感谢图灵研究所在EPSRC赠款E P/N510129/1下提供的财政支持。电子邮件：s.d。jacka@warwick.ac.ukDepartment英国华威考文垂统计大学CV4 7AL+Seb Armstrong感谢EPSRC博士培训合作计划/M508184/1提供的资金。电子邮件：seb。armstrong@gmail.comDepartment英国华威考文垂统计大学CV4 7AL的电子邮件：berkaoui@yahoo.frCollege科学伊玛目穆罕默德·伊本·沙特伊斯兰大学。O、 84880号信箱：利雅得11681沙特阿拉伯无阳性风险视为可接受。我们用一组可接受的索赔来表示。很容易看出A是L中的圆锥体∞.一致性风险度量是一种储备机制：我们假设保险人正在根据一致性风险度量ρ建立风险市场（或至少为风险服务），并且他们对arandom索赔X收取费用或储备价格ρ（X）。

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2022-5-31 06:12:24

因此，保险人应始终接受持有风险索赔X并充分保留的总体立场。如果对于概率上接近X的任何非有效有界序列Xn，lim infnρ（Xn），则不同的风险度量ρ满足Fatou性质≥ ρ（X）。当且仅当对于P绝对连续的一组概率测度，我们可以将ρ表示为ρ（X）=supQ时，共租风险测度满足Fatou性质∈QEQ【X】。回想一下，L的对偶∞(Ohm, F、 P）是上所有完整相加度量的空间(Ohm, F）该区域相对于P绝对连续。Fatou性质允许我们将双优化搜索限制为L中的元素(Ohm, F、 P），通过其氡-尼古丁导数确定可能性度量。我们装备空间L∞和弱者在一起*拓扑σ（L∞, 五十），因此拓扑对偶是L。接受集A是弱的*-关闭我们假设保险人可以进行多次交易{0，1，…，T}。在每次t时，保险人可以根据西格玛代数Ft中的信息重新评估风险。条件一致性风险度量是一致性风险度量的自然概括；同样，这样的度量ρtsatis是法图属性，当且仅当对于一组P-绝对连续概率度量，我们可以用ρt（X）=es s supQ表示ρtby∈QtEQ[X | Ft]。在下面的内容中，我们确定了所有t的Qt=Q，并确定了时间t-接受集At，作为所有索赔x的s集∈ L∞(Ohm, F、 P）ρt（X）≤ 0.最简单的储备行为是持有一定数量的现金ρ（X），直到保险人必须支付索赔X。更一般地说，从现金ρ（X）开始，保险人交易任何可用的金融资产，构建一种自我融资策略，其终值等于或超过到期时索赔X的价值。

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2022-5-31 06:12:27

如果该策略是通过在资产集合V=（V，…，vd）asnum'eraires中进行交易来构建的，那么我们可以说，债权可以用向量V来表示。如果我们允许自己有足够多的资产集合，那么表示总是可能的：为了对冲有界债权X，我们只需要购买并持有价值为X的债权。因此，利息，应重点选择代表数字V的节俭集合，并确定何时出现此类集合。我们将确定索赔X可预测地由V表示，如果从准备金ρ（X）开始，我们可以通过以可接受的方式在每个时间段内以V进行交易来转移风险，这样最终财富等于索赔的价值：对于投资组合Yt∈ L∞(Ohm, Ft，P；Rd+1），我们有X=ρ（X）+T-1Xt=0（Yt+1- Yt）·V，其中每个增量满足ρt（（Yt+1- Yt）·V）≤ 0、我们在（V）处写入所有投资组合投资的集合，该集合的re time-t可接受。如果接受集是弱者，那么它是可预测的V-re可呈现的*锥之和的闭合Kt（A，V）：=At（V）∩ L∞(Ohm, Ft+1，P；Rd+1），A（V）=⊕T-1t=0Kt（A，V）。对于X可预测地表示，我们的意思是X可作为索赔X=PtCt之和实现（可表示），其中每个CTI在时间段（t，t+1）内实现，并在时间段t+1支付。或等效地，Ais的每个元素可通过一个时间段b ets的集合在时间0，1，…，t以V为单位实现- 1，并在时间1交易，T本文的一个关键贡献是提供了V-代表性的双重特征。概率测度集q上的RecallDelbaen乘法稳定性（此后为m-稳定性）条件。

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2022-5-31 06:12:30

我们通过其Radon-Nikodym-der-ivative，在对偶coneA中用随机变量识别Q中的概率测度s*= {Z∈ 五十： E【ZX】≤ 0十、∈ A} 。双锥面A*对于任何停止时间τ和Z，Z∈ A.*使得E[Z | Fτ]=αE[Z | Fτ]，然后αZ∈ A（V）*. Se e【7】。同样，双锥面A（V）*对于任何停止时间τ和Z，Z，V-m-稳定∈ A（V）*使得E[Z | Fτ]=αE[Z | Fτ]，然后αZ∈ A（V）*. 为了说明V-m-稳定性和V-可表示性的等价性，我们在表示Kt（A，V）中给出了每个和的优雅对偶*= Mt（A（V）*), 称为A（V）的可预测预映像*在时间t，除了有助于证明V-可预测代表性和可预测V-m-稳定性的等价性外，可预测m-稳定凸锥的可预测前像a（V）*时间t是对时间t持有的一组投资组合的对偶的具体描述，目的是在时间t+1之前保持可接受的头寸。我们证明了V-代表性等价于风险测度的时间一致性。如果ρt=ρt，则风险度量是时间一致的o ρt+1。也就是说，今天为索赔X预留的准备金正好足以为明天的索赔X预留准备金；参见【11、7、13、15】中此类度量s的示例。序列（ρt）不一定是时间一致的；参见示例【5、6】。时间一致性的考虑对于巴塞尔协议III ac协议下的银行风险加权资产（RWA）建模非常重要。最近的一份咨询文件【12】强调了方法上的变化，从使用基于风险价值（VaR）的风险度量，到使用基于预期短缺（ES）的风险度量，也称为平均风险价值（AVaR，见【9】）。正如Cheridito和Stadje【6】所示，AVaR不是时间一致的。在第2节中，我们详细阐述了对这三个性质的概括：即V-时间一致性、V-代表性和V-m-稳定性。

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2022-5-31 06:12:33

在本节中，我们以风险平均值为例来说明我们的定义。本文的主要结果是三个性质的等价性。在第3节中，我们提供了一些示例。在第四节中，我们证明了主要结果。我们强调了过滤（Ft）t=0，。。。，t播放。2定价措施我们记录了一些定义和概念。我们确定终端时间T∈ N、离散时间集T：={0，1，…，T}。我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P），其中P是参考度量或客观度量。过滤（Ft）t∈t描述每个时间点的可用信息。所有P-本质边界F-可测随机变量的空间为L∞= L∞(Ohm, F、 P）；我们缩写为L∞(Ohm, Ft，P）至L∞t、本质有界Rd值随机变量的空间是L∞（Rd）=L∞(Ohm, F、 P；Rd）。我们用L表示非负（分别严格正）本质有界随机变量s的锥∞+（分别为L∞++). 我们用e，…，表示Rd+1中的正则基向量，ed.每次t∈ T、我们希望利用当时可用的所有信息对货币风险进行定价。回顾以下定义，改编自【8】：定义2.1。A ma pρt:L∞→ L∞t对于t∈ T是一个条件凸风险测度，如果对于所有X，Y∈ L∞,它具有以下属性：o条件现金不变性：对于所有m∈ L∞t、 ρt（X+m）=ρt（X）+m P-几乎肯定；o单调性：如果X≤ Y P-几乎肯定，然后ρt（X）≤ ρt（Y）；o条件凸性：对于所有λ∈ L∞twith 0≤ λ≤ 1，ρt（λX+（1- λ） Y）≤ λρt（X）+（1- λ） ρt（Y）P-几乎肯定；o归一化：ρt（0）=0 P-几乎可以肯定。此外，如果条件凸风险度量也满足o条件正同质性：对于所有λ∈ L∞twithλ≥ 0，ρt（λX）=λρt（X）P-几乎可以肯定。我们的兴趣主要在于准备和履行债务。

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2022-5-31 06:12:36

我们看到一个正的随机变量X是一个增益，一个负的X是一个损失，这解释了现金不变性中符号的选择，以及单调性的方向。定义2.2。对于任何有界序列（Xn）n，凸风险度量满足Fatou性质≥1.L∞转换到X∈ L∞在概率中，我们有ρt（X）≤ lim信息→∞ρt（Xn）。Fa-tou性质等价于从上到下的连续性：ρtis从上到下的连续性if，where（Xn）n≥1. L∞是一个非累加序列，因此Xn↓ X P-a.s.，然后ρt（Xn）↓ ρt（X）P-a.s.作为n→ ∞定义2.3。动态一致性风险度量是一个集合ρ=（ρt）t=0，。。。，T、其中，每个ρ是一个满足Fatou性质的条件一致风险度量，表示度量集Q：ρT（X）=es s supQ∈QEQ【X | Ft】。条件一致风险测度ρt:l的可接受集∞→ L∞tisAt={X∈ L∞: ρt（X）≤ 0}。对于以下结果，我们请读者参考[10]和[8]。我们装备空间L∞和弱者在一起*拓扑σ（L∞, 五十），因此拓扑对偶将是L。Rec所有的C索赔集都是无套利的∩ L∞+= {0}。2号提案。4、对于每个t，定义为动态条件相干风险度量ρt:L的接受集∞→ L∞t使法头地产合格。那就是弱者*-闭凸锥在有界正可测随机变量相乘下是稳定的，它包含∞-, 而且是无套利的。备注2.5。从现在起，为了强调一致的风险度量通常是有条件的，我们应参考接受集，而不是数量，数量定义为随机变量v∈ L∞++使1/v∈ L∞++. 我们将在此发布一个数量为V=（V，…，vd）的有限集合≡ 1.2.1时间一致性在本节和后续章节中，我们确定了集合Q的概率测度s Q o及其RadonNikodym导数DQDP。

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kedemingshi

2022-5-31 06:12:40

我们相信，从上下文中可以清楚地看到将使用哪个版本。以下定义摘自Acciaio等人【1】。定义2.6。随机变量的动态相干风险测度（ρt）t∈如果对于所有t≤ T- 1，对于所有X∈ L∞,ρt（X）=ρt（ρt+1（X））。我们注意到，时间t时X的储备是ρt（X）。将强大的时间一致性概括为：定义2.7。动态凸风险测度ρ=（ρt）t=0，。。。，如果，对于任何X，都可以预测V时间组∈ L∞任何t<t，我们有ρt（X）=ess inf{ρt（Y.V）：Y∈ L∞（Ft+1，Rd+1）和X- Y·V∈ 在L中的+1}（1）处∞, i、 e.，Atis在拓扑σ（L）中闭合∞, 五十）很容易检查，如果V≡ 1，则强时间一致性为V时间一致性。一般来说，强时间一致性意味着V时间一致性。要看到这一点，首先假设时间具有很强的一致性。如果我们取Y=ρt+1（X），Y的所有其他分量都为零，那么ρt（Y·V）=ρt（ρt+1（X））=ρt（X）和X-Y·V=X-ρt+1（X）∈ 在+1处。反之，ρt（X）=ρ（Z·V+（X-Z·V）≤ ρ（Z·V）+ρ（X-Z·V）所以如果X-Z·V∈ +1时ρt（X）≤ ρt（Z·V）。我们在有限样本空间中演示了可预测的时间一致性Ohm 有迹象表明平均风险值的版本发生了变化。示例2.8（平均风险价值）。考虑过滤概率空间Ohm = {1，2，3，4}带Ftrival，F=σ（{1，2}，{3，4}），F=2Ohm= F（描述两个时间步上的二叉分支树）。定义AVaR，平均风险价值定价度量，byAVaR（X）：=λZλqX（α）dα，其中qX（α）=inf{X∈ R:P[X≤ x] >α}。我们可以代表AVaR asAVaR（X）=supQ∈QλEQ[X]，其中Qλ=概率测度Q<< P:dQdP≤λ,注意标志变更，使AVaR成为一种定价措施；见【10】第4.4节。

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2022-5-31 06:12:43

我们设置λ=，而客观测度由P[{1}]=，P[{2}]=P[{3}]=，和P[{4}]=。为了便于记法，我们用原子上概率测度Q的值Q（{i}）=：qi来表示概率测度Q，类似地，我们为随机变量X写X（i）=xi：Ohm → R、很容易看出，表示集Qλ是Qλ={Q=（Q，Q，Q，Q）：Xi=1qi=1，0≤ q≤, qi公司∈ [0，1]表示i=2，3，4}。Qλ是6个点的凸包：Qλ=conv{（，，0，0），（，0，0），（，0，0，，）（0，1，0），（0，0，1，0），（0，0，0，0，0，1）}时间-0可接受的要求集isA={X=（X，X，X，X）：Xi=1qixi≤ Q为0∈ Qλ}。很明显，X∈ Aif且仅ifPi=1qixi≤ Qλ的六个极值点Q中的每一个都为0。这六个不等式简洁地概括为asA={X=（X，X，X，X）：xi≤ 0表示i=1、2、3、4；或x≥ 0和xi≤ -xfor i=2，3，4}。定义X：={1}-{2,3,4}。那么很明显a={αX- β：α≥ 0，β∈ L∞+}.time-1验收集isA={X=（X，X，X，X）：qx+qx≤ 0和qx+qx≤ Q为0∈ Qλ}=L∞-.索赔（AVaR，AVaR）与时间不一致。证据很容易检查AVaR（X）=0，AVaR（X）={1,2}-{3,4}，thusAVaR（AVaR（X））=AVaR（{1,2}-{3,4}）=1>0=AVaR（X）。现在我们设置V=（V，V），其中V≡ 按惯例为1，v=X+2，因此v=3{1}+{2,3,4}>0。索赔AVaR是可预测的V时间一致性。证据对于任何可接受的风险X∈ Awe可设置X=αX-β、其中β是事件{1}上取值为0的非负随机变量。我们通过在vand中保留α来保留X-现金v中的2α，给出了从可接受ris ks X到v:Y中初始储备投资组合的映射Y=-2αα. （2）显然Y·V=αX.SetY=-（2α+β（2））{1,2}- （α+β（3）∧β（4））{3,4}（α+β（2））{1,2}, （3）所以y·V=αX- β（2）{2}- β（3）∧ β（4）{3,4}。现在，我们有了AVaR（X- Y·V）≤ 0，AVaR（X- Y·V）≤ 0和AVaR（Y·V）=AVaR（X）和AVaR（Y·V）=ρ（X），根据需要。

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2022-5-31 06:12:46

因此，AVaR可以预测V-time-c是一致的。2.2可预测代表性给定L中的任何圆锥D∞和我们的数量向量V，我们定义了到床的投资组合集合（V）={Y∈ L∞(Ohm, F、 P；Rd+1）：Y·V∈ D} 。Ft+1可测量的time-t可接受投资组合集为Kt（A，V）：=A（V）∩ L∞t+1（Rd+1）。定义2.9。锥A（V）是可预测分解的ifA（V）=⊕T-1t=0Kt（A，V），其中clo在弱*-拓扑结构。在本案例中，我们说锥形Ais可预测，如例2.8所示（续）。[风险平均值]我们回到Ex ample2.8的设定值。声明接受集Ais不可预测地由1表示。证据我们注意到k（A，1）={X∈ L∞（F）：X∈ A} =L∞-（F） K（A，1）=A=L∞-如果Ais可预测地表示为1，则A=K（A，1）+K（A，1）=L∞-;但是，A包含不在L中的X∞-.现在将V=（1，3{1}+{2，3，4}）设置为之前的值。声明V.Proof可预测地表示的集合。对于任何X∈ Awe可以写入X=αX- β、对于α≥ 0和β∈ L∞+. 定义π=Y和π=Y-Yfor Y，Yas in eqs。（2）（3）我们有X≤ π·V+π·V∈ K（A，V）⊕K（A，V）。当t=0，1时，任何非正随机变量都在Kt（A，V）中，因此X在和中，前提是A K（A，V）⊕ K（A，V）。背面的夹杂物很明显。2.3稳定性我们回顾了Delbaen在标准随机基础上的m-稳定性条件(Ohm, F、（Ft）t，P）：定义2.10（Delbaen[7]）。一组概率测度S L(Ohm, F、 P）对于elementsQZ是m-稳定的∈ S和P~ QW公司∈ S、伴随密度鞅Zt=EhdQZdPFTI和Wt=EhdQWdPFti，对于每个停止时间τ，定义的鞅L为lt=（zt表示t≤ t的τZτWτwt≥ τ定义了S中的一个元素。请注意，如果τ是停止时间，且Z，W∈ S是这样的，Zτ=αWτ，然后是αW∈ S、在上述定义中取α=ZτWτ，然后取L=αW。

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2022-5-31 06:12:49

现在，我们定义了子集D的m-稳定性的一个因子值推广 L+（Rd+1）。定义2.11。子集D 当τ≤ T是停止时间，无论何时Z，W∈ D，其中E[Z | Fτ]=αE[W | Fτ]，（4）对于一些标量α，则αW也在D中。注意，（4）意味着α是Fτ-可测且非负的。备注2.12。如果（Gs）s=t，。。。，Sis与Gu的过滤 fu对于ea ch u，D对于（F）是可预测的m-稳定的，那么D对于（G）也是可预测的m-稳定的。定义2.13。圆锥体D 如果DV={Y V:Y，则称L+是可预测的V-m-稳定的∈ D} 我预测m-稳定。备注2。在d=0的情况下，我们有V≡ 因此，氡NikodyMd衍生物 L+是1-m-稳定的，这正是D是m-稳定的要求。A（V）中的每个随机向量Z*可以写成V的倍数，即Z=eZV with EZ∈ A.*.引理2.15。假设V是d+1个数的集合，d是L中的凸锥∞. 然后（V）*= D*五、证明。先取Z∈ D*. 对于任何X∈ 我们有E[ZV·X]≤ 0和so ZV∈ D（V）*, 重击（V）* D*五、对于反向包含，回想一下，eidenotes是Rd+1中的第i个正则基向量。首先，自V·α（viej- vjei）=0，我们有α（viej- vjei）∈ D（V）α∈ L∞.取Z∈ D（V）*. 现在，对于任何i，j∈ {1，…，d}，α∈ L∞, 我们有[Z·α（viej- vjei）]≤ 将i和j颠倒过来，我们可以写出E[Z·α（viej- vjei）]=0，允许第一个α={Z·（viej-vjei）>0}则α={Z·（viej-vjei）<0}，我们看到事实上，Z·（viej- vjei）=0 a.s.对于任何i，j，所以取i=0，我们得到Zj=Zvja。s、对于每个j，因此任何Z∈ D（V）*对于某些Z，必须为ZV形式∈ 五十、现在，给定C∈ D、取X，使X·V=C（这意味着X∈ D（V）），然后0≥ E[W V·X]=E[W C]，由于C是任意的，因此W∈ D*. 因此D（V）* D*五、备注2.16。

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2022-5-31 06:12:52

根据引理2.15，我们可以检查A（V）*≡ A.*可以预见，V在以下方面是稳定的。我们首先关联到每个Z∈ A.*概率测度QZ，通过其Radon-Nikodym导数qzdp=ZE【Z】定义。我们注意到如果Z，W∈ A（V）*, 那么我们可能会发现，fW∈ A.*这样Z=eZV a和W=fW V。V≡ 1给出了条件E[Z | Fτ]=mE[W | Fτ]与条件eqez[V | Fτ]=EQfW[V | Fτ]的等价性。（5）集合A（V）*对于任何s打顶时间τ，可预测V-m稳定≤ T，whenevereZ，fW∈ A.*是这样的，thenEheZFτiEhfWFτiW∈ A.*（五）。示例2.8（续）。我们返回到示例2.8的设置。索赔A*不是m稳定的。证据定义度量值Q=（，，0，0）∈ Qλ和Q=（，0，，0）∈ Qλ。我们通过设置deqdp=EhdQdP来形成测量值Qand q1的时间1粘贴FiEhdQdPFidQdPso thateQ=（1，0，0，0）。现在，eq=1>哪个显示顺序6∈ Qλ，因此Qλ不是m-稳定的。现在将V=（1，3{1}+{2，3，4}）设置为之前的值。索赔A*是V-m-稳定的。证据首先，考虑粘贴Q=Q⊕停止时间τ：deQdP=E时Qλ中Q和Q′的测度τQ′dQdPFτEdQ′dPFτdQ′dP=dQ′dP{τ=0}+EdQdPFEdQ′dPFdQ′dP{τ=1}+dQdP{τ=2}。根据注释2.16，我们在*与相关的概率度量Q和Q′额外满足EQ[v | Fτ]=EQ′[v | Fτ]，我们旨在证明∈ Qλ。在事件{τ=0}（分别为{τ=2}）上，我们有thateQ=Q′（分别为eq=Q）和边界eq（1）≤非常满意。事件{τ=1}是, {1，2}，{3，4}，Ohm.

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2022-5-31 06:12:56

写入Q=（qi）i=1，表示ω∈ {1，2，3，4}，EQ[v | F]（ω）=3q+qq+q{q+q>0}{1,2}（ω）+{q+q>0}{3,4}（ω）我们可以粘贴满足3q+qq+q{q+q>0}{1,2}+{q+q>0}{3,4}=3q′+q′+q′+q′+q′+q′>0}{1,2}+{q′+q′>0}{3,4}在{τ=1}上，这简化了qq{q+q>0}{1,2}的要求∩{τ=1}+{q+q>0}{3,4}∩{τ=1}=q′q′{q′+q′>0}{1,2}∩{τ=1}+{q′+q′>0}{3,4}∩{τ=1}。（6）关于{τ=1} {1} ，粘贴权重{1}asQ⊕τQ′（{1}）=（Q+Q）Q′Q′+Q′{Q′+Q′>0}=（Q+Q）Q′Q′Q′+1{Q′+Q′>0}（6）=Q{Q+Q>0}其他情况很容易检查。因此Q⊕τQ′∈ A.*, 和A*是V-m-稳定的。2.4主要结果Fix num'eraires V，一个一致的风险度量ρ=（ρt）乘以概率度量的凸表示集Q，并取Atto作为ρt的可接受集∈ T、主要结果是Theorem 2.17。以下是等效的：（i）（ρt）t∈可预测的是V时间一致性；（ii）可预测由V代表的Ais；（iii）A（V）*可以预见是m-稳定的。第4节将给出程序。现在，我们在定理证明2.17中强调了航路点。将条件期望E[·| Ft+1]视为从L（Rd+1）到Lt+1（Rd+1）的投影，我们通过首先将D投影到Lt+1（Rd+1），然后拍摄偷盗锥，最后拍摄投影E[·| Ft+1]下的预图像，来确定时间t时D的可预测预图像。集合E的Ft锥为{αw+βw：α，β∈ L∞+（英尺），宽，宽∈ E} 。更简明地说：定义2.18。对于D L+（Rd+1），我们为每次t定义D byMt（D）的可预测前图像：={Z∈ L（Rd+1）：αt∈ Lt，+，Z′∈ d如αtZ′所示∈ L（Rd+1）和E[Z | Ft+1]=αtE[Z′Ft+1]}。（7）集合D的可预测预映像 L+（Rd+1）是理解可预测稳定的对流函数的关键，如以下三个引理所示。第一个给出了稳定性的另一个特征：引理2.19。让D L+（Rd+1）。以下是等效的：（i）对于每个t∈ {0，1。

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何人来此

2022-5-31 06:12:59

，T}，无论何时Y，W∈ D是存在Z的∈ D、 a组F∈ Ft，正随机变量α，β∈ L（Ft），αY，βW∈ L（Rd+1）和X:=FαY+FcβW满足E[X|Ft]=E[Z|Ft]，那么X也是D的成员；（ii）D是可预测稳定的，即对于每个停止时间τ≤ T，无论何时Z，W∈ D是这样的，e[Z | Fτ]=mE[W | Fτ]，那么mW也是D证明的一个成员。（二）==> （i）：我们假设（ii）成立，并且∈ T、我们的目标是D中的三个随机变量，W，Z，以及F∈ 条件（i）中要求的Ft和α、β，因此我们可以应用（ii）twic e来证明条件（i）中定义的结果X是D的一个成员。首先，假设τ=TF+tfc，假设Z，W∈ D满足EZi公司Fτ= 我Wi公司Fτ对于所有i.By（ii），我们有ex：=mW∈ D、写入β：=EZi公司英尺E[Wi | Ft]{E[Wi | Ft]>0}，我们可以表示ex=ZF+βWFc。第二，设eτ=tF+TFcand suppos e Y∈ D满足EheXiFτi=emE易Fτ对于所有i.By（ii），我们有X：=emY∈ D、写入α：=EheXiFtiE[Yi | Ft]{E[Yi | Ft]>0}，我们可以表示X=αYF+βWFc。现在，我们有一个固定的，Y，W，Z∈ D、 a组F∈ Ft和正r.v.sα、β∈ L（英尺）。我们已经准备好了X∈ D、因此，仍需检查上述定义的X和Z是否满足E【X | Ft】=E【Z | Ft】。E【X | Ft】=FE【αY | Ft】+FcE【βW | Ft】=FEEheXi公司FtiE[Yi | Ft]{E[Yi | Ft]>0}Y英尺+FcE“EZi公司英尺E[Wi | Ft]{E[Wi | Ft]>0}WFt#=FEheXFti+FcE[Z | Ft]=E[Z | Ft]，E确立了陈述（i）。（一）==> （ii）：表示（i）持有；当τ=T时，则（ii）成立。现在假设（ii）对于任何停止时间τ都成立≥ k+1 a.s.，并在停止时间的下限上通过反向诱导来实现。固定任意停止时间eτ≥ k a.s.，定义F={eτ≥ k+1}和停止时间τ*:= eτF+TFc。

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2022-5-31 06:13:03

注意τ*≥ k+1，因为Fc={eτ=k}。我们现在来取Z，W∈ 满足E的DZi公司Feτ= 我Wi公司Feτ对于所有的我，目的是在条件（i）的帮助下，说明MW如何被定义为d的一个元素。为此，定义：=我们Zi公司Fτ*E[Wi | Fτ*]{E[Wi | Fτ* ]>0}=FWEZi公司FeτE[Wi | Feτ]{E[Wi | Feτ]>0}+ZFc。根据归纳假设，由于有界τ，Y在D中*≥ k+1。现在，我们有t=k固定，Y，W，Z∈ D、 a组F∈ Ft和正随机m变量α≡ 1，β：=FcE[Zi | Fk]E[Wi | Fk]。定义：=FαY+FcβW=WFEZi公司FeτE[Wi | Feτ]{E[Wi | Feτ]>0}+WFcEZi公司Fk公司E[Wi | Fk]{E[Wi | Fk]>0}=我们Zi公司FeτE[Wi | Feτ]{E[Wi | Feτ]>0}。检查上述X和Z是否满足E[X | Fk]=E[Z | Fk]是一项基本工作。因此，通过（i），Xis是D的一个元素，它完成了归纳步骤。可积条件αY，βW∈ L（Rd+1）很容易验证。引理2.20。假设D L+（Rd+1）。如果D是可预测稳定的凸锥，则D=T-1\\t=0Mt（D）。证据包含项D ∩T-1t=0Mt（D）是微不足道的。在下文中，我们为E[Z | Ft]设定Z | t位置。现在Z∈ ∩T-1t=0Mt（D），我们用im表示Z∈ D、所以，尽管如此∈ {0，1，…，T- 1} ，存在βt∈ Lt、+和Zt∈ D使得βtZ∈ L+（Rd+1）和Z | t+1=βtZt | t+1。定义ξT-1=ZT-1ξt=Ftκtξt+1+fctzt for t∈ {0，1，…，T- 2} ，其中Ft={βt>0}和κt=βt+1/βt。注Z=Z | t=βt-1ZT-1 | T=βT-1ξT-1和Z=βκ·κ·T-2ξT-1=βξ。因此，我们只需要证明ξ在锥D中，就可以推断Z=βξ在D中∈ {0，1，…，T- 1} ，我们有ξt | t+1=Zt | t+1和ξt∈ D、我们将从观测ξT开始，通过反向归纳法进行处理-1=ZT-1.∈ D、假设s≥ t+1，我们有ξs | s+1=Zs | s+1和ξs∈ D、 ξt | t+1=EFtκtξt+1+FctZt英尺+1= EFtκtZt+1+FctZt英尺+1现在，当βt>0时，即。

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大多数88

2022-5-31 06:13:07

在事件Ft，E上κtZt+1英尺+1=βtEβt+1Zt+1英尺+1=βtE[Z | t+2 | Ft+1]=Z | t+1βt=Zt | t+1允许我们得出ξt | t+1=EFtZt | t+1+FctZt英尺+1= Zt | t+1。通过假设D是稳定的，所以通过引理2.19我们可以看到ξt∈ D、引理2.21。对于D L+（Rd+1），定义[D]：=T-1\\t=0（convMt（D）），其中Mt（D）如（7）所定义，符号conv表示凸包的L+（Rd+1）闭合。（a） [D]是包含D的L+（Rd+1）中最小的可预测m-st可闭凸锥；（b） D=[D]当且仅当D是L+（Rd+1）中可预测的m-稳定闭凸锥。证据很明显，[D]是L中的一个闭凸锥。为了证明[D]是稳定的，我们根据Lemma2.19使用稳定性的定义。修复t∈ {0，1，…，T}，假设Y，W∈ [D] 存在Z∈ [D] ，a集合F∈ Ft，正过程α，β∈ L（Ft），αY，βW∈ L（Rd+1）和X：=αYF+βwfcsaties E[X | Ft]=E[Z | Ft]。我们的目的是证明X也是[D]的一个成员，也就是X∈convMs（D）0≤ s≤ T- 1、首先考虑s∈ {0，1，…，t- 1} 。根据Ms（D）的定义，Z∈ 转换Ms（D）和E【X | Ft】=E【Z | Ft】==> 十、∈ conv Ms（D），因为Ms（D）中可积Z的隶属度仅取决于其条件期望E[Z | Fs+1]。更一般地说，我们显示∈ convMs（D）和E【X | Ft】=E【Z | Ft】==> 十、∈ convMs（D）。取一个序列（Zn）转换Ms（D），使Zn→ Z在L中。确定序列Xn：=E【Zn | Ft】+X-E[X | Ft]。请注意Xn→ X为n→ ∞ 对于每个n，E【Xn | Ft】=E【Zn | Ft】。So Xn∈ conv Ms（D），thusX∈convMs（D）。现在考虑s∈ {t，t+1，…，t- 1} 。我们首先选择序列（Yn），（Wn）转换Ms（D），使Yn→ Y和Wn→ L.定义中的W表示n，K∈ N、 Xn，K：={α≤K} αYnF+{β≤K} βWnFc。Xn，K∈ conv-Ms（D）遵循以下两个基本特性：1。如果Z∈ 转换Ms（D）和g∈ L∞+（Ft），然后是gZ∈ 转换Ms（D）；和2。

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2022-5-31 06:13:10

如果Zi∈ 转换Ms（D），i=1，2，然后Z+Z∈ 转换Ms（D）。现在，对于任何K固定，{α≤K} αYn→{α≤K} αY为n→ ∞, 类似地{β≤K} βWn→{β≤K} βW。由于αY和βW是可积的，我们现在发送K→ ∞ 要查看thatX=limK→∞画→∞Xn，K∈convMs（D），它完成了X是[D]的成员的证明。为了证明含D的稳定闭凸锥类中[D]的极小性，我们注意到ifD D′然后【D】 [D′]。假设D′是另一个包含D的稳定闭凸锥，我们用L e mma2.20得到D′=[D′]，因此D′包含[D]。为了显示语句（b）中的e等价性，前向蕴涵是由于[D]的稳定性，反之则是引理2.20。定理2.17的陈述（ii）和（iii）的等价性证明由以下定理2.22支撑。对于任何t∈ {0，1，…，T-1} ，Kt（A，V）=（Mt（A（V））*))*. （8）我们把证据推迟到第4节。因此，我们将表示（参见定义2.9）中的每个“summand”描述为V.3示例中可接受投资组合的双重可预测预映像的双重集合。在本节中，我们简要阐述了框架的价值。3.1建模交易成本我们现在给出一个示例，其动机是在交易成本跨越两个时间段（T=2）的市场上买卖股票。设Nand和Nbe在客观测度P下为两个独立且相同分布的标准高斯随机变量。固定M>0，并定义截断的随机变量seni：=Ni∧M、对于i=1，2。确定常数Am，使EP[exp（eNi- aM）]=1：aM：=对数EP[经验（eN）]=对数eΦ（M- 1） +eM（1- Φ（M））.让Z∈ Ms（D）。

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2022-5-31 06:13:13

然后αt∈ Lt，+，Z′∈ D使得αtZ∈ Land Z | t+1=αtZ′t+1==> αtg∈ Lt，+，Z′∈ D使得αtgZ∈ 着陆gZ | t+1=αtgZ′t+1，然后取凸包。按Ftrivial定义过滤，F=σ（eN），F=σ（eN，eN）。市场包括一个“现金账户”v≡ 1和时间为2的“库存”价格v=exp英语+英语- 凌晨2点.设置V=（V，V）。在时间0时，购买1单位va的买方必须支付1+λ现金，出售1单位va的卖方收到1-λ。在时间1，知道en的价值，购买1单位vcosts（1+λ）eeN-aM，并销售1台vmakes（1- λ） eeN公司-是用coneFE={αw：α定义集合E的F-锥∈L∞+（F），w∈ 转换}。如果我们也允许财富被消费，我们可以得出以下一组我们可以从零初始财富开始交易的主张：A=锥{(-（1+λ），1），（1- λ，-1） }·V⊕ coneFn公司(-（1+λ）eeN-aM，1），（（1-λ） eeN公司-是-1） o·V⊕ (-L∞+).总之，第一项描述的是那些在时间0可以实现的债权，第二项描述的是那些在时间1可以实现的债权，最后一项描述的是任何时候的财富消费。很容易证明isQ的对偶：=nQ<< P：等式【v】∈ [1- λ、 1+λ]和等式[exp（eN- aM）| F]∈ [1-λ、 1+λ]o。注意，Q是一个非m-稳定的概率测度凸集。通过ρt（X）=supQ定义一致的风险度量∈QEQ【X | Ft】对于t=0，1。我们有ρ（v）=1+λ，但ρ（v）=eeN-aMsupQ公司∈量化宽松-aM | F]=（1+λ）eeN-aM，soρ（ρ（v））=（1+λ）supQ∈量化宽松-aM]=（1+λ）1- λ> ρ（v）。最后一行来自任何Q的不等式∈ Q： 1+λ≥ EQ[v]=EQ[eeN-aMEQ[甚至-aM | F]]≥ （1）- λ） EQ【eeN-aM]。现在，我们可以证明Q必须是V-m-稳定的：我们用RadonNikodym导数∧和m取两个度量Q∧和qm，在停止时间τ形成粘贴∈ {0，1，2}，并检查deqdp=ME[M | Fτ]E[λ| Fτ]定义的固定测量值是否也在Q中。

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2022-5-31 06:13:17

注意{τ=2}=1-{τ≤1}∈ L∞, 我们计算Eeq[exp（eN- aM）| F]=EME[M | F]{τ≤1} +λE[λ| F]{τ=2}exp（eN- aM）F= EQM[试验（eN- aM）| F]{τ≤1} +等式∧[exp（eN- aM）| F]{τ=2}，所以我们看到条件EeQ[exp（eN- aM）| F]∈ [1- λ、满足1+λ）。为了满足V-m稳定性的定义，我们只需检查以下等式∈ 对于满足Q∧[v | Fτ]=EQM[v | Fτ]的Q∧和qm。因此，我们现在计算eEq【v】=EE[λ| Fτ]E[M | Fτ]E[Mv | Fτ]= EE[λ| Fτ]EQM[v | Fτ]= EE[λ| Fτ]EQ∧[v | Fτ]= 公式∧【v】。因此Q是V-m-稳定的。3.2 A H aezendonck–Goovaerts风险度量以下是使用所谓的Haezendonck–Goovaerts风险度量的示例；我们将读者引述Bellini和Rosazz a Gianin的作品【4】。考虑一个两周期二叉分支树，其中p{ω}=所有四个元素ω∈ Ohm. 我们选择（归一化）杨函数Φ（x）=x，并定义Orlicz溢价原理为方程的唯一解Hα（xΦXHα（X）= 1.- αX 6=0；Hα（0）：=0。固定α=，并重新排列以上内容以查看H（X）=√2kXk=√E十、. 我们现在将海森顿克测度定义为ρ（X）=supQ∈QEQ[X]，其中Q：={Q<< P：等式【Y】≤ H（Y）Y∈ L∞+}.我们将Q（{i}）=：qi写入上的度量Q(Ohm, F），且X（i）=xi对于随机变量X on(Ohm, F、 P）。首先，我们描述了Q。请注意，Q定义中的约束意味着SUP06=Y∈L∞+EdQdPYkY k≤√2、在选择Y=dQdP时达到上确界，因此上述不等式意味着dQdP≤ 2，thusQ=（Q=（Q，…，Q）：qi≥ 0，Xi=1qi=1，Xi=1qi≤).Q不是m-稳定的定义分别是Q∧和QMfrom∧=2×{1,2}和m=2×{1,3}。我们看到，这两个元素都是Q的元素，它们对(Ohm, F）由∧=E[λ| F]=2×{1,2}和M=E[M | F]=1描述。

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大多数88

2022-5-31 06:13:21

我们通过设置deqdp=∧MM=4×{1}来形成度量Q∧和qm的时间1粘贴。这里，Pi=1eqi=1>，soeQ 6∈ Q、并且集合Q不是m-稳定的。现在，setV=1.√{1} +1，√{3} +1个.Q是V-m-稳定的，我们计算等式[V | F]，如例2.8所示，以了解对于Q，Q′∈ Q、我们的附加条件是qq{Q+Q>0}=Q′Q′{Q′+Q′>0}，并且qq{Q+Q>0}=Q′Q′{Q′+Q′>0}。因此，我们可以看到，任何粘贴Q⊕t=1Q′这说明该条件实际上等于Q，这在Q.3.3现金流准备金中有所不同。我们使用Acciaio、F¨ollmer和Penner的符号描述了财富过程的概率方法【1】。如前所述，我们确定了终端时间T<∞, 离散时间集T：={0，1，…，T}，和离散基(Ohm, F、（Ft）t∈T、 P）。论产品空间Ohm := Ohm ×T，定义可选σ-代数直到T∈ T asFt：=σ（As×{s}，At×Tt:s≤ t、作为∈ Fs），其中Tt：={t，t+1，…，t}，F：=FT。确定参考概率度量P：=P u开(Ohm, F）通过exp-ctationEP[X]=E“TXs=0Xsus#其中E=EPandu是T上的可选随机概率度量，即，一个Ft自适应过程，使得所有T的uT>0∈ T和PT∈TuT=1。我们使用下划线表示标准符号的多周期变体；例如L∞:=L∞(Ohm, F、 P）是扩展概率空间上所有有界随机变量的空间(Ohm, F、 P），其元素也可被视为过程X=（Xt）t∈T、我们写L（Rd+1）：=L(Ohm, F、 P；Rd+1）（分别为L∞（Rd+1）），对于P-可积（分别有界）随机变量x，每个x是Rd+1值，对于t∈ T、 L的非负元素∞用L表示∞+, andFt L的可测元素∞用L表示∞t、对于0≤ t型≤ s≤ T，定义投影πs，T:L∞→ L∞πs，t（X）r={s≤r} Xr公司∧t、对于r∈ T、定义R∞为适应流程X∈ L∞, 并设置R∞t、 s=πs，t（R∞) 和R∞t=πt，t（R∞).

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2022-5-31 06:13:25

我们使用符号X | t表示条件期望EP【X | Ft】≡ E【X | Ft】，可视为一个过程，在时间t后为常数；我们写XT来表示过程X的时间t实现。我们注意到，过程ρt:R的定价度量之间存在一对一的对应关系∞t型→ L∞tand定价措施ρt:R∞→ L∞t随机变量开启Ohm配备可选σ-代数，通过ρt（X）=t-1Xs=0Xs{s}+ρt（πt，t（X））Tt。（9） 4主要结果的证明证明涉及较少。我们表明（i）=> （二）<=> （iii）。然后注意到（见Remark2.12）（iii）在过滤（Ft，…，Ft）上暗示了相同的结果，我们推断出（ii）的时移版本为（i）。我们将使用以下引理：引理4.1。假设每个t∈ T、 Ct E是一个闭凸锥。那么(∩tCt）*=conv公司{∪tC公司*t} =⊕tC公司*t、证明。第一个等式是众所周知的，第二个等式是明确的。定理2.17的证明。（一）=> （ii）我们首先展示权利要求4.2。εt（X）：=ess inf{ρt（Y·V）：Y∈ L∞t+1（Rd+1）和X- Y·V∈ At+1}是一种条件一致性风险度量，其接受集bt由kt（V）·V+At+1给出。（10）现在（i）意味着Bt=At，因此，从这个结果来看，意味着（i）=> （i i）是通过归纳得出的即时序列。注意，通过类似的论证，很容易看出（i）等同于each t的陈述，At（V）=⊕T-1tKt（A，V）。（11）很容易证明ε是一个条件一致的风险度量。仍需显示（10）。包括Bt Kt（V）·V+At+1，设X∈ 我们首先证明了集合St（X）：={ρt（Y·V）：Y∈L∞t+1（Rd+1）和X-Y·V∈ At+1}向下。要看到这个，拿Y，Z∈ L∞t+1（Rd+1）使X-Y·V∈ 在+1和X处-Z·V∈ 在+1处。设F={ρt（Y·V）≤ ρt（Z·V）}和定义W=X1F+y1fc。然后W∈ L∞t+1（Rd+1）和X- W·V∈ 在+1处。

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2022-5-31 06:13:29

那么ρt（W·V）=ρt（Y·V）1F+ρt（Z·V）1Fc=min（ρt（Y·V），ρt（Z·V））。因此，存在一个序列Yn∈ St（X）使得an：=ρt（Yn·V）↓ εt（X）。设置Un：=Yn+（εt（X）-an）e，其中e：=（1，0，…，0），很明显∈ Kt（V）·V.定义Xn：=Un·V+（X-Yn·V）我们看到Xn∈ Kt（V）·V+At+1，序列Xn=X+εt（X）- anis统一有界，并将s a.s.转化为X.T，因此X N弱覆盖e s*到X和so X∈Kt（V）·V+在+1。证明包含BtKt（V）+At+1，假设X∈ 在+1和Y处∈ Kt（V）。然后明确ρt（Y·V）∈ St（Y·V）和soεt（Y·V）≤ ρt（Y·V）≤ 0，对于X∈ 在+1处，我们有εt（X）≤ ρt（0）=0，soεt（X+Y·V）≤ εt（X）+εt（Y·V）≤ 0，以便X+Y·V∈ Bt.因为Bt很弱*-关闭，结果如下。（ii）和（iii）的等价性假设B是弱的*-L中的闭凸co ne∞（Rd+1）是无套利的，因此b**= B、定义（B）：={X∈ L∞（Ft+1，Rd+1）：αX∈ B表示任意α∈ L∞+（英尺）}。回想一下Bt={X∈ L∞（FT，Rd+1）：αX∈ B表示任意α∈ L∞+（Ft）}和B是可预测的代表性IFB=⊕T-1t=0Ks（B）。我们将（ii）和（iii）重新表述为（ii’）B是可预测的r代表；和（iii’）B*可预见的稳定。因为我们将其应用于B=A（V）的情况，所以这是必要的。（ii’）=> （iii’）：假设B是可预测的代表，则从定理2.22得出=⊕T-1t=0Ks（B）w*=⊕T-1t=0毫秒（B*)*w*.拿着双卡，我们发现B*= ∩T-1s=tMs（B*)**= ∩T-1t=0convMs（B*)其中las t等式源自局部共凸拓扑向量空间的双极定理（参见[14]中的Fenchel-Moreau对偶定理）。因此，B*= [B]*], 引理2.21，B*是可预测的。（iii’）=> （ii’）：假设B是弱*-闭凸锥，注意B*是（L，σ（L，L）中的凸锥∞)). 进一步假设B*是稳定的，B*= ∩tMt（B*) 按引理2.20=∩tKt（B）*按公式。

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何人来此

2022-5-31 06:13:32

（8）。现在我们可以应用引理4.1来推导b≡ B**=⊕T-1t=0Ks（B）w*根据需要，B是可预测的可表示的。现在我们证明（iii）意味着（ii）“的统一、时移版本：At（V）=⊕T-1s=tKs（A，V），这对于（i）保持有效。但观察结果表明（iii）“意味着过滤条件相同（Ft，…，Ft）”。剩下的就是给出定理2.22的证明。如上所述，我们设置B=A（V）。首先我们证明Mt（B*) Kt（B）*. 对于任意Z∈ Mt（B*), 存在Z′∈ B*和α∈ 带αZ′的L+（Ft）∈ Land Z | t+1=αZ′t+1。注意，对于任何X∈ Kt（B），E[Z·X]=E[Z | t+1·X]=E[αZ′t+1·X]=limn→∞E[（α{α≤n} X）·Z′t+1]≤ 0，自α{α≤n} X个∈ B和Z′∈ B*. 因此Z∈ 由于Z是任意的，我们已经证明了mt（B*) Kt（B）*.对于反向夹杂物，Mt（B*)* Kt（B），注意B* Mt（B*) 表示Mt（B*)* B、安德尔∞+（Ft）Ms（D）=Ms（D）==> 对于X∈ Mt（B*)*, g级∈ L∞+（英尺），E【X·gZ】≤ 0个==> L∞+（Ft）Mt（B*)*= Mt（B*)*.定义：={X∈ L∞（英尺，Rd+1）：gX∈ B代表任何g∈ L∞+（英尺）}。因此Mt（B*)* Bt.为了完成证明，我们只显示X∈ Mt（B*)*Ft+1-可测量，因为Bt∩ L∞（Ft+1，Rd+1）=Kt（B）。为此，请注意，对于任何Z∈ L（Rd+1），Z- Z | t+1∈ Mt（B*), E[（Z）的位置-Z | t+1）·X]≤ 我们推导出e[（Z- Z | t+1）·X]=E[（X-X | t+1）·Z]≤ 0Z∈ L（Rd+1），X=X | t+1P-a.s。。参考文献[1]Beatrice Acciaio、Hans F¨ollmer和Irina Penner。不确定现金流的风险评估：模型模糊性、贴现模糊性和泡沫的作用。《金融与随机》，16（4）：669–7092012。[2] Delbaen F.Eber J.-M.Artzner，P和D.Heath。连贯地思考。风险，风险10:68–711997。[3] 菲利普·阿兹纳、弗雷迪·德尔伯恩、让-马克·埃布·埃雷和大卫·希思。一致的风险度量。数学金融，9（3）：20 3–228，1999年。[4] 法比奥·贝利尼和伊曼纽拉·罗萨扎·贾宁。关于海森顿克风险度量。

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