考虑负利率的多曲线L拞evy远期价格模型

2022-6-10 02:06:54

考虑负利率的多曲线L'EVY远期价格模型。在本文中，我们开发了一个基于远期价格过程方法的离散复合利率框架。这种方法有很多优点，特别是在当前的市场环境下。与经典的以及列维Libor市场模型相比，它以一种自然的方式允许负利率，并且即使在极低利率的情况下也具有超级校准特性。此外，指标沿期限结构的变化被显著简化。这些特性使其成为危机后多重曲线设置的良好基础。讨论了多曲线构造的两种变体。时间非均匀L'evy过程被用作驱动过程。利用傅立叶变换技术导出了CAP估值的显式公式。根据估值公式，我们将两个模型方差与市场数据进行校准。传统上，欧元银行同业拆借利率和EONIA OIS利率之间的利差为几个基点，因此从建模的角度来看，可以认为可以忽略不计。这在2007-2009年金融危机中发生了根本性的变化。通过观察不同期限的利差动态，可以很容易地确定危机的开始日期（见图1）。它的图表看起来像发烧图。根据具体期限的不同，2007年8月初，该比例飙升至40至70个基点。随着莱曼兄弟公司（LehmanBrothers）的倒闭，发烧图表在2008年9月中旬达到顶峰，当时的数值超过了200个基点。市场已经意识到，在以前没有重新认识到的情况下，存在着巨大的风险。

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2022-6-10 02:06:58

欧元银行同业拆借利率小组银行的选择机制是这样的，人们可以假设这些银行基本上是无风险的。随着危机的发生，这些银行很容易面临流动性和信贷风险，因此必须正确定价这种风险。这直接反映在价差中。这些利差的存在迫使金融业修正经典的单曲线固定收益模型，并考虑多曲线方法。在本文中，我们根据Eberlein和¨Ozkan（2005）提出的列维远期过程框架的精神，在远期价格过程（简称远期过程）的基础上开发了这样一个模型。图2显示了自2005年（子图（a））至2007年2009年、2012年、2014年至2016年（子图（f））FRA利率的历史演变。这些曲线通过自举法从存款市场报价、远期利率协议和掉期日期2018年5月8日获得。感谢欧洲金融研究所的资助。2 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z.GRBAC（有关技术细节，请参阅GERHART和L–utkebohmert（2018））。短期和中期的短期远期利率协议需要存款利率，而中期和长期的期限结构部分则来自掉期报价。可以清楚地看到，2007年，风险期限相关曲线（三个月和六个月）开始偏离基本贴现曲线。图（c）-（f）显示了基本曲线和三个月曲线以及三个月和六个月曲线之间的显著差异。此外，我们强调，所有三个期限结构在2016年到期之前均为负值。因此，要开发的模型必须能够处理负利率和与期限相关的期限结构。

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2022-6-10 02:07:00

图2所示的曲线代表模型的起始值。正如伦敦银行同业拆借利率市场模型（LMM）中所述，利率是通过沿离散期限结构的反向归纳构建的。之所以选择向前过程方法，是因为它在分析和数值上都优于LMM，LMM是离散复合利率的行业标准模型。从分析的角度来看，主要优点是采用了更易于处理的测量更改技术，该技术保留了驾驶过程的结构，从而允许避免任何近似值，如冻结漂移假设。从经济角度来看，鉴于当前的市场环境，必须强调远期过程方法自然允许负利率。由于建模的基本数量是一个按比例和变动的利率，这种方法在精神上与变动的LMM类似，后者已成为行业对当前低利率和负利率状况的回应。然而，在移位LMM中，需要对负值的下边界进行任意选择或统计成像，这里的负速率范围来自将正向过程定义为正等式（见下面的等式（2.1））。另一个重要特性与校准有关。提取过程的增量直接转化为利率的增量，这将获得极好的校准结果。LMM的情况并非如此，在LMM中，驾驶过程的增量按当前费率水平进行缩放（有关明确表达式，请参阅Eberlein、Eddahbi和LalaouiBen Cherif（2016）的介绍）。特别是在利率极低的市场中，这会产生严重的问题。

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2022-6-10 02:07:04

即使利率发生微小变化（校准中的波动性爆炸），也需要驱动过程发生巨大变化。就L'evy过程的使用而言，我们还提到，与布朗运动驱动的Tomodel相比，这些过程足够灵活，可以在不同到期日的利率之间产生经验上可观察到的相关性水平。Beinhofer、Eberlein、Janssen和Polley（2011）对此方面进行了深入研究。让我们再次强调，forwardprocess方法还具有沿着基调结构平滑测量变化的优势。在最近处理多曲线建模的论文中，我们提到了Cuchiero、Fontana和Gnoatto（2016、2017）。在第一种方法中，开发了以半鞅为驱动过程的基于乘法利差的Anaproach，而在第二种方法中，作者研究了a ffine模型设置。在后一种情况下，需要对驱动过程的状态空间进行一些约束，以确保多曲线多曲线L’EVY远期价格模型30500150200250Jul/05Jul/06Jul/07Jul/08Jul/09Jul/10Jul/11Jul/12Jul/13Jul/14Jul/15Jul/16DateEuribor的预期行为-OIS利差（单位：bps）利差123M6M（a）02004009/05/06/07/08/09/10/11/12/13/14/15/9/16日期FRA-远期汇率（以bps为单位）汇率贴现远期FRA 3x6价差（b）图1。左图：不同期限的欧元银行同业拆借利率（EURIBOR）和EONIA OIS利率之间利差的演变。右图：远期利率和远期利率的差异。传播，如期限相关曲线的正性和单调性。相反，evy远期价格框架允许在选择提款流程时具有充分的灵活性。Grbac、Papapantoleon、Schoenmakers和Skovmand（2015）开发了另一个多曲线伦敦银行同业拆借利率模型，重点关注利差的积极性。

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2022-6-10 02:07:07

此外，我们还提到了Cr'epey、Grbac和Nguyen（2012），其中除了HJM框架中的基本风险利率外，还考虑了单一风险利率。在Eberlein和Gerhart（2018）中，开发了具有任意数量的期限相关曲线的全边缘模型。此外，该模型考虑了双价格经济环境下的多条曲线，因此允许利用出价和询价。关于多曲线模型的详尽文献综述，我们提到了Henrard（2014）、Grbac和Runggaldier（2015）的两部专著以及Bianchetti和Morini（2013）的文章集。Henrard（2010）引入了乘数效应的概念，并在Cuchiero等人（2016、2017）中进一步使用，在短期利率（即期利差）和Heath-Jarrow-Morton框架下，利差定义为连续的期限结构。本文将离散复合乘法远期利差建模为一个离散的期限结构，该结构以适当的方式向前过程方法扩展。本文的组织结构如下。在第一节中，我们介绍了驱动过程并讨论了其主要特性。模型如第2节所示。第3节涉及利率期权定价。最后一节专门介绍模型的实施和校准。1、驱动过程T*∈ R+：=[0，∞) 为有限时间范围，B：=(Ohm, G，F=（Ft）t∈[0，T*], P）满足Jacod和Shiryaev（2003，定义I.1.2和定义I.1.3）通常条件的随机基础。作为驱动过程，我们考虑了B上的一个d维时间非齐次L'evy过程L=（L，…，Ld），其中Li=（Lit）t∈[0，T*]每一个我∈ {1，…，d}。这意味着L是一个具有独立增量的F适应过程，4 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z。

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2022-6-10 02:07:10

GRBAC0123005-09-072006-09-072007-09-072008-09-072009-09-072010-09-07到期FRA利率（以bps为单位）COLOR3M6MBASIC（a）0123452007-12-272008-12-272009-12-272010-12-272011-12-272012-12-27到期FRA利率（以bps为单位）COLOR3M6MBASIC（b）012342009-11-262010-11-262011-11-262012-11-262013-11-262014-11-26到期FRA利率（bps）color3M6MBasic（c）2012年12月-03-152013-03-152014-03-152015-03-152016-03-152017-03-15饱和度FRA费率（单位：bps）颜色3M6MBasic（d）0.00.40.82014-10-022015-10-022016-10-022017-10-022018-10-022019-10-02到期FRA利率（以bps为单位）COLOR3M6MBASIC（e）-0.250.000.252016-09-152017-09-152018-09-152019-09-152020-09-152021-09-15饱和度FRA比率（bps）颜色3M6MBasic（f）图2。从市场数据得出的自举tenordependent FRA曲线的历史演变。多曲线L'EVY远期价格模型5绝对连续特征（缩写为PIIAC，见Jacod和Shiryaev（2003））。这种类型的随机过程也称为加法过程（见Sato（1999））。我们强调L是一个d维半鞅。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设L的每个组成部分的路径是c\'adl\'ag。我们还假设每个组件都在零中。Lti的法律由其特征函数E【eihu，Lti】=exptZhihu，bs（h）i确定-hu、csui+ZRdxi eihu- 1.- ihu，h（x）iFs（dx）ID！（u）∈ Rd）。（1.1）这里，h是截断函数，通常取h（x）=x·1{| x|≤1} ，bs（h）=（bs（h），bds（h））：[0，T*] → Rd，cs=（cijs）i，j≤d： [0，T*] → Rd×d，不对称非负定义d×d矩阵，FSI是everys的L'evy度量∈ [0，T*], i、 e.积分（| x）的（Rd，B（Rd））上的非负度量|∧1）满意度Fs（{0}）=0。我们用h·、·i表示欧几里德标量积，并且····是相应的范数。RDI上的标量积通过为每个w，z设置hw，zi：=Pdj=1wjzj扩展为复数∈ Cd。

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2022-6-10 02:07:13

因此，h·，·i不是这里的厄米特标量积。我们进一步假设T*Zh | bs（h）|+kcsk+ZRd（| x|∧ 1） Fs（dx）ID<∞,其中k·k表示d×d-矩阵集上的任意范数。三元组（b、c、F）=（bs、cs、Fs）s∈[0，T*]表示L的局部特征。我们还对指数矩作出如下假设。假设（EM）。存在常数M，ε>0，使得t*ZZ | x |>1exphu，xiFt（dx）dt<∞,对于每个u∈ [-（1+ε）M，（1+ε）M]d.特别是，在不损失一般性的情况下，我们假设r | x |>1exphu，xiFt（dx）<∞, 对于所有t∈ [0，T*].假设（EM）等于E[表达式，Lti]<∞ 对于所有t∈ [0，T*] 安度∈ [-(1 + )M、（1+)M] d.我们将考虑利率模型，其基本过程是关于L的随机积分的指数。这些基本过程必须是风险中性测度下的鞅。因此，先验地，他们必须有明确的期望，这是由假设（EM）精确保证的。（EM）的一个直接后果是，随机变量L具有有限的期望值。因此，代表6 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z.GRBAC（1.1）很简单，可以写成[eihu，Lti]=exptZhihu，bsi-hu、csui+ZRdxi eihu- 1.- ihu，xiFs（dx）ID！。（1.2）我们强调，特征b现在不同于（1.1）中的特征。我们将始终使用（1.2）中出现的局部特征（b、c、F）。假设（EM）的另一个含义是过程L是一个特殊的半鞅。因此，它的规范表示由简单的形式lt=tZbsds+tZ给出√csdWs+tZZRdx（uL- ν）（ds，dx）（1.3）（见Jacod和Shiryaev（2003，推论II.2.38）），其中W=（Wt）t∈[0，T*]是标准的d维布朗运动，√cs是cs平方根的可测量版本，uLis是L跳跃的随机测量，补偿器ν（ds，dx）=Fs（dx）ds。

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2022-6-10 02:07:16

显然，（1.3）中的积分应该从组件的角度来理解。我们强调，假设（EM）对于实现该模型的所有感兴趣的过程都是有效的。特别是（EM）适用于由广义双曲分布生成的过程。概率测度P下与过程L相关的（扩展）累积量过程用θsand表示，θs（z）=hz，bsi+hz，cszi+ZRdehz，xi- 1.- 赫兹，xiFs（dx）每z∈ Cd定义此函数时，需要Re（z）∈[-(1 + )M、（1+)Kallsen和Shiryaev（2002）给出了半鞅累积量过程的详细分析。注意，如果L是（齐次）L'evy过程，即如果L的增量是平稳的，则三元组（bs、cs、Fs）以及θsdo不依赖于s。在这种情况下，我们写θforshort。然后等于L.2的累积量（也称为对数矩生成函数）。多曲线L'evy远期价格模型2.1。基本曲线。设T：={T，…，Tn}表示任意离散的n阶结构∈ N和0≤ T<T<···<Tn=T*. 对于任何k∈ {1，…，n}我们设置δk：=δ（Tk-1，Tk）是日期Tk之间的年份分数-1和tka根据特定的天数计算惯例（见Brigo和Mercurio，2006年，第I.1.2节）。我们假设期限结构是等距的，因此我们可以为每个k指定δ：=δkF∈ {1，…，n}。因此，所考虑的离散结构T与tenorδ明确相关。我们用Bdt（T）表示在T到期的债券在T时的价格。对于每个连续日期Tk-1，Tk∈ 带k的T∈ {1, . . .

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2022-6-10 02:07:19

，n}，我们定义了多重曲线L'EVY远期价格模型7时间t的离散复合远期参考利率≤ Tk公司-1byLd（t，Tk-1，Tk）：=δBdt（塔卡-1） Bdt（Tk）- 1.与该参考利率相对应的远期价格规定为FD（t，Tk-1，Tk）：=Bdt（Tk-1） Bdt（Tk）。显然，我们有关系fD（t，Tk-1，Tk）=1+δLd（t，Tk-1，Tk）。（2.1）参考利率Ld对应的利率曲线将被称为基本曲线或贴现曲线。此后，目标是为远期价格过程Fd（·，Tk）开发一个易于处理的模型-1，Tk）。请注意，forwardprice过程建模意味着指定连续债券价格比率的动态。让LT*= （L1，T*, . . . , Ld，T*) 是基于随机基定义的时间非齐次L'evy过程(Ohm, 英尺*, F=（英尺）t∈[0，T*], PdT公司*) 具有局部特征（0，ct，FT*t）满足指数矩条件（EM）。此过程将用作模型的驱动过程。我们解释概率测量PdT*作为与基本曲线和结算日期T相关的前向鞅测度*. 开发基本曲线模型需要以下两个要素。（DFP.1）债券价格的初始期限结构由BD确定：（[0，T*] → (0, ∞)T 7→ 给出了Bd（T）。Ametrano和Bianchetti（2013）考虑的自举方法可用于构建初始期限结构。我们通常采用OIS费率的报价来推导此曲线。然后通过关系fD（0，Tk）获得前向处理的起始值-1，Tk）=Bd（Tk-1） Bd（Tk），每k∈ {1，…，n}。（2.2）（DFP.2）对于任何到期日Tk-1.∈ 带k的T∈ {1，…，n}有一个有界的，连续的，确定性函数λd（·，Tk-1）由λd（·，Tk）给出-1）：（[0，T*] → Rd+t 7→ λd（t，Tk-1） =（λd，1（t，Tk-1), . . .

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2022-6-10 02:07:22

，λd，d（t，Tk-1））表示远期过程Fd（·，Tk）的波动性-1，Tk）。我们要求nxk=1λd，j（t，Tk-1) ≤ M、对于所有t∈ [0，T*] 和j∈ {1，…，d}，其中M是来自假设（EM）的常数，我们设置λd（t，Tk-1） =（0，…，0）对于t>Tk-1.8 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z.Grbac构建与基本曲线相对应的远期价格过程，如EBERLEIN和¨Ozkan（2005）所述，通过反向归纳法进行。为此，我们从最遥远的时期开始-1，Tn]和，对于任何t≤ 田纳西州-我们假设fd（t，Tn-1，Tn）Fd（0，Tn-1，Tn）=exptZλd（s，Tn-1） dLTns+tZbd（s，Tn-1，Tn）ds（2.3）其中时间不均匀L'evy过程LTn=LT*可以用它的典型代表来书写*t=tZ√csdWT公司*s+tZZRdx（uL- νT*)（ds，dx）和d维PdT*-标准布朗运动*:= （重量*t） t型∈[0，T*]与LT跳跃相关的andinteger值随机测度u*有PdT*补偿器νT*（dt，dx）：=英尺*t（dx）dt。现在漂移项bd（·，Tn-1，Tn）的规定方式如下：forwardprice流程Fd（·，Tn-1，Tn）成为PdT*-（局部）鞅。这可以通过设置BD（t，Tn）来实现-1，Tn）=-hλd（t，Tn-1），ctλd（t，Tn-1） Ti公司-ZRd公司ehλd（t，Tn-1），xi- 1.- hλd（t，Tn-1），xi英尺*t（dx）。（2.4）应用Jacod和Shiryaev（2003，定理II.8.10），可以将普通指数（2.3）表示的正向价格过程表示为随机指数FD（t，Tn-1，Tn）=Fd（0，Tn-1，Tn）Et（Hd（·，Tn-1，Tn）），（2.5），其中工艺Hd（·，Tn-1，Tn）由随机对数hd（·，Tn）给出-1，Tn）=L经验值tZλd（s，Tn-1） dLTns+tZbd（s，Tn-1，Tn）ds形式为HD（t，Tn-1，Tn）=tZλd（s，Tn-1)√csdWT公司*s+tZZRdehλd（s，Tn-1），xi- 1.（uL- νT*)（ds，dx）。

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2022-6-10 02:07:25

（2.6）观察Jacod和Shiryaev（2003，定理I.4.61）以及Eberlein、Jacod和Raible（2005）的观点，（2.5）中给出的远期价格过程是真实的PDT*- 鞅。多曲线L'EVY远期价格模型9因此，我们可以指定与日期相关的远期鞅测度-1定义日期(Ohm, FTn公司-1）并用PdTn表示-1通过设置DPDTN-1dPdTn：=Fd（Tn-1，Tn-1，Tn）Fd（0，Tn-1，Tn）=ETn-1（Hd（·，Tn-1，Tn））。仅限于σ-字段FTT和t≤ 田纳西州-1、我们有DPDTN-1.FtdPdTnFt=Fd（t，Tn-1，Tn）Fd（0，Tn-1，Tn）=Et（Hd（·，Tn-1，Tn））。应用半鞅的Girsanov定理（见Jacod和Shiryaev（2003，定理III.3.24）），我们可以识别描述方程（2.6）中度量变化的可预测过程β和yth。一个得到β（t）=λd（t，Tn-1） Y（t，x）=exphλd（t，Tn-1），xi.特别地，这些过程决定了半鞅LT的特征*相对于PdTn-1从其相对toPdT的半鞅特征*. 由于这些特征仍然具有确定性，我们得出结论*在度量值更改后保持具有独立增量的过程。根据Girsanov定理，过程-1： =（WTn-1吨）吨∈[0，T*]由WTN定义-1t：=重量*t型-tZ公司√csλd（s，Tn-1） PdTn下的d维标准布朗运动-1此外，νTn-1（dt，dx）：=经验值hλd（t，Tn-1），xiνT*（dt，dx）=FTn-1t（dx）数据定义PdTn-1-uL补偿器，其中我们设置-1t（dx）：=经验值hλd（t，Tn-1），xi英尺*t（dx）。沿着离散的基调结构T向后，我们得到，对于anyk∈ {1, . . .

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2022-6-10 02:07:28

，n}和0≤ t型≤ Tk公司-1、表格FD（t，Tk）中的所有远期价格流程-1，Tk）Fd（0，Tk-1，Tk）=exptZλd（s，Tk-1） dLTks+tZbd（s，Tk-1，Tk）ds,其中过程LTk=（LTkt）t∈[0，T*]由Tkt=tZ给出√csdWTks+tZZRdx（uL- νTk）（ds，dx）（2.7）和漂移bd（·，Tk-1，Tk）的形式为bd（t，Tk-1，Tk）=-hλd（t，Tk-1），ctλd（t，Tk-1） Ti公司-ZRd公司ehλd（t，Tk-1），xi- 1.- hλd（t，Tk-1），xiFTkt（dx）。10 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z.Grbac漂移的规定方式为Fd（·，Tk-1，Tk）是一个PdTk鞅，在前面的步骤中，我们定义了前向测度PdTkon(Ohm, 英尺*, （Ft）t∈[0，Tk]），密度dpdtkdpdtk+1Ft：=dPdTkFtdPdTk+1Ft：=Fd（t，Tk，Tk+1）Fd（0，Tk，Tk+1），与PDTL和l相关∈ {k+1，…，n}bydPdTkdPdTlFt=l-1Yj=kFd（t，Tj，Tj+1）Fd（0，Tj，Tj+1）=Bd（Tl）Bd（Tk）l-1Yj=kFd（t，Tj，Tj+1）。此外，我们得到了关系swtkt：=WT*t型-tZ公司√csn公司-1Xj=kλd（s，Tj）tdpdtk补偿器νTkofuLνTk（dt，dx）：=expn-1Xj=khλd（t，Tj），xiνT*（dt，dx）=FTkt（dx）dt，其中我们设置了FTkt（dx）：=expPn编号-1j=khλd（t，Tj），xi英尺*t（dx）。注意，由于假设（DFP.2），在PDTkt下，过程是具有局部特征（0，ct，FTkt）的时间非均匀L'evy过程。公式（2.7）给出了关于PdTk的规范表示。为了结束这一小节，我们推导出任何T，S∈ T={T，…，Tn}带T≤S、驱动进程SLT和LS之间关系的一般表示。让我们表示jst：={h∈ 第N个∈ T和T<Th≤ S} （2.8）和新定义（S、T、S）：=- csXh公司∈JSTλd（s，Th-1） T+ZRdxhexp-Xh公司∈JSThλd（s，Th-1），xi- 1FTS（dx）多曲线L'EVY远期价格模型11适用于任何s≤ T注意w（s，T，s）≡ 当T=S时为0。通过应用半鞅的Girsanov定理，我们得到了LT=-·ZcsXh公司∈JSTλd（s，Th-1） Tds+·ZZRDXHEP-Xh公司∈JSThλd（s，Th-1），xi- 1iFTs（dx）ds+·Z√csdWSs+·ZZRdx（uL- νS）（ds，dx）=·Zw（S，T，S）ds+LS。

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2022-6-10 02:07:31

（2.9）我们强调，所有驱动过程在相应的正向测度下仍然是时间不均匀的，因为它们与确定性漂移项不同。2.2. 风险期限相关曲线。让m∈ N是曲线数。每一个我∈ {1，…，m}，我们考虑一个等距离散结构Ti：={Ti，…，Tini}，对应于曲线i，其中ni，n∈ N、 Ti公司 T={T，…，Tn}和0≤ Ti=T<Ti<···<Tini=Tn=T*. 和以前一样，日期之间的年份分数-1和Tikare由δi表示：=δi（Tik-1，Tik）对于所有k∈ {1，…，ni}。此外，我们假设Tm ··· T T我们考虑时间非齐次L'evy过程LT*在上(Ohm, 英尺*, F=（英尺）t∈[0，T*], PdT公司*) 概率测度PdT，PdTn公司-1来自最后一小节。注意我们有fD（t，Tik-1，Tik）=Yj∈JikFd（t，Tj-1，Tj），（2.10），其中Jikis是JTikTik的缩写-1（2.8）中定义的内容。对于每个i∈ {1，…，m}和k∈ {1，…，ni}，let Li（Tik-1，Tik）表示Tik-与期限δi相对应的1即期伦敦银行同业拆借利率或欧元同业拆借利率。假设li（Tik-1，Tik）是FTik-1-可测量的随机变量。然后，我们定义（t，Tik-1，Tik）：=EdTikLi（Tik-1，Tik）| Ft（t≤ Tik公司-1）（2.11）其中EdTik[·]表示PdTik下的预期。请注意，该定义与（教科书式）远期利率协议的市场利率估值公式（见Mercurio，2009）和我们haveLi（Tik-1，Tik-1，Tik）=Li（Tik-1，Tik）。此外，Li（·，Tik-1，Tik）定义为PdTik鞅。我们指的是-1，Tik）作为对应于δi的离散复合远期利率。这些利率是模型的关键量。12 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z.GRBACLemma 2.1。

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2022-6-10 02:07:34

远期价格Fd（t，Tik）的显式表示-1，Tik）内部结构Ti由FD（t，Tik）给出-1，Tik）=Fd（0，Tik-1，Tik）exptZXj∈Jikλd（s，Tj-1） dLTiks+tZXj∈吉克hλd（s，Tj-1），w（s，Tj，Tik）i+bd（s，Tj-1，Tj）ds！和Fd（·，Tik-1，Tik）是PdTik鞅。证据考虑表达式（2.10）并应用方程（2.9），我们得到了Fd（t，Tik）的显式公式-1，Tik）。将Jacod和Shiryaev（2003，命题III.3.8）先后应用于（2.10）中的乘积，证明了鞅性质。我们不是直接对远期利率的动态进行建模，而是通过对与LDF和Fd相关的远期利差进行建模来说明演变。通常，这些价差可以用两种方式考虑，即（1）加法远期价差SSI（t，Tik-1，Tik）：=Li（t，Tik-1，Tik）- Ld（t，Tik-1，Tik）或（2）乘法前向扩展ssi（t，Tik-1，Tik）：=1+δiLi（t，Tik-1，Tik）1+δiLd（t，Tik-1，Tik）=1+δiLi（t，Tik-1，Tik）Fd（t，Tik-1，Tik）。远期价格框架中的自然选择是乘法远期利差。按照这种方法，我们可以通过将乘法向前价差建模为大于1的量，轻松确保每个风险曲线和基本曲线之间观察到的单调性。我们有1+δiLi（·，Tik-1，Tik）=Si（·，Tik-1，Tik）Fd（·，Tik-1，Tik）。（2.12）引理2.2。每对日期Tik-1，Tik∈ Tiwith i公司∈ {1，…，m}和k∈ {1，…，ni}，过程Li（·，Tik-1，Tik）遵循PdTik鞅当且仅当乘法前向扩散Si（·，Tik-1，Tik）是PdTik-1-鞅。证据

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大多数88

2022-6-10 02:07:37

Jacod和Shiryaev（2003）中的命题III.3.8可与DPDTIK一起直接应用-1PDTIK公司Ft=Fd（t，Tik-1，Tik）Fd（0，Tik-1，Tik）。因此，回顾Li（·，Tik-1，Tik）定义（2.11）为PdTikmartingale，Si（·，Tik）的演化-1，Tik）必须以PdTik的方式指定-1-鞅。多曲线L'EVY远期价格模型13对于远期利率的起始值，我们设定li（0，Tik-1，Tik）=EdTikLi（Tik-1，Tik）= FRA（0，Tik-1，Tik），其中FRA（0，Tik-1，Tik）表示教科书中关于Tik日期的远期利率协议的当前市场利率-1和Tik。然后由i（0，Tik）给出正向价差的初始值-1，Tik）=1+δiLi（0，Tik-1，Tik）Fd（0，Tik-1，Tik），（2.13），其中Fd（0，Tik-1，Tik）也可通过结合（2.2）和（2.10）的市场数据获得。更准确地说，（2.13）右侧的数量是从多重期限结构曲线中获得的，这些曲线是通过使用特定期限存款、远期利率协议和掉期的数据自举得到的。下面，我们将开发两种建模方法，以不同程度的可伸缩性来交换模型中想要实现的属性。2.2.1. 型号（a）。为了获得最大的可处理性，我们在第一种方法中允许乘法远期利差的值小于等于负的加法利差的值。为此，我们对Si（·，Tik）进行建模-1，Tik）作为普通指数。我们从以下输入开始，可以将其解释为Si（·，Tik）的挥发度-1，Tik）。（MFP.a）对于每个i∈ {1，…，m}和每个到期日Tik-1.∈ Tiwith k公司∈{1，…，ni}，存在一个有界的、连续的、确定性函数γi（·，Tik-1）由γi（·，Tik）给出-1）：（[0，T*] → Rd+t 7→ γi（t，Tik-1） =（γi，1（t，Tik-1), . . .

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2022-6-10 02:07:41

，γi，d（t，Tik-1））其中，我们要求的值为1λd，j（t，Tik-1） +γi，j（t，Tik-1)≤ M、对于所有t∈ [0，T*] 和j∈ {1，…，d}。同样，常数M来自假设（EM），我们设置γi（t，Tik-1） =（0，…，0）对于t>Tik-1、我们假设∈ {1，…，m}和每对日期Tik-1，TikthatSi（t，Tik-1，Tik）Si（0，Tik-1，Tik）=exptZγi（s，Tik-1） dLTik公司-1s+tZbi（s，Tik-1） ds公司其中LTik-1在第2.1小节和漂移项bi（·，Tik）中定义-1） chosensuch是不是-1，Tik）是PdTik-1-鞅，namelybi（t，Tik-1) = -hγi（t，Tik-1），ctγi（t，Tik-1） Ti公司-ZRd公司ehγi（t，Tik-1），xi- 1.- hγi（t，Tik-1），xiFTik公司-1t（dx）。14 E.EBERLEIN，C.GERHART和Z.Grbaby引理2.1，我们有FD（t，Tik-1，Tik）Fd（0，Tik-1，Tik）=exptZXj∈Jikλd（s，Tj-1） dLTiks+tZXj∈吉克hλd（s，Tj-1），w（s，Tj，Tik）i+bd（s，Tj-1，Tj）ds！和Fd（·，Tik-1，Tik）是PdTik鞅。这一远期价格过程同时代表了以下指标变化的密度过程，即DPDTIK-1PDTIK公司Ft=Fd（t，Tik-1，Tik）Fd（0，Tik-1，Tik）。使用表示法（2.12）和应用（2.9），我们得到了远期利率（·，Tik-1，Tik）来自1+δiLi（t，Tik-1，Tik）=Si（t，Tik-1，Tik）Fd（t，Tik-1，Tik）=1+δiLi（0，Tik-1，Tik）exptZγi（s，Tik-1） dLTik公司-1s+tZbi（s，Tik-1） ds！×exptZXj∈Jikλd（s，Tj-1） dLTiks+tZXj∈吉克hλd（s，Tj-1），w（s，Tj，Tik）i+bd（s，Tj-1，Tj）ds=1+δiLi（0，Tik-1，Tik）exptZ公司Xj公司∈Jikλd（s，Tj-1） +γi（s，Tik-1)DLTIK+tZhbi（s，Tik-1） +hγi（s，Tik-1），w（s，Tik-1，Tik）i+Xj∈吉克hλd（s，Tj-1），w（s，Tj，Tik）i+bd（s，Tj-1，Tj）ids！。备注：在该模型中，远期参考利率以及δi-远期利率可根据当前市场情况变为负值。特别是，初始利率可能已经是负数。请注意，从正（负）初始利率开始并不意味着利率随时间保持正（负）。2.2.2. 型号（b）。

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2022-6-10 02:07:44

现在，我们将指定一个模型，如果初始利差已经大于1，则该模型将确保乘法远期利差大于1。这相当于相加利差的正性。多曲线L'EVY远期价格模型15我们在这里已经提到，衍生品的定价变得比模型（a）中的更难处理。与模型（a）中一样，我们需要波动率函数满足每个i∈ {1，…，m}和每个到期日Tik-1.∈ Tiwith k公司∈{1，…，ni}，有一个有界的，连续的，确定性函数γi（·，Tik-1）由γi（·，Tik）给出-1）：（[0，T*] → Rd+t 7→ γi（t，Tik-1） =（(R)γi，1（t，Tik-1), . . . , γi，d（t，Tik-1））其中，我们要求的值为1λd，j（t，Tik-1） +γi，j（t，Tik-1)≤ M、对于所有t∈ [0，T*] 和j∈ {1，…，d}。我们设置γi（t，Tik-1） =（0，…，0）对于t>Tik-1、对于任何i∈ {1，…，m}和每对日期Tik-1，Tikwe假设si（t，Tik-1，Tik）- 1Si（0，Tik-1，Tik）- 1=经验值tZ′γi（s，Tik-1） dLTik公司-1s+tZ’bi（s，Tik）-1） ds公司,（2.14）其中“bi（t，Tik-1) = -h′γi（t，Tik-1），ct′γi（t，Tik-1） Ti公司-ZRd公司ehγi（t，Tik-1），xi- 1.- h′γi（t，Tik-1），xiFTik公司-1t（dx）。（2.15）注意si（t，Tik-1，Tik）=1+（Si（0，Tik-1，Tik）- 1）经验值tZ′γi（s，Tik-1） dLTik公司-1s+tZ'bi（s，Tik-1） ds公司你可以看到Si（·，Tik-1，Tik）是PdTik-1-通过（2.15）定义的指数补偿器选择鞅。以与上一小节类似的方式，我们得到了1+δiLi（t，Tik）的表示-1，Tik），命名为1+δiLi（t，Tik-1，Tik）=Dd（t，Tik-1，Tik）exptZXj∈Jikλd（s，Tj-1） dLTiks！+Di（t，Tik-1，Tik）exptZhXj∈Jikλd（s，Tj-1） +γi（s，Tik-1）怠速！，16 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z。

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2022-6-10 02:07:47

GRBAC我们设置的位置DD（t，Tik-1，Tik）：=Fd（0，Tik-1，Tik）exptZXj∈吉克bd（s，Tj-1，Tj）+hλd（s，Tj-1），w（s，Tj，Tik）ids！andDi（t，Tik-1，Tik）：=Fd（0，Tik-1，Tik）（Si（0，Tik-1，Tik）- 1） exptZdi（s，Tik-1，Tik）ds！带DI（s，Tik-1，Tik）：=Xj∈吉克hλd（s，Tj-1），w（s，Tj，Tik）i+bd（s，Tj-1，Tj）+？bi（s，Tik-1） +h′γi（s，Tik-1），w（s，Tik-1，Tik）i.注意，对于初始值，我们有关系fD（0，Tik-1，Tik）（Si（0，Tik-1，Tik）- 1） =1+δiLi（0，Tik-1，Tik）-Yj公司∈Jik[1+δLd（0，Tj-1，Tj）]。3、capsLet l的定价公式∈ {1，…，m}。期限为δl，到期日为t的caplet的时间t价格∈ 特兰语打击K，代表t≤ T和T+δl=Tk∈ 对于一些k∈ {1，…，n}，由cpl（t，t，δl，K）给出：=δlBdt（Tk）EdTkLl（T，Tk）- K+英尺= Bdt（Tk）EdTk1+δlLl（T，T，Tk）- （1+δlK）+英尺= Bdt（Tk）EdTkFd（T，T，Tk）Sl（T，T，Tk）-Kl+英尺= Bdt（Tk）（Zkt）-1EdT*ZkT公司Fd（T，T，Tk）Sl（T，T，Tk）-Kl+英尺（3.1）式中▄Kl：=1+δlK和zkt：=Qj公司∈JT公司*TkFd（T，Tj-1，Tj）Fd（0，Tj-1，Tj），Tk<T*1，Tk=T*.我们做出以下假设（VOL）。每升∈ {1，…，m}和所有T∈ [0，T*], 波动率函数可分解为λd（t，t）=λd（t）λ（t）γl（t，t）=γl（t）λ（t）多重曲线l'EVY远期价格模型17和'γl（t，t）=γl（t）λ（t），其中λd，γland'γl：[0，t*] → R+和λ：[0，T*] → RDA是确定性和连续性函数。向量λ（t）在λk（t）的意义上有界≤ 每个t∈ [0，T*], k∈ {1，…，d}和常数M<M。此外，我们假设∧l（T，Tn）：=Xj∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）<R或R=1+M-M和所有T∈ T同样，我们假设∧l（T，Tn）：=Xj∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）<所有T∈ T让我们定义随机变量XT：=RTλ（s）dLT*砂考虑其扩展特征函数ДXTunder PdT*可表示为ДXT（z）=expTZθs（izλ（s））ds.

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nandehutu2022

2022-6-10 02:07:50

（3.2）比较Eberlein和Raible（1999，Lemma3.1），了解此表示的详细信息。回想一下，LT的扩展累积量*关于PdT*由θt（z）=hz，ctzi+ZRd给出ehz，xi- 1.- 赫兹，xi英尺*任意z的t（dx）∈ C定义的地方。我们将采用基于傅立叶的估值方法，以使caplet的时间-0价格公式在数值上可访问。我们将（3.1）的右侧（t=0）作为支付函数fk的期望值，Lk应用于XT。自Zk起≡ 1我们得到CPL（0，T，δl，K）=Bd（Tk）EdT*fk、lK（XT）. （3.3）函数fk，lk的显式形式将借助（2.9）表达式1+δlLl（T，T，Tk）=Fd（T，T，Tk）Sl（T，T，Tk）18 E.EBERLEIN，C.GERHART和Z.Grbac的相应形式以及密度（对于k≤ n- 1） ZkT=expTZXj∈JT公司*Tkλd（s，Tj-1） dLT公司*s+TZXj公司∈JT公司*Tkbd（s，Tj-1，Tj）+1{k≤n-2} Xj公司∈JTn公司-1Tkhλd（s，Tj-1），w（s，Tj，T*)我ds！。3.1. 数字。在本小节和下一小节中，我们推导了两种模型变量的caplet价格公式（3.3）的数值有效形式。3.1.1. 型号（a）。对于任何k∈ {1，…，n-1} ，我们有fk，lK（x）：=(R)Dl（T，T，Tk）exp(Xj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）x）-KlAd（T，Tk）扩展Xj公司∈JTnTkλd（Tj-1） x个!+andfn，lK（x）：=^Dl（T，T，Tn）exp(Xj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）x）-Kl+其中，我们将'Dl（T，T，Tk）：=^Dl（T，T，Tk）Ad（T，Tk）^Cl（T，Tk）设置为^Dl（T，T，Tk）：=1+δlLl（0，T，Tk）expTZhbl（s，T）+hγl（s，T），w（s，T，Tk）i+Xj∈JTkT公司hλd（s，Tj-1），w（s，Tj，Tk）i+bd（s，Tj-1，Tj）ID！Ad（T，Tk）：=expTZXj公司∈JT公司*Tkbd（s，Tj-1，Tj）+1{k≤n-2} Xj公司∈JTn公司-1Tkhλd（s，Tj-1），w（s，Tj，T*)我ds！多曲线L'EVY远期价格模型19和^Cl（T，Tk）：=expTZhXj∈JTkTλd（s，Tj-1） +γl（s，T），w（s，Tk，T*)ids！。阻尼支付函数定义为gk，lK（x）：=e-Rxfk，lK（x）表示任意x∈ R和一些R∈ R、提案3.1。

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2022-6-10 02:07:53

caplet的时间-0价格由cpl（0，T，δl，K）=Bd（Tk）π给出∞ZRe公司^1XT（u- iR）^fk，lK（iR-u）du（3.4），其中^fk，lK表示fk的扩展傅立叶变换，lK表示^fk，lK（z）=eizxkh-\'Dl（T，T，Tk）ePj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）xkPj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）+iz+~KlAd（T，Tk）ePj∈JTnTkλd（Tj-1） xkPj公司∈JTnTkλd（Tj-1） +Izif适用于任何k∈ {1，…，n- 1} 和^fn，lK（z）=eizxnh-^Dl（T，T，Tn）ePj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）xnPj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）+iz+~Klizi，其中z∈ C带XJ∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）<Im（z），对于所有T∈ T，xkis函数的唯一根hk，l（x）：=^Dl（T，T，Tk）^Cl（T，Tk）expXj公司∈JTkTλd（Tj-1） +γl（T）x个-Kl，xnis函数的唯一根hn，l（x）：=^Dl（T，T，Tn）expXj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）x个-Kland R=1+M-嗯。证据傅里叶变换^fk，lk和^fn，lk的显式形式源自简单的积分练习。为了得到caplet公式，我们应用了Eberlein、Glau和Papapantoleon（2010）的定理2.2。因此，条件（C1）：gk，lK∈ Lbc（R），（C2）：MXT（R）<∞ 和（C3）：^gk，lK∈ 必须验证该定理的L（R）。20 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z.Grbac函数hk、lare严格递增且连续，具有不同的符号，因此具有唯一的根xk∈ R代表每k∈ {1，…，n}。使用假设（EM），从（3.2）推导出的MXT的显式形式和λ的有界性可以找到R∈ （0，1+米-使条件（C2）满足。我们选择R=1+M-MMin假设（VOL）。召回∧l（T，Tn）<rf所有T∈ T阻尼函数gk，lk明显是连续的和fork∈ {1，…，n- 1} 以gk、lK（x）为界≤\'Dl（T，T，Tk）e（λl（T，Tn）-R） xk。因此，这些函数也是可积的。对于k=n，我们必须用^Dl（T，T，Tn）替换'Dl（T，T，Tk）。为了验证条件（C3），我们使用Berlein、Glau和Papapantoleon（2010）的引理2.5。

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2022-6-10 02:07:56

让我们考虑Sobolev空间H（R）：={g∈ L（R）|g存在且g级∈ L（R）}其中g表示函数g的弱导数。由于这个引理，可以证明gk，lK∈ H（R），但这很清楚，因为函数的形式和上面给出的上界。因此，定理2.2。在上述文件中，意味着CPL（0，T，δl，K）=Bd（Tk）2πZRИXT（u- iR）^fk，lK（iR-u）杜。被积函数的一个明显的对称性导致了表示（3.4）。3.1.2. 型号（b）。对于任何k∈ {1，…，n-1} ，我们有fk，lK（x）：=▄Dd（T，T，Tk）expXj公司∈JTnTλd（Tj-1） x个+Dl（T，T，Tk）exp[Xj∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）]x-KlAd（T，Tk）扩展Xj公司∈JTnTkλd（Tj-1） x个!+andfn，lK（x）=Dd（T，T，Tn）expXj公司∈JTnTλd（Tj-1） x个+ Dl（T，T，Tn）扩展hXj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）ix-Kl！+，多曲线L'EVY远期价格模型21，其中我们将▄Dd（T，T，Tk）：=Dd（T，T，Tk）Ad（T，Tk）Cd（T，Tk）▄Dl（T，T，Tk）：=Dl（T，T，Tk）Ad（T，Tk）Cl（T，Tk）with Cd（T，Tk）：=expTZXj∈JTkThλd（s，Tj-1），w（s，Tk，T*)ID！andCl（T，Tk）：=expTZhXj∈JTkTλd（s，Tj-1） +γl（s，T），w（s，Tk，T*)ids！。提案3.2。caplet的时间-0价格由cpl（0，T，δl，K）=Bd（Tk）π给出∞ZRe公司^1XT（u- iR）^fk，lK（iR-u）du（3.5），其中^fk，lK表示fk，lK的扩展傅立叶变换，允许表示^fk，lK（z）=eizxkh-Dd（T、T、Tk）ePj∈JTnTλd（Tj-1） xkPj公司∈JTnTλd（Tj-1） +iz-Dl（T，T，Tk）e[Pj∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）]xkPj∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）+iz+～KlAd（T，Tk）ePj∈JTnTkλd（Tj-1） xkPj公司∈JTnTkλd（Tj-1） +Izif适用于任何k∈ {1，…，n- 1} 和^fn，lK（z）=eizxnh- Dd（T、T、Tn）ePj∈JTnTλd（Tj-1） xnPj公司∈JTnTλd（Tj-1） +iz- Dl（T，T，Tn）e[Pj∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）]xnPj∈JTnTλd（Tj-1） +/γl（T）+iz+~Klizi，其中z∈ C带XJ∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）<Im（z）22 E.EBERLEIN、C.GERHART和z。

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2022-6-10 02:07:59

GRBAC适用于所有T∈ T，xkis函数的唯一根hk，l（x）：=Dd（T，T，Tk）Cd（T，Tk）expXj公司∈JTkTλd（Tj-1） x个+ Dl（T，T，Tk）Cl（T，Tk）exp[Xj∈JTkTλd（Tj-1） +γl（T）]x-Kl，xnis函数的唯一根hn，l（x）：=Dd（T，T，Tn）expXj公司∈JTnTλd（Tj-1） x个+ Dl（T，T，Tn）扩展hXj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）ix-Kland R=1+M-嗯。证据该证明类似于命题3.1的证明。在这种情况下，wede fine∧d（T，Tn）：=Xj∈JTnTλd（Tj-1），并回顾∧l（T，Tn）<rf对于所有T∈ T那么，对于k∈ {1，…，n- 1} 函数gk，lK以gk，lK（x）为界≤~Dd（T，T，Tk）e∧d（T，Tn）-R） xk+~Dl（T，T，Tk）e（(R)∧l（T，Tn）-R） xk因此是可积的。对于k=n，必须用Ddand Dl替换系数▄Ddand▄Dl。表示（3.5）再次遵循被积函数的对称性。4、型号标定4.1。数据和方法。我们将模型变量（a）和（b）校准为彭博社提供的后危机时期观察到的欧洲市场数据。将使用基于不同期限的存款市场利率、远期利率协议和掉期（OIS和欧元银行同业拆借利率指数）以及欧元银行同业拆借利率指数（Euribor）上针对多个到期日和履约的上限报价。CAP报价以依赖于模型的隐含波动率（INBP）的形式给出。更具体地说，我们将考虑2016年9月15日六个月欧元银行同业拆借利率指数的上限波动率报价。因此，将考虑两个期限结构，即基本曲线和六个月曲线。由于我们观察到一段负利率时期，标准对数正态市场模型不再适用于这种情况。根据市场实践，在这种情况下，我们使用Bachelier模型的多重曲线形式，从波动率报价中得出上限的市场价格。最后，CAPLETS的市场价格由cap价格得出。

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2022-6-10 02:08:03

我们还强调，所考虑的DCAP合同包含负罢工率。多曲线L'EVY远期价格模型23基于多曲线自举（参见Ametrano和Bianchetti（2013）以及Gerhart和L¨utkebohmert（2018）），我们构建了与期限相关的分形。基本曲线是通过引用OIS费率构建的。对于每个期限，我们使用短期到期存款利率、中期远期利率协议利率和中长期到期掉期利率的相应市场报价。在引导过程中使用精确的三次样条插值。这种方法还保证了曲线的足够平滑。我们在右侧底部的图2中展示了校准日期2016年9月15日的自举基本、三个月和六个月FRA曲线。六个月或六个月的基本和FRA曲线值用作校准程序中的输入数据。如公式（3.4）和（3.5）所示，需要沿榫结构的基本曲线值。我们在图3中给出了这些值。请注意，由于利率的负性，贴现曲线在开始时增加。此后，我们将介绍校准程序。设Θ为可容许的模型参数集，T为所考虑债务的到期日，K为执行率。我们将模型和中等规模市场caplet价格之间的平方相对误差之和降至最低∈T，K∈Kcaplet型号价格（θ，T，K）- caplet市价（T，K）caplet市价（T，K）关于θ∈ Θ. 这种优化是通过使用随机化的Powellalgorithm完成的（见Powell（1978））。然后，我们使用校准的模型参数^θ来确定CAP的模型隐含挥发率。

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大多数88

2022-6-10 02:08:06

模型价格的隐含波动率和报价波动率之间的差异说明了校准的准确性。此步骤适用于车型（a）和（b）。0.850.900.951.001.052016-09-152017-09-152018-09-152019-09-152020-09-152021-09-152022-09-152023-09-152024-09-152025-09-152026-09-15饱和度基本折扣曲线如图3所示。2016年9月15日的自举基本曲线。24 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z.Grbaturity2.53.03.54.04.55.0罢工率-0.20.00.20.4市场和模型波动性020406080（a）到期日2.53.03.54.04.55.0履约率-0.20.00.20.4市场和模型挥发性020406080（b）图4。2016年9月15日两种车型的校准结果。模型规格和校准。首先，让我们指定驱动过程LT*PdT下*. 我们将使用参数α、β、δ和u的正态逆高斯（NIG）L'evyprocess（参见Eberlein（2009））必须满足0≤ |β|<α，δ>0和u∈ R、最后一个参数u未进入估价公式。我们的选择应确保*等于零。NIG过程的分布完全由其累积量函数θ（z）=uz+δ决定pα- β-pα- （β+z）其中Re（z）∈ (-α -β, α -β). 我们强调，只有导致L'evy测量FT的参数*满足性假设（EM）是可以接受的。根据假设（VOL），如果我们指定λ，λd，γland'γl，则确定波动性结构。我们选择λ（t）=exp（at），λd（t）=p'ad't，γl（t）=p'al't，'γl（t）=p'al't。因此，四个实值参数a、ad、aland描述了波动性。我们强调，根据假设（VOL），波动率函数必须满足有界性限制。

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2022-6-10 02:08:09

因此，校准需要在多个约束条件下进行非线性优化。在图4的两个图表中，网格表示2016年9月15日的市场波动面。图中的点表示校准模型的隐含波动率。特别是图表还显示，这两种模型都能够应对2016年9月盛行的负罢工利率和负利率。表1给出了与校准模型相对应的参数。多曲线L'EVY远期价格模型25校准参数模型变量（a）NIG波动率结构α53.66666 a-3.498342β-47.62499 ad-0.009348δ0.105083 al0.000548模型变量（b）NIG波动性结构α2.35391 a-6.003533β0.87951 ad0.002264δ14.6241？al0.001549表1。2016年9月15日。参考Ferdinando M.Ametrano和Marco Bianchetti。你总是想知道关于多重利率曲线引导的一切，但又不敢问。SSRN 22195482013提供。Maximilian Beinhofer、Ernst Eberlein、Arend Janssen和Manuel Polley。利维利率模型中的相关性。《定量金融》，11（9）：1315–13272011。马可·比安切蒂和马西莫·莫里尼。金融危机后的利率模型。2013年风险账簿。Damiano Brigo和Fabio Mercurio。利率模型-理论与实践：微笑、通货膨胀和信贷。斯普林格金融公司。Springer，第二版，2006年。St’ephane Cr’epey、Zorana Grbac和Hai Nam Nguyen。银行间风险的多曲线jm模型。《数学与金融经济学》，6（3）：155–190，2012年。克里斯塔·库奇罗、克劳迪奥·丰塔纳和亚历山德罗·格诺阿托。多屈服曲线建模的通用HJMFramework。《金融与随机》，20（2）：267–320，2016年。克里斯塔·库奇罗、克劳迪奥·丰塔纳和亚历山德罗·格诺阿托。多场曲线模型。数学金融（即将出版），2017年。恩斯特·埃伯林。

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