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风险度量的强Fatou性质
nandehutu2022
1041 22
2022-06-10
英文标题：
《The strong Fatou property of risk measures》
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作者：
Shengzhong Chen, Niushan Gao, Foivos Xanthos
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we explore several Fatou-type properties of risk measures. The paper continues to reveal that the strong Fatou property, which was introduced in [17], seems to be most suitable to ensure nice dual representations of risk measures. Our main result asserts that every quasiconvex law-invariant functional on a rearrangement invariant space $\\mathcal{X}$ with the strong Fatou property is $\\sigma(\\mathcal{X},L^\\infty)$ lower semicontinuous and that the converse is true on a wide range of rearrangement invariant spaces. We also study inf-convolutions of law-invariant or surplus-invariant risk measures that preserve the (strong) Fatou property.
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中文摘要：
在本文中，我们探讨了几种Fatou型风险测度的性质。本文继续揭示，在[17]中引入的强Fatou属性似乎最适合确保风险度量的良好双重表示。我们的主要结果表明，重排不变空间$\\数学{X}$上具有强Fatou性质的每一个拟凸律不变泛函都是$\\ sigma（\\数学{X}，L^ \\ infty）$下半连续的，在广泛的重排不变空间上反之亦然。我们还研究了保持（强）Fatou性质的律不变或剩余不变风险测度的inf卷积。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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mingdashike22
2022-6-10 02:54:31
风险度量的强FATOU属性Shengzhong CHEN、NIUSHAN GAO和FOIVOS XANTHOSAbstract。在本文中，我们探讨了几种Fatou型风险测度的性质。论文继续揭示，在[17]中引入的强Fatou属性似乎最适合确保风险度量的良好双重表示。我们的主要结果是，重排不变空间X上具有强Fatou性质的每一个拟凸律不变泛函都是σ（X，L∞) 下半连续，在重排不变空间的全范围上反之亦然。我们还研究了保持（强）Fatou性质的律不变量剩余不变风险测度的inf卷积。在风险度量公理化理论的早期阶段，模型空间X通常被认为是Lp空间。在风险建模中越来越多地使用重尾分布导致了X的更一般选择，如Orlicz空间、Orlicz心脏和其他重排不变空间（参见[5、6、12、13、14、15、17、21、22、25]）。在这些模型空间中，当没有人处理优化问题时，凸对偶技术是可取的，并且只要涉及的风险度量允许可处理的对偶表示，凸对偶技术就可用。当X=Lp时，如果风险措施具有Fatou属性，则可以确保这一点。然而，当X是一般的Orlicz-spaceLΦ时，Fatou属性不再保证可处理的对偶表示（[14]）。为了克服这一障碍，本文的最后两位作者在[17]中引入了strongFatou属性，这是Orlicz空间框架中正确的连续性调整。
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mingdashike22
2022-6-10 02:54:34
本文继续研究了法头型房地产的风险度量，并强调了法头型房地产的重要性。在本文中，我们研究的模型空间X是可执行概率空间上的函数空间(Ohm, F、 P），即L的阶理想：=L(Ohm, F、 P）。Orlicz空间，包括Lp（1≤ p≤ ∞), 是典型的功能空间。我们参考附录中的一些符号和factson函数空间，特别是重排不变（r.i.）空间。像往常一样，我们不区分几乎肯定相等的两个随机变量。所有泛函ρ：X→ (-∞, ∞] 本文中考虑的是适当的，即不完全相同∞,除非另有说明。ρ：X→ (-∞, ∞] 如果ρ（λX+（1）是凸的- λ） Y）≤ λρ（X）+（1- λ） ρ（Y）对于任意X，Y∈ X和λ∈ [0，1]，如果子级集{ρ≤ m} ：={X∈X：ρ（X）≤ m} 每m是凸的∈ R、 对于固定非零正向量S∈ 如果ρ（X+mS）=ρ（X），则为ρisS加法- m表示任意X∈ X和m∈ R、 如果S=1Ohm我们说ρ是现金加法。当ρ（X）=ρ（Y）时，ρ是定律不变的∈ X同一日期：2018年5月15日。2010年数学学科分类。91G80、46E30、46A20。关键词和短语。Fatou性质，强Fatou性质，超Fatou性质，对偶表示，律不变风险测度，剩余不变风险测度，inf卷积。作者感谢NSERC的财政支持。当ρ（X）=ρ时，2 S.CHEN、N.GAO和F.XANTHOSdistribution是盈余不变的(-十、-) 对于每X∈ 如果ρ（X）=ρ，则X是服从正性的剩余不变量(-十、-) 对于每X∈ 使得ρ（X）>0。对于X上的局部凸拓扑τ，ρ：X→ (-∞, ∞] 如果{ρ，则τ下半连续≤ λ} 对于每个λ是τ-闭合的∈ R、 显然，τ越粗，τ下半连续性越强。
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可人4
2022-6-10 02:54:37
著名的Fechel-Moreau对偶断言，凸泛函ρ：X→ (-∞, ∞]τ下半连续当且仅当它通过拓扑对偶（X，τ）允许对偶表示*. 我们说ρ：X→ (-∞ , ∞] 如果ρ（X），则具有（1）Fatou性质≤ lim infnρ（Xn）无论何时（Xn） X和X∈ X满足X否-→X中的X，即Xna。s--→ X和| Xn |≤ X对于某些X∈ X和所有n∈ N、 （2）ρ（X）时的超Fatou性质≤ lim infnρ（Xn）无论何时（Xn） X和X∈ X令人满意的X NA。s--→ 十、 （3）如果X带有范数和ρ（X），则为强Fatou性质≤ lim infnρ（Xn）无论何时（Xn） X和X∈ X满足Xna。s--→ X和（Xn）是范数有界的。很明显，强Fatou属性是这三种Fatou类型属性中的中间属性，强于Fatou属性，弱于超级Fatou属性。很明显，L上的强Fatou性质和Fatou性质是一致的∞. 此外，众所周知，Fatou性质通常强于范数下半连续性，但当底层模型空间X具有阶连续范数时，Fatou性质与范数下半连续性重合。自[7]以来，人们就知道L上的拟凸泛函ρ∞isσ（L∞, 五十） LowerSemic连续的当且仅当它具有Fatou性质。当ρ是附加律不变时，证明了ρ具有Fatou性质当且仅当它是范数下半连续（[20]），当且仅当它是σ（L∞, L∞) 下半连续（[11]）。最近，文献[14]证明了具有Fatou性质的Orlicz空间LΦ上的凸泛函可能不满足σ（LΦ，Lψ）下半连续性，其中ψ是Φ的共轭函数。然而，[17]表明拟凸函数ρ：LΦ→ (-∞, ∞] 具有强Fatou性质当且仅当σ（LΦ，Hψ）下半连续，其中Hψ是Lψ的中心。
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mingdashike22
2022-6-10 02:54:40
当ρ是额外的法律不变性时，[13]表明ρ的强Fatou性质与Fatou性质和σ（LΦ，Lψ）（分别为σ（LΦ，Hψ），σ（LΦ，L∞)) 下半连续性，但一般来说，不规范下半连续性。此外，如果拟凸泛函ρ：X→ (-∞, ∞ ] issurplus不变量或是盈余不变量，在某些0<S的情况下服从正性和S-加性∈ X，如【15】所示，ρ的强Fatou性质等价于Fatou性质和超级Fatou性质，在X=LΦ的情况下，它们都等价于σ（LΦ，Lψ）（分别为σ（LΦ，Hψ），σ（LΦ，L∞)) 低半连续性。本文的主要结果是：anr上的任何拟凸、律不变泛函ρ。i、 具有强Fatou性质的空间X是σ（X，L∞) 下半连续（定理6）。我们还研究了强Fatou性质σ（X，L）之间的关系∞) 下半连续性和Fatou性质。我们证明了拟凸律不变量泛函ρ的强Fatou性质“几乎”等价于σ（X，L∞) 下半连续性（命题9）和如果X具有阶连续范数且不等于L，则拟凸律不变泛函ρ的强Fatou性质等价于σ（X，L∞) 下半连续性和Fatou性质（命题11）。在第三节中，我们研究了inf卷积的Fatou型性质。通常，inf卷积不会保留（强）Fatou属性（参见，例如，[8]）。在[10]中，证明了Fatou性质是由inf卷积保持的。Lp上凸的、现金加性的、律不变的泛函的风险测度3的强Fatou性质。在命题14中，我们将此结果推广到r.i.空间上的强Fatou性质。
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nandehutu2022
2022-6-10 02:54:43
在命题16中，我们得到了凸泛函的inf卷积的一个类似结果，即S-加性和剩余不变主语拓扑性。2、定律不变泛函在本节中，我们假设X是固定非原子概率空间上的r.i.空间(Ohm, F、 P）。关于函数空间的符号和事实，请参阅附录。写出π表示Ohm 其成员具有非零概率，并为所有此类π的集合写入∏。用σ（π）表示由π生成的有限σ-子代数，并写出E[X |π]：=E[X |σ（π）]。对于所有X∈ X和π∈ π，我们有E[X |π]∈ L∞ X乘以（A.2），此外，乘以[4，定理4.8，p.61]，E[X |π]≤ kXk。（2.1）我们的主要结果断言，拟凸律不变风险测度的强Fatou性质意味着σ（X，L∞) 下半连续性。为此，我们需要建立一些初步的技术成果。首先，回想一下以下有用的结果，它包含在[26，引理1.3]的证明的步骤2中。引理1（[26]）。让X∈ L∞, ε>0和π∈ Π. 然后，存在X，XN公司∈ L∞其分布与X相同，且满足NNXi=1Xi- E[X |π]∞≤ ε.A序列（Xn） X被称为有序收敛于X∈ X，写为Xno-→ 十、 如果Xna。s--→ X存在X∈ X使得| Xn |≤ XF适用于所有n∈ N、 我们说一个子集C 如果X包含序列中带项的所有序限，则X在X中是orderclosed。显然，函数ρ：X→ (-∞, ∞] 具有Fatou属性当且仅当子级集{ρ≤ m} 是否每m关闭一次订单∈ R、 且具有强Fatou性质当且仅当每个子级集{ρ≤ m} 包含范数有界序列及其项的a.s.-极限。集合C是定律不变的∈ C每当X∈ C和X，Y具有相同的分布。
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