概率失真下的时间一致性条件期望

2022-6-10 19:24:06

时间一致性条件期望欠概率扭曲Jin MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG ZHANGAbstract。我们引入了概率失真下条件非线性期望的新概念。这种扭曲的非线性期望通常不是次加性的，因此它超出了彭的非线性期望框架的范围。将扭曲的期望扩展到动态设置时，一个更根本的问题是时间不一致性，即通常的“towerproperty”失败。通过将概率畸变局部化并限制为一类较小的随机变量，我们引入了一种所谓的畸变概率，并构造了一个条件表达式，使其在时间零点与原始非线性期望一致，但在塔楼性质仍然有效的意义上具有时间一致的动力学。此外，我们还表明，在连续时间模型中，该条件期望对应于一个抛物型微分方程，其系数涉及基本微分定律。这项工作是对概率失真下非线性期望的新理解的第一步，并将潜在地成为解决时间不一致随机优化问题的有用工具。1、简介。本文提出了一种新的非线性条件期望欠概率失真的概念。这种非线性预期本质上不是次加性的，因此不同于m Peng研究得很好的非线性实验（参见例[18，19]）。我们的目标是找到条件非线性预期的适当定义，以使其在美国“塔属性”的意义上具有时间一致性。概率扭曲在很大程度上是由行为经济学和金融学中的实证发现推动的，参见Kahneman-T versky【13，23】、Zhou【26】及其参考文献。

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2022-6-10 19:24:10

它描述了人类对某些事件的概率很小的自然倾向，这与经典的理性公理相矛盾。从数学上讲，这可以用非线性期望来描述，其中基本概率尺度由畸变函数修改。更准确地说，设ξ为表示不确定事件结果的非负随机变量。ξ的通常（线性）期望值可以用公式[ξ]=Z表示∞P（ξ≥ x） dx。（1.1）另一方面，概率扭曲考虑了预期e[ξ]：=Z的“扭曲”版本∞φP（ξ≥ x）dx，（1.2）关键词和短语。概率失真、时间不一致、非线性期望。2 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang，其中畸变函数ν：[0，1]→ [0，1]是连续的、严格递增的，并且满足φ（0）=0，φ（1）=1。从经济上讲，最有趣的情况是，t是反向S形，即当p≈ 0且当p≈ 1、在特殊情况下Д（p）≡ p、（1.2）减至（1.1）。一般来说，扭曲的期望[·]是非线性的，即既不是次加的也不是超加的。虽然（1.2）在许多情况下都很有用，但当人们试图定义“有条件的”或“动态的”偏差预期时，就会出现很大的困难。例如，考虑一个“天真”定义的扭曲条件经验，给出信息Ftat time t:Et[ξ]=Z∞Д（P（ξ>x | Ft））dx。（1.3）那么很容易检查，对于s<t，通常Es[Et[ξ]]6=Es[ξ]，即“towerproperty”或Flow Property失效。

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2022-6-10 19:24:13

这通常被称为一种“时间不一致性”，在随机最优控制中得到了广泛的研究；更多讨论请参见第1.1节。基于Karnam Ma Zhang【15】的工作，该工作为时间不一致的优化问题提供了一个新的视角，在本文中，我们找到了一种不同的方法来定义扭曲的条件期望，以便在预测塔楼性能方面保持时间一致。具体来说，让(Ohm, F、 F，P）是过滤概率空间，其中F：={Ft}0≤t型≤T、我们寻找一系列运算符{Et}0≤t型≤t对于给定的FT可测随机变量ξ，它认为E[ξ]=E[ξ]，如（1.2）所示，对于0≤ s<t≤ T，塔的属性为：Es[Et[ξ]]=Es[ξ]。更一般地，我们将构造0的操作符Es，tf≤ s≤ t型≤ T使得Er，s[Es，T[ξ]]=Er，T[ξ]对于Ft可测ξ和r≤ s≤ t、我们将论证这至少对于一大类随机变量是可能的：ξ=g（Xt），其中g：R→ [0, ∞) 是递增的，X是二叉树或一维dif usionxt=b（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dBt，t≥ 0。（1.4）值得注意的是，尽管上述随机变量类受到限制，特别是g的单调性，它在我们的方法中起着至关重要的作用（见Remark3.1），但它包含了一大类在大多数关于概率失真的出版物中考虑的实际有用的随机变量，其中X是状态过程，g是效用函数，从那里单调。我们的方法的主要思想基于以下信念：在动态畸变预测中，畸变函数的形式应取决于预期的时间范围。简单地说，（1.2）中[0，T]上的失真函数很可能与（1.3）中的不同，后者仅适用于[0，T]的子区间。

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2022-6-10 19:24:16

我们认为这就是（1.3）变得时间不一致的原因。与[15]中“动态效用”的ide a类似，我们建议将畸变函数本地化如下：给定一组初始畸变函数νt相关到[0，t]形式的区间，我们寻找一个动态畸变函数Φ（s，t，x；p），使得Φ（0，t，x；·）=Дt（例如νt≡ ν），并且由此产生的扭曲条件期望（1.5）Es，t[ξ]=Z∞Φ（s，t，Xs；P（ξ>y | Fs））dy，0≤ s<t≤ T、概率失真3是所有ξ=g（Xt）随g增大而存在的时间。直观地说，畸变函数Φ对（s，t，x）的依赖性可以被认为是主体对未来时间t、当前时间s和状态x的预期随机事件的（畸变）看法。我们将首先在离散时间内使用二项式tr ee模型来说明这一想法，以呈现所有主要元素。分歧案例在概念上是相似的，但分析要复杂得多。然而，在这两种情况下，动态畸变函数都有一个有趣的解释：存在一个概率Q（等于P，与递增函数g无关），使得Φs、 t，x；P（Xt≥ y | Xs=x）= Q（Xt≥ y | Xs=x）（见定理3.4和4.7以及备注2.6）。我们将Q称为畸变概率，因此（1.5）将畸变的条件期望视为Q下的线性条件期望。我们应该注意，由于ξ=g（Xt）的限制，这种隐线性结构在以前的工作中没有被发现。

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2022-6-10 19:24:19

特别是，在连续时间设置中，这使我们能够表明（1.5）中的条件期望Es，t[ξ]可以写为Es，t[ξ]=u（s，Xs），其中函数u满足线性抛物型PDE，其系数取决于畸变函数Д和（1.4）定义的基础扩散X的密度。我们想强调的是，虽然本文只考虑了条件期望，但这是朝着研究概率扭曲下的随机优化问题以及其他时间不一致问题的长期目标迈出的第一步。事实上，在最近的一篇论文中，Strub-Zariphopoulou[10]研究了概率失真下的最优投资问题，并证明了Φ=Φ（s，t；p）形式的时间一致性动态失真函数存在，且仅当它属于Wang[24]中介绍的家族，或者代理人不投资风险资产时才存在。这一结果在一定程度上验证了我们的一般框架，该框架通过允许Φ依赖于状态Xs，甚至其规律，在一个通用环境中处理了大量类似类型的优化问题。论文的其余部分组织如下。在第1.1节中，我们回顾了文献中关于时间不一致随机优化问题的一些方法，这将使本文有一个正确的视角。在第2节中，我们回顾了概率失真的概念，并介绍了我们的动态失真函数。在第三节中，我们在离散时间二项树框架中构造了一个时间一致的动态失真函数。在第4节中，我们考虑了σ为常数的扩散情况（1.4），并在第5节中将结果推广到σ为一般的情况。最后，在第6节中，我们研究了基本状态过程ss X的密度，这对于构造动态畸变函数Φ至关重要。1.1. 讨论：随机控制中的时间不一致性。

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2022-6-10 19:24:22

首先，我们回顾了随机优化问题中“时间不一致性”的通常含义。考虑一个时间范围[0，T]上的随机控制问题，用p[0，T]表示，并假设u*0，这是最佳控制。现在，对于任何t<t，我们考虑在时间范围[t，t]上的相同问题，并用P[t，t]表示。动态问题{P[t，t]}t∈如果u*0，T[t，t]对于每个P[t，t]保持最优，如果不是，则时间不一致。4 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang继Strotz【21】之后，有两种处理时间不一致问题的主要方法：预承诺策略和一致规划。前一种方法基本上忽略了不一致性问题，只研究问题P[0，T]，因此可以将其视为静态问题。一致性规划方法，也称为博弈方法，假设代理人与未来自己博弈，并试图找到一个平衡点。这种方法本质上是动态的、时间上向后的和时间一致的；解是子对策最优解。从Ekeland Lazrak[7]开始，游戏方法在数学金融界获得了很强的跟踪（例如，比约克·穆尔戈奇一世[3]，比约克·穆尔戈奇周[4]，胡-锦州[11]，勇[25]，等等）。然而，我们注意到，从数学上讲，这两种方法实际上产生了不同的值。在《Karnam Ma Zhang》[15]中，作者提出了不同的观点。而不是像在游戏方法中那样对所有问题P[t，t]使用预定的“效用”函数（在可能性失真的情况下，这意味着对所有0≤ s<t≤ T），在[15]中，根据Musiela Zariphopoulou[16，17]和AngoshtarZariphopoulou-Z hou[1]中可预测的正向效用的精神，引入了动态效用，以制定一个新的动态问题P[T，T]，T∈ [0，T]。

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2022-6-10 19:24:25

这个新的动力学问题是时间一致的，同时P[0，T]与预承诺P[0，T]一致。我们应该注意到，类似的想法也出现在崔力王注（6）和范斯坦·鲁德罗夫（8，9）的作品中。在【15】中，还建议使用动态编程pr inc iple（DPP）来描述时间一致性，而不是上述使用最优控制的原始定义。在不存在最优控制的情况下，这种分配尤其重要。注意到在缺乏控制的情况下，DPP只不过是“塔楼财产”，因此我们认为本文是朝着更一般目标迈出的第一步。静态和动态概率扭曲。在本节中，我们定义了概率失真，并引入了时间一致性动态失真函数的概念。2.1. N概率失真下的非线性期望。让(Ohm, F、 P）bea概率空间，设lL+（F）为F-可测随机变量ξ的集合≥ 概率扭曲的概念（参见，例如，周[26]）由两个元素组成：（i）“扭曲函数”，和（ii）定义“扭曲期望”的Choquet型积分。更准确地说，我们有以下定义。定义2.1。（i） A映射Д：[0，1]→ 如果[0，1]是连续的、严格递增的且满足Д（0）=0和Д（1）=1，则称为畸变函数。（ii）对于任何随机变量ξ∈ lL+（F），畸变期望算子（关于畸变函数Д）由（1.2）定义。我们表示llД（F）：={ξ∈ lL+（F）：E[ξ]<∞}.备注2.2。（i）要求ξ≥ 设置0主要是为了方便。（ii）如果φ（p）=p，则E[ξ]=EP[ξ]是p下的标准期望。（iii）E[·]是定律不变的，即E[ξ]仅取决于ξ定律。概率失真5下面的例子表明，E通常既不是次加性的，也不是超加性的。

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2022-6-10 19:24:29

特别是，这超出了Peng（19）研究次可加非线性期望的范围。示例2.3。假设ξ是伯努利随机变量：P（ξ=0）=P，P（ξ=1）=1-p、和ξ：=1-ξ. 那么很明显E[ξ+ξ]=E[1]=1。然而，通过下面的（2.3），我们得到了e[ξ]=Д（1- p），E[ξ]=Д（p），因此E[ξ]+E[ξ]=Д（p）+Д（1- p）。根据φ和p，E[ξ]+E[ξ]可以大于或小于1。提案2.4。假设以下所有随机变量均为lL+（F）。设c，ci≥0为常量。（i） E[c]=c和E[cξ]=cE[ξ]。（ii）如果ξ≤ ξ、然后E[ξ]≤ E[ξ]。特别是，如果c≤ ξ ≤ c、然后是c≤E[ξ]≤ c、（iii）假设ξk在分布上与ξ重合，且ξ*:= supkξk∈ lLИ（F）。ThenE[ξk]→ E[ξ]。证据由于Д在增加，（i）和（ii）可以向前验证。要查看（iii），请注意limk→∞P（ξk≥ x） =P（ξ≥ x）对于x的所有值，除了可数的多个值∈ (0, ∞). 通过φ的连续性，我们得到了limk→∞Д（P（ξk≥ x））=Д（P（ξ≥ x））适用于Lebe sgue-a.e.x∈ [0, ∞). Mo reover，因为Д在增加，所以Д（P（ξk≥ x）（）≤Д（P（ξ*≥ x））对于所有k.By（1.2）和我们得到的支配收敛定理[ξk]→ E[ξ]。我们现在介绍两个特殊情况，它们将在我们的分析中发挥关键作用。特别是，它们将自然地引入扭曲概率的概念。LetI：={g:R→ [0, ∞) : g是有界的、连续的和递增的}。（2.1）提案2.5。（i）假设η∈ lLИ（F）仅取整数x、····、xn。ThenE[η]=nXk=1x（k）φP（η≥ x（k））- φP（η≥ x（k+1））,（2.2）其中x（1）≤ ··· ≤ x（n）是x、····、xn和x（n+1）的有序值：=∞.特别是，如果x<···<x和g∈ 一、 thenE[g（η）]=nXk=1g（xk）[Д（P（η≥ xk））- Д（P（η≥ xk+1））]。（2.3）（ii）假设η∈ lL（F）具有密度ρ和g∈ 一、 ^1∈ C（[0,1]）。ThenE[g（η）]=Z∞-∞g（x）ρ（x）Д′（P（η≥ x））dx。（2.4）证明。（i）表示x（0）：=0。很明显，P（η≥ x） =P（η≥ x（k））表示x∈（x（k-1），x（k）]。

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kedemingshi

2022-6-10 19:24:32

ThenE[η]=Z∞Д（P（η≥ x））dx=nXk=1[x（k）- x（k-1） ]Д（P（η≥ x（k））、6 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang，这意味着（2.3）通过使用简单的Abel重排a s以及事实Д（P（η≥x（n+1））=0。（ii）我们分四步进行。第1步。假设g是有界的、严格递增的、可微的。设a：=g(-∞), b：=克(∞). 那么，Д（P（g（η））≥ x））=1，x≤ 一Д（P（g（η））≥ x））=0，x≥ b、和部分积分yieldsE[g（η）]=a+ZbaД（P（g（η））≥ x））dx=a+Z∞-∞Д（P（η≥ x））g′（x）dx（2.5）=a+Д（P（η≥ x））g（x）| x=∞x个=-∞-Z∞-∞g（x）ddx（Д（P（η≥ x）））dx=Z∞-∞g（x）ρ（x）Д′（P（η≥ x））dx。第2步。假设g是有界的、递增的和连续的。可以很容易地构造GN，使每个GN满足步骤1中的要求，并且GN一致地收敛到tog。在步骤1中，（2.4）对每个gn保持不变。发送n→ ∞ 并应用命题2.4（iii），我们证明（2.4）适用于g。步骤3。假设g是递增的，并且以常数C为界。对于任何ε>0的函数，可以构造一个连续的递增函数gε和一个开集Oε，例如| gε|≤ C、 | gε（x）- g（x）|≤ ε表示x/∈ Oε和Leb e sgue度量| Oε|≤ ε.然后（2.4）对每个gε保持不变。注意e[| gε（η）- g（η）|]≤ ε+2CP（η∈ Oε）=ε+2CZOερ（x）dx→ 0为ε→ 0。然后gε（η）→ g（η）分布，因此E[gε（η）]→ E[g（η）]，根据命题2.4（iii）。类似地，Z∞-∞|gε（x）- g（x）|ρ（x）Д′（P（η≥ x））dx≤ ε+2CZOερ（x）Д′（P（η≥ x））dx→ 然后我们得到g的（2.4）。步骤4。在一般情况下，表示gn：=g∧ n、然后（2.4）适用于每个gn和gn↑ g、利用单调收敛定理，limn→∞Z∞-∞gn（x）ρ（x）Д′（P（η≥ x））dx=Z∞-∞g（x）ρ（x）Д′（P（η≥ x））dx。如果g（η）∈ lLИ（F），然后根据命题2.4（iii），我们得到g的（2.4）。现在假设E[g（η）]=∞. 根据命题2.4（iii）中的论点，注意p（gn（η）≥ x）↑ P（g（η）≥ x）适用于Lebesgue-a.e.x∈ [0, ∞), 作为n→ ∞.

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2022-6-10 19:24:35

然后通过单调收敛定理，我们可以证明E[gn（η）]=R∞Д（P（gn（η））≥x））dx↑R∞Д（P（g（η））≥ x））dx=E[g（η）]，证明（2.4）增益。备注2.6。（i）在离散ca se中，公式（2.3）可解释如下。对于每个k，确定畸变概率qkbyqk：=Д（P（η≥ xk））- Д（P（η≥ xk+1）），k=1，2，n、（2.6）概率失真7Then qk≥ 0，Pnk=1qk=1，E[g（η）]=Pnk=1g（xk）qk。所以{qk}起着“概率分布”的作用，而E是（扭曲的）概率{qk}下通常的线性期望。这一观察结果将是我们下面分析的基础。（ii）在持续的情况下，情况类似。实际上，表示eρ（x）：=ρ（x）Д′（P（η≥ x））。那么eρ也是一个密度函数，通过（2.4），e[g（η）]=R∞-∞g（x）eρ（x）dx是η畸变密度eρ下的通常期望值。（iii）尽管操作员E：lLИ（F）→ [0, ∞) 通常是非线性的，对于fix e dη，限制映射g∈ I 7→ E[g（η）]在非负线性组合下是线性的。（iv）实际上，对于任何ξ∈ lLД（F），注意Fξ（x）：=1- Д（P（ξ≥ x）），x≥ 0是一个cdf，因此定义了一个扭曲的概率度量Qξ，使得e[ξ]=EQξ[ξ]。然而，该Qξ取决于ξ。（2.3）和（2.4）中的主要特征是，对于给定η，我们找到了所有ξ的共同畸变概率测度∈ {g（η）：g∈ 一} 。2.2. 时间不一致。让0∈ T [0, ∞) 是可能的时间集，andX={Xt}t∈t是一个具有确定性X的马尔可夫过程。

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2022-6-10 19:24:38

表示F={Ft}t∈T=fx是X生成的过滤，我们想要定义一个Ft可测量的条件期望Et[ξ]，这样每个Et[ξ]都是Ft可测量的，并且以下“towerproperty”（或“Flow property”）适用（我们将考虑Es，T列上）：Es[Et[ξ]=Es[ξ]，对于所有s，T∈ 因此，s<T.（2.7）我们注意到，塔的特性（2.7）是通常（线性）预期的标准，也是Peng的次线性G预期[19]。这也是所谓动态风险度量的基本要求（参见Bielecki-Cialenco-Pitera【2】）。然而，在概率扭曲的情况下，（1.3）给出的条件期望的简单定义很可能是时间不一致的。下面是一个简单的显式示例：示例2.7。考虑一个两周期二叉树模型：Xt=Pti=1ζi，t∈T：={0，1，2}，w heζ，ζ是独立的Rademacher随机变量s，其中p（ζi=±1）=，i=1，2。对于一些严格递增函数g，设Д（p）：=p，ξ：=g（X），E[ξ]由（1.3）定义。则E[ξ]6=E[ξ]。（2.8）证明。通过（2.3），我们得到了e[ξ]| X=-1=克(-2)1.- φ()+ g（0）Д（），E[ξ]| X=1=g（0）1.- φ()+ g（2）Д（）。注意E[ξ]X个=-1<E[ξ]X=1，因为g严格增加。然后，通过（2.3），我们得到E[ξ]=E[ξ]| X=-1.1.- φ()+ E[ξ]| X=1Д（）（2.9）=g(-2)1.- φ()+ 2g（0）Д（）1.- φ()+ g（2）φ()=g级(-2） +g（0）+g（2）。8 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang另一方面，由（2.3）we a lso haveE[ξ]=g(-2)1.- φ()+ g（0）φ() - φ()+ g（2）Д（）=g(-2） +g（0）+g（2）。（2.10）比较（2.9）和（2.10），并注意到g(-2） <g（0），我们得到E[E[ξ]]<E[ξ]。2.3. 时间一致性动态失真函数。如引言中所述，“原始”畸变条件实验（1.3）时间不一致的一个明显原因是畸变函数Д是时不变的。

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可人4

2022-6-10 19:24:41

受Karnam Ma-Zhang[15]中动态效用思想的启发，我们引入了时间一致性动态畸变函数的概念，它构成了本文的框架。表示：={（s，t）∈ T×T:s<T}。定义2.8。（i） A映射Φ：T×R×[0，1]→ [0，1]被称为动态畸变函数，如果它在（x，p）中可对任何（s，t）进行联合勒贝格测量∈ Tand，每个（s、t、x）∈ T×R，m应用p∈ [0, 1] 7→ Φ（s，t，x；p）是定义2.1意义上的畸变函数。（ii）给定任意（s，t）的动态畸变函数Φ∈ 两个定义，tas如下：Es，t[ξ]：=Z∞Φ（s，t，Xs；P（ξ≥ x | Fs））dx，ξ∈ lL+（σ（Xt））。（2.11）（iii）如果towerproperty保持不变，我们说动态畸变函数Φ是时间一致的：（2.12）Er，t[g（Xt）]=Er，s[Es，t[g（Xt）]，r，s，t∈ T，0≤ r<s<t≤ T、 g级∈ 一、备注2.9。（i）与原始定义（1.3）相比，（2.11）中的动态失真函数还取决于当前时间s、“终端”时间t和当前状态x。这使我们能够描述不同时间和状态下对未来事件的不同（失真）感知。例如，人们可能会对明天可能发生的灾难性事件有不同的感觉，而十年后可能发生的灾难性事件也有相同的可能性。（ii）在本文中，我们将Es，tonly应用于ξ=g（Xt）上的一些g∈ 一、正如我们在Remark2.6中所看到的，在这种情况下，算子Es在g中是线性的。具有非单调g（或甚至路径依赖ξ）的一般情况似乎非常具有挑战性，将留给未来的研究，请参见下面的Remark3.1。然而，值得注意的是，在许多应用中，g是一个效用函数，它确实在增加。（iii）给定g∈ 一、对于某些函数u（s，·），可以很容易地证明Es，t[g（Xt）]=u（s，Xs）∈ 我

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2022-6-10 19:24:44

这正好是（2.12）的右侧。现在，对于每个0<t∈ T，我们假设给出了初始畸变函数φT（·）（可能的选择是φT≡ 作为时间0时对t>0时未来事件的展望。我们的目标是构造一个时间一致的动态畸变函数Φ，使得Φ（0，t，X；·）=φt（·），对于所有0<t∈ T我们将考虑离散时间和连续时间的模型。概率失真93。二叉树案例。在本节中，我们考虑一个包含我们方法所有主要思想的二叉树模型。设{νt}t∈T \\{0}是给定的初始畸变函数族。3.1. 两周二叉树案例。为了说明我们的主要想法，让我们首先考虑一下最简单的情况，即X遵循两周期二叉树，如示例2.7所示（见图1中的左图）。设ξ=g（X），其中g∈ 一、我们应该构造Φ（1，2，x；p）和E1，2[ξ]。注意Φ（0，t，0；·）=φt（·），对于t=1，2，通过（2.3），我们得到（3.1）E0,2[ξ]=g(-2)φ(1) - φ()+ g（0）φ() - φ()+ g（2）φ() - φ(0).在这里，我们写下Д（0）和Д（1），虽然它们的值是0和1，但当扩展到多周期模型时，下面的公式（3.5）将提供更多信息。假设E1,2[ξ]=u（1，X）。那么根据定义，我们应该有（1，-1） =克(-2)1.- Φ(1 , 2, -1;)+ g（0）Φ（1，2，-1;),（3.2）u（1，1）=g（0）1.- Φ(1 , 2, 1;)+ g（2）Φ（1，2，1；）。（3.3）假设u（1，·）也在增加，那么通过（2.3）我们得到了（3.4）E0,1[E1,2[ξ]]=E0,1[u（1，X）]=u（1，-1 )φ(1) - φ()+u（1，1）φ() - φ(0).将（3.2）插入（3.4）：E0,1[E1,2[ξ]]=g(-2)1.- Φ(1 , 2, -1;)φ(1) - φ()+ g（2）Φ（1，2，1；）[φ() - ^1（0）]+克（0）Φ(1, 2, -1;)φ(1) - φ()+1.- Φ(1 , 2, 1;)[φ() - φ(0)].回想一下（2.12），我们希望所有g的上述值都等于（3.1）∈ 我

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大多数88

2022-6-10 19:24:47

这导致了一个自然而独特的选择：Φ（1，2，-1;) :=φ() - φ()φ(1) - φ(), Φ(1, 2, 1;) :=φ() - φ(0)φ() - φ(0).（3.5）因此，（3.2）现在是adsu（1，-1） =克(-2)1.- Φ(1 , 2, -1;)+ g（0）Φ（1，2，-1;),（3.6）u（1，1）=g（0）1.- Φ(1 , 2, 1;)+ g（2）Φ（1，2，1；）。（3.7）注意，由于Д（·）严格地增加。假设进一步使用（3.5），我们有0<Φ（1，2，-1;) < 1, 0 < Φ(1, 2, 1;) < 1.（3.8）10 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG ZHANG0 0-1.-21/21/21/21/21/21/2g（2）E[ξ]（1）E[ξ]g（0）E[ξ](-1） g级(-2） q+0,0q-0,0q+1,1q-1,1q+1,0q+1,0图1。两周期二项式tree：左为X，右为Et[ξ]，带（q+i，j，q-i、 j）in（3.9）。注意，（3.6）和（3.8）表示u（1，-1) ≤ g（0）≤ u（1，1），因此u（1，·）是不变的。最后，我们注意到，离散的经验E0,1[u（1，X）]、E0,2[g（X）]和扭曲的条件期望E1,2[g（X）]可被视为标准期望和条件期望，但在图1右图中描述的新扭曲概率下，其中（3.9）q+0,0：=Д（），q+1,1：=Д（）- φ(0)φ() - Д（0），q+1,0：=Д（）- φ()φ(1) - ^1（），q-i、 j：=1- q+i，j。该程序类似于在期权定价理论中找到风险中性度量，而νtin（3.9）r的参数表示简单随机游走的分位数。备注3.1。（i）现在我们来解释为什么假设g∈ 一、实际上，假设g在减小。然后通过（2.2）和类似的参数，我们可以看到Φ（1，2，1；）=φ() - φ()φ(1) - φ(), Φ(1, 2, -1;) =φ() - φ(0)φ() - φ(0).概率失真11这通常不同于（3.5）。也就是说，我们无法找到一个通用的时间一致性动态失真函数，该函数既适用于递增函数，也适用于递减函数g.（ii）适用于固定（可能没有n-单调）函数g:R→ [0, ∞), 可以构造Φ，使E0,2[g（X）]=E0,1[E1,2[g（X）]]。

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2022-6-10 19:24:51

然而，这个Φ可能取决于g。在我们看来，这太特殊了，因此不可取。（iii）另一个具有挑战性的情况是X具有交叉边。这以不同的方式破坏了单调性，Φ可能不存在，我们将在下面的示例3.2中看到。有两种方法可以理解这里的主要困难：图2中的二叉树和g∈ 一、 ou（1，-1）是g的加权平均值(-2） g（1），u（1，1）是g的加权平均值(-1）和g（2）。自g起(-1） <g（1），对于任何给定的Φ，都存在一些g∈ I使得u（1，- 1） >u（1，1），即u（1，·）在x中不增加。o在E1,2[g（x）]中，条件概率p=p（x=1 | x=-1）将有助于g（1）的重量，但不影响g的重量(-1). 然而，由于g(-1） <g（1），在E0,2[g（X）]中，pw也会对g（1）的重量作出贡献。这种差异破坏了塔的财产。当扩散系数为非常数时，同样的问题也会持续出现；见下文备注5.4。下面的示例表明，必须要求树正在重新组合。示例3.2。假设X遵循图2和图g中的二叉树∈ 我严格地说是在增加。一般来说，不存在时间一致的动态畸变函数Φ。1 1-1.-1.-21/21/21 - ppp1- p图2。具有交叉边的两周期二叉树。证据通过（2.2），我们得到0,2[g（X）]=g(-2)[1 - ^1（1+p）]+克(-1） [^1（1+p）- φ(1 - p+p）]+g（1）[Д（1- p+p）- φ(1 - p） ]+g（2）~n（1）- p）。12 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang假设E1,2[g（X）]=u（1，X）。那么根据定义，我们应该有（1，-1） =克(-2) [1 - Φ(1, 2, -1.p） ]+g（1）Φ（1，2，-1.p），u（1，1）=g(-1) [1 - Φ(1, 2, 1; 1 - p） ]+g（2）Φ（1，2，1；1- p）。在不丧失一般性的情况下，假设u（1，-1） <u（1，1），情况u（1，1）<u（1，-1）可以进行类似的分析。

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2022-6-10 19:24:54

ThenE0,1[E1,2[g（X）]]=g(-2) [1 - Φ(1, 2, -1.p） ]1.- φ()+ g（1）Φ（1，2，-1.p）1.- φ()+g级(-1) [1 - Φ(1, 2, 1; 1 - p） ]Д（）+g（2）Φ（1，2，1；1- p） ^1（）。如果塔性能保持：E0,2[g（X）]=E0,1E1,2[克（X）]对于所有g∈ 一、比较g的重量(-1） g（2）我们有1.- Φ(1 , 2, 1; 1 - p）Д（）=Д（1+p）- φ(1-p+p），Φ（1，2，1；1- p） Д（）=Д（1-p）。将上述两项相加，我们得到了Д（）=Д（1+p）- φ(1 - p+p）+Д（1- p）。（3.10）这种平等并不总是成立的。换句话说，除非满足（3.10），否则图2中的模型没有时间一致性Φ。3.2. 一般二叉树案例。现在，我们将我们的想法扩展到一个通用的多项式树模型。设T由点0=T<···<tN和letX={Xti}0组成≤我≤Nbe是一个有限状态马尔可夫过程，对于每个i=0，N、 X取xi，0<···<xi，i，并具有以下转移概率：（3.11）PXti+1=xi+1，j+1Xti=xi，j= p+i，j，pXti+1=xi+1，jXti=xi，j= p-i、 j：=1-p+i，j，其中p±ij>0。N=3的情况见图3。我们还假设∈ T{0}我们得到了一个畸变函数νti。根据第3.1节中的分析，我们将发现一个扭曲的概率测量值Q，因此，对于所有g∈ 一、（3.12）这意味着Es的塔特性，会立即自然地导致时间一致的动态畸变函数。牢记（3.9），我们定义了二叉树模型的以下扭曲概率：0≤ j≤ 我≤ N、（3.13）q+i，j：=Дti+1（Gi+1，j+1）- ^1ti（Gi，j+1）Дti（Gi，j）- ^1ti（Gi，j+1），q-i、 j：=1-q+i，j，其中Gi，j：=P（Xti≥ xi，j）。我们进一步假设Gi，i+1：=0和Д（p）：=p。从（3.13）开始，为了使0<q+i，j<1，它必须（并且我们将）假设所有（i，j）的Дti（Gi，j+1）<Дti+1（Gi+1，j+1）<Дti（Gi，j）。（3.14）直观地说，（3.14）是一种技术条件，它表明·不能在时间上快速变化。

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2022-6-10 19:24:57

显然，当φt≡ φ. 现在让Q为概率失真13x3,3x2,2x1,1x3,2x0,0x2,1x1,0x3,1x2,0x3,0p+0,0p-0,0p+1,1p-1,1p+1,0p-1,0p+2,2p-2,2p+2,1p-2,1p+2,0p-2,0图3。X（等价）概率测度的三周期二叉树，其中X是马尔可夫，转移概率由（3.15）Q给出Xti+1=xi+1，j+1Xti=xi，j= q+i，j，qXti+1=xi+1，jXti=xi，j= q-i、我们首先有以下简单引理。引理3.3。假设（3.14）保持和g∈ 一、对于0<n≤ N、定义un（x）：=g（x），对于i=N- 1.0，ui（xi，j）：=q+i，jui+1（xi+1，j+1）+q-i、 jui+1（xi+1，j），j=0，i、（3.16）然后ui增加，等式[g（Xtn）| Fti]=ui（Xti）。证据从二叉树结构可以明显看出，EQ[g（Xtn）| Fti]=ui（Xti）。我们用反向归纳法证明了u的单调性。首先，un=g在增加。假设ui+1正在增加。然后，注意到xi，j在j和q+i，j+q中增加-i、 j=1表示所有i，j，by（3.16）we haveui（xi，j）≤ q+i，jui+1（xi+1，j+1）+q-i、 jui+1（xi+1，j+1）=ui+1（xi+1，j+1）≤ q+i，j+1 i+1（xi+1，j+2）+q-i、 j+1 i+1（xi+1，j+1）=ui（xi，j+1）。因此，UIS也在增加。我们注意到（3.16）可以被视为“离散偏微分方程”。这个想法激励我们在下一节中处理连续时间模型。下面是本节的主要结果。定理3.4。假设（3.14）。然后存在唯一的时间一致性动态变形函数Φ，使得Φ（t，tn，x0,0；p）=φtn（p），对于n=1，N、对于所有0≤ i<n≤ N，0≤ j≤ i、和0≤ k≤ n、我们有（3.17）Φ（ti，tn，xi，j；P{Xtn≥ xn，kXti=xi，j}）=Q{Xtn≥ xn，kXti=xi，j}。14 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang此处唯一性仅在（3.17）左侧所有k的条件生存概率下存在。此外，相应的条件非线性期望满足（3.12）。证据

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kedemingshi

2022-6-10 19:25:01

我们首先证明（3.17）有一个满足期望d初始条件的解。注意，P{Xtn≥ xn，kXti=xi，j}a和Q{Xtn≥ xn，kXti=xi，j}在k中急剧下降，固定为0≤ i<n≤ N和xi，j。然后可以很容易地定义函数Φ，这取决于（3.17）适用于所有xn，k，0的ti，tn，xi，j，so≤ k≤ n、此外，初始条件Φ（t，tn，x0,0；p）：=Дtn（p）等于Дtn（p{Xtn≥ xn，k}）=Q{Xtn≥ xn，k}，0≤ n≤ N、 0个≤ k≤ n、（3.18）我们将通过归纳n来证明（3.18）。第一次回忆ν（p）=p，p{Xt=x0,0}=Q{Xt=x0,0}=1，因此（3.18）显然适用于n=0。假设现在i等于n<n。然后Q{Xtn+1=xn+1，k}=Q{Xtn=xn，k-1} q+n，k-1+Q{Xtn=xn，k}Q-n、 k级=Q{Xtn≥ xn，k-1} - Q{Xtn≥ xn，k}q+n，k-1+Q{Xtn≥ xn，k}- Q{Xtn≥ xn，k+1}q-n、 k级=^1tn（Gn，k-1) - ^1tn（Gn，k）q+n，k-1+^1tn（Gn，k）- ^1tn（Gn，k+1）[1 - q+n，k]=~ntn+1Gn+1，k）- ^1tn（Gn，k）+^1tn（Gn，k）- ^1tn+1Gn+1，k+1）= ^1tn+1Gn+1，k）- ^1tn+1Gn+1，k+1）。这将立即导致n+1的（3.18），从而完成诱导步骤。接下来，我们证明了上述构造的Φ确实是一个时间相关的动态变形函数。我们首先指出，对于这个离散模型，只有（3.17）a左侧的Φ值相关，可以将Φ扩展到所有p∈ [0，1]通过线性插值。然后，通过（3.17），可以直接表明Φ（ti，tn，xi，j；·）满足定义2.1（i）。此外，根据（2.11）、（2.3）和（3.17），对于任何g∈ I Wehaveti，tn【g（Xtn）】Xti=xi，j=nXk=0g（xn，k）hΦti，tn，xi，j；P{Xtn≥ xn，kXti=xi，j}-Φti，tn，xi，j；P{Xtn≥ xn，k+1Xti=xi，j}i=nXk=0g（xn，k）hQ{Xtn≥ xn，kXti=xi，j}- Q{Xtn≥ xn，k+1Xti=xi，j}i=等式g（Xtn）Xti=xi，j.也就是说，（3.12）成立。此外，fix n和g，并让uibe如L emma 3.3所示。自从UMIS增加以来，我们有ETI，tmEtm，tn【克（Xtn）】= Eti，tm[um（Xtm）]=ui（Xti）=Eti，tn[g（Xtn）]，0≤ i<m<n。此验证（2.12）。

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可人4

2022-6-10 19:25:04

因此Φ是一个时间一致的动态畸变函数。Φ的唯一性有待证明。假设Φ是一个任意时间一致的动态畸变函数。对于任何适当的i、j和g∈ 一、根据引理3.3的论证，我们可以看到u（ti，xi，j）：=Eti，ti+1g（Xti+1）]Xti=xi，j=g（xi+1，j）[1- Φ（ti，ti+1，xi，j；p+i，j）]+g（xi+1，j+1）Φ（ti，ti+1，xi，j；p+i，j）概率畸变15在xi，j中增加。然后通过（2.3）a和我们拥有的塔特性xkg（xi+1，k）[Дti+1（Gi 1，k）- ^1ti+1（Gi+1，k+1）]=E0，ti+1[g（Xti+1）]=E0，tiEti，ti+1[克（Xti+1]= E0，tiu（ti，Xti）=Xju（ti，xi，j）[^1ti（Gi，j）- ^1ti（Gi，j+1）]=Xjhg（xi+1，j）[1- Φ（ti，ti+1，xi，j；p+i，j）]+g（xi+1，j+1）Φ（ti，ti+1，xi，j；p+i，j）i×[φti（Gi，j）- ^1ti（Gi，j+1）]。由g的任意性∈ 一、这意味着1- ^1ti+1（Gi+1,1）=[1- Φ（ti，ti+1，xi，0；p+i，0）][1- ^1ti（Gi，1）]；^1ti+1（Gi+1，k）- ^1sti+1（Gi+1，k+1）=[1- Φ（ti，ti+1，xi，k；p+i，k）][Дti（Gi，k）- ^1ti（Gi，k+1）]+Φ（ti，ti+1，xi，k-1.p+i，k-1） [^1ti（Gi，k-1) - ^1ti（Gi，k）]，k=1，i+1。这相当于，表示ak：=Φ（ti，ti+1，xi，k；p+i，k）[Дti（Gi，k）- ^1ti（Gi，k+1）]，a=Дti+1（Gi+1,1）- ^1ti（Gi，1）；ak公司-1.- ak=[Иti+1（Gi+1，k）- ^1ti+1（Gi+1，k+1）]- [^1ti（Gi，k）- ^1ti（Gi，k+1）]。显然，上述方程有唯一的解，因此我们必须有Φ（ti，ti+1，xi，k；p+i，k）=q+i，k。这进一步意味着Eti，ti+1[g（Xti+1）]=EQ[g（Xti+1 | Fti）。现在，Eti，tn和EQ[·······]都满足塔的性能，然后Eti，tn[g（Xtn）]=EQ[g（Xtn | Fti）]，对于所有的所有的塔∈ 一、因此Eti，Tn是唯一的，这立即意味着Φ的唯一性。备注3.5。（i）我们应该注意到，我们构造的动态畸变函数Φ实际上取决于X在P和Q下的生存函数，另请参见下面的（4.22）。（二）我方Φ的施工及时在当地进行。

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2022-6-10 19:25:07

特别是，所有结果都可以在有限时间内扩展到cas：0=t<t<···。（iii）我们对Φ的构造在州内也是局部的，因为Φ（ti，tn，xi，j；·）只涉及根在（ti，xi，j）的子树。4、恒定扩散情况。在本节中，我们设置T=[0，T]，并考虑以下情况，其中底层状态过程X是一个一维马尔可夫过程，满足以下条件，且具有常数差系数：Xt=X+Ztb（s，Xs）ds+Bt，（4.1），其中B是给定过滤概率空间上的一维标准布朗运动(Ohm, F、 {Ft}0≤t型≤T、 P）。我们再次给出初始畸变函数{Дt=Д（t，·）}0<t≤TandИ（p）≡ p、我们的目标是构造一个时间一致的动态畸变函数Φ和相应的时间一致的畸变条件期望Es，tfor（s，t）∈ T、我们将施加以下技术条件。16 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang假设4.1。函数b是完全光滑的，且所需导数b和t都有界。显然，假设SDE（4.1）是适定的。b的进一步正则性用于对Xt的密度进行一些尾部估计，这是我们构建时间c一致动态畸变函数Φ和畸变概率测度Q所需的。通过更仔细地研究我们的论点，我们可以确定我们将需要的精确技术条件。然而，由于我们的主要关注点是动态失真函数Φ，为了便于阅读，我们宁愿不执行这些细节。4.1. 二叉树逼近。我们的想法是通过一系列二叉树来近似X，然后应用上一节的结果。为此，对于f x d N，表示h：=TN，ti：=ih，i=0，··，N。

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2022-6-10 19:25:12

则（4.1）可分解如下：Xti+1≈ Xti+b（ti，Xti）h+Bti+1- Bti。（4.2）我们首先在TN上构建二叉树：={ti，i=0，…，N}，如第3.2小节所示，其中（4.3）x0,0=x，xi，j=x+（2j-（一）√h、 bi，j：=b（ti，xi，j），p+i，j：=+bi，j√h、由于b是有界的，我们假设h足够小，以至于0<p+i，j<1。让XNdenote在（4.3）中指定的概率下记录对应于该二叉树的马尔可夫链。然后我们选择p+i，jensures thatEPNXNti+1- XNti公司XNti=xi，j= p+i，j√h类- p-i、 j√h=bi，jh；（4.4）EPNXNti+1- XNti公司- bi，jhXNti=xi，j= p+i，j(√h类- bi，jh）+p-i、 j(√h+bi，jh）=h- bi，jh。显然，作为一种标准的欧拉近似，XNmatches（4.2）中X的条件期望和条件方差，高达o（h）阶。接下来，我们将在第3.2节中定义其他术语：GNi，j：=PN{XNti≥ xi，j），qN，+i，j：=Дti+1（GNi+1，j+1）-^1ti（GNi，j+1）Дti（GNi，j）-^1ti（GNi，j+1），qN，-i、 j：=1- qN，+i，j；QN公司XNti+1=xi+1，j+1XNti=xi，j= qN，+i，j，qNXNti+1=xi+1，jXNti=xi，j= qN，-i、 j；ΦNti，tn，xi，j；PN编号XNtn公司≥ xn，kXNti=xi，j:= QN公司XNtn公司≥ xn，kXNti=xi，j.（4.5）我们将发送N→ ∞ 并分析了上述条款的局限性。在这一小节中，我们通过假设所有涉及dexist的函数都是光滑的，来试探性地评估极限。分别定义（4.1）中X的生存概率函数和密度函数：G（t，X）：=P（Xt≥ x），ρ（t，x）：=-xG（t，x），0<t≤ T、（4.6）注意，作为分化过程（4.1）的生存功能，G满足以下PDE：甘油三酯=xxG- bxG=-xρ+bρ。（4.7）假设GNi，j是合理的≈ G（ti，xi，j）。注意，ti+1=ti+h，xi，j+1=xi，j+2√h、 xi+1，j+1=xi，j+√h、重写Д（t，p）：=Дt（p）。

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2022-6-10 19:25:15

然后，对于（t，x）=概率失真17（ti，xi，j），乘以（4.7）并应用泰勒展开式（当上下文清晰时，抑制变量）：t+h，G（t+h，x+√h）- Д（t，G（t，x））=tИh+p^1[tGh+xG公司√h类+xxGh]+pp^1[xG]h+o（h）=-pДρ√h类+tИ+pДbρ- p^1xρ+ppДρh+o（h）；φt、 G（t，x+2√h）- Д（t，G（t，x））=p^1[xG2√h类+xxG4h]+聚丙烯[xG]4h+o（h）=-2.pДρ√h类- 2.p^1xρ- ppДρh+o（h）。因此，我们得到了qN，+i，jin（4.5）的近似值：qN，+i，j≈φt+h，G（t+h，x+√h）- φt、 G（t，x+2√h类φt、 G（t，x）- φt、 G（t，x+2√h）= 1 +-pДρ√h类+t~n+pДbρ- p^1xρ+ppДρ氢+氧（h）2pДρ√小时+2小时p^1xρ- ppДρih+o（h）（4.8）=+u（t，x）√h+o(√h），其中u（t，x）：=b（t，x）+tИ（t，G（t，x））-ppД（t，G（t，x））ρ（t，x）pД（t，G（t，x））ρ（t，x）。（4.9）接下来，没有XNti+1- XNti公司XNti=xi，j=√h[2qN，+i，j- 1] =u（ti，xi，j）h+o（h）；EQN（XNti+1- XNti公司- u（ti，xi，j）h）XNti=xi，j= h+o（h）。换句话说，作为N→ ∞, 我们的实验表明，qn将转化为概率测度Q，因此对于某些Q-布朗运动B，它认为xt=x+Ztu（s，Xs）ds+Bt，Q-a.s.（4.10）。此外，形式上，人们应该能够找到满足：（4.11）Φ的动态畸变函数Φs、 t，x；P{Xt≥ y | Xs=x}= Q{Xt≥ y | Xs=x}，0≤ s<t≤ T、然而，由于X=xis退化，ρ（0，·）和u（0，·）不存在，因此上述收敛仅适用于0<s<T≤ T还值得注意的是，渐近（3.16）应为：u（t，x）≈[1+u（t，x）√h+o(√h） ][u（t+h，x+√h）- u（t+h，x-√h） ]+u（t+h，x-√h） =u（t，x）+tu公司+xxu+u徐h+o（h）。也就是说，L u（t，x）：=tu公司+xxu+uxu=0。（4.12）18 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG Zhang 4.2。连续TIME模型的严格结果。

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2022-6-10 19:25:18

我们现在将前面小节中的启发式参数化，并推导出连续时间模型的时间一致性动态畸变函数和畸变条件期望。我们首先对扩散密度进行了以下估计（4.1）。由于我们主要关注的是动态畸变函数，我们将证明推迟到下面的第6节。提案4.2。在As sumption4.1下，XT有一个密度函数ρ（t，x），该函数在（0，t）]×R上是严格正的，并且非常光滑。此外，对于任何0<t≤ T，存在常数C，可能取决于T，因此（4.13）|xρ（t，x）|ρ（t，x）≤ C、 C[1+| x |]≤G（t，x）[1- G（t，x）]ρ（t，x）≤ C、（t，x）∈ [t，t]×R。我们接下来假设以下技术条件。假设4.3。在[0，T]×[0，1]上是连续的，在（0，T]×（0，1）上是充分光滑的p^1>0。此外，对于任何0<t<t，存在常数>0，因此对于（t，p）∈ [t，t]×（0，1）我们有以下界限：pp^1（t，p）p^1（t，p）≤Cp（1- p），则，购买力平价（t，p）p^1（t，p）≤Cp（1- p），（4.14）t^1（t，p）p^1（t，p）≤ Cp（1- p），则，tpИ（t，p）p^1（t，p）≤ C、（4.15）我们注意到，考虑到G（t，x）、ρ（t，x）的存在以及ν的规则性，我们很好地定义了（4.9）中的函数u（t，x）。备注4.4。（i）请注意，在（4.8）和（4.9）中，仅使用组分Д（t，G（t，x）），并且对于所有组分（t，x），显然0<G（t，x）<1∈ （0，T]×R。因此，我们不要求在p=0，1时存在差异。此外，由于pД>0，条件（4.14）仅涉及p周围的奇点≈ 0和p≈ 1.（ii）（4.14）中的第一行没有限制性。

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2022-6-10 19:25:21

例如，通过直接计算，可以验证文献中常用的以下所有畸变函数（参见，例如，Huang NguyenHuu Zhou【12，第4.2节】）满足：回顾文献中通常的Д（t，p）=Д（p）不依赖于t，oTversky和Kahnema【23】：Д（p）=pγ（pγ+（1-p） γ）1/γ，γ∈ [γ，1），其中γ≈ 0.279，以便Д增加。oTversky和Fox【22】：Д（p）=αpγαpγ+（1-p） γ，α>0，γ∈ (0, 1).o Prelec【20】：Д（p）=exp(-γ(-lnp）α），γ>0，α∈ (0, 1).o 王[24]：Д（p）=F（F-1（p）+α），α∈ R、其中，F是标准的cdf nor mal。作为示例，我们检查最后一个不太重要的cdf。设置q：=F-1（p）。则Д（F（q））=F（q+α）==> Д′（F（q））=F′（q+α）F′（q）==> ln（Д′（F（q）））=ln（F′（q+α））- ln（F′（q））。概率失真19注意F′（q）=√2πe-q、那么ln（F′（q））=-自然对数√2π -q、 Thusln（Д′（F（q）））=-（q+α）+q==>Д′（F（q））Д′（F（q））F′（q）=-α.这意味着，用G（q）表示：=1- F（q）标准正态的生存函数，|Д′（p）|Д′（p）p[1- p] =|α| F（q）[1- F（q）]F′（q）=α| G（q）[1- G（q）]F′（q），然后将（4.13）应用于s标准正态（即b=0和t=1），我们得到pp^1p^1。同样，我们可以估计ppp^1p^1。（iii）当Д（t，p）时≡ ^1（p）与标准文献中一样，（4.14）中的第二行是无关紧要的。另一个重要的例子是可分离的情况：Д（t，p）=f（t）Д（p）。假设f′有界。然后这里的第二个不等式变得复杂，第一个不等式的有效条件是Д（p）Д′（p）≤Cp（1-p），这适用于（ii）中的所有示例。为了更好地理解（4.9）中给出的u，我们显式地计算了一个示例。示例4.5。考虑Wang[24]的畸变函数：Д（t，p）=F（F-1（p）+α），如Remark4.4（ii）所示。设置b=0，然后u（t，x）=α√t、证明。首先，很明显tД=0和pИ（t，p）=F′（F-1（p）+α）F′（F-1（p））。

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大多数88

2022-6-10 19:25:24

然后pp^1（t，p）pД（t，p）=p自然对数p^1（t，p）=F′（F-1（p））hF′（F）-1（p）+α）F′（F-1（p）+α）-F′（F-1（p））F′（F-1（p））i.可以很容易地检查F′（x）=√2πe-x和F′（x）=-xF′（x）。然后pp^1（t，p）pИ（t，p）=F′（F-1（p））- [F-1（p）+α]+F-1（p）= -αF′（F-1（p））。注意g（t，x）=P（Bt≥ x） =P（B≥x个√t） =P（B≤ -x个√t） =F(-x个√t）。则u（t，x）=αρ（t，x）F′（F-1（G（t，x））=αρ（t，x）F′(-x个√t） =α√2πte-x2t型√2πe-(-x个√t） =α√t、完成证明。我们现在做一些技术准备。在整个过程中，我们将使用Cto表示一个通用常数，该常数可能因行而异。引理4.6。让Assum选项4.1和4.3保持不变。20 JIN MA、TING-KAM LEONARD WONG和JIAFENG ZHANG（i）（4.9）定义的函数u在（0，T）×R中是非常平滑的。此外，对于任何0<T<T，存在C>0，使得（4.16）|u（T，x）|≤ C[1+| x |]|xu（t，x）|≤ C[1+| x |]，适用于所有（t，x）∈ [t，t]×R.（ii）对于任何（s，x）∈ （0，T）×R，[s，T]上的以下SD E具有唯一的strong解决方案：（4.17）~Xs，xt=x+Ztsu（R，~Xs，xr）dr+Bst，其中Bst：=Bt- Bs，t∈ [s，T]，P-a.s.，此外，下面的Ms，xis是真P-鞅，Po （￠Xs，x）-1=Qs，xo （Xs，x）-1，其中Xs，xt：=x+Bst，Ms，xt：=eRtsu（r，Xs，xr）dBr-Rts |u（r，Xs，xr）| dr，dQs，xdP：=毫秒，xT。（4.18）（iii）回顾（4.1）中的过程X。定义（4.19）Gs，xt（y）：=P（xt≥ y | Xs=x），~Gs，xt（y）：=P（~Xs，xt≥ y），0<s<t≤ T、 x，y∈ R、然后Gs，xt和Gs，xt是连续的，在y上严格递减，并具有以下性质：Gs，xt(∞) := 石灰→∞Gs，xt（y）=0，~Gs，xt(∞) := 石灰→∞Gs，xt（y）=0；Gs，xt(-∞) := 石灰→-∞Gs，xt（y）=1，~Gs，xt(-∞) := 石灰→-∞Gs，xt（y）=1。此外，Gs，xt有一个连续的反函数（Gs，xt）-1开（0，1），我们通过连续性设置（Gs，xt）-1(0) := -∞, （Gs，xt）-1(1) := ∞.（iv）对于任何g∈ 固定，设u（t，x）：=EP[g（Xt，Xt）]，（t，x）∈ （0，T）×R。

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2022-6-10 19:25:27

然后Ui有界，在x上增加，是以下PDE的唯一有界粘度解：（4.20）L u（t，x）：=tu公司+xxu+uxu=0，0<t≤ Tu（T，x）=g（x）。（v）对于tand Cin（i），存在δ=δ（C）>0，因此，如果g∈ I是充分光滑的，g′具有紧支集，那么u是充分光滑的- δ、存在一个常数C＞0，这可能取决于（T，x）的满足性∈ [T- δ、 T]×R，（4.21）| u（T，x）-g级(-∞)| ≤ 总工程师-x、 x<0|u（t，x）-g级(∞)| ≤ 总工程师-x、 x>0；xu（t，x）≤ 总工程师-x、证明。（i）根据我们的假设和命题4.2，u的规律性立即出现。对于任何t≥ t、在（4.14）和（4.13）之前，tИ（t，G（t，x））pД（t，G（t，x））ρ（t，x）≤CG（t，x）[1- G（t，x）]ρ（t，x）≤ CppД（t，G（t，x））ρ（t，x）pД（t，G（t，x））≤Cρ（t，x）G（t，x）[1- G（t，x）]≤ C[1+| x |]。然后从（4.9）得出|u（t，x）|≤ C[1+| x |]。此外，请注意xu（t，x）=xb公司-tp^1p^1+t^1pp^1(p^1）-t^1xρpДρ+pppДρp^1-pp^1xρp^1-(ppД）ρ(p^1）。概率失真21By（4.14）和（4.13）同样可以很容易地验证|xu（t，x）|≤ C[1+| x |]。（ii）由于u在x中是局部一致Lipschitz连续的，因此通过截断参数▄Xs，xexists局部存在。现在，均匀线性增长（4.16）保证了全局一致性。此外，根据Karatzas Shreve【14，第3章，推论5.16】，我们看到Mt，xis是一个真正的P-鞅，因此Qt，xis是一个概率测度。（iii）由于给定Xs=x的Xtunder P的条件定律具有严格的正性，因此关于Gs，xtis的陈述是不成立的。类似地，由于Xs定律，xtunder P具有密度，而dQs，x<< dP，关于▄Gs，XT的声明也很明显。（v）我们将在（iv）之前证明（v）。稍后指定δ>0，t∈ [T-δ、 T）]。设R>0 b e，使得g′（x）=0表示| x |≥ R

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