具有退保风险的基于L¨evy的混合模型中的可变年金

2022-6-24 00:06:13

基于L'EVY的具有放弃风险的杂交模型中的可变年金Laura BALLOTTA（A）、ERNST EBERLEIN（b）、（c）、（d）、THORSTEN SCHMIDT（b）、（c）、（d），*,RAGHID ZEINEDDINE（d）摘要。本文提出了一个具有保证最低累积收益、死亡收益和放弃收益特征的变量年鉴的市场一致性估值框架。该设置基于金融市场的混合模型，并使用非均匀L'evy过程作为风险驱动因素。此外，我们考虑了财务风险和退保风险之间的依赖关系。我们的模型为感兴趣的数量提供了明确的分析公式，并为这些公式的评估提供了实用有效的数值程序。我们通过对可变年金及其组成部分的价格与模型参数的详细敏感性分析，说明了这种方法的可操作性。结果强调了投降行为所起的作用及其适当建模的重要性。关键词：金融；可变年金；混合模型；L'evy流程；退保风险等级：G13、G12、G22、C631。简介变量年金（VAs）是一种与单位挂钩的投资政策，提供退休后收入，由适当管理的金融投资组合的回报产生。为了保护投保人的储蓄账户，实施了各种担保。VAs在美国、日本、英国都是受欢迎的保险产品，在其他欧洲市场也越来越多。

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2022-6-24 00:06:17

根据人寿保险和市场研究协会（LIMRA）安全退休研究所和保险退休研究所（IRI），2018年VAs在美国的销售额超过1000亿美元，与2017年相比增长了2%。可变年金合同提供的常见担保类型有所谓的最低保证累积福利（GMAB）、最低保证死亡福利（此后为DB）——适用于早逝情况——最低保证收入福利和最低保证提取福利。前两种是累积期内的有效保护，即直到合同到期，而后两者在到期后，即所谓的“年金化”期间提供支付。有关这些产品的广泛概述和分类，请参阅Bacinello等人（2011）及其参考文献。日期：2019年5月24日。（a）英国伦敦大学城市卡斯商学院金融学院。（b）德国弗莱堡高等研究所（FRIAS）。（c）德国弗莱堡大学数学随机系。（d）斯特拉斯堡大学高等研究所（USIAS），法国。*通讯作者：托尔斯滕·施密特；电子邮件：thorsten。schmidt@stochastik.uni-弗莱堡。de.由于这些合同的构建，承保保险公司面临财务和死亡风险，以及投保人行为引发的退保风险。

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2022-6-24 00:06:20

事实上，提前到期的选择权是保险合同的一个常见附加特征，这可能会给保险人带来巨大的现金流，并对VAs（LIMRA Secure RetirementInstitute）的市场增长产生负面影响。Brennan和Schwartz（1976）以及Boyle和Schwartz（1977）对存在金融风险的人寿保险合同定价进行了研究；从Albizzati和Geman（1994）、Bacinello和Ortu（1996）以及Grosen和Jorgensen（2002）的开创性贡献，到Bacinello et al.（2011）、Deelstra和Ray'ee（2013）、Giacinto et al.（2014）和Gudkovet al.（2018）的最新贡献，此后发展了广泛的文献。这些贡献在所考虑的特定产品方面与众不同，尽管它们都基于差异驱动市场模型。巴洛塔（2005年、2009年）考虑了由利维过程驱动的金融动态的扩展，尽管在这些论文中，重点主要放在股票市场上，因为利率假定为常数，并且没有考虑退保的可能性。有鉴于此，本文旨在为这些风险的建模和可变年金合同的市场一致性定价提供一个现实的框架。我们特别关注GMAB、DB的定价以及通过所谓的退保福利（SB）对货币风险的量化，以多种方式对文献的现状作出贡献。首先，与上述文献相反，我们提出了一个由时间非齐次L'evy过程驱动的金融和保险风险的通用联合模型。

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2022-6-24 00:06:23

我们的选择是基于这些随机过程在描绘观察到的市场趋势时所带来的分布灵活性的增加（例如，参见Eberlein和Keller，1995年对股票市场的广泛实证分析）。更详细地说，对于金融市场，我们采用了Eberleinand Rudmann（2018）的混合结构，其中明确考虑了利率市场和股票市场之间的随机依赖性。鉴于保险合同的典型长期到期，这一特征在这种情况下是一个重要方面。此外，我们将保险风险细分为退保风险和死亡风险。对于退保风险，我们遵循市场惯例，考虑了两个组成部分：一个是捕获非经济因素和个人意外事件导致的基准退保行为，另一个是对金融市场条件变化作出反应的退保行为（例如，见Kolkiewicz和Tan，2006年，Le Courtois和Nakagawa，2011年，Ducuroir等人，2016年）。这一部分尤其包括合同利率与市场上同等产品利率之间的利差函数，因此包含了金融市场模型的随机输入。选择的功能旨在适当适应基于货币性假设（例如，见Knoller et al.，2016）、利率假设和紧急基金假设（例如，见Nolte和Schneider，2017以及其中的参考文献）的退保触发论点。对于死亡率风险，我们采用了一个扩展的Gompertz-Makeham模型，该模型具有随机死亡率改善率，如Krayzler et al.（2016）和Escobar et al。

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2022-6-24 00:06:26

(2016); 然而，我们自然假设人口风险和金融风险之间存在随机独立性。其次，通过提出的一般框架，我们获得了担保价格和SB的闭合分析公式（高达多维积分）。这些积分的维数取决于允许投保人终止合同的频率。最后，我们还开发了一个实用有效的数值方案，通过蒙特卡罗积分和重要性抽样来评估这些公式，并通过对合同价值与模型参数进行敏感性分析来说明其适用性。该分析的结果强调了正确校准模型对观察到的退保率的重要性。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了金融市场的模型；第3节介绍了VAs的合同特征以及关于死亡率和退保风险的其他建模假设。第4节推导了闭合分析定价公式；第5节提供了相应的数值格式。我们在第6节中给出了敏感性分析的结果，而第7节得出了结论。附录中提供了其他材料，包括一些证据。利率和股票市场本节的目的是介绍利率和股票市场的联合模型，用于制定可变年金的定价框架。具体而言，wefollow Eberlein和Rudmann（2018）在时间非均匀过程上构建了该联合模型。因此，我们首先提供一些必要的初步结果，并考虑pricingapplication。2.1. 时间非齐次L'evy过程和定价。

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2022-6-24 00:06:30

给定有限的时间范围*> 0，考虑随机基础(Ohm, F，F，Q），过滤F=（Ft）t∈[0，T*]满足通常的条件。由于我们对定价的关注，概率测度Q表示arisk中立鞅测度。设Land-Lbe为两个独立的时间非齐次evy过程，即具有独立增量的连续时间过程，其特征函数为qheiuljti=expZt公司iubjs公司-cjsu+ZReiux公司- 1.- iux1{| x|≤1}Fjs（dx）ds公司（1）对于j=1，2；地方特色（bjs、cjs、Fjs）∈[0，T*]满足可积条件zt*|bjs |+cjs+ZR（最小{| x |，1}）Fjs（dx）ds<∞.我们注意到，建立在（指数）L'evy过程上的金融市场一般是完整的，因此风险中性鞅测度不是唯一的。这种情况下的标准做法是通过校准确定定价措施，使用基于利息数量的交易衍生品合同的市场报价，即我们应用的特定情况下的债券和股票。由于模型校准不在本文范围内，werefer向Eberlein和Rudmann（2018）详细说明了所采用的联合模型的校准程序。然而，对于任何风险中性鞅测度，我们都要求存在一定阶数的指数矩。为此，以下假设贯穿本文的其余部分。假设2.1（指数矩）。对于j=1，2，存在正常数Mjandj对于每个u∈ [-(1 + j） Mj，（1+j） Mj]ZT*Z{| x |>1}euxFjs（dx）ds<∞.数学金融中使用的所有标准过程，如双曲线、正态逆高斯、方差Gamma和CGMY过程，都满足上述条件。

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2022-6-24 00:06:33

假设2.1意味着存在过程的第一个时刻；这允许我们重写（1）asEQheiuLjti=expZt公司iubjs公司-cjsu+ZReiux公司- 1.- iuxFjs（dx）ds公司.在此设置中，我们定义了Ljθjs（z）=bjsz+cjsz+ZR（ezx）的累积量函数- 1.- zx）Fjs（dx），适用于任何z∈ C使得Re（z）∈ [-(1 + j） Mj，（1+j） Mj]。然后，等式[exp（zLjt）]<∞ 安第克exp（zLjt）= 经验值Ztθjs（z）ds.进一步，设f:R+→ C是| Re（f）|的连续函数≤ Mj，thenEQ经验值Ztf（s）dLjs= 经验值Ztθjs（f（s））ds, （2）其中，积分定义为实部和虚部的分量（详情见Eberleinand Raible，1999）。2.2. 固定收益市场。对于固定收益市场的建模，我们遵循Eberlein等人（2005）的方法（另见Eberlein和Raible，1999），因此起点是瞬时远期利率（f（t，t）0）动力学的定义≤t型≤T≤T*). 假设f（t，t）=f（0，t）+Ztα（s，t）ds-Ztσ（s，T）dLs，0≤ t型≤ T≤ T*, （3）对于确定性有界函数f（0，T）。假设漂移函数α（·）和挥发函数σ（·）满足可测性和有界性的通常条件（见Eberlein et al.，2005，（2.5））。到期时间为t的零息票债券的价格≥ t isB（t，t）=exp-ZTtf（t，s）ds.让我们表示a（s，T）：=ZTsα（s，u）du，∑（s，T）：=ZTsσ（s，u）du。从Fubini定理和方程（3）可以看出，债券价格的动力学是B（t，t）=B（0，t）expZt（f（s，s）- A（s，T））ds+Zt∑（s，T）dLs,我们提醒，通过设置T=T，短期利率RTI由远期利率动力学不等式（3）隐式给出。

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2022-6-24 00:06:36

最后，我们假设∑（s，T）≤M、（4）其中Mis为假设2.1中的常数；这保证了托氏积分的指数具有有限的期望值。为了使市场无套利，我们要求（B-1tB（t，t））0≤t型≤T、 Bt=exp时Rtr（s）ds, 是鞅；由（2）可知，Q是鞅测度ifA（s，T）=θs（∑（s，T）），0≤ s≤ T、（5）在下文中，我们将始终假设漂移条件（5）成立。2.3. 股票市场。对于股票市场的建模，我们考虑单个资产的情况，无论是单个股票还是股票指数。可以直接获得更一般的设置。许多实证研究表明，股票市场和固定收益市场相互影响；这种互动在长期保险合同中尤为重要。因此，继Eberlein和Rudmann（2018）之后，我们选择了一种允许两个市场之间随机依赖的方法。因此，我们对资产asSt=Sexp的价格过程进行建模Ztr（s）ds+Ztσ（s）dLs+Ztβ（s）dLs- ω（t）. （6）在这种混合方法中，利率动态的驱动因素通过termRtβ（s）dLs明确影响股票价格，原因是β（·）。进一步的依赖性源于（综合）短期利率，即经典的风险中性termRtr（s）ds。σ（·）是一个正函数，表示股票价格的波动性。σ（·）和β（·）都可以选择为随机过程，但考虑到数值方面，下面我们考虑确定性函数σ（·）和β（·）。为了确保指数矩的存在，我们需要σ（s）≤M、 |β（s）|≤M、（7）对于M，M来自假设2.1的常数。（6）中的漂移项ω（t）的选择应确保贴现股票价格（B-1测试）t∈[0，T*]是一个Q-鞅。

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2022-6-24 00:06:39

方程（2）和两个驱动过程的独立性明确地表示为ω（t）=Zt[θs（σ（s））+θs（β（s））]ds。（8）因此，根据（5）和（8），债券和证券的联合市场模型没有套利。可变年金合同可变年金（VA）是一种保险合同，根据名义I向持有人提供各种福利，以换取初始保费，我们将在下文中确定。该保险费在VA合同开始时支付一次。假设合同到期日T满足0<T≤ T*. 在此处考虑的规范中，VA包括三个特征：保证最低累计福利（GMAB）、退保福利（SB）和死亡福利（DB）。具体而言，在到期日T时，GMAB向保单持有人支付最高金额（IST，G（T）），其中G（T）=I exp（δT），δ>0。换言之，GMAB在资产S或保证利率δ的无风险账户中提供金额I的最佳投资。注意，为了简化符号，在下面我们假设资产的价格过程是标准化的，因此S=1。然而，只有在保单持有人在时间T仍然活着并且之前没有行使退保选择权的情况下，才能申请该付款。在提前退保的情况下，退保权仅限于被强制退保罚款扣除的基金当前价值。让惩罚P：[0，T]→ （0，1）是P（T）=1的递增函数，定义T：=（T，T，…，tK）>0=T<T<…<tK<T。我们假设在任何时间点ti都有可能提前投降∈ twith i=1，K- 1，在这种情况下，投保人将收到赔偿金（ti），即使在提前退保的情况下，早期罚款P的较小价值也将允许保险人收回与签订合同相关的任何费用。

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2022-6-24 00:06:42

罚款还可以帮助保险公司对冲基金价值的大幅上涨。最后，如果在T到期前死亡，死亡抚恤金支付（给抚恤金）的最大金额（为‘‘ti，G（’ti）），为‘‘ti∈\'t，i=1，N、和‘‘t：=（’t，’t，…，’tN）>，其中0=’t<’t<<(R)tN=T。时间点不是保险人在合同有效期内监测死亡率的频率。原则上，时间尺度t和't可以是任意的，但在典型情况下，它们不是：我们假设t在某种意义上，任何移交时间Ti都包含在{t，…，tN}中。这是一个非常自然的假设，因为保险公司可能会在每个月底或每个季度监测投保人的死亡情况，而只有在合同有效期内的每年年底或保单周年纪念日才允许退保。上述对合同效益的描述强调了需要一个准确的财务模型，但也需要一个适当的死亡风险和退保风险模型。这将在本节的其余部分进行讨论，最后我们将讨论VA.3.1的市场一致性估值。死亡率模型。对于死亡风险的建模，我们遵循该领域的标准文献，并采用基于随机强度的方法。该框架由米列夫斯基和普罗米斯洛（2001）首创，达尔（2004）、达尔和莫勒（2006）进一步发展，最近由李和西迈尔（2011）推广，通过叠加随机过程捕捉随机改善和波动，建立在给定的死亡率初始曲线的基础上。详细信息。设τm（x）为捕捉x岁个体剩余寿命的随机时间。

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2022-6-24 00:06:45

关于给定概率度量的相应生存概率isQ（τm（x）>t）=EQe-Rtλmu（x+u）du,式中，λmt（x+t），t>0，是x+t年龄段个体的随机死亡率强度。该强度过程建模为λmt（x+t）=λm，0（x+t）ξt，（9）对于死亡率强度的初始曲线，λm，0，以及ξ=1的严格正过程ξtsuchthat，捕捉年龄dx+t的从时间0到时间t的死亡率改善。最后，死亡强度满足λm（x）=λm，0（x）的特性（详情见Dahland moller，2006年及其参考文献）。Gompertz-Makehammodel代表了初始死亡率曲线的一种流行选择（例如，Dahl，2004，Dahl and Moller，2006）。巴洛塔和哈贝曼（2006）采用了与英国年金受益人和养老金人口标准表结构相对应的替代规范。对于重要性改善率ξt的过程，也提出了许多选择：Dahl（2004）、Bi ffs（2005）、Dahl和Moller（2006），例如，专注于时间不均匀CIR过程中具有特殊相位的一个函数差异规范；Ballotta和Haberman（2006）通过叠加标准均值回复OrnsteinUhlenbeck过程和适当调节寿命效应，扩展了广义线性模型。鉴于上述情况，在下文中，我们选择标准Gompertz-Makeham模型作为初始曲线，因此λm，0（x+t）=be（x+t-zb），以及平均回复水平为e的扩展Ornstein-Uhlenbeck-λt死亡率改善率，如Krayzler等人（2016）所述，即dξ（t）=κ（exp(-λt）- ξ（t））dt+σdWt。我们假设W是一个独立于（L，L）的布朗运动，z，κ和σ是非负的，b是正的，λ∈ R

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2022-6-24 00:06:48

这意味着死亡率强度与金融市场无关。让我们用FL表示，L=（FL，Lt）0≤t型≤T*土地L产生的过滤。然后，对于任何一组A∈ FL，Lt，遵循方程h{τm（x）>t}Ai=Q（A）方程-Rtλmu（x+u）dui。（10）需要考虑以下几点。首先，当ξ被建模为高斯OrnsteinUhlenbeck过程时，死亡率强度可以以正概率变为负。然而，这种可能性可以忽略不计（小于10-5）如附录A.2所示。inEscobar等人（2016年）。对于强度中出现负值的困难，参见Bielecki和Rutkowski（2002），引理9.1.4和相关备注。其次，从保险公司的角度来看，上述死亡风险驱动因素W和财务风险驱动因素L之间的独立性假设是合理的：精确建模将是高度特定于客户的，并且需要保险公司很少能够获取的信息。此外，独立性假设意味着高度的可延展性，这对于这里考虑的VAs等复杂产品很重要。最后，由于人口风险和金融风险之间的独立性，生存概率的计算是在风险中性指标Q下进行的。关于死亡率风险和市场风险之间相互作用的具体考虑，我们请感兴趣的读者参考Dahl和Moller（2006）及其参考文献。3.2. 投降模式。众所周知，由于导致退保的决策的性质，退保风险很难评估和建模。投保人确实可以放弃，这既是因为替代性金融机会不断增加，也是因为个人考虑和意外事件导致的明显非理性（金融意义上）行为。

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2022-6-24 00:06:51

然而，退保是人寿保险公司面临的主要风险之一，这是由于其可能产生的流动性问题，并可能失去市场份额（例如，见Loisel和Milhaud，2011年，以及其中的参考文献）。放弃建模的常见市场和学术实践（参见Kolkiewicz和Tan，2006年，Le Courtois和Nakagawa，2011年，Ducuroir等人，2016年）是考虑两个组成部分：一个确定的基线风险率函数捕捉非经济因素造成的失效，另一个随机过程表示由于市场变化对基线造成的额外冲击。这种随机成分通常与合同产生的收益与同等产品在市场上产生的收益之间的价差有关。事实上，退保对利率的依赖性是相对直观的：较高的利率是保单持有人转向高收益投资的强烈动机，而极低的利率（如目前在所有主要经济体中观察到的利率）可能代表着有利的再融资机会。随机成分还应与基础资产的价值变化相联系，因为它直接影响退保时收到的金额。因此，按照这条推理路线，让τsde记录投保人决定退保的随机时间。如上所述，允许在时间点ti，i=1，K- 1.按惯例{τs=∞} 对应于不投降。让λs记录相应的屈服强度；对于t，则λs（t）=0∈ [0，t）∪ [tK，T]。

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何人来此

2022-6-24 00:06:54

此外，我们通过非负常数C对非经济因素和个人意外事件导致的基线退保行为进行建模。“失效”最初用于表示保单终止和保险范围损失，因为保单持有人未能支付保费，虽然“退保”表示终止，同时支付退保福利。如今，“失效”通常表示两种情况。设D（t）为驱动动态失效分量的过程；与上述考虑一致，我们将此过程建立在退保收益（扣除任何罚款）加上该金额可投资的市场利率与保单总收益（由担保金额到期价值表示）之间的利差上。因此，设Yt=log St，p（t）=- 对数P（t）。ThenD（t）=Yt- p（t）+ZTtf（t，s）ds- δT，0≤ t型≤ T、（11）因此，整体屈服强度定义为λs（T）=βD（ti）+C，ti≤ t<ti+1，（12），因此对于i=1，…，K，它在区间[ti，ti+1]上是分段常数- 1、非负常数β反映了退保强度与市场之间的依赖关系，是衡量投资者理性（纯经济意义上）及其对个人财务动机反应的指标。

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能者818

2022-6-24 00:06:58

方程式（12）使用利差函数D（t）的平方，以捕捉有利的市场条件提供更具报酬的投资机会的情况，以及保单持有人可能缺乏足够资源为其费用融资的金融市场动荡（应急基金假设）。虽然在精神上与文献中的其他人相似（例如，Le Courtois and Nakagawa，2011和Escobar et al.，2016），但我们的构造也因基础风险驱动因素土地L的非高斯动力学而与众不同。由此产生的不投降概率由q（τs）给出≥ ti | FL，Lti）=exp-Ztiλsudu, （13）适用于所有1≤ 我≤ K- 1和q（τs≥ t | FL，Lt）=Q（τs=∞|FL，Lt）=exp-ZtKλsudu, （14）对于tK-我们注意到最后一个积分等于exp(-RTλsudu）。此处选择的设置可以在双随机模型中获得，也可以在浸没模型中获得，请参阅Aksamit和Jeanblanc（2017），了解这方面的综合处理。附录A中研究了强度的另一种形式。最后，我们观察到，由于人口风险和金融风险之间假定的独立性，强度函数λ和λ是独立的。3.3. 可变年金的价格。使用上面介绍的符号，我们无法计算与所考虑的可变年金相关的实际现金流。首先，回顾一下，如果保单持有人仍然活着（即{τm（x）>T}），并且在此之前没有退保（即{τs>T}），GMAB仅在到期日T提供付款。因此，相关的到期现金流T为gmab（T）=1{τm（x）>T}{τs>T}max（IST，G（T））。（15）其次，如果投保人仍然活着（即{τs<τm（x）}），退保期权只能行使一次。

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能者818

2022-6-24 00:07:01

因此，如果发生退保，则在时间tipaysSB（ti）=1{τs=ti}{τs<τm（x）}IStiP（ti），（16）的退保收益，其中ti是可能提前退保的日期之一。最后，死亡抚恤金仅在没有提前自首的情况下提供支付，并按asDB（\'ti）=1{\'ti进行量化-1.≤τm（x）<τti}{τm（x）<τs}max（IS（\'ti），G（\'ti）），（17），其中“ti”是死亡抚恤金的可能支付日期之一。t=0时可变年金的价格PVA等于其组成部分的价格之和，即PVA=PGMAB+PSB+PDB，（18）根据标准风险中性估值参数，PGMAB=EQe-RTr（u）duGMAB（T）,PSB=K-1Xi=1EQe-Rtir（u）duSB（ti）,PDB=NXi=1EQe-R'tir（u）duDB（'ti）.下节提供了这些表达式的易于处理的定价公式。4、市场一致性评估在本节中，我们在第2节提供的模型设置中，在存在死亡和退保风险的情况下，推导出上述可变年金合同组成部分的分析表达式。附录B.4.1中提供了以下所需的有用结果和表示。保证最小累积效益。τm（x）与金融市场和结果（14）之间的独立性意味着Pgmab=等式e-RTr（u）du{τm（x）>T}{τs>T}max（IST，G（T））= Q（τm（x）>T）等式e-RTr（u）dumax（IST，G（T））等式{τs>T}| FL，LT因此Pgmab=Q（τm（x）>T）EQe-RTr（u）到期-RtKλs（u）dumax（IST，G（T））.我们引入了定义为dqtdq=B（0，T）B（T）的T向前度量qtdq。（19）表示关于QTby ET的期望，我们得到了pgmab=Q（τm（x）>T）B（0，T）ETe-RtKλs（u）dumax（IST，G（T））.观察max（IST，G（T））=G（T）1 +ISTG（T）- 1.+, （20）因此PgmaBq（τm（x）>T）B（0，T）G（T）=ETe-RtKλs（u）du+ ET公司e-RtKλs（u）duISTG（T）- 1.+=: A+A，（21），最后一行有明显的定义。

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2022-6-24 00:07:04

因此，该术语表示保险公司面临的不提前退保的成本；相反，术语A是嵌入GMAB的期权的成本，条件是不提前退保。Letwl：=ZtlA（s，T）ds+ZTf（0，s）ds- δT- ω（tl）- p（tl）（22）对于l=1，K- 1和wk：=ZTA（s，T）ds+ZTf（0，s）ds- δT- ω（T）。（23）进一步定义tl：=tl- tl公司-1，以及R：=（0，…，0，R）∈ RK，1<r<2，且所有0≤ s≤ T和u∈ RK公司-1，v∈ CKD（u，T）：=经验值iK-1Xl=1LWL,D（v，T）：=D（v，…，vK-1，T）膨胀ivKwK公司,E（s，u，T）：=∑（s，T）+i（β（s）- ∑（s，T））K-1Xl=1ul{0≤s≤tl}，~E（s，v，T）：=E（s，v，…，vK-1，T）+i（β（s）- ∑（s，T））vK，（24）F（s，u）：=iσ（s）K-1Xl=1ul{0≤s≤tl}，~F（s，v）：=F（s，v，…，vK-1） +iσ（s）vK，M（u，T）：=D（u，T）eRTθs（E（s，u，T））ds+RTθs（F（s，u））dsKYl=2rπβtle公司-联邦制药-1/(4βtl），N（v，T）：=~D（v- iR，T）eRTθs（~E（s，v-iR，T））ds+RTθs（~F（s，v-iR）ds×（ivK+r- 1）（ivK+r）KYl=2rπβtle公司-vl-1/(4βtl），用于v∈ RK。GMAB的值如下所示。定理4.1。Pgmab的价格由Pgmab=Q（τm（x）>T）B（0，T）G（T）（A+A）给出，其中A=e-C（tK-t）（2π）K-1e级-RTA（s，T）dsZRK-1M（u，T）du，A=e-C（tK-t）（2π）Ke-RTA（s，T）dsZRKN（u，T）du，A（s，T）如（5）所示。证据我们首先计算A和A，然后在证明的最后给出Q（τm（x）>T）的一个明确公式。通过定义λsin（12），我们得到a=e-C（tK-t） ET公司KYi=2e-βtiD（ti-1)= e-C（tK-t） ET公司f（D（t），D（tK-1)),式中，f（x，…，xK-1）：=QKl=2e-βtlxl型-1.=QKl=2fl（xl-1). 对于一般函数f wedenote，通过其傅里叶变换。那么，对于任何y∈ C、 ^fl（y）=锆-βtltdt=rπβtlexp- y/（4β）tl）. （25）这意味着^f（y，…，yK-1） =KYl=2rπβtle公司-yl公司-1/(4βtl），（26），我们观察到∈ L（RK-1). 根据Eberlein等人（2010）等人的定理3.2f（D（t），D（tK-1))=（2π）K-1ZRK-1M（iu）^f(-u） du，（27）其中，对于任何u=（u。

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2022-6-24 00:07:07

，英国-1），M（iu）定义如下▄M（iu）：=ETeiuD（t）++iuK公司-1D（tK-1).使用附录中给出的D表示式（47）以及方程式（3）和（11），我们得到▄M（iu）=expiK-1Xl=1ul- p（tl）- δT+ZTf（0，s）ds+ZtlA（s，T）ds- ω（tl）×ET经验值iK-1Xl=1ulZtlσ（s）dLs+Ztl（β（s）- ∑（s，T））dLs.此外，根据表示法（49），在（19）中给出的qt的密度可以写为dqtdq=exp-ZTA（s，T）ds+ZT∑（s，T）dLs.顺延线经验值iK-1Xl=1（Ztlulσ（s）dLs+Ztlul（β（s））- ∑（s，T））dLs）= 均衡器经验值ZT∑（s，T））dLs-ZTA（s，T）ds×经验值iK-1Xl=1Ztlulσ（s）dLs+Ztlul（β（s）- ∑（s，T））dLs= e-RTA（s，T）dsEQ经验值中兴通讯（s，u，T）dLs+中兴通讯（s，u）dLs= 经验值-ZTA（s，T）ds+ZTθs（E（s，u，T））ds+ZTθs（F（s，u））ds,E和F如（24）所示。最后一个等式来自于土地方程（2）的独立性。因此，对于（24）中定义的D（u，T），我们有M（iu）=D（u，T）exp-ZTA（s，T）ds+ZTθs（E（s，u，T））ds+ZTθs（F（s，u））ds以及（27）中对A的陈述。我们继续计算A=ETe-RtKλs（u）duISTG（T）- 1.+.通过定义ST=exp（YT），G（T）=I exp（δT）和（47），我们得到了它的值：T=exp（DT）。因此，通过计算A时使用的相同参数，我们可以证明A=e-C（tK-t） ET公司f（D（t），D（tK-1))eD（T）- 1.+= e-C（tK-t） ET公司F（D（t），D（tK-1），D（T））,对于f（x，…，xK）：=f（x，…，xK-1）（exK- 1)+.为确保可积性，我们定义g（x，…，xK）：=F（x，…，xK）e-rxK，1<r<2。此外，letgK（xK）：=（exK- 1） +e-rxK。那么，gK∈ L（R），使得g∈ L（RK）。此外，初等积分表明∈ R^gK（y）=（iy- r+1）（iy- r）。观察| gK（y）| C=（（1- r） +y）（r+y））-1/2，因此，^gK∈ L（R）。因此，将最后的结果与（26）相结合，我们推断出^g∈ L（RK）和^g（y，…，yK）=（iyK- r+1）（iyK- r） KYl=2rπβtle公司-yl公司-1/(4βtl）。

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2022-6-24 00:07:10

（28）自g起，^g∈ L（RK），我们可以应用Eberlein et al.（2010）和obtainET中的定理3.2F（D（t），D（tK-1），D（T））=（2π）KZRKN（R+iu）^F（iR- u） du，（29）带R：=（0，…，0，R）∈ RK，1<r<2，和▄N（r+iu）定义为▄N（r+iu）：=ETeiuD（t）++iuK公司-1D（tK-1） +（iuK+r）D（T）.如上所述，使用（24）中的符号，我们得出▄N（R+iu）=▄D（u- iR，T）e-RTA（s，T）ds×EQ经验值ZTE（s、u- iR，T）dLs+ZTF（s，u）- iR）dLs.当1<r<2时，根据（4）和（7），rσ（s）≤ 曼德| rβ（s）+（1-r） ∑（s，T）|≤ （2r- 1） M级≤ M、因此，存在上述期望。利用土地（2）的独立性，我们得到N（R+iu）=D（u- iR，T）e-RTA（s，T）ds×expZTθs（~E（s，u- iR，T））ds+ZTθs（~F（s，u- iR））ds. （30）另一方面，观察任何u∈ RK，^g（u）=ZRKeihu，xie-hR，xiF（x）dx=^F（u+iR）。因此，我们推导出^F（iR- u） =^g(-u） =（iuK+r- 1）（iuK+r）KYl=2rπβtle公司-联邦制药-1/(4βtl）。（31）将（30）和（31）插入（29），权利要求如下。仍需计算Q（τm（x）>T）。考虑到第3.1节中的设置，It^o引理和Fubini定理（参见Escobar et al.，2016，以及另一个参数）意味着对于任何0≤ t型≤ TQ（τm（x）>t）=expAx（t）+Bx（t）λm（x）, （32）带ax（t）：=cexp（ct）c（c+c）[1- 经验值(-（c+c）t）]+复写的副本exp（2ct）c[1- 经验值(-2ct）]-复写的副本exp（2ct）2c+c[1- 经验值(-（2c+c）t）]-cexp（ct）cc[1- 经验值(-ct）]+复写的副本实验（2ct）c+c[1- 经验值(-2（c+c）t）]，Bx（t）：=c[经验值(-ct）- 1] ，andc：=κbexpx个- zb公司, c： =b- λ、 c：=κ-b、 c：=σbexpx个- zb公司, c： =b，带第3.1节中的κ、b、z、λ和σ。4.2. 死亡福利。在本节中，我们计算之前定义的死亡福利的价值asPDB=NXi=1EQe-R'tir（u）duDB（'ti）.回想一下方程式（22）和（23）中WL的定义。此外，对于i∈ {1，…，N}，wede fi fi new'ti：=Z'tiA（s，'ti）ds+Z'tif（0，s）ds- δ？ti- ω（(R)ti）- p（(R)ti）。（33）我们记得tl：=tl- tl公司-1、对于所有j∈ {1，…，K- 1} ，设R：=（0。

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2022-6-24 00:07:13

，0，r）∈ Rj+1，1<r<2，u∈ Rj和v∈ Cj+1。对于所有0≤ s≤ T，对于所有j∈ {1，…，K- 2} 而我∈ {1，…，N}使得tj<\'ti≤ tj+1，对于j=K- 我的一切都是这样-1<\'ti≤ T，we定义j，i（u，T）：=经验值ijXl=1低,Dj，i（v，T）：=Dj，i（v，…，vj，T）expivj+1w？ti,Ej，i（s，u，T）：=∑（s，\'ti）+i（β（s）- ∑（s，T））jXl=1ul{0≤s≤tl}，~Ej，i（s，v，T）：=Ej，i（s，v，…，vj，T）+i（β（s）- ∑（s，ti））vj+1，Fj（s，u）：=iσ（s）jXl=1ul{0≤s≤tl}，（34）~Fj（s，v）：=Fj（s，v，…，vj）+iσ（s）vj+1，Mj，i（u，T）：=Dj，i（u，T）expZ？tiθs（Ej，i（s，u，T））+θs（Fj（s，u））ds公司×j+1Yl=2rπβtle公司-联邦制药-1/(4βtl），Nj，i（v，T）：=~Dj，i（v- iR，T）膨胀Z？tiθs（~Ej，i（s，v- iR，T））+θs（～Fj（s，v- iR））ds公司×经验值p（(R)ti）（ivj+1+r）（ivj+1+r- 1）（ivj+1+r）j+1Yl=2rπβtle公司-vl-1/(4βtl），用于v∈ Rj+1。最后，我们定义了0≤ s≤ T，u∈ R和i∈ {1，…，N}E（s，u）：=∑（s，\'ti）+（r+iu）（β（s）- ∑（s，ti）），F（s，u）：=（r+iu）σ（s），Ni（u）：=exp（r+iu）w？ti经验值Z'tiθs（E（s，u））ds+Z'tiθs（F（s，u））ds×经验值p（(R)ti）（iu+r）（iu+r- 1）（iu+r）。DB值的以下结果成立。定理4.2。PDB=Xi给出的价格PDBis：(R)ti≤tQ（τm（x）∈ [(R)ti-1，\'ti））（G（\'ti）B（0，\'ti）+G（\'ti）B（0，\'ti）A0，i）+K-2Xj=1Xi：(R)ti∈（tj，tj+1）Qτm（x）∈ [(R)ti-1，(R)ti）G（\'ti）B（0，\'ti）Aj，i+Aj，i+Xi：(R)ti∈（塔卡-1，T]Qτm（x）∈ [(R)ti-1，(R)ti）G（\'ti）B（0，\'ti）AK公司-1，i+AK-1，我,其中，使用（34）中的符号表示j∈ {1，…，K- 1} A0，i=e-R'tiA（s，'ti）ds2πZRNi（u）du，Aj，i=e-C（tj+1-t）（2π）je-R'tiA（s，'ti）dsZRjMj，i（u，T）du，Aj，i=e-C（tj+1-t）（2π）j+1e-R'tiA（s，'ti）dsZRj+1Nj，i（u，T）du。定理4.2的证明类似于定理4.1的证明。因此，请参见附录C备注4.1。我们有EQe-R'tir（u）duDB（'ti）= Q（τm（x）∈ [(R)ti-1，’ti））等式e-R'tir（u）du{τs≥\'ti}最大值（IS（\'ti），G（\'ti））.如前一个定理所示，可以直接计算最后一个期望值。然而，这种表达也可以追溯到PGMAB。

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2022-6-24 00:07:18

注意，根据定义，等式e-R'tir（u）du{τs≥\'ti}最大值（IS（\'ti），G（\'ti））=PGMAB（(R)ti）Q（τm（x）>(R)ti）。为了便于计算PGMAB（\'ti），我们建议以下近似值：首先，对于j，tj<\'ti≤ tj+1，我们得到Pgmab（\'ti）=Q（τm（x）>\'ti）等式e-R’tir（u）到期-Rtj+1λs（u）dumax（IS（\'ti），G（\'ti））.现在，我们定义D（\'ti）=Y（\'ti）- δ\'ti，thenmax（IS（\'ti），G（\'ti））=G（\'ti）h1+exp（^D（(R)ti））- 1.+i、建议的近似值为^PGMAB（\'ti）=Q（τm（x）>\'ti）G（\'ti）EQhe-R’tir（u）到期-Rtj+1λs（u）du1 +exp（^D（(R)ti））- 1.+i、可使用定理4.1中的结果进行评估，将T替换为“tian”，K替换为j+1，其中tj<ti≤ tj+1.4.3。退保福利。最后，我们计算退保福利的价值tPSB=K-1Xi=1EQhe-Rtir（u）duSB（ti）i.我们使用即期计量，即以股票价格作为计价单位的计量。这允许利用退保强度与股价之间的依赖关系。回想一下方程式（22）和（23）中WL的定义。此外，对于0≤ s≤ T，i∈ {2，…，K- 1} ，u∈ 国际扶轮社-1和v∈ Ri，we定义i（u，T）：=经验值二-1Xl=1LWL- ω（ti）,Di（v，T）：=Di（v，…，vi-1，T）膨胀i维维,Ei（s，u，T）：=i（β（s）- ∑（s，T））i-1Xl=1ul{0≤s≤tl}+β（s），~Ei（s，v，T）：=Ei（s，v，…，vi-1，T）+i（β（s）- ∑（s，T）vi，Fi（s，u）：=iσ（s）i-1Xl=1ul{0≤s≤tl}+σ（s），（35）~Fi（s，v）：=Fi（s，v，…，vi-1） +iσ（s）vi，Mi（u，T）：=Di（u，T）expZti公司θs（Ei（s，u，T））+θs（Fi（s，u））ds公司×iYl=2rπβtle公司-联邦制药-1/(4βtl），Ni（v，T）：=▄Di（v，T）expZti公司θs（~Ei（s，v，T））+θs（~Fi（s，v））ds公司×i+1Yl=2rπβtle公司-vl-1/(4βtl）。定理4.3。PSB=IK给出的价格PSBis-1Xi=1P（ti）Q（τm（x）>ti）（Bi- Bi），其中B=1，对于i∈ {2，…，K- 1} ，Bi=e-C（ti-t）（2π）i-1ZRi-1Mi（u，T）du，对于i∈ {1，…，K- 1} ，Bi=e-C（ti+1-t）（2π）iZRiNi（u，t）du。证据按结构PSB=PK-1i=1EQhe-Rtir（u）duSB（ti）i。

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2022-6-24 00:07:21

假设b（ti）=1{τs=ti}{τs<τm（x）}IStiP（ti），我们有兴趣计算表达式qe-RTIRSD{τs=ti}{τs<τm（x）}Sti）= 均衡器e-RTIRSD{τs=ti}{ti<τm（x）}Sti= Q（τm（x）>ti）等式e-RTIRSD{τs=ti}Sti. （36）根据（13），对于∈ FL、Lti FL，Lti+1，EQhA{τs=ti}i=EQhA（1{ti≤τs}- 1{ti+1≤τs}）i=EQhAe-Rtiλs（u）du- e-Rti+1λs（u）dui、因此，方程式（36）可以写成asEQe-RTIRSD{τs=ti}{τs<τm（x）}Sti）= Q（τm（x）>ti）等式e-RtiruduStie-Rtiλs（u）du- Q（τm（x）>ti）等式e-RtiruduStie-Rti+1λs（u）du.Q（τm（x）>ti）如等式（32）所示。让我们为第一个期望写下BIF，为第二个期望写下BIF。为了计算这两个期望值，我们引入了点概率度量QS，i，i=1，K- 1由其氡Nikodym导数确定，idQ=e-RtiruduS（ti）。（37）上述定义了一个密度过程，即贴现股价e-RtruduS（t）这是一个Q-鞅。我们可以使用新的度量来简化bian和Bias followsBi=EQe-RtiruduStie-Rtiλs（u）du= EQS，ie-Rtiλs（u）du, （38）Bi=等式e-RtiruduStie-Rti+1λs（u）du= EQS，ie-Rti+1λs（u）du. （39）注意λs（u）表示ti≤ u<ti+1由D（ti）定义，因此它是FL，LTI可测量的。首先关注Bi，通过构造λs（u）=0表示u∈ [0，t），因此b=1。对于i∈ {2，…，K- 1} ，我们遵循与定理4.1证明中相同的策略来计算Aand considereC（ti-t） EQS，ie-Rtiλs（u）du= EQS，if（D（t），D（ti-1)), （40）式中f（x，…，xi-1）：=Qil=2e-βtlxl型-1带tl=tl- tl公司-如（27）所示，我们得到最后一个期望是（2π）i-1ZRi-1英里-1（iu）^f(-u） du，（41）带^f（u。

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2022-6-24 00:07:24

，用户界面-1） =iYl=2rπβtle公司-联邦制药-1/(4βtl）和▄Mi-1（iu）定义为Mi-1（iu）=方程式，ieiuD（t）++iui公司-1D（ti-1).从（47）可以看出▄Mi-1（iu）=等式eiuD（t）++iui公司-1D（ti-1） +Rtiσ（s）dLs+Rtiβ（s）dLs-ω（ti）= 经验值二-1Xl=1ul(-p（tl）- δT+ZTf（0，s）ds+ZtlA（s，T）ds- ω（tl））×当量经验值二-1Xl=1Ztlulσ（s）dLs+Ztlul（β（s）- ∑（s，T））dLs+Ztiσ（s）dLs+Ztiβ（s）dLs- ω（ti）.通过等式（2），可以得出等式hexpZtiEi（s，u，T）dLs+ZtiFi（s，u）dLsi=经验值Zti公司θs（Ei（s，u，T））+θs（Fi（s，u））ds公司表1：。可变年金合同的参数。参考流程：NIG。金融市场模型参数-来源：Eberlein和Rudmann（2018）。死亡率模型参数-来源：Escobar等人（2016年）。可变年金金融市场模型退保模型死亡率模型LTLTT 3，4，10年α4 5.73β0.05 b 12.1104δ0.01 p.a.β-3.8-2.13 C 0.01 z 76.139P（tl）0.95+0.05tl/Tδ1.34 8.3κ0.4806tl1年a 0.0020898-λ0.0195'ti-“”ti-16个月σ-0.1818σ0.0254b-0.0065因此，考虑到（35）中Di（u，T）的定义，我们有Mi-1（iu）=Di（u，T）expZti公司θs（Ei（s，u，T））+θs（Fi（s，u））ds公司以及（41）中双follows的表示。最后，我们注意到bi=e-C（ti+1-t） EQS，ii+1Yl=2e-βtlD（tl-1). （42）在作必要的修改后，重复上述参数，即Bifollows的表达式。5、数值实施和测试本节根据第2节介绍的模型特征，讨论了理论4.1、4.2和4.3中定价方程的数值计算。为了进行数值分析，我们选择Barndor Off-Nielsen（1997）引入的正态逆高斯（NIG）过程作为相关的L'evy过程，累积量函数θ（u）=uu+δpα- β-pα- （β+u）, -α - β<u<α- β、对于u∈ R、 δ>0，0≤ |β| < α.

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2022-6-24 00:07:27

参数α控制密度的陡度（因此其尾部行为），β主要控制分布的偏度（符号），而δ是尺度参数；相反，位置参数u被设置为零，而不会失去通用性。此外，我们为函数σ（s，T）假设一个简化的Vasiˇcek结构，以便fora>0σ（s，T）=（ae-a（T-s），s≤ T0，s>Tand∑（s，T）=（1- e-a（T-s），s≤ T0，s>T。对于权益部分，我们假设σ（s）=σ>0，β（s）=b∈ R、所有数值实验都参考了具有表1所示参数设置的合同；财务模型的参数取自Eberlein和Rudmann（2018）的校准工作。图1：。N（u，T），T=3年（K=2）。左面板：函数的实部n（u，T）。右面板：N（u，T）的虚部。参数：表1。短期到期合同用于基准测试，而10年到期合同代表了实际用途的现实规范。关于可能的终止日期，出于说明目的，我们使用1年的频率，即。tl=1，而死亡率时间网格（假设粒度更细）是以6个月的频率构建的。但我们注意到，定理4.1、4.2和4.3中得到的结果适用于任何相关时间步的选择。数值格式在Matlab R2018a中实现，并在配备Intel i5-6500、3.20千兆赫兹CPU和8千兆字节RAM的计算机上运行。5.1. 实施定理4.1、4.2和4.3中的多维积分是通过蒙特卡罗积分计算的（例如，参见Pharr和Humphreys，2010，以及其中的参考文献）。

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2022-6-24 00:07:31

因此，域上高维积分的蒙特卡罗估计OhmI=ZOhmf（x）dx是通过计算M个点x处的函数f（x）得到的，在Ohm 用一个更精确的概率密度p（x），使得imc=MMXi=1f（xi）p（xi）。通过（无偏）样本方差MI=1（Ii）测量误差- IMC）M- 1，与标准蒙特卡罗模拟一样；这一点表明，收敛速度与被积函数的维数无关，这是蒙特卡罗积分在计算高维积分时相对于标准数值求积技术的优势。经典蒙特卡罗积分使用均匀概率密度。然而，对定理4.1的被积函数M（u，T）和N（u，T）的可视化观察表明，M（u，T）在原点附近呈强峰值，而N（u，T）的特征是交替表2。蒙特卡罗积分与重要性抽样的基准测试——GMAB案例。参数：表1\'“求积”：Matlab内置函数integral、integral2和integral3。偏差/标准误差表示为实际值的百分比。蒙特卡罗迭代：100批大小为10的产品。CPUtime以秒为单位，表示一批10次迭代的平均时间。正交蒙特卡罗积分（Imp.Sampling）T K值偏差（%）标准误差（%）3年2 A0.9867 0.9867 0.0035 0.0050A0.1487 0.1482 0.3584 0.2683CPU 6.6323 31.2944（A:0.1280）（A:6.5043）4年3 A0.9703 0.9702 0.0139 0.0076A0.1669 0.0155 0.0647CPU 589.0926 51.6269（A:1.3042）（A:587.7884）如图1中T=3（K=2）所示，具有显著量级的波峰和波谷。由于相应Payoff函数之间的相似性，定理4.2和4.3中的被积函数也有类似的考虑。

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2022-6-24 00:07:34

通常，这些特征会导致相应积分的蒙特卡罗估计出现较大的方差。因此，为了减少方差并加快收敛速度，应实施重要性抽样；具体而言，假设被积函数在原点附近呈强峰值，则选择的重要性分布是具有零均值（即以峰值为中心）、独立分量和给定方差矩阵（作为参数处理）的多元高斯分布。在VEGAS和MISER Monte Carlo集成的背景下，pricingalgorithm的全面部署有待未来研究。5.2. 基准测试和测试。表2和表3给出了本文中考虑的定价函数的数值结果。为了为上述蒙特卡罗积分程序提供可靠的基准，我们首先考虑一些简单的例子，对于这些例子，可以使用标准正交软件包处理相关的多维积分。我们举例说明了在GMAB情况下得到的结果。DB和SB也获得了类似的性能，我们请感兴趣的读者参阅附录D以了解更多详细信息。详细信息。表2报告了使用确定性求积方法获得的值、蒙特卡罗积分得到的相应估计以及CPU时间。与蒙特卡罗估计（IMC）一起，我们还报告了其精度的度量，即估计量偏差的绝对值，表示为通过正交IQ获得的值的百分比，即100×| IMC- IQ | IQ。表3：。采用蒙特卡罗积分和重要性抽样的可变年金。参数：表1。以实际值的百分比表示的标准误差。蒙特卡罗迭代：100批大小为10的产品。

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2022-6-24 00:07:37

CPU时间以秒表示，是指1批10次迭代的平均时间。T GMAB DB SB VA4年112.5121 4.9280 2.6997 120.1399（标准误差%）0.0001 0.0256 0.1142CPU 51.6269 264.3202 31.734110年93.0783 14.2344 15.4533 122.7661（标准误差%）0.0003 0.0098 0.0534CPU 179.0842 1971.3826 717.3945此外，我们还报告了蒙特卡罗估计的标准误差百分比100×IMCsPMi=1（Ii- IMC）M（M- 1).为了提高CPU时间估计的可靠性，我们对样本量为10的蒙特卡罗算法进行了100次重复的数值实验。我们考虑两个例子，分别是到期时间T=3年（即K=2）和T=4年（即K=3）的合同。对于每年间隔的终止日期ti，这些选择意味着Aa和Aar在第一种情况下分别是一维和二维积分，在第二种情况下是二维和三维积分，也可以使用确定性求积方法的软件包进行计算。对于重要性抽样，数值实验表明，对于第一个K，使用相同的方差固定在0.25，可以获得相对较小的偏差和标准误差- 1维，并在最后一个kth维中将该值增加到1，以满足被积函数N（u，T）的更高可变性。表2中的结果证实了估计的质量，因为所有偏差和标准误差均低于0.5%。表3中报告了VA及其组成部分的值。我们注意到，GMAB价值随着到期日的增加而减少，这是因为保单持有人死亡或退保可终止合同的日期越来越多。与这些发现一致，我们还观察到，对于期限较长的合同，DB和SB的价值都有所增加。

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2022-6-24 00:07:40

VAI的总价值随着到期日的延长而增加，表明DB和theSB组件的主要影响。最后，我们观察到全可变年金的DB和SB部分的计算成本较高；这是因为需要计算大量感兴趣的累积量函数积分（见定义（34）和（35））。这个数字取决于t网格和“t”网格的粒度：这些网格越细，合同中这些组件的计算量就越大。图2：。敏感性分析：屈服参数（β，C）。顶部面板：左侧-GMAB；右侧：SB。底部面板：左侧-DB；右侧-VA。到期日：T=10年。其他参数：表1.6。结果：敏感性分析在同等条件下，通过每次扰动相关参数进行敏感性分析。基准案例为10年合同，参数如表1所示。在图2中，我们显示了VA及其组成部分对参数β和C的敏感性，控制了屈服强度。与直觉一致，β的值越高，金融市场对投保人决策的影响就越大。这尤其体现在退保福利SB的价值上，SB随β增加。由于投降概率较高，GMAB和theDB的值减少，VA的结果值也减少。尽管参数β的影响在代表基线投降行为的常数C的高值对应关系中变得不太相关。

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