相对约束下最优消费与投资的多人博弈

2022-6-24 00:41:59

相对性能标准下最优消费和投资的多人博弈Daniel LACKER和AGATHE SORETAbstract。我们研究了具有共同有限时间范围和谨慎性的竞争代理的投资组合优化问题。代理人的效用不仅取决于其绝对财富和消费，而且还取决于其相对财富和消费，与其他代理人的平均水平相比。我们推导了n人博弈和相应的平均场博弈的闭式解。这种解决方案在具有恒定投资和连续时间依赖消费的均衡类中是唯一的，这两种均衡都与代理的财富无关。与单agent的经典Merton问题相比，竞争模型对agent的风险容忍度和竞争参数表现出广泛的高度非线性和非单调依赖性。与直觉相反，具有高风险耐受性的竞争性代理人的行为可能类似于具有低风险耐受性的非竞争性代理人。1、导言在本文中，我们将Lacker和Zariphopoulou最近开发的最优投资问题的CRRA模型扩展到包括消费。我们的模型如下所述，第2节给出了全部细节。每个代理选择消费和投资政策，并获得无风险债券和对数正态股票。不同代理人专攻的股票可以相互关联，我们涵盖了完美关联的极端情况，即所有代理人交易的单一股票。每个政府都有一个CRRA效用，取决于（共同）时间范围T内的绝对和相对财富以及绝对和相对消费，后者是时间积分意义上的。代理人对风险的厌恶程度不同，对绝对绩效和相对绩效的偏好也不同。

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2022-6-24 00:42:02

相对性能标准将这n个优化问题耦合在一起，我们发现了各种模型参数之间的纳什均衡（唯一，在某种意义上稍后澄清）。正如经典的默顿问题[23]所揭示的那样，在均衡状态下，每个代理人都会将财富的一部分投资于股票，消费策略与时间有关，但与代理人的财富无关。均衡行为符合萨缪尔森的结果【26】：投资策略独立于消费策略。也就是说，投资策略与[21]中研究的无消费模型完全相同。作为各种模型参数的函数，均衡消费政策比投资政策表现出更高的非线性和非单调行为，我们在第4节对此进行了详细研究。值得注意的是，在整个时间范围内，每个代理的消费率Ct随时间单调变化[0，T]；然而，一个代理是否随时间增加或减少消费，以复杂的方式取决于她自己的风险偏好以及其他代理参数的某些集合。我们模型的三个关键特征是相对消费关注点、相对财富关注点和资产专业化。为了对后两个主题和进一步的参考文献进行深入的讨论，我们推迟了[21]的介绍，但我们强调了一个特别重要且目前已经确立的观点，即共同基金的选择受到相对绩效的高度影响[28]。也就是说，表现优异的其他基金经理往往会吸引丹尼尔·莱克和阿加索雷特在自己的基金中进行更大的未来投资。在[21]之后，与我们的作品关系最密切的是[2、3、5、11、12、14]。

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2022-6-24 00:42:05

这些论文研究了在各种情况下，包括不同类型的公用事业、均衡定价和国家约束条件下，在相对绩效关注下的最优投资的连续时间模型，但没有一篇论文将消费纳入其中。研究相对消费问题有两个自然的论点。一方面，将代理人解释为基金经理，我们可以将消费视为资本积累，以设备、技术或员工福利的形式存在。从这个意义上讲，高相对消费自然会吸引客户或更好的员工，更一般地说，它应该会带来与高相对财富类似的收益。另一方面，如果我们将模型中的代理人解释为家庭投资者，那么相对消费担忧自然与攀比模型相吻合；这一系列文献直接结合了投资和消费决策的社会方面【1、9、10、15】。我们的论文对最优消费和投资以及平均场博弈的应用方面的文献做出了贡献。默顿（Merton）[23，24]和萨缪尔森（Samuelson）[26]的里程碑式论文对一个参与者的终身消费和投资规划动态问题进行了形式化和研究。后来的工作将更复杂的特性纳入到模型中，如一般价格过程、破产等[19，20]。那些将多个主体纳入模型的人，如[18，27]，是在平衡情境中这样做的；每个代理人的行为仅通过价格来决定其他代理人的行为，而价格是在均衡状态下决定的。

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kedemingshi

2022-6-24 00:42:08

在我们的模型中，代理人是价格接受者，我们不试图纳入价格均衡，因为这将严重影响可跟踪性。另一方面，我们的工作提供了一个新的显式可解平均场博弈模型。[17，22]中介绍的平均场对策，除了线性二次型例子外，很少能显式求解。关于一些值得注意的例外情况，请参见[4、6、16、21、29]，关于平均场比赛活跃区域的进一步背景，请参见本书。从平均场博弈的角度来看，我们的模型相当复杂：它涉及常见的噪声、退化的波动系数、奇异的目标函数以及通过状态和控制的平均场相互作用（即扩展的平均场博弈[7，第一章4.6]）。然而，问题的精确结构有助于找到明确的解决方案。我们的论证遵循[21]的思路，将平均场项（财富的几何平均值）视为一个状态变量，这导致了一个涉及单个HamiltonJacobi-Bellman（HJB）方程的定点问题，而非通常用于随机微分博弈的n维HJB系统。在证明该方程具有唯一且可分离的经典解后，通过非线性有序微分方程组来求解不动点。尽管与[21]有许多相似之处，但消费使得争论实质上更加复杂。本文的组织结构如下。在第2节中，我们制定并求解上述n-agentmodel。然后，在第3节中，我们研究了这个问题的最终人口对立面，认为n→ ∞ 极限导致了一种更简单的平衡形式。最后，第4节讨论并解释了均衡的形式及其对模型参数的依赖关系。2、n-agent博弈在本节中，我们考虑n-player博弈，其中每个agent在一个公共投资期限内交易[0，T]。

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mingdashike22

2022-6-24 00:42:11

代理人可以投资于自己的特定股票或普通无风险债券，其利率为零。股票i的价格，其中只有代理人i消费和投资在相对绩效标准3trades下，由dynamicdssitsitsit=uidt+νidWit+σidBt给出，（1）其中布朗运动W。。。，Wn、B是独立的，在概率空间上定义(Ohm, F、 P），我们赋予其自然过滤（Ft）t∈[0，T]由森+1布朗运动生成，其中市场参数为常数ui>0，σi≥ 0和νi≥ 0，σi+νi>0。为简单起见，假设价格为一维，尽管我们可以很容易地将结果扩展到k维价格。此设置涵盖单个股票的重要特殊情况，对应于所有股票相同的情况。也就是说，ui=u，νi=0，σi=σ，对于alli=1。。。，对于某些u，σ>0，与i无关，因此Si≡ 对于每个i，j（假设初始值一致）。在单一股票的情况下，代理人面临相同的市场机会，而不是专注于不同的资产，尽管他们的风险偏好仍然不同。每个代理人都会选择一种自我融资策略，（πit）t∈[0，T]，表示投资于股票i的财富比例，以及消费政策（cit）T∈[0，T]。然后，agent i的财富过程由dxit=πitXit给出uidt+νidWit+σidBt- citXitdt，Xi=Xi。（2）请注意，citxit表示代理i的瞬时消费率，因此citis是单位财富的消费率。我们说，如果一个投资组合策略属于F-逐步可测R×R+值过程（πt，ct）t的集合a，那么它是可容许的∈[0，T]satisfyingERT（πT+ct）dt<∞. 在整个论文中，R+：=（0，∞) 表示严格正实数，我们不允许消耗率为零。

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能者818

2022-6-24 00:42:14

这是合理的，比最初出现的限制更少，因为下一段介绍的效用函数的形式将确保代理的边际效用方法+∞ 随着消耗量接近零。还请注意，对于任何可接受的投资组合策略，所有t的Xit均大于0∈ [0，T]。事实上，我们像（2）中所做的那样，将消费过程参数化，部分是为了避免破产的可能性，部分是为了避免施加任何国家限制。每个代理的效用函数属于幂函数族（CRRA），U（x；δ）=（1-1/δx1-1/δ如果δ6=1log x如果δ=1，定义为x，δ>0。代理i寻求最大化预期效用ji（（πi，ci）ni=1）=EZTU公司citXit（cXt）-θi；δidt+国际单位XiTX-θiT；δi, （3）定义任何容许策略向量（πi，ci）ni=1，其中（πi，ci）∈ A对于每个i=1，n、此处XT=Qnk=1XkT1/nand cXt=Qnk=1（ctXt）k1/分别为人口（几何）平均财富和消费率。参数δi>0和θi∈ [0，1]分别代表ITH代理的风险承受能力和竞争权重。出于可处理性的原因，我们将相同的效用函数应用于财富和消费，但我们使用参数来衡量财富的效用i> 0获取代理分配给终端财富相对于消费的相对重要性。我们选择使用几何平均值而不是算术平均值也是出于易处理性：正如独立布朗运动的（算术）平均值再次是布朗运动一样，独立几何布朗运动的几何平均值再次是几何布朗运动。

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mingdashike22

2022-6-24 00:42:17

值得强调的是，4 DANIEL LACKER和AGATHE SORETthe效用函数的另一种形式，通过在效用函数ascitXit（cXt）中编写术语来揭示-θi=（citXit）1-θicitXitcXtθi，XiTX-θiT=（XiT）1-θiXiTXTθi.citXit/cx和XiT/x分别衡量相对消费率和相对终端财富。特别是，将（3）中的效用函数应用于绝对和相对消费率与终端财富之间的对数变换组合，θi控制绝对和相对绩效之间的权衡。对于θi输给1，agenti更关心相对性能而不是绝对性能，对于θi=0，agenti根本没有竞争力，忽略了其他人。目标是找到一个纳什均衡，一种投资策略（~π*t、 ~c*t） t型∈[0，T]使得πi，*tand ci，*皮重分别由代理i执行的最优库存和消费分配，以响应所有其他代理的策略。考虑到默顿问题和[21]的最新发现，我们可能期望找到一个平衡点，其中投资策略π*皮重常数和消费策略ci，*皮重仅与时间相关。定义2.1。我们说一个向量（πi，*, ci，*)ni=1个容许策略（即（πi，*, ci，*) ∈A对于每个i）是一个平衡，如果对于每个i=1。。。，n和每个（π，c）∈ A we haveJi（（πi，*, ci，*)ni=1）≥ 冀. . . , （πi-1.*, ci公司-1.*), （π，c），（πi+1，*, ci+1，*), . . ..平衡（πi，*, ci，*)ni=1称为强平衡，如果对于每个i，过程ci，*是确定的和连续的，过程πi，*是确定性和常量。主要结果如下，给出了平衡的显式形式：定理2.2。让n≥ 2、假设所有i=1。。。，n、我们有xi>0，δi>0，θi∈ [0，T]，i> 0，ui>0，σi≥ 0，νi≥ 0，σi+νi>0。

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kedemingshi

2022-6-24 00:42:19

然后有一个唯一的强平衡（πi，*, ci，*)ni=1，它的形式如下：πi，*=δiuiσi+νi（1+（δi- 1） θi/n）-θi（δi- 1） σiσi+νi（1+（δi- 1） θi/n）φ1+ψ（4）ci，*t型=βi+λi-βie-βi（T-t）-如果βi6=0（T- t+λ-1i）-1如果βi=0。（5）常数（φ，ψ）和（βi，λi）ni=1由φ=nnXk=1δkukσkσk+νk（1+（δk- 1） θk/n），ψ=nnXk=1θk（δk- 1） σkσk+νk（1+（δk- 1） θk/n），βi=θi（δi- 1） nPnk=1δkρk1+nPnk=1θk（δk- 1)- δiρi，λi=-δiinYk=1δkk！1/nθi（δi-1） /（1+nPnk=1θk（δk-1）），（6）这种平衡的定义更具体地说是开环类型，但非随机的强平衡也可以在闭环或马尔可夫控制上提供平衡。相对绩效标准5下的消费和投资，其中我们还定义了（ρi）ni=1，ρi=（1- 1/δi）（（1- θi/n）（ui- σiθi（1- 1/δi）nPk6=iσkπk，*)2（σi+νi）（1- (1 - θi/n）（1- 1/δi））+nXk6=iσkπk，*+nXk6=i（νkπk，*)θi（1- 1/δi）- θinXk6=iukπk，*+θi2nXk6=i（σk+νk）（πk，*)),此外，我们有恒等式ynnxk=1σkπk，*=φ1 + ψ. （7）请注意，δi=1意味着βi=0，这意味着对数投资者总是使用第二种形式的ci，*t输入（5）。均衡的形式似乎并没有进一步简化，除非是在单一股票的情况下：推论2.3。（单只股票）假设所有i=1。。。，n我们有ui=u>0、σi=σ>0和νi=0。然后有一个唯一的强平衡（πi，*, ci，*)ni=1，它的形式如下：πi，*=uσδi-θiθcrit（δi- 1)（8） ci，*t型=βi+λi-βie-βi（T-t）-如果βi6=0，（T- t+λ-1i）-1如果βi=0。（9）对于每个i，常数λiis由（6）给出，βi和θcrit由βi=u2σ（1）给出- δi）1.-θiθcritδi-θiθcrit（δi- 1),θcrit=1+nPnk=1θk（δk- 1） nPnk=1δk。在第3节中，我们通过发送n进一步简化→ ∞. 然后，在第4节中，我们详细分析了平衡行为如何依赖于各种参数。定理2.2的证明。首先，我们安排一名代理人∈ {1, . . .

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2022-6-24 00:42:22

，n}，并假设所有其他参与者都遵循给定的策略。也就是说，对于k 6=i，让πk∈ R和ck：[0，T]→ R+表示其他代理的固定容许策略，其中投资政策πkis不变，消费政策cks是确定性连续函数。我们将解决agent i的优化问题，确定agent对竞争对手策略的最佳响应。然后，我们将解决由此产生的定点问题。定义Yt：=（Qk6=iXkt）1/n，其中xkt根据策略（πk，ck）求解（2），其中xk=xk。我们使用以下缩写：∑k=σk+νkcuπ-i=nPk6=iukπk，cσπ-i=nPk6=iσkπk，d∑π-i=nPk6=i∑kπk，\\（νπ）-i=nPk6=iνkπk，bc-i（t）=nPk6=ick（t）。6 DANIEL LACKER和AGATHE SORETA使用It^o公式进行的简单计算（参见[21]中定理14的证明）表明，过程Ytsatiesdyt=（ηi- 卑诗省-i（t））dt+nXk6=iνkπkdWkt+cσπ-idBt，（10），其中我们还定义ηi=cuπ-我-d∑π-我- cσπ-我-n \\（νπ）-我.然后，ithagent解决优化问题SUP（πi，ci）∈AEZTU公司（citXit）1-θi/n（(R)c-i（t）Yt）-θi；δidt+国际单位退出1.-θi/nY-θiT；δi, （11）其中“c”-i（t）=Qk6=ick（t）1/nanddXit=πitXit（uidt+νidWit+σidBt）- citXitdt，Xi=Xi，带（Yt）t∈[0，T]求解（10）。将（Xi，Y）视为状态过程，我们通过注意值（11）应等于v（Xi，Y，0），来解决这个随机最优控制问题，其中v（x，Y，t）解HJB方程0=vt+supπ∈Rπ（uixvx+σicσπ-ixyvxy）+π∑ixvxx+ supc公司∈R+h-cxvx+U（cx）（1-θi/n）（\'c-i（t）y）-θi；δii+（ηi- 卑诗省-i（t））yvy+n \\（νπ）-i+cσπ-我yvyy，（12）表示（x，y，t）∈ R+×R+×[0，T），终端条件V（x，y，T）=iU（x1-θi/ny-θi；δi）。（13）请注意，如果vxx<0和vx>0，则（12）中的两个超高是有限的，因此我们假设情况就是这样，我们将最终检查我们的解决方案是否满足这些约束。

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2022-6-24 00:42:25

If根据标准验证定理得出，该偏微分方程在莫斯顿可以有经典解。由于效用根据δi=1与否采用不同的形式，我们在证明的下一部分中分别处理这两种情况。δi6=1的情况下：效用函数采用公式（cx）（1-θi/n）（\'c-i（t）y）-θi；δi=1.-δi-1（cx）（1-θi/n）（1-1/δi）（(R)c-i（t）y）-θi（1-1/δi）。应用一阶条件，通过πi获得（12）中的上界，*（x，y，t）=-uixvx（x，y，t）+σicσπ-ixyvxy（x，y，t）∑ixvxx（x，y，t），（14）和Ci，*（x，y，t）=x（1-θin）（(R)c-i（t）y）-θi（1-1/δi）vx（x，y，t）！1.-(1-θi/n）（1-1/δi）。（14’）我们使用条c表示几何平均值，用帽bc表示算术平均值。相对性能标准7下的消耗和投资让我们引入以下常数：γi=1- (1 - θi/n）（1- 1/δi），（15）Γi=1.-θ英寸γiγi- 1..使用这些常数和表达式（14）和（14’），HJB方程（12）变为0=vt-（uixvx+σicσπ-ixyvxy）∑ixvxx+cσπ-i+n \\（νπ）-我yvyy+（ηi- 卑诗省-i（t））yvy+（vx）1-γi（℃）-i（t）y）-γiθi（1-1/δi）Γi.（16）我们现在使ansatzv（x，y，t）=我1.-δi-1x（1-θi/n）（1-1/δi）y-θi（1-1/δi）fi（t），（17）对于可微函数fi:[0，t]→ R待定。注意，边界条件（13）要求fi（T）=1。将其插入HJB方程（16），我们发现V（x，y，t）/fi（t）因子超出了每个项，我们得到0=fi（t）+ρi+θi1.-δi卑诗省-i（t）fi（t）+-γiiγi′c-i（t）-γiθi（1-1/δi）fi（t）1-γi，（18）其中我们定义ρi=1.-δiγi（1- θi/n）（ui- σicσπ-iθi（1- 1/δi））2∑i+（cσπ-i+n \\（νπ）-i） θi（1- 1/δi）- θicuπ-i+θid∑π-我.（19）实际上，（18）中的最后一项来自identityvx（x，y，t）1-γiy-γiθi（1-1/δi）=-γii1.-θ英寸1.-γi1.-δifi（t）-γiv（x，y，t）。为了解（18），让我们暂时缩写为ai（t）：=ρi+θi（1- 1/δi）bc-i（t），bi（t）：=-γiiγi′c-i（t）-γiθi（1-1/δi）。

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2022-6-24 00:42:28

（20）然后（18）重写asfi+aifi+bif1-γii=0。这是伯努利方程的一个例子，一个众所周知的变量变化导致了这个解。实际上，除以f1-γii（注意到γi>0后）并使用替换ui（t）=fγii（t），使（18）成为线性微分方程γiui+aiui+bi=0，终端条件ui（t）=1。该线性方程允许唯一解ui（t）=eγiRTtai（s）ds+ZTtγibi（s）e-γiRstai（r）drds。8丹尼尔·莱克和阿加特·索雷特指出，BI在任何地方都是积极的，因此ui也是积极的。因此，u1/γIIs得到了很好的定义，（18）的唯一解由fi（t）给出=eγiRTtai（s）ds+ZTtγibi（s）e-γiRstai（r）drds1/γi.（21）将该溶液（21）代入ansatz（17）中，得到HJBequation的溶液v（x，y，t），只要我们检查vxx<0且vx>0。但这很简单：vx（x，y，t）=i（1- θi/n）x-1/γiy-θi（1-1/δi）fi（t）>0，vxx（x，y，t）=-iγi（1- θi/n）x-1/γi-1年-θi（1-1/δi）fi（t）<0，这里我们再次使用γi>0。因此，对于fi，我们可以将（14）和（14’）的最优控制表示为πi，*=γi（ui- σicσπ-iθi（1- 1/δi））∑i，ci，*t=-γii（℃）-i（t））-γiθi（1-1/δi）f-γii（t）。（22）δi=1的情况：在δi=1的情况下，我们必须进行不同的处理，但我们将最终得出与（22）中公式一致的最优控制。首先请注意，我们可以大大简化（11）的形式，因为对数效用函数特别意味着其他参与者不再影响参与者i的优化。也就是说，playeri最大化了简化的目标（1- θi/n）EZTlog（citXit）dt+ilog XiT公司. （23）注意到1- θi/n>0，值（23）等于（1- θi/n）w（Xi，0），其中w（x，t）解HJB方程0=wt+maxπ∈Rπuixwx+π∑ixwxx+ 最大值C∈R+[-cxwx+log（cx）]，（24）表示（x，t）∈ R+×[0，T），终端条件w（x，T）=ilog x。

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2022-6-24 00:42:31

最大值由πi表示，*（x，t）=-uixwx（x，t）∑ixwxx（x，t），ci，*（x，t）=xwx（x，t）。（25）HJB方程（24）变为0=wt-（uixwx）∑ixwxx- 1.- 记录wx。（26）使ansatzw（x，t）=fi（t）ilog x+gi（t），其中fi和giare待确定，并满足fi（t）=1和gi（t）=0。将其插入（26），定义常数bρi=uii/2∑i，获得ifi（t）+1对数x+gi（t）+bρifi（t）- 1.- 日志我- log fi（t）=0。因为只有一个依赖于x的项，所以我们必须ifi（t）+1=0，fi（t）=1。这将产生fi（t）=-1i（T- t） +1。那么gimust solvegi（t）=-bρi(-1i（T- t） +1）+1+对数（（t- t） +i），相对性能标准9下的消耗和投资，使用gi（T）=0可以轻松集成，以获得解决方案gi，尽管我们不需要明确使用它。还要注意fi>0，因此wx>0，wxx<0。因此，我们求解了δi=1时的HJB。回顾（25），我们推断最优控制为πi，*=ui∑i，ci，*t=t- t+i、（27）注意，当δi=1时，上述结果（22）专门用于（27）。事实上，如果δi=1，则ρi=0和γi=1，并且（20）中定义的函数A和B减少为ai≡ 0和BI≡ 1/i、因此（21）变为fi（t）=-1i（T- t） +1，且（22）变为（27）。完成证明：我们现在完成证明，使用我们在上面找到的表格，根据其他玩家的选择，对玩家i进行最佳控制。即，（22）中的控件给出了参与者i的最佳响应，其中fi定义为（21），我们已经看到，这些公式在δi=1和δi6=1的情况下都有效。注意，如果我们假设其他消耗函数是正的和连续的，那么我们找到的最佳反馈消耗在[0，T]上也是正的和连续的。

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2022-6-24 00:42:34

现在，为了总结证明，请注意，（πi，ci）ni=1的初始选择是一个强平衡，当且仅当每个i=1。。。，n、我们有πi，*= πI和ci，*t=ci（t）t型∈ [0，T]，其中（πi，*, ci，*) 在（22）中给出。我们首先讨论投资政策。注意，我们得到了完全相同的最优控制πi，*在没有消耗的问题中，我们可以在[21，定理14]的证明中得出结论，πi，*= π如果所有i=1。。。，n当且仅当πi，*如（4）所示。此外，我们还证明了恒等式（7），如[21，定理14]所示。回顾（19）中定义的ρ取决于其他代理的投资政策π，但不取决于消费政策；特别是，在平衡状态下，我们有ρi：=1.-δi((1 - θi/n）（ui- σiθi（1- 1/δi）nPk6=iσkπk，*)2（σi+νi）（1- (1 - θi/n）（1- 1/δi））+θi1.-δinXk6=iσkπk，*+nXk6=i（νkπk，*)!- θinXk6=iukπk，*+θi2nXk6=i（σk+νk）（πk，*))（28）接下来，我们讨论消费政策。根据我们上面的论点，为了达到平衡，我们必须同时求解以下方程组，对于i=1，n： ci（t）=-γii（℃）-i（t））-γiθi（1-1/δi）（fi（t））-γi（29）0=fi（t）+（ρi+θi（1- 1/δi）bc-i（t））fi（t）+-γiiγi′c-i（t）-γiθi（1-1/δi）fi（t）1-γi，（30），其中fi（T）=1。事实上，根据其他代理的策略（在（22）中计算）和函数fi，第一个方程给出了代理i的最佳响应。第二个方程正好是决定fi的微分方程，我们在（21）中根据其他代理的策略明确解决了该方程。然而，现在我们已经验证了ansatz对vi（x，y，t）的有效性，为了解决平衡问题，更方便的方法是放弃10 DANIEL LACKER和Aga对fi的SORETexplicit形式，而是同时求解方程（29）和（30）。

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2022-6-24 00:42:37

为此，首先将（29）插入到（30）的最后一项中，以找到fi（t）+ρi+θi1.-δi卑诗省-i（t）+γici（t）fi（t）=0。定义全平均bc（t）=nPnk=1ck（t），注意bc-i（t）=bc（t）- ci（t）/n.重新定义γiin（15），我们推断出fi（t）+ρi+θi1.-δibc（t）+δici（t）fi（t）=0。因此，当fi（T）=1时，这导致tofi（T）=expZTt公司ρi+θi1.-δibc（s）+δici（s）ds公司. （31）现在注意，（29）等于I（t）1-γi（θi/n）（1-1/δi）=-γii’c（t）-γiθi（1-1/δi）fi（t）-γi，其中\'c（t）表示全几何平均值，\'c（t）：=（Qnk=1ck（t））1/n。因此，回顾γiin（15）的定义，ci（t）=(ifi（t））-γi1-γi（θi/n）（1-1/δi）(R)c（t）-γiθi（1-1/δi）1-γi（θi/n）（1-1/δi）=(ifi（t））-δi′c（t）-θi（δi-1).接下来，插入fifrom（31）到getci（t）=-δii？c（t）-θi（δi-1）经验值-δiZTtρi+θi1.-δibc（s）+δici（s）ds公司,这相当于toci（t）expZTtci ds= -δii？c（t）-θi（δi-1） e类-δiρi（T-t）经验值-θi（δi- 1） ZTtbc（s）ds. （32）取i=1的几何平均值，n、我们得到\'c（t）expZTtbc（s）ds=δ-1摄氏度（t）-\\θ(δ-1） e类-bΔρ（T-t）经验值-\\θ(δ - 1） ZTtbc（s）ds,我们定义\\θ（δ- 1）：=nPnk=1θk（δk- 1），bδρ：=nPnk=1δkρk，和δ:=Qnk=1δkk1/n。因此，c（t）expZTtbc（s）ds=δ-1+\\θ(δ-1） e类-cδρ1+\\θ（δ-1）（T-t）。将这个表达式插入（32），我们得到ci（t）expZTtci ds= λieβi（T-t），（33）式中，我们定义βi：=θi（δi- 1） bδρ1+\\θ（δ- 1)- δiρi，λi：=-δiiδθi（δi-1)1+\\θ(δ-1)> 0.相对性能标准下的消费和投资11将（33）从t积分到t，并取对数到getZTtci（s）ds=（log1+λiβieβi（T-t）- 1.如果βi6=0log（λi（T- t） +1）如果βi=0。（34）这确实很明确，因为当βi6=0时，函数t 7→ 1+λiβieβi（T-t）- 1.在[0，T]上递减，在T=T时等于1。

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能者818

2022-6-24 00:42:40

通过区分双方，我们最终得到Ci（t）=βi+λi-βie-βi（T-t）-如果βi6=0（T- t+λ-1i）-1如果βi=0。总之，我们找到了（29）和（30）中给出的方程组的唯一解，证明了我们对HJB方程（12）的ansatz是正确的。根据HJB方程的经典解，通过标准验证论证[13，25]，我们得出结论，上述投资组合和消费政策确实提供了独特的最佳响应，从而形成了独特的强均衡。3、平均场博弈我们在本节中研究的极限为n→ ∞ 在前面分析的n人博弈中，我们解释了如何将极限视为具有连续代理的（平均场）博弈的均衡结果。对于每个试剂i，确定类型向量ζi：=（xi，δi，θi，i、 ui，νi，σi）。现在，我们允许这些参数也依赖于n，尽管我们不会给符号增加额外的索引。这些类型向量导出了一个经验度量，类型分布，它是类型spaceZ上的概率度量：=（0，∞) × (0, ∞) × [0, 1] × (0, ∞) × (0, ∞) × [0, ∞) × [0, ∞),由mn=nPnk=1Δζk给出。现在注意，对于每个代理i，消费和投资的均衡策略仅取决于代理自身的类型向量和类型向量的分布mn。因此，如果我们假设mn弱收敛于某个极限概率测度，那么我们期望均衡结果在某种意义上收敛。为了达到极限，我们现在用（x，δ，θ，, u，ν，σ）一个Z值随机变量，ν+σ>0 a.s。此随机类型向量的规律表示连续代理的类型向量分布，此随机类型向量的单个实现将被解释为分配给单个代表代理的类型。我们假设本段中出现的所有期望都是有限的。

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2022-6-24 00:42:43

n→ ∞ 定理2.2中定义的常数φ和ψ的极限形式如下：φ=Eδuσσ+ ν, ψ=Eθ(δ - 1)σσ+ ν. （35）为了确定定理2.2中剩余量的极限形式，我们额外删除了i下标，让类型向量的随机性发挥代理名称的作用。由此得出β=θ（δ- 1） E[Δρ]1+E[θ（δ- 1)]- Δρ，（36）12 DANIEL LACKER和AGATHE SORETandρ=1.-δ(δ2(σ+ ν)u - σφ1 + ψθ(1 - 1/δ)+φ1 + ψθ(1 - 1/δ)- θφ1+ψEδu- θ(δ - 1)σuσ+ ν+θE“（Δu- θ(δ - 1)σφ1+ψ)σ+ ν#).（37）λiis的极限形式由λ=-δeE[日志(-δ)]-θ(δ-1） 1+E[θ（δ-1)]. （38）事实上，这是通过注意到Nyk=1来确定的δkk！1/n=expnnXk=1log(δkk）！。代表代理人定理2.2的均衡投资政策则变为π*=δuσ+ ν-θ(δ - 1） σσ+νφ1+ψ（39）和消费政策*t型=β+λ-βe-β（T-t）-1如果β6=0（T- t+λ-1)-1如果β=0。（40）接下来，我们将说明这种策略是如何作为平均场博弈的均衡产生的。让(Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P）是支持独立布朗运动B和W以及随机类型向量ζ=（ξ，δ，θ，, u，ν，σ）如上所述。假设F是最小完全过滤，其中ζ是F-可测的，而Wand B是F-布朗运动。代表代理人的财富过程由dxt=πtXt（udt+νdWt+σdBt）确定- ctXtdt。（41）如前所述，容许策略由满足ERT（πt+ct）dt<∞, 每个可接受的策略都会导致严格的正财富过程。由于这是一个具有共同噪声B的平均场博弈，平均场均衡条件将涉及给定B的条件平均值。

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2022-6-24 00:42:46

直观地说，由于主体之间的相互作用是通过整个群体的（几何）平均数发生的，因此我们期望某种大数定律和主体之间的渐近独立性为n→ ∞. 由于公共噪声的存在，代理之间的任何渐近独立性都必须以公共噪声B为条件，我们参考[7，8]来更全面和精确地处理具有公共噪声的平均场博弈。换句话说，人口平均财富和消费过程应适应完全过滤FB=（FBt）t∈[0，T]由公共噪声B产生。现在，假设代表性代理知道其他代理的几何平均财富和消费（连续统）分别由一些FB适应过程X和Γ控制。然后，代表性代理的目标是最大化预期支付（π，c）∈AMFE公司ZTU公司ctXt（ΓtXt）-θ; δdt+UXTX公司-θT；δ. （42）相对绩效标准下的消费和投资13在均衡状态下，最优（π*, c*) 对于此问题，应导致exp E[log Xt | FBt]=Xt和exp E[log c*t | FBt]=Γt，其中我们注意到exp E[log（·）]是几何平均值的连续模拟。我们在以下定义中将此讨论正式化：定义3.1。Let（π*, c*) 采用可接受的策略，并考虑FB适应的过程Xt：=exp E[log X*t | FBt]和Γt=经验E[对数c*t | FBt]，其中（X*t） t型∈[0，T]是（41）中对应于策略（π）的富裕过程*, c*). 我们说（π*, c*) 是平均场平衡，如果（π*, c*) 对于与X和Γ的选择相对应的优化问题（42）是最优的。

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2022-6-24 00:42:49

我们称之为（π*, c*) 强平衡ifπ*是常数（thusF可测量）和if（c*t） t型∈[0，T]是连续的且F-可测的。因为Fis是由类型向量生成的σ场，所以说策略是可度量的，只是意味着它只依赖于类型向量，而不依赖于布朗运动或财富过程。我们现在可以陈述一个定理，解释n→ ∞ 上述计算出的限制策略可被视为平均场博弈的均衡成本。定理3.2。假设a.s.δ>0，θ∈ [0, 1], > 0, u > 0, σ ≥ 0, ν ≥ 0，σ+ν>0。定义（φ、ψ、β、ρ、λ）如（35）–（38）所示，并假设其中的所有预期。然后有一个唯一的强平衡（π*, c*), 它采用givenby（39）和（40）的形式。推论3.3。（单一股票）假设（u，ν，σ）是确定性的，ν=0，u，σ>0。然后，可以将（36）中定义的β简化为β=u2σ（1- δ)1.-θ-θ临界值δ -θθcrit（δ- 1),其中θcrit：=1+E[θ（δ- 1） ]E[δ]，最优投资简化为π*=δ -θθcrit（δ- 1)uσ.我们省略了这个证明，因为它与定理2.2和[21，定理3.6]的证明非常相似。与定理2.2的证明一样，主要思想是确定当X服从F-可测策略（π，c）且π与时间无关时，过程Xt=exp E[log Xt | FBt]的动力学。然后，代表性agent的优化问题可以转化为二维状态过程（X，X）上的（可处理的）随机控制问题。4、平衡的讨论我们现在讨论前一节中计算的平衡的解释以及对各种模型参数依赖的性质。

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2022-6-24 00:42:52

首先，请注意，我们的结果与萨缪尔森的[26]是一致的，因为我们获得的投资策略与之前工作中得出的无消费模型中的投资策略相同[21]。更一般地说，投资策略π*不取决于代理人对终端财富与消费的相对重要性，由在我们的模型中。考虑到这一点，我们参考[21]来讨论投资策略，剩下的讨论集中在消费策略上。我们进一步将对均衡的讨论限制在平均场情况下，对于平均场情况，均衡消费政策由（40）给出，因为n-agent博弈中的均衡基本上具有相同的结构，但公式更复杂。此外，我们限制了14 DANIEL LACKER和AGATHE SORETour的注意力，主要集中在推论3.3的单个股票案例上，它同样更容易处理，但已经相当丰富了。从c的表达式*t、我们可以区分三种消费行为模式。最优消耗必然是时间t的单调函数，快速计算表明，当β<λ时，最优消耗增大，当β>λ时，最优消耗减小，当β=λ时，最优消耗恒定。回顾（41）中财富过程X的形式，我们发现预期财富回报率ddtE[log Xt | F]也是时间的单调函数，与消费政策的单调性相反。（请注意，对Fis的条件等同于对代表性代理类型的条件。）有关一些典型的消费政策，请参见图1。图1：。平衡消费c*不同δ值的tversus t。参数为u=5，σ=1， = 1，E[日志(δ） ]=0，E[θ（δ- 1） ]=0.8，E[δ]=3，θ=0.8，T=1。

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2022-6-24 00:42:56

请注意，最终消耗量c*T=λ与δ无关。回想一下捕获代理给予终端财富相对于消费的相对重要性。注意λ→ ∞ 像 → 0，特别是我们有β<λ. 如上所述，这意味着代理人的目标是降低财富增长率，提高消费率。这很自然，因为表明代理人对终端财富缺乏兴趣，这导致X（t）趋于零，即t→ T（因为在我们的模型中没有遗赠）。也就是说由于规模非常小，代理会在一段时间后进行投资，以消耗更多。事实上，如果π*< c*(0). 相反，如果如果规模较大，代理更关心终端财富而不是消费，因此会随着时间的推移减少消费。实际上，λ在, 所以对于大型我们有β>λ。现在我们来谈谈代理人的竞争力和风险承受能力对其消费行为的影响这一关键问题。为了简化讨论，让我们假设从今以后，没有代理人在财富效用和消费效用之间有偏好；也就是说， = 1和E[日志(-δ） ]=0，这尤其意味着λ=1。注意，如果θ=0，则我们在没有竞争的情况下恢复经典Merton溶液，β=u2σδ（1- δ）和π*= δu/σ. 对于一般θ，我们仍然可以重写β和π*以类似的方式，如β=u2σδe fff（1- δe ff），π*= δe effu/σ，相对绩效标准15下的消费和投资，其中我们定义了有效的风险容忍度参数δe eff：=1.-θ-θ临界值δ+θ-θ临界值。换言之，面对竞争，代理人的行为就像默顿投资者/消费者，但风险承受能力参数不同。

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kedemingshi

2022-6-24 00:42:59

我们可以将δe fff解释为代理人自身风险承受能力δ的加权平均值和关键对数投资者案例δlog=1，权重由代理人的竞争力决定。然而，请注意，权重θ/θ临界值的范围为[0，∞) 而δe ff可能是负的，因此我们应该避免将δe ff工具直接解释为风险容忍度参数。让我们更详细地调查一下，随着时间的推移，消耗量减少与增加的代理之间的区别，并让我们继续假设 ≡ 1（因此λ≡ 1）适用于所有代理。如上所述，只有当β<λ=1时，药剂才会随时间增加消耗量。如果8σ>u，那么我们总是有β<1，因为δe ff（1- δe ff）≤ 任何δeff的1/4。因此，假设8σ<u。然后，因为β是δ的二次函数（如果所有其他参数保持不变），我们可以找到δ*±使得β>1<==> δ ∈ (δ*-, δ*+).也就是说，如果δ*-< δ < δ*+, 如果δ/∈ (δ*-, δ*+), 如果δ∈ {δ*-, δ*+}. 准确地说，这两个值是δ*±：=1+θ/θ临界值- 1±p1- 8σ/uθ/θ临界值- 1.!.（如果θ=θcrit，那么β=0，那么让我们假设θ6=θcrit。）这就解释了均衡消费策略δ的非单调性，以及c*tversusδ和θ如图2所示。在没有竞争的经典Merton问题中，通过设置θ=0恢复，端点变为δ*±=（1±p1）- 8σ/u），两者均小于1；在这种情况下，只有风险厌恶型（δ<1）代理人会减少其超时消费。相反，在θ>0的竞争情况下，区间（δ-, δ+）可能位于orbelow 1上方，具体取决于1的符号- θ/θ临界值。一方面，假设agent的竞争力低于临界值，或者θ<θcrit。

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2022-6-24 00:43:02

然后δ*-< δ*+< 1，我们已经看到，只有当代理的风险承受能力在（δ）范围内时，代理才会随着时间的推移降低其消费率*-, δ*+). 正如我们所料，一个相对缺乏竞争力的代理人在这方面的行为与默顿投资者类似。另一方面，如果代理比临界值更有竞争力，或者θ>θcrit，那么1<δ*-< δ*+. 这意味着，即使是高风险耐受性的代理也可能会随着时间的推移而减少消耗。注意到δeff随θ减小，一种解释如下：增大θ会使代理人面临相对绩效压力，这本身就是风险的来源，为了设置这一额外风险，代理人的行为就像默顿投资者，风险承受能力参数较小。请注意，θ>θcrit的高度竞争代理的行为与θ=0时的行为相反。事实上，当θ>θcrit时，如果δ>1，有效风险容限δe eff小于1，如果δ<1，有效风险容限δe eff大于1。代理有效地切换到关键风险容忍度δlog=1的另一端。到目前为止，我们已经看到，在其他参数保持不变的情况下，消费政策可能会非单调地依赖于风险容忍度δ，以及中间范围的风险容忍度参数（δ*-, δ*+) 其中代理会随着时间的推移减少消耗。类似地，在其他参数保持不变的情况下，消费可以表现出与θ函数相同的非单调性，具有中间范围（θ*-, θ*+) 其中，代理商减少了消费16 DANIEL LACKER和AGATHE Soret图2。时间T/2时的最佳消耗与（δ，θ）。参数为u=5，σ=1， = 1，E[日志] = 0，E[θ（δ- 1） ]=1.6，E[δ]=5，T=1。随着时间的推移。有关（δ，θ）参数范围的描述，请参见图3。随着时间的推移，导致消耗量减少与增加的主要因素。图3：。消耗状态与（δ，θ）。含有（δ，θ）lyingsinide（分别为。

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mingdashike22

2022-6-24 00:43:04

外部）阴影区域随着时间的推移降低（相应增加）消耗率。边界上的代理以恒定速率消耗。请注意，原点附近有一个小的无阴影楔体。参数为u=5，σ=1， = 1，E[日志] = 0，E[θ（δ- 1） ]=1.6，E[δ]=5。这里θcrit=0.52。参考文献【1】A.B.Abel。资产价格处于习惯形成和攀比中。技术报告，国家经济研究局，1990年。[2] M.Anthropelos、T.Geng和T.Zariphopoulou。forwardperformance标准下的竞争性投资策略。2017年，正在准备中。相对绩效标准下的消费和投资17【3】S.Basak和D.Makarov。投资组合经理之间的竞争和资产专业化。可用SSRN：https://ssrn.com/abstract=1563567, 2015.[4] E.Bayraktar、J.Cvitanic和Y.Zhang。大型锦标赛游戏。2018年【5】J.Bielagk、A.Lionnet和G.dos Reis。相对性能关注下的均衡定价。《金融数学杂志》（SIAMJournal on Financial Mathematics），8（1）：435–4822017。[6] R.Carmona、M.Cerenzia和A.Z.Palmer。戴森游戏。arXiv预印本arXiv:1808.024642018。[7] R.Carmona和F.Delarue。平均场对策的概率理论及其应用I-II。Springer，2018年。[8] R.Carmona、F.Delarue和D.Lacker。具有常见噪声的平均场对策。《概率年鉴》，44（6）：3740–380320016。[9] Y.L.Chan和L.Kogan。追赶邻居：异质偏好和资产价格动态。《政治经济学杂志》，110（6）：1255–12852002。[10] P.M.DeMarzo、R.Kaniel和I.Kremer。多元化作为一种公益：投资组合选择的社区效应。《金融杂志》，59（4）：1677–17162004。[11] G.dos Reis和T.Zariphopoulou。相对绩效因素下的远期效用和平均场博弈。2019年在建工程。[12] G.-E.Espinosa和N.Touzi。

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何人来此

2022-6-24 00:43:08

相对性能关注下的最优投资。MathematicalFinance，25（2）：221–2572015。[13] W.Fleming和H.M.Soner。受控马尔可夫过程和粘度解，第25卷。SpringerScience&Business Media，2006年。[14] C.Frei和G.dos Reis。具有互动投资者的金融市场：是否存在均衡？数学和金融经济学，4（3）：161–182，2011年。[15] J.Gal'i。攀比：消费外部性、投资组合选择和资产价格。《货币、信贷和银行杂志》，26（1）：1-81994年。[16] O.Gu’eant、J.-M.Lasry和P.-L.Lions。平均场游戏和应用程序。巴黎普林斯顿数学金融讲座2010，第205-266页。Springer，2011年。[17] M.Huang、R.P.Malham\'e和P.e.Caines。大种群随机动态博弈：闭环McKean-Vlasov系统和纳什确定性等价原理。信息与系统通信，6（3）：221–2522006。[18] I.Karatzas、J.P.Lehoczky、S.P.Sethi和S.E.Shreve。一般消费/投资问题的显式解决方案。在破产的最佳消费和投资中，第21-56页。斯普林格，1997年。[19] I.Karatzas、J.P.Lehoczky和S.E.Shreve。在有限的范围内，为小投资者提供最佳投资组合和消费决策。《暹罗控制与优化杂志》，25（6）：1557–15861987。[20] I.Karatzas和G.ˇZitkovi'c.不完全半鞅市场中投资和随机捐赠的最优消费。《概率年鉴》，31（4）：1821-18582003。[21]D.Lacker和T.Zariphopoulou。相对绩效标准下最优投资的平均场和n-代理博弈。arXiv预印本arXiv:1703.076852017。【22】J.-M.Lasry和P.-L.Lions。平均场比赛。《日本数学杂志》，2（1）：229–260，2007年。【23】R.C.默顿。不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例。

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