但是还是没有说明特征向量和特征值的经济意义，或者说它代表了相关矩阵的什么信息

讲解得很详细，原来好多人都问过这个问题，但是始终没有搞清楚，这次总算明白是怎么回事了，虽然还有一些不是很清楚，谢谢！

主成分分析中会用到方阵的特征根。

n维随机向量x的方差阵Var(x)（如果存在）是实对称阵，于是Var(x)可以对角化，所生成的对角阵的主对角线即Var(x)的诸特征根。

其中，对角化对应了一个正交阵L，生成的对角阵即Lx的方差阵。

也就是说，Var(x)的诸特征根恰是向量Lx各分量的方差。

根据Lx各分量的方差占方差总和的比重，确定降维的方式（从而确定提出的主成分的个数）。

从几何意义上来看，特征向量的意义很明确，矩阵(既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不讨论广义特征向量的概念，就是一般的特征向量)乘以一个向量的结果仍 是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可 以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想 一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能 是零向量)，所以一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx,你就恍然大悟了,看到了吗？cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)，而且x是特征向量的话，ax也是特征向量(a是标 量且不为零)，所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族， 另外，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不是那么重要，虽然我们求这两个量时 先求出特征值，但特征向量才是更本质的东西！

比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]，其中分号表示换行，显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]',其中上标'表示取转置，这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显 然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是 [a 0]'(a不为0)，还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0 b]'(b不为0)也是其特征向量，去求求矩阵[1 0;0 -1]的特征向量就知道对不对了!


具体的应用，比如：统计学主成分分析的几何解释，最关键之处也是平移和旋转坐标轴，所以就要求特征值和特征向量了。

还有没有，这个问题我也搞不清楚啊

其实,特征向量和特征值几何意义,当然结合相应的学科有自己的意义,
如:物理学的话,特征向量就代表着力的方向,是参照坐标,而特征值相当于有多大的力作用物体

经济学太大了,你要看是研究什么而定,所谓数学的死活,取决于人,只要符合科学精神,就可以了

1# yupeng0628

z
         特征向量和特征值主要反映经济数据分布的主要特征，以两个经济变量来举例说明：若以某大城市月均房价为变量v1,以月银行房贷量为变量v2,并取10年的数据120个（每年12个），每个数据是一个二维数组，这120个数据对应为平面直角坐标系中的120个数据点（两个坐标轴分别代表两个经济变量），此120个点的分布必有其特定的形状，称之为“点云”
为了方便理解，假设该“点云”的形状轮廓是一椭圆状，则该椭圆的长半轴的方向就是该数据的二维协方差矩阵（包含数据的特征和信息)的一个特征向量的方向，长半轴的长度就是对应于这个特征向量的特征值平方，短半轴的方向就是该协方差矩阵的另一个特征向量的方向，短半轴的长度就是另一个特征向量对应的特征值的平方。
       也就是说，只要求出数据的协方差矩阵的特征值和特征向量，就可以通过特征向量和特征值大致的知道数据分布图（数据分布的大致方向和离散程度）。要是三个或更多个经济变量的数据也可以类推，只是数据点在3维或更高维空间的而已，特征值和特征向量个数增加而已，其意义是一样的。
      因不懂如何上传图形，所以有上述罗嗦的解释，要是学过线性代数的基础知识，会对上述解释理解得更好。
      望多指教！




                                             
            

5楼强大，受教了

仍然不懂，唉！

解释得很好，领教了。

有学习的资料吗？

谢谢，您的这个解释正式我想了解的。
但是我还是有一些不太明白的东西。
比如您说的这些“云点”是椭圆形的，那如果这些2维数据的线性关系好，分布大约在一条直线上，那以为这这个“椭圆”的长轴长，短轴短，是这样么？还有这两个特征向量是互相垂直的么？
如果这两个特征值的大小相差不大，是不是说明这个“椭圆”接近于圆所以他们的线性关系不好呢？

期待大家的回答！

受教了

学习到了。。。

特征值代表此矩阵在对应的特征向量的贡献率

答得非常精准。

受教受教

这个数据协方差矩阵的最大的特征值所对应的特征向量是数据点云分布离散程度（方差）最大的方向，反过来说这里的最大特征值就是点云分布中离散程度最大的那个方向的方差，同样特征值小的特征向量就是数据点分布中方差小的那个方向，且满足和其他特征向量正交（这由实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交得到）。若数据点的分布几乎在一直线上，那就是说数据点的分布的在这直线的离散程度（方差）是最大的，故此直线所在的方向即为最大特征值（方差）所对应的特征向量所在的方向，而显然与此直线垂直的方向上，数据点的分布方差几乎为零，故此方向为大小几乎为零的特征值所对应的特征向量，在此方向上所包含的数据点分布的信息量也几乎为0,换句话说数据点分布的特征信息量几乎都由此分布直线上的方差（最大特征值）所承载。故在刻画平面上几乎分布在一直线上的数据点的分布特征时，可以近似地认为数据点在直线上分布，而忽略掉与此直线垂直方向上的分布特征（几乎为零的方差（特征值）），即保留数据分布的主要特征（信息）（保留特征值大的特征向量），而忽略少量的次要的特征（信息）（去掉特征值小的特征向量）.此时虽然少量信息丢失，但此时每个数据点由原来的二维向量变为一维的向量（数），对应平面上的点转变为直线上的点。每个数据点的维数得到了有效的下降，为研究数据分布特征带来了方便。这是二维数据降为一维数据的例子，在实际问题中，经常遇到的是几万甚至是上千万维度的数据点，要是能通过同样的方法将其维度降到几十维，就能在损失较少信息量的条件下简化我们的研究对象（数据点），提高效率。这就是著名的主成分分析的算法思想，也就是常用来进行降维PCA算法。