供给定律公式和供给弹性的推导

2.1.2 供给定律

        经济学上，供给定律指的是这样一条基本规律，即某种商品的供给量与其价格呈正方向变动。具体而言，对于正常商品来说，在其他条件不变的情况下，商品价格与需求量之间存在着正方向的变动关系，即一种商品的价格上升时，这种商品的供给量就会增加，相反，价格下降时供给量减少，这就是供给定律。因此，供给定律反映的是商品本身价格和商品供给量之间的关系。供给定律与需求定律是类同的。

2.1.2.1 供给定律公式

       商品的价格与供给量正相关，价格越高，供给量越多；商品的成本与供给量负相关，成本越高，供给量越少。生产者盈余=商品的价格-商品成本，所以生产者盈余与供给量正相关。设商品的价格为P（Price），消费者盈余为SS（Surplus），供给量为QS（Quantity），生产者盈余转化为购买量的函数为KS，则

        在横坐标为供给量QS，纵坐标为价格P的坐标系中，SS为供给曲线。价格P为C时的供给量为0。现实中，不同的供给量所对应的成本C是不同的。成本曲线为碗口向上的碗型曲线。

a)成本C变化导致供给曲线的移动

        原供给曲线函数为QS=KS(P-C)，供给曲线S1S1与价格P坐标轴相交于C点。税收等原因导致成本从C上升到C+T，供给函数变为QS=KS(P-(C+T))，供给曲线S2S2与价格P坐标轴相交于C+T点，供给曲线上移T距离。在相同的价格PA下，供给量从QA下降到QB。

b)价格P变化导致供给量变化

       供给曲线函数为QS=KS(P-C)，供给曲线SS与价格P坐标轴相交于C点。竞争等原因导致价格从PA下降到PB，供给量沿供给曲线SS从QA下降到QB。

c)政策和环境等原因导致KS的变化

       供给曲线函数为QS=KS1(P-C)，供给曲线S1S1与价格P坐标轴相交于C点。政府的政策鼓励等原因导致盈余转化率从KS1上升到KS2，供给曲线从S1S1变为S3S3。此处注意纵坐标是自变量，所以S3S3在S1S1下。在相同的价格PA和成本C的情况下，供给量从QA上升到QC。勤劳民族的盈余转化率要比安逸的民族的盈余转化率大，灾难后的盈余转化率比平时要大。

2.1.2.2 供给定律与供给弹性

       供给弹性是供给定律的一个数学推论，是供给定律的微分形式。供给弹性等于盈余转化率与基础值的乘积。即

       为了方便起见，在没有与需求定律混淆的地方，省略部分下脚标。即供给弹性为

        供给的价格弹性（price elasticity of supply），衡量的是：当一种物品的价格发生变动时，该物品供给量相应变动的大小。供给弹性的准确定义是供给量变动的百分比除以价格变动的百分比。即

推导过程：

       需求定律公式为 ，通过数学对价格P求微分，KS也可以看做常数，对应不同的消费者盈余（P-C），KS为不同的常数。所以有：

       两边同时除以ΔP，并且乘以P/Q，得

       对比供给弹性公式，得到：

       其中C(ΔP)为价格变化对成本的影响，是成本关于价格的函数。

       由于对于大多数商品，成本不随价格改变而改变，在这种情况下，C(ΔP)等于0，所以得到

       由于P/Q为基础值，是常数，所以供给弹性等于盈余转化率与基础值的乘积。KS等于ΔQ/ΔP，KS为正值。

2.1.2.3 广义动量定理与供给定律公式

      供给定律公式QS=KS(P-C)是广义动量定理Fαt=nmV的简化。

       在供给定律公式Q=KS(P-C)，价格P是动力，成本C是阻力，而P-C为合外力F。力量的终极来源有暴力，财富和知识，而供给定律公式中的的主要力量是财富，是财富这个合力产生成果。数量Q对应广义动量定理中的n。将供给定律公式完整化，得到完整供给定律公式

       P-C为合力F，KS对应α，Q对应数量n，m表示产品的品类，质量等。在完整供给定律公式中，速度V表示某一产品m的产出速度。完整供给定律公式的表示力量P-C在时间t上的积累效应。合力P-C越大，时间t越长，成果QmV越大。针对某一产品m，m不变。在供给需求定律公式中，增加价格P，减少成本C，增加力量的方向准确性即盈余转化率，增加力量打击作用点的准确性（TOC制约理论就是增加系统打击点的准确性来增加成果），增加时间t都可以增加成果QmV。完整供给定律增加了时间t因素，使经济学具备了动态因素。广义经济学的本质也是广义动量定理。

2.1.2.4 成本的碗型曲线

        在战争中，克劳塞维茨说有胜利的顶点；在管理学上有利润曲线和高德拉特所说的浴缸曲线；在经济学上有拉弗曲线和成本曲线；这些曲线都是碗型的，上升和下降沿可能不是对称的。

       克劳塞维茨在《战争论》中写道：“胜利者不是在每次战争中都能彻底打垮敌人的。胜利常常而且在大多数情况下都有一个顶点。这是大量经验所充分证明了的。于是就发生了如下的情况：大多数统帅宁愿在远离目标的地方停下来，而不愿离目标太近；而有些具有出色的勇敢和高度的进取精神的统帅往往又超过了目标，因而达不到目的。所以只有那些能用少量的手段创建大事业的人才能顺利地达到目的。”

       关于成本曲线，肯定会存在一个成本的最低点。刚开始生产某种产品，肯定不能立刻达到成本的最低点，随着管理进步，技能熟练和规模效应等原因，成本在下降，最终达到成本的最低点。此时再增加人力，资本或材料等的投入，边际的利益在下降，成本会增加。

       在固定成本C下，供给曲线为S1S1，与纵轴的交点为C。当成本曲线为碗型曲线C1C1时，供给曲线变为S2S2。可以设置成本函数为一个开口向上的抛物线C=a(Q-b)2来表示碗型曲线。供给函数为QS=KS(P-C)，由于纵轴为价格，横轴为供给量，为了绘图方便，需要将供给函数进行变换，得到P=QS/KS+C，带入碗型成本曲线，得到新的供给函数为P=QS/KS+a(Q-b)2，绘图得到供给函数图形为S2S2。

       成本函数有许多形状，碗型成本曲线只是其中的典型形状之一，对于不同的成本曲线，只要根据供给函数QS=KS(P-C)，将成本C替换成对应的成本函数即可。

其他部分帖子请参考：

需求定律公式和需求弹性的推导：https://bbs.pinggu.org/thread-4568742-1-1.html

吉芬物品的数学分析：https://bbs.pinggu.org/thread-4568767-1-1.html

经济学金字塔（1）https://bbs.pinggu.org/thread-4508870-1-1.html

博弈论与共享经济——囚徒困境与配对理论分析：https://bbs.pinggu.org/thread-4524944-1-1.html

劳动价值论分析：https://bbs.pinggu.org/thread-4573640-1-1.html

经济学的方向和亚当斯密与杨小凯的专业化分析：https://bbs.pinggu.org/thread-4576127-1-1.html

绝对优势与比较优势的数学分析与其漏洞（1）：https://bbs.pinggu.org/thread-3898677-1-1.html

绝对优势与比较优势的数学分析与其漏洞（2）：https://bbs.pinggu.org/thread-3898753-1-1.html

目标与哲学---论《道德情操论》与《中庸》(1)：https://bbs.pinggu.org/thread-3903152-1-1.html

目标与哲学---论《道德情操论》与《中庸》(2)：https://bbs.pinggu.org/thread-3903157-1-1.html

经济学中力量F的所有权与产权理论：https://bbs.pinggu.org/thread-4575047-1-1.html

费雪方程式和交易量公式：https://bbs.pinggu.org/thread-4512062-1-1.html

汇率的本质：https://bbs.pinggu.org/thread-4510549-1-1.html

经济学中的力量与分配理论：https://bbs.pinggu.org/thread-4575054-1-1.html

经济学中力量F的属性与分类：https://bbs.pinggu.org/thread-4575035-1-1.html

摘自高广宇著《可以量化的经济学》