由于概率本质属性的主客观之争经常会涉及到哲学中决定论与非决定论之争，甚至会涉及到对上帝以及人的自由意志的看法等，这就使得概率论很长时间里无法作为一门独立的数学学科而存在。
数学是建立一系列假设之上的逻辑符号体系。每一门学科都有其最基本的假设，它们也是该学科最原始的出发点。从这些假设出发，再进行演绎推理，最后形成一套相对完整的符号体系，这就是数学。
撇开关于概率本质的哲学争议，不管怎样理解不确定性，即不管它是主观还是客观的，概率作为事件不确定性的一种“度量”或“测度”（measure）却是没有争议的。
“测度”，是我们每天都在做的事。长度是线段的测度，面积是平面图形的测度，重量也是物体某种属性的测度。如果我们把概率理解为事件不确定的一种测度，那么我就必须首先弄清楚“测度”应该满足的最基本性质是什么。
其实，不管我们在数学上和实际中如何使用这测度这个概念，我们所用到的性质只有两条。
第一，非负性——测度总是非负的；
第二，可加性——由两两不相交集合合并而成的和集或并集的测度等于每一个集合的测度之和，
这两条性质是显然的，即使你没有学过作为现代数学分支的“测度论”，你也很清楚它们的含义甚至在实际中不自觉地实践着。比如说，“曹冲称象”的故事就是很好的利用可加性的案例。由于大象的重量与一堆石块的重量相等，因此要知道大象的重量只需知道这一堆石块的重量。当时的衡器是能够称出每一小块石头的重量的，因此最后所需要做的就只是加法而已。
大部分测度是没有上界的，比如实轴的长度，第一象限的面积等都是无穷大。但是，概率是一种特殊的测度，它是有上界的。很显然这个上界就是1。概率是不可能大于1的，并且必然事件的概率为1。这就是所谓的规范性。
到了上个世纪三十年代，测度论作为现代数学的一个分支已经发展得相当得成熟了。前苏联数学家科尔莫哥洛夫在此基础上把概率定义为具有非负性、可加性和规范性的测度。这就是著名的概率公理化定义。这个定义搁置了所有关于概率本质的哲学争议。不管你是主观派还是客观派，你都会承认这三条性质，因此这三条性质就像公理一样成为了概率论的最原始的出发点。
概率论实际上就是在这三条公理的基础上建立的一套无矛盾的逻辑体系。

十几年前我有一个学生概率统计考了不及格，这影响了他竞争学生会主席。假期在家期间，他专门给我写了一封信，信中与我讨论概率论的问题。他说，概率论根本就不是科学，是强加在我头上的一套谬论。不过，他假期还是用了一点功，回来补考考了八十多分。记得他交卷的时候还特别向我强调了一点，即使考100分也不承认概率论是科学。
其实，正像我刚才说的，数学是建立一系列假设之上的逻辑符号体系。只要在逻辑上不存在问题，它就有在科学体系中的一席之地。你要是不承认概率论，那么你要做的不是在哲学上如何雄辩，而是要能够在这套逻辑体系中找出自相矛盾的地方。如果你说，连这几条公理我也不承认，那么你也可以建立新的公理，自己去建立一套逻辑体系。
我的学生中可能还真的有人在试图超越这个公理，因为在考试时他们经常会算出概率是负的，最离谱的一个甚至达到了负一百二十。

平面几何就有三套逻辑体系。这三套逻辑体系的差异就在关于第五公设上。
欧几里德几何认为，过直线外一点有且只有一条与其平行的直线。与其等价的一个命题是，三角形三内角之和等于一百八十度。
很多人认为这是显然的。但问题是，什么是直线本身就是不定义的，也是无法定义的，而且在自然界根本就不存在我们心目中的直线。在一个平面内是否存在两条永远不相交的直线这本身就是个问题。
因此，非欧几何中的一派认为，过直线外一点的任何一条直线都不可能与其平行，也就是说根本就不存在这样一条平行线。还有一派认为，过直线外一点的可以有至少两条与其平行的直线，这就意味着在这两条直线之间的无穷多条直线都与其平行。
于是，承认三角形三内角之和等于180o，还是大于180o，或者是小于180o，就构成了不同的学派。
问题是，这三种几何的逻辑体系都是无矛盾的，只是出发点不同而已。而且，有人还证明了，这三种几何中任何一种出现逻辑体系内在的矛盾，那么另外两种也会出现对应的问题，这就是说，他们是一荣俱荣，一损俱损的。
实际上，我们可以这样来看一个三角形。如果在地球上画一个小三角形，那么对于这个三角形的三内角之和可以认为是一百八十度（这样理解不会给我们带来致命的问题）。但是严格的来说，如果你是在地层底下看这个三角形，那么他的三内角之和是小于一百八十度的，但如果在地球外面看，则是大于一百八十度的。
就一般尺度的空间内，欧几里德几何已经够用了，但是如果涉及到宇宙的尺度，就必须考虑到引力给空间造成的弯曲，这样非欧几何就派上用场了。这就是所谓的相对论效应。

想起庄子里的一段话：庖丁释刀对曰：“臣之所好者，道也；进乎技矣。始臣之解牛之时，所见无非牛者；三年之后，未尝见全牛也。方今之时，臣以神遇而不以目视，官知止而神欲行。”

伟大的数学家黎曼40岁那年因极度贫困死于肺病。三十九年以后，人类历史上最伟大的科学家爱因斯坦以黎曼几何作为数学工具在他26岁那一年创立了狭义相对论。
天才只是比常人看得远一点。
看得远一点，再远一点，“以神遇而不以目视”，你就会发现，原来光走的不是直线。