数据实证，连续n天的股价日涨幅分布不是正态分布

                          于德浩

                        2020.4.28

在股价布朗运动的模型中，股价涨幅的分布应该是正态分布。在下面的数据实证中，定性上，可以看成是正态分布。比方说，期望值附近的中间事例占比很多，两边占比很少，且比较对称。但定量上看，股价日涨幅分布与正态分布明显不同。

下面是50ETF股价在2019.2.25-2020.2.28一年的247个交易日的涨幅数据。

这里统计的50ETF在一年的累计涨幅约10%，是一个震荡的小牛市。股价日涨幅分布的期望值是0.04%，标准差是1.32%，合年化波动率21%。

定量上看，在（-0.33X，+0.33X），股价日涨幅分布占比是113/247=0.46；而正态分布的占比是（0.63-0.5）*2=0.26。实际的股价涨幅分布要比正态分布更集中。

在（+1X，+2X）区间，股价日涨幅分布占比18/247=0.07；而正态分布的占比是0.135。这仅有正态分布的一半。

在+2X以外，股价日涨幅分布占比7/247=0.028，这与正态分布的占比相当。

对于极端事例，在+4X及-4X以外各有一个日涨幅超过5%的事例。就是说，在一年之内，总会出现一根+5%以上的日收盘巨大长阳线。但，也说明，如果最近几个月出现过巨大长阳线，那么再出现巨大长阳线的可能性就是0了。 就是说，在日内再出现+5%的高点时，应该反向做空才对。 当然了，这种机会是很少的，一年才出现一两次。

从一年的常态分布来看，即使是牛市，日涨幅期望值也不过是0.2%，（这可是一年累计上涨+50%的大牛市），而标准差是1.3%，每天上涨的概率也不过是56%。所以，明天上涨的概率与瞎猜的50%差不多。

在牛市中，之所以能有累计的正涨幅，主要原因是（+0.5%，+1%）的中阳线相对较多。其它的很大的正涨幅及负涨幅，基本对称相抵消。而且，在+1X之外的，也就是大于+1.5%的日涨幅，是占比稀少的10%。 也就是，即使在未来一年牛市中，也不要企望每天都是长阳线。

股价的日涨幅分布中，（-0.4%，0）是最大概然值，比（0，+0.5%）的概率要大。即使在牛市中，每天也是-0的小跌幅居多； 这也是很多股民拿不住股票的根本原因。因为表面看，他总感觉，下跌的天数更多，与想象中的牛市不一样。

日涨幅大涨大跌基本是对称抵消的，而且出现的概率也很小。大于+2%及小于-2%实际是很稀少的，不要老是企盼。 而且，大涨过后，往往是大跌，一般起不到净正涨幅的作用。

我们现在想一下，为什么日涨幅分布不是正态分布呢？ 根据中心极限定理，只要是子分布存在有限期望值及有限方差，且相互独立，那么子分布之和的分布就应该是正态分布。我们把日涨幅分布看成是16个15分钟涨幅的分布之和。 显然，这里只有一个条件可能不成立，那就是这16个子分布不相互独立。

也就是说，日内股价走势，是有关联的，是可以找寻到某些规律的。现在，想想西蒙斯的大奖章基金，做日内交易套利，还是很有可能成功的。当然，即使存在规律，未必你能发现，未必你能应用的好。 所以，很多国内的日内交易量化基金不赚钱也是很正常的。

股价涨幅的月分布是20个日涨幅分布之和，如果月涨幅分布是正态分布，那么就说明日涨幅分布之间是近似无关联的。当然，这还不是一个充分且必要的条件。应该说，日涨幅分布无关联，一定会推出月涨幅是正态分布。但，若月涨幅是正态分布，如果日涨幅又是时序无关的排列，才能说明日涨幅之间无关联。