以独立投资清算不可分割资产

2022-5-5 06:56:24

与独立投资公司ie Fabre清算不可分割资产*Guillaume Royer+Nizar Touzi2018年9月18日摘要我们对Henderson和Hobson提出的混合最优停止-最优随机控制问题的显式解进行了扩展。该问题考察了局部鞅金融市场上的最优投资问题是否受到独立不可分割资产最优清算的影响。有形资产过程由齐次标量随机微分方程定义，投资者的偏好由一般预期效用函数定义。得到了显式形式的价值函数，证明了以显式最大化策略的极限为特征的最优停止投资策略的存在性。我们的方法基于标准的动态规划方法。关键词：最优停车，最优控制，粘性解。AMS 2000科目分类：93E20、60H30。1引言本文考虑了亨德森和霍布森[7]提出的一个混合最优停止/最优控制问题，该问题对应于不完全市场中不可分割资产的最优清算问题，因此不可能对其进行套期保值，同时允许代理人在另一个金融资产中连续交易。这个问题是由实物期权问题引起的，参见Dixit和Pindyck[3]和Henderson[9]。[7]的框架如下：投资者持有不可分割的资产，其价格过程定义为几何布朗运动。此外，非风险资产，标准化*CMAP，巴黎理工学院，埃米莉。fabre@polytechnique.edu.+荷兰桂林巴黎理工学院CMAP。royer@polytechnique.edu.——CMAP，巴黎理工学院，尼扎尔。touzi@polytechnique.edu.

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2022-5-5 06:56:27

由Soci’e G’en’erale赞助的风险基金会的财务风险主席，以及EDF和Calion赞助的C hair Finance and Sustainable Development支持的研究。对于unity，金融资产可用于无摩擦连续时间交易。Therisky资产价格过程是一个具有不可分资产过程的零协变量局部鞅。投资者的偏好由预期功率效用函数确定。风险厌恶型投资者的目标是选择最佳停止时间出售可分割资产，同时在金融市场上继续交易。在没有不可分割资产的情况下，问题归结为一个纯粹的投资组合问题。由于风险资产价格过程是一个局部鞅，因此从詹森不等式可以看出，风险规避投资者的最优投资策略是不交易风险资产。因此，[7]提出的主要问题是，该最优策略是否受独立不可分割资产的最优清算问题的影响。在电力效用函数的背景下，[7]表明，这个问题的答案取决于模型参数，它们提供了最优的停止投资策略。我们观察到，埃文斯、亨德森和霍布森[4]在相关资产的案例中也研究了la st问题。我们还参考了亨德森和霍布森对美式期权的申请[8]。在本文中，我们关注金融资产是鞅且与不可分割资产不相关的情况，对应于[7]的设置。我们的目标是在两个方向上扩展他们的成果。首先，不可分割的资产价格过程由任意标量齐次随机微分方程定义。

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2022-5-5 06:56:30

第二，投资者的偏好以一般预期效用函数为特征。与[7]相比，我们使用标准的动态规划方法对随机控制和最优停止进行研究，以证明一个下界是由一系列函数的极限给出的，这些函数是由每个变量的连续约束定义的。由此产生的函数是效用函数中最小的主函数，该函数在每个变量中都是部分凹的。这种下界的构造导致停车时间和门叶策略的序列最大化。这一观察结果可以证明这个下界确实与值函数相吻合。最后，我们证明了这个最大化序列是弱紧的，并得出了一个最优策略的存在性。[7]的构造在很大程度上取决于Black-Scholesdynamics对非流动资产的定价过程和电力效用函数的特殊规定。此外，在各种情况下，都会采用特定的论据来解决问题。我们使用动态规划方程作为猜测的方法可以在一般情况下洞察价值。此外，这种刻画增加了凹包络的极限，使值函数的计算更加容易和可操作。尤其是，当试图清算不可分割资产时，赌博的利益归结为验证所考虑的FirstConcave函数是否等于价值函数。我们还通过重新计算[7]的结果来说明我们的结果，正如附录中凹包络的极限。本文的组织结构如下。这个问题在第2节中阐述。主要结果见第3节。特别是，在第3.2小节中，我们专门讨论了[7]的原始背景，并表明我们的一般结果涵盖了它们的发现。

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2022-5-5 06:56:33

值函数的明确推导在第4节中给出。最后，第5节证明了最优停止投资策略的存在性。2问题公式集B是过滤概率空间上的布朗运动(Ohm, F、 F:={Ft}t≥0，P）。在本文中，我们考虑一个不可分割的资产，其价格过程由随机微分方程定义：dYyt=Yytu（Yyt）dt+σ（Yyt）dBt, Yy=y>0，其中系数u，σ：（0，∞) -→ R是有界的，局部Lipschitz连续的，σ>0。特别是，这确保了前一个SDE强解的存在性和唯一性。投资者的首要目标是确定不可分割资产清算的最佳停止时间τ。我们将用T表示所有有限元素的集合-暂停时间。金融市场还允许风险证券的连续无摩擦交易，其价格过程是与W正交的局部鞅。然后假设利率为零（或者，换句话说，考虑远期价格），自融资策略的回报是setM中的一个过程X⊥（x）：={x c`adl`ag鞅，其中x=x，[x，B]=0}，（2.1）其中[x，B]表示x和B之间的二次协变量过程。在最后的可容许集中，条件[x，B]=0反映了不可分割资产不能被金融资产部分对冲，而鞅条件意味着，在不可分割资产不存在的情况下，风险规避者对风险证券的最优投资为零。继Hendersen和Hobson[7]之后，我们的目标正是分析不可分割资产的存在对这种最优无交易策略的影响。让你：R+-→ R∪{-∞} 是一个不减损的凹函数，U>-∞ 在（0，∞),成为风险厌恶型投资者的效用函数。

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2022-5-5 06:56:37

我们感兴趣的问题是：V（x，y）：=sup（x，τ）∈S（x，y）EU（Xτ+Yyτ）, （x，y）∈ D、（2.2）其中D:={R×（0，∞); x+y≥ 0}，S（x，y）：=（X，τ）∈ M⊥（x） ×T:（x+Yy）。∧τ≥ 0和{U（Xτ）∧θ+Yyτ∧θ)-}θ ∈Tis UI,UI是一致可积的一种简化。我们还引入了相应的非交易问题：m（x，y）：=supτ∈T（x，y）EU（x+Yyτ）, （x，y）∈ D、（2.3）式中T（x，y）：={τ∈ T：（x，τ）∈ S（x，y）}我们滥用符号，将x标识为等于x的恒常过程。虽然（2.3）是一个经典的有限视界opt-ima-l停止问题，但我们注意到（2.2）是一个混合随机控制-opt-ima-l停止问题。我们将通过标准的动态规划方法来解决这两个问题，见Fleming和Soner[5]和Touzi[11]。我们观察到，与上一篇参考文献类似，为了隔离解决方法的主要论点，我们分别研究了随机控制和最优停止问题。然而，众所周知，混合随机控制-最优停止问题很容易通过相应参数的明显叠加来解决。3主要结果3。1一般效用函数我们首先引入变量的适当变化，将过程yy转化为局部鞅。这是通过yy的标度函数S得到的，定义为：S′（y）yu（y）+yσ（y）S′（y）=0。通过额外要求S′（c）=1和S（c）=0，对于微分Y域中的一些c，这个普通微分方程导出一个唯一定义的连续一对一函数S：（0，∞) -→ 多姆（S）=S（0），S(∞). 我们表示R:=S-它是连续逆的。那么，过程Z:=S（Yy）是一个局部鞅，满足随机微分方程：dZt=~σ（Zt）dBt，~σ（Z）=R（Z）S′（R（Z））σ（R（Z））。从现在起，我们将使用流程Z而不是Yy。

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2022-5-5 06:56:41

我们定义了相应的域D:={（x，z）∈ R×dom（S）：x+R（z）≥ 我们介绍了函数：\'m（x，z）：=m（x，R（z）），\'V（x，z）：=V（x，R（z））和\'U（x，z）：=U（x+R（z）），（x，z）∈注意，“U”通常不是凹的w.r.t.z，但仍然是凹的w.r.t.x。然后我们引入“U:=（”U）concz，其中concz表示凹包络w.r.t.z。我们首先给出了非贸易问题的特征，即m的值：命题3.1。假设U在int（\'D）上局部有界，那么m（x，y）=U（x，S（y））表示所有（x，y）∈“D.证明。我们把证据分为三个步骤。第一步：我们首先展示≤“U.Let（x，z）∈\'D，τ∈ T（x，R（z）），局部鞅z的θna局部化序列，定义τn=τ∧ θn.根据詹森不等式，我们有：\'U（x，Zτn）≤ E\'U（x，Zτn）≤\'U（x，E[Zτn]）=\'U（x，Z）。然后，从法图引理得出：lim infn→∞E\'U（x，Zτn）+≥ Ehlim infn→∞\'U（x，Zτn）+i=E\'U（x，Zτ）+.由{U（x+Yτ）族的一致可积性∧θ)-, θ ∈ T}，我们得到：limn→∞E\'U（x，Zτn）-= E\'U（x，Zτ）-.然后，E\'U（x，Zτ）≤U（x，z），因此m≤U，由τ的任意性∈ T（x，R（z））。第二步：对于第二个不等式，我们使用问题的偏微分方程特征。让我*（x，z）：=lim infz\'→z、（x，z′）∈\'D\'m（x，z′）是函数x7的下半连续包络-→\'m（x，z）。从第一步开始，我们有“U”≤ \'m≤U。然后，假设U是局部有界的，它就跟在m后面*现在是最后一天。通过随机控制的经典工具，我们得到*（x，·）是粘度为：min{u的超溶液-\'U（x，·），-uzz}≥ 0，在int（\'D）上。然后从[11]t\'m中的引理6.9和6.23得出*（x，z）≥\'U（x，z）for all（x，z）∈ int（\'D）。结合步骤1，我们证明了≤“U”≤ \'m*≤ 整型（\'D）上的\'m\'。（3.1）步骤3：该属性在“D.确实是x的∈ R、表示zx:=inf{z∈ dom（S）：x+R（z）≥ 0}.

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2022-5-5 06:56:45

然后我们就有了\'D={（x，zx），x∈ R:zx∈ 多姆（S）}。我们现在将（x，zx）放入\'D.任何元素τ∈ T（x，R（zx））必须验证Zzx·∧τ≥ S(-x），初始条件为Zzx=S(-x）。现在，由于Zzxis是一个局部的马丁酒，且∧σ>0，我们推断τ=0 a.s.，因此‘（x，zx）＝’U（x，zx）。最后，因为U（x，·）是[zx，S]上定义的连续非递减函数的凹包络(∞)), 它的结论是：U（x，zx）＝U（x，zx）在域的左端点zxo处。接下来我们回到我们感兴趣的问题V。请注意，UI通常不是凹面inx，请参见第3.2小节中的电力设施示例。我们还注意到，在这种情况下进行的计算表明，通常情况下，ui甚至不是连续的，如情况1<γ所示≤ 命题3.7中的p，其中我们在x变量中有完全有界但不连续（x=0时不连续）。由于风险资产的价格过程是一个局部鞅，由于风险资产的交易策略最大化，价值函数预计将保存在x中。然后我们自然而然地引入了一个函数“U”：=“U”ConcX是关于x的进一步凹陷-变量，这可能会再次松动相对于z的凹度-变量这自然会导致以下顺序联合国n:\'U=\'U，\'U2n+1=\'U2n海螺，U2n+2=\'U2n+1康克斯，n≥ 0.序列联合国nis显然是非递减的，然后逐点收敛到极限\'U∞在R中取值∪{+∞}. 然后很容易检查“U”∞是“uw”的最小优势，其中x部分凹，z部分凹。本文的第一个主要结果如下：定理3.2。

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2022-5-5 06:56:48

假设过滤后的概率空间(Ohm, F、 F，P）在以下意义上非常丰富：（H1）要么存在独立于B的布朗运动W，（H2）要么存在序列（ξn）n≥0个独立、均匀分布的随机变量，可添加这些变量以丰富初始过滤。那么，V（x，y）=U∞（x，S（y））代表所有人（x，y）∈ D.特别是，V=m i ffu∞=“U.此外，考虑到“U”的限制∞在int（\'D）上，如果\'U∞是局部有界的，那么它是连续的。如果你∞不是局部有界的，那么“U”∞= +∞ 在int（\'D）上。V（x，y）的proo≤“U”∞（x，S（y））见第4.1节。在第4.2节的条件（H1）下，通过使用动态规划方程进行表征，在第5.1节的条件（H2）下，通过建立和解释近似最优策略序列，证明了反向不等式。定理3.2指出，值函数由“U”给出∞. U的显式计算∞正如我们将在提案3.7和附录中说明的那样，在许多情况下都是可能的。一般来说，人们可以利用“U”的定义，采用数值近似技术∞asa一维凹包络的极限。定理3.2的最后一部分回答了Hendersenand Hobson[9]提出的经济相关问题。也就是说，在任何起点（x，y），投资者对赌博感兴趣的当且仅当∞（x，S（y））=U（x，S（y））。备注3.3。条件（H1）和（H2）是必要的，以允许非平凡正交鞅。因此，如果概率空间不够丰富，那么M⊥（x）被简化为常数过程x，so，不可能有g扰动，问题V和m是相同的。如果允许按照控制理论中的标准放松技术采用随机策略，则最后的结论不会改变。

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2022-5-5 06:56:52

这表明条件（H1）和（H2）与引入随机策略的性质不同。接下来我们将重点讨论问题V的解的存在性和特征。我们需要引入以下假设：假设3.4。所有人（x，z）∈ int（\'D），有一个开有界子集O:=Ox，zof\'D，带（x，z）∈ O和cl（O） int（\'D），使得\'U=\'U∞在…上O.自¨U≤联合国≤“U”∞为了所有人≥ 0，这个假设意味着：\'Un=\'U onO代表所有人n≥ 0.备注3.5。假设3.4影响∞是局部有界的。这是下面的Emma 4.1的结论。本文的第二个主要贡献是以下存在性结果。定理3.6。假设3.4成立，并假设过滤后的概率空间满足定理3的条件（H2）。2.那么对于所有人（x，y）∈ D:V（x，y）=E[U（x*τ*+ Yyτ*)] 对于某些人（X）*, τ*) ∈ S（x，y）。这一结果在第5节中得到了证实。最优策略（X*, τ*) 将被描述为显式序列的极限。而且如果你∞（x，z）=Un（x，z）对于某些n，则（x*, τ*)是从起点（x，z）显式导出的。我们将在下面的备注3.10中指出，假设3.4是必要的，因为我们可能会发现一种情况，在这种情况下，它是不令人满意的，最优策略的存在是失败的。3.2动力效用案例[7]中，不可分割资产Yy被定义为几何布朗运动：dYyt=Yyt（udt+σdBt），Yy=y>0，代理人偏好以带有参数P的动力效用函数为特征∈ (0, ∞ ) :向上（x）=x1-P- 11-p、 p6=1，U（x）=ln（x）。（3.2）在[7]之后，我们引入常数γ和^γpde，定义为：γ=2μσ和^γp∈ （0，p∧ 1），（p- ^γp）p（p+1- ^γp）- （2p）- ^γp）p（1）- ^γp）=0，其中^γp的存在性和唯一性由直接计算得出。提案3.7。设U=Upas定义在（3.2）中。

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2022-5-5 06:56:55

然后：（i）对于γ≤ 0，我们有“U”∞=\'U<∞,（ii）对于0<γ≤ ^p，我们有‘∞=\'U<∞ 和“U6=”U，（iii）表示^γp<γ<1∧ p、我们有你∞=\'U<∞ 对于γ，\'U6=\'U，（iv）≥ P∧ 1，（iv-a）p≤ 1.我们有“U”∞=\'U=+∞,（iv-b）p>1和γ≤ p、我们有你∞=\'U<+∞,（iv-c）p>1，和γ>p，我们有\'U∞=\'U<+∞.这些结果的证明见附录，并通过对凹包络序列的显式计算得到。推论3.8。假设U=Upas在（3.2）中定义，并假设为（H1）或（H2）。那么（i）V=m当且仅当γ≤ ^γporγ>p>1，（ii）对于γ<p∧ 1，假设3.4小时成立，因此在条件（H2）下存在最优套期保值停止策略。备注3.9。在现有的电力设施示例中，提案3.7特别指出：∞等于U，U，或U，当v等于U时∞< ∞. 然后，从Le mma 5中直接得出最优策略。3，并且没有必要使用第5节的限制性论点。备注3.10。通过我们的显式计算，我们观察到假设3.4在命题3.7的cas es（iv-b）和（iv-c）中失败。我们在这些情况下的显式计算表明∞我对“你近在我身边”有好感。请注意，这排除了最佳策略的存在。实际上，最优停车理论中的最优策略是由价值函数给出的障碍物的第一次击中时间给出的。因此，如果值函数是渐近于o b状态的，那么这样的命中时间可能会取这个值+∞, 我们对允许停车策略的定义排除了这一点。推论3.8的结果与[7]的发现一致，事实上，它补充了文献中的一些缺失案例。粗略地说，推论3.8指出≤ ^当γ>p>1时，代理人不愿意在市场上进行公平投资；最优性策略包括保持财富不变和解决一个o-pt-imal-stopping问题，即m。

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能者818

2022-5-5 06:56:58

相反，当^γp<γ≤ p、公司可以利用其投资组合的动态管理策略。备注3.11。[7]中使用的方法如下。-他们通过首先确定投资组合价值，等待不可分割资产达到一定水平，然后确定时间并优化投资组合价值过程的跳跃，构建了一个停止规则和容许鞅的准度量族。-对于该系列的每个元素，他们评估相应的性能，并优化参数值。严格的证据来自一个验证论证。我们的方法依赖于随机控制的标准动态规划方法，更好地理解了价值函数V，并证明了上述最优策略的构造。此外，它还表明，该结果具有更广泛的通用性，允许更大类别的效用函数和更丰富的非流动资产价格过程动态。4.价值函数的特征我们在第4.1节中首次证明≤“U”∞. 在4.2节中，我们在概率空间上证明了条件（H1）下的逆不等式。第5.1小节末尾将证明条件（H2）下的相应结果。请注意，我们随后的所有证明都考虑了起始值（x，z）∈ int（\'D）。事实上，回想一下命题证明3的第3步。1.那个\'D={（x，zx），x∈ R:zx∈ dom（S）}，我们很容易得到∞=“加油\'D={（x，zx），x∈ R:zx∈ dom（S）}，以及任何（x，z）的dom（S）}∈ D，相应的可容许策略集S（x，R（z））被简化为常数marting ale，停止时间等于0.4.1上界4.1。“U”∞在int（`D）上是连续的，但它是局部有界的。如果你∞不是基于int（\'D）的locall ybound，然后是\'U∞= +∞ 在int（\'D）上。证据我们首先假设∞局部有界o n int（\'D）。自从你∞是局部有界的，凹的w.r.t。

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2022-5-5 06:57:01

x和凹形w.r.t.z，我们有那个“U”∞（x，·）和“U”∞（·，z）在其域的内部是连续的，对于ll x和z。现在假设相反，存在>0，（x，z）∈ int（`D）和a序列（xn，zn）∈ int（\'D），（xn，zn）-→N→+∞（x，z）使：N≥ 0，| U∞（xn，zn）-“U”∞（x，z）|>。在不丧失普遍性的情况下，我们假设：∞（xn，zn）>U∞（x，z）+。通过“U”的连续性∞（·，z），我们有足够大的∞（xn，zn）-“U”∞（xn，z）>。在不丧失普遍性的情况下，我们假设≥ z代表一个ll n≥ 0.然后，我们定义zn=z-√锌- z、从“U”的凹陷处观察∞（·，z）该：\'U∞（xn，z）-“U”∞（xn，~zn）z- 锌≥“U”∞（xn，zn）-“U”∞（xn，z）zn- z> zn- z、然后：\'U∞（xn，z）-“U”∞（xn，~zn）>√锌- z、 xn（自）-→N→+∞（x，z），这与U的局部有界性相矛盾∞.接下来，我们假设“U”∞不在int（\'D）上局部有界，即存在（x，z）∈ int（D）和（xn，zn）→ （x，z）使得U（xn，zn）→ +∞. 设c>0为（x+c，z+c）∈int（\'D）。然后从变量x和z中U的不减少得出∞（x+c，z+c）≥“U”∞（xn，z+c）≥“U”∞（xn，zn）-→ ∞, 作为n→ ∞.自从你∞两个变量的w.r.t.部分凹，这意味着∞= ∞ 在“D”上。我们现在关注定理3.2中的第一个不等式。引理4.2。\'V≤“U”∞在“D”上，为了证明引理4.2，我们在“U”的情况下使用正则化∞局部边界。引理4.1，\'U∞在“D”内部是连续的。但一般来说，每个变量都不存在两次差异。因此，我们推出了一款ny∈ （0,1]：\'Un（x，z）=z\'D\'Un（ξ，ζ）ρ（x）- ξ、 z- ζ） dξdζ（x，z）∈“D，为了所有人”∈ [0, ∞], （4.1）其中R中的所有u:ρ（u）=-2ρ（u/），其中ρ（u）=Ce-1/(1-|u |）| u |<1，并且选择C，使得rrρ（u）du=RB（0,1）ρ（u）du=1。显然，ρ是C∞, 紧支撑，且ρ在零处积分收敛到狄拉克质量。

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2022-5-5 06:57:05

我们按照惯例设定“Un:=”UNF=0。我们还引入了任何δ≥ 0:\'Un，δ（x，z）：=\'Un（x+2δ，z），（x+2δ，z）∈“D，为了所有人”∈ [0, ∞].引理4.3。“U”∞-→→0\'U∞在“D”和“U”上按点排列∞∈ C∞（\'D），\'U∞≥“Uon”D和“U”∞，δ在每个变量中都是部分凹的，对于所有0<<δ。证据前三个声明遵循了关于非负核ρ的卷积的经典性质，以及“U”的构造∞.让我们来检验一下“U”的凹度∞，δw.r.t.x.对于z，同样的证明成立。对于任意0<<δ，我们定义x，x′和z，使得（x，z）∈D和（x′，z）∈λ的D∈ [0,1]，表示^x:=λx+（1）- λ） x′。然后使用“U”的凹度∞在x:U中∞，δ（^x，z）=ZR\'U∞（λ（x+2δ+ξ）+（1）- λ）（x′+2δ+ξ），z+ζ）ρ（ξ，ζ）dξdζ≥锆λ′U∞（x+2δ+ξ，z+ζ）+（1）- λ） “U”∞（x′+2δ+ζ，z+ζ）ρ（ξ，ζ）dξdζ=λ＠U∞，δ（x，z）+（1）- λ） “U”∞，δ（x′，z）。“U”情况下引理4.2的证明∞不是局部有界的，然后通过引理4.1，我们得到了“U”∞= +∞ 结果是显而易见的。现在假设“U”∞是局部有界的。我们分两步进行。第一步。L et（θn）nbe局部ma r tingale Z的一个局部化序列。我们假设δ>0，我们考虑2<δ。Let（X，τ）∈ S（x，R（z））和τn=τ∧ θn.很明显，我们有（X，τn）isins（X，R（z））。然后根据它的跳跃过程公式：\'U∞，δ（Xt）∧τ、 Zt∧τn）-“U”∞，δ（x，z）=Zt∧τnxx\'U∞，δ（Xu，Zu）d[X，X]cu+Zt∧τnzz\'U∞，δ（Xu，Zu）~σ（Zu）du+Zt∧τnz\'U∞，δ（Xu，Zu）~σ（Zu）dBu+Zt∧τnxu∞，δ（许，祖）dXu+X0<u≤T∧τn“U”∞，δ（许，祖）-“U”∞，δ（Xu）-, （祖）- xu∞，δ（Xu）-, （祖）徐.自从你∞δ在x和z上是凹的，那么：\'U∞，δ（Xt）∧τn，Zt∧τn）-“U”∞，δ（x，z）≤Zt∧τnz\'U∞，δ（Xu，Zu）~σ（Zu）dBu+Zt∧τnxu∞，δ（许，祖）dXu。（4.2）我们有所有的（~x，~z）：\'U，δ（~x，~z）=z\'B（~x，~z），）\'U（~x+2δ）- u、 ~z- v） ρ（u，v）dudv≥Z′B（（~x，~Z），）U（δ）ρ（U，v）dudv=U（δ），其中，la st不等式来自于U不是n递减的和~x+2δ的事实- u+R（~z）- v）≥ δo n′B（（x，z），）。

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2022-5-5 06:57:08

引理4.3表示：\'U∞，δ（Xt）∧τn，Zt∧τn）≥ U（δ）。因为，|U（δ）|<∞ , 局部鞅：Zt∧τnz\'U∞，δ（Xu，Zu）~σ（Zu）dBu+Zt∧τnxu∞，δ（许，祖）dXu，t≥ 0，从下方有界，因此它是一个上鞅。然后从（4.2）得出：E[\'U∞，δ（Xt）∧τn，Zt∧τn]≤“U”∞，δ（x，z）。第二步注意∞，δ（Xt）∧τn，Zt∧τn）由U（δ）从m开始，然后由逐点收敛U得出∞，δ（x，z）-→→0\'U∞（x+2δ，z），以及法图引理，that:E“U”∞（Xτ+2δ，Zτ）= 埃利姆特，n→∞→0\'U∞，δ（Xt）∧τn，Zt∧τn）i≤ 林因夫特，n→∞→0E“U”∞，δ（Xt）∧τn，Zt∧τn）≤“U”∞（x+2δ，z），由（x，τ）的任意性决定∈ S（x，R（z）），这意味着V（x，z）≤“U”∞（x+2δ，z），然后是“V（x，z）≤“U”∞（x，z），通过“U”的连续性∞在x变量中。4.2过滤假设（H1）下的值函数的下限如下：⊥是非平凡的，并且包含集合：MW（x）：={x C-mart:Xt=x+ZtφsdWsfor someφ∈ Hlo c}。在本小节中，我们使用问题的PDE特征来获得函数值的下限。为了使用随机控制和粘性解的经典工具，我们引入以下简化问题V:V（x，y）：=sup（x，τ）∈SW（x，y）E[U（xτ+Yyτ）]，其中SW（x，y）：=（X，τ）∈ S（x，y）：x∈ 兆瓦（x）.自MW（x） M⊥（x），我们有v（x，y）≤ V（x，y）。引入该问题的原因在于，它具有（奇异）随机控制问题的标准形式，可以用经典的动态规划方法来解决。我们还记得下半连续包络线的定义：V*（x，y）：=lim-inf（x′，y′）→（x，y）V（x，y），（x，y）∈ 通过引理4.2，我们有U（x+y）≤ V（x，y）≤ V（x，y）≤“U”∞（x，R（y））。那么，如果你∞是局部有界的，V也是，它跟在V后面*现在是最后一天。现在我们推导出动态规划方程，它将为我们提供下限。

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2022-5-5 06:57:12

为了简单起见，我们将使用下标来表示对应变量的偏导数。提案4.4。假设“U”∞是局部有界的，那么*是f:min的维s余弦上解{-vzz，-vxx，v-整型（\'D）上的\'U}=0。尤其是“V”*部分符合w.r.t x和z证明。我们首先展示了V*是粘度的上解：min{-yσ（y）vy（x，y）- yu（y）vy（x，y）；-vxx（x，y）；五、- 首先，由于立即出售非流动资产是合法的，我们看到V（x，y）≥U（x+y），因此V*（x，y）≥ U（x+y），通过U的连续性。接下来，我们继续使用[2]中FTHEREM 4.1的弱动态编程原理的第一部分：V（x，y）≥ sup（X，τ）∈SW（x，y）E五、*（Xθ，Yyθ）1θ≤τ+U（Xθ+Yyθ）1θ>τ对于所有θ停止时间。为了证明粘性上解的性质，我们考虑了一个内点（x，y）和一个检验函数φ∈ C2,2（R）使得：min（V*- φ） =（V）*- φ）（x，y）=0。让（xn，yn）n≥0是这样一个序列：t（xn，yn，V（xn，yn））→ （x，y，V）*（x，y））作为n→ ∞.对于固定α∈ R、定义（Xn，Yn）：=（Xn+αW·∧θn，Yyn·∧θn），其中c>0是常数，且：θn:=hn∧ infT≥ 0:|Xnt- xn |+| Ynt- 伊恩|≥ C,其中hn:=p |βn | 1βn6=0+nβn=0，其中βn:=V（xn，yn）- φ（xn，yn）→ 0.由于（x，y）位于域的内部，请注意，我们可以选择非常小的常数c>0s，以确保（Xn，θn）∈ 西南（xn，yn）。根据动态规划原理和It^o公式，得出：V（xn，yn）=βn+φ（xn，yn）≥ E[φ（Xnθn，Ynθn）]=φ（Xn，Yn）+EhZθnyuφy+yσφy+aφxxXnu，Ynu酒后驾车。这导致：βn≥ EhZθnyuφy+yσφy+aφxx（Xnu，Ynu）duiSinceu和σ是局部Lipschit z连续的，具有线性增长，可以显示所有h>0:E的以下标准估计监督≤s≤t+h | Yyns- 伊恩|≤ Ch（1+| yn |）。这导致（Xn，Yn）-→N→∞（x+αW，Yy）P-a.s。

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2022-5-5 06:57:15

此外，通过定义θn，以下数量Hnzθnyuφy+yσφy+aφxx（Xnu，Ynu）du在n中一致有界。因此，通过中值定理和支配收敛定理，0≥yσ（y）φy（x，y）+yu（y）φy（x，y）+αφxx（x，y）。由α的任意性∈ R、这意味着-φxx（x，y）≤ 因此，V*是D:min上的粘度超溶液{-yσ（y）vy- yu（y）vy；-vxx；v（x，y）- U（x+y）}=0。最后，命题中所述的上解是粘度解理论中第一步和变量变化的直接结果，参见例[5]。partialconcavity属性源自[11]中的引理6.9和6.23。推论4.5。假设你∞是局部有界的。然后是全部（x，y）∈ D、我们有：V（x，y）≥“U”∞（x，S（y））。证据我们已经知道V（x，y）≥ V（x，y）≥\'V*（x，S（y））。另一方面，自从*是w.r.t.x和w.r.t.z的一部分，是“U”的主要成分，它跟在“V”后面*是“U”的主要成分∞. 这就完成了证明。5最优策略我们现在在假设3.4下，根据3.2中的条件（H2）得出一个最优策略。这也将允许恢复案例“U”∞= + ∞ 由于结构坚固，每当凹面封套不牢固时。5.1（H2）We fix（x，Z）=（x，Z）下最大化序列的构造∈ int（`D），我们考虑O:=Ox，zt假设3.4中定义的开集。我们定义了以下停止时间序列（τn）n≥0：因为U是相对于z变量的凹形，我们引入了fro zen x变量的停止时间：τ=inf{t≥ 0:\'U（X，Zt）=\'U（X，Zt）}，在时间τ，Zτ取{Z，Z}中的值，其中Z=sup{Z≤ Z:\'U（X，Z）=\'U（X，Z）}和Z=inf{Z≥ Z:\'U（X，Z）=\'U（X，Z）}。请注意，zand zanre定义，因为（X，z）和（X，z）都在cl（O）中。

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2022-5-5 06:57:18

然后我们定义：Xt:=X{t<τ}+η（X，Zτ）1{t≥τ} 式中，Ehη（X，Zτ）|Fτ-i=Xand:Pη（X，Zτ）=a（X，Zτ）|（X，Zτ）= p（X，Zτ），pη（X，Zτ）=b（X，Zτ）|（X，Zτ）= 1.- p（X，Zτ），其中：d（v）：={X∈ R:（x，v）∈\'D}，a（u，v）：=inf{α∈ d（v），α≥ u:\'u（α，v）=\'u（α，v）}，b（u，v）：=sup{α∈ d（v），α≤ u:\'u（α，v）=\'u（α，v）}，而p（u，v）定义为：u=p（u，v）a（u，v）+（1- p（u，v））b（u，v）。同样，我们定义了一个停止时间序列（τni）0≤我≤n+1byτn=0和：τni:=infT≥ τni-1： \'U（2（n-i+1）+1（Xnτni-1，Zt）=U2（n-i+1）（Xnτni-1，Zt）, 1.≤ 我≤ n+1，其中鞅Xnis的构造如下。Let:ani（u，v）：=infα ∈ d（v），α≥ u:\'U2（n）-i+1）（α，v）=U2（n-i+1）-1（α，v）,bni（u，v）：=supα ∈ d（v），α≤ u:\'U2（n）-i+1）（α，v）=U2（n-i+1）-1（α，v）.根据假设3.4，（an（u，v），v）和（bn（u，v），v）在cl（O）和U2n中-i+1（·，v）在[ani（u，v），bni（u，v）]上是线性的。然后我们定义pni（u，v）∈ [0,1]by:u=pni（u，v）ani（u，v）+（1）- pni（u，v））bni（u，v），所以：\'U2（n-i+1（u，v）=pni（u，v）`U2（n-i+1）-1（ani（u，v），v）+（1）- pni（u，v））’U2（n-i+1）-1（bni（u，v），v）。通过这些符号，我们定义了过程Xn:Xnt=Xn[0，τn）（t）+n-1Xi=1ηni（Xnτni-1，Zτni）1[τni，τni+1）（t）+ηnn（Xnτnn-1，Zτnn）1[τnn，∞)（t），其中每个r.v.ηni（Xnτni-1，Zτni）与Fτnian无关，且具有分布：Phηni（Xnτni-1，Zτni）=ani（Xnτni-1，Zτni）| Fτni-i=pni（Xnτni）-1，Zτni），Phηni（Xnτni-1，Zτni）=bni（Xnτni-1，Zτni）| Fτni-i=1- pni（Xnτni）-1，Zτni）。这种r.v.{ηni，i的存在性≤ n} nis由假设（H2）保证。备注5.1。不存在pni、ANI和BNIA的可测量性问题，它们只涉及每个步骤的有限个值。引理5.2。在假设3.4下，（Xn，τnn+1）∈ S（x，y）表示所有n≥ 1.证据。[Xn，Z]=0表示X是纯跳跃过程，Z是连续的。我们还看到（Xn，Z）取由假设3给出的紧致cl（O）中的值。4，soτnn+1∈ 过程Xn+R（Z）是非负的。

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2022-5-5 06:57:21

现在我们证明鞅性质。尽管我∈ {1，…，n}：ot∈ （τni，τni+1）=> E[Xnt |英尺-] = Xnt-,o 如果t=τni，则：E[Xnt | Ft-] = E[ηni（Xnτni-1，Zτni）| Ft-]= ani（Xnτni）-1，Zτni）E[1ηni=ani | Ft-] + bni（Xnτni）-1，Zτni）E[1- 1ηni=ani | Ft-]= Xnτni-1=Xnt-.序列（Xn，τnn+1）的关键特性如下。引理5.3。为了所有人≥ 0，我们有：E[\'U（Xnτnn+1，Zτnn+1）]=\'U2n+1（x，Z）。（5.1）证据。我们把证据分为三个步骤。第一步：我们首先表明，尽管我∈ {1，…，n+1}，我们有：-i+1）-1.Xnτni，Zτnii=Eh\'U2（n-i+1）Xnτni-1，Zτnii、（5.2）事实上：呃U2（n-i+1）-1.Xnτni，Zτnii=E[\'U2（n）-i+1）-1.ani（Xnτni）-1，Zτni），ZτniEhηni=ani | Xnτni-1，Zτnii+\'U2（n-i+1）-1.bni（Xnτni）-1，Zτni），ZτniEhηni=bni | Xnτni-1，Zτnii]=E[\'U2（n-i+1）-1.ani（Xnτni）-1，Zτni），Zτnipni（Xnτni）-1，Zτni）+U2（n-i+1）-1.bni（Xnτni）-1，Zτni），Zτni(1 - pni（Xnτni）-1，Zτni）。然后通过定义随机变量ani（Xnτni-1，Zτni）和bni（Xnτni-1，Zτni）和¨U2（n）的线性-i+1）（·，Zτni）onhbni（Xnτni）-1，Zτni），ani（Xnτni-1，Zτni）i，我们有：Eh′U2（n-i+1）-1（Xnτni，Zτni）i=Eh\'U2（n-i+1）ani（Xnτni）-1，Zτni），Zτnipni（Xnτni）-1，Zτni）+U2（n-i+1）bni（Xnτni）-1，Zτni），Zτni(1 - pni（Xnτni）-1，Zτni）i=Eh′U2（n-i+1）（Xnτni-1，Zτni）i.第2步：我们接下来证明：Eh′U2（n-i+1）（Xnτni-1，Zτni）i=Eh′U2（n-i+1）+1（Xnτni-1，Zτni-1） i.（5.3）我们在此强调，流程将其价值包含在一个有限的集合中。

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2022-5-5 06:57:24

那么，σ>0且连续的事实确保了projz上的| |σ|>c>0cl（O）然后如果在所有i之后，τni<∞ E[Xnτni | Xnτni-1] =Xτni-1.那么我们就知道了“U2（n-i+1）+1Xnτni-1，z在Hni上是线性的：Hni:=z>0:U2（n）-i+1）+1（Xnτni-1，z）>U2（n-i+1）（Xnτni-1，z）.我们现在可以通过定义τnithat:Eh′U2（n-i+1）（Xnτni-1，Zτni）i=Eh′U2（n-i+1）+1（Xnτni-1，Zτni）i=Eh′U2（n-i+1）+1（Xnτni-1，Zτni-1） i.第3步：我们现在证明（5.1）：使用（5.2）和（5.3）我们有：\'U2n+1（x，z）=nXi=1Eh\'U2（n-i+1）（Xnτni-1，Zτni）-\'U2（n）-i+1）-1（Xnτni，Zτni）i+nXi=0Eh′U2（n-i+1）-1（Xnτni）-1，Zτni）-\'U2（n）-i+1）-2（Xnτni，Zτni+1）i+Eh\'U（Xnτnn，Zτnn+1）i=Eh\'U（Xnτnn，Zτnn+1）≥ 所以我们有Xnτnn+1=Xnτnn，然后：\'U2n+1（x，z）=Eh\'U（Xnτnn+1，zτnn+1）i。定理3.2在（H2）下的引理4.2的证明≤“U”∞. 然后，由于序列联合国向你靠近∞, 它紧随引理5.3 t hat（Xn，τnn+1）而来，是策略的最大化序列。备注5.4。请注意假设3.4和局部有界条件\'U∞没有必要获得最大化的顺序。实际上，我们有一个定义在区间I上的函数的凹包络 R是由supy给出的≤Y≤yy，y∈我λ（y，y）f（y）+（1）- λ（y，y））f（y）, λ（y，y）=y- yy- y、按照约定λ（y，·）=1和λ（·，y）=0。因此，我们本可以考虑-最佳的效率序列Ani和bnirather，而不是最佳的效率序列Ani和bnirather，后者可能不存在于基因ralcase中，并且证明成立。然而，目前的结构对于下一节的存在结果至关重要。5.2定理3.6 Let（Xnτnn+1，Zτnn+1）n的最优策略证明的存在性≥0是引理5.3中定义的序列。这对随机变量取紧致子集cl（O）中的值。然后我们定义了（Xnτnn+1，Zτnn+1）的μn层。

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2022-5-5 06:57:27

这是一系列概率分布，支持紧子集cl（O）。然后（un）是紧的，根据普罗霍罗夫定理，我们可以找到一个仍然重命名为（un）的序列，它在cl（O）的支持下收敛到某个概率分布u。第一步：我们首先证明rcl（O）\'U（ξ，ζ）du（ξ，ζ）=\'U∞（x，z）。事实上，我们知道“U”在“D”上是连续的，cl（O）是“D”的一个紧集，所以通过引理5.3和弱收敛性质，我们得到：\'U∞（x，z）=limn→∞\'Un（x，z）=limn→∞Zcl（O）`U（ξ，ζ）dun（ξ，ζ）=Zcl（O）`U（ξ，ζ）du（ξ，ζ）。第二步：我们接下来介绍一对（X*, τ*) 这样（X*τ*, Zτ*) ~ u.首先，我们考虑τ*a（σ（B0）≤s≤t））t≥0-停止时间，使Zτ*~ uz，其中uz（A）：=RR×Au（dx，dz）是u的z-边际定律。这种停止时间的存在是因为uzis被紧密支撑，并且∑≥ c>0对cl（O）的影响对于某些c>0，则假定σ>0。此外，我们认为这个停止时间τ*小于uz支持的退出时间。这一结果在[9]第4.3节或门罗[10]中得到了证明。我们现在考虑f:[0，1]→ K一个Borel函数，使得[0，1]上的lesbegue测度的向前推测度为u，且f（x，y）=（f（x，y），f（y））。这个函数的存在对应于条件概率分布的存在。我们表示Fuzuz的累积分布函数。ζ表示独立于B的均匀随机变量，我们隐式假设过滤F足够丰富，足以支持ζ为Fτ*-Fτ的可测性和独立性*-. 特别是ζ与σ（B0）无关≤s≤τ*).候选进程X*然后是：X*t:=f（ζ，fuz（zτ）*))1t≥τ*, T≥ 0.那么我们显然有（X*τ*, Zτ*) ~ u.第三步：仍然需要证明这对（X*, τ*) 在S（x，R（z））中。

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2022-5-5 06:57:31

我们首先证明X*是M中的鞅⊥.首先，自从X*τ*取紧致子集中的值，弱收敛意味着：E[X*τ*] =Zxu（dx，dz）=limn→∞Zxun（dx，dz）=X我们接下来证明X*与σ（B0）无关≤s≤τ*). 通过X的构造*, 我们有这个*τ*|σ（B0）≤s≤τ*)] = E[X*τ*|Zτ*], 所以我们必须证明E[X*τ*|Zτ*] = 十、即对于所有有界连续函数φ：e[（X*τ*- 十） φ（Zτ）*)] =Zcl（O）（x）- 十） φ（z）u（dx，dz）=0。通过φ的连续性，以及μ被紧支撑的事实，我们得到了：Zcl（O）（x）- 十） φ（z）u（dx，dz）=limn→+∞Zcl（O）（x）- 十） φ（z）un（dx，dz）=limn→+∞E[（Xnτnn+1- 十） φ（Zτnn+1）]。接下来我们计算：E（Xnτnn+1）- 十） φZτnn+1] = 嗯n+1Xi=1Xnτni- Xnτni-1.φZτnn+1i=n+1Xi=1EEτniXnτni- Xnτni-1.φZτnn+1=n+1Xi=1EXnτni- Xnτni-1.EτniφZτnn+1.通过Z的连续性，我们得到了EτniφZτnn+1= Eτni-φZτnn+1, 因此：EXnτni- Xnτni-1.EτniφZτnn+1= EXnτni- Xnτni-1.Eτni-φZτnn+1= EEτni-φZτnn+1Eτni-Xnτni- Xnτni-1.= 0，其中我们使用了Eτni-Xnτni= Xnτni-1.证据到此结束。第4步：我们最终证明我们有（X*+R（Zz））·∧τ*≥ 0和{U（X）*τ*∧θ+R（Zzτ）*∧θ))-}θ ∈它是一致可积的。事实上，我们将证明X*·∧τ*+ R（Zz）·∧τ*) > C dt×dP-a.e.对于一些C>0，这确保了前面的两个属性都得到了很好的验证。为此，首先请注意，由于cl（O）是int（\'D）的一个紧子集，我们存在C>0，因此p（X*τ*+ R（Zτ）*) > C） =1，相当于：呃十、*τ*+ R（Zτ）*)Ai>CP[A]，对于所有A Fτ*- 可测量的（5.4）我们现在证明P[x+R（Zτ*) > C] =1。

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kedemingshi

2022-5-5 06:57:34

实际上我们有x+R（Zτ）*) = （十）*+ Z） τ*-.然后假设>0，使得P[A]>0，其中A:={x+R（Zτ*) < C- } .用事实证明*是一个鞅，我们得到：呃十、*τ*+ R（Zτ）*Ai=Ehx+R（Zτ）*)Ai<（C）- P[A]，这与5.4相矛盾。最后，我们回顾一下τ的选择*在步骤2中，tτ*小于uz支持的退出时间，这特别意味着我们有z·∧τ*≥ S（C）- x） dt×dP-a。s6附录：电力效用函数我们的目标是明确计算函数“U”∞根据第3.2节的电力设施功能。命题3.7紧接着我们的显式计算。Y的标度函数Sγ由Sγ（Y）=sgn（1）给出一个a ffine变换- γ） y1-如果γ6=1且S（y）=ln（y），则为γ。然后，相应的反函数是：Rγ（z）：=（sgn（1- γ） z）1-γ-sgn（1）- γ） z∈ R+，对于γ6=1，andR（z）：=ez对于所有z∈ R.过程Z是定义为：Zt:=Ze | 1的鞅-γ|σBt-(1-γ） σt，其中Z=sgn（1- γ） Y1-γ、对于γ6=1，zt:=Z+σBt，其中Z=ln（Y），对于γ=1。为了便于注释，我们将去掉R对γ的依赖性。命题3.7的证明我们分别考虑几种情况。（i） γ<1:R的畴为（0+∞).（i-1）P6=1：我们首先回顾了衍生工具相对于z的价值：z\'U（x，z）=1- γzγ1-γx+z1-γ-Pzz\'U（x，z）=（1）- γ） z2γ- 11-γx+z1-γ-P-1hγx+z1-γ- pz1-γi（i-1a）γ>p：对于任何x，对于足够大的z，zz＠U（x，z）>0。由于此函数的域是（0，∞), 和U（x，z）→ +∞ 当z→ +∞, 我们有U（x，·）=+∞. 所以你∞=\'U=+∞.（i-1b）γ=p:x>0时，zz\'U（x，z）>0，并且与上面相同的参数会导致\'U（x，z）=+∞. 为了x≤ 0, zz\'U（x，z）≤ 然后“U（x，z）=”U（x，z）。然后我们得到了U（x，z）=U（x，z）1x≤0+∞1x>0。为了z∈ (0, ∞), 现在我们重点讨论（-z1-γ, ∞). 自¨U=+∞ 对于足够大的x，我们有U（x，z）=+∞ 域中的f（x，z）。

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2022-5-5 06:57:37

所以你∞=\'U=+∞（i-1c）γ<p:oγ≤ 0导致zz\'U（x，z）≤ 所以U是凹的，w.r.t.x和z，然后是U∞=\'U.oγ>0。为了x≤ 0，我们有zz\'U（x，z）≤ 所以U（x，·）＝U（x，·）。对于x>0，存在z（x），使得对于z<z（x）和zz\'U（x，z）≤ 0代表z≥ z（x）。自从z'U（x，z）→ z时为0→ +∞, 存在∧z（x），使得∧U（x，z）=U（x）+zz\'U（x，~z（x））代表z≤ 对于z>~z（x），z（x）和U（x，z）=U（x，z）。我们看到z（x）是唯一的解：\'U（x，z（x））- U（x）=z（x）z\'U（x，z（x））。i、 e.如果我们表示ξ（x）：=x-1z（x）1-γ、那么ξ（x）是Θ（ξ）=0的唯一解，其中：Θ（ξ）：=（1+ξ）1-P- 11- P-ξ1 -γ(1 + ξ)-p、我们很容易观察到ξ：=ξ（x）与x无关，然后：\'U（x，z）=\'U（x，z）1xξ≤z1-γ+x1-P- 11-p+zxγ-pξγ1-γ(1 + ξ)-Pxξ>z1-γ.注意xx\'U（x，z）≤ 0开(-z1-γ、 z1-γξ). 关于区间（z1）-γξ, +∞), 我们计算：xu（x，z）=x-p+γ- p1- γxγ-P-1zξγ（1+ξ）-Pxx＠U（x，z）=-二甲苯-P-1.1.-(γ - p）（γ）- P- 1） p（1）- γ） zxγ-1ξγ(1 + ξ)-P.为了调查xx\'U，我们介绍这个函数(ξ) := 1 -（p+1- γ）（p- γ） p（1）- γ)ξγξ1-γ(1 + ξ)-p、 ξ∈ [0，ξ]，并搜索方程的解ξ(ξ) = 0.功能随着时间的推移(0) = 1. 为了调查（ξ），我们介绍函数：√（x）：=1-（p+1）- γ）（p- γ） p（1）- γ） x（1+x）-p> 0表示所有x>0。这显然是（0，∞), 我们看到了（ξ）减少到√（x）在nΘ（x）=0的条件下。我们把ethen归结为非线性方程组：（x） =0和Θ（x）=0，（6.1），立即被视为等同于：（1+ξ）-p=1- γ1+p- γ1 +(1 + ξ)-p1-γ[(γ - p） ξ- (1 - γ）我们可以在微积分之后看到（6.1）的解是x=pp-γ.

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2022-5-5 06:57:40

此外，对于固定的p，我们有：G（γ）=0<=> （6.1）有一个唯一的解，其中g（γ）：=（p- γ） p（p+1- γ) - （2p）-γ） p（1）- γ).由于G是一个非递减连续的一对一函数，它允许一个唯一解^γp。此外，我们还知道G在γ上是负的≤ ^γ和γ>γp呈阳性。这一结果告诉我们：对于γ>^γp，G正意味着^（x）否定的。意思是（ξ）是否定的，因此在其第一个变量中不是凹的，并且允许确定一个输入点。 γ≤ ^γp，G负意味着^（x）肯定的。这意味着（ξ）是正的，所以第一个变量是凹的。我们现在关注的是γ>^γp的情况。我们正在寻找一对（x，x）这样的t hat x≤z1-γξ<x和x的最大值为：`U（x，z）-\'U（x，z）x- x=xu（x，z）≤ xu（x，z）。（6.2）这是“Uw”的凹面包络的特征。r、我们观察到这一对自xu（x，z）→ 当x时为0→ +∞ 和xu（x，z）→ +∞ 当x→ -z1-γ.另一个注释是，对于任何λ>0的情况，我们都有U（λx，λ1）-γz）-\'U（λx，λ1-γz）λx-λx=λ-pu（x，z）-\'U（x，z）x-桑德x′U（λxi，λ1-γz）=λ-Px’U（xi，z）代表i∈ {1, 2}. 然后我们看到存在ξ和ξ，对于任何（x，z）∈ int（`D），我们有（x，x）=（z1）-γξ，z1-γξ).最后我们可以计算\'U:\'U（x，z）=\'U（x，z）1xξ的值≤z1-γ+U（x，z）1xξ≥z1-γ+Uz1-γξ，z+十、-z1-γξ!x\'Uz1-γξ，z！！z1-γξ<x≤z1-γξ.通过构造，我们已经知道，对于凹形w.r.t.z，它是凹形的w.r.t.xzz\'U≤ 0分（xξ）1-γ、（xξ）1-γ. 我们还通过繁琐的计算得出zz\'U≤ 0开（xξ）1-γ、（xξ）1-γ, 而且Z-“U”x、（xξ）1-γ≥ x+’Ux、（xξ）1-γ, 和Z-“U”x、（xξ）1-γ≥ z+-Ux、（xξ）1-γ, 哪里Z-（分别为z+）对应于相对于z的左导数（分别是右导数）（i-2）p=1：导数w.r.t。

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2022-5-5 06:57:43

z是：z\'U（x，z）=1-γzγ1-γx+z1-γ-1.zz\'U（x，z）=（1）- γ） z2γ- 11-γx+z1-γ-2hγx+z1-γ- z1-γi.（i-2a）γ≤ 0:在那种情况下zz\'U≤ 0然后“U”∞=\'U.（i-2b）γ>0:If x≤ 0，那么zz\'U（x，z）≤ 0和U（x，z）=U（x，z）。如果x>0，则存在一个反射点，类似于γ<p，p6=1的情况。我们发现z（x）是这样的对于z<z（x）和zz\'U（x，z）≤ 0代表z≥ z（x）。自从z'U（x，z）→ 0Z时→ +∞, 存在∧z（x），使得∧U（x，z）=U（x）+zz\'U（x，~z（x））代表z≤ 对于z>~z（x），z（x）和U（x，z）=U（x，z）。我们看到z（x）是唯一的解：\'\'U（x，z（x））- U（x）=z（x）z\'U（x，z（x））。i、 e.如果我们表示ξ（x）：=x-1z（x）1-γ、那么ξ（x）是：ln（1+ξ）=ξ1的唯一解-γ(1 + ξ)-1.我们很容易观察到ξ：=ξ（x）与x无关，然后：\'U（x，z）=\'U（x，z）1xξ≤z1-γ+ln（x）+zxγ-1ξγ1 - γ(1 + ξ)-1.xξ>z1-γ.“UI”的推导与之前的案例类似。的确，对于x≤z1-γξ, xx\'U（x，z）≤ 0通过定义U.For x≥z1-γξ，我们有：xu（x，z）=十、-1.- zxγ-2ξγ(1 + ξ)-1.,xx＠U（x，z）=-十、-2.1 + (2 - γ） zxγ-1ξγ(1 + ξ)-1..与导出方程组（6.1）的方案完全相同的方案导致^γ的存在∈ （0，1）使得对于γ≤ ^γ，我们有xx\'U≤ 0，对于γ>^γ，存在一个扩散点。还有待解决γ>^γ的情况。我们正在寻找一对（x，x），这样x≤z1-γξ<x，x最大，因此（6.2）为真。

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kedemingshi

2022-5-5 06:57:45

通过相同的参数，存在ξ和ξ，对于任何z>0，我们有（x，x）=z1-γξ，z1-γξ和：\'U（x，z）=\'U（x，z）1xξ≤z1-γ+U（x，z）1xξ≥z1-γ+Uz1-γξ，z+十、-z1-γξ!x\'Uz1-γξ，z！！z1-γξ<x≤z1-γξ.通过直接计算，可以很容易地获得z中的凹度。（ii）γ=1：R的容许域为(-∞, ∞).（ii-1）P6=1：我们有：x\'U（x，z）=ez（x+ez）-Pxx\'U（x，z）=ez（x+ez）-P-1[（x+ez）- 佩兹]。（ii-1a）p<1:If x≥ 0，那么zz\'U（x，z）>0，然后因为z是无界的(Z∈ R、如果x+ez>0≥ 0），并且‘U（x，·）是严格凸的，’U（x，z）→ +∞ 当z→ +∞, 我们有U（x，z）=+∞.对于x<0，我们有zz\'U（x，z）≤ 0代表z≤ 自然对数1.-二甲苯和zz\'U（x，z）>0表示z>1.-二甲苯, 同样的论点也会导致U（x，z）=+∞.（ii-1b）p>1：如果x≤ 0，那么zz\'U（x，z）≤ 0和U（x，z）=U（x，z）。对于x>0，我们有当z<ln时，zz\'U（x，z）>0xp-1.和zz\'U（x，z）≤ 0代表x≥ 自然对数xp-1.. 自U（x，z）→U（x）>-∞ 当z→ -∞, 和U（x，z）→ -1.-pwhen z→ +∞, 我们知道，当z时，凹面包络线总是等于极限→ +∞, i、 e.\'U（x，z）=p-1.所以：\'U（x，z）=\'U（x，z）1x≤0+p- 1x>0。特别是，我们看到“UI”不是连续的。“Uis”的计算比之前的情况更容易。对于固定的z∈ R.我们研究的是(-简单∞).\'U（·，z）是非递减的，在[0，∞ ) 然后继续(-ez，0），带“U”(-ez，z）=-∞. 所以存在x∈ (-ez，0）这样x\'U（x，z）=\'U（0，z）-\'U（x，z）-x、 U（·，z）是线性的(-x、 0）和其他地方的U（x，z）=U（x，z）。xis很容易由x给出=-ezpand然后：\'U（x，z）=\'U（x，z）1x≤-ezp-1.- 二甲苯≥0+U-ezp，z+x+ezpE-pz1.-P-P十、∈(-ezp，0）。部分凹度w.r.t.z是很小的，我们有“U”∞=’U.（ii-2）p=1：我们有：z\'U（x，z）=1+xe-Z-1.zz\'U（x，z）=xe-Z1+xe-Z-2.对于x>0，我们有zz\'U（x，z）>0，然后如上所述，因为\'U（x，z）→ ∞ 当z→ ∞, 我们有U（x，z）=∞.为了x≥ 0，我们有zz\'U（x，z）≤ 然后“U（x，z）=”U（x，z）。

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