应用程序中对称Léevy回报的期权定价

2022-5-5 13:26:41

应用Kais Hamza、Fima c.Klebaner、Zinoviy Landsman+和澳大利亚克莱顿墨尔本莫纳什大学数学科学学院Ying Oon Tan School of Mathematic Sciences，为对称性c L'evy收益进行期权定价。+以色列海法海法大学统计系。本文考虑了当正态性假设与标的分布对称性假设相替代时的期权定价问题。这种市场提供了许多等价的鞅测度（EMM）。然而，我们认为（正如在[23]的讨论中）在同一个家族中保持分布的EMM是一种“自然”选择。我们得到了对称方差Gamma和对称正态逆高斯模型的BlackScholes型期权定价公式。关键词：对称分布，L′evy过程，等价鞅测度，风险中性定价，期权定价，方差伽马过程，正态逆高斯过程。AMS 2000主题分类：60G51、60E99、91B241简介在经典的Black-Scholes模型中，股票价格遵循几何布朗运动，收益过程是带漂移的布朗运动。在某些情况下，经验证据表明，更普遍的对称分布更适合于回报率——例如参见[28]、[29]、[10]、[3]、[18]、[19]。在这项工作中，我们用对称性假设取代了正态性假设，同时保留了所有其他假设，如增量的独立性和平稳性。这导致收益是对称的L’evy过程；这种股票价格被称为对数对称的L’evy过程。我们采用经典方法来定义对称性；随机变量Y具有对称分布，如果对于某些u，位置参数- u）和-（Y）- u）具有相同的分布。反过来，对称过程被定义为具有对称的边缘分布。

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2022-5-5 13:26:44

这很容易被证明可以简化为假设L’evy测度是对称的（大约为零）：ν（A）=ν(-A）对于任何一个博雷尔来说 R.我们对对称性的定义与[9]中的定义不同，在[9]中，如果通过Girsanov定理改变测量值前后的某个定律一致，则所有市场都是对称的。关于L’evy过程期权定价的文献非常丰富，例如，参见[2]、[5]、[4]、[9]、[25]、[33]。特别是，众所周知，除了布朗运动的情况，L’evymarket模型是不完整的（[33]，第77页），EMM的选择也不是唯一的。事实上，实际上有很多EMM可以选择fr-om，任何选择都是武断的，并受到各种其他因素的激励。其中最流行的方法是Protcher变换（[15]、[21]、[4]）、最小熵鞅测度（[13]、[14]、[30]）、最小鞅测度（[12]、[4]）、极小极大和最小距离鞅测度[17]、方差最优鞅测度[34]和均值修正鞅测度（[33]，第6章）。在某些情况下，埃舍尔变换会产生一系列EMM，需要通过优化相对熵或其他一些效用函数进一步优化选择[24]。实际上，很难说市场选择了哪种衡量标准，这个话题需要进一步研究。EMM的选择不仅对获得期权价格很重要，而且对计算套期保值参数也很重要。通过改变num’eraire公式，这些参数给出了不同情况下期权行使的概率。对于具有对称度量边际分布的L’evy过程，在与真实世界分布相同的分布族中存在唯一的EMM。如果过程有布朗成分，那么自然EMM与经典情况下相同，通过改变d裂谷（位置）参数获得。

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2022-5-5 13:26:48

如果该过程没有布朗成分（且u<r–见第4节），则通过改变方差（标度）参数获得自然EMM。在这两种情况下，我们都得到了封闭形式的期权定价公式，其中正态分布被其他对称分布所取代。这让人想起McDonald[27]在1996年提出的建议，不同之处在于，在没有套利的情况下，纸面套利是可能的。在[23]的adiscrete时间设置中，在对称条件下寻找“自然”EMM开始。在本文中，我们将探索扩展到连续时间模型。目前工作的主要贡献可以总结如下股票价格过程的模型是St=SeYt，其中YIT是不对称的L’evy过程作为一种L’evy工艺，YIT由特征三重态（u，c，ν）指定。作为一个随机变量，它由Y的对称族的参数（u，σ，ψ）来描述。我们展示了这两个特征是如何相互关联的我们构造了一个等价测度Q，其中（1）对称L’evy过程仍然是对称L’evy过程；（2） L′evy过程的分布与真实世界的分布保持在相同的对称分布族中；（3）折扣价格过程-这是一个鞅。我们称这种测度的变化为自然等价鞅测度我们推导了自然EMM下的期权定价公式。第2节简要介绍了L’evy过程和我们所需的对称分布。在第三节中，我们给出了对数对称L’evy过程的一个自然等价鞅测度的构造。在第4节中，我们考虑了带有自然EMM的期权定价。

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可人4

2022-5-5 13:26:51

第5节介绍了这种方法在对称方差伽马模型和正态逆高斯模型中的应用。2.准备工作2。1具有对称边际分布的L’evy过程A’evy过程（Yt）t≥0on R是一个独立且平稳增长的过程。它定义在概率空间上(Ohm, F、 P）具有完整的过滤功能{Ft}t≥0去适应它。Y为右连续体，左限采样路径，Y为- Ysis独立于Fsand，其分布与Yt相同-稳定部队0≤ s<t。L’evy过程完全由其初始值Y决定，此处假设为零，以及增量在一个单位时间间隔内的分布Y。YIs的分布对任何t都是完全可分的，并且其特征函数满足（eiuYt）=E艾伊t、 u∈ R.（1）由L’evy Khintchine代表，E艾伊= e∧（u），（2）的特征指数∧（u）=iuu-cu+ZR艾伊- 1.- iuy1{|y|≤1}ν（dy），（3）式中u∈ R、而ν是满足ν（{0}）=0和rr（1）的L′evy测度∧y） ν（dy）<∞. 三重态（u，c，ν）被称为Y的特征跃迁。我们称之为L’evy过程（Yt）t≥0对称如果，对于每个t≥ 0，随机变量Ytis对称（关于位置参数ut）：（Yt- ut）和（ut）-Yt）具有相同的分布。通过（2）很容易看出，这相当于对称的随机变量Yb（约u），通过（3）相当于对称的L’evy测度ν（约0）：对于任何Borel集 R、 ν(-A） =ν（A），其中-A={x∈ R:-十、∈ A} 。在这种情况下，特征指数∧可以写为（例如[32]，p.263）∧（u）=iuu-铜-2Z∞(1 - cos（uy））ν（dy）。（4）在下文中，我们假设Y具有有限的均值和方差（实际上是有限的指数矩）。很容易看出，在这种情况下，Y的平均值正好是uE[Y]=u，（5），方差σ由（例如[6]，命题3.13）σ=Var（Y）=c+ZRyν（dy）给出。

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2022-5-5 13:27:00

（6）另一方面，随机变量yh是一个对称分布，具有位置u和标度σ。因此，其特征函数的形式为φY（u）=eiuμψσu, （7）其中函数ψ（u）：[0，∞) → R被称为对称族的特征生成元（例如[11]，第32页）。ψ在标度上是唯一的，如果选择ψ′（0）=-1，μ和σ分别为y的均值和方差的产量。我们用S（u，σ，ψ）表示特征函数形式为（7）的分布。Fang等人[11]详细介绍了对称分布（也称为椭圆分布）的性质。2.2对称L’evy过程和边缘以下命题与对称L’evy过程（Yt）的特征三元组有关≥0到Y对称分布的参数。命题2.1。让（Yt）t≥0可以是具有特征三重态（u，c，ν）的对称L′evy过程。然后Yhas分布S（u，σ，ψ），其中σ由（6）给出，ψ由ψ（v）=exp-cvσ- 2Z∞1.- cos（y）√2v/σ）ν（dy）, （8） v=σu。此外，Ythas分布S（ut，σt，ψt）与ψt（v）=ψ（v/t）t、（9）证据。证明是对特征函数的直接检验。ψ的形式埃伊特=E艾伊t=~nY（u）t=eiuutψσt2tut、 2.3 L’evy过程的等效测量变更一般而言，等效测量下的L’evy过程无需保留，因为增量的独立性可能不会保留。然而，有一类等价的衡量标准，它确实如此。定理2.2。设y是R上的L′evy过程，在P.Letη下具有特征三重态（u，c，ν）∈ R和函数φ可以是任意的eφ（y）/2- 1.ν（dy）<∞.然后1。利米利姆酒店↓0Xs≤t|Ys |>φ(Y）- tZ | y |>eφ（y）- 1.ν（dy）存在（在任何有界区间上一致地存在于t中）。

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nandehutu2022

2022-5-5 13:27:05

过程dt=ηYct-ηct- ηut+lim↓0Xs≤t|Ys |>φ(Y）- tZ | y |>eφ（y）- 1.ν（dy）,其中YCt是Yt的连续部分，定义了一个概率度量qe，与P×dqdp等价Ft=eDt。(10)3. 该过程仍然是Q下的L’evy过程，具有特征性的三重态（～u，c，～ν），其中～u=u+Z-1y（~ν）- ν）（dy）+cη和∧ν（dy）=eφ（y）ν（dy）。相反，任何与P相当的概率度量，在该概率度量下，Yt仍然是一个L’evy过程，其形式必须为（10），且特征三重态必须为上述规定的（＠u，c，＠ν）。证据这个定理是引理33.6和定理33的直接结果。佐藤[32]的1和33.2。报表1。和2。从Lemma33开始。6.YTQ下过程的L’evy属性是第33.2项的结果。其特征三联体的形式由定理33给出。1.报表4。由定理33.1和33.2给出。接下来我们考虑对称L’evy过程Yt的情况。为了在等价测度Q下保持对称，我们证明了上述定理中给出的函数φ是偶数是必要的和有效的。我们还描述了对称族的参数在测度变化下是如何变化的。定理2.3。设y是R上的L'evy过程，在P下具有特征三重态（u，c，ν），Q是定理2.2中描述的任何“L'evy保持”等价的度量变化。那么y是对称的，或者等价地，l′evy测度ν是对称的，当且仅当φ(-y） =φ（y）ν-a.e.，在这种情况下，Yis的Q分布（△u，△σ，△ψ），其中△u=u+cη，（11）△σ=c+ZRyeφ（y）ν（dy），（12）△ψ（v）=exp-cvσ- 2Z∞1.- cos（y）√2v/√σ）eφ（y）ν（dy）. （13）证据。Sin ceν（dy）=eφ（y）ν（dy），φ的均匀性明显等同于ν的对称性。此外，如果∧ν和ν都是对称的，那么-1y（~ν）- ν）（dy）=0。因此，~u=u+cη。

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nandehutu2022

2022-5-5 13:27:08

其他两个参数可从（6）和（8）中获得。3测量的自然变化考虑到对称L’evy过程，具有P-特征三重态（u，c，ν），以及Y，S（u，σ，ψ）的P-分布。我们称Ytif Ytis L′evy在Q下的等价测度Q为自然，并且Ybelongs的Q分布为一个具有相同特征发生器的对称分布族，即ψ=ψ。当寻找度量的自然变化时，一个有趣的事实出现了；每一个L’evy过程都有一个唯一的自然等价度量，直到一个常数。此外，根据是否存在布朗成分，度量值的具体变化呈现两分形式。接下来的两个定理详述了这些事实。我们从唯一的结果开始，然后展示存在。定理3.1。设Yty是一个对称的L′evy过程，P-特征三重态（u，c，ν）和y的P分布（u，σ，ψ）。假设Q是度量的自然变化。（1）如果c6=0（存在布朗组分），则在Q下，特征三重态变为（μu，c，ν），其中对于某些η，μu=u+cη。在这种情况下，c和ν保持不变。（2）如果c=0（不存在布朗成分），那么在Q下，特征三重态变为（u，0，ν），其中（A）=R{A}（βy）ν（dy），对于某些β>0。在这种情况下，u和c保持不变。证据由于我们只考虑保持L′evyproperty的等价测度Q，我们用（＠u，c，＠ν）表示Q下的特征三重态。

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2022-5-5 13:27:11

通过定理2.2我们知道，对于某些φ，εν（dy）=eφ（y）ν（dy）（14）。定理的证明使用定理2.2和一个分析引理。使用表达式（8）和（13），我们可以看到，Q是自然的（即ψ=～ψ），只要对于所有v>0，（14）中的函数φ是偶数且满足以下积分方程Z∞H1.-cos（y）√2v/√σ）eφ（y）-1.-cos（y）√2v/σ）iν（dy）+cv~σ-σ= 0.（15）在引理7.2中，我们展示了LIMV→ ∞Z∞vh1.- cos（y）√2v/√σ）eφ（y）-1.- cos（y）√2v/σ）iν（dy）=0。（16）因此，通过除以v并在（15）中取极限，我们得到了Cσ-~σ= 0，（17）减少（15）toZ∞H1.- cos（y）√2v/√σ）eφ（y）-1.- cos（y）√2v/σ）iν（dy）=0。（18）（1）首先考虑c 6=0的情况。从（17）中可以看出，σ=～σ，安德烈用ω参数化（18）=√2vσ=√2vσ，我们知道了∞1.- cos（ωy）~nν（dy）=Z∞1.- cos（ωy）ν（dy），ω > 0.现在，至少从直觉上可以清楚地看出，这意味着。然而，这并不简单，需要详细的证明。由于这是一个技术问题，它在引理7.1的附录中给出。请注意，在这种情况下，由于∑=σ，Z∞y~nν（dy）=Z∞yν（dy）。（2）现在考虑c=0的情况。很明显地，μ=u+cη=u。同样，β=△σ/σ，λ=√2v/σ和νβ（dy）=ν（βdy），（18）变为∞1.- cos（λy）~nν（dy）=Z∞1.- cos（λy）νβ（dy），λ > 0.同样，利用引理7.1，我们得到了定理3.2。设Yt是一个具有P-特征三重态（u，c，ν）和y的P-分布（u，σ，ψ）的对称c L′evy过程。（1）如果c6=0（存在布朗成分），则对于任何η，测量值Q都会发生自然变化，使得特征三重态变为（～u，c，ν），其中～u=u+cη。在这种情况下，Yis的Q-分布是S（∧u，σ，ψ）。（2）如果c=0（不存在布朗成分），那么对于任何β>0，测量值Q都会发生自然变化，使得特征三重态变成（u，0，ν），其中ν（a）=R{a}（βy）ν（dy）。

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2022-5-5 13:27:15

在这种情况下，Yis的Q分布（u，＠σ，ψ），其中＠σ=βσ。证据定理2.2和定理2.3，以及定理3.1的证明，都立即给出了证明。也很容易检查YI的分布是否如所声称的那样。4具有自然EMM4的期权定价。1自然等价鞅测度let now St=SeYtbe是股票价格的模型，其中Ytis是一个对称过程。根据数学金融学的基本定理，用EMM Q对股票期权定价，在EMM Q下，被计算的股票价格过程e-rtSt，0<t≤ T是鞅。对于Q是一个自然等价测度的要求，我们现在加上它也是鞅测度的条件。定理4.1。（1）假设Q是对称L′evy过程的自然EMM，那么Y的Q分布参数之间必须保持以下关系，u+lnψ- ~σ/2= r、（19）（2）如果存在B rownian组分（c 6=0），且Q是天然EMM，则u=r- lnψ-σ/2. （20）此外，这种Q是存在的，并且是唯一的。（3）如果没有B罗年分量（c=0），Q是自然EMM，那么∑是方程lnψ的根- ~σ/2= R- u. （21）此外，当且仅当u<r且当其存在时，这种Q是唯一的。证据在Q到e下施加鞅性质-RTS符合以下要求：艾特-s= 呃(t)-s）。另一方面，由于在自然的EMM分布S（～u，～σ，ψ）下嗯= e|ψ- ~σ/2.因此，鞅性质成立的充要条件是ife|ψ- ~σ/2= 呃，相当于（19）。根据测度的自然变化定理3.1，如果c6=0，只有u可以改变，因此我们得到（20）。如果c=0，只有σ可以改变，因此我们得到（21）。当c=0时，u<r紧接着J ensen\'sinequality:EQ的要求嗯≥ eu。备注4.2（离散时间）。

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2022-5-5 13:27:19

在离散时间内，自然EMM总是存在的，这与没有布朗成分的L′evy过程的连续时间设置相矛盾。此外，参数满足（19）–有关详细信息，请参见[23]。在离散时间内，自然EMM始终存在（且是唯一的），并通过改变位置u而获得，同时保持σ。4.2具有自然EMM的期权定价根据无套利定价方法，期权时间0的值由支付函数的期望给出，即C=e-rTEQ装货单- K+（22）式中，T是达到饱和的时间，K是执行价格，Q是EMM。上述公式（22）是无套利的，即使Q不是唯一的（[7]，[35]p.398）。在本节中，我们使用Num’eraire的变化（见[16]或[22]第11.5节）编写了期权定价公式（22），该公式给出了sc=SQST>K- E-rTKQST>K, （23）式中Q，由dqdq=e定义-rTSTS，（24）是过程ert/STI为鞅的度量。4.2.1对称ric L’evy返回布朗分量，让Yt成为具有P特征三重态（u，c，ν）的s y mmetric L’evy过程，且c 6=0。设S（u，σ，ψ）是yan的P分布，Qbe是自然EMM（对于Yt）。然后，在Q下，Yt仍然是一个对称的过程，具有特征的三重态（~u，c，ν），并且Ybecomes S（~u，σ，ψ）的分布，其中~u=r- lnψ- σ/2.现在，很容易看出QI也是一种自然的EMM。事实上，自从-具有P-特征三胞胎的Ytisa L′evy过程(-u，c，ν）和since的分布-易斯S(-u，σ，ψ），选择QI，使|u=r+lnψ-σ. （25）该选择是唯一的，因为位置参数（μ）唯一地确定η，而η又规定了等效的测量值。由于|u的唯一性，QI是唯一的。在Q下，Ytis是一个对称的L′evy过程，带有来自家族的边缘（△ut，σt，ψt）。提案4.3。

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nandehutu2022

2022-5-5 13:27:22

用FTP表示标准化变量（YT）的分布函数- uT）/（σ√T）：英尺（y）=PYT≤ σ√TY+uT.ThenFT（y）=QYT≤ σ√Ty+~uT= QYT≤ σ√Ty+~uT,期权定价公式（23）变为C=SFTlnSK+r+lnψ(-σ/2)Tσ√T-E-rTKFTlnSK+R- lnψ(-σ/2)Tσ√T（26）证据。第一种说法源自以下事实：（YT）的分布-E[T]）/（σ√T）对于所有三个测量值P、Q和Q都是相同的；在所有三种概率下，其特征函数如下所示：ψu/（2T）T.此外，由于YTis关于uT对称，FTis关于0和1对称- 英尺（a）=英尺(-a）。（26）现在通过简单的算术进行。4.2.2 Symmet ric L’evy返回时不含布朗成分现在考虑一下YIT是具有P-特征三重态（u，0，ν）的对称L’evy过程的情况。进一步假设利率r大于位置参数u。如前所述，让S（u，σ，ψ）为Yan的P分布，Q为自然EMM（对于Yt）。那么Ybecomes（u，σ，ψ）的Q分布，这里的σ是方程（21）的解。与带有布朗成分的对称L’evy回报不同，theEMM Qdoes没有定义度量的自然变化。然而，在这里考虑的特定情况下（方差伽马和正态逆高斯），我们能够识别（YT）的分布-uT）/（λσ√T）在Q和（YT）下- uT）/（λσ√T）在Q下，用fta和fta表示各自的累积分布函数，我们可以写出ec=SQ（ST>K）- E-rTKQ（ST>K）（27）=S“1- 英尺-自然对数SK+ uTσ√T#- E-rTKFTlnSK+ uTσ√T5变异伽马模型此处，库存p大米被建模为St=SeYt，其中YIT是一个变异伽马（VG）过程。VG过程的边缘分布最初在[25]中以涉及第二类修正贝塞尔函数和退化超几何函数的特殊函数的形式给出。

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2022-5-5 13:27:26

在对称度量过程的特殊情况下，边缘变成了贝塞尔分布。这一观察得出了优雅的公式。5.1对称方差伽马过程用贝塞尔（u，σ，λ）表示贝塞尔分布的均值u，方差σ和形状参数λ。对称贝塞尔分布的平均值u=0，特征函数（[20]，p.51）的形式为（u）=1+uσ2λλ.由（[20]，p.50）f（x）=r2λπσ给出了对称贝塞尔分布的密度函数rλx2σλ-Γ（λ）Kλ-rλx2σ, （28）其中Kw（）是第二个kin d的修正贝塞尔函数。我们一直认为对称贝塞尔分布移位了u，但我们将删除“移位”一词。对称贝塞尔分布贝塞尔（u，σ，λ）属于对称分布S（u，σ，ψ）的家族，其特征发生器ψ（v）=1+vλλ. （29）我们注意到对称贝塞尔分布的峰度为3+λ，因此，形状参数λ通过λ=γ与过剩峰度相关。（因为ran dom变量Y的多余峰度是γ=E[（Y-u)]σ- 3).对称VG-Ythas特征函数埃伊特= eiuut1+uσκtκ=eiuut1+uσt2λtλt，（30），其中我们使用了λ=κ。通过考察特征函数，我们得到了命题5.1。对称方差Gamma过程的边缘是一个对称贝塞尔分布，平均值为ut，方差为σt，形状参数为λt，即Yt~ 贝塞尔（ut，σt，λt），它属于对称分布S（ut，σt，ψt）族，其中特征g发生器由ψt（v）给出=ψ（v/t）t=1+vλtλt.（31）5.2对称VG5的期权定价。2.1连续时间我们确定了Yt在EMMs Q和Q下的分布。根据定理3.1和4.1，如果μ<r，则Ys对称贝塞尔的Q分布（u，＠σ，ψ），其中通过使用（29）我们得到（21）＠σ=2λ（1）- E-（r）-u)/λ).

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2022-5-5 13:27:30

（32）在Q项下，YTi的分布如下所示。提议5.2。用fqyt表示y的Q密度~ 贝塞尔（ut，σt，λt）。然后用ey计算YTq下的YT密度-rtfQYt（y）是非对称贝塞尔分布的密度函数。证据从（24）中定义的数量变化可以看出，YTQI的密度-rtfQYt（y）=ey-rtr2λπσrλ（y）- ut）2σλt-Γ（λt）Kλt-rλ（y）- ut）2σ. （33）使用对称贝塞尔分布的特征产生器（31），其如下所示：-rt=ey-ut1.-~σ2λλt.（34）现在，应用（34）并让y*= Y- ut，第二行（33）中的表达变为*1.-~σ2λλtr2λπ∧σrλ（y）*)2~σλt-Γ（λt）Kλt-r2λ（y）*)~σ.其次，设m=λt-, a=-q~σ2λ和b=q~σ2λ，我们得到-rtfYt（y）=ey*1.- A.m+b√π|Y*|2bmΓ（m+）公里|Y*|B=(1 - a） m+| y*|M√π2mbm+1Γ（m+）ey*公里Y*B. （35）通过仔细观察，我们立即认识到，表（35）中的密度是不对称贝塞尔函数分布的密度（[20]，p.50），其形式为Fz（z）=1- a | m+| z | m√π2mbm+1Γm+E-azbKmzb. （36）为了完整性，我们给出了非对称贝塞尔分布的均值、方差、偏度和峰度的显式表达式（[20]，第51页）。平均值=（2m+1）ba（a）- 1)-1（37）方差=（2m+1）b（a+1）（a）- 1)-2（38）偏度=2a（a+3）（2m+1）-1/2（a+1）-3/2（39）峰度=3+6（a+6a+1）（2m+1）-1（a+1）-2（40）式中a=-q~σ2λ，b=-a、 m=λt-.让我来*t=Yt- ut，由（35）可知*这是一种不对称贝塞尔分布，表示为贝塞尔（ut，＠σt，λt），其中平均值ut和方差＠σt分别由（37）和（38）给出。特别是，E[Y]*] = u= 2λe（r）-u）/λ- 1., （41）V ar（Y）*) = ~σ= 2λe（r）-u)/λ- 1.2e（r）-u)/λ- 1., （42）我们在其中工作过（32）。

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2022-5-5 13:27:33

因此在Q下，Yt=Y*t+ut~贝塞尔（ut+ut，*σt，λt）。最后，用Bλt（y）表示标准化对称贝塞尔随机变量t的累积分布函数-utσ√T~ q下的贝塞尔（0，1，λt），以及标准化对称贝塞尔随机变量的累积分布函数-ut-utσ√T~ Q.命题5.3下的贝塞尔（0，1，λt）。让Yt~ 贝塞尔（ut，σt，λt）和u<r。然后，使用自然EMM的看涨期权的无风险价格由C=S“1给出- BλT-自然对数SK+ uT+uT∑√T#- E-rTKBλTlnSK+ uTσ√T（43）式中u=2λe（r）-u）/λ- 1., ~σ= 2λe（r）-u）/λ- 1.2e（r）-u）/λ- 1.和∧σ=2λ（1- E-（r）-u)/λ).备注5.4。[26]和[25]给出了一般VG过程的期权定价公式（等式25）。[26]将公式表示为初等函数的二重积分，并通过数值积分获得价格，[25]提供了涉及第二类修正贝塞尔函数和退化超几何函数的特殊函数的闭式公式。对于对称情况，f公式要简单得多。备注5.5。自然EMM方法在连续时间内的缺点是u<r。这可以通过使用离散时间来克服，其中自然EMM在u时也存在≥ r、并在下一节中给出。5.2.2离散TimeLet now SN=SeYNbe股票价格模型，其中YN=PNn=1Ynisa是离散时间的对称VG过程。n=1，N是i.i.d.对称贝塞尔分布贝塞尔（u，σ，λ），属于sy矩阵族s（u，σ，ψ），其中ψ在（29）中给出。可以选择仅移动位置参数的Q和Qas自然EMM。因此，Q分布Ynis-Bessel（∧u，σ，λ）与∧u=r- lnψ-σ. 的Q分布Ynis-Bessel（∧u，σ，λ），其中∧u=r+lnψ-σ. 这很容易看出，另请参见[23]。

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可人4

2022-5-5 13:27:36

用bλN（y）表示标准化对称容器的累积分布函数-uNσ√N.提案5.6。允许yn遵循对称贝塞尔分布贝塞尔（u，σ，λ），则N期到期的看涨期权的无套利价格由c=SBλNln给出SK+R- λln（1）-σ2λ)Nσ√N- E-rNKBλNlnSK+r+λln（1）-σ2λ)Nσ√N（44）5.2.3数值比较为了进行比较，我们近似计算标准化贝塞尔随机变量（YT）的分布-uT）/σ√T（在离散情况下，时间T被N替换）为标准法线，换句话说，BλTbyΦ。我们还用标准正态近似连续时间情况下出现的标准化非对称贝塞尔随机变量，因为它的分布只是略微负偏，因此可以忽略不计。在我们的近似中，我们假设是这种情况（偏度很小）。此外，回想一下对称贝塞尔分布的形状参数λ和过剩峰度γ由λ=γ关联。因此，对于连续时间和离散时间的每一种情况，我们得到了一个易于使用的Black-Scholes期权定价公式，该公式给出了解释峰度的修正。在连续时间情况下，对数对称VG模型（VG-C）的广义或修正Black-Scholes公式由C给出≈ SΦlnSK+ uT+uT∑√T- E-rTKΦlnSK+ uTσ√T（45）式中u=γe（r）-u)γ/3- 1., ~σ=γe（r）-u)γ/3- 1.2e（r）-u)γ/3- 1.和∧σ=γ（1-E-（r）-u)γ/3).

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2022-5-5 13:27:40

注意，Black-Scholes公式是广义版本（VG-C）（45）的特例，当γ→ 0，原因如下：u=γe（r）-u)γ/3- 1.→ 2（r）- u),~σ=γe（r）-u)γ/3- 1.2e（r）-u)γ/3- 1.→ 2（r）- u),~σ=γ1.- E-（r）-u)γ/3→ 2（r）- u).如果2（r- u）=σ，这是Black-Scholes模型中的一个常数（回想一下，在风险中性度量Q下，平均u=r-σ，波动率σ是一个常数），然后通过使用这些结果和一些简单的公式，很容易看出，广义公式（VG-C）（45）是精确的Black-Scholes公式。在离散时间情况下，对数对称CVG模型（VG-D）的修正Black-Scholes公式由C给出≈ SΦ自然对数SK+R-γln（1）-γσ)Nσ√N- E-rNKΦ自然对数SK+r+γln（1）-γσ)Nσ√N. （46）可以看出，Black-Scholes公式是当γ→ 0由于γln1.-γσ→ -σ.经典的Black-Scholes公式（BS）被认为是稳健的，因为对于较小的超额峰度γ值，它在连续时间和离散时间情况下都与修正的Black-Scholes公式一致。然而，即使对于γ的中等值，修改后的Black-Scholes公式（VG-C和VG-D）和BS之间的区别也很明显（见图1），VG-C和BS公式之间的差异大于VG-D和BS之间的差异。具体价格和百分比差异如表1所示。到期时间（周）2 12 22 32 42 52BS公式0.160 0.434 0.622 0.782 0.927 1.062VG-D公式0.1620.439 0.628 0.789 0.935 1.071百分比差异1.13 1.01 0.94 0.88 0.84 0.80VG-C公式0.192 0.511 0.725 0.904 1.065 1.213百分比差异19.85 17.67 16.46 15.55 14.81.17表1：VG-C获得的期权价格和百分比差异，对数贝塞尔分布周收益率的VG和BS公式，S=K=10，r=0.06，σ=0.19，u=0.03，γ=4备注5.7。

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能者818

2022-5-5 13:27:43

我们建议对任何具有正超额峰度的分布使用修正公式。图1：对数贝塞尔分布周收益率的VG-C、VGD和BS公式得出的期权价格和百分比差异，S=K=10，r=0.06，σ=0.19，u=0.03，γ=46正态逆高斯模型6。1 NIG过程和分布在本节中，模型为St=SeYt，其中YIT为正态逆高斯（NIG）过程。NIG d分布首先由Barndor ff-Nielsen[1]引入，作为参数λ=-. 用NIG（α，β，δ，u）表示NIG分布，其中u是位置参数，δ是尺度参数，α是sh参数，β是偏度。NIG分布的密度由[33]p.60或[31]fY（y）=απeδ给出√α-β+β（y）-u）Kαδq1+（y-uδ)q1+（y）-μδ），（47）其中Kis是第三种修正贝塞尔函数，y，u∈ R、 δ≥ 0和0≤ |β| ≤ α. NIG d分布的特征函数为φ（u）=eiuueδ√α-βeδ√α-（β+iu），（48）以及NIG分布的平均值、方差、偏度和峰度均为平均值=u+βδpα- β（49）方差=Δαpα- β. （50）偏度=3βαδpα- β（51）峰度=31+α+4βδαpα- β. （52）对称的NIG L’evy过程具有对称的NIG边缘。当偏度参数β=0时，Ig分布是对称的。在这种情况下，对称NIG的密度（47）为fy（y）=απeαδKαδq1+（y-uδ)q1+（y）-uδ). （53）对称NIG的特征函数（48）为φ（u）=eiuueαδ1.-√1+（uα）. （54）分别从等式（49）、（50）和（52）得出，u是平均值，方差是δα，峰度是3+αδ。

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2022-5-5 13:27:47

我们将用SN-IG（α，0，δ，u）表示对称NIG的分布。通过检查特征函数，我们可以看到对称正态逆高斯分布的特征发生器由ψ（v）=eζ给出1.-q1+2vζ, （55）式中ζ=αδ.6.2对称NIG模型的期权定价6。2.1连续时间我们确定Yt在EMM的Q和Q下的分布。如果μ<r，则存在自然的EMM和Ys对称的NIG分布NIG（α，0，＠δ，μ），其中＠δα=＠σ。其中，通过使用（55），我们从（21）~σ=2（r）得到- u) -R- uασ, . （56）因此，Yt~ Q下的SN-IG（α，0，δt，ut），平均值为ut，方差为σt=△δt/α。在Q下，Ytis的分布由以下定理确定。提议6.1。yTq下的密度，由ey给出-rtfQYt（y）是非对称NIG分布Yt的密度函数~ NIG（α，1，~δt，ut）。证据使用（21）和（24）ey-rtfQYt（y）=ey-ut-α|Δt+|Δt√α-1απeα∧δtKαδtq1+Y-utδtq1+Y-utδt=απey-ut+~δt√α-1Kαδtq1+Y-utδtq1+Y-utδt. （57）可以验证（57）是非对称分布（见（47））的密度函数，参数为α（不变）、β=1、u=ut和δ=△δt。均值和方差分别由（49）和（50）给出。E[Y]=u=u+rα- 1~σ，（58）V ar（Y）=σ=rαα- 1.∑（59），其中∑由（56）给出。用FSN-IG（y）表示标准化对称NIG随机变量的计算分布函数-utσ√T~ Q下的SNIG（α，0，α，0），并用FNIG（y）表示标准化非对称NIG随机变量的累积分布函数-utσ√T~ NIG（α，1，α，0）在q下，我们得到了对称NIG过程下期权定价的显式公式，可以用标准化（对称和非对称）NIG的累积分布函数来表示。提议6.2。让Yt~ SNIG（α，0，δt，ut）和u<r。

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2022-5-5 13:27:50

然后，使用自然EMM的看涨期权的无风险价格由C=S“1给出- FNIG-自然对数SK+ uTσ√T#- E-rTKFSN-IGlnSK+ uTσ√T（60）式中u=u+qα-1~σ, ~σ=qα-1.√σ和√σ=2（r- u) -R-uασ.离散时间模型允许自然EMM，即使在≥ r、备注5.5.6.2.2离散时间离散时间内的股价过程SN=SeYNwhere YN=PNn=1伊内斯Yn，n=1。N是i.i.d.SNIG（α，0，δ，u），它属于对称族S（u，σ，ψ），其中σ=Δα=Δαδ，ψ是（55）。回想一下，对于固定的σ，我们可以通过只改变位置参数u来获得两个自然EMM的Q和Q，从而使Yn保持对称的L’evy过程。的Q分布Ynis-SNIG（α，0，δ，μ），其中μ=r- lnψ-σ, 以及Ynis SN-IG（α，0，δ，μ），其中μ=r+lnψ-σ. 通过（55）和ζ=αδ=ασ，我们得到lnψ-σ= ζ1 -s1-σζ!= ασ- ασpα- 1.（61）因此，对于离散时间内对称NIG过程的精确期权定价公式，我们得到以下结果。提议6.3。允许Yn遵循对称NIG分布SN-IG（α，0，δ，u），则N个到期期的看涨期权的无套利价格由c=SFSN-IGln给出SK+r+ασ- ασ√α- 1.Nσ√N- E-rNKFSN-IGlnSK+R- ασ+ ασ√α- 1.Nσ√N（62）6.3数值比较为了进行比较，我们用标准正态近似标准对称NIG d分布，换句话说，FSN IGbyΦ。我们还通过标准正态分布，即FNIGbyΦ，来近似连续时间情况下出现的标准化非对称NIG分布，因为它只有轻微的正偏态。在此之前，我们假设偏斜度可以忽略不计。此外，回想一下对称NIG分布的形状参数ζ=αδ和超额峰度γ由γ=ζ关联。

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2022-5-5 13:27:53

因此，对于连续时间和离散时间的每一种情况，我们得到了一个易于使用的Black-Scholes型期权定价公式，该公式给出了解释准入风险的修正。在连续时间情况下，对数对称NIG模型（NIG-C）的广义或修正Black-Scholes公式由C给出≈ SΦlnSK+ uTσ√T- E-rTKΦlnSK+ uTσ√T（63）式中u=u+q3-γσ~σ, ~σ=第三季度-γσ√σ和√σ=2（r-u)-γ（r）-u），其中我们应用了αα- 1=ασασ- σ=αδαδ - σ=3 - γσ.注意，当γ→ 0，我们有∑→ 2（r）- u）和3-γσ→ 1.因此，Black-Scholes公式是广义版本（NIG-C）（63）的特例，当γ→ 0，因为u=u+r3- γσ~σ→ u+2（r）- u),~σ=r3- γσ~σ→ 2（r）- u).让2（r- u）=σ，这是Black-Scholes模型中的常数（回想一下，在风险中性度量Q下，平均u=r-σ，波动率σ是常数），然后通过使用这些结果和一些简单的公式，不难看出广义公式（NIG-C）（63）是确切的Black-Scholes公式。在离散时间情况下，对数对称模型（NIG-D）的修正Black-Scholes公式由C给出≈ SΦ自然对数SK+r+γ1.-q1-γσNσ√N- E-rNKΦ自然对数SK+R-γ1.-q1-γσNσ√N. （64）可以看出，Black-Scholes公式是当γ→ 0到γ1-r1-γσ!→σ.下面给出了一个根据到期时间t绘制的期权价格公式示例，该公式使用了与对数对称VG模型中类似的一组参数值（见图2）。同样，很明显，即使γ的中等值（见图1），修改后的Black-Scholes公式（NIG-C和NIG-D）和BS之间的区别也很明显。与之前的模型一样，NIG-C和BS公式之间的一致性大于NIG-d和BS之间的不一致性。

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2022-5-5 13:27:57

具体价格和百分比差异如表2所示。图2：通过NIG-C、NIGD和BS公式获得的期权价格和百分比差异，用于对数NIG分配每周回报，S=K=10，r=0.06，σ=0.19，u=0.03，γ=4到期时间（周）2 12 22 32 42 52BS公式0.160 0.434 0.622 0.782 0.927 1.062NIG-D公式0.162 0.439 0.628 0.789 0.935 1.071百分比差异1.14 1.01 0.94 0.89 0.85 0.81NIG-C公式0.195 0.519 0.735 0.917 1.079 1.229百分比差异21.91 19.18 17.16.66表2：NIG-C获得的期权价格和百分比差异，对数NIG分布的NIGD和BS公式每周r eturns，S=K=10，r=0.06，σ=0.19，u=0.03，γ=47附录引理7.1。设ν和ν是（0）上的两个度量+∞) 有限次矩：κ=Z∞yν（dy）<+∞ 和√κ=Z∞yüν（dy）<+∞.设β=pκ/κ。伊夫兹∞1.- cos（ωy）~nν（dy）=Z∞1.- cos（βωy）ν（dy），ω>0，（65）然后ν=νβ，其中，νβ由g（y）νβ（dy）=Rg（βy）ν（dy）定义。证据为了证明这两个测度是相同的，我们证明了某些相关概率分布的梅林变换是相同的。首先，我们计算（65）：Z两边的拉普拉斯变换∞E-λωZ∞1.- cos（βωy）ν（dy）dω=Z∞Z∞E-λω1.- cos（βωy）dων（dy）=Z∞βyλ（λ+βy）ν（dy），同样地，对于ν。这里我们使用了identityZ∞E-λω1.- cos（ωy）dω=yλ（λ+y）。（65）变成∞yλ+y/ν（dy）=Z∞βyλ+βyν（dy），λ > 0. （66）现在考虑支持（0+∞), ~n（dy）=~κy~ν（dy）和n（dy）=~k yνβ（dy）。然后，对于所有λ>0，E，正随机变量XandeX，其各自的分布n和n满足λ+X= Eλ+eX.换句话说，XandeXare的Mellin变换是相等的，这反过来又意味着X和X的定律是相同的，~n=n，因此，~ν=νβ。引理7.2。limv→ ∞Z∞vh1.- cos（y）√2v/√σ）eφ（y）-1.- cos（y）√2v/σ）iν（dy）=0。证据

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2022-5-5 13:28:00

Letfv（y）=vh1.- cos（y）√2v/√σ）eφ（y）-1.- cos（y）√2v/σ）i、显然，对于任何固定的y，limv→ ∞fv（y）=0。使用不等式1-cos（x）≤x/2我们得到| fv（y）|≤y~σeφ（y）+yσ=G（y）。G（y）相对于ν是可积的，因为L′evy度量∧ν和νsatisfyZR（1∧ y） νν（dy）<∞, andZR（1∧ y） ν（dy）<∞;方差的存在意味着z | y |>1y|ν（dy）<∞, andZ|y|>1yν（dy）<∞.结果服从于主导收敛。致谢这项研究得到了澳大利亚研究委员会（Australian research Council）的资助。参考文献[1]Barndo Off-Nielsen，O.E.正态逆高斯过程和股票收益模型。研究报告300，奥胡斯大学理论统计系。[2] Benhamou，E.Levy过程期权定价。E conWPA，金融，2002年，http://129.3.20.41/eps/fin/papers/0212/0212006。pdf。[3] Blattberg，R.C.和Gonedes，N.J.作为股票价格统计模型的稳定分布和学生分布的比较。《商业杂志》，471974年，第244-280页。[4] Chan，T.利维过程驱动的股票或有权益定价。安。应用概率，9:21999504-528。[5] Carr，P.和Wu，L.Time改变了列维流程和期权定价。《金融经济学》，2004年第71期，第113-141页。[6] Cont，R.和Tankov，P.带跳跃过程的金融建模Chapman and Hall，2004年，纽约。[7] Eberlein，E.和Jacod，J.关于期权价格的范围。《金融与随机》，1997年第1期，第131-140页。[8] Elliott，R.和Madan，D.离散时间等价鞅测度。《数学金融》1998年8:2，第127-152页。[9] Fajardo，J.和Mordecki，E.列维市场中的对称性和对偶性。《定量金融》，2006年6月3日，第219-227页。[10] Fama，E.F.股票市场价格的行为。《商业杂志》，第371965页，第34-105页。[11] 方，K.T.，科茨，S.和Ng，K.W.对称多元和相关分布。查普曼与霍尔，1990年，伦敦。[12] 福勒，H。

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大多数88

2022-5-5 13:28:03

和Schweizer，M.《不完全信息下的未定权益对冲》。在M.H.A.戴维斯和R.J.埃利奥特（编辑）：应用随机分析，戈登和布雷克，1991年，第389-414页。[13] Frittelli，M.《最小熵鞅测度与不完全市场中的估值问题》。《数学金融》，2000年第10期，第39-52页。[14] Fujiwara，T.和Miyahara，Y.几何L’evy过程的最小熵鞅测度。《金融与随机》，2003年7:42003，第509-531页。[15] Gerber，H.和Shiu，E.通过E Scher Transform进行期权定价。交易Soc。《精算师》，1994年第46期，第99-191页。[16] Geman，H.，El Karou i，N.和Rochet，J-C.Chang es of Numeraire，概率测度和期权定价的变化。J.阿普尔。问题。，1995年12月32日，第443-458页。[17] Goll，T.和R¨uschendorf，L.极小极大和极小距离鞅测度及其与投资组合优化的关系。《金融与随机》，2001年5:42001，第557-581页。[18] H–urlimann，W.是否有合理的证据支持有限集定价模型？。第五届国际学术研讨会论文集，1995年。[19] H–urlimann，W.具有两个对称D分布的金融数据分析。《阿斯汀公报》，2001年11月31日，第187-211页。[20] 约翰逊，N.，科茨，S.和巴拉克里希南，N.连续单变量分布。第一卷，威利，1994年，纽约。[21]Kallsen，J.和Shiryaev，A.N.累积量过程和Esscher\'sChange测度。《金融与社会科学》2002年6月4日，第397-428页。[22]Klebaner，F.C.《Stocahstic微积分及其应用导论》，第二版，帝国理工学院出版社，2005年。[23]Klebaner，F.C.和Landsman，Z.收益对数对称分布的期权定价。Methodol。计算机。阿普尔。B。，10。1007/s11009-007-9038-22007。[24]K¨uchler，U.和Tappe，S.金融数学中的双边伽马分布和过程。斯托克。过程。

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