识别多向逆向选择模型

2022-5-7 04:12:26

尽管我使用了多特征解释，但结果也可以应用于其他几种环境，例如多产品垄断和多任务劳动合同，其中工人的任务特定技能有所不同。与一维不对称信息和多维不对称信息形成鲜明对比的是，集群（两种不同类型的消费者选择相同的捆绑）是不可避免的，其福利影响可能非常不同。在均衡状态下，卖家将消费者分为三类：高端消费者，他们经过完美筛选（每种类型都有独特的品质）；中间类型，进一步划分为不同的类别，相同类别的所有类型都聚在一起，得到相同的捆绑；以及低收入者，他们总是被排除在外，或者被排除在外。识别策略将取决于类型是高类型还是中类型，由于我使用了需求侧和供给侧的最优条件，我可以区分哪些是高类型，哪些是中类型。正如第4.1.1小节所指出的，仅使用demandside将导致对消费者类型的联合密度的错误估计，因为我们无法解释聚束。此外，使用供给侧最优性条件将有助于识别一般和非线性边际成本函数，而不仅仅是典型情况下的恒定边际成本。（将其与通常只使用需求方的保险市场（或类似保险的市场，如年金）的定义进行对比也很重要。在这样的市场中，最重要的成本构成是索赔，计量经济学家经常观察到这些索赔。

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2022-5-7 04:12:29

因此，对于这类市场，供应端并不像本文中那样重要。）这个问题在没有集群的一维消费者异质性中是没有意义的。4 G.ARYALI依次考虑这些子组，首先是当产品特性线性进入效用函数时，然后是当它们非线性进入效用函数时。以高收入人群为例，他们经过了完美筛选，这意味着他们的激励相容性约束得到了满足，这反过来又转化为每个特征的边际效用等于边际价格的限制。对于线性效用，边际效用只是消费者的类型，边际价格是观察到的价格函数的梯度（斜率），它确定了高类型的截断联合密度。一旦我们确定了类型，我表明我们可以使用表征最优分配规则（从类型到产品特征的映射）的一阶条件来非参数地确定适当域上的成本函数。这种识别策略不适用于其他类型，因为它们是成束的。因此，我不得不使用其他形式的外生变异。特别是，我证明了我们可以利用观察到的消费者特征的变化。假设有和productcharacteristics一样多的独立于消费者类型的消费者特征，那么我可以识别中等类型的截断联合密度。该策略背后的思想是将给定消费者特征的条件选择密度表示为消费者类型截断密度的混合（Radon变换），这是可逆的（Helgason，1999）。接下来，我考虑产品特性非线性进入效用函数的情况。然后边际效用是消费者类型和非线性函数斜率的乘积。

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2022-5-7 04:12:32

我表明，由于非线性函数和类型之间的这种替代，即使对于高类型，该模型也无法确定。然后我证明，如果我们有来自两个市场或两个时期的数据，其中两个市场在成本的某些外生（二元）变化方面存在差异，那么只要成本影响边际价格，我们就可以确定高类型的非线性和联合密度。特别是，如果成本是外生的，且独立于消费者类型，那么我们可以比较这两种成本制度下的多变量分位数，以确定高类型的多变量分位数（Koltchinski，1997）。高类型的激励相容性约束意味着中间类型（在高类型中）将在两种成本下选择中间包（针对高类型）。一旦我们确定了高类型的分位数，我们就可以“控制”类型，并使用消费者的数据（见Gautier和Kitamura（2013））应用于随机系数模型。多维逆向选择5（a）短信和支付散点图（b）语音和支付散点图（c）短信和语音散点图图图1。短信、语音和付款的散点图临时条件，以确定效用函数。这种在适当排除限制下匹配分位数的方法借鉴了Matzkin（2003）和Guerre、Perrigne和Vuong（2009）的观点，因此也与D\'Haultfoeuille和F\'evrier（2011、2015）以及Torgovitsky（2015）有关。尽管我没有估计我的模型，但考虑一个具体的市场例子，我的结果可能会适用，这可能会很有启发性。考虑电信公司面临的最优捆绑问题。

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2022-5-7 04:12:36

例如，考虑中国某城市的一家主要电信公司，该公司提供多种手机计划，通话时间、数据和即时短信的费率各不相同。有关该市场的更多信息，请参见Luo、Perrigne和Vuong（2012）。选择和付款的散点图如图1所示。如工作文件D\'Haultfoeuille和F'evrier（2011年）所示。另请参见Aryal、Grundl、Kim和Zhu（2015），了解模糊拍卖的应用。6 G.ARYALbe可见，消费者在最终使用方面存在很大的异质性。无论是语音还是信息，支付都不是一种简单的功能。对于专为高端消费者设计的计划，卖家的回报率最高，这些消费者具有更高的支付意愿和更高的收入。然而，不能阻止这些高级类型选择适合中级类型或低级类型的计划。因此，只有当卖方将后一种产品的特性扭曲到对高端产品相对不具吸引力的方向时，才能实现更高的利润。但最佳失真量，以及由此产生的福利估计，取决于消费者类型的联合密度。为了确定变异水平，我们必须解决多维逆向选择（筛选）问题，这意味着观察到的产品特征或捆绑是内生的。贝里（Berry，1994）率先提出的经典需求估计中使用的内生产品特征方法；贝里、莱文松和帕克斯（1995）；最近，Berry、Gandhi和Haile（2013）的研究表明，这是可行的，更不用说这些模型不允许不对称信息。接下来，我将探讨模型的过度识别和合理化问题。

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2022-5-7 04:12:39

过度识别会影响估计器的效率和模型的可反驳性（Koopmans和Riersol，1950；Romano，2004）。我认为，当效用是非线性的，并且我们使用外生消费者特征的数据时，如果高类型的截断联合密度被过度识别。这一结果背后的逻辑如下：由于我们可以识别每个捆绑包（指高端类型）的消费者，并且由于这种映射独立于消费者特征，如果数据是由Rochet Chon’eequilibrium生成的，那么对于所有消费者特征，这种类型和捆绑包之间的映射必须最大化两者之间的相关性。换句话说，我想知道是否有一种方法可以确定将已识别的类型“传输”到观察到的束的最佳方式。数据是一个平衡的结果，只有当这种传输最大化了两者之间的相关性，其中相关性是根据选择的密度和高类型的密度来计算的。这种问题被称为最优运输问题，在经济学中有着悠久的历史；见Kantorovich（1960年）。我们从Brenier（1991年）和McCann（1995年）那里了解到，这种映射是存在的，而且是唯一的，这使我可以得出结论，该模型是过度识别的。我还研究了ExperiicalFan（2013年）考虑了内生产品特征，但具有完美的信息。Rochet-Chon’e模型的多维逆向选择内容。为此，我推导出了所有可测试的条件，以便通过多维逆向选择的theRochet Chon’e模型合理化观察到的选择和价格的联合分布。

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2022-5-7 04:12:42

这些条件可用于模型有效性的具体测试，使计量经济学家能够检查多维逆向选择是否重要，或者一维模型是否足够丰富，足以解释数据。Pioner（2009）研究了Rochet Chon’emodel的半参数识别，但他假设：a）私人信息只有两个维度；b）计量经济学家观察其中一种类型。在卖家和计量经济学家之间，最有可能的是卖家知道的更多。这些都是非常有力和限制性的假设，我的结果表明两者都不是必要的。本文还与Perrigne和Vuong（2011年）以及Gayle和Miller（2014年）相关，他们分别研究纯道德风险和混合道德风险的识别；Luo，Perrigne和Vuong（2012），研究电信数据；Ivaldi和Martimort（1994年）以及Aryal（2013年），他们研究竞争性在线定价；Ekeland、Heckman和Nesheim（2002、2004）；Heckman、Matzkin和Nesheim（2010年）；Chernozhukov、Galichon、Henry和Pass（2014），他们研究享乐模型的识别。论文的结构如下。符号和定义见第2节，第3节描述模型，第4节包含识别结果，第5节提供合理化引理。第6节在总结之前考虑了测量误差和未观察到的异质性。2.符号和定义I将使用符号ζ∈ Sζ Rdζ表示一个dζ维向量，其值在集合Sζ中，并使用Sζ表示Sζ的边界值。如果γ∈ Sγ Rdγ和dγ=dζ=d，然后ζ·γ：=Pdj=1ζjγj生成内积。设κ：Sζ→ Rdκ定义函数κ（ζ）的dκ维向量=κ（ζ，…，ζdζ）。。。κdκ（ζ，…，ζdζ）.对于标量函数κ（ζ，…，ζdζ）∈ Rκj=κζ, . . .

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2022-5-7 04:12:45

,κζdζ表示κ（·）的梯度，和jκ（·）表示梯度向量的j分量。标量函数κ（ζ）的离散度定义为divκ=Pdζj=1κ(ζ)ζj.8 G.芳醛定义2.1。一个标量函数κ：Rdζ→ R是一个实解析函数∈ Rdζ如果有δ>0和开球B（ˇζ，δ） Rdζ，0≤ r<δ带pk，。。。，kJ | ak，。。。，aKJ | rk+·+kJ<∞ 使得κ（ζ）=∞Xk=0··∞XkJ=0ak，。。。，aKJ（ζ）- ζ） k··（ˇζJ）- ζJ）kJ，ζ∈ B（ζ，δ）。解析函数的一个性质是，如果两个实解析凸函数在一个开集上重合，那么它们在Rdζ的任何连通开子集上重合。多元分位数（Koltchinskii（1997））：设（S，B，L）为概率测度为L的概率空间→ R是一个函数，使得g（q，·）是可积函数L- 几乎所有地方，g（·，s）都是严格凸的。LetgL（q）：=ZSg（q，s）L（ds），q∈ Rj是L的积分变换。设泛函L的极小点t（q）：=gL（q）- < q、 t>，q∈ rj可以称为an（M，t）- L相对于g的参数，其中<·，·>是RJ中的内积。g在s点的次微分∈ RJis表示为g（s）={t∈ RJ | g（s）≥ g（s）+<s- s、 t>}。因为核g（·，s）是严格凸的，gLis-凸的和次微分映射英语很好。这张地图的反面G-1L（t）是分位数函数，是所有（M，t）的集合- L的参数。因为g是严格凸的，G-1L是一个单值Map，因此我们得到一个唯一的分位数。只要满足上述条件，就可以选择任何核函数g来定义多元分位数。然后，从科尔钦斯基（1997）的命题2.6和推论2.9中，我们知道gLis是从RJ到RJ的严格单调同胚，对于任意两个概率测度Land L，等式gL=微光L=L。

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2022-5-7 04:12:48

对于本文，我们选择seg（q；s）：=|q- s|- |所以gL（q）=RRJ（|q- s|- |s |）L（ds），s∈ RJ，还有gL（q）：=Z{s6=q}（q）- s） |q- s | L（ds），（1）与逆G-1L（·）作为（唯一的）分位数函数。关于另一种定义，请参见切尔诺朱科夫、加里肯、哈林和亨利（2015）。例如，对于一维情形，对于任何t∈ （0，1）acdf M的所有tth分位数的集合正是gL的所有最小点的集合，t（q）：=1/2RR（|q）- s|- |s |+q）L（ds）- qt。多维逆向选择93。模型在本节中，我将介绍Rochet Chon’e的多维逆向选择模型。我的主要目标是介绍环境和条件，这些环境和条件对识别至关重要。我建议读者查阅主要论文，以查找任何遗漏的细节，包括证据。卖家提供包括产品线Q的选项菜单 Rdq+，所有可行特征的集合，以及相应的价格函数P:Q→ R+，面向对产品特性有不同品味的消费者。让θ∈ Sθ Rdθ+表示与Fθ（·）独立且相同分布（在消费者中）的这种口味特性（或简单类型）。让X∈ Sx Rdxdenote消费者观察到的社会经济或人口特征。如果θ型选择q∈ 并支付P（Q），让他的净效用为v（Q；θ，X）：=u（Q，θ，X）- P（q）。因此，我们假设效用函数在价格上是拟线性的。让C:Rdq+→R+是成本函数。卖方的目标是选择一组（凸）产品品种（在抑制对X的依赖后）Q和一个价格函数P（·），在给定成本函数C（·）和θ的情况下，使其预期利润最大化~ Fθ（·）。我从以下假设开始：假设1。设（i）dθ=dq=J.（ii）θi.i.d~Fθ（·）的平方可积密度F（·）>0a.e。

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2022-5-7 04:12:51

关于Sθ。（iii）净效用是Sobolev空间的一个元素（q；·X）∈ V（Sθ）={V（q，·X）|ZSθV（θ）dθ<∞,ZSθ(V（q，θ，X））dθ<∞},按照规范|V |：=RSθ{V（θ）+||V（θ）|}dθ.（iv）总效用函数在θ：u（q，θ，X）：=θ·v（q，X）=JXj=1θjvj（qj；X）中是乘法的，其中每个vj（·；X）是可微分且严格递增的，并且是：（iv-a）线性效用：vj（qj，X）=qj。（iv-b）双线性实用程序：dx≥ J使得X≡ （X，X）∈ RJ+dx和dx≥0，因此X=（X，…，XJ）表示那些与相应产品特征相乘的消费者特征，因此对于j=1，J、 vj（qj，X）=qj·Xj。10 G.ARYAL（iv-c）非线性效用：除了vj（qj，X）=vj（qj，X）·Xj，其中vj（·X）是两次连续微分严格拟凹函数，所有q均为满秩雅可比矩阵Dv（q；X），一切都与双线性情况相同∈ 和（vq）=0→∞vj（q）=∞.（v） C（·）是一个带参数的强凸函数, i、 e.Hessian矩阵的最小值为.假设1-（i）假设代理人在与合同属性相同的维度上存在差异。这意味着消费者未观察到的偏好异质性与产品特征的维度一样丰富。假设1-（ii）-（iii）是机械设计文献中的标准假设；更多信息请参见Rochet Chon\'e。假设1-（v）是成本假设的标准凸性。然而，假设1-（iv）需要更多解释。假设1-（iv）的第一部分假设效用函数在消费者类型θ和产品特征的某些函数中是可乘法分离的。

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2022-5-7 04:12:55

乘法可分性假设是一个重要的假设，在机构设计文献中被广泛使用；见Wilson（1993）和La Affont and Martimort（2001）。通常存在多个平衡点，但它不是唯一的，但至少有一个解决方案存在，但解决方案不是唯一的。假设的第二部分对产品特性进入效用函数的方式（从线性到非线性）进行了更多的分析。假设1-（iv-a）假设产品特征线性进入，不依赖于消费者特征X。假设1-（iv-b）假设某些消费者特征可能与产品特征相互作用。特别是，它假设消费者特征至少与产品特征一样多，即dx≥ J、这样我们就可以把向量xin分成两部分：X，a，J-维向量和X，一个dx- J维向量，取决于它们是否与产品特征相互作用。产品特征qji的总效用，然后简单地表示为θ·qj·Xj。因此，在该规范下，产品特征仍呈线性输入，且与X无关。

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2022-5-7 04:12:59

假设1-（iv-c）概括了前面的假设，允许产品特性非线性地进入效用函数，并允许该函数也依赖于Xas，只要它在θ和Xj中是双线性的。需要注意的是，对于理论模型，效用函数u（θ，q；X）在θ中是可乘法分离的，因为我们可以看到一些例外，包括Carlier（2001）和Figalli，Kim，McCann（2011）。多维逆向选择11重新定义产品特性的测量单位，并用＠q:=v（q，X）代替q，因为卖方观察X并知道v（·，·）。因此，这三个假设的唯一目的是从实证应用的角度来看。由于在涉及产品特性时没有内在的计量单位，我考虑了三种不同的情况，并研究了每种情况下的识别问题。因此，即使假设1-（iv-c）允许最一般的函数形式，研究线性和双线性实用程序的识别将允许我分离识别模型参数的数据特征。为了便于注释，我将在下一节之前抑制对X的依赖。如果存在分配规则ρ：Sθ，则菜单{Q，P}是可行的→ Q满足激励相容性（IC）条件，θ ∈ Sθ，V（ρ（θ），θ）=maxq∈Q{θ·v（~Q）- P（~q）}≡ U（θ），（2）和个体理性（IR）条件，U（θ）≥ U:=θ·v（q）- P.{q}表示每个人都可以以固定价格P获得的外部期权。为了确保委托人的优化问题是凸的，我们假设P≥ C（q），因此卖方将始终提供q，即q3q。卖方选择一个可行菜单（q，ρ（·），P（q）），最大化预期性能∏=ZSθπ（θ）dF（θ）：=ZSθ{U（θ）≥ U} （P（q（θ））- C（q（θ）））dF（θ），（3），其中{·}是指示函数。

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2022-5-7 04:13:02

设S（ρ（θ），θ）为社会剩余，当θ类型被分配为q（θ）时，使得S（ρ（θ），θ）=U（θ）+π（θ），或者，等价地，S（ρ（θ），θ）={θ·v（ρ（θ））- P（ρ（θ））}+{P（ρ（θ））- C（ρ（θ））}。将这两个定义等同起来，我们可以用π（θ）=θ·v（ρ（θ））来表示特定类型的属性- C（ρ（θ））- U（θ）。Rochet（1987）证明，在假设1下，菜单{Q，ρ（·），P（·）}使得U（θ）解方程（2）（满足）当且仅当（i）ρ（θ）=v-1(U（θ）和（ii）U（·）在Θ上是凸的。这意味着选择一个最优契约{Q，ρ（·），P（·）}相当于确定每个θ通过参与得到的净效用（或信息租金）U（θ）。U（θ）也决定了相应的最优分配规则ρ（θ）=v-1(根据这个结果，我们可以把卖方的问题归结为选择U（θ）∈ H（Sθ），最大化预期的结果∏（U）=ZSθ{θ·U（θ）- U（θ）- C（v）-1(U（θ））}dF（θ），受IC和IR约束。如上所述，全局约束等价于U（·）的凸性，即DU（θ）≥ 0，IR等于U（θ）≥ U（θ）表示所有θ∈ Sθ。Rochet Chon\'e证明，假设1足以保证存在唯一的最大化子U*(·). 下面我们将描述溶液的一些关键性质。当只有一维不对称信息（J=1）时，我们可以忽略不等式约束，找到一个无约束的最大化子，并验证这些不等式约束是否满足。假设类型分布是规则的（逆风险率[1]）- F（·）/[F（·）]严格降低）足以保证满足约束条件，且平衡总是有完美的筛选。然而，当J>1时，Rochet Chon表示这种事后验证的方法不起作用，永远不可能排除Bunchingc。

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大多数88

2022-5-7 04:13:05

在一篇重要论文中，阿姆斯特朗（1996）提出了各种假设，这些假设足以确保完美筛查。RochetChon’e已经证明，这些假设是非常有限的，并且是不可满足的。此外，我认为，施加这些限制来简化问题，与本文的非参数识别目标是不一致的。Rochet Chon’e的一个关键结果是，对于多维类型，卖家总是发现无法完美筛选消费者，因此（对于某些类型的子集）聚集是不可避免的。而且，由于对两种不同类型的消费者选择相同的选择，这使得识别更加困难。在平衡状态下，消费者将被分为三种类型：被筛选出的最低类型Sθ和有效{q}，被捆绑并提供“中等类型”捆绑的中等类型Sθ和被完美筛选的高类型Sθ。下一步是确定这些子集，这将取决于模型参数。如果一个间接效用函数U*（·）是最佳的，然后提供任何其他可行的功能（U*+ h）（·），其中h是非负且凸的，必须降低卖方的预期利润，即e∏（U*) ≥ E∏（U）*+ h）。这个不等式意味着预期利润在h方向上的方向导数必须是非负的*（·）解决方案是否有效：（a）U*（·）是一个凸函数，对于所有多维逆向选择，13凸非负函数h，E∏（U*)H≥ 0; 和（b）E∏（U）*)（U）*- U） =0和（U）*- U）≥ （无约束）问题的Euler-Lagrange条件为πU*-JXj=1θjπ(朱*)= 0，或，α（θ）：=-[f（θ）+div{f（θ）（θ）- C(U*))}] = 0.（4）直观地说，当θ型间接效用（信息租金）从U略微增加时，α（θ）衡量卖方的边际损失*给你*+ H

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2022-5-7 04:13:08

或者，定义ν（θ）：=S（θ，q（θ））q、边际失真向量，那么α（θ）=0相当于div（ν（θ））=-f（θ），这是失真和信息租金之间的最佳权衡。设L（h）=-E∏（U）*)这是卖家的损失*对于变化h，如果卖方增加U*在someh方向，卖方的边际损失可以表示为l（h）=ZSθh（θ）α（θ）dθ+ZSθh（θ）(-ν（θ）·^n（θ））|{z}=β（θ）dσ（θ）：=ZSθh（θ）du（θ），（5）其中dσ（θ）是边界上的勒贝格测度Sθ，^n（θ）是向外法线，du（θ）：=α（θ）dθ+β（θ）dσ（θ）。如果我们考虑那些参与的人，即美国*(θ) ≥ U（θ），这个边际损失L（h）必须为零。自从h≥ 表示u（θ）=0，所以α（θ）和β（θ）：=-ν（θ）·^n（θ）必须等于零。对于那些不参与的人来说，这一定意味着损失是正面的。引理1。Rochet Chon’e提案4：最优U*卫星θ ∈ Sθ，α（θ）（>0，U*(θ) ≤ U（θ）=0，U*（θ） >U（θ），（6）和θ ∈ Sθ，β（θ）（>0，U*(θ) ≤ U（θ）=0，U*（θ） >U（θ）。（7）全局激励相容条件很重要，因为它通过要求（U*-U）（θ）是凸的，并且还确定了子集Sθ，其中最优分配规则ρ（·）将使得某些类型被分配相同的数量q。让Sθ（q）是获得相同q的类型，即Sθ（q）={θ∈ Θ：ρ（θ）=q}={θ∈ Θ：U*（θ） =θ·q-P（q）}。如果你*（θ）对于所有θ都是凸的，即，如果满足全局激励相容约束，则不存在聚束，并且Sθ将是一个空集。然而，在大多数情况下，凸性条件失效，因此会出现非平凡聚束。所以，你*对所有束都有效，并且激励相容性14 G.ARYALconstraint对任何两种类型的θ，θ都有约束力当且仅当它们都属于θ（q），即如果θ6∈ Sθ（q）但θ∈ Sθ（q）然后U*（θ） >U*(θ) + (θ - θ） Tq。定理3.1。

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可人4

2022-5-7 04:13:10

Rochet Chon定理2：假设1-（i）-（iv-a）和（v）最优解U*该问题的特征是三个子集Sθ、Sθ和Sθ，因此：（1）Sθ类型的正质量不参与，因为*（θ） =U（θ）。该集合的特征是u（Sθ）=1，即RSθα（θ）dθ+RSθβ（θ）dθ=1。（2） Sθ是一组被称为聚束区的“中间类型”，它被进一步细分为子集Sθ（q），使得该子集中的所有类型都有一个类型q，U*这是一部电影。u限制为Sθ（q）满足度：RSθ（q）du（θ）=0和RSθ（q）θdu（θ）=0。（3） Sθ是U*满足欧拉条件α（θ）=0，或等效div（ν（θ））=-f（θ），对于所有θ∈ Sθ∩ 在边界上的最优分配中没有失真，即在Sθ上β（θ）=0∩ Sθ。总之，类型空间（内生）分为三部分：排除Sθ并获得外部选项q的部分；那些被Sθ聚成一团并被分配了一些中等质量的q∈ 那么所有θ∈ Sθ（q）得到相同的量q；最后，那些完全屏蔽Sθ并分配了一些独特（定制）q的人∈ Q.图2显示了一个示例。还需要注意的是，分配规则ρ（·）是连续的。推论1。ρ（·）是连续的且ρ（θj，θ）-j）θj>0，（θj，θ）-j）∈ Θ.证据对于θ∈ Θ，自从杜*（θ）因为θ=0U*（θ）它也是连续的。同样，对于所有θ∈ Θ，ρ（θ）=q，因此是连续的。类似的参数表明ρ（θ）对所有θ都是连续的∈ Sθ。4.识别在本节中，我们研究了从每个消费者的三元组{qi，pi，Xi}的观察值中识别类型Fθ（·）和成本函数C（·）的分布。

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2022-5-7 04:13:13

设（q，p，X）i.i.d~ψp，q，X（·，·，·，·）＝ψp，q |X（·，··）×ψX（·）。卖方向代理人i提供（Q（x），P（x）（·）），并观察到特征Xi=x~ ψX（·）和未观测到的θi型~ Fθ（·），然后谁选择气∈ Q（x）和pi=P（x）（qi）使净效用最大化。卖方最优地选择菜单，从揭示原理来看，这相当于说多维逆向选择存在一种直接机制，一对唯一的（分配规则）ρ（·）：Sθ7→ Q（x，z）和（定价函数）Px（·）：Q（x）7→ R+，使得qi=ρ（θi）和pi=Px（ρ（θi））。此后，ρ（·）将代表最优分配规则。因此假设：a）消费者有关于θ的私人信息；b）卖方只知道Fθ（·）和C（·），并设计a{Q，P（·）}以最大化利润；c）消费者优化，得出以下模型：pi=P[qi，Fθ（·），c（·）；X]qi=ρ[θi，Fθ（·），c（·）；X]，i∈ [N] ，k=1，2。（8）如果对于任何不同的参数[~Fθ（·），~C（·）]，隐含的数据分布也是不同的，即ψp，q，X（·，·，·）6=~ψp，q，X（·，·，·），则称模型参数[Fθ（·），C（·）]是确定的。由于平衡是唯一的，所以每个参数的可观测ψp，q，X（·，·，·，·）都有唯一的分布（约万诺维奇，1989）。我的目标是确定一些低水平条件，在这些条件下，模型是全局识别的，这相当于表明（8）中的方程是全局可逆的。在平衡描述之后，我分别考虑了这三种类型的子集。对于每个X=X，让Qj（X）是θ型消费者做出的选择集∈ 分别表示j=0、1、2的Sjθ。由于q（·）是连续的（推论1），这些集合定义得很好。在下面的内容中，我将使用来自qk（x）的数据来识别限制为Sjθ的模型参数，从subsetQ（x）开始。

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大多数88

2022-5-7 04:13:16

当限制为Sθ时，分配规则ρ（·）是一对一的，因此它的逆ρ-1（·）存在于Q（x）上，但由于聚束，仅限于Sθ时不存在，因此，识别策略不同。在接下来的内容中，我抑制对X的依赖，直到它是相关的。LetM（·）和m（·）分别是q的分布和密度。由于平衡间接效用函数U*是唯一的，这意味着存在一个与模型结构[Fθ（·），C（·）]相对应的唯一分布M（·）。因此，如果给定m（·）存在满足方程（8）的（唯一）对[Fθ（·），C（·）]，则该结构称为识别。设θ（·）：Q-→ Sθ是ρ（·）的倒数，当限制在Q上时，即。，Q∈ Q、 ~θ（Q）=ρ-1（q）。同样，letM*（q）还有m*（q）是q的截断分布和密度∈ Q（x）定义见Rothenberg（1971）和Chen、Chernozhukov、Lee和Newey（2014），分别了解参数和（半）非参数设置中的局部识别。自从你*（θ）在Sθ上是凸的，逆ρ-1（·）解q=ρ（θ）的存在（Kachurovksii，1960）。更多细节请参见Parthasarathy（1983）和Fujimoto and Herrero（2000）。分别为16 G.芳醛，as:M*（q）：=Pr（~q<q | q）∈ Q） =Pr（θ<θ（Q）|θ）∈ Sθ）=ZSθ{θ<~θ（q）}fθ（θ|θ）∈ Sθ）dθ；M*（q）：=m（q）RQm（＠q）d＠q=f（＠θ（q））RQf（＠θ（＠q））d＠q＠det（d＠θ）（q）＠，（9）其中det（·）是行列式函数。然后是高类型和高质量之间的双射*（q） =Pr（ρ（θ，Fθ，C）≤ q | q∈ Q） =Fθo ρ-1（q | q∈ Q）（10）这将是识别的关键关系。在继续之前，我先介绍一些新的速记符号。设Fθ（·| j）是CDFθ（·）限制在集合Sjθ中，nj是购买q的消费者集合∈ Qj，对于j=0，1，2.4.1。线性效用。我首先证明，在没有任何进一步限制的情况下，Fθ（·2）可以在Q上识别，C（·可以在Q上识别。

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2022-5-7 04:13:19

当效用函数为线性时，高类型的消费者最优性意味着边际效用θ等于边际价格P（·）–价格函数的梯度。因此选择q的类型∈ 必须满足P（q）=θ=＠θ（q），它标识了所有i的（伪）类型θi=＠θ（qi）∈ [N] 。该识别论点使用了需求侧最优性和价格梯度。当效用函数为非线性（第4.3小节）或存在离散选项且无法计算价格梯度（第6.4小节）时，我们将失去这种识别。由于限制于Sθ的∧θ（·）是双射的，我们可以识别类型的截断联合分布，或者简单地识别高类型的联合分布asFθ（ξ| 2）=Pr（q）≤ (P）-1（ξ）|Q∈ Q） =M*((P）-1(ξ)).接下来，我考虑成本函数的识别。平衡分配条件（4）是α（θ）=0，ordiv{fθ（θ）（θ）- C(U*))} = -f（θ）。多维逆向选择17如果我们用sθfθ（t）dt除以两边，我们得到div（fθ（θ）RSθfθ（t）dt（θ）- C(U*)))= -fθ（θ）RSθfθ（t）dtdivM*（q） |det（D|θ）（q）|（|θ（q）- C（q））= -M*（q） | det（D)θ（q）| divM*（q） | det（D）P（q））|(P（q）- C（q））= -M*（q） | det（D）P（q））|，其中第二个等式来自等式（9），最后一个等式来自定价函数曲率的定义，即DP（q）=D|θ（q）。这意味着成本函数C（·）是偏微分方程（PDE）的解，其边界条件为β（θ）=0Q、也就是说，m*（q） | det（D）P（q））|(C（q）- P（q））·-→n(P（q））=0。成本函数C（·）位于凸集上，被定义为该偏微分方程的唯一解（Evans，2010）。为了将其扩展到整个领域，我们需要：假设2。

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2022-5-7 04:13:22

成本函数C:Q→ R是q的实解析函数∈ 问：关于C（·）具有分析性的假设是一种技术假设，假设C（·）是完全可区分的，并且可以（唯一地）表示为泰勒系列。因此，它允许任何凸多项式、三角函数和指数函数。一旦在开凸集Q上确定了代价函数，分析扩展定理意味着该函数对整个域Q有唯一的扩展。由于代价函数是完全不特定的，除了凸性，我们需要限制函数的空间，使其能够扩展到任何地方。假设成本函数是解析的，这是足够的。毫无疑问，这比我迄今为止的任何假设都要有力，但这种假设也被用于非参数识别的文献中。Newey and Powell（2003）假设密度属于指数族，这是分析性的（见Liese and Miescke，2008，引理1.16），因此具有唯一扩展；Fox、il Kim、Ryan和Bajari（2012）也假设了真实的分析性，以确定随机系数logit模型；Fox和Gandhi（2013）假设效用函数是实分析的，以识别随机效用模型。这个结果在下面正式说明。定理4.1。在假设1-（i）-（iv-a）、（v）和2下，模型结构[Fθ（·2），C（·）]是非参数识别的。18 G.芳基（0，τ）（τ，0）SθSθSθqqqqfigure 2。Rochet Chon\'e的最优产品线。很明显，ρ（·）的单调性是识别的关键，由于Sθ的单调性，我们失去了识别，如下面的例子所示，该例子取自Rochet Chon\'e。例子4.1。设J=2，代价函数为C（q）=C/2（q+q），类型在Sθ=[0,1]和q=0以及P=0上独立且均匀分布。

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2022-5-7 04:13:25

然后，得到了最优间接效用函数U*在三个区域有不同的形状：（i）在非参与区域Sθ，U*(θ) = 0; （ii）在聚束区Sθ，U*只取决于θ+θ；（iii）在完全屏蔽区Sθ，U*是严格凸的。在Sθ上，ρ（θ）=0，这意味着α（θ）=div（θf（θ））+f（θ）=3和β（θ）=aonSθ。分隔Sθ和Sθ的边界是一条直线τ=θ+θ，其中τ=√. 关于Sθ，ρ（θ）=（ρ（θ），ρ（θ））=（ρb（τ），ρb（τ）），θ+θ=τ。换句话说，所有类型为θ+θ=τ的消费者都得到相同的待遇，他们得到相同的ρ（τ）=ρ（τ）=ρb（τ）。所以α（θ）=3- 2cqb（τ）和onSθ，β（θ）=（cρ（θ）- θ） ·^n（θ）=-cρb（τ）。如果α（θ）满足扫掠条件≥ 0和β（θ）≥ 0和在每个束上τα（θ，τ- θ） dθ+β（0，τ）+β（τ，0）=0，可用于求解qbasρb（τ）=3τ4c-2cτ。那么Sθ={θ：τ≤θ+ θ≤ τ} 式中，τ由ρ（·）的Sθ上的连续性条件确定，即ρb（τ）=0。现在，定义τ=ρ-1b（q）为最佳（聚束）机制的逆。然后，识别是确定（θ，θ）与τ=θ+θ的联合cdf，这是不可能的。总而言之：卖家将消费者分为三类，只完美地筛选出排名靠前的消费者。然后，我们可以使用消费者做出的多维逆向选择19的分布来确定他们的类型和成本函数。为了理解非对称信息的福利后果，我们可能还想了解，相对于那些未被完全筛选但也未被排除在市场之外的中等类别，信息的异质性更为重要。上面的例子表明，如果我们将效用函数限制为线性且独立于消费者特征，那么因为聚束也是线性的，所以我们无法识别类型。4.1.1. 笔记

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何人来此

2022-5-7 04:13:28

这也是一个适当的时机，可以暂停并探索仅使用消费者端最优条件进行识别而忽略供应端的后果。为了理解这一论点，有必要考虑离散类型，同时将识别成本函数的问题放在一边。为此，假设J=2和Sθ分别为{θ1,1，θ1,2}，{θ2,1，θ2,2}，{θ3,1，θ3,2}，概率为{f，f，f}。假设最优分配问题是，θ被分配成一个束q=（q1,1，q1,2），但剩下的两种类型被分配成束q=（q2,1，q2,2），P（·，·）是定价函数，并且jP（·，·）是关于jt的偏导数。假设数据由选择价格对{qi，Pi:i=1，…，N}和letmand mbe组成，分别是选择QA和q的消费者的分数。如果我们忽略供给侧而只使用需求侧，那么我们将使用θi=（θj，1，θj，2）=(P（qj，1，qj，2），P（qj，1，qj，2））每当qi=（qj，1，qj，2），j∈{1, 2}. 然后我们将得出结论，只有两种类型的消费者吉文比(P（qj，1，qj，2），P（qj，1，qj，2）），j=1，2带有概率（m=f，m=f+f），这不是正确的参数。接下来的一步自然是探索Xs的变化来识别模型。特别是，我想问：如果效用也是观察到的特征X的函数，那么我们可以利用这些观察到的特征的变化来确定介质类型，即聚束的类型吗？在下面的小节中，我表明答案是肯定的。在效用为双线性的假设1-（iv-b）下，如果观测到的特征X（统计上）与θ类型无关，并且如果X的维数与θ的维数相同，那么我们可以识别fθ（·1）。我滥用符号，用偏导数来表示初始差。20克芳香族化合物4。2.双线性效用。

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2022-5-7 04:13:32

在本小节中，我假设基本效用函数满足假设1-（iv-b）和Xis，与θ无关。回想假设1-（iv）Xdenotes表示那些与productcharacteristics交互的特性，而Xdo表示不。假设3。特征X=（X，X）和θ是相互独立的。特别地，假设特征为X且未观测到的θisV（q；θ，X）=JXj=1θjX1jqj的代理选择q的净效用- P（q）。（11）现在，X影响效用，因此它也会影响产品线和价格函数，因为现在它们将取决于X。然而，一旦我们将X=X的值（卖方观察到的）提取出来，并将产品质量的测量单位从q改为q:=X·q，我们就可以应用定理4。1表示f（θ| 2）。接下来，我展示了我们也可以使用外生变量inxt来识别聚束区Sθ上的密度f（θ| 1）。因此，Xis的独立变化是识别的一个重要假设。很明显，我们将使用符号fθ（·| 1）来说明它是θ的密度∈ Sθ。在上面的例子中，我们看到所有类型为τ=Pj的试剂∈[J] θ选择相同的q（τ）。既然代理在X中有所不同，那么代理是根据W=Pj组合的∈JθjX1j，换句话说，具有相同W的所有代理自选择ρ（W），即ρ（θ）=（ρ（θ），ρJ（θ））=（ρ（W），ρJ（W））对于所有θ∈ Sθ。换句话说，W是一个有效的统计量，激励相容性要求q（W）在W中是单调的，因此是可逆的。所以从观测到的q，我们可以确定指数W:=ρ-1（q）。

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2022-5-7 04:13:35

然后，识别问题是，当nw=θX+·θ+θJXJ时，从（W，X）的节理密度fW，X（·，·）中恢复fθ（·）。通过将两边乘以| | X，将上述等式标准化||-1，它给出sb=θD+·θJDJ=θD，其中D=| | X||-1Xis是J的一个元素- 量纲单位球SJ-1:={ω ∈ RJ:| |ω| |=1}，B=| | X||-1W∈ R.那么给定D=D的B的条件密度是fB | D（B | D）=ZSθfB | D，θ（B | D，θ）fθ（θ| 1）Dθ=Z{B=θ·D}fθ（θ| 1）Dσ（θ）：=Rfθ（B，D）。多维逆向选择21Rfθ（b，d）被称为Radon变换（Bracewell，1990；Helgason，1999）offθ（·1）。由于条件密度fB | D（·|·）与fB，D（·，·），fθ（·| 1）的识别等同于表明Rfθ（·，·）是可逆的，因此我们需要有效的x变化。为了便于说明，考虑一个极端情况，其中Xis是常数向量（a，…，aJ）∈ SJ-1，那么我们不能从B=aθ+···+aJθJ中识别fθ（·| 1）。让Chh（·）表示函数h的傅里叶变换，soChRf（ξ）=Z∞-∞E-2πibξRf（d，b）db；Chf（ξd）=Z∞-∞E-2πi（θ·ξd）fθ（θ| 1）dθ是分别在ξ和ξd处对固定d进行计算的Rf（d，b）和fθ（·1）的傅里叶变换。ChRf（ξ）已知于fB，D（·，·），但Chf（·）未知。为了进行识别，我使用了Randon变换的傅里叶变换的以下特性。对于两个变量h（y，y）的函数，其傅里叶变换为Chh（t，t）=RRh（y，y）e-2πi（ty+ty）dydy，如果我们把它的投影h（·，·）放到y上- 轴p（x）=Rh（y，y）dy然后我们有chh（t，0）=ZZh（y，y）e-2πItydy=Z∞-∞§p（y）e-2πitydy=Chp（t）。为了便于解释，如果有人稍微滥用了符号，并从应该评估函数的差异中抽象出来，可以看到thatChh（t，0）是ChRf（t），Chp（t）是Chf（t），这意味着（未知的）Chf（·）等于（已知的）ChRf（·），从而将fθ（·| 1）识别为Chf（·）的四阶倒数。

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可人4

2022-5-7 04:13:38

投影切片定理（Bracewell，1956）形式化了这种直觉，并保证对于固定的d，Chf（ξd）=ChRf（ξ），因此fθ（θ| 1）=Z∞-∞e2πiθ·ξChRf（ξ）dξ。定理4.2。在假设1-（i）-（iv-b）、（v）和2和3下，密度fθ（·1）、fθ（·2）和成本函数C（·）是非参数识别的。直观地说，识别利用了一个事实，即具有相同θ但不同X的两个消费者将面临不同的菜单和不同的选择。因此，如果我们考虑固定X的总体，选择的变化必须取决于θ的变化。但是当我们改变x从x到x时，选择改变了，但是θ的变化保持不变，因为xθ。对于X的连续变化，我们有很多θ的矩条件，这使得我们可以表示条件选择密度，给定X是fθ（·1）的（混合）随机变换，混合密度是X的边缘密度。因此，即使平衡点不是双射的，我们可能能够利用消费者社会经济和人口特征的差异进行识别。由于Sθ中类型（已完全筛选）的接头密度即使没有X也已确定，因此该结果表明该模型已确定，可用于规格测试。即使这种直觉是正确的，我们也会将过度识别的讨论推迟到下一小节，当我考虑非线性效用函数时。我将证明，当效用是非线性的，如果我们可以使用离散（二进制）成本转移器，那么为了识别模型，成本转移器导致定价函数的梯度相交是有效的。注：到目前为止，我已经隐含地假设我们可以将观察到的选择{qi}分成三个子集。我们知道外部选项Q={Q}，所以剩下的就是确定聚束集Q。

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2022-5-7 04:13:41

如图2所示，productline QI与一维R+一致，这是Bunching的主要特征。在更高的维度中，集合Q4将由所有与低于J.4.3维度的正实数一致的乘积组成。非线性效用。在本节中，我考虑具有非线性的模型（假设1-（iv-c）），即（总）效用函数等于X·v（q；X）。为了保持论点清晰，我将忽略X，这相当于假设dx=0，并将重点放在Sθ上v（q）的识别上。一旦我们了解了数据中的哪些变化驱动识别，我们可以引入X并考虑过度识别的可能性。首先，我表明模型[Fθ（·2）、C（·）、v（·）]无法识别，因为两个最优性条件方程（2）和（10）不充分。由于θ类型和效用函数v（·）的曲率之间的可替换性，识别失败，如下所示。引理2。在假设1-（i）-（iv-c）和（v）下，模型{Fθ（·| 2）、c（·）、v（·）}，其中成本函数和效用函数的域分别被限制为QandSθ，无法识别。由于最优性条件（4）用于确定成本函数，我们可以将成本函数视为已知。我将抑制对x的依赖，让J=2，所以V（q；θ）=θV（q）+θV（q）- P（q，q）。设效用函数为vj（qj）=qωjj，ωj∈ （0，1），分布为Fθ（·，·| 2），密度为Fθ（·| 2）。观测{qj，pj}解一阶条件θjωjqωj-1j=P（q，q）qj=pj，j=1，2。多维逆向选择23利用变量的变化，（q，qj）ism的联合（截断）密度*q（q，q）=fθPωqω-1，Pωqω-1|2PP（1）- ω)(1 - ω） ωqωqω。设θj≡ θj×ωj~ Fˇθ（·| 2），其中Fˇθ（·| 2）=Fθ（·/ω| 2）与ω≡ （ω，ω）和ˋv（qj）=v（qj）/ω=qωjj/ωj是一个新模型。

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