回望期权的定价与二项式近似

2022-5-7 11:34:46

回望期权的定价和二项式近似法卡尔·格罗斯·埃尔德曼和法比恩·赫韦利克斯克克苏大学的摘要。通过建立Cheuk和Vorst的离散模型，我们得到了排放量和成熟度之间任何时间的欧洲回望期权价格的封闭公式。随着周期数趋于一致，我们导出了p rice的渐近展开式，从而解决了Lin和Palmer提出的一个问题。我们特别证明了离散模型中的价格与连续BlackScholes模型中的价格成正比。这些结果是基于二项式累积分布函数的一个简单扩展，它改进了文献中的一些新结果。1.引言Cheuk和Vorst[4]提出了一个离散模型，用于带浮动罢工的欧洲回望期权的定价；他们含蓄地表示，他们评估了排放价格。在本文中，我们将建立eir模型，以便在排放后的任何给定时间对期权进行定价，并随着时间间隔的数量趋于一致，对价格进行渐近展开。这完全解决了林和帕尔默[14]提出的一个问题；在p大米排放的特殊情况下，第二作者已经解决了这个问题[11]。回望期权赋予持有人在到期时以最低或最高的价格购买（认购）或出售（卖出）标的资产的权利。因此，到期时的支付函数由T给出- 造币厂≤TStand maxt≤TSt- 分别是圣。在传统的连续模型中（即，当标的资产价格遵循Black和Scholes[2]和Merton[15]提出的带漂移的维纳过程时），Goldman、Sosin和Gatto[10]在假设即期汇率r非零的情况下导出了价格公式。

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2022-5-7 11:34:49

Babbs[1]通过超限获得r=0的价格。Hulland White[13]提出了回望期权价格的discr-ete模型，另见Hull[12]，该模型基于Cox、Ross和Rub instein（CRR）[6]的二元模型，见图1.1。然而，2010年的数学科目分类。小学91G20；中学34E05，91G60。关键词和短语。回望期权，Cheuk-Vorst模型，定价，二项累积分布函数，渐近展开。作者得到了比利时国家银行（BNB）的资助。2 KARL GROSSE-ERDMANN和FABIEN HEUWELYCKXsince回溯选项依赖于路径、Hull和White h ad将每个节点细分为不同的状态。Cheukand Vorst[4]解决了这个问题，他提出了一种等价树（CV），其中每个节点都对应于一个状态，见图1.2（调用）。图1.1。n=3的CRR树图1.2。对于n=3的呼叫，无论是赫尔和怀特，还是C赫克和沃斯特，CV treefor在他们的模型中获得了价格的封闭公式。这种公式首先由F¨ollmerand Schied[9]和第二作者[11]通过不同的方法获得（另见[11，附录a]中的讨论）。然而，所有这些论文只评估了排放时期权的价格。本文的目的是双重的。在第2节中，我们将在离散模型中推导一个封闭的公式，用于在发布带有浮动结构的欧洲回望期权后的任何时间的价格。在第四节中，我们证明了离散模型中的价格收敛于连续模型中的价格，并导出了渐近展开式。这回答了byLin和Palmer[14]提出的一个问题，并推广了[11]中的早期结果。

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2022-5-7 11:34:52

为了推导这些渐近性，我们需要二项式累积分布函数的已知渐近展开式的一部分，这将在第3节中实现。最后一节是数值例子。2.带有浮动删除线的回望期权在Cheuk和Vorst的离散模型中，传统的CRR树（见图1.1）仍然用于建模基础资产的评估。我们首先介绍各种参数的常用符号：T是从排放到成熟的时间，T为0≤ t<t是当前时间，τ=t- t是到期前的剩余时间，Sti是t时标的资产的价值。此外，r≥ 0表示即期汇率，σ>0表示标的资产的波动率。现在，基础的二叉树只针对时间间隔【t，t】（t之前的价格已知）建立。这个区间被等分为n个子区间。在每个节点上，价格可以增加一个系数u，也可以减少一个系数d，其中u=eσ√τ/nand d=u-1=e-σ√τ/n。增加的概率由（2.1）p=erτ/n给出- 杜- D我们取n足够大，因此0<p<1。让我们首先考虑t=0，然后集中讨论看涨期权。对于回望期权的定价，Ch euk和Vorst引入了第二个树状回望期权和二项式近似3（CV），见图1.2。在CV tr ee中，时间tm（0）时的j级≤ M≤ n）表示时间Tm的值与自排放以来的最低值之间u的幂差。

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2022-5-7 11:34:55

换句话说，j是非负整数，比如stm=造币厂*≤tmSt*uj。如[4]所示，并在[11，定理2.1]中明确表示，然后通过cfln（0）=SnXj=0（1）给出排放时的期权价格- U-j） nXk=0∧j，k，nqk（1- q） n-k、式中（2.2）q=pue-rτ/n=u- E-rτ/nu- d（如果p存在，则位于（0，1）中）和∧j，k，nis是CVtree中从初始节点（0，0）到成熟时的水平j的路径数，这些路径具有精确的k向上跳跃。[11，定理2.1]表明∧j，k，n=(nk-J-nk-J-1.如果j≤ K≤ n+j,还有0个。在本文中，我们感兴趣的是在任意给定时间t（0）确定回望（看涨）期权的价格≤ t<t）。在这种情况下，市场价格*,0≤ T*≤ t、已知发射和时间t之间的基本关系。当然，t时刻的价格不一定是最小值；实际上，有一个由T定义的初始水平=造币厂*≤tSt*uj。在续集中，我们将为brevityMt=mint撰写文章*≤tSt*.那么我们有（2.3）j=log（St/Mt）σpτ/n≥ 0不一定是整数，初始节点位于位置（0，j）。这将导致修改的CV树（见图2.1，其中McOrrespond to time tm）。请注意，在足够多的向下跳跃之后，一个到达一个新的最小值，从而达到0级。从那以后，所有级别都是整数。如[4]所示，（2.4）Cfln（t）=StXj∈J（1）- U-j） nXk=0∧jj，k，nqk（1- q） n-k、式中，J是成熟度时可能的水平集，q由（2.2）给出，之前，∧jj，k，nis是从初始节点（0，J）到成熟度时水平jat th的路径数，正好有k个向上跳跃。这些数字还有待评估。4卡尔·格罗斯·埃尔德曼和法比恩·霍伊·韦利克克克斯杰=1.6j=6.6j=4.6j=3j=2.6j=2j=1j=0.6j=0m=0m=1m=2m=3m=4m=5图2.1。对于n=5和j=1.6的调用，我们有以下问题。L和j≥ 0是一个正数，n∈ N

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nandehutu2022

2022-5-7 11:34:59

我们创建一个图，初始节点位于（0，j），每个节点（m，jm）的周期为m，0≤ m<n，我们在周期m+1上创建两个节点，由（m+1，jm+1）upand（m+1，max，jm）给出- 1，0）向下，带有连接边。设∧jj，k，n表示从初始节点（0，j）到最终节点（n，j）的路径数，该节点正好有k个向上跳跃。以下结果可能也具有独立利益。引理2.1。让j≥ 0和n∈ 然后∧jj，k，N=nk, 如果j=j+2k- nand n-J ≤ K≤ Nnk-nk+J + 1., 如果j=j+2k- nand n-n+j ≤ K≤ N- J - 1.nk- J-nk- J- 1., 如果0≤ J≤ N- J - 1和j≤ K≤ N-J-1+j.λjj，k，nar的所有其他值都为零。证据（一）我们将首先考虑jis不是整数的情况，见图2.1。在这种情况下，有三类不相交的终端节点。证明将分三个步骤进行，分别针对每一类中的节点。（1）第一类由简单实线的端点给出。这些节点的访问集（返回到ookback选项和二项式近似值5m=0）与传统的二项式树中的相同。这样就很容易计算路径的数量。要到达这样一个节点，至少有tk=n- J 最多k=n向上跳跃，有nk路径正好是k向上跳跃。相应的终端电平为j=j+k- （n）- k） =j+2k- n、因此∧jj，k，n=nk对于j=j+2k- n和n- J ≤ K≤ N为了便于以后使用，我们注意到这个类中的级别j的范围是j+n- 2.J 到j+n，以2步为单位，向上跳跃的次数k为（2.5）k=n+j- j、（2）第二类由从（0，j）开始属于传统二叉树的所有剩余终端节点构成；在图2.1中，它们用虚线表示。

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2022-5-7 11:35:02

我们这里有一个部分二叉树：传统二叉树中通往这些节点的一些路径已经丢失。实际上，有些路径至少有一个中间节点级别为零。可能的终端电平范围为{j}（如果J + n iseven）或从{j}+1（如果J + n是奇数）到j+n- 2.J - 2分两步进行；此外，只有当n≥ J+ 2.我们可以将这两种情况下的下界改写为j+n- 2.n+j. 通过（2.5），每个级别对应一个唯一的向上j ump数k，第二类节点k的可能值范围为n- n+j 到n- J - 1.（0，a）（0，-a）（n，b）图2.2。反射原理现在，再次指向jis级别的第二类节点的路径数nk, 但我们必须收回所有迷失的道路。通过使用反射原理，可获得最短路径的数量，见图2.2。它指出，连接节点（0，a）和（n，b）（与a，b）的一元树中的路径之间存在一对一的对应关系∈ N）与x轴接触或交叉，以及连接节点的路径（0，-a）和（n，b）。我们的情况相当于a=J + 1和b=j-{j} +1=j-j+J+ 1.它需要从（0，-a）到（n，b）。向上跳跃的次数（U）和向下跳跃的次数（D）之和是周期数n，而U和D之间的6 KARL GROSSE-ERDMANN和FABIEN HEU WelyckxD之差是总体上的差异，即a+b。因此，U=n+a+b。因此，丢失路径的数量是nn+a+b=nn+2J+J-j+2=nk+J + 1.,我们使用的地方（2.5）。

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2022-5-7 11:35:05

因此∧jj，k，n=nk-nk+J + 1.对于j=j+2k- n和n- n+j ≤ K≤ N- J - 1.（3）第三类节点由剩余节点构成；它们在图2.1中用双线（实线或虚线）表示。它们是较小的Cheuk Vorst树的终端节点，初始节点位于(J+1, 0). 此外，只有当n时才有这样的节点≥ J+1.可能的终端电平范围为j=0至j=n- J - 1.与前两种情况不同，连接初始节点（0，j）和终端级j w的路径不会像传统的Cheuk Vorst树那样具有固定数量的向上jum p。我们将证明，在第三类中，到达j级的正k向上跳跃的路径数由∧jj，k，n给出=nk- J-nk- J- 1.为了0≤ J≤ N-J-1和j≤ K≤ N-J-1+j, 而且k的其他值是不可能的。我们以索赔为理由提出索赔≥ J + 1.对于n=J+ 1.对于n=J+ 2，我们可以达到水平j=0（k=0）或j=1（k=1）。在这两种情况下，只有一条可能的路径。现在让我们来看看≥ J+ 3.同样，对于j=n-J-1（k=n）-J-1） j=n- J - 2（k=n）- J - 2）结果微不足道。在这两种情况下，只有一种可能的路径，分别是J + 1后接n-J-1 ups和J+ 2个向下，然后是n-J-2个ups。0时的情况仍有待讨论≤ J≤ N- J - 3.

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2022-5-7 11:35:08

如果j=0，则从周期n开始有两条向下的路径- 1如果n+J 是平的，否则有三条向下的路径。（i）如果n+J 如果是偶数，则它们来自位于第n周期0或1级的节点- 1.如果k=0，唯一可能的路径是fr om j=0，因此∧j0,0，n=∧j0,0，n-1= 1.如果1≤ K≤N-J-那么我们有∧j0，k，n=j0，k，n-1+λj1，k，n-1=N- 1k-N- 1k- 1.+N- 1k- 1.-N- 1k- 2.=nk-nk- 1..没有k>n的路径-J-2.回溯选项和二项式近似7（ii）如果n+J 奇怪的是，部分二项式tree还有其他向下的路径。到了（2.5），这些路径做得很好-J-1在进入卓沃斯特树之前，请注意。因此，如果0，则它们不起作用≤ K≤N-J-3，所以我们像（i）中那样争论。如果k=n-J-1，在周期n时，不可能从水平j=0得出- 所以我们有（2）∧j0，k，n=j1，k，n-1+j{j}，k，n-1=N- 1k- 1.-N- 1k- 2.+N- 1k-N- 1k+J + 1.=N- 1k- 1.-N- 1k- 2.+N- 1k-N- 1k- 1.=nk-nk- 1..没有k>n的路径-J-1.如果1≤ J≤ N- J - 3.从periodn到它有两条路-1，一条从位于j层的节点向上的路径-1 d一条从位于j+1层的节点e向下的路径。如果0≤ k<j没有带k ups的路径。

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2022-5-7 11:35:12

如果k=j，几乎可能的路径来自j- 所以∧jj，j，n=jj-j，1-1，n- 1= 1.如果j+1≤ K≤ N-J-1+j, 那么我们有∧jj，k，n=jj-1，k-1，n-1+jj+1，k，n-1=N- 1k- J-N- 1k- J- 1.+N- 1k- J- 1.-N- 1k- J- 2.=nk- J-nk- J- 1..没有k>N-J-1+j.这证明了当jis不是整数时的引理。（二）当jis为整数时，情况略有变化，见图2.3。三类节点的定义与之前相同：从（0，j）开始的传统二叉树中的访问集相同的节点（用实线表示）；传统二叉树的剩余终端节点（用虚线或粗实线表示）；从（j+1，0）开始的较小的Cheu k-Vorst树的终端节点（用双线、粗实线或虚线表示）。然而，请注意，一些终端节点同时属于第二类和第三类。（1）对于第一节课，我们采用与之前相同的论点。（2）对于第二类中的节点，我们只计算b二叉树中的路径。和以前一样，只有当n≥j+2，向上路径的可能数量k从n开始- n+j 吨-J-1，终端电平由j=j+2k给出-n、相应路径的数量（在二叉树内）为nk减去8个卡尔·格罗斯·埃尔德曼和法比恩·赫伊·韦利克克什的数字，xj=1j=6j=4j=3j=2j=2j=1j=0m=0m=0m=1m=2m=3m=4m=5图2.3。n=5且j=1条路径的呼叫的CV树。但现在丢失的路径是二叉树中达到水平的路径-1在某个时刻。这相当于计算从（0，j+1）到（n，j+1）达到0级的路径，这样的路径的数量与之前一样，nk+j+1.

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2022-5-7 11:35:16

最后，对于第三类的节点，我们计算至少一次沿着二叉树之外的路径的路径（这样，当节点也属于第二类时，我们不计算两次路径）。如前所述的论证证实了引理中的第三种选择。我们注意到，如果末级j同时属于第二类和第三类，那么二叉树中的路径正好是k=n+j-jupward跳跃（wh-ence n+j）-而在mostjn，这棵树外的小路- J- 1+jk<n+j- jupward跳跃。这表明对于这样的水平j，引理的陈述没有冲突。将回望调用的价格公式（2.4）与引理2结合起来。1.我们获得以下信息。定理2.2。让0≤ t<t和n∈ N.在时间t具有浮动行使的欧洲回望看涨期权的价格由（2.6）Cfln（t）=St（V）给出- V+V），其中V=nXk=kmin（1- 联合国-J-2k）nkqk（1）- q） n-k、 V=n-J-1Xk=kmin（1- 联合国-J-2k）nk+J + 1.qk（1）- q） n-k、 V=n-J-1Xj=0（1- U-j） kmaxXk=jhnk- J-nk- J- 1.iqk（1- q） n-kLOOKBACK期权和二项式近似9，jgiven为（2.3），q为（2.2），kmin=n- n+j 还有kmax=N-J-1+j.图2.4。n=3的看跌期权的CV树，也可以用同样的方法确定具有浮动期权的回望期权的价格。在这种情况下，由于基础价格始终低于最高价格，我们的水平值为负值，见图2.4。为了方便起见，我们将这些级别写为-j和j≥ 0

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2022-5-7 11:35:20

在j层中，我们被引导到与调用相同的树。通过这种调整，时间tM的put电平由一个非负数j给出，比如stm=马克斯特*≤tmSt*U-j、树满足度的初始水平j（初始时间t）=马克斯特*≤tSt*U-j、所以（2.7）j=log（maxt*≤tSt*/St）σpτ/n。在Cheuk和Vorst[4]中，具有浮动履约的欧洲回望看跌期权在t时的价格可以由pfln（t）=StXj给出∈J（uj）- 1） nXk=0∧jj，k，n（1- q） kqn-k、其中，J是成熟时可能的水平集（取正），q由（2.2）给出，∧jj，k，nis是从初始节点（0，J）到成熟时水平J的路径数，这些路径正好有k个向上跳跃。由于我们在引理2.1中计算了这些路径的数量，我们得到了以下结果。定理2.3。让0≤ t<t和n∈ N.在时间t具有浮动行使的欧洲回望看跌期权的价格为N byPfln（t）=St（V）- V+V），10卡尔·格罗斯-埃尔德曼和法比恩·赫伊·韦利克克斯其中V=nXk=kmin（uj+2k-N- 1)nk(1 - q） kqn-k、 V=n-J-1Xk=kmin（uj+2k-N- 1)nk+J + 1.(1 - q） kqn-k、 V=n-J-1Xj=0（uj- 1） kmaxXk=jhnk- J-nk- J- 1.i（1）- q） kqn-kwith jgiven by（2.7），q由（2.2）给出，kmin=n- n+j 还有kmax=N-J-1+j.3.二项累积分布函数的渐近展开为了获得回望期权价格的渐近展开式，当步数n趋于一致时，我们首先需要推导二项累积分布函数bn，pn（jn）=jnXk=0的无符号展开式nkpkn（1）- pn）n-kor，等价地，f表示互补二项累积分布函数B*n、 pn（jn）=nXk=jn+1nkpkn（1）- pn）n-k、与文献中的展开式相比，误差项更低。

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2022-5-7 11:35:23

此外，我们的方法允许我们处理任何满足0<lim infn的较弱假设的序列（pn）→∞pn≤ 林尚→∞pn<1。我们的方法依赖于Uspensky[16]的工作，他以方便的分析形式表示了二项式概率。Chan g和Palmer[3，引理1]重新定义了这个结果，以获得ordero（n）的近似值-1）在这种情况下→ 1/2. 最近，Lin和Palmer[14，LemmaC.1]提供了O（n）阶的估计-2）如果pn=1/2+O（n-1/2).Chang an d Palmer[3]利用他们的近似，得到了数字期权和欧式期权的渐近展开式，其余项为O（n）-3/2）（见[14，定理1.1]），而林和帕尔默[14]以同样的精度处理障碍选项。第二位授权人[11]最近评估了带有浮动罢工的回望选项，将自己限制在排放价格（即t=0）范围内。此外，当即期汇率r等于0时，他只得到一个余项O（n）-1）（见[11，备注4.1]）。为了得到具有剩余项O（n）的浮动罢工回望期权的渐近展开式-3/2），任何即期评级机构都是如此≥ 0，任何时候的价格t≥ 0，我们将需要一个ap proximationLOOKBACK选项和余项为O（n）的二项累积分布的二项近似值-5/2），由以下定理提供。在续集中，C>0表示一个通用常数，它在每次出现时可能有不同的值。还要注意的是，为了可读性，我们通常会删除索引n。让Φ表示标准正态累积分布函数。定理3.1。

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2022-5-7 11:35:27

假设p=pnsaties0<lim infn→∞pn≤ 林尚→∞pn<1。如果q=qn=1- Pn和0≤ j=jn≤ n、然后jxk=0nkpkqn-k=Φ（y）+e-Y√2πP√V+PV+PV3/2+PV+ On5/2作为n→ ∞, 式中V=npq，y=j-np+1/2√VandP=（q）- p）（1）- y），P=y[(-3+7y- y）-pq(-3+11岁- 2y）]，P=（q- p） [（123+129y）- 384y+95y- 5y）-pq（3+69y）- 399y+145y- 10y）]，P=y[(-4293- 1359y+6165y- 1971y+185y- 5y+pq（3105+1395y）-7794y+2979y- 325y+10y）+pq（135- 1035y+7947y- 4167y+560y- 20y）]。如上所述，该结果的证明将基于因Uspensky[16，p.121]而产生的二项式概率的分析性表示。定理（Uspensky）。设0<p<1，q=1- p和0≤ J≤ n个已执行的数字。然后jxk=0nkpkqn-k=J（y）-J（y′），其中y=J- np+√Vand y′=-np+√Vwith V=npq；这里函数J由（3.1）J（y）=2πZπρsin（y）定义√V~n- χ） sin k d k y∈ R、其中ρ=|pei|+q |，ω=arg（pei|+q）和χ=nω- np~n。我们将从Uspensky的表述中，通过运用和阐述他的观点，得出定理3.1（见[16，第121-129页]）。为此，我们需要两个初步引理。12卡尔·格罗斯·埃尔德曼和法比恩·赫伊·韦利克克斯勒马3.2。假设p=pnsaties0<lim infn→∞pn≤ 林尚→∞pn<1。设q=qn=1- Pn和V=npq。对于固定常数M>0，设φ为正数，使得≤ M/V1/4。然后我们有R=|pei|+q | nthatR=eR|1+Rа+Rа+Rа+Xk=1O（nkа2k+6）作为n→ ∞, 式中=-V，R=V- pq,R=-五、-pq+pq.证据设ρ=|pei|+q |，使R=ρn。然后我们得到ρ=（p+2pq cos|+q）1/2=1.- 4pq sin~n1/2.这就得到了logρ=log1.- 4pq sin~n= -2pq sin~n- 4（pq）sin~n-（pq）sin~n- δ、（3.2）式中δ=32（1- η)-4（pq）sinа对于0到4pq sinа之间的一些实数η。自从lim infn→∞请注意→∞qn>0我们有V=npq→∞ 因此0≤ φ ≤ M/V1/4→ 0作为n→ ∞. 因此（3.3）0≤ δ ≤ n足够大时的Cpq~n。现在，为了得到对数ρ的界，我们使用合适的泰勒展开式，大约0。

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2022-5-7 11:35:31

首先，我们有sin~n=~n-φ+φ-~n+~n+o（）。因此，我们有（3.4）μ-φ+φ-φ≤ 罪恶≤φ-对于n个足够大的值，则为。接下来，我们从sin~n=~n推导-φ+φ-~n+o（k）即（3.5）а-φ≤ 罪恶≤φ-对于n个足够大的值，则为。最后，我们从sin~n=~n中得到-~n+~n+o（）回望选项和二项近似13（3.6）-φ≤ 罪恶≤对于足够大的n。从（3.3）、（3.4）、（3.5）、（3.6）中，我们找到表达式（3.2）的上下界：logρ≤ -2pqφ-φ+φ-φ- 4pqφ-φ-pqφ-φ=Rn~n+Rn~n+Rn~n+pq+ pqν（3.7）和对数ρ≥ -2pqφ-φ+φ- 4pqφ-φ+φ-pqφ- Cpq~n=Rn~n+Rn~n+Rn~n- pq+ Cpqφ.（3.8）通过结合（3.7）和（3.8），我们确定了≤ R=ρn≤ eR~n+R~n+R~ne,哪里= -V pq+ Cpqφ≤ 0, =五、+ pqφ≥ 0.这显然意味着R- eR~n+Rа+Rа≤ eR~n+Rа+RаE- E.使用前≤ 1+2x代表0≤ 十、≤ 1和前≥ 1+x，我们有大n个- E≤ 2.- ≤ CV~n；注意→ 0作为n→ ∞. 因此R- eR~n+Rа+Rа≤ 换言之，（3.9）R=eR~n+R k+Rа+Rа+Rа+O（eRа+Rа+RаVа）。现在，兰德的定义是0≤ φ ≤ M/V1/4（3.10）Rа+Rа≤ C.通过组合（3.9）和（3.10），我们可以看到（3.11）R=eRа（eRа+Rа+O（nа））。我们用大约0的泰勒展开式重写第二个指数项，以获得0和Rа+Rа之间的一些η，Rа+Rа=1+（Rа+Rа）+（Rа+Rа）+eη（Rа+Rа），14 KARL GROSSE ERDMANN和FABIEN HEU WELYCKXhence（3.10）（3.12）eRа+Rа=1+Rа+Rа+Rа+Rа+Rа。结合（3.11）和（3.12）我们得到了结果。引理3.3。假设p=pnsaties0<lim infn→∞pn≤ 林尚→∞pn<1。设q=qn=1- Pn和V=npq。然后，对于任何非负整数m，存在一个常数C>0，使得im:=Z∞E-V k mdа≤ Cn-（m+1）/2。此外，假设τ=τn>0满足τ-1=O（nα），α<1/2。然后对于任何整数m和k，e xi有一个常数C>0，这样i*m:=Z∞τe-V k mdа≤ Cn-k、证据。

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2022-5-7 11:35:35

我们首先注意到，根据我们的假设，有一些δ>0，因此，对于大n，（3.13）V≥ δn和τ√五、≥ δn1/2-α.我们设定了x=√V~n。然后积分变成m=V-（m+1）/2Z∞E-xxmdxandI*m=V-（m+1）/2Z∞τ√Ve-xxmdx。被积函数可以用一个函数来限定-xif m≥ 0，或者如果m<0且x≥ 1.因为，通过（3.13），τ√五、→ ∞ 作为n→ ∞, 我们获得了≤ 个人简历-（m+1）/2andI*M≤ 个人简历-（m+1）/2e-τ√因此我们用（3.13）推导出≤ Cn-（m+1）/2对于任何k，I*M≤ Cn-K我们现在可以证明我们的主要结果。定理3.1的证明。证明将分为几个步骤。（1）鉴于上述Uspensky的表述，J（y）值起着关键作用，见（3.1）。我们将把积分分成两部分。L etτ=V-1/4，回望选项和二项式近似，使τ-1=O（n1/4）。在整个证明过程中，我们假设n比τ大≤π. 然后*（y） :=2πZπτρnsin（y√V~n- χ） sin k d k≤2πZπτρnsinаdа。对于（3.2），我们有n logρ≤ -2V s英寸。应用sin~n≥π表示0≤ φ ≤ π、我们得到了*（y）≤2πZπτe-2V si n k sinаdа≤Zπτe-2Vπаdа≤Z∞τe-2Vπаdа。代入x=πφ并应用引理3.3，我们得到（3.14）J*（y）≤Z∞πτe-V xxdx=On5/2自（πτ）-1=O（n1/4）。从（3.1）和（3.14）中，我们得到（3.15）J（y）=2πZτρ康星（y）√V~n- χ） sin k d k+On5/2.（2）看看J（y）的被积函数，我们现在要估计sin（a）- χ）在φ的幂中∈ R回想一下ω=arg（pei~n+q）和dχ=nω- np~n。通过泰勒展开，我们得到了- χ） =sin（a）- cos（a）χ-sin（a）χ+cos（a）χ+sin（a）χ-cos（a）- η）对于0和χ之间的某些η，χ（3.16）。因为在（3.15）之前，必须假设0≤ φ ≤ τ ≤π我们看到ω=arctanp sin~np cos~n+q，所以χ=n arctanp sin~np cos~n+q- np~n。现在，dd~nχ（ν）n=- p+p- q1+2pq（cosа）- 1），我们使用了p+q=1。

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2022-5-7 11:35:40

注意，作为x→ 0,1+2pqx=1-2pqx+（2pq）x+O（x），其中大O条件下的常数不依赖于n，因为pq有界于n。因此泰勒展开式- 1 = -~n+~n+O（~n）16 KARL GROSSE-ERDMANN和FABIEN HEU Welyckx为我们提供了χ（ν）n=- p+p- Q1.- 2pq-φ+φ+ （2pq）а+O（а）=pq（p- q） ~n-pq（p- q）（1）- 12pq）ν+O（ν），因此（3.17）χ=χ~n+χ~n+否（ν），χ=V（p- q），χ=-V（p- q）（1）-12pq）。应用（3.16）和（3.17）我们得到-χ） =sin（a）-cos（a）（χа+χа+否（а））-sin（a）（χk+χk+否（а））+cos（a）（χа+否（а））+sin（a）（χа+否（а））-cos（a）-η）（nO（ν）），以及亨塞辛（a）-χ） =sin（a）-cos（a）χ~n-cos（a）χ~n-sin（a）χ~n-sin（a）χχ~n+cos（a）χ~n+sin（a）χ~n+Xk=1O（nk~n2k+5）。（3.18）（3）接下来，使用洛朗表达式，我们得到了th atsinа=а+а+а+O（а），它与引理3.2以及R=ρ等于ρsinа=eRа的事实一起ν+а+h+2Riа+hR+2Riа+Rа+Xk=0O（nkа2k+5）.（3.19）我们现在可以重写（3.15）的被积函数。设置√Vа=αа=awe通过组合（3.18）和（3.19）获得ρnsin（y√V~n- χ） sinа=eRа~nsin（α~n）+Xk=1Jk~nk+Xk=1O（nk2k+4）,（3.20）其中J=0，回望选项和二项式近似17J=sin（αφ），J=-2χcos（αφ），J=+ 2Rsin（αφ），J=-χ+ 2χcos（αφ），J=R+2R- χsin（αφ），J=-2Rχcos（αφ），J=R-2χχ-χsin（αφ），J=χcos（αφ），J=-Rχsin（α~n），J=χsin（α~n）。（4）我们将使用（3.20）中得到的被积函数的形式来估计（3.15）。我们从错误术语开始。应用g引理3.3，我们得到了（3.21）ZτeRаfkdа≤ CnkZ∞E-Vа2k+4dа=On5/2,当fk=O（nk~n2k+4）时，k是1到8之间的整数。对于（3.20）中的主要部分，我们可以将[0，τ]上的积分替换为[0，∞) 误差最大为O（n-5/2).

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2022-5-7 11:35:45

事实上，J**（y） :=Z∞τeR~nsin（α）+Xk=1Jkkd~n≤Z∞τe-V~n|+Xk=1 |Jk | |kd。使用系数Jk的定义，并注意到τ-1=O（n1/4），我们用引理3.3得到（3.22）J**（y） =On5/2.将（3.20），（3.21）和（3.22）应用于（3.15），我们推导出j（y）=2πZ∞eRа2аsin（αа）dа+2πXk=1Z∞eR~nJk~nkd~n+On5/2α=y√V和R=-五、我们将这些积分归为附录A。简化后，尤其是使用（p-q） =1-4pq，我们得到（3.23）J（y）=Φ（y）-+E-Y√2πP（y）√V+P（y）V+P（y）V3/2+P（y）V+On5/2p（y）=（q- p）（1）- y），P（y）=y[(-3+7y- y）-pq(-3+11岁- 2y）]，P（y）=（q- p） [（123+129y）- 384y+95y-5y）-pq（3+69y）- 399y+145y- 10y）]，P（y）=y[(-4293- 1359y+6165y- 1971y+185y- 5y+pq（3105+1395y）- 7794y+2979y- 325y+10y）+pq（135- 1035y+7947y- 4167y+560y- 18卡尔·格罗斯·埃尔德曼和法比安·赫伊·韦利克克斯（5）最后，由乌彭斯基得出（3.24）jXk=0nkpkqn-k=J（y）-J（y′），其中y=J- np+√Vand y′=-np+√V.从0开始<lim infn→∞pn≤ 林尚→∞pn<1存在δ>0和C>0，因此，对于大n，δn≤ 五、≤ n和δ√N≤ |y′|≤ C√n、因此，对于每个k=1，4（3.25）e-（y′）√2πPk（y′）Vk/2=On5/2.此外，对于x≤ -2.-十、≤ 十、因此，如果n足够大，那么（3.26）Φ（y′）≤√2πZy′-∞exdx=√2πey′=On5/2,所以（3.27）J（y′）=-+ On5/2.现在这个定理来自（3.24），（3.23）和（3.27）。我们可以推断出第一个简单的推论。推论3.4。假设p=pn→ p 0<p<1，且j=jn满足→ j、然后jxk=0nkpk（1）- p） n-k=On5/2如果j<p，则jXk=0nkpk（1）- p） n-k=1+On5/2如果j>p.Proof。根据我们的假设，它就是这样√n=j- np+npp（1）- p）→J- 购买力平价（1）- p）。如（3.25）所示，对于k=1。

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2022-5-7 11:35:48

，4，e-Y√2πPkVk/2=On5/2.此外，如果j<pthen如（3.26）所示，我们得到Φ（y）=On5/2,如果j>p，我们得到Φ（y）=1-Φ(-y） =1+On5/2.回望选项和二项式近似19现在，该主张遵循定理3.1。第二个推论对于我们在下一节中应用回溯选项至关重要。推论3.5。假设p=+α√n+βn+γn3/2+δn+εn5/2+ONandj=n+a√n++bn+c√n+dn+en3/2+ON,其中（bn）是一个有界序列。ThennXk=jnkpk（1）- p） n-k=Φ（A）+e-A.√2πBn√n+C- CBnn+D- DBn- DBnn3/2+E- EBn- EBn+EBnn+ On5/2,式中c=2αA- (1 - A）（A）- 8α）/12+C，C=A/2，D=4αβA+2（1- A） β/3+D，D=（8αA- 1)/6 - (1 - A）（A）- 8αA+24α- 3） /12+AC，D=（1）- A） /6，E=2（β+2αγ）A+（1-A）（6αC+2γ）/3+（3-A）（6α）-2C）αA/3+（A-4A+1）（16α-C） /12-（5A）-53A+33A+171）A/1440+（5A-41A+21A+27）α/90-（7A）-40A+15）αA/18-AC/2+E，E=4βA/3+（1- A）（2A）- 12α）β/3+AD，E=2αA+（1-A）（C+2αA）/2-（A）-8A+9）A/24+（A）-6A+3）α/3，E=（3- A） A/24，其中A=2（α-a），Bn=2（β-bn），C=2（γ-c），D=2（δ-d），E=2（ε）-e）。证据该证明基于与[11]中引理3.1相同的思想。由于计算量很大，我们只需回顾一下获得结果的主要步骤。我们首先注意到，根据定理3.1，nXk=jnkpk（1）- p） n-k=1-J-1Xk=0nkpk（1）- p） n-k=1- Φ（y）-E-Y√2πP√V+PV+PV3/2+PV+ On5/2y=j-NP-1/2√五、其中P，和定理一样。我们的目标是给出这个SUM中每个项的渐近展开式。我们从1开始- Φ（y）=Φ(-y）。这个项是一个积分，我们将其分解为两部分：一部分是From-∞ 到A（给Φ（A））和从A到的第二个-y、这种分裂的动机是y到y的收敛-A20 KARL GROSSE-ERDMANN和FABIEN HEU WELYCKXas n倾向于团结。然后，我们使用关于a的泰勒展开式找到了第二个积分的渐近展开式，其中我们用y的渐近展开式代替y。我们完成了所有其他条款。

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2022-5-7 11:35:51

对于它们中的每一个，我们用它们各自的渐近表达式来代替Vand y。备注3.6。我们已经宣布了结果*n、 p（j）- 1） =nXk=jnkpk（1）- p） n-k、与[3]、[14]和[11]中的结果一致。二项累积分布函数bn，p（j）=jXk=0的相应结果nkpk（1）- p） n-通过在形式j=n+a中写入j获得的kis√N-+ bn+c√n+dn+en3/2+ON取1减去推论中给出的结果。4.回望期权价格的渐近性在本节中，我们结合前面几节的结果来推导回望期权价格的渐近展开式。我们将使用第2节的符号。此外，我们采用了与文献中常见用法一致的以下符号：d=σ√τlogStMt+（r+σ）τ,d=σ√τlogStMt+（r）-σ)τ= D- σ√τ、 d=σ√τ- logStMt+（r）-σ)τ= -d+2rσ√τ、 d=σ√τ- logStMt+（r+σ）τ= d+σ√τ、我们将写出κn={j}（1）- {j} ，式中，如前所述，j=对数（St/Mt）σ√τ/n.我们首先注意到，作为n函数的lo okback回叫的价格Cfln显示了一些（轻微的）振荡，见图4.1，这是由初始水平jn的非整数部分{j}随n变化的事实引起的。这提醒了欧式期权的一种（更剧烈的）振荡。为了解决这些问题，Diener和Diener[7]使用了f ormCn=c+c的渐近表达式√n+cn+On3/2,其中，系数被允许是n的有界函数。这些系数的可变性捕获了观察到的振荡。为了在我们的环境中获得这样的渐近展开式，我们需要以下内容。回望选项和二项近似210 100 200 300 40026.126.226.326.4CflnCflBS60 80 100 120 14026.2926.326.3126.3226.3326.34图4.1。回望电话的价格，以及它的详细结构引理4.1。让a，a，a∈ R、设η=η（n）是n的有界函数。

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2022-5-7 11:35:54

然后1+a√n+an+On3/2η=1+aη√n+aη-η(1 -η）安+On3/2.证据我们有，对于大n，1+a√n+an+On3/2η=expη对数1+a√n+an+On3/2= 经验ηA.√不适用-安+On3/2= 经验aη√n+（a）-a） ηn+On3/2= 1+aη√n+（a）-a） ηn+aηn+On3/2,这证实了这一说法。这里需要注意的是，每个大条件都包含一个绝对常数。本质上，引理说我们可以扩展函数（1+a）√n+an+O（n3/2））η，就好像η是一个常数。因此，Diener和Diener[7]提出了一个冻结的参数。我们首先考虑回望调用的渐近展开。它在布莱克-斯科尔斯模型中的价格是众所周知的。如果r>0，那么Goldman、Sosin和Gatto[10]发现（4.1）CflBS（t）=St- StθB- MtB+St（1）- θ）其中θ=1+σ2r，θ=1-σ2r，B=Φ(-d），22 KARL GROSSE-ERDMANN和FABIEN HEU WELYCKXB=e-rτΦ（d），B=e-rτStMt-2r/σΦ（d）。通过传递到（4.1）中的极限，Babbs[1]获得了在r=0 asCflBS（t）=St的情况下的价格- 机顶盒- 曼恩商用车公司- St（B）*- B*),在哪里*=logStMt+στΦ(-d），B*= σ√τe-d/2√2π.定理4.2。让0≤ t<t和n∈ N.在N期CRR二元模型中，具有浮动行使权的欧洲回望看涨期权在t时的价格满足以下条件：（i）如果r>0，则CfLn（t）=CflBS（t）- Stσ√τθB+θB√N-hStστ（θ+2）B+（θ+2）- T） B- MtTBin+On3/2,其中B=σ√τStMt(1-2r/σ）/2e-（d+d）√2π，T=12rσθκn- （1+4rσ）logStMtand T=+κn+d6σ√τlogStMt；（ii）如果r=0，则CfLn（t）=CflBS（t）- Stσ√τ2B+B*- B*√N-hStστ3+3κn-στB+B*- StT*B*输入+输出n3/2,T在哪里*=+ κn+στ-d6σ√τlogStMt。证据

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2022-5-7 11:35:57

证明的第一步是将（2.6）作为（互补）二项累积分布函数的组合。至于大众汽车，请注意，根据（2.1）和（2.2），联合国-J-2kqk（1）- q） n-k=u-日本脑炎-rτpk（1）- p） n-k、所以v=B*n、 q（j）- 1) -MtSte-rτB*n、 p（j）- 1），其中j=n- n+j.对于Vwe，首先更改指数k→ k+J+ 1，然后对vt进行处理，以获得v=Q-J-1B*n、 q（j）- 1) -MtSte-rτP-J-1B*n、 p（j）- 1），回溯选项和二项式近似23Q=q1- q、 P=p1- pand j=j+J + 1.对于Vwe，按照[11]进行。我们先把内部的和分开，然后用骰子k来改变→ K- j和k→ K- J- 1.接下来我们交换出现的两个双和s，注意0≤ J≤ N- J - 1和0≤ K≤ N-J-J-1. 等于0≤ K≤ N-J-1. 和0≤ J≤N-J-1.-2k；那是0≤ J≤ N-J-1和0≤ K≤ N-J-J-1.-1等于0≤ K≤ N-J-1.-1和0≤ J≤ N-J-3.-2k。注意N-J-1. = J- 1.现在，如果r>0，那么作为内部和出现的几何级数的比率不同于1，因此通过继续如[11]中所述，我们得到v=Q（1）- d）（Q）- 1）（Qd）- 1)Bn，q（j）- QBn，q（j）- 1)+Q-J-1Q- 1.QBn，1-q（j）- Bn，1-q（j）- 1)+ E-rτ（Qd）-J-1d（1）- Qd）P Bn，1-p（j）- Bn，1-p（j）- 1)j=j时- 1.我们在哪里使用过u-1=d。但是，如果r=0，那么Q=u，这样就会出现比率为1的几何级数。使用knk= NN-1k-1., 然后计算得出=J - N-U- 1.Bn，q（j）- uBn，q（j）- 1)- 2uBn，q（j）- 1） +u-J-1u- 1.uBn，p（j）- Bn，p（j）- 1)+ 2nqBn-1，q（j）- 1) - 乌本-1，q（j）- 2),我们在哪里使用了1- 在这种情况下q=p。我们注意到，Vand Vare的公式不受影响，但可以用u代替Q，用V代替Pby d。证明的第二步是使用推论3.5和备注3.6扩展每个项。我们注意到，我们使用引理4.1和η={j}来展开一个包含J. 例如，我们写-J-1=Q{j}Q-J-1并分别展开。

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2022-5-7 11:36:01

经过一系列的计算和简化，我们得到了结果。我们转向这个问题的渐近解。我们必须用运行中的最大值替换运行中的最小值*≤tSt*,初始水平变为j=log（Mt/St）σpτ/n（>0）。24 KARL GROSSE-ERDMANN和FABIEN HEU Welyckx通过这种重新解释，数字d、d、d和K被重新定义。对于r>0，Goldman、Sosin和Gatto[10]发现PFLBS（t）=-St+StθB+MtB- St（1）- θ） B=Φ（d），B=e-rτΦ(-d），B=e-rτStMt-2r/σΦ(-d）当r=0时，Babbs[1]得到了pFlbs（t）=-St+StB+MtB+St（B）*+ B*)用b*=logStMt+στΦ（d），B*= σ√τe-d/2√2π.定理4.3。让0≤ t<t和n∈ N.在N期CRR二元模型中，具有浮动履约的欧洲回望看跌期权在t时的价格满足以下条件：（i）如果r>0，则PFLN（t）=PflBS（t）- Stσ√τθB+θB√n+hStστ（θ+2）B+（θ+2）- T） B+ MtTBin+On3/2,其中B=σ√τStMt(1-2r/σ）/2e-（d+d）√2π，T=12rσθκn- （1+4rσ）logStMtand T=+κn+d6σ√τlogStMt；（ii）如果r=0，则pfln（t）=PflBS（t）- Stσ√τ2B+B*+ B*√n+hStστ3+3κn-στB+B*+ StT*B*输入+输出n3/2,T在哪里*=+ κn+στ-d6σ√τlogStMt。该证明与定理4.2的证明非常相似，因此被省略。备注4.4。如果期权的价值是在排放量，我们得到的是St=m，因此κn=0。这里得到的公式与第二作者之前发现的公式一致[11]。回望选项和二项式近似254.5。在定理4.2和4.3中，我们得到了n的非有界函数的系数。事实上，这些系数是κn={j}（1）的一个有效函数- {j} ），以n为界。函数x7→ x（1）- x）因此，导致了图4.1中的抛物线状振荡。备注4.6。r=0的系数是r>0.5的极限。数值例子在这一部分我们给出定理4.2和定理4.3的数值例子。

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nandehutu2022

2022-5-7 11:36:04

这些结果告诉我们CfLn=CflBS+C√n+Cn+On3/2和PFLN=PflBS+P√n+Pn+On3/2对于某些常数C、函数C、p，它们以n为界。例如，对于调用，我们应该找到（Cfln- CflBS）√n和（Cfln）-CflBS- C/√n） n几乎分别与大n的c和c重合。这将在下面的四个表中考虑。我们选择的值为ss=80，σ=0.2，τ=1.27。对于每种类型的期权，我们都会生成一个即期汇率为正值（r=0.08）的示例，以及一个r=0的示例。对于看涨期权，我们将Mt=60作为标的证券的最低价格（见表1和表2）。所得结果与定理4.2一致。周期数n 1000 5000 50000 1000000CFLN26。3647 26.3765 26.3794 26.3832 26.3842CflBS26。386426.386426.386426.386426.386426.3864（Cfln- CflBS）√n-0.6866-0.6987-0.7004-0.7040-0.7050C-0.7071-0.7071-0.7071-0.7071-0.7071-0.7071（Cfln- CflBS- C/√n） n 0.6491 0.5931 0.6658 0.6868 0.6746C0。6640 0.5961 0.6635 0.6808 0.6681表1。例如，对于调用（r>0），我们对put采用相同的参数，但在这里，我们认为时间t时基础的最大价格为Mt=100（见表3和表4）。结果与定理4.3.6一致。结论本文的主要目的是推导n的幂级数的渐近展开式-1/2欧洲lo okback期权的价格，带有浮动罢工。为了实现这一点，我们必须重新定义Cheuk和Vorst的离散模型。他们的树只适用于排放评估的选项。

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2022-5-7 11:36:09

在我们的工作中，我们考虑了在排放和到期之间的任何时间期权的价格。26 KARL GROSSE-ERDMANN和FABIEN HEU Welyckx周期数n 1000 5000 50000 100000 cfln21。3779 21.4016 21.4074 21.4151 21.4169CflBS21。4214 21.4214 21.4214 21.4214 21.4214 21.4214（Cfln- CflBS）√n-1.3755-1.3956-1.3985-1.4044-1.4060C-1.4095-1.4095-1.4095-1.4095-1.4095-1.4095- CflBS- C/√n） n 1.0746 0.9868 1.1024 1.1371 1.1173C1。1144 1.0069 1.1136 1.1410 1.1209表2。呼叫（r=0）周期数n 1000 5000 50000 1000000PFLN16的示例。3662 16.4536 16.4747 16.5031 16.5098PflBS16。5260 16.5260 16.5260 16.5260 16.5260 16.5260（Pfln- PflBS）√n-5.0523-5.1200-5.1274-5.1325-5.1394P-5.1466-5.1466-5.1466-5.1466-5.1466（Pfln- PflBS- P/√n） n 2.9814 1.8813 1.9153 3.1439 2.2781P3。0671 1.9652 1.9524 3.1866 2.3146表3。周期数n 1000 5000 50000 1000000PFLN23的put（r>0）示例。4800 23.5410 23.5559 23.5759 23.5806PflBS23。592123.592123.592123.592123.592123.5921（Pfln- PflBS）√n-3.5462-3.6140-3.6217-3.6271-3.6340P-3.6413-3.6413-3.6413-3.6413-3.6413-3.6413（Pfln- PflBS- P/√n） n 3.0079 1.9330 1.9554 3.1721 2.3143P3。0623 1.9703 1.9577 3.1807 2.3166表4。例如put（r=0），这种更一般的情况使你需要一种新类型的树，它混合了部分二项树和一个Cheuk-Vorst树。通过计算这棵树中的路径数，我们导出了期权价格的封闭公式。为了描述这个公式的渐近行为，我们需要一个二项累积分布函数的渐近展开式，其误差项比文献中已知的要小。

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2022-5-7 11:36:12

继Chang、Lin和Palmer[3]，[14]的工作之后，我们的工作基于二项累积分布函数的积分表示，这是由Uspensky[16]引起的。回溯选项和二项式近似我们得到了n的系数的显式公式-1/2和n-1在同态展开中，包括调用和put，以及参数的任何值；特别是，我们允许即期汇率为零。这些公式证实了Black-Scholes价格的收敛性。我们的结果在随机样本上进行了测试。作为我们工作的后续行动，可以提出几个问题。一个可以继续研究lo okback期权；到目前为止，还没有已知固定打击情况的渐近展开式。Cheuk和Vorst[4]建立了一个单一状态树，可以作为这项工作的基础。然而，从他们的树中推断出的价格不能先验地用二项式累积分布函数来表示。有必要为一些新的函数类型提供一个渐近展开式。另一种可能性是研究亚洲期权，其收益由债券的平均价值决定。平均值可以是几何值，也可以是算术值。此外，还有固定打击和浮动打击选项。到目前为止，在算术平均的情况下，还没有已知价格的封闭形式[5]。因此，通过确定等价CRR树得到的价格的渐近展开，也可以在算术情况下找到一个闭式解。附录A.一些积分我们在这里计算定理证明所需的一些积分。1.回想一下R=-V和α=y√五、第一个积分是Fouriersine变换：2πZ∞eRа2аsin（αа）dа=πZ∞E-xxsin（yx）dx=√2πZye-xdx=Φ（y）-采用Φs标准正态累积分布函数；见[16，pp.128-129]，[8，p。

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2022-5-7 11:36:16

73].剩下的积分是函数x7的傅里叶正弦或傅里叶余弦变换→ xme-x、 m≥ 1.众所周知，它们的值与厄米多项式Hm:πZ有关∞xme-x（sin（yx）如果m是oddcos（yx）如果m是偶数）dx=(-1)m/2E-Y√2πHm（y），见[8，第15页，第74页]。对于m=1，我们有2πZ∞eR~nJ k dа=24VπZ∞xe-xsin（yx）dx=24V E-Y√2πy.28 KARL GROSSE-ERDMANN和FABIEN HEU Welyckxf，m=2,2πZ∞eR k J k dа=-P- Q√VπZ∞xe-xcos（yx）dx=p- Q√Ve-Y√2π（y）- 1).对于以下m值，我们得到2πZ∞eR k J k dа=J*2VπZ∞xe-xsin（yx）dx=J*2Ve-Y√2πy（3）- y）和J*=+五、- pq;2πZ∞eR k J k dа=J*（p- q） 2V3/2πZ∞xe-xcos（yx）dx=J*（p- q） 2V3/2e-Y√2π(3 - 6y+y）带J*= -+1.- 12pq;2πZ∞eR k J k dа=J*2VπZ∞xe-xsin（yx）dx=J*2Ve-Y√2πy（15- 10y+y）和J*=- pq--pq+pq-V（p- q） )；2πZ∞eR k J k dа=J*（p- q） 2V3/2πZ∞xe-xcos（yx）dx=J*（p- q） 2V3/2e-Y√2π(15 - 45岁+15岁-y）和J*= -(- pq）；2πZ∞eR k J k dа=J*2VπZ∞xe-xsin（yx）dx=J*2Ve-Y√2πy（105- 105y+21y- y）和J*=(- pq）+（p- q）（1）- 12pq）-（p- q） )；2πZ∞eR k J k dа=（p- q） 1296V3/2πZ∞xe-xcos（yx）dx=（p- q） 1296V3/2e-Y√2πH（y）回溯选项和H（y）=105的二项式近似-420y+210y-28y+y；2πZ∞eR k J k dа=J*（p- q） 2VπZ∞xe-xsin（yx）dx=J*（p- q） 2Ve-Y√带J的2πH（y）*= -(- pq）和H（y）=y（945-1260y+378y-36y+y）；2πZ∞eR k J k dа=（p- q） 31104VπZ∞xe-xsin（yx）dx=-（p- q） 31104Ve-Y√2πH（y），其中H（y）=y(-10395+17325y-6930y+990y-55y+y）。参考文献[1]Babbs S.（2000）：回望期权的二项估值。J.经济。迪纳姆。控制241499-1525。[2] Black F.和Scholes M.（1973）：期权定价和公司负债。J.政治经济学。81, 637–654.[3] Chang L.B.和Palmer K.（2007）：二项模型中的平滑收敛。金融斯托奇。11, 91–105.[4] Cheuk T.H.F.和Vorst T。C.F（1997）：货币回溯选项和观察频率：二项式方法。J.国际。

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