基于变分分析的内在存储价值评估

2022-5-8 10:17:25

通过变分分析确定内在存储价值Dmitry Lesnik 2018年8月15日摘要通过变分分析，制定并解决了有关内在存储优化的数学问题。该解决方案虽然以隐式形式获得，但仍然揭示了最佳锻炼策略的许多重要特征。它显示了解决方案如何依赖于不同的约束类型，包括结转成本和周期约束。此外，还研究了内禀解和随机解之间的关系。特别是，我们证明了最优随机运动决策总是接近于内在决策。1简介存储优化问题的驱动力是存储所有者必须将其费用降至最低，并最大限度地提高通过操作存储所能获得的潜在收益。在现实世界中，储存的例子很多：天然气储存、石油储存、水力发电厂、煤炭储备等。天然气和电力市场上另一种流行的产品是摇摆合同，它在数学上相当于储存问题。通过遵循一个聪明的策略——以低廉的价格购买基础商品，并将其储存起来，然后随着价格的上涨而出售——仓库所有者可以获得利润。知道购买或出售的数量和数量决定了仓库的使用规则。因此，有必要对锻炼策略进行优化——找到一个锻炼规则，最大限度地提高收益，最小化风险。准确的存储期权定价方法还必须考虑价格的随机性。这通常是通过使用随机过程对价格进行建模来实现的，该随机过程尽可能捕捉真实世界价格运动产生价值的统计特性。该价格模型通常在用于实际定价之前，根据可用的市场数据进行校准。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:17:29

我们将相应的期权价值称为随机价值。另一种选择是，如果价格固定（与估值日提供的远期价格相比），则任何人都可以考虑存储期权。相应的选项值被命名为“内在”。存储选项的内在价值必然小于随机价值，因为它不考虑时间价值。最流行的存储优化方法之一是“动态编程”算法。它可以用来优化固有问题和随机问题。随机方法通过在树上建模或通过蒙特卡罗模拟来近似随机价格。Longsta off和Schwartz[4]提出了一种利用蒙特卡罗定价进行估值的高效数值算法。Alex ander Boogertand Cyriel de Jong[1]在论文中对应用于存储选项的最小二乘算法（LSMC）进行了全面描述。动态编程提供了最通用的方法，因为它可以处理几乎任何类型的约束。如果约束条件非常简单，那么本质问题可以重新表述为“线性规划”问题，它有更有效的数值算法，尽管通常情况下，数值效率不是本质问题的问题。存储选项的数值解为两个最重要的问题提供了答案：考虑到当前状态（存储的价格和容量水平），在每个时刻的最佳执行决策是什么，以及如果我们遵循最佳执行策略，预期收益是什么。另一项重要任务是找到一种最佳的对冲策略——一种衍生品（期货、期权或任何其他金融工具）组合，以最大限度地降低金融风险。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:17:32

当然，市场风险只是随机问题的一个特征，因为内在问题的解是确定性的。非市场风险，例如物理存储的操作风险，不被考虑，因为它们代表系统性风险，因此在实践中是事后确定的。在本文中，我们发展了一种分析方法来解决内在存储优化问题，并考虑内在解和随机解之间的联系。该解是隐式的，因此不能直接用于期权价值的计算。然而，它突出了问题的许多有趣的特征，并涵盖了大量的应用。最显著的结果之一与最佳运动决策有关。我们证明，内在和随机的行权决策都是基于所谓的触发价格，最重要的是，内在和随机的触发价格以领先顺序共同作用。这意味着正确的随机行权决策可以基于内部触发价格。虽然交易者经常使用“滚动内部”策略，但通常认为它是次优的。这项工作表明，内在运动实际上是最优的，我们也用数值模拟来证明这一点。我们的分析还显示了如何以有效的方式对不同的约束进行建模。最有趣的例子之一是循环约束，它有时被施加在存储合同上。以数值方式处理循环约束在计算上非常昂贵，因为它需要在状态空间中增加一个维度。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:17:35

我们表明，周期约束可以通过虚拟的注入/提取成本来模拟，这使得数值解的实现更加简单，并且速度更快几个数量级。在“讨论和数值分析”一节中给出了更详细的结果概述“本文的组织结构如下。在第2节中，我们根据变分分析给出了问题的形式数学公式。在第3节中，我们给出了内在问题的解决方案，并在第4节中考虑了约束的不同特殊情况。在Se c.5中，我们简要地考虑了随机问题的某些方面，并证明了最优随机练习是bang-bang，并且可以通过内在运动来近似。如果读者想略过详细的数学推导，可以直接在第二节中讨论这些结果。6.2问题表述存储问题可以表述如下：存储选项有权在（虚拟）存储设施中存储一定数量的基础资产（在当前讨论中，可能是天然气）。在任何时候，期权持有人都可以“不做任何事情”，向储油罐中注入气体，或从储油罐中释放气体。每次将天然气注入储存库时，必须以当前现货价格在市场上购买。同样，每次从仓库中释放气体时，都会在市场上出售。由于天然气的市场价格随时间而变化，这可能会导致不小的现金流。天然气的注入和释放可能必须满足一些操作合理的约束条件（对于最大注入和释放速率、最大存储容量等），作为边界条件。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:17:38

每个运动计划（在时间-体积空间中的轨迹）都有不同的计划。从这个意义上说，计划成为运动轨迹上的一个函数，将每个可能的注射和释放计划映射到相应的计划。储存计划持有者的目标是通过选择最佳运动策略来最大化计划。这个问题可以用变分分析的方式来描述——最优轨迹就是传递函数最大值的轨迹。如果市场价格是静态的，也就是说，所有交货日的价格都是预先知道的，并且永远不会改变，那么问题是确定的。可能的利润从上到下是有界的，因此存在一个轨迹，使得没有其他轨迹产生更高的利润。确定性问题的最大利润称为“内在价值”。我们现在将用变分分析的方法来研究决策问题。我们在连续时间近似下考虑存储问题。让t等于存储合同的总时间，这样t∈ [0，Te]。设F（t）为t时交付的天然气的市场价格。曲线F（t）被称为远期价格曲线，因为它在t=0时在市场上观察到，并包含关于未来交付y的天然气价格的信息。根据静态问题的定义，正向曲线永远不会改变，因此观测和交付时间之间没有差异。设q（t）为在时间t时储存的气体量。我们将单位时间内注入（或从中释放）储存的体积称为“运动”。曲线˙q（t）=dq/dt确定了运动轨迹。初始和终端条件为q（0）=Qstartq（Te）=Qend（2.1）。我们考虑自由终端条件的情况，其中q（Te）不固定，以秒为单位。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-8 10:17:41

4.2.根据行使策略˙q（t）在时间间隔dt内交易天然气产生的现金流如下所示：- ˙q（t）F（t）dt（2.2）注入或释放天然气的成本（运营成本）可能会产生额外的现金流。让我们将γ（˙q）指定为单位时间内的运行成本（我们在这里假设运行成本只是exerc ise˙q的函数）。终端利润或损失由存储寿命内的累积现金流给出。因此，我们引入了目标t泛函[q（t）]=-ZTeh˙q（t）F（t）+γ（˙q（t））idt（2.3）q（0）=Qstart，q（Te）=Qend（2.4）轨迹q（t）上该函数的值给出了该轨迹发生时的存储值条件。在这里，我们使用下标0表示未修改的积分。在下一节中，我们将介绍一个修正的积分S[q（t）]，其中包括执行操作构造的附加条款。展望未来，我们注意到，在约束允许的任何轨迹Q（t）a上，修改和未修改泛函的值是一致的。使用“物理学”术语，我们介绍了（未经修改的）拉格朗日Lcorres，其作用函数SasL=-˙q（t）F（t）- γ（˙q（t））（2.5）如上所述，目标泛函上下都有界，因此不存在泛函达到其最大值和最小值的轨迹。我们现在利用变分分析来搜索极值轨迹，即目标函数的第一个变化消失的轨迹。根据不同的存储选项，运行约束的类型可能会有所不同。下面，我们考虑一些在实践中发现的典型约束，这些约束可以归类为局部约束。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:17:44

局部性质意味着时间t的约束可以用状态变量及其导数q（t），˙q（t），F（t），˙F（t）。。。在每个时间t，我们考虑以下两个操作约束：实际上，远期曲线在交易过程中发生变化，因此它是观察时间和交付时间t:F（t，t）的函数。我们没有对变分问题解的存在性和唯一性进行彻底的分析。然而，我们指出，定义目标函数并达到最大值的函数类q（t）相当广泛。特别地，这个类包括所有连续的局部可积函数。在某些情况下，解空间甚至可以扩展到不连续或奇异函数。我们假设所有表示问题参数的函数——正向曲线、边界条件等——都表现良好，因此所有数学表达式都定义良好。如果情况并非如此，那么我们可以采用监管程序。我们还利用了函数收敛的概念，我们将始终理解为弱收敛，即ψk→ ψ如果S[ψk]→ S[ψ].1。音量q（t）必须保持在间隔q（t）内∈ [Qmin（t），Qmax（t）]（2.6）其中边界Qmin（t），Qmax（t）可以是时间依赖的。2.注射/释放速率˙q（t）以˙q（t）为界∈ [rmin，rmax]（2.7）通常，最大注射/释放速率可能取决于时间和体积：r=r（t，q（t））。在以下分析中，我们将只考虑恒定的注射/释放速率。与体积相关的费率将在第二节中考虑。4.4.非局部约束的一个典型例子是称为循环约束的SO。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:17:48

其公式如下：引入一个进气循环变量asc（t）=Zt˙q（τ）θ（˙q（τ））dτ，其中θ（x）=1倍≥ 00 x<0（2.8），对应于时间t之前的总注入体积。循环约束要求终值c（Te）不超过某个阈值c（Te）≤ cmax（2.9）同样可以引入释放周期约束，限定总释放量。我们将考虑第4.3.2.1节惩罚函数中的循环约束。为了限制q（t）超出范围[Qmin，Qmax]，我们可以引入参数化惩罚函数-φ[q（t），Nφ]并将其添加到拉格朗日函数中。罚函数可以是任意光滑凸函数，其极限为Nφ→ ∞ [Qmin，Qmax]内接近零，否则为正。这个函数的一个特殊例子是φ=ha（q（t）- b） i2Nφ，其中a=2- εNQmax- Qminb=Qmax+QminεN=Nφ参数化表示具有正则化的目的，因为变分问题满足经典变分分析对有限Nφ的严格要求。极限Nφ的跃迁→ ∞ 只有在找到最终Nφ溶液后才能正式进行。一个类似的正则化罚函数-ψ[˙q（t），Nψ]可以用来限制˙q（t）退出区间[rmin，rmax]。在极限Nψ内→ ∞ 它在[rmin，rmax]内接近零，在其他方面为正。修正的拉格朗日函数becomesL=L- φ（q）- ψ（˙q）=-h˙qF+φ（q）+ψ（˙q）+γ（˙q）i（2.10）在下一节中，我们找到了变分问题的一个错误解，并证明了修正约束问题和未修正约束问题的解是一致的。3确定性问题的解决方案3。1欧拉-拉格朗日方程我们从变分分析中知道，积分的极值轨迹满足欧拉-拉格朗日方程（参见。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:17:51

[3])L（q，˙q）q=滴滴涕L（q，˙q） ˙q（3.1），适用于自由和固定终端条件。对于修正的拉格朗日方程，我们得到以下欧拉-拉格朗日方程φ′（q）=ddthF+ψ′（˙q）+γ′（˙q）i（3.2）。后一个方程有两种类型的解。一个是在轨迹严格保持在边界q（t）内的区间上获得的∈ （Qmin，Qmax）第二种解决方案类型是轨迹位于边界q（t）上的位置≡ Qmin（t）或q（t）≡ Qmax（t）通用电气解决方案由两种解决方案组成。让我们分别考虑一下这些问题。3.2边界之间的解首先，我们考虑轨道不接触边界的区间内的解。在极限Nφ内→ ∞ 等式（3.2）的l.h.s.消失。因此，我们有f（t）+ψ′（˙q）+γ′（˙q）=C（3.3），其中C在整个时间段内是常数，其中解不触及边界y。让我们考虑一个操作成本函数的特定例子。典型的agas储存设施的运行成本与释放或注入储罐的气体量成正比。同样，我们可以用Nγ参数化它，这样对于有限的Nγ，函数γ（˙q）是光滑的，并且在极限Nγ内→ ∞ 它是分段线性γ（˙q）=γinj˙q为˙q>0；-γrel˙q表示˙q<0；（3.4）其中γinj>0和γrel>0。等式（3.3）的解现在可以直观地以图形方式找到（见图1）。当casermin<0，rmax>0时，我们得到：˙q（t）=rmin（t）F（t）>C+γrel0 C- γinj<F（t）<C+γrelrmax（t）F（t）<C- γinj（3.5）我们看到这个解有三个区域，并且C值可以被解释为触发价格。如果价格F（t）在“死区”内[C]- γinj，C+γrel]，最佳练习是“什么都不做”：˙q=0。如果pric e低于死区，则以最大速率注入气体：˙q（t）=rmax（t）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:17:54

如果价格高于死区z，则气体以最大速率释放：˙q（t）=rmin（t）。这个结果是著名的庞特里亚金最大原理的推广。特别是，在没有运营成本的情况下，该解决方案只有两种模式——注入和释放（这一功能通常在文献“bang-bang”中有描述）。每次正向曲线穿过触发水平C时，区域之间的过渡都会发生。常数C的选择方式必须确保解q（t）满足初始和终端条件SQ（0）=Qstartq（Te）=Qend=Qstart+ZTe˙q dt（3.6），因此在一般情况下无法解析表示。rminrmax-γrelγinjC- F（t）˙qψ′（˙q）+γ′（˙q）图1：等式（3.3）的图解。3.3边界上的解关于这部分解，我们不需要说太多。在边界上，我们明显地在上边界上有q（t）=Qmax（t）在下边界上有q（t）=Qmin（t）在边界上有两个不同的视角。我们可以把我们的问题看作是一个具有空间边界条件的一般变分问题。使函数最大化的解决方案可以由沿边界和极值的部分组成——位于边界之间并满足极值条件的轨迹片段（即具有消失的第一变化）。欧拉-拉格朗日方程在边界上是没有意义的，因为那里的轨迹不能改变。另一方面，如果我们考虑一个正则化问题，欧拉-拉格朗日方程在边界上是有意义的。我们可以在边界上导出方程的特例。如果边界Qmax（t）（或Qmin（t））是一个非常慢的时间函数，那么函数ψ′（˙q）消失，函数φ′（q）取有限值（如果q=Qmax，则为正值；如果q=Qmin，则为负值）。情商。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:17:58

（3.2）在边界上变成φ′（q）=ddthF（t）+γ′（˙q）i（3.7），从下面的ddthF（t）+γ′（˙Qmax）i≥ 上边界为0；（3.8）ddthF（t）+γ′（Qmin）i≤ 下限为0；（3.9）特别是对于Qmax=const和Qmin=const，我们得到˙F（t）≥ 上边界为0；（3.10）˙F（t）≤ 下限为0；（3.11）3.4接近边界可以通过极值和边界之间的连接点做出重要的陈述。让我们首先考虑一个简化的问题（推广很简单），我们假设该问题的边界条件为常数，运行成本为零：Qmax=const Qmin=constγ（˙q）≡ 0设q（t）为最优轨迹，t*是轨迹接触边界的时间，例如，对于t<t*轨迹满足Euler-Lagrange方程，对于t>t*边界之后是边界，例如上边界：q（t>t*) = Qmax。现在让我们考虑一个关于时间范围t的补充问题∈ [0，t*] 有一个终端条件q（t*) = Qmax。我们指定了补充目标函数的值。显然，补充y问题的最优轨迹在[0，t]上重合*] 原始最优转移系数qsup（t）=q（t）t∈ [0，t*]现在考虑边界接触点t的一个小变化*= T*+ δt*对于补充问题，我们将得到一个新的最优解qsup（t）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:18:01

如第3.6.2节所示，补充目标函数值的变化可从t=t点的边界问题的时间导数中获得*, 这是由Ssupt=˙qsup（C- F（t）*)) （3.12）δSsup=Ssuptδt*（3.13）式中˙qsup=˙qsup（t*-0）=rmaxis是在触碰边界之前的轨迹部分的最佳运动。关于最初的问题，我们现在可以问目标函数的值是如何在新的轨迹上发生变化的，该轨迹由t<~t的q（t）组成*并且是未经修改的rt>max（t*,~t*)q（t）=~qsup（t），t<~t*q（t）t>max（t*,~t*)Qmax~t*< t<t*如果没有*< T*对于原变分问题，t点*是一个内点，因此新轨迹是最优轨迹的一个小变化。因此，原始目标函数仍被修改：δS=0原始目标函数值的变化仅是由于t<t的轨迹的极值部分的变化*, 因为bo-undary上的轨迹部分对功能价值没有贡献。因此，我们得出结论，与等式相比，补充目标函数的变化应消失δSsup=0。（3.12）和（3.13）我们可以得出结论，在边界接触时，F（t*) = C（3.14）在一般情况下（包括与时间相关的边界条件和运营成本），我们得到边界接触点1的以下条件。从左边到下边界的轨迹（图2.a）：F（t）*) = C+γrel，˙F（t*) ≤ 0 (3.15)2. 从左边到上边界的轨迹（图2.b）：F（t）*) = C- γinj，˙F（t*) ≥ 0 (3.16)3. 从右边到下边界的轨迹（图2.c）：F（t）*) = C- γinj，˙F（t*) ≤ 0 (3.17)4. 从右边开始的上界轨迹（图。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:18:04

2.d）：F（t）*) = C+γrel，˙F（t*) ≥ 0（3.18）q（t）QmaxQminabcdFigure 2：边界接触情况：a）左下边界；b）左上边界；c）右起第二个字母；d）右上方边界。对于时间间隔t，必须满足这些条件∈ （0，Te）。t=0和t=t时的外部轨迹不必满足这些条件，因为它们不是轨迹的内部点。3.5结论eq。（3.5）以及边界条件（3.15-3.18）和起始体积和终止体积条件（3.6）为问题提供了隐式解决方案。我们总结了解决方案的一些性质：1。边界之间的最佳执行策略是bang-bang，即每个时刻只有3种可能的最佳操作：最大注入、最大释放或“不做任何事情”。一般来说，最优轨迹由若干段组成，这些段遵循满足欧拉-拉格朗日方程的边界段和内部段。3.对于通过边界接触与其他轨迹分离的每条轨迹，都有一个触发器C和一个“死区”[C]-γinj，C+γrel]。如果价格低于区域，则仓库的容量以最大速率增加；如果价格高于区域，则仓库的容量以最大速率减少；如果价格在区域内，则仓库的容量保持不变。该区域的宽度由运营成本决定。被边界接触隔开的轨迹部分可能有不同的触发级别。4.如果轨道在时间间隔t内触及边界∈ （0，Te），它必须满足其中一个边界条件（3.15-3.18）。通常，满足所有先前条件的轨迹不是唯一的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:18:08

任何解都必须满足所有这些条件，但并不是所有函数都满足所有条件才是最优解。上一节中的解决方案最大化了修改后的目标函数S[q（t）]。设q（t）为得到的解。最佳路径“q（t）”可以替换为未修改的函数S[“q（t）]，我们希望在其上获得期权的价值。我们需要解决两个问题：1）最优轨迹q（t）是否尊重约束条件，2）对于修改后的功能来说是最优的轨迹q（t）对于未修改的功能来说也是最优的。对于这两个问题，答案都是肯定的。在附录A中，我们将说明原因。从这一点开始，我们删除动作积分的下标“0”，除非我们想强调修改和未修改目标函数之间的差异。我们还将最佳轨迹“q（t）”的“条”放在不会导致歧义的任何地方。3.6对初始和最终边界条件的依赖性计算固定终点{t=Te，q=Qend}的最佳路径q（t）和目标函数S[q（t）]。如果这一点在时间或体积两个方向上都有轻微的偏移，那么最佳路径就会不同，目标函数也会不同。从这个意义上讲，目标函数可以看作是终点S=S（q，t）的函数。在本节中，我们将找到该函数的派生。根据标准变分分析，我们得出：sq=L ˙q（3.19）st=L- ˙qL ˙q（3.20）我们将这些方程应用于修改后的目标函数S[q（t）]。所获得的公式也适用于未经修改的目标函数S[q（t）]。3.6.1体积导数使用修改后的拉格朗日定义（2.10）和我们发现的等式（3.19）sq=-hF+ψ′（˙q）+γ′（˙q）的太平洋导数只有在边界内才有意义。利用等式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:18:11

（3.3）最终获得sqend=-C（3.21），其中C是轨迹最后一部分的触发水平。关于初始条件qstart的导数是通过反转符号给出的，sqstart=C（3.22），其中C是轨迹初始部分的触发水平。3.6.2等式的时间导数。（2.10）和（3.20）我们发现st=˙qhψ′（˙q）+γ′（˙q）i- φ（q）- ψ（˙q）- γ（˙q）==˙qhψ′（˙q）+γ′（˙q）i- γ（˙q）（3.23）在边界内，我们利用关系式（3.3）。用Swe替换Ss倾向=˙qhC- F（照料）我- γ（˙q）（3.24），其中˙q=˙q（趋势- 0）是针对固定终端条件获得的轨迹最后部分的最佳轨迹。特别是，我们可以看到这一点S/倾向≥ 0（前提是Rmin<0，rmax>0）。在特殊情况˙Qmax=˙Qmin=0的边界上，我们得到˙q=0，γ（˙q）=0和stend=0（3.25）值得注意的是，对终端（或初始）边界条件的导数是通用的：它与最优轨迹是否接触边界无关。要计算导数，只需要知道解析式q（t）和交易结束（或开始）时的触发价格C。这同样适用于施加的循环约束（第4.3节）。4其他约束类型到目前为止，我们仅用最简单的配置来解决优化问题。通常，现实的存储和周转合同会受到运营或财务原因的影响而受到额外的限制。在本节中，我们将考虑存储和swing合同的一些典型附加约束，并讨论它们对解决方案的影响。4.1运输成本一些储存合同可能包括“运输成本”，即储存未溶解商品的成本。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:18:15

例如，油库需要支付加热费用（astorage中的燃油必须在约60℃的温度下保温）。结转成本规定为单位时间、单位体积的价格γc（t）。因此，（未经修改的）目标功能beco mesS=-ZTeh˙q F（t）+γ（˙q）+γc（t）q（t）idt（4.1）将新的拉格朗日方程代入我们在边界之间得到的拉格朗日-欧拉方程中，F（t）+ψ′（˙q）+γ′（˙q）=c（t）（4.2），其中dc（t）dt t=γc（t）（4.3）因此，有携带成本的问题的解与没有携带成本的问题的解类似，但有一个区别：触发价格不是常数，而是时间的增长函数，令人满意。(4.3).可以很容易地证明，通过额外的贴现系数可以复制套利成本。实际上，当正向曲线与触发电平F（t）=C（t）相交时，触发时间发生。使用式（4.3）的解C（t）=C+RγC（u）du，我们找到触发时间（t）的条件-Ztγc（u）du=CThus带有结转成本的问题的解决方案相当于带有修正的前向曲线F（t）=D（t）F（t）的解决方案，其中贴现系数D（t）由D（t）=1给出-F（t）Ztγc（u）du≈ 经验-F（t）Ztγc（u）du（4.4）4.2自由端条件下的解决方案通常，存储问题可以用自由端条件来定义。例如，一个人可能被允许在仓库中留下任意数量的底层，对于任何剩余的数量，他都会得到最终的报酬，相当于以有效价格出售该数量，即剩余单价。我们将（未经修改的）目标功能定义为：-ZTeh˙q（t）F（t）+γ（˙q）idt+qendFe，q（0）=Qstart（4.5），其中qend=q（Te）。现在的优化问题是找到一个满足操作约束的最佳目标函数q（t），该函数将最大化目标函数（4.5）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-8 10:18:18

很容易看出（4.5）的任何地震轨迹都是（2.3，2.4）的极值。事实上，如果轨迹q（t）为（4.5）的极值，目标函数的变化在允许的微小变化δq（t）上消失。由于没有终端边界条件，变化量δq（t）可能不会在端点处消失。但是，如果函数的变化在整个允许变化δ′q（t）类上消失，它也在保持终端水平（δ′q（Te）=0）的变化δ′q（t）类上消失。我们得出结论，为了找到泛函（4.5）的最大化轨迹，我们首先需要找到具有固定终端条件的泛函（2.3,2.4）的解。然后，将此解视为终端状态qend的函数，我们需要找到最大值（4.5），作为qend的普通函数，前提是qend不位于边界上。因此，如果轨迹终点不在基准上，目标函数必须满足以下条件~Sqend=0（4.6）这对任何目标函数都有效，无论是否应用剩余价格。如第。3.6，如果目标泛函（2.3）被视为终端状态qend的函数，则其在任何内点上对qend的导数如下所示：sqend=-CThus，目标函数（4.5），被认为是qend的函数，有一个导数~Sqend=Fe- C（4.7），其中C是轨迹最后部分的触发价格。我们得出结论，如果终点不在边界上，则具有自由终端状态的目标泛函具有最大isC=Fe（4.8）的条件是有效的。4.2.1终端状态情况下，假设c=0（假设没有剩余单价），则最优轨迹的终点只能位于边界E之间。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:18:21

如果C>0，则轨迹y不可避免地终止于下边界。同样，如果C<0，终点位于上边界。以下关系必须保持qend=Qmin=> C≥ 0（4.9）Qmin<qend<Qmax=> C=0（4.10）qend=Qmax=> C≤ 0（4.11）如果小的修改C>0，则反过来也是正确的=> qend=Qmin（4.12）C=0=> 最小流量≤ 昆德≤ Qmax（4.13）C<0=> qend=Qmax（4.14）如果剩余单价已支付，在表达式（4.9-4.14）中，我们应替换C→ C-Fe。如果存储选项没有剩余单价，则最有可能以最低可能的容量级别终止。实际上，死区的上边界不能低于最小的远期价格：C+γrel≥ min（F（t））如果天然气价格为正，且运营成本非常小，则触发价格也为正。因此，期权价值相对于终端水平的导数为负，因此最优轨迹必须在最低可能水平终止。因此，存储选项可被视为固定终端状态的问题（尽管根据合同可能无法固定）。另一个相反的例子是swing选项。典型的摇摆期权是天然气供应商和贸易公司之间的合同。运输公司以预定的执行价格从供应商处购买天然气，并以当前市场价格在市场上销售。市场价格和执行价格之间的交易价格成为交易商的有效天然气价格。swing选项允许贸易商根据灵活的方案从供应商处获取天然气（即，在一定的约束条件下，何时获取，以及获取多少）。因此，摆动选项可以通过存储选项来表示。然而，与存储选项不同，摆动选项的有效价格（价差）既可以是正面的，也可以是负面的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:18:25

根据实际价格和合同条款，最终状态可能不在上下限。在这种情况下，我们用自由端条件来处理这个问题。对于这个问题，触发器级别必须等于z ero。4.3周期约束存储期权卖方有时会施加周期约束，以特别限制期权灵活性并降低期权价值。循环约束在（2.9）中定义。出于演示目的，我们考虑了进气循环限制。它限制了手术期间的最大注射量∈ [0，Te]。与其以不平等的形式来考虑它，我们可以如下进行。解决方案分为两步。在第一步中，我们在没有循环约束的情况下求解问题，并在最优轨迹上计算循环变量。如果周期变量低于阈值cmax，则获得的解满足周期约束。然而，如果解违反了循环约束，我们可以施加一个“咬”循环约束Tc（Te）=ZTe˙q（t）θ（˙q（t））dt=cmax（4.15）。这个条件允许我们用条件变分极值来描述我们的问题。通过拉格朗日乘子求解，即我们引入一个修正的拉格朗日函数=-h˙qF+φ（q）+ψ（˙q）+γ（˙q）+λ˙q（t）θ（˙q（t））i（4.16），其中λ是一个自变量（拉格朗日乘数）。后一个问题的解决方案将包含未定义的系数λ，可从附加方程（4.15）中找到。在边界内，约束拉格朗日的拉格朗日-欧拉方程变为（与等式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-8 10:18:29

（3.3）C=F（t）+ψ′（˙q）+γ′（˙q）+λθ（˙q）+qδ（˙q）= F（t）+ψ′（˙q）+γ′（˙q）+λθ（˙q）（4.17）我们说，当一个不等式≤” 成为一种平等。通过求解该方程，我们发现该解与无循环约束的解类似，但有一个“死区”，其宽度为λ。因此，周期约束等同于额外的运营成本。我们可以发现额外的释放和/或注射成本（整个轨迹不变），这样，如果添加到原始存储中，将产生一个符合循环约束的最佳轨迹。如果额外成本用于注射、释放或两者都是无关紧要的，因为它只是材料的死z的宽度。这个规则的唯一例外是，如果最佳轨迹没有注入或释放足够的容量。例如，如果轨迹从未释放气体，那么额外的释放生态成本将不会影响轨迹，因此将无助于响应进气循环约束。实际上，可以使用额外的注入成本来满足进气周期约束，并使用释放成本来满足释放周期约束。通常，边界接触之间的解包含两个待定参数——触发价格C和循环拉格朗日乘数λ。它们可以等价地用死区的上下限来表示。这些参数必须在获得的解满足边界接触条件（3.15-3.18）、初始和终端条件（3.6）以及循环约束（4.15）的情况下找到。请注意，无论轨迹是否触及边界，附加操作成本在整个时间范围内都是相同的。这一结果为带圈约束的存储问题的数值计算提供了一种有效的方法。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-8 10:18:32

首先，应在不进行任何修改的情况下解决问题，并检查循环变量。如果原始解决方案违反了周期约束，则需要找到一个适当的虚拟运营成本，以满足周期约束。右虚拟运营成本的搜索可以通过“打靶”方法完成，原则上，应在几次迭代后收敛，因为周期变量显然是运营成本的单音递减函数。4.4与体积有关的注射/释放速率如果最大注射/释放速率与体积有关，则惩罚函数ψ变为体积的明确函数：ψ=ψ（q，˙q）。在这种情况下，边界内的欧拉-拉格朗日方程变为qψ（q，˙q）=ddthF+˙qψ（q，˙q）+γ′（˙q）i（4.18）该方程的l.h.s.是一个n可积的时间隐函数。指定C（t）=F+˙qψ（q，˙q）+γ′（˙q）我们得到dc（t）dt=qψ（q（τ），˙q（τ））；C（t）=C+Ztqψ（q（τ），˙q（τ））dτ因此，我们得到了与体积无关的速率的情况相同的解，其中C不是常数，而是时间的函数。我们的结论是，最佳运动策略仍然保持“砰砰”的特性。然而，它并不具有恒定的tr igger水平。函数C（t）可以从最佳轨迹q（t）反向工程，前提是已知的latteris。5.最优随机性在本文中，我们没有详细考虑随机问题。然而，我们确实希望在存储期权问题的随机公式中解决其一个特定方面，即最优随机行使。在随机公式中，价格被认为是在交易过程中随机变化的，而不是在内在问题公式中被执行。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:18:35

正向曲线成为两个参数的函数——观察时间t和传递时间t:F（t，t）。对于每一个固定的交货时间T，远期曲线都是一个由观测时间T指数化的随机过程。价格过程的选择本身就是一个问题，并且在一定程度上取决于对解析解性质的了解。随机问题的一个特点是，无法在整个时间范围内预先找到最优执行文件。它必须不断调整以适应不断变化的市场价格。然而，对于当前观察时间t，始终存在一个最优随机运动决策˙qst（t），该决策在n个极小时间间隔dt内仍然有效。最佳行使取决于市场F（t，t）和存储q（t）的当前状态，或以概率语言表示，取决于过滤Ft。我们将时间t的最佳行使决策称为最佳即时行使（即时行使是离散时间系统中现货交易的连续时间模拟）。以类似的方式，我们可以引入内在的即时练习。对于每一次t，我们都可以建立一个新的内在问题，其中q（t）起初始条件的作用，f（t，t）是forward曲线（作为t的函数）。这个表m的解是一个n最优解，对于它，观测时间t起一个参数的作用，时间导数是关于t的。内在即时运动被定义为最佳运动量（t，t）的初始值。下面我们使用符号（t）：=˙qin（t，t）进行内在提示练习。在这一部分中，我们建立了最佳s-tochastic˙qst（t）和内在促动器（t）之间的联系，并说明了为什么内在运动是随机运动的良好近似。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:18:39

为了便于注释，我们不考虑注射/释放成本。黑格尔化很简单。虽然本节的主要结果与价格过程的选择无关，但为了完整起见，我们讨论了一些最常见的建模随机价格演化的方法。5.1远期曲线演化模型通常，远期价格演化由一个零均值随机过程近似，该过程由形式为df（t，t）F（t，t）=dMt（t）（5.1）的随机微分方程控制，其中Mt（t）是时间t的鞅过程，由变量t参数化。对于最优随机过程的推导，价格过程的特殊选择是不必要的。关于价格过程唯一重要的假设是它的漂移较小，即价格增量的平均值（对于每个交付时间T）正在消失：hdF（T，T）i=0（5.2）。这个假设在没有摩擦的流动市场上是合理的。对于不同的交付时间T，过程Mt（T）可能不相关，也可能不相关。价格过程的一个特殊例子是单因素模型df（t，t）F（t，t）=σe-α（T）-t） dWt（5.3），其中W是标准的维纳过程。该模型首次在[5]中提出，其在能源市场上的应用可在[2]中找到。单因素模型因其简单而非常流行。注意，所有交付时间T的过程M（T）是完全相关的。5.2随机触发价格let F（t，t）是在时间t观察到的远期曲线。我们定义了现货价格过程s（t）ass（t）：=F（t，t）（5.4）由于远期价格曲线随时间变化，现货价格s（t）=F（t，t）g通常不会在任何地方都遵循原始远期曲线（s（t）6=F（0，t）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:18:42

即期过程s（t）由远期价格过程唯一定义。考虑一组可能的现货价格曲线si（t），每个曲线都有相应的概率pi。将特定现货价格曲线si（t）视为确定性函数，我们可以求解目标函数Lsi=-中兴通讯˙q（τ）si（τ）dτ定义为t=0的时刻。对于每个现货价格曲线si（t），我们可以找到相应的触发价格Ci、最优执行策略qi（t）和内在价值si。提示内在价格指数：=˙qi（0），因为T=0在第i个现货价格路径上是最优的。现在，我们正在为t=0时的随机问题寻求一个最佳的即时运动决策˙qst（0）。为了简化符号，我们省略了后面的参数0。具有相应概率的sp ot价格路径集包含制定最优随机执行决策所需的全部随机信息。因为我们一次只能做一个练习决定，所以这个练习决定对于某些现货价格路径来说不是最优的。如果在第i条现场pric e路径上，最佳练习为ri，则次优练习决策˙qst6=ri将导致该路径上的价值损失。我们需要在˙qstt中做出这样的选择，以使所有路径上的预期损失最小化，对于这些路径，决策不是最优的。在时间间隔dt期间，存储器中的体积增量由dq=˙qstdt给出。因此，在第i条现货价格路径上，存储量为（˙qst）-ri）dt大于如果exerc ise是该路径的最佳值时的值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:18:46

这导致第i条路径上的值变化δSi=词- F（0，0）˙qst- 里dt（5.5）事实上，oc值的变化有两个原因：购买额外容量的额外费用δSi1，以及实际存储容量的变化导致δSi2值的增加。附加容量的价格为δSi1=-F（0，0）˙qst- 里dt初始体积变化引起的数值变化如下公式S/qstart=C（见第3.6节）：δSi2=Ci˙qst- 里结合后两个方程，我们得到等式（5.5）。现在，平均所有路径上的δS，wehaveδSi=Xipi词- F（0，0）˙qst- 里dt（5.6）对目标函数表达式为何得到良好定义的讨论将使我们远离本文的范围。然而，我们应该指出，这个问题可以在离散时间内表述，在离散时间内，它成为一个定义良好的有限维问题。如果我们要求现货价格过程充分“良好”，就可以实现向连续时间的过渡。众所周知，Wiener过程几乎是连续的，并且Wiener过程的积分是明确的。其中Pi是第i条路径的概率。最优行使决策˙qsts应最大化期权价值hδSi的预期变化。关于˙qstwe导出hδSi hδSi ˙qst=Xipi词- F（0，0）dt=hCi- F（0，0）dt（5.7），其中hCi=Pipici是所有可能的现货价格过程中的平均触发价格。如果现货价格F（0，0）大于平均触发价格hCi，则导数为负，且最优随机误差是约束条件允许的最小值。同样，如果ifF（0，0）小于平均触发价格，则最优执行是约束允许的最大价格。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:18:49

因此，最佳即时随机练习是˙qst=rminF（0，0）>hCirmaxF（0，0）<hCi（5.8）我们认为，最优的随机操作再次是bang-bang，内在触发价格hCi的期望值可以解释为随机触发价格Cst:Cst=hCi（5.9）。接下来，我们证明，在一些假设下，在泰勒展开的前导顺序中，随机触发价格等于内在触发价格。实际上，让我们将s（t）指定为现货价格路径，该路径与t=0:s（t）时的初始远期电流一致≡ F（0，t）触发价格Cis，然后是内在触发价格，在时间t=0时根据远期曲线F（0，t）计算。所有其他路径si（t）是不同的，我们设计δsi（t）=si（t）- s（t）这种差异在时间段开始时为零：δsi（0）=0，因为spotprice过程的所有路径都在同一点si（0）=F（0，0）开始。在未来的任何时间点，差异δsi（t）可能任意大，但大多数路径保持在标准偏差phhδs（t）iI内。如果δsi（t）保持较小，则触发电平的差异δCi=Ci- C可通过一阶泰勒展开式（见附录B）计算：δCi≈rKZTeδ[C]- s（t）]δsi（t）dt，其中我们指定r=rmax- rminK=rZTeδ[C]- s（t）]dt由于远期价格过程是一个鞅，我们得出结论：hδsi（t）i=0，因此一阶hδCii=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 10:18:53

结果Lycst=hCi=C+hδCi≈ C（5.10），这意味着随机触发价格等于泰勒展开的第一阶固有价格。我们计算了初始时刻t=0的随机触发价格。对于以后的任何时间，我们都可以重复同样的计算，因此下面的陈述成立：对于任何时间t，最优随机运动是bang-bang，随机触发价格Cst（t）大约等于内在触发价格C（t），在时间t根据不确定的前向曲线F（t，t）和初始条件q（t）计算。精确的随机触发价格可以被发现为以F（t，t）为初始条件的整组spotprice路径的内在触发价格的平均值。注意，为了推导关系式（5.9），我们没有使用任何近似值，因此这个关系式是精确的。为了推导关系式（5.10），我们只使用了小变量phhδs（t）iis（t）的假设<< 1（5.11）对于标准的单因素价格过程（5.3），可以很容易地估计相关的现货价格变化，phhδs（t）iis（t）=sexpσ2 α1.- E-2αt- 1特别是对于αTe<< 1本征exercis e近似的条件为σpTe<< 1对于αTe>> 1我们得到了条件σ√2 α<< 15.2.1等效随机触发价格内在触发价格是一个明确的值，对整个内在执行策略（或至少对边界接触之间的整个轨迹部分）有影响。人们可以将触发价格解释为代表行使策略的另一种方式，因为可以从触发水平和价格中及时得出任何点的最优价格。相反，随机触发价格仅对有限时间间隔dt内的即时行使决策有影响。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝