二分市场结构中的条件风险度量

2022-5-9 06:09:52

二分市场结构中的条件风险度量Oliver Kley*克劳迪娅·克鲁佩尔伯格*Gesine Reinert+2018年9月23日摘要在本文中，我们研究了代理和对象之间的网络结构对系统风险度量的影响。我们通过一个二分图模拟了分担巨额外源性损失对金融或（再）抵抗市场的影响。利用帕累托尾损失和多元正则变分，我们得到了基于风险值和条件尾期望的系统条件风险度量的渐近结果。这些结果允许我们通过一系列有条件的系统性风险度量来评估单个机构对系统性或市场风险的影响，反之亦然。对于大型市场，保险市场的例子中提供了相关常数的近似值。详细分析了底层齐次随机图的例子，并通过仿真说明了结果。MSC2010受试者分类：主要：90B15次要：91B30、60G70、62P05、62E20关键词：二部网络、多元规则变化、风险价值、条件尾部预期、预期短缺、系统风险度量、条件风险度量、泊松近似。1简介财务风险和（再）保险风险的定量评估必须考虑到代理人和业务关系的交织关系，以便捕捉系统性风险现象。在考虑这一复杂的代理系统的同时，测量此类风险是一个正在进行的研究领域，例如[2,8,10,11,13,16]。本文通过采用基于与经典风险测度相似的渐近参数的条件系统风险测度加入讨论。

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nandehutu2022

2022-5-9 06:09:55

利用[15]中得出的结果，我们结合重尾损失分布，在代理对象市场结构的无分图模型上说明了这些风险度量。*德国玻尔兹曼大街3号加兴85748号蒙城理工大学数学科学中心，电子邮件：奥利弗。kley@tum.de, cklu@tum.de+英国牛津大学南帕克斯路1号牛津大学统计系OX1 3TG，电子邮件：reinert@stats.ox.ac.ukThe本文中的条件系统性风险度量是在1级置信水平为随机变量X定义的风险价值（VaR）的条件版本- γasVaR1-γ（X）：=inf{t≥ 0:P（X>t）≤ γ}, γ ∈ （0,1）和条件尾部预期（CoTE），也被称为预期短缺，在密度级别1- γ、根据相应的VaR，asCoTE1-γ（X）：=E[X | X>VaR1-γ（X）]，γ∈ (0, 1). （1.1）对于系统性风险方法，不仅要量化单个代理人的风险，还要量化与监管机构高度相关的市场风险。此外，基于总的市场风险调查代理人的风险是很自然的；参见[20]中的定理2.4。因此，我们将研究条件系统性风险度量，其中条件事件涉及整个市场风险及其对一个特定代理的影响。同样，在一个代理人面临高额损失的情况下，评估市场风险也是有意义的。这些想法导致了表1.1中有条件系统性风险度量的分类（由[9]推动），定义1.1将对其进行定义。

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能者818

2022-5-9 06:09:58

从现在到现在，我们称之为Covariste[1]。边际风险度量机构|机构机构|系统系统|机构Var MCoVaR ICoVaR SCoVaRCoTE MCoTE ICoTE ScotteTable 1.1：对有条件的系统性风险度量进行分类：“M”代表相互表示一个机构在另一个机构中的高风险的风险度量；“I”代表个人，表示在高市场风险条件下某个机构的风险；“S”代表系统，表示机构高风险下的系统风险。[8]、[10]和[16]提出了系统性风险的公理框架。该一般框架假设多变量风险X=（X，…，Xn）的条件系统性风险度量ρ可以表示为具有聚合函数∧：Rn的单变量（单因素）风险度量ρ的组合→ Rn，所以ρ=ρo Λ. 这里，ρ通常被认为是凸的、单调的和正1-齐次的。虽然∧的条件不同，但一致认为∧应该是正1-齐次的，因此∧（ax）=a∧（x）表示a>0。我们与[8]的不同之处在于，我们不假设∧（（1，…，1）>）=n。这种聚合函数的例子是∧（x）=kxk=（Pni=1 | xi | r）r，这是r的范数≥ 1和aquasi范数，0<r<1，∧（x）=xi，一个坐标上的投影。我们不需要∧（（1，…，1）>）=n的事实对系统大小有影响：假设ρ是单调的，不等式n<k（1，…，1）kr0<r<1，以及n>k（1，…，1）kr1<r≤ ∞ 持有因此，与系统性风险相比，在异常聚合函数方面，随着个体风险数量的增加，系统性风险可能增加得更快，也可能增加得更慢。

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2022-5-9 06:10:01

这种影响可能是现实的，因为一个较大的市场可能不会因风险平衡而对较小的市场产生相应的风险，这是众所周知的保险投资组合。此外，我们认为，在一个小而高风险的市场中，监管者很可能会争取比风险总和更多的风险资本。此外，来自不同机构的道德风险也是众所周知的，监管机构可以通过选择一个条件系统风险度量来防范这种风险，该度量值大于准标准所暗示的市场中单个风险的总和。无论选择哪种类型的聚合函数，在实践中这都是一个经济决策。我们的框架为聚合函数的选择提供了相当大的可变性。在本文中，我们在多变量规则变化的数学框架中，将市场风险与个人风险联系起来。该框架允许我们以精确的方式渐进评估表1.1所示的条件系统性风险度量。定义1.1。[条件系统性风险度量]设F=（F，…，Fq）为随机暴露向量，k·k为范数或拟范数。

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能者818

2022-5-9 06:10:04

对于γi，γ∈ （0,1）分别参考代理和市场，表1.1中的条件性系统风险度量定义如下：（a）单个条件性风险价值1-γi，γ（Fi | h（F））：=inf{t≥ 0:P（Fi>t | h（F）>VaR1-γ（h（F）））≤ γi}，（b）系统条件风险价值Var1-γ、 γi（h（F）|Fi）：=inf{t≥ 0:P（h（F）>t | Fi>VaR1-γ（Fi））≤ γ} ，（c）共同条件风险价值MCOVAR1-γi，γk（Fi | Fk）：=inf{t≥ 0:P（Fi>t | Fk>VaR1）-γk（Fk））≤ γi}，（d）个体条件尾期望Icote1-γ（Fi | h（F））：=E[Fi | h（F）>VaR1-γ（h（F））]，（e）系统性条件尾部期望scote1-γ（h（F）| Fi）：=E[h（F）|Fi>VaR1-γ（Fi）]，（f）相互条件尾部期望mCote1-γ（Fi | Fk）：=E[Fi | Fk>VaR1-γ（Fk）]。对于风险度量（d）-（f），需要基本随机变量的初始时刻。为了模拟经济主体和对象之间的复杂相互作用，我们使用了一个二部作品，见图1。该网络可通过给定的随机q×DW加权邻接矩阵a总结为byAij=Wij1（i~ j），式中：=0，（1.2），其中Wijare正权重可能取决于基础网络。例如，作为对冲基金的投资组合，或作为（再）保险的灾难性索赔，这些对象可能会产生巨大损失。在第5节中，我们将看到，网络对于条件系统性风险度量的同情行为具有相当重要的意义。我们的论文组织如下。在第二节中，我们详细阐述了二部图模型，并给出了激励示例。第3节总结了A1A2A3A4A5O1O2O3O4的必要结果。图1：作为二部图的市场层次结构。有规律的变化。这里我们也给出了条件概率和条件期望的渐近结果。

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2022-5-9 06:10:07

虽然我们在具有任意依赖结构的正则变分的一般背景下给出了我们的结果，但我们挑出了损失变量的两种情况：渐近独立和渐近完全依赖。在第4节中，我们讨论了网络模型中条件系统性风险度量的渐近行为。在引入条件系统性风险度量时，对于市场中每个代理人的个人风险，我们关注暴露向量的一维预测，并将范数和准范数作为适当的聚合函数。最后，在第5节中，我们还讨论了并非所有索赔都可能投保或并非所有资产都可能找到投资者这一事实的后果。我们进一步提出了齐次模型，它正好具有这一特点。计算决定条件系统性风险度量渐近行为的网络相关量并不总是向前；因此，我们为模型的一些标准规范提供了泊松近似，总变化距离有界。齐次模型的模拟结果说明了这一点。2.二部图模型我们假设大型索赔或损失的对象有一个由随机变量vjj=1，d具有帕累托尾，使得对于可能不同的Kj>0和尾指数α>0，P（Vj>t）~ Kjt-α、 t→ ∞. （2.1）（对于两个函数f和g，我们写f（t）~ g（t）as t→ ∞ 如果限制→∞f（t）/g（t）=1。）我们总结了向量V=（V，…，Vd）>中的所有对象，并假设V独立于随机图构造，而V。

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2022-5-9 06:10:10

，VD可能不是相互独立的。每个代理可以覆盖一个对象的随机数量或比例，由随机权重矩阵W建模：Ohm → 满足可积条件E[kW kα+δ]<∞ 对于一些矩阵范数k·k和一些δ>0。我们假设Wij>0表示所有（i，j），因此~ j、随机变量1（i）~ j）当代理i与对象j有契约关系时等于1，否则等于0。影响因素i的物体j的比例由Wij1（i）表示~ j）。那么Fi:=Pdj=1Wij1（i~ j）表示代理人i的风险敞口，F=（F，…，Fq）>是代理人在市场上的联合风险敞口的向量。因此，加权邻接矩阵：Ohm → 表示市场结构的Rq×dre由aij=Wij1（i）给出~ j），式中：=0。（2.2）因此，代理人风险敞口的向量F是矩阵向量productF=AV。（2.3）例2.1。【大额再保险风险，[15]]在本例中，代理人是再保险公司，对象是大额索赔。在简化的假设下，即索赔在所有保险该风险的代理人之间被分成相等的比例，市场矩阵A isAij=1（i~ j） deg（j），（2.4），其中deg（j）表示投保对象j的代理人数量。例2.2。【高风险资产的组合组合，[12]]在本例中，代理人是投资者，目标是投资机会。每个经纪人我都有一定数量的资本投资，比如Ci>0。同样为了简单起见，我们假设他将自己的钱分成与他选择投资的所有资产相等的部分。这导致市场矩阵a由Aij=Ci1（i）给出~ j） deg（i）（2.5），其中deg（i）表示我投资的不同资产的数量。我们考虑F=AV的风险度量，其中随机矩阵A模拟了市场的网络结构。

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2022-5-9 06:10:13

我们不是将风险指标归因于代理人的风险敞口或市场风险敞口，而是简写代理人的风险或市场风险。[15]中表明，在定期变化的暴露向量的假设下，VaR和CoTE的交感行为可以使用constantsCiind=Ciind（A）：=dXj=1KjEAαij，i=1，q、 CSind=CSind（A）=dXj=1KjEkAejkα，（2.6）以及asCidep=Cidep（A）：=E（AK1/α1）αi，i=1，q、 CSdep=CSdep（A）=EkAK1/α1kα，（2.7），其中1是d-条目均为1且K1/α=diag（K1/α，…，K1/αd）的维向量是d×d对角矩阵。这里的下标ind和dep分别指的是Vj的渐近独立或渐近完全依赖分量。引理2.3（推论[15]中的3.6和3.7]）。设α>0和F=（F，…，Fq）>代理暴露的向量。（a）代理人i的个人价值风险∈ {1，…，q}显示了Var1的渐近行为-γ（Fi）~ C1/αγ-1/α, γ → 0，（2.8），C=Ciindor C=Cidepin情况V，它们是渐近独立的或完全依赖的。聚合向量kF KSatiesvar1的市场价值——风险价值-γ（kF-k）~ C1/αγ-1/α, γ → 0，（2.9），C=CSindor C=Cstepin情况V，它们是渐近独立的或完全依赖的。（b）让α>1。agent i的个体条件尾部期望∈ {1，…，n}表现出交感神经行为-γ（Fi）~αα - 1VaR1-γ（Fi）~αα - 1C1/αγ-1/α, γ → 0，C=CSindor C=CSdepin情况V，它们是渐近独立的或完全依赖的。聚合向量kF k满足系数1的市场条件尾部预期-γ（kF-k）~αα - 1VaR1-γ（kF-k）~αα - 1C1/αγ-1/α, γ → 0，C=CSindor C=CSdepin情况V。

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2022-5-9 06:10:16

它们是渐近独立的或完全依赖的。对于风险值和条件尾部预期的渐近行为，基础网络模型仅通过常数（2.6）和（2.7）输入。许多底层网络，甚至是邻接矩阵具有确定性的网络，都可能因此产生相同的渐近行为。当帕累托尾损失独立时，上标i的常数（2.6）表示代理i的个体设置，而S表示系统设置。我们将其与完全依赖的情况进行对比；（2.7）中给出了相应的数量。一般来说，小常数更可取，表明风险较小。完全依赖对象的情况相当于有一个单一的风险源，但损失在代理之间分布不均。如[15]所示，这两种极端依赖情况会产生风险边界（参见[14]），风险边界是使用（2.6）和（2.7）中给出的常数确定的。3多元正则变量的渐近结果在更一般的框架下，从定义1.1中获得条件系统风险度量的引理2.3中的渐近结果，我们首先将正则变量的经典结果推广到连续1-齐次函数。这种连续1-齐次函数的例子是向量F=（F，…，Fq）>在第i坐标Fi上的投影，以及向量F的范数或准范数，这与第2节有关。我们的框架将是风险敞口F的随机向量的规则变化，它遵循帕累托尾部索赔和二部图引入的依赖结构；参考[15]。多元规则变化有几个等价的定义；参见[18]的定理6.1和[4]的第2.1章。

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2022-5-9 06:10:19

此外，这里还定义了单点不竞争和模糊收敛等概念，更多背景请参考[18]第6.1.3节。对于d∈ N、让Sd-1+={x∈ Rd+：kxk=1}表示Rd中的正单位球面，关于Rd上的任意范数k·k，因此所有单位向量ej的kejk=1。此外，我们将使用符号E:=Rd+\\{0}和R+=[0，∞], 0是d-条目等于0且B=B（E）的维向量表示关于所谓的单点不可压缩的Borelσ-代数。定义3.1。如果存在氡测度u6，则状态空间为E的随机向量X称为多元正则变量≡ B（E）上的0，且u（Rd+\\Rd+）=0和p（X∈ t·）P（kXk>t）v→ u（·），t→ ∞, （3.1）其中→ 表示模糊收敛。在这种情况下，存在一些α>0，使得limitmeasure是齐次的-α：u（uS）=u-αu（S），u>0，每S∈ B（E）令人满意的(S） =0。度量u被称为X的强度度量。尾部指数α>0也被称为X的规则变化指数，我们写X∈ R(-α).V的规则变化意味着F在Breiman条件下，在（2.2）的权重矩阵W上的规则变化。我们将使用以下基于命题A的结果。1英寸[5]。提议3.2。设V:=（V，…，Vd）>是具有帕累托尾P（Vj>t）分量的多变量规则变化的~ Kjt-αas t→ ∞ 对于Kj，α>0，如（2.1）所示，强度测量值为u，如（3.1）所示。此外，让权重矩阵W：Ohm → Rq×d+满足E[kwkα+δ]<∞对于某些δ>0的情况。那么随机向量F=AV和（2.2）中的A属于R(-α). Leth:Rq\\{0}→ Rk\\{0}代表k∈ N是一个连续的1-齐次函数。然后我们有onB（h（Rq+\\{0}））：P（h（F）∈ t·）P（kVk>t）v→ Eu{x∈ Rd+：h（最大）∈ ·}, T→ ∞. （3.2）证据。

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2022-5-9 06:10:22

[5]中的命题A.1给出了F的模糊收敛性，它等价于toP（F）∈ tB）P（kVk>t）→ Eu{x∈ Rd+：Ax∈ B} ，t→ ∞, （3.3）对于所有相对紧凑的集合B∈ 带Eu的B（Rq+\\{0}）o A.-1(B） =0。此外，通过h的均匀性，对于t>0，{h（F）∈ tB}={F∈ th-1（B）}。还要注意的是，每一个远离零的B在我们使用的拓扑中都是相对紧凑的。自从h-1（B）通过h的连续性和h（0）=0，h的事实从零开始有界-1（B）也相对紧凑。此外，Euo A.-1(H-1（B））≤ Euo A.-1.o H-1(B）。把所有这些放在一起，对于每个相对紧凑的集合B∈ B（h（Rq+\\{0}））与Euo A.-1.oH-1(B）我们有→ ∞,P（h（F）∈ tB）P（kVk>t）=PF∈ th-1（B）P（千伏k>t）→ Eu{x∈ Rd+：Ax∈ H-1（B）}=Eu{x∈ Rd+：h（最大）∈ （B）哦。这相当于（3.2）中的模糊收敛。对于与具有渐近独立分量的向量V相对应的极端依赖情况，参考度量u在轴上具有支撑；在与具有渐近完全依赖分量的向量V相对应的极端依赖性酶中，参考度量u在{sK1/α1:s>0}线上有支持。支持度的差异反映在（2.6）和（2.7）之间的差异中，并影响累计风险敞口的行为。提议3.3。假设命题3.2的情况。对于累计暴露h（F），我们得到p（h（F）>t）~ 红隧-α、 t→ ∞,其中Ch=Chind=dXj=1KjEhα（Aej）和Ch=Chdep（h）=Ehα（AK1/α1）（3.4）如果V，它们分别是渐近独立的或渐近完全依赖的。证据这个断言可以用与[15]中定理3.4类似的方式来表示。下面的结果给出了最一般情况下的极限关系，对曝光向量的依赖性没有任何限制。定理3.4。设g，h:Rq+→ R+连续1-齐次函数，并假设命题3.2的情况。

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2022-5-9 06:10:25

那么对你来说∈ (0, ∞), 以下断言成立：（a）限制→∞P（g（F）>t | h（F）>ut）=uαEuo A.-1（{x∈ Rq+：h（x）>u，g（x）>1}）Euo A.-1（{x∈ Rq+：h（x）>1}）。（b）如果g在Rd+\\{0}上有额外的有界或紧支持，那么→∞E[g（F）|h（F）>t]~tu（{h（x）>1}）Zh（x）>1g（x）~u（dx），（3.5）式中<<u（·）=Euo A.-1(·).证据（a）我们使用命题3.2得到p（g（F）>t | h（F）>ut）=Zh（F）>utg（F）>tdPP（h（F）>ut）=Zh（x）>ug（x）>1P（F）∈ tdx）P（kvk>t）P（kvk>t）P（h（F）>ut）。第二个比率通过命题3.2（a）收敛，也通过命题1收敛，当取其为h身份函数时。结果是模糊收敛。（b）利用g的1-齐性和命题3.2，E[g（F）|h（F）>t]=P（h（F）>t）Zh（x）>tg（x）P（F）∈ dx）=P（h（F）>t）Zh（x）>1g（tx）P（F）∈ tdx=P（kvk>t）P（h（F）>t）Zh（x）>1g（tx）P（F）∈ tdx）P（千伏k>t）~tμ（{h（x）>1}）Zh（x）>1g（x）~u（dx）。（3.6）回想一下，（3.2）中的有界测度序列模糊地收敛到有界测度当且仅当它弱地收敛到该测度时，请参见[4]中的定理2.1.4以了解更多细节。因此，关于（b）中g的任一假设都足以实现（3.6）的收敛。推论3.5。让你∈ (0, ∞) 假设命题3.2的情况。回想一下Constantschind和Chdepfrom（3.4）。（a）如果V，它们是渐近独立的，然后是有限的→∞P（g（F）>t | h（F）>ut）=（Chind）-1dXj=1E min{hα（AK1/αej），uαgα（AK1/αej）}。（3.7）（b）如果V，它们是渐近完全依赖的，然后是有限的→∞P（g（F）>t | h（F）>ut）=（Chdep）-1E min{hα（AK1/α1），uαgα（AK1/α1）}（3.8）证明。该证明类似于[15]中定理3.4的证明。对于渐近独立索赔V。

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nandehutu2022

2022-5-9 06:10:28

，Vd我们通过定理3.4（a）获得o A.-1（{h（x）>u，g（x）>1}）=（dXj=1Kj）-1dXj=1kj最小{u-αhα（Aej），gα（Aej）}，分母中的表达式是（dXj=1Kj）-1dXj=1KjE{u-αhα（Aej）}=（dXj=1Kj）-1后（3.9）产生（3.7）。在渐近完全相依索赔的情况下，我们通过定理3.4（b）得到Euo A.-1（{h（x）>u，g（x）>1}）=kK1/α1k-αE min{u-αhα（AK1/α1），gα（AK1/α1）}，给出相应的命名关系（3.8）。备注3.6。在极值理论中，尾相关系数通常定义为两个可能相关的随机变量X，X，具有相同的边际分布函数limx→∞P（X>X | X>X），前提是存在该限制（例如[6]中的第9.5节）。由此产生的数字被解释为描述重大损失的一种度量。定义1.1（a）-（c）中的条件概率是通过这种条件概率定义的，允许不对称。作为规则变化的结果，可以明确计算以下条件概率以及条件期望的极限：如果γg/γh→ 1，那么g（F）>VaR1-γg（g（F））|h（F）>VaR1-γh（h（F））~ Ph（F）>VaR1-γh（h（F））|g（F）>VaR1-γg（g（F））如果γ=γg=γh，那么我们可以识别limγ→0P（g（F）>VaR1-γ（g（F））|h（F）>VaR1-γ）（3.10）如[6]第343页等式（9.75）中定义的通常（对称）尾依赖系数。推论3.7。让你∈ (0, ∞) 假设命题3.2的情况。回想一下（3.4）中的君士坦丁堡。（a）如果V，VD是渐近独立的，我们发现[g（F）| h（F）>t]~αα - 1（中国）-1dXj=1Eg（AK1/αej）hα-1（AK1/αej）t.（3.11）（b）如果V，VD是渐近完全依赖的，我们发现[g（F）| h（F）>t]~αα - 1（Chdep）-1Eg（AK1/α1）hα-1（AK1/α1）t.（3.12）（c）对于g=h，我们得到了经典的条件尾期望（1.1）。证据

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2022-5-9 06:10:31

（a）我们用（3.5）asEZh（x）>1g（x）u来计算积分o A.-1（dx）=（dXj=1Kj）-1EdXj=1Zh（x）>1，x∈{uAK1/αej:u>0}g（x）ν*（{sej∈ Rd:sAK1/αej∈ dx}），其中*, 被称为标准指数测度，它与向量V=（V，…，Vd）的指数测度ν通过ν=ν相关联*o K-1/α，见[15]中的引理2.2。对于独立组件ν*集中在轴线上。我们会考虑到这一点∈ {uAK1/αej:u>0}，等式ν*（{sej∈ Rd:sAK1/αej∈ dx}）=αu-α-1du（3.13）有效。集{u>1/h（AK1/αej）}yieldsZ上的积分∞1/h（AK1/αej）αg（AK1/αej）u-αdu=α- 1g（AK1/αej）hα-1（AK1/αej），意味着zh（x）>1g（x）Euo A.-1（dx）=αα- 1（dXj=1Kj）-1dXj=1E[g（AK1/αej）hα-1（AK1/αej）]。（3.14）由于)u（{h（x）>1}）=Rh（x）>1Euo A.-1（dx）=（Pdj=1Kj）-之后，我们得到（3.11）。（b）为了说明（3.12），回想一下，在完全依赖的情况下，正则指数度量ν*对于完全相依分量，集中在对角线{u1上∈ Rd:u>0}并通过ν=ν连接到V的指数度量*o K-1，另见[15]中的引理4.2。因此，Zh（x）>1g（x）Euo A.-1（dx）=kK1/α1k-αEZh（x）>1，x∈{uAK1/α1:u>0}g（x）ν*（{s1∈ Rd:sAK1/α1∈ dx}）。为了x∈ {uAK1/α1:u>0}，我们有Eν（{sK1/α1）∈ Rd:sAK1/α1∈ dx}）=αu-α-1du，其中ieldszh（x）>1g（x）Euo A.-1（dx）=kK1/α1k-αEZ∞1/h（AK1/α1）αu-αg（AK1/α1）du=kK1/α1k-ααα - 1Ehα-1（AK1/α1）g（AK1/α1）。这导致了（3.12）。4条件系统性风险度量我们现在准备调查金融或保险市场定义1.1中的条件系统性风险度量，基于随机矩阵x=（Aij）q，di，j=1as（2.2）中的二分图，其中包含q个代理和d个对象。首先，我们评估高市场损失对代理人i风险的影响程度。其次，我们评估了个体代理人风险对市场风险的影响，反映了个体代理人的系统重要性。

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2022-5-9 06:10:34

第三，我们考虑了代理人k的风险对代理人i的风险的影响。在本节中，我们假设索赔V，VD呈渐进依赖性。在本节中，我们将回到定义1.1中应用于聚合函数的多变量风险度量；我们再次将g（F）作为某个分量上的投影，h（F）=kF是一个范数；这里我们甚至可以允许k·k只是一个准范数。特别是，在定义（3.1）中的规则变化时，该范数或准范数不必等于参考范数。以下结果确定了各个机构和金融系统在不同条件下共同遭受巨额损失的可能性。提议4.1。让我们，vd应渐近独立且u>0。假设命题3.2的条件满足。此外，假设γ→ 0和κ∈ (0, ∞). 然后p（Fi>VaR1-γκ（Fi）|kF k>VaR1-γ（kF-k））→dXj=1KjE minnkAejkαCSind，κAαijCiindo（4.1）P（kF k>VaR1-κγ（kF k）|Fi>VaR1-γ（Fi））→dXj=1KjE minnκkAejkαCSind，AαijCiindo（4.2）P（Fi>VaR1-γκ（Fi）|Fk>VaR1-γ（Fk））→dXj=1KjE minnκAαijCiind，AαkjCkindo。（4.3）此外，对于条件尾部预期，如果α>1，则-γ（Fi | kF k）~αα - 1（CSind）1/α-1dXj=1KjE[AijkAejkα-1]γ-1/α. （4）SCoTE1-γ（kF k | Fi）~αα - 1（Ciind）1/α-1dXj=1KjE[Aα-1ijkAejk]γ-1/α. （4.5）MCoTE1-γ（Fi | Fk）~αα - 1（Ckind）1/α-1dXj=1KjE[Aα-1kJ]γ-1/α. （4.6）证据。我们展示了以下更一般的结果：Letg，h∈ {f:Rq+→ R+；f（x）=kxk和fk:Rq+→ R+；fk（x）=xk，k=1，q} 在这个命题的假设下，P（g（F）>VaR1-γκ（g（F））|h（F）>VaR1-γ（h（F）））→dXj=1E minnhα（AK1/αej）Chind，κgα（AK1/αej）Cgindo，γ→ 0.（4.7）为了显示这个一般结果，我们设置了VaR1-γκ（g（F））=t和VaR1-γ（h（F））=ut。

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2022-5-9 06:10:37

现在回想一下引理2.3VaR1-γ（Fi）~ （Ciind）1/αγ-1/α和VaR1-γ（kF-k）~ （CSind）1/αγ-1/α, γ → 0.这意味着u=VaR1-γ（h（F））VaR1-γκ（g（F））=（Chind）1/αγ-1/α（Cgind）1/α（γκ）-1/α（1+o（1）），γ→ 0使得uα=ChindCgindγκγ（1+o（1））=ChindCgindκ（1+o（1）），γ→ 我们得出结论，（4.7）通过推论3.5成立。条件尾部期望的类似表达式紧随推论3.7。备注4.2。以下是从监管机构的角度对（4.1）的解释。假设市场情况与正常情况不同，例如，kF k>δVaR1-γ（kF k）对于某些δ>1，则通过（3.7）在（4.1）中极限处的因子κ变成δακ。为了便于论证，我们将（4.1）右侧总和的第一个贡献称为系统常数，将第二个贡献称为个体贡献。考虑一下这种情况，在以前的市场条件下，个人供款已经达到了最低水平。然后，市场的变化导致κ变为Δακ，对于某些δ>1的情况，可能会导致两种情况。在第一种情况下，由个人贡献假设的最低isstill，即使它增加了系数Δα。如果系统变化如此巨大，以至于个体贡献大于系统常数，那么（4.1）右侧的极限将成为系统常数。如果监管机构实施的策略是，在所有市场条件下，限制条件概率保持不变，那么它将首先要求在正常市场条件下，minnkAejkαCSind，κaαijCiindo=κE[aαij]Ciind。如果市场处于压力之下，那么监管机构将提高机构的风险价值，只要个人捐款仍然达到最低水平。

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2022-5-9 06:10:40

然而，系统常数取最小值的情况表明，单个资本储备的调整无法再吸收紧张的市场状况。因此，必须采取政治措施。其他极限关系也有类似的解释。对于命题4.1中的每个极限表达式，κ的极限行为→ 0是线性的，这在下一个命题中是精确的。我们假设存在常数w，w>0，使得0<w≤ 权重系数≤ 存在常数b，b，使得0<b≤ 卡伊克≤ B.例如，如果Wij=deg（j）-11（i）~ j）然后我们可以取w=1+w=1。我们设置κ=κ（i）=bαCSindCiindWα，κ=κ（i）=CSindCiindbαWα，以及κ=κ（i，k）=CiindCkindwαWα。（4.8）此外，我们定义了τ（i）=dXj=1KjE1（i~ j） kAejkαcsindadτ（i，k）=dXj=1KjE1（k~ j） AαijCiind；（4.9）并注意τ（i）≤ 1和τ（i，k）≤ 1分别通过CSindand和Ciind的定义。如果i和k不共享一个对象，则τ（i，k）=0。定理4.3。假设命题4.1的条件成立，且存在不变常数w，w>0，使得0<w≤ 权重系数≤ 以及有限常数b，b，使得0<b≤ 卡伊克≤ B.（a）对于κ≤ κ、 dXj=1KjE minnkAejkαCSind，κAαijCiindo=κdXj=1KjEAαijCiind= κ. （4.10）（b）对于κ≤ κ（i），dXj=1kjenminκkAejkαCSind，AαijCiindo=κτ（i）。（4.11）（c）对于κ≤ κ（i，k），dXj=1KjE minnκAαijCiind，AαkjCkindo=κτ（i，k）。（4.12）证据。为了展示（4.10），我们从（4.1）开始。考虑表达minnkaejkαCSind，κAαijCiindo=1（i~ j） minnkAejkαCSind，κWαijCiindo。如果我6~ 那么最小值是0，如果我~ 然后我们可以选择κ<kAejkαCSindCiindWαij。（4.13）虽然这种表达是随机的，但κ不是随机的，对于κ≤ κ、（4.13）满足网络的任何实现。HenceE minnkAejkαCSind，κAαijCiindo=κEn1（i~ j） WαijCiindo。求和j=1。

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kedemingshi

2022-5-9 06:10:43

，并回顾Ciindgives的定义（4.10）。对于（4.11），我们从（4.7）开始；争论也同样直截了当。考虑表达minnκkAejkαCSind，AαijCiindo=1（i~ j） minnκkAejkαCSind，WαijCiindo。如果κ≤WαijCiindCSindkAejkα，然后1（i~ j） minnκkAejkαCSind，WαijCiindo=1（i~ j） κkAejkαCSind。特别是，这个方程适用于κ≤ κ和κ在（4.8）中给出。再次总结所有jgives（4.11）。为了说明（4.12），我们使用（4.3）考虑表达minnκAαijCiind，AαkjCkindo=1（i~ j） 1（k）~ j） minnκWαIJCIND，WαkjCkindo。对于κ≤ κ（i，k），1（i~ j） 1（k）~ j） minnκWαijCiind，WαkjCkindo=1（k~ j） κWαijCiind=κ1（k~ j） Aα>0时的αijciind。对j求和得到断言（4.12）。继（4.10）、（4.11）和（4.12）之后，我们现在可以从定义1.1中评估CoVar、SCoVaR和MCoVaR的极限行为，具体为聚集函数h（F）=kF k，其中F=（F，…，Fq）是随机暴露向量。对于γi，γ∈ （0,1）关于代理人i和市场，我们分别考虑以下有条件的系统风险度量：（a）个人有条件的风险价值1-γi，γ（Fi | kF k）：=inf{t≥ 0:P（Fi>t | kF k>VaR1）-γ（kF-k））≤ γi}，（b）系统条件风险价值Var1-γ、 γi（kF k | Fi）：=inf{t≥ 0:P（kF k>t | Fi>VaR1-γ（Fi））≤ γ} ，（c）共同条件风险价值MCOVAR1-γi，γk（Fi | Fk）：=inf{t≥ 0:P（Fi>t | Fk>VaR1）-γk（Fk））≤ γi}。定理4.4。假设存在常数w，w>0，使得0<w≤ 权重系数≤ 有一个上界a<∞ 这样kAejk≤ A.

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kedemingshi

2022-5-9 06:10:46

将（4.8）和（4.9）（a）中的常数记为γ→ 0代表γi≤ κ（i），ICoVaR1-γi，γ（Fi | kF k）~ VaR1-γiγ（Fi）~ （Ciind）α（γiγ）-α; （4.14）（b）作为γi→ 0表示γ≤ κ（i）τ（i），SCoVaR1-γ、 γi（kF k | Fi）~ V aR1-γiγτ（i）（kF k）~ （CSind）αγiγτ（i）-α; （4.15）（c）如果τ（i，k）6=0，则为γk→ 0代表γi≤ κ（i，k）τ（i，k），我们有MCOVAR1-γi，γk（Fi | Fk）~ V aR1-γiγkτ（i，k）（Fi）~ （Ciind）αγiγkτ（i，k）-α; （4.16）如果τ（i，k）=0，则为γi→ 0，MCoVaR1-γi，γk（Fi | Fk）~ V aR1-γi（Fi）~ （Ciind）αγ-αi.证据。首先，从（4.1）到（4.10），对于κ≤ κ=κ（i），如γ→ 0，P（Fi>VaR1）-γκ（Fi）|kF k>VaR1-γ（kF-k））→dXj=1KjE minnkAejkαCSind，κAαijCiindo=κ。因此γi≤ κ, γ → 0，P（Fi>VaR1）-γγi（Fi）|kF k>VaR1-γ（kF-k））~ γi.1.1-γi，γ（Fi | kF k）~ VaR1-γiγ（Fi）。VaR的渐近性遵循引理2.3，得出（4.14）。对于（4.15），（4.7）和（4.11），给出γ的表达式→ 0和κ>κ=κ（i），P（kF-k>VaR1-κγ（kF k）|Fi>VaR1-γ（Fi））→dXj=1KjE minnκkAejkαCSind，AαijCiindo=κτ（i）。特别是，一个简单的重定标给出了sp（kF k>VaR1）-κγi（kF k）|Fi>VaR1-γi（Fi））→ κτ（i），γi→ 0.让γ=κτ（i）得到γ的值≤ κτ（i）PkF k>VaR1-γiγτ（i）（kF k）|Fi>VaR1-γi（Fi）→ γ、 γi→ 0.现在（4.15）如下所示。对于（4.16），（4.3）和（4.12），给出γ的表达式→ 0和κ≤ κ（i，k），P（Fi>VaR1）-γκ（Fi）|Fk>VaR1-γ（Fk））→dXj=1KjE minnκAαijCiind，AαkjCkindo=κτ（i，k）。改变变量会得到P（Fi>VaR1-γkκ（Fi）|Fk>VaR1-γk（Fk））→ κτ（i，k），γk→ 0.设置γ=κτ（i，k）并要求γ≤ 当τ（i，k）6=0时，κ（i，k）τ（i，k）给出（4.16）。最后一个断言来自这样一个事实：如果fi和fk不共享对象，它们是独立的。备注4.5。定理4.4通过以极端事件为条件的超越概率来评估风险度量的渐近行为。例如，在（4.16）中，特工khas已经遭受了巨大的损失。

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kedemingshi

2022-5-9 06:10:49

如果代理人i在其投资组合中共享一些对象，则该损失将对代理人i的损失产生影响。它们共享的对象越多，τ（i，k）就越大。无条件VaR阈值1- γiat，其中P（Fi>t）=γih应调整为1-γγkτ（i，k）如果τ（i，k）6=0。τ（i，k）越大，则1越大- γγkτ（i，k），因此对试剂i的要求越严格。在（4.15）中，网络对试剂i的影响表明对τ（i）的依赖性，随试剂i的连接数量增加而增加。同样，τ（i）越大，对试剂i的要求越严格。即使在（4.14）中，也存在网络结构的依赖性，这反映在κ（i）和Ciind中。5网络效应的近似和说明在本节中，我们仅限于以下情况：，他在情感上是独立的。5.1在二部图模型中未涵盖的损失，取决于代理选择各种对象的随机机制，可能会发生某些对象未被任何代理选择的情况。在例2.1的（再）保险上下文中，这意味着某些重大损失可能未投保。例如，在某些自然灾害，如地震，国家或国际社会可能负有责任时，就会发生这种情况，有关更多信息和具体数字，请参见[17,19]。在本小节中，我们对未承保的重大损失的概率进行了近似，并将wede finen=dXj=11（deg（j）=0）作为未承保损失的（随机）数量。提议5.1。假设渐近独立的物体V，我们有（2.1）中给出的paretoail。然后dXj=11（deg（j）=0）Vj>t~ T-αdXl=1KlP（deg（l）=0）。证据

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2022-5-9 06:10:52

我们以所有可能的未承保损失W为条件，并计算EPdXj=11（deg（j）=0）Vj>t=dXw=1P（N=w）PdXj=11（deg（j）=0）Vj>t | N=w=dXw=1P（N=w）XW:| w |=wPXl码∈WVl>tP（deg（j）=0，j∈ W | N=W）~ T-αdXw=1P（N=w）XW:|w |=wXl∈WKlP（度（j）=0，j∈ W | N=W）作为t→ ∞, 将其用于渐近独立区域（参见[15]中的引理2.3，PXl码∈WVl>t~ T-αXl∈WKl，t→ ∞.因此，交换求和顺序并使用全概率定律，PdXj=11（deg（j）=0）Vj>t~ T-αdXw=1P（N=w）dXl=1KlXW:|w |=w1（l）∈ W） P（deg（j）=0，j∈ W | N=W）=t-αdXl=1KlP（deg（l）=0）。例5.2。假设，如果非保险损失的数量为N=w，则为0≤ W≤ d、所有这些w索赔都有相同的概率不被涵盖。然后，命题5.1采用了一种特别简单的形式。在该设置中，P（deg（l）=0 | N=w）=每l的w/d∈ {1，…，d}，和P（deg（l）=0）=dXw=1P（N=w）P（deg（l）=0 | N=w）=ddXw=1wp（N=w）=dEN。亨塞普dXj=11（deg（j）=0）Vj>t~ T-αENddXl=1Kl。此外，如果所有边都是独立的，且概率p相同∈ [0,1]出现时，n=Pdw=1P（deg（l）=0）=d（1- p） q.在这种情况下，大型非保险损失的概率可以近似为pdXj=11（deg（j）=0）Vj>t~ T-α(1 - p） qdXl=1kg，t→ ∞.5.2独立二部图模型：条件系统性风险度量在本节中，我们举例说明了基于二部网络模型的结果，其中所有边都是独立的，加权邻接矩阵a如例2.1所示，参考了大型索赔保险市场的情况。因此，Aij=1（i~j） deg（j），其中{1（i）~ j），1≤ 我≤ d、一,≤ J≤ q} 是具有E1（i）的独立伯努利随机变量~ j） =皮杰。5.2.1泊松近似如果d和q较大，我们可以提供数量CSind、Ciind、EAijkAejkα的泊松近似-1，EAα-1ijkAejk和EAα-第4.1条提案中所列的建议。

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2022-5-9 06:10:55

我们定义了byX~ 泊松（λ）平均值λ>0的泊松分布随机变量X。我们将使用以下泊松变量；Xi，kj~ Pois（λi，kj），其中λi，kj=qXl=1，l6=i，kpli，Xij~ 具有λij=qXl=1、l6=ipli和xj的poi（λij）~ Pois（λj），λj=qXk=1pkj。[15]中的命题4.1给出了EAαij- 皮杰（1+Xij）-α≤ pijmin{1，（λij）-1} Xk=1，。。。，Qk6=ipkj=：B（i，j），（5.1）和，对于一些r的r-范数≥ 1.EkAejkα- E1{Xj≥ 1} （1+Xj）α（1/r）-1)≤ min{1，（λj）-1} qXk=1pkj=：B（j）。（5.2）我们还将使用b（i，j，k）：=min{1，（λi，kj）-1} X`=1，。。。，q`6=ip`j.（5.3）以下引理是（2.6）、（5.1）和（5.2）的直接结果。引理5.3。使用上面的符号Ciind-dXj=1KjpijE（1+Xij）-α≤dXj=1KjB（i，j）。(5.4)发现-dXj=1KjE1{Xj≥ 1} （1+Xj）-αr-1r≤dXj=1KjB（j）。（5.5）与引理5.3类似，我们可以从命题4.1推导出极限量的泊松近似，如下所示。提议5.4。假设Aij=1（i~j） deg（j），其中{1（i）~ j），1≤ 我≤ d、一,≤ J≤ q} 具有E1（i）的独立伯努利随机变量~ j） =皮杰。定义=最小值κCiind，CSind, M=minCiind，κCSind, M=minκCiind，Ckind.

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2022-5-9 06:10:58

（5.6）那么对于r≥ 1.对于条件风险值度量的极限表达式，E minnkAejkαCSind，κAαijCiindo- pi，jE minn（1+Xij）-α+αrCSind，κ（1+Xij）-αCiindo≤ MB（i，j），（5.7）E minnκkAejkαCSind，AαijCiindo- pi，jE minnκ（1+Xij）-α+αrCSind（1+Xij）-αCiindo≤ MB（i，j），（5.8）和对于i6=k，E minnκAαijCiind，AαkjCkindo- 皮杰姆（2+Xi，kj）-α≤ pijpkjMB（i，j，k），（5.9），其中B（i，j）在（5.1）中给出，B（j）在（5.2）中给出，B（i，j，k）在（5.3）中给出。此外，对于条件尾部期望的极限表达式，如果α>1，则EAijkAejkα-1.- 皮耶1+Xij-α（r）-1） +1r≤ B（i，j），（5.10）EAα-1ijkAejk- 皮耶1+XijR-α≤ B（i，j），（5.11）和对于i6=k，EAα-1kjAij- 皮杰2+Xi，千焦α≤ pijpkjmin{1，（λi，kj）-1} X`=1，。。。，q`6=ip`j.（5.12）证明。我们计算条件概率KaeJkα中的常数=qXk=11（k~ j）度（j）rαr=度（j）r-1.αr1（deg（j）>0）。（5.13）和（5.13），最小kAejkαCSind，κAαijCiind= 1（i）~ j）最低温度（摄氏度（j）-α+αrCSind，κdeg（j）-αCiind=1（i）~ j）最小值（1+Pk6=i1（k~ j） )-α+αrCSind，κ（1+Pk6=i1（k~ j） )-αCiind）和碱液minkAejkαCSind，κAαijCiind= pijE min（（1+Pk6=i1（k~ j） )-α+αrCSind，κ（1+Pk6=i1（k~ j） )-αCiind）。（5.14）现在考虑函数k（x）=min（1+x）-α+αrCSind，κ（1+x）-αCiind. 如果发现≥ 1或κCiind≥ 1 thenk（x）∈ [0, 1]. 一般来说，0≤ k（x）≤ 闵CSind，κCiind= mWhith Mas in（5.6）。亨塞特（x）=M-1k（x）=最大值CSind，Ciindκk（x）∈ [0, 1].现在，我们使用Stein-Chen方法的结果来评估总变异距离中泊松分布的距离，等式（1.23），第8页，来自[3]。这个结果表明，如果W是n个独立的伯努利随机变量的和，成功概率为pInd EW=λ=Pni=1和Z~ Pois（λ），然后suph:Z+→[0,1]|埃克（西）- Ek（Z）|≤ 最小（1，λ）-1） nXi=1pi。（5.15）将（5.15）应用于函数t（x）并牢记（5.14）会产生（5.7）。

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nandehutu2022

2022-5-9 06:11:01

界限（5.8）也类似。最后，敏κAαijcind，αkjcind= 闵κ1（i）~j） deg（j）αCiind，1（k~j） deg（j）αCkind= M1（i）~ j） 1（k）~ j）2+X`6=i，k1（`~ j）-α。作为正函数k（x）=（2+x）-α以1为界，asP`=1，。。。，q`6=i，k1（`~ j）是独立伯努利变量的asum，可以应用（5.15），下面是（5.9）。对于条件尾部预期，用（5.13）表示，AijkAejkα-1=度（j）r-1.α-1r1（i）~ j）度数（j）=1（i）~ j）度数（j）α（r）-1） +1r=Aα（r-1） +1rij。因此（5.1）适用，并产生（5.10）。类似地，对于（5.13），Aα-1ijkAejk=1（i~ j） deg（j）α-1.度（j）r-1.r=Aα-瑞吉。同样（5.1）适用，收益率（5.11）。在最后一部分中，我们模仿了[15]中命题4.1的证明。由于TheEdge的独立性[Aα-1kjAij= Eh1（i）~ j） 1（k）~ j） deg（j）αi=pijpkjEh2+X`=1，。。。，q`6=i，k1（`~ j）-αi.同样（5.15）可以应用，并且界限（5.12）如下。备注5.5。使用（5.4）和（5.5）常数M、M和M，以及命题5.4左侧的表达式，如果需要，可以通过直接但繁琐的计算进一步限定。备注5.6。命题5.4给出了泊松距离的精确界；不建议出现无症状的情况。因此，它可以在不同的渐近状态下进行解释。如果对象的数量d增加，而代理的数量q为q=o（d），并且代理将连接到的对象的数量保持不变，那么~Cd对于固定的c，则B（j）和B（i，j，k）的顺序为qd-2，B（i，j）是有序的-3.只要q=o（d），泊松近似将是合适的。类似地，如果代理的数量q增加，对象的数量D只增加aso（q），如果pij~对于固定c，泊松近似是合适的。

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2022-5-9 06:11:05

5.2.2齐次独立二部图模型：插图为了描述我们的结果，我们考虑了二部图的最基本情况，即边不仅是独立的，而且具有同等的可能性；用p表示边缘概率∈ [0, 1]. 我们还将边缘概率称为连通性参数，因为它与网络的密度成正比。在这个网络模型中，所有代理的行为都是可交换的。对于该模型，市场范围从完全没有活动的市场（p=0）到完整的图表（p=1）。请注意，在[15]中已经对此类网络的无条件风险度量进行了研究。在这里，我们感兴趣的是命题4.1以及定理4.4中给出的关于尾部依赖度、条件尾部期望和条件风险值的渐近表达式，它们被视为边缘概率p的函数，以及κ的函数（如适用）。在所有情况下，为了说明的简单性，我们将重点放在给定系统压力的一种药剂的相互作用上，反之亦然。我们分别使用以下缩写表示（4.5）和（4.4）中条件系统性风险度量的右手渐近表达式：（AS对应于系统超过其阈值时代理的风险超过其阈值，SA对应于特定系统超过其阈值时系统的风险超过其阈值）：casid=casid（i）=αα- 1（CSind）1/α-1dXj=1KjE[AijkAejkα-1]γ-1/α，CSAind=CSAind（i）=α- 1（Ciind）1/α-1dXj=1KjE[Aα-1ijkAejk]γ-1/α.依赖于p的绘图从p=0.01开始。在图2中，当尾指数α=5时，这两个量都被绘制为不同（准）范数的边缘概率p的函数。左边的图显示了外壳的曲线。

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2022-5-9 06:11:08

随着参数p的增加，网络中的连通性增加，这有两个影响：首先，更多的对象被保险，因此，代理承担更大的风险负载。第二，共同为一个对象投保的代理人之间的风险分担增加。然后，我们可以清楚地认识到，r>1的范数有利于多样化，从而导致曲线as0的非单调行为。0.1 0.2 0.3固定a=5和差异（准）标准。1 0.3 0.5 0.7 0.9 110510.50.20.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0固定a=5和差异（准）标准。1 0.3 0.5 0.7 0.9 110510.90.8图2：α=5（右）的风险常数Casin（左）和Csain（右）作为不同形式和准规范的p的函数。曲线图以p=0.01开始。左：对于r>1，曲线是非单调的。当r≤ 1是单调递增的。右图：对于考虑的所有r值，曲线都是非单调的。更大的风险负荷和积极的分散效应这两个引人注目的特征的结果，而在准常态情况下，分散受到惩罚，并加强了更大风险负荷的影响。右图显示了Csain的曲线。由于我们考虑了由某些（准）范数聚合的市场损失，即使是完整市场的损失也取决于范数参数r，这是与左图的一个主要区别。我们还认识到，即使对于拟范数和和范数，也会出现非单调曲线。在准常态情况下，存在一个（相对较高）的p值，在该值下，风险常数Csaha为局部最小值。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0固定范数r=1和不同的aptail dep系数。0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 10.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0固定a=5和不同（准）标准尾差系数。0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 15310.80.5图3：κ=1时（4.1）的尾部依赖系数。

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2022-5-9 06:11:11

左：固定和范数（r=1）和不同的附加指数α；对于较小的α，尾相关系数几乎是线性的，而对于较大的α值，曲线是非单调的。右图：尾部指数α=5固定和不同（准）标准。尾部依赖系数在急剧增加之前几乎是恒定的。在这两个图中，峰值只出现在诺曼和准范数之和。图3显示了对称尾依赖系数，κ=1时为（4.1）；i、 e.，P（Fi>VaR1-γ（Fi）|kF k>VaR1-γ（kF-k））→dXj=1KjE minnkAejkαCSind，Aαijciindo作为边缘概率p的函数。在左边的图中，我们观察到，对于较小的α，网络连通性参数p的尾相关系数几乎是线性的，但对于较大的α值，行为变得非单调，存在局部最优连接参数p。作为最小函数的影响，我们在曲线上看到小峰值。在右图中，fixingα=5，当网络几乎是一个完整的图时，尾部依赖系数在急剧增加之前几乎是恒定的。此外，通过最小函数出现的峰值仅出现在和范数和拟范数中。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0固定范数r=1，a=5，不同的kpagent给定系统0。1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 14210.80.30.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0固定范数r=1，a=5，不同的KPI系统给定agent0。1 0.3 0.5 0.7 0.9 14210.80.3图4：命题4.1中不同κ值的尾部依赖的不对称概率，α=5，取和范数。左：代理给定系统。作为p→ 0时，所有曲线都会收敛到相同的值0.2。作为p→ 1，对于κ≥ 1曲线合并成一条曲线，对于κ<1，曲线收敛到κ。右：系统给定代理。对于小p，曲线很好地分开。

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能者818

2022-5-9 06:11:14

为了p→ 1曲线趋向于tomin（1，κ）。考虑到命题4.1中尾部依赖系数的不对称性，通过可能与0不同的值κ，我们说明了与系统困境条件下的代理行为相关的结果版本，反之亦然；i、例如，（4.1）（agentgiven系统）和（4.7）（系统给定的代理）中的右侧，其读数为asP（Fi>VaR1）-γκ（Fi）|kF k>VaR1-γ（kF-k））→dXj=1KjE minnkAejkαCSind，κAαijCiindo，γ→ 0，P（kF-k>VaR1）-κγ（kF k）|Fi>VaR1-γ（Fi））→dXj=1KjE minnκkAejkαCSind，AαijCiindo，γ→ 0.图4显示了这两个量作为边缘概率p的函数，例如tailindexα=5和总和范数。在左侧绘图代理给定的系统中，所有曲线明显会聚到与p相同的点→ 在我们的例子中接近0.2。因此，随着网络连接的减少，κ的影响减弱。当我们走向完整的网络；i、 e.福普→ 1.所有κ≥ 1，从公式中可以清楚地看出，曲线收敛到一条曲线，在κ<1的情况下，曲线收敛到κ，这可以被认为是最小函数的功。与左图相反，在右图系统中，给定代理连接较少的网络的值；i、例如，p的小值彼此相距很远。这一观察结果可以解释如下：对于小p来说，看到一些Aij=0并不罕见，看到A=0的空网络也不太令人惊讶。F的范数为正的概率大于单个爆炸Fi的相应概率，因此，κ乘以非零概率较大的因子。

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