分布约束优化问题的动态规划原理

2022-5-31 06:51:18

分布约束最优停车的动态规划原理。我们考虑一个最优停止问题，其中在停止时间的分布上放置了一个约束。用所谓的测度值鞅重新表述问题，可以将边缘约束转化为初始条件，并将问题视为随机控制问题；建立了相应的动态规划原理。1、导言我们考虑以下在停车时间分布上具有约束的最优停车问题：给定概率测度uon（0，∞)以及支持布朗运动（Bt）t的过滤概率空间≥0，我们的目标是确定SUPτ∈T（u）EcB·，τ,（1.1）式中，T（u）是分布为u的停车时间集，c是满足c（ω，T）=c（ω）的给定可测成本函数·∧t、 t）。该问题与具有悠久历史的第一次穿越时间逆问题有关；它最近也引起了人们的关注：参见[3，5，11]，我们将进一步了解其在金融和精算数学中的作用，并参考和阐述。当基础过滤足够普遍，允许独立均匀分布的随机m变量时，问题（1.1）等价于其弱公式，其中上确界也占据潜在概率空间。这一观察结果为Beiglb¨ock等人的方法奠定了基础；具体地说，通过对某个标准产品集的度量来识别停止时间，可以得到一个优化子的存在性以及一个描述任何优化子的支持集的单调性原理。反过来，对于某些类别的成本函数，后者被用来推断所谓的障碍型解的存在性。

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2022-5-31 06:51:21

在此，鉴于过滤在上述意义上是足够普遍的，并且在成本函数上具有一定的规律性，但明显没有特定的结构，我们用所谓的测度值鞅来重新表述问题，从而将问题作为随机控制问题来处理；建立了相应的动态规划原理。Cox和K¨allblad[9]使用测度值鞅的概念研究了一个鲁棒定价问题，其中优化设置在满足给定终端边际约束（保证满足给定市场数据）的一类鞅（潜在市场模型）上。然后用指定其终值的条件分布的过程识别每个鞅。后者自然属于一类在R上概率测度空间取值并满足一定鞅性质的过程；它们被称为测度值鞅（MVM）。至关重要的是，终端市场约束日期：2017年3月27日。奥地利维也纳韦德纳-豪普斯特拉斯韦恩科技大学，邮编：8-10，1040。电子邮件：sigrid。kaellblad@tuwien.ac.at.2然后，SIGRID K¨ALLBLADwas转化为相应MVM的初始条件，这使得问题m被视为一个随机控制问题，其中底层的条件定律表现为一个附加的稳定过程。因此，可以通过动态规划方法解决这个问题，在[9]中，建立了DP P，并推导出了值函数的HJB方程。同样的方法也可以自然地应用于最优停止概率问题（1.1），本文的目的是明确这一点并证明相关的DPP。

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2022-5-31 06:51:24

具体而言，T（u）中的每个停止时间τ与MVM（ξT）T相同≥0给定当前信息的确定asits条件分布：ξt=L（τ| Ft）；任何这样的过程都将满足初始条件ξ=u以及martinga性质和与τ的停止时间性质相对应的某种适应性条件。当将最优停车问题重新表述为此类MVM上的优化问题时，将分布约束合并为初始条件，允许将问题作为随机控制问题来处理；我们的主要结果表明，动态编程原理适用于这个问题。我们注意到，在Ankirchner等人【2】和Miller【20】中，研究了在停车时间上的期望值约束下的最优停车问题。然后将终端约束的条件期望值合并为一个附加的状态过程，并通过使用BSDE解决问题（参见[6]）；因此，在抽象的层面上，我们的方法与他们的方法有某种相似之处。Bayraktar和Miller也从类似的角度研究了我们所考虑的分布构造问题[3]。然而，作者考虑了strong问题公式，并对原子约束的情况进行了严格的限制，而我们将u作为R+上的一般概率测度；我们还允许使用更一般的成本函数。我们注意到，我们的证明方法与他们的不同。事实上，[3]中的方法使用单位单纯形中的任何点都可以写成有限个点的线性组合，这些点的凸面包含该点；在我们看来，这种方法似乎很难推广到任意约束。

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2022-5-31 06:51:27

此外，由于他们考虑了强大的公式，他们的过滤仅由布朗运动产生，而额外的随机性则是通过对布朗运动本身过去的假设获得的，这种方法似乎很难推广非路径依赖的成本函数。然而，值得注意的是，根据我们在本文中的结果以及他们的结果，我们得出，对于[3]中考虑的成本函数类，限制布朗过滤的问题与弱公式一致。因此，事后，我们将其主要结果恢复为我们的一个特殊案例。为了证明（1.1）问题（MVM版本）的DPP，我们在这里考虑它在相关规范路径空间上的弱公式；规范框架已经成功地用于研究随机控制问题。g、 El Karoui和Tan【17、18】，另见【21、22、25】。为了说明我们处理的是测度值鞅，我们的正则空间由从R+到R+概率测度空间的（连续）函数组成，其中，我们为后者配备了由第一个Wassersteindinance诱导的拓扑，使其成为一个波兰空间。然后，我们可以通过提供某种度量集的分析性以及在串联和分解下的稳定性来建立DPP，并在tur n中应用扬科夫·冯·诺依曼的可测选择定理。

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2022-5-31 06:51:30

这种方法的基础是这样一个事实，即问题（1.1）与其弱公式等价；特别是，尽管有替代此约定的方法，但我们在此让MVM对应于（分解的）随机停止时间的条件分布。一个分布约束最优停止的DPP在先验条件下假设值函数的连续性，并限制为一类具有某种（马尔可夫）结构的代价函数，我们还提供了DPP的替代证明。虽然这个结果是我们主要结果的一个特例，但我们选择报告这个独立的论点，因为我们发现它是有意义的。具体而言，继Bouchard和Touzi【7】（se e也是【6】）之后，其想法是利用价值函数的连续性特性，以明确构建近似最优核，从而避免对可测量选择函数的需要。为了处理度量值的论点，我们在这里借鉴了最优运输理论的观点——该论点主要依赖于Firstwasserstein距离的结构。值得注意的是，这一论证适用的成本函数类别包括[3]中考虑的成本函数。除了DPP之外，我们还研究了分布约束d最优停止问题的稳定性，因为我们建立了问题值作为边缘约束函数的连续性性质。首先，根据文献[5]中证明优化子存在的论证，我们在相当一般的成本函数假设下，得到了该映射的上半连续性。

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大多数88

2022-5-31 06:51:33

利用代价函数的附加正则性，我们还建立了价值函数的某种“Right-continuity”；这个结果很有趣，因为它确保了带有基因ral约束的问题的值可以在一系列近似原子问题的极限下获得，这些问题更容易用数值方法解决。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们介绍了我们要研究的问题，并建立了连续性性质。在第3.1节中，我们用所谓的适应测度值鞅来描述这个问题；我们在第3.2节中提供DP P，并在第3.3节中提供其证明。DPP的替代证明推迟到附录中。2、分布约束最优停止问题2.1。研究的问题：定义和第一句话。给定固定定律u∈ P、其中P表示（0，∞) 具有有限的初始时刻和经过过滤的概率空间(Ohm, G、（Gt）t≥0，P）支持布朗运动（Wt）t≥0和一个独立的G-可测随机变量U~ U[0，1]，我们考虑以下分布约束最优停止问题：v（u）=supτ∈T（u）EcW·，τ,（2.1）式中，T（u）是具有给定分布u的停车时间集，c是从c（R+）×R+到R的给定可测量成本函数，满足c（ω，T）=c（ω·∧t、 t）。在整个过程中，E[c（W·，τ）]被很好地定义并且<∞ 对于所有τ∈ ∪u∈PT（u）；对于所有u∈ P、存在一些τ∈ T（u），使得E[c（W·，τ）]>- ∞. 特别是，（2.1）中定义的v是从P到(-∞, ∞].2.1.1。弱问题公式的预备知识。对于我们的方法来说，至关重要的是，分布约束问题（2.1）实际上等价于相应的弱公式。

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大多数88

2022-5-31 06:51:36

为了使这一点正式化，在[4]和[5]之后，我们将使用随机停车时间的概念；但也可参见【13、16、17、18】。设C（R+）表示从R+到R的连续函数空间，从零开始，具有紧集上一致收敛的拓扑；我们用W表示C（R+）上的维纳测度，并让F=（Ft）t≥0通常是对规范过滤的强化。在【5】之后，请参见【4】，我们将进一步了解详情，然后定义乘积空间C（R+）×R+上的概率度量集RST（u），称为随机停止时间，具有4个SIGRID K–ALLBLADpre特定定律：RST（u）：={γ∈ Cpl（W，u）：Aγt（ω）：=γω（[0，t]）是Ft可测量的，对于t≥ 0}，其中（γω）ω∈C（R+）表示γ在第一坐标中的分解，而aγ（ω）是与γω相关的累积分布函数。根据文献[4]中的引理3.11，用（B，T）表示C（R+）×R+上的正则过程，分布约束问题可被视为正则空间上R和约化停止时间上的优化问题；具体而言，鉴于(Ohm, G、（Gt），P）支持布朗运动和独立的均匀分布G-随机变量，问题（2.1）等价于最大化γ问题cB·，T, γ以上∈ RST（u）。特别是概率空间的具体选择(Ohm, G、（Gt），P）因此对这个问题没有兴趣。

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2022-5-31 06:51:39

因此，用A（u）表示α=(Ohmα、 Gα，Gα，Pα，（Wα·），τα），使得(Ohmα、 Gα，Gα，Pα）是一个概率空间，其中Wα·是BM，τα是带τ的停止时间~ u，该值保持不变Wα·，τα] 所有术语α∈ A（u）；（2.2）这进一步说明，我们确实在处理一个薄弱的问题公式。因为每个随机停止时间都允许在第一个变量（γω）ω中对其分解进行表征∈C（R+），致力于固定概率空间(Ohm = C（R+，F，F，W），仍然用B表示正则过程，我们的问题也可以等价地表示为优化Z∞c（B·，s）dAγs, γt（ω）：=γω（[0，t]），（2.3）在γ的分解核（γω）上∈ RST（u）。最后一个公式强调了以下关于随机停车时间的直观观点：虽然标准停车时间为每条路径指定了一个停车时间，但依赖于某些外部随机性的停车时间可以被视为一个分布，指定了在观察特定路径的情况下，在不同点停车的可能性。由于上述公式都是等效的，我们可以在它们之间自由切换，并将考虑在每种情况下最方便的公式。2.2。对约束的依赖：值函数的稳定性。在本节中，我们研究了问题对边际约束的依赖性，我们建立了映射u7的连续性属性→ v（u）。回想一下，问题优化者（2.1）的存在是在[5]中确立的；他们的论点稍有变化就会产生值函数的上半连续性：Propositi on 2.1。假设成本函数c从上到下是有界的，且为7→ c（ω·∧t、 t）对于W-a.e.ω是上半连续的∈ Ohm.

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2022-5-31 06:51:42

然后，u7→ v（u）在W（第一个Wasserstein度量）诱导的拓扑中在P上是上半连续的。命题2.1的证明。设（un）是收敛到某个u的序列；w、 l.o.g.letW（un，u）n不增加。依次，let（γn）a seq uenc e，使γn∈ RST（un）和LIMN→∞Eγnc（B）·∧T、 T型= lim支持→∞v（un）。（2.4）在[4]中，子概率测量γ与projC（R+）γ≤ 考虑W。然而，由于我们需要projR+γ=u，其中u∈ P的质量为1，因此，so的质量为γ，因此必须严格遵守所谓的“有限”RST，其中projC（R+）γ=W，τ几乎对所有路径都是有限的；另见[5]第10页。分布约束最优停止的DPP 5我们首先表明序列（γn）是紧的；为此，必须表明其在C（R+）和R+上的各自投影是紧密的。在c（R+）上的投影都与维纳测度重合，因此非常紧密。另一方面，γn（T>r）=un（[r，∞)). 对于任何ε>0，使用un收敛到u，我们现在可以选择一个r>0，使得un（[r，∞)) < ε、适用于所有n∈ N因此，R+上的投影也很紧密。设γ为累积点；如有必要，通过传递给子Q ue nc e，我们可以假设γn=> γ。自（ω，t）7→ ω是平凡连续的，因此γOhm= W、进一步，使用（ω，t）7的连续性→ 结合un→Wu，对于任何g∈ Cb（R+），Zg（t）γR+（dt）=Eγ[g（T）]=limn↑∞Eγn[g（T）]=limn↑∞Zg（t）un（dt）=Zg（t）u（dt）。因此，γ∈ Cpl（W，u）。最后，利用文献[4]中的定理3.8（3），我们得到γ∈ RST（u）。接下来，根据[15]中的命题2.4（另见[13]中的引理4.2），在空间RST（u）上，弱收敛拓扑与稳定收敛拓扑重合，稳定收敛拓扑是γ→ Eγ[φ]对于所有有界可测函数φ是连续的：Ohm ×R+→ R使得t 7→ φ（ω，t）对于所有ω都是连续的∈ Ohm.

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大多数88

2022-5-31 06:51:46

因此，通过使用假设（和Portmanteau引理），wehavev（u）≥ Eγc（B）·∧T、 T型≥ lim支持→∞Eγnc类(（B）·∧T、 T型,（2.5）结合（2.4）得出所需的u.s.c。由于值函数是凹函数，当限制在概率测度集上，并支持有限个固定点时，即v是从Rnto R的函数（参见（3.7）），从建议n 2.1可以看出，v在其有限的域上是连续的。当问题允许barrie r型解时，值函数也是连续的；参见[5、12、19、23]。然而，一般来说，值函数的连续性并不是先验明确的。接下来，我们考虑一类pay-o-off函数，尽管如此，我们仍然可以为其建立值函数的某种“右连续性”。结果很重要，因为它确保了具有一般约束的问题的值可以作为近似原子问题序列的极限来获得，这更容易通过使用数值方法来解决。对于这个结果，我们考虑满足以下附加条件的支付函数：假设2.2。给定支持BM（Wt）t的概率空间≥0和停止时间τ，存在连续性模量ν，因此对于任何停止时间ρ≥ τ、 | E[c（W·∧τ、 τ）- c（W·∧ρ、 ρ）]|≤ Д（E[|τ- ρ|]）。（2.6）示例2.3。假设2.2适用于以下任一情况下的示例：oc（ω，t）=f（ωt），对于某些2-H连续函数f，则e[| f（Wτ）-f（Wρ）|]≤ cE[| Wτ- Wρ|]=cE[|τ- ρ|]；oc（ω，t）=f（ω*t）对于一些2-H¨older连续函数f，其中ω*t=辅助·≤tω·，由于Doo b不等式，E[| f（W*τ）- f（W*ρ） |]≤ cE[| W*τ-W*ρ|]≤ 4cE[|τ- ρ|]；的确，让u，u∈ P、 ε>0，τ，τ对应ε-最佳停车时间。对于λ∈（0，1），定义τ=1{U≤λ} 对于一些独立的U，τ+1{U>λ}τ~ U[0，1]。

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2022-5-31 06:51:49

然后，τ∈ T（uλ）表示uλ=λu+（1- λ） u，并在扩大的空间上工作(Ohm, G、（Gt），P）在命题2.4的证明中，我们得到v（x，μλ）≥E{U≤λ} c类W·，τ+ 1{U>λ}cW·，τ≥ λv（x，u）+（1- λ） v（x，u）- 2ε，由于ε是任意的，因此产生凹度。6 SIGRID K¨ALLBLADo当W被hM it的局部鞅替换时的上述两种情况s≤t（即进化“低于”布朗运动）；o当| c（ω，t）- c（ω，s）|≤ ^1（| t- s |）表示凹形连续模量Д。我们用R（ξ）表示P中的测度集，可以通过向右移动质量从ξ获得；更精确地说，如果ξ′∈ R（ξ）和m（·，dy）是关于ξa和ξ′之间wb的最佳耦合的第一个变量的分解，那么m（x，dy）只在[x，∞). 然后我们得到以下结果：；我们注意到它的证明与文献[9]中引理3.1的证明相似。2.4的提案。假设假设假设第2.2条成立。Letξn∈ R（ξ），n∈ N、顺序为ξN→Wξ∈ P、那么，v（ξ）=limn→∞v（ξn）。命题2.4的证明。固定ε>0，取τ∈ T（ξ），使得E[c（W，τ）]≥v（ξ）- ε。反过来，让Γ确保W（ξ，ξn）=RR | x- y | n（dx，dy）和letmn（x，dy）分解核族，其中n（dx，dy）=ξ（dx）mn（x，dy）。让U~ U[0，1]独立于G。用Mn表示(-1）（x，·）Mn（x，·）：=R·xmn（x，ds）的右连续逆，然后定义τn：=Mn(-1）（τ，U）。因为τ是Fτ-可测且ξn∈ R（ξ），在扩大的空间上(Ohm, G、（Gt），P）=(Ohm×[0，1]，克B（[0，1]），GtB（[0，1]），P×L），我们就得到了τnis a（G·）-停止时间和τn~ ξn。

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2022-5-31 06:51:53

此外，E[|τ- τn |]=Ehτ- Mn(-1）（τ，U）i（2.7）=Z∞|s- t |ξ（ds）mn（s，dt）=W（ξ，ξn）。因此，我们可以选择N∈ N，使得Д（E[τN- τ] （）≤ ε、适用于所有n≥ N，式中，ν是假设2.2中给出的c连续模量；应用后一种假设，我们得到v（ξn）≥ E[c（W·，τn）]≥ E[c（W·，τ）]- ε≥ v（ξ）- 2ε，对于n≥ N由于ε>0是任意选择的，我们得到了limn→∞v（ξn）≥ v（ξ），它与命题2.1相结合，给出了结果。3、测度值鞅与DPP3.1。测度值鞅与选择问题的表述。文献[9]中使用了测度值鞅的概念来解决一个鲁棒性定价问题，其中优化发生在满足给定边缘约束的一组鞅上。通过将该问题重新表述为度量值鞅，将约束转化为额外度量值状态过程的初始条件，从而将该问题作为随机控制问题来解决。本文的目的是将相同的方法应用于分布约束最优停止问题。为了证明这确实是自然的，请注意，对于给定的F-停止时间τ，定义ξt：=L（τ| Ft），我们得到了一个过程ξ·在R+上概率测度的se t中取其值，其中ξ=u和limt→∞ξt=τ；从某种意义上说，这也是一个需要精确的标记（参见下面的定义3.1）。此外，τ是停止时间这一事实意味着ξ·具有以下性质：用Ps={u表示∈ P：u=δy，y∈ R+}，我认为（3.1）inf{t≥ 0：ξt∈ Ps}≤ ξ∞;分布约束最优停止7的DPP，即ξt∈ Psor支持ξt [t，∞) a、值得注意的是，停止时间τ族与此类测量值之间存在一对一的对应关系。前者的过程可通过τ=arg{t从后者恢复≥ 0：ξt=δt}。

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2022-5-31 06:51:56

原则上，分布约束最优停止问题可以等效地表示为一个在满足条件（3.1）和初始条件ξ=u的条件下，测量值分割ξ的优化问题。然而，对于我们的分布约束停止问题（2.1），我们需要考虑比上面讨论的更大的停止时间类别。我们选择的形式化方法是，我们将分解的随机停止时间的条件分布作为控制变量。从（2.1）中问题公式的角度来看，在最简单的情况下，G是由一个独立的均匀分布随机变量最初放大的布朗运动生成的，该cor响应于识别G停止时间，该过程产生其条件定律，仅给出布朗过滤；但另一种方法见下文第3.5条。更准确地说，回想一下（2.3）中关于spa ce的工作(Ohm = C（R+，F，W），我们可以选择将我们的问题视为核（γω）ω上的优化问题∈C（R+）对应于W和u之间（适应的）耦合的分解。将每个这样的核视为一个P值的可测量随机变量，满足在W下平均为u的条件，并旨在将后一个约束作为初始条件，我们将用产生其条件分布的过程来识别每个这样的核。这使得我们可以将该问题视为一个优化问题，该问题是一个满足约束ξ=u和适当的适应性条件的测度值鞅问题。具体而言，我们定义了以下一类优化对象：定义3.1。

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能者818

2022-5-31 06:52:01

给定支持自适应过程（ξt）t的过滤概率空间≥0带ξt∈ P、我们说，如果ξ·（a）是鞅，则过程ξ是测度值鞅（MVM），对于任何a∈ B（R+）；-如果t 7，则MVM是连续的→ ξtin在由w诱导的拓扑中连续，第一个Wassers-tein度量，对于几乎所有ω∈ Ohm;- 如果ξt（[0，s]）=ξu（[0，s]）a.s.，对于所有s，采用MVM≤ t型≤ u、对于任何A∈ B（R+），ξ·（A）是一个平凡的一致可积鞅，其极限ξ为完全定义的∞（A）；更确切地说，ξ∞定义了一个概率度量，请参见【14】中的位置2.1。此外，注意ξ·（A）是任意A的鞅的条件∈ B（R+），等价于ξ（f）是任意f的鞅∈ Cb；参见【9】中的备注2。特别是，任何MVM因此在测度弱收敛到极限（随机）测度ξ的意义上收敛于s a.s∞.我们用MVM（u）表示ξ=u的连续自适应MVMξ集。因此，我们的第一个主张是，我们的原始问题确实承认以下等效公式：问题3.2。在给定空间上(Ohm = C（R+，F，F，W），考虑最大化（3.2）E的问题Z∞c（B·∧s、 s）dAξsAξt：=ξt（[0，t]），超过ξ∈ MVM（u）。引理3.3。问题3.2和（2.1）中介绍的问题是等效的。证据【4】中的引理3.11和【10】中的定理VI 65（参见【4】中的Theo-rem 3.6）结合在一起，意味着问题（2.1）等价于优化ER∞c（B·∧s、 s）dAγs,对于γt（ω）：=γω（[0，t]），在核（γω）ω上∈C（R+）对应于测量值γ的第一个变量中的崩解∈ RST（u）；参见（2.3）。将每个这样的kernel（γω）视为P值F-可测随机变量，我们定义了相关的8 SIGRID K¨ALLBLADprocess（ξt）t≥0byξt（A）：=E[γ·（A）| Ft]，对于A∈ B（R+）；自u起∈ P Thusdefined过程ξ在P中，它是一个度量值鞅，参见文献[9]中的Lemma2.12或文献[14]中的定理1.3。

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能者818

2022-5-31 06:52:04

值得注意的是，极限ξ∞:= 限制→∞ξ纺织师和ξ∞（dt；ω）=γω（dt），对于W-a.a。ω∈ Ohm. 因此，（2.3）和（3.2）中分别计算的关于（γω）和ξ的目标函数是一致的。接下来，请注意，由于γ∈ RST（u），或者，等效地，核γω在W下平均为u，并且由于fi是平凡的，我们得到ξ=u。此外，根据文献[9]中的Remark4，由于过滤满足通常的条件，因此P中的任何MVM都是正确连续的，即ξ·（F）对于任何1-Lips chitz函数F都是正确连续的；w、 l.o.g.，我们选择这个版本。此外，由于过滤F由BM生成，因此根据鞅表示定理，每个过程ξ·（F）实际上是连续的，因此ξ在定义3.1的意义上是连续的。因为对于任何γ∈ RST（u），γ·（[0，t]）是Ft可测量的，并且由于ξ∞（ω；[0，t]）=γω（[0，t]）a.s.，我们还得出ξ在定义3.1的意义上适用。因此，这样定义的过程ξ确实是一个连续的、使用自适应的MVM，ξ=u。相反，对于任何ξ∈ MVM（u），存在测量γ∈ RST（u），使其分解核（γω）等于γω（dt）=ξ∞（dt；ω）a.s。；我们很容易得出结论。备注3.4。我们在问题3.2中选择处理固定spa ce(Ohm, F、 F，W）但请注意，这种选择实际上是任意的，我们可以选择任何过滤概率空间(Ohm, G、 G，P）（满足通常条件）并支持BM W。实际上，表示为(Ohm, G、 G，P）通过一个独立的均匀分布随机变量（参见命题2.4）最初将该空间扩大而获得的概率空间。对于任何给定的自适应MVM，我们可以在后一个spa c e中构造一个停止时间τ，以使相应目标函数的值在[c（W，τ）]=e[Rc（W，s）dAξs]中重合。

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2022-5-31 06:52:06

相反，给定停止时间τin(Ohm, G、 G，P），通过使用引理3.3证明中使用的相同参数，我们认为定义ξt：=L（τ| Gt）会产生一个适应的MVMin(Ohm, G、 G，P），对应的目标函数相吻合；无表ξ·允许c\'adl\'ag版本，且满足ξ=u，因为Gis微不足道。因此，问题的MVM公式也继承了问题概率空间（2.1）具体选择的独立性（参见第2.1.1节）。特别地，用K（u）表示所有项κ=(Ohmκ、 Fκ，Fκ，Pκ，Wκ，ξκ），使得(Ohmκ、 Fκ，Fκ，Pκ）是一个过滤概率空间，Gκ微不足道，其中Wκ是BM，ξκ是一个适应性MVM，ξκ=u，我们有v（u）=supK（u）EκZc（Wκ·∧s、 s）dAξκs.（3.3）备注3.5。从问题（2.1）的角度来看，对于最简单的情况，其中G是由一个初始由独立均匀分布随机变量放大的布朗运动生成的过滤，问题3.2中考虑的MVM与ξt=L（τ| Ft），其中（Ft）表示仅由布朗运动生成的过滤；从本质上来说，可以考虑形式为ηt：=L（τ| Gt）的对象。后者还定义了MVM，此外，MVM在η中以单方度量终止∞（ω） =Δτ（ω）∈ Psa。s、然而，通常我们没有η=u。然而，在不考虑鞅性质的情况下，可以将η推广到(-ε，∞) 通过定义ηt=u表示t∈ (-ε、 0）；在实现G-可测随机变量后，η通常会在时间t=0时跳跃。自然，这里的结果也可以用这种MVM来表示；然而，我们认为预先发送的配方对于我们的目的来说是最自然的，并且不再进一步探讨这些细节；然而，见下文推论3.9。分布约束最优停止的DPP 93.2。动态规划原理。

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2022-5-31 06:52:11

本节的目的是以其等价形式（3.2）建立分布约束最优停止图m的动态规划原理。为此，我们引入了相关的值函数。我们继续在太空中工作(Ohm = C（R+，F，F，W），尽管根据备注3.4，我们注意到这是一个有点任意的选择。具体而言，我们定义v：R+×c（R+）×P→ R byv（t，w，ξ）：=supξ·∈MVMt（ξ）EZ∞tc公司重量，w·∧u、 u型dAξu,（3.4）其中，MVMt（ξ）表示ξt=ξa.s.的连续适应MVM集，WT，w·表示SDE dWt的解，ws=dBs，对于∈ [t，∞), 使用initialcondition Wt，ws=wsa。s、，对于s∈ [0，t]。我们的主要结果如下：；我们使用约定E[Ξ]=E[Ξ+]- E[Ξ-]具有∞ - ∞ = -∞, 对于任何随机变量：定理3.6（动态规划原理）。对于所有（t，w，ξ）∈ R+×C（R+）×P，以及任何F-停止时间θ，其值为（t，∞), 它认为v（t，w，ξ）=supξ·∈MVMt（ξ）E“Zθtc重量，w·∧u、 u型dAξu+vθ、重量，w·∧θ、 ξθ#.（3.5）备注3.7。关于dAξ·的积分自然可以理解为Lebesgue–Stieltjes积分。因此，如果ξ∈ P在时间t上有一个原子，它不会贡献给值函数v（t，x，ξ）。同样，在DPP（3.5）的公式中，如果给定的MVMξ·∈ MVM（ξ）在时间θ处有一个原子，原子将通过从t到θ的积分而不是通过t时间θ计算的值函数对目标函数作出贡献。更具体地说，值函数只在时间t之前的w上结束，ξ在（t，∞) 在v（t，w，ξ）=v（t，w）的意义上·∧t、 ξt），式中￠ξt（A）=ξ（A∩ （t，∞)), A.∈ B（R+）。

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2022-5-31 06:52:14

为此，我们引入了符号ξ| t，用于ξ到（t）的（重新加权）限制，∞): ξ| t（A）：=ξ（A∩（t，∞))ξ（（t，∞)), A.∈ B（R+）。根据v的定义，v（t，w，ξ）=ξ（（t，∞))v（t，x，ξ| t）；nc e还可以获得以下版本的DPP：v（t，w，ξ）=supξ·∈MVMt（ξ）E“Zθtc重量，w·∧u、 u型dAξu+ξθ（θ，∞)vθ、重量，w·∧θ、 ξ|θθ#.在给出定理3.6的证明之前（在下面的第3.3节中），我们对两种特殊情况进行了评论。首先，尽管我们认为本文研究的（弱）问题公式是自然的（尤其是因为它总是允许一个解），但我们注意到，每当问题（2.1）允许一个“强”解时（这里意味着与布朗运动单独产生的过滤相适应的一个最佳停止时间），定理3.6意味着一个更强的结果。为了明确这种情况下的DPP，回顾定义3.1和子部分讨论，存在营养（随机）测量ξ∞∈ P a.s.使ξt→ ξ∞a、 s.as t→ ∞, 其中，收敛是指测度的弱收敛；此外，回忆一下旋转Ps={u∈ P：u=δy，y∈ R+}。然后，我们定义如下：定义3.8。如果ξ，则MVM（ξt）终止∞∈ Psa。s如果τξ：=inf{t，则为完全终止≥ 0：ξt∈ Ps}几乎可以肯定是有限的。值得注意的是，终止MVM满足适应性属性，当且仅当条件（3.1）成立；因此，例如，当（2.1）允许势垒解时，任何自适应终止MVM实际上都是这种情况，根据[5]，每当c（ω，t）=f时，就会发生势垒解o ω（t），对于某些f:R→ f′大于0的R。值得注意的是，对于存在障碍解决方案的特殊情况，DPP原则是其直接后果。10 SIGRID K¨ALLBLAD完全终止，我们有τξ=arg{t≥ 0：ξt=δt}。

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能者818

2022-5-31 06:52:16

我们用MVMterm表示连续自适应和完全终止的MVM集合，并类似于上述定义VMTTERM（ξ）。推论3.9（DPP：强公式）。假设问题（2.1）中的剩余定价到仅由布朗运动产生的过滤可测量的停止时间，不会影响问题的价值。然后，对于值为（t）的任何f停止时间θ，∞),v（t，w，ξ）=supξ·∈MVMtterm（ξ）Ehc重量，w·∧τξ，τξ{τξ≤θ} +vθ、重量，w·∧θ、 ξθ{τξ>θ}i.（3.6）其次，我们考虑u在有限个（固定）原子上有支撑0<t<…<k的tr∈ {1，…，r}和t∈ [tr-k、 tr公司-k+1），让vt：C（R+）×k→ R由（3.7）vt（w，y（R）给出-k+1）：r）：=v（t，w，ξ），其中ξ=rXi=r-k+1yiδti，其中我们使用符号y（r-k+1）：R矢量（yr）-k+1。。。，对于向量值随机过程e s，我们有以下推论：推论3.10（DPP：原子约束）。假设u支持原子数0<t<…<tr.那么，对于k∈ {1，…，r}，带M(k）表示取值的鞅集k、我们有那个录像机-k-1.w、 y（r-k）：r= 苏比∈M级(k+1）年初至今-k-1=y（r-k）：rE“年-ktr公司-kc公司重量，w·∧tr公司-k、 tr公司-k（3.8）+1.- 年-ktr公司-k录像机-kWt，w·∧tr公司-k、 Y（r-k+1）：rtr-k1级- 年-ktr公司-k！#。备注3.11（与Bayraktar和Miller的关系【3】）。在[3]中，作者考虑了c型（ω）的代价函数·∧s、 s）=foω（s）与f:R→ R Lipschitz和restrictto原子边际约束。此外，他们考虑了强公式，其中过滤是由布朗运动单独产生的过滤。Theirmain结果（定理1）然后为其值函数v建立blishs（3.8）；值得注意的是，他们首先导出了带有附加条件Yr的强版本-ktr公司-k∈ {0，1}a.s.（参见（3.6）），然后放松这个条件。

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2022-5-31 06:52:19

结合我们的花冠y 3。10根据他们的结果，我们看到，对于[3]中考虑的成本函数和约束，当限制为布朗停止时间时，值函数与弱问题的值函数一致。因此，a-poster iori，我们将其结果恢复为我们的特例。3.3。民进党的证明。由于我们的目标函数是以拉格朗日形式给出的（随时间积分的奖励函数），我们首先引入一个额外的状态变量（控制其累积值），以便将其转换为迈耶形式。规范，给定（t、w、y）∈ R+×C（R+）×R a和ξ·∈ MVM，我们定义了过程y，w，y，ξu：=y+Zutc重量，w·∧s、 sdAξs；（3.9）我们注意到，它允许一个明确的极限，我们用Yt、w、y、ξ表示∞. 对于（t，w，y，ξ）∈ R+×C（R+）×R×P，我们引入值函数v（t，w，y，ξ）：=supξ·∈MVMt（ξ）E[钇、钨、钇、ξ∞].（3.10）分布约束最优停车的DPP 11那么，如果对于任何F-停车时间θ，其值为（t，∞), 它认为，v（t，w，y，ξ）=supξ·∈MVMt（ξ）Evθ、重量，w·∧θ、 Yt，w，y，ξu，ξθ.（3.11）我们的目的是通过考虑关联正则路径空间上的弱公式来证明这个结果；规范框架之前已成功地用于研究随机控制表ms（见[17，18]），另见[25]和[21，22]，并用于推导DPP（见[9]）。我们用D表示[0]上的c\'adl\'ag路径集，∞) 取E中的值：=R×R×P，其中我们用W-度量导出的拓扑来装备P，用乘积拓扑来装备E；这将渲染E一个波兰空间，并使用斯科罗霍德拓扑图D它也是一个波兰空间。D中的一般路径用ω表示，我们使用x=（W，Y，ξ）作为坐标过程：Xt（ω）=（Wt，Yt，ξt）（ω）=ω（t）；我们还将使用符号x来表示D中的路径。

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2022-5-31 06:52:22

我们设F={Ft}t∈[0，∞)表示协调过程X生成的过滤。B（D）上的所有概率度量集用P表示；对于（t，x）∈ R+×D，我们用Pt，x表示P中的概率度量集P，其中（i）Xs=Xs，0≤ s≤ t、 P-a.s。；（二）（吴）- Wt）u≥这是a（F，P）-布朗运动；（iii）（ξu）u≥这是一个适应的测度值（F，P）-鞅，（iv）Yu=y+Rutc（W·∧s、 s）dAξs，对于u≥ t、 P-a.s.，其中aξs=ξs（[0，s]）。值得注意的是，Pt，xonly依赖于x via（W·∧t、 Yt，ξt）（x）；为了便于理解，我们保留了以前的符号。我们注意到存在一个可测的函数G:D→ R+，使得G（ω）=limt→∞Yt（ω）w他从不存在极限（回想一下，c（·，·）是可测量的，见引理3.12 in[25]）；特别是对于任何P∈ Pt，x，带（t，x）∈ R+×D，我们有G=limt→∞Yt，P-a.s.然后我们定义（3.12）v（t，x）：=支持∈Pt，xEP【G】。引理3.12。（3.10）和（3.12）中定义的值函数一致。证据W、 l.o.g.，设t=y=0，ξ=u，x=（0，W，0，u）。首先，让K（u）表示所有项的集合κ=(Ohmκ、 Fκ，Fκ，Pκ，Wκ，ξκ），使得(Ohmκ、 Fκ，Fκ，Pκ）是一个过滤概率空间，其中Wκ是BM，ξκ是一个ξκ=u的自适应MVM；我们用Yκ表示通过（3.9）定义的相关过程。然后我们得到v（0，x）=supK（u）E[Yκ∞]. 实际上，任何多重κ∈ K（u）在P0，x中产生一个项。相反，任何概率测度P∈ P0，x与空间（D，B（D），FP）和正则过程（W，ξ）一起产生这样的倍数，这是因为性质（i）-（iv）也适用于增强过滤FP。接下来，根据Emma 3.3和备注3.4（参见（3.3）），我们得到了supK（u）E[Yκ∞] = v（0，w，ξ）。由于v（0，w，ξ）=v（0，w，0，ξ），结果如下。为了建立问题（3.12）的DPP，我们首先建立两个引理。引理3.13。集合Γ：={（t，x，P）：（t，x）∈ R+×D，P∈ Pt，x}是解析的。证据

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2022-5-31 06:52:25

为了0≤ q<r，Ξ∈ Cb（D，Fq），^1∈ Cb（R）和A∈ B（R+），我们考虑R+×D×P:a{（t，x，P）：P（Xr）的下列子集∧t=x（r∧ t））=1}；（b）（t，x，P）：EPΞ^1（Wr∨t）- ^1（Wq∨t）-Rr（右后）∨tq公司∨tü′′（Wu）du= 0;我们注意到，如果在R+上配备一组概率测度，其中ξ·取其值，并且具有弱拓扑，则本节中给出的论点也有效。因此，与[9]中考虑的可靠定价情况相比，这里u有一个确定的第一时刻的假设可能会被削弱。然而，我们发现这一假设相当自然，为了与本文的其余部分保持一致，我们将其贯穿始终。12 SIGRID K–ALLBLADc）（t，x，P）：EP[Ξ（ξr∨t（A）- ξq∨t（A））]=0;d） {（t，x，P）：P（ξr（A∩ [0，r]）=ξq（A∩ [0，r]）=1}；e）（t，x，P）：P年∨t=y+Rr∨ttc（W·∧u、 u）dAξu= 1..上述集合都是Borel可测量的。此外，当q<r允许在r+中的所有有理数之间变化时，Γ是上述集合的交集；在Cb（D，Fq）和Cb（R）的可数稠密子集中的Ξ和Ξ；在生成B（R+）的可数集合中。事实上，对于ξ的适应性性质，请注意，对于任何t<s<u，它都认为ξu（A∩ [0，s]）=ξr（A∩ 对于任意有理数r，[0，s]）∈ （s，u），因此ξu（A∩ [0，s]）=limrs，r∈Qξr（A∩ [0，s]）=ξs（A∩ [0，s]），a.s.，其中在最后一个等式中使用了ξ的右连续性；维护属性为immedia te。因此，Γ也是Borel，因此是分析性的。A图Q:D×B（D）→ 如果i）Q（ω，·），则称[0，1]为（普遍）可测核∈ P表示所有ω∈ D、和ii）D ω→ Q（ω，A）对于所有A都是（普遍）可测量的∈ B（D）。

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2022-5-31 06:52:28

回想一下，泛σ-代数是Borelσ-代数的完备度在空间上所有概率测度上的交集，并且泛可测函数对于任何此类概率测度都是可积的；我们将使用上标U表示通用补全。我们为概率测度Q（ω，·）写Qω，并将Q解释为（普遍）可测的ma p D→ P、进一步，给定一个随机时间θ和两条路径ω，ω′∈ 当Xθ（ω）（ω）=Xθ（ω）（ω′）时，我们定义串联ωθω′是由xt（ω）给出的D的元素θω′）=1{t<θ（ω）}Xt（ω）+1{t≥θ（ω）}Xt（ω′）。给定概率测度P∈ P和一个普遍可测的核Q·，然后定义串联PθQ·作为P中的概率测度，由（P）给出θQ·）（A）=ZZA（ωθω′）Qω（dω′）P（dω），A∈ B（D）。引理3.14。给定（t，x）∈ R+×D，设P∈ Pt，x和θ为F-停止时间，值为（t，∞). 然后，i）有一个r.c.p.d.（pω）ω族∈Dof P w.r.t.Fθ，如Pω∈ Pθ（ω），ω对于P-几乎每个ω∈ Dii）给定（Qω）ω∈D取ω7→ Qω是FUθ-可测且Qω∈ Pθ（ω），ω对于P-几乎每个ω∈ D、 PθQ·∈ Pt，x.Proof。i）由于Fθ是可数生成的，因此存在r.c.p.d.（pω）ω族∈Dof P，使得Pω（Xs=ωs，s∈ [0，θ（ω）]）=1。回想一下[24]中的定理1.2.10，对于[t]上的给定鞅M，∞), 存在一个P-null集N∈ Fθ使得对于每个ω6，M是θ（ω）之后的Pω-鞅∈ N由于W是BM和ξa MVM这一事实的特征是MИ·=Д（W）的鞅性质·∧t）- ^1（重量）-R·tИ′（Wu）du和ξ·∧t（A），其中φ穿过Cb（R）的可数稠密子集e t，A穿过生成B（R+）的可数代数，我们得出结论，存在一个P-空集N∈ Fθ使得对于每ω6∈~N，W isa BM和ξa MVM在θ（ω）上，∞) 在Pω下。

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2022-5-31 06:52:31

此外，回想一下ξ的adaptednessproperty和property iv）分别以ξs（A∩ [0，s]）=ξu（A∩ [0，s]）所有t≤ s≤ u、和Yu=Rutf（Xu）dAξua。s、对于所有u≥ t、因为任何P-空集都是P-几乎所有ω的Pω-空集∈ Ohm, 因此Pω∈ Pθ（ω），ω对于P-几乎每个ω∈ D、 ii）给定（Qω）ω∈在引理的陈述中，应用[24]中的定理1.2.10（参见[18]中引理3.3的证明），我们得到了·∧tandξ·∧如上所述，t（A）实际上也是P下的鞅θQ·。此外，由于Pω下的一个集是P-几乎所有ω的空集∈ D、 aA DPP对于分布约束的最优停止13null集是否也在P下θQ·，我们得出结论，在后一种测度下，适应性性质和性质iv）也成立；因此，PθQ·∈ Pt，x。我们现在准备证明民进党对于弱势问题的表述。Wenote指出，考虑到引理3.13和3.14所提供的分析性和稳定性，结果后面是相当标准的参数；参见【22】中的T heorem 2.3或【18】中的EOREM 2.1；为了完整性，我们提供了证据。回想一下，我们使用的是约定E[Ξ]=E[Ξ+]- E[Ξ-] 具有∞ - ∞ = -∞, 对于任何随机变量Ξ：定理3.15。对于所有（t，x）∈ R+×D，以及任何F-停止时间θ，其值为in（t，∞), 它认为v（t，x）=supP∈Pt，xEP[v（θ，X·∧θ）】。证据给定（t，x）∈ R+×D和F-停止时间θ，值为（t，∞), letP公司∈ Pt，xand回顾，根据引理3.14，存在一个给定Fθ的r.c.p.d.族，比如（pω）ω∈D、使得Pω∈ Pθ（ω），ω对于P-几乎每个ω∈ D、根据r.c.p.D.的性质，我们得到EP【G】=EPEPω【G】≤ EP[v（θ，X·∧θ），其中Pω∈ Pθ（ω），ω意味着EPω[G]≤ v（θ（ω），ω），对于P-almosteryω∈ D

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2022-5-31 06:52:34

因此v（t，x）≤ 支持∈Pt，xEP[v（θ，X·∧θ） ]自P以来∈ Pt，x是任意选择的。接下来，回想一下根据引理3.13，集合Γ={（t，x，P）：P∈ Pt，x}分析。特别是，这意味着v是上半解析的。实际上，v的水平集由{（t，x）给出∈ R+×D：v（t，x）>c}=projR+×DL>c，其中w>c：=（t，x，P）∈ R+×D×P：EP【G】>c∩ Γ，c∈ R、从第7页开始分析→ EP【G】是Borel可测量的。给定ε>0，那么，inturn，以下集合也是解析的：ε={（t，x，P）：EP[G]≥ vε（t，x）}∩ 式中，vε（t，x）：=（v（t，x）- ε） 1{v（t，x）<∞}+ε{v（t，x）=∞}. 给定（t，x）∈ R+×d和F-停止时间θ，值为（t，∞), 应用Jankov-vonNeumann的可测选择定理，得到了一个泛可测核（Qω）ω的存在性∈D、带Qω∈ Pθ（ω），ω和EQω[G]≥ vε（θ（ω），ω），对于每个ω∈ DGalmarino检验表明Q·是FUθ-可测的。此外，根据EMMA 3.14，对于任何P∈ Pt，xwe有PθQ·∈ Pt，x.因此，v（t，x）≥ EP公司θQ·[G]=EP公式ω≥ EP[vε（θ，X·∧θ）】。因为ε>0和P∈ Pt，x都是任意选择的，我们得到v（t，x）≥支持∈Pt，xEP[v（θ，X·∧θ） ]这就完成了证明。通过使用与引理3.12证明中相同的参数，直接从该结果得出，关系（3.11）和关系（3.5）适用于任何θ，该θ是由布朗运动生成的过滤中的截止时间。理论3.6则从以下事实得出：任何F-停止时间都是可预测的，并且对于任何F-可预测时间θ，原始过滤比n中存在一个可预测的时间|θ，例如θ=|θa.s.附录a。假设目标和值函数具有一定的连续性，DPPA先验的另一种证明，我们在此提供了动态规划原理的另一种证明。

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2022-5-31 06:52:37

具体而言，考虑到Payoff函数允许马尔可夫结构并满足（2.6），本着[6，7]的精神（另见示例[1]），我们通过一个覆盖参数显式构造一个可测的优化子，从而绕过了对可测14 SIGRID K¨ALLBLADselection定理的需要。虽然结果是定理3.6的一个特例，但我们选择报告这一独立的论据，因为我们发现它是有意义的。在整个附录中，我们对元素inP应用了写入ξ的约定，对MVM应用了ξξ；在积分中，我们有时省略MVM上的下标，然后可以从以下意义上理解它们：R。。。ξξ（ds）=R。。。ξξ∞（ds）=R。。。dAξξs。此外，无限制积分应理解为从零到完整。如果一个成本函数c允许表示c（W），我们就说它是马尔可夫型的·∧τ、 τ）=f（Xτ），a.s.，对于某些f-Markov过程（Xt）t≥0∈ Rnand连续函数f:Rn→ R从原始问题公式（2.1）的角度来看，这是一种特定的马尔可夫结构，考虑到布朗过滤F（与toG相反）。对于一类马尔可夫型的代价函数，我们引入了函数v:S→ R、其中S：={（t，x，ξ）∈ R+×Rn×P：suppξ [t，∞)} byv（t，x，ξ）：=supξξξ∈MVMt（ξ）E采埃孚Xt，xsdAξξs,（A.1）其中，MVMt（ξ）是一组连续自适应MVM，ξξt=ξ，与Ft无关。值得注意的是，如果放宽Ft的独立性条件（参见下文（A.3）和[8]中的命题2.4），该函数保持不变。我们强调，（A.1）中的积分是从零而不是从t中获得的，这意味着对于S中的一般点，函数v与（3.4）中引入的值函数不同，在时间t时，电势A t对其值有贡献。

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2022-5-31 06:52:40

然而，对于任何点（t，x，ξ）∈ S： ={（t，x，ξ）∈ S：补充ξ （t，∞)}, 我们认为它与价值函数相吻合；i、 e.然后￠v（t，x，ξ）=v（t，x，ξ）：=supξξ∈MVMt（ξ）E[R∞tf（Xt，xs）dAξξs]。lτ表示τ支撑的左端点，即lτ：=sup{t≥ 0:P（τ<t）=0}，对于任何ε>0和η∈ P、我们写出Tε（η）：=∪ξ∈Bε（η）T（ξ）。我们现在可以在以下附加假设下证明DPP：假设A.1。给出了成本函数c为马尔可夫型，f局部有界；~v在S上是连续的；对于任何η∈ P、存在ε>0和连续性μ的数量，因此：（t，x）7→ E[f（Xt∧lτ，xτ）]在R+×rnw.R.t.τ上是连续的∈ Tε（η）和c满足所有τ的假设2.2 w.r.T.Д∈ Tε（η）。假设A.1下定理3.6的证明：给定δ>0，对于（s，z，η）∈ S、 lets>S，使得η（（0，S））<δ，并且let∈ （s，s+s）。依次定义开放集a（s，z，η）：=（s- δ、 \'t）×Bδ（z）×ξ∈ P:W（η，ξ）<δ（(R)t- s） }。对于任何（t，x，ξ）∈ A（s，z，η），则它保持（用δ的任意倍数表示δ）ξ（（0，\'t））<δ，因此W（ξ| t，ξ）<δ。因此，存在“ξ”∈ P带抑制器ξ [(R)t，∞), 使ξ|(R)t∈ 对于任何（t，x，ξ），R（|ξ）和W（|ξ，ξ|t）<δ∈ A（s，z，η）；特别是，W（‘ξ，η）<δ和（‘t，x，’ξ）∈ S、对于任何ε>0的情况，通过选择δ∨“t足够小，我们可以确保所有（t，x，ξ）∈ A（s，z，η），（i）| t-\'t|∨ ^1Wξ| t，\'ξ< ε和ξ（（0，’t]）|f（x）|∨ |v（t，x，ξ）|∨ 1.< ε、式中，(R)是连续模量，使得（2.6）适用于ρ≥ τ∈ T（ξ），对于所有ξ∈ A（s，z，η）| P。此外，使用由示例2.3中给出的成本函数的假设所保证的连续性特性，ν与τ无关，因此假设A.1的最后一部分非常适用。

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2022-5-31 06:52:44

此外，对于X·在时间上是齐次的，或θ取值于可数子集的情况，最后一个假设可以减弱为X 7→ E[f（Xt，xτ）]对于任何固定t>0，τ的下半连续∈ Tt。在这种情况下，证明更为简单，因为对于分布约束的最优停止15A，与S.A DPP相比，它更能覆盖Rn×P。1，必要时选择δ∨即使更小，我们也可以确保以下属性也保持在A（s，z，η）：（ii）ERf（Xt，xu）- f（X’t，zu）dAξξu≤ ε、对于任何ξξ∈ MVM？t（？ξ）；（iii）v（t，x，ξ）- ~v（\'t，z，\'ξ）|≤ ε。集合{A（s，z，η）：（s，z，η）∈ S} 提供了S的开放覆盖。此外，由于Sis是波兰空间的一个子空间，因此Lindel¨of，该覆盖包含一个可数的子空间；我们用（Bi）i表示后者∈N、对于每个i∈ N、我们通过识别（ti，xi，ξi）b=（\'t，z，\'ξ）确定相关参考点，并让Дib=\'Д；值得注意的是，参考点位于S中，但不一定位于S中。如果获得SA的可测量分区，则如下所示：a=B∩ S、 Aj+1=（Bj+1 \\（B∪ · · · ∪ Bj））∩ S、 j≥ 此外，我们定义了一个相关的MVM家族（ξξξi）i∈确保ξξi∈ MVMti（ξi）和HZFXti，xisdAξξisi≥ ~v（ti，xi，ξi）- ε。对于一般（t，x，ξ）∈ Ai，letΓi，ξ，使得W（ξi，ξ| ti）=RR | s- u | i，ξ（ds，du）；我们用mi，ξ（s，·）表示分解核族，其中Γi，ξ（ds，du）=ξi（ds）mi，ξ（s，du）。然后我们将ξξi，ξ定义如下：ξξi，ξ（t∨·)∧ti（A）：=ξ（A），ξξξi，ξ·∨ti（A）：=ξA.∩ （t，ti）+ ξ（ti，∞)Zξξi·（du）mi，ξu、 A, A.∈ B（R+）。我们注意到，这确实在MVMt（ξ）中定义了MVM。通过假设2.2，我们得到EhZtitf公司Xt，xs- f（x）ξ（ds）i≤ ^1iZtit | s- t |ξ（ds）≤ ^1iξ（（t，ti））| t- ti公司|,使用（t，x，ξ）∈ Aiand属性（i）表示E[Rtitf（Xt，xs）ξξξξi，ξ（ds）]≥ξ（（t，ti））f（x）- ε>-ε。此外，再次使用第2.2和（i）项，我们还获得（参见。

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