自sgn（X）起- Y）在{t:X（t）=Y（t）}之外是连续的，它肯定有关于dhXit的度量零，R&V命题6暗示了ztsgnX（s）- Y（s）d-X（s）=ZtsgnX（s）- Y（s）dX（s），（20），由于该It^o积分已定义，因此正向积分也已定义。根据R＆V提案1，ZtsgnX（s）- Y（s）d+X（s）=-ZTT公司-tsgn公司bX（s）-签署人（s）d-bX（s），（21），其中bX和by是[0，T]上X和Y的时间反转版本。根据假设，时间反转过程Bx是一个连续的半鞅，因此在（20）中定义了它的前向积分，这在（21）中定义了后向积分。因此，定义了（1 9）中的协变量，因此定义了（1 8）右侧的两个项，这定义了（17）中关于dX的Stratonovich积分。同样的推理也适用于关于dY的积分。秩过程的Stratonovich表示我们想证明（1），我们将从一个引理开始，建立n=2的结果，然后应用引理证明n的一般情况≥ 引理4。设[0，T]上定义的X和Xbe可逆连续半鞅在公共过滤下，假设它们有非退化交叉。然后X（t）∨ X（t）- X（0）∨ X（0）=Zt{X（s）≥X（s）}o dX（s）+Zt{X（s）<X（s）}o dX（s）、a.s、（22）和X（t）∧ X（t）- X（0）∧ X（0）=Zt{X（s）<X（s）}o dX（s）+Zt{X（s）≥X（s）}o dX（s），a.s.（23）证明。对于t∈ [0，T]我们有x（T）∨ X（t）=X（t）+X（t）+X（t）- X（t）, a、 s.，so引理3，X（t）∨ X（t）- X（0）∨ X（0）=X（t）+X（t）- X（0）- X（0）+ZtsgnX（s）- X（s）o dX（s）-Ztsgn公司X（s）- X（s）o dX（s）=Zt公司1+sgnX（s）- X（s）o dX（s）+Zt1.- 新加坡元X（s）- X（s）o dX（s）=Zt{X（s）<X（s）}o dX（s）+Zt{X（s）≥X（s）}o dX（s），a.s.，证明（22）。等式（23）由此和x（t）的事实得出∧ X（t）=X（t）+X（t）- X（t）∨ X（t），a.s.提案1。让X。

，定义在[0，T]上的Xnbe连续半鞅是可逆的且具有非退化交叉。然后秩过程X（1），X（n）满意度dx（k）（t）=nXi=1{Xi（t）=X（k）（t）}o dXi（t），a.s.（24）证明。引理4得出，（24）对n=2成立，所以我们假设它对X成立，Xn公司-1，然后证明它适用于X，Xn。L eteX（1），eX（n-1） 是排名的进程X，Xn公司-1，根据我们的归纳假设，我们有dex（k）（t）=n-1Xi=1{Xi（t）=eX（k）（t）}o dXi（t），a.s.，（25），对于k=1，n- 通过引理1，过程sex（1），eX（n-1） 将非退化交叉口设为doX，Xn，所以对外汇持有相同的持有量（1）。

，eX（n-1） ，Xn。现在，X（1）（t）=eX（1）（t）∨ Xn（t），a.s.，我们可以应用引理4，所以根据我们的归纳假设，dX（1）={eX（1）（t）≥Xn（t）}o deX（1）（t）+{eX（1）（t）<Xn（t）}o dXn（t）={eX（1）（t）≥Xn（t）}n-1Xi=1{Xi（t）=eX（1）（t）}o dXi（t）+{Xn（t）=X（1）（t）}o dXn（t）=n-1Xi=1{Xi（t）=X（1）（t）}o dXi（t）+{Xn（t）=X（1）（t）}o dXn（t）=nXi=1{Xi（t）=X（1）（t）}o dXi（t），2的a.s≤ k≤ n- 1，我们有x（k）（t）=eX（k-1） （t）∧eX（k）（t）∨ Xn（t）, a、 自{t:eX（k-1） （t）=eX（k）（t）∨ Xn（t）}  {t:eX（k-1） （t）=eX（k）（t）}∪ {t:eX（k-1） （t）=Xn（t）}和dheX（k）∨ Xnit公司<< dheX（k）it+dhXnit，它遵循thateX（k-1） 安第斯山脉（k）∨ Xnhave nondegenerate cro ssings公司。因此，通过引理4，dX（k）（t）={eX（k-1） （t）<eX（k）（t）∨Xn（t）}o 指数（k-1） （t）+{eX（k-1） （t）≥eX（k）（t）∨Xn（t）}o deX（k）（t）∨ Xn（t）={eX（k-1） （t）<Xn（t）}o 指数（k-1） （t）+{eX（k-1） （t）≥Xn（t）}{eX（k）（t）≥Xn（t）}o deX（k）（t）+{eX（k）（t）<Xn（t）}o dXn（t）={eX（k-1） （t）<Xn（t）}n-1Xi=1{Xi（t）=eX（k-1） （t）}o dXi（t）+{eX（k）（t）≥Xn（t）}n-1Xi=1{Xi（t）=eX（k）（t）}o dXi（t）+{eX（k-1） （t）≥Xn（t）>eX（k）（t）}o dXn（t）={X（k）（t）<Xn（t）}n-1Xi=1{Xi（t）=X（k）（t）}o dXi（t）+{X（k）（t）≥Xn（t）}n-1Xi=1{Xi（t）=X（k）（t）}o dXi（t）+{Xn（t）=X（k）（t）}o dXn（t）=n-1Xi=1{Xi（t）=X（k）（t）}o dXi（t）+{Xn（t）=X（k）（t）}o dXn（t）=nXi=1{Xi（t）=X（k）（t）}o 最后，对于k=n，我们得到dx（n）（t）=nXi=1dXi（t）-n-1Xk=1dX（k）（t），Atlas秩过程的a.s.Stratonovich表示我们希望将命题1应用于Atlas模型（2）。为此，我们必须证明Atlas模型的对数资本化过程是可逆的，并且具有非退化交叉。提案2。对于Atlas模型（2），过程日志X，对数X轴是可逆的，且不生成交叉点。证据Girsanov定理和多维布朗运动的性质表明，过程log Xiof（2）具有非退化速率交叉，并且不存在三个点，即，对于i<j<k，{t:log Xi（t）=log Xj（t）=log Xk（t）}=，a.s.（见Karatzas和Shreve（1991））。

这仍然表明对数是可逆的。选择k∈ {1，…，n}和t∈ [0，T]，假设log Xj（T）=log X（k）（T）。如果对于所有i 6=j我们有log Xi（t）6=log Xj（t），那么有一个tin[0，t]的邻域U，这样对于t∈ U，ifi 6=j，然后log Xi（t）6=log Xj（t）。在这种情况下，在U内，过程记录Xjis布朗运动和漂移，这是可逆的。现在假设对数Xi（t）=对数Xj（t），对于一些i 6=j。没有三个点意味着tsuch有一个邻域U，对于t∈ U、 如果l 6=i，j，然后log Xi（t）6=log Xl（t） 6=对数Xj（t）。因此，在U中，我们可以将注意力集中在两个过程log xind log Xj上，在这种情况下，Fernholz、Ichiba、Karatzas和Prokaj（2013）或Fernholz、Ichiba和Karatzas（2013）表明，这些过程的时间反转版本是连续半鞅。对于每一个k，[0，T]的紧性确保了邻域U的一个有限子族将包含T的所有值，因此对数轴在[0，T]上是可逆的。推论1。对于Atlas模型（2），秩处理log X（1），对数X（n）满足对数X（k）（t）=nXi=1{Xi（t）=X（k）（t）}o d log Xi（t），a.s.，（26）证明。紧跟命题1和命题2。n组合收益分解的一个应用≥ 2，考虑资本化由正连续半鞅X表示的股票市场，xn定义于【0，T】。市场重量为u，un由ui（t）、Xi（t）X（t）+···+Xn（t）定义，并相应定义排名市场权重过程u（k）。如果进程记录X，原木Xnofa市场是可逆的，并且具有非退化交叉点，原木重量ht过程也是如此。

，logun。市场投资组合是具有权重ui和投资组合价值过程Zu（t）=X（t）+····+Xn（t）的投资组合，a.s.In Fernholz（2016）表明，对于投资组合π，相对对数回报d log（Zπ/Zu）可以分解为logZπ（t）/Zu（t）= d log Sπ（t）+dTπ（t），a.S.，其中Sπ是由d log Sπ（t）定义的结构过程，nXi=1πi（t）o d logui（t），（27）和tπ是与dtπ（t），d log的交易过程Zπ（t）/Zu（t）- d log Sπ（t），至少当（27）中的Stratonovich积分都已定义时。设我们是单位单纯形邻域上定义的实值C函数n 注册护士。然后我们可以说，如果S（u（t））=S（u（1）（t），…，则组合π由排名市场权重的函数S生成，u（n）（t））和组合权重过程πi由πpt（k）（t）给出=Dklog S（u（·）（t））+1-nXj=1u（j）（t）Djlog S（u（·）（t））u（k）（t），（28），其中PTI是rt的投资∈ ∑n。在此情况下，π的相对对数返回将满足对数Zπ（t）/Zu（t）= d log S（u（t））+dΘ（t），a.S.，其中Θ是局部边界变化的函数（见Fernholz（2001）或Fernholz（2002），定理4.2.1）。提案3。假设市场对数权重处理对数u，对数unare可逆且具有非退化交叉。设π为排名市场权重函数S生成的投资组合。然后d log Sπ（t）=d log S（u（t）），a.S.，（29）和dtπ（t）=dΘ（t），a.S.（30）证明。根据hypothes is，S（u（t））=S（u（·）（t）），其中S是定义在单位单纯形邻域上的实值C函数n 注册护士。

nd log S（u（T））=d log S（u（·）（T））=nXk=1Dklog S（u（·）（T））o du（k）（t）=nXk=1Dklog S（u（·）（t））u（k）（t）o d logu（k）（t）=nXk=1πpt（k）（t）o d logu（k）（t）（31）=nXk=1πpt（k）（t）nXi=1{Xi（t）=X（k）（t）}o d logui（t）（32）=nXi=1nXk=1πpt（k）（t）{Xi（t）=X（k）（t）}o d logui（t）=nXi=1πi（t）o d logui（t）=d log Sπ（t）a.S.，其中（31）是由于（2 8）和nxk=1u（k）（t）的事实o d logu（k）（t）=nXk=1du（k）（t）=dnXk=1u（k）（t）=0，a.s.，和（32）遵循提案n 1。Tπ的表示后面是构造。推论2。对于Atlas模型（2），由排名市场权重函数生成的投资组合将分解（29）和（30）。证据紧接着是命题2和命题3。评论引申命题1的引理涉及半鞅Xi的可逆性。命题2中确定Atlas模型可逆性的局部化论点不取决于三个点以及Fernholz等人（2013）和Fernholz、Ichiba和Karatzas（2013）的n=2结果。然而，一阶模型和混合Atlas模型中可能存在三个点，因此对于这些更一般的模型，二维定位失败，无法立即确定可逆性（seeBanner et al.（2005）、Ichiba et al.（2011）和Fernho lz et al.（2012））。因此，似乎需要其他方法来将推论2扩展到更一般的基于秩的模型。ReferencesBanner，A.、R.Fernholz和I.Karatzas（2005年）。关于股票市场的Atlas模型。应用可能性年鉴15，2296–2330。Banner，A.和R.Ghomrasni（2008年）。排序连续半鞅的局部次数。随机过程及其应用118，1244–1253。Fernholz，R.（2001年）。由排名市场权重函数生成的股票投资组合。《金融与随机》5469–486。Fernholz，R.（2002年）。随机投资组合理论。纽约：Springer Verlag。费恩霍尔茨，R。

（2016年）。投资组合收益的新分解。ArXiv:1606.05877，1–4。Fernholz，R.、T.Ichiba和I.Karatzas（2012年）。二阶股票市场模型。《金融年鉴》，1-16。Fernholz，R.、T.Ichiba和I.Karatzas（2013年）。两个具有基于秩特征的布朗粒子发生了斜弹性碰撞。随机过程及其应用123，2999–3026。Fernholz，R.、T.Ichiba、I.Karatzas和V.Prokaj（2013年）。具有基于秩的特征和扰动田中方程的平面差分。概率论及相关领域156、343–374。F¨ollmer，H.、P.Protter，a和a.N.Shiryayev（1995）。四元协变量及其^o\'s公式的推广。伯努利1（1-2），149-169。Ichiba，T.、V.Papathanakos、A.Banner、I.Karatzas和R.Fernholz（2011年）。混合Atlas模型。《应用概率年鉴》21609–644。Karatzas，I.和S.E.Shreve（1991年）。布朗运动与随机微积分。纽约：SpringServerLag。Russo，F.和P.Vallois（2007年）。通过正则化的随机微积分元素。在S’eminaire de Probabilit’S XL中。《数学课堂讲稿》，1899卷，第147-185页。柏林斯普林格。