经济泡沫模型及其首次通过时间

2022-6-9 20:04:58

经济泡沫模型及其首次通过时间Angelos Dassios*和Luting Li+伦敦经济学院统计系2018年3月23日摘要我们引入了一个新的差异过程{Xt}t≥0描述经济泡沫周期内的资产价格。与现有模型不同，该过程的主要特征是漂移项，其中均值回归基于标度价格的指数衰减。我们的研究显示了{Xt}t上的比例因子≥0对于经济泡沫建模至关重要，因为它缓解了模型中价格和参数之间的依赖结构。我们证明了该过程及其初始消息时间都是明确的。给出了一种有效的校准方案，以及该过程的概率密度函数。此外，通过采用微扰技术，我们推导出了向下第一次通过时间的封闭形式密度，因此可用于估计经济泡沫的破裂时间。本研究的目的是了解金融泡沫形成时的资产价格动态，并相应地估计泡沫的崩溃时间。美国网络泡沫和2007年中国股市崩盘的校准示例验证了模型本身的有效性。比特币预测的例子证明，我们可以对资产价格的下降概率提供有意义的估计。关键词：经济泡沫、扩散过程、首次通过时间、扰动、加密货币1简介经济泡沫通常指资产价格与其基本价值极度偏离的经济现象[38]。历史上最著名的泡沫之一，被称为荷兰Tulipbuble[12，18]，可以追溯到16世纪30年代。根据P.M.Garber【18】，从1636年11月到1637年2月，郁金香球茎的价格上涨了约20倍。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:05:01

在泡沫的顶峰，通过出售一些灯泡，人们甚至可以在阿姆斯特丹买一栋豪华的房子。然而，仅仅三个月后，这些灯泡就一文不值了。资产价格的快速上涨和突然下跌是泡沫周期反映的一个共同特征。更多现代的例子可以在[44、25、22]中找到。经济泡沫的破裂有时伴随着金融危机，甚至经济萧条。在现代历史上，最具毁灭性的危机将是2007-2009年的金融危机，在这场危机中*A.Dassios@lse.ac.uk+L。Li27@lse.ac.ukbelieve美国房地产市场的崩盘是原因之一。而此次崩盘本身，通常被称为美国房地产泡沫的破裂。虽然人们认为泡沫在形成之前无法预测，但通过提前知道破裂时间，ZF和市场参与者可以相应地管理潜在风险。因此，在坠机前进行有效评估将有助于预防系统性风险。本研究的目的是了解经济泡沫周期内的资产价格动态，并对崩溃时间的概率分布进行估计。计量经济学和统计学对金融泡沫进行了广泛研究。作为非决定性的回顾，我们参考了文献[35]及其提及的计量经济学方法的文献；基于agent的模型统计和文献综述见【16】。在金融数学中，期权定价问题考虑了局部鞅模型。A、考克斯和D.G.霍布森（D.G.Hobson）[10]在他们的工作中包括了一个广泛的随机分歧分支。S、 Heston等人【20】通过引入GCIR过程和Heston随机波动率模型丰富了讨论。在突发时间预测方面，C.Brooks和A。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:05:04

Katsaris[7，6]使用三区域模型预测了标准普尔500指数投机泡沫的破灭。据我们所知，通过纯时间齐次扩散过程对经济泡沫动力学建模的研究有限。关于确定气泡碰撞时间的显式概率密度的研究更少。A.Kiselev和L.Ryzhik[27]发表了一篇与我们的工作相关的论文，其中考虑了具有外源功能漂移的均值回归过程。本文介绍了一种新的时间齐次扩散模型。我们的动机是提供另一种方法，在这种方法中，数学形式尽可能简单易懂，以概率描述经济泡沫周期内的资产价格动态。新模型与A.N.Shiryaev在序列分析中得出的Shiryaev过程密切相关。我们的模型包括三个独立的参数，其中两个参数提供了平均回归效应，如奥斯汀-乌伦贝克（OU）过程。作为我们模型的关键变量，第三个参数控制漂移项中指数衰减的速度。因此，收益率、资产价格、均衡水平和平均回归率之间的依赖结构得到了缓解。在不引入超函数的情况下，我们的模型为校准提供了足够的自由度，而另一方面，避免了过度拟合。由于模型结构简单，我们能够显示气泡碰撞时间的闭合形式密度函数。本文的主要贡献在于，我们提供了一种用于模拟气泡动力学和预测其破裂时间的自包含材料。在理论方面，我们已经证明了新模型是一个定义良好的扩散过程，并且其第一通过时间（FPT）是存在的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:05:07

更具体地说，该过程是一个具有强唯一解的半鞅。作为一个循环的强马尔可夫过程，该模型嵌入了一个a.s.有限FPT；并用一个简洁的函数形式找到了它的平稳分布。在实用方面，考虑了基于经济特征的校准算法。我们给出了固定时间内流程分布的明确解决方案。此外，还发现了FPT的Laplacetransform（LT），并基于微扰技术求解了向下FPT的闭式密度。最后，通过三个数值例子验证了模型的有效性及其FPT密度（FPTD）。论文的其余部分组织如下：第2节介绍了我们新模型的SDE及其背后的动机；第3节讨论了新流程本身的理论结果；第4节给出了FPTD的闭合形式解；在第5节中，我们演示了校准算法，并通过三个示例说明了模型的应用，其中给出了比特币崩塌时间的预测；第6节结束。2随机动态和动机考虑过滤概率空间{Ohm, F、 P}，其中F={Ft}t≥0是由标准布朗运动{Wt}t生成的自然过滤≥我们引入以下三个参数SDEdXt=e-2αXt- cdt+dWt，X=X∈ R、（1）参数, α限制在正实数线上，0≤ c≤ 动力学描述了一个具有指数衰减平均回复漂移的过程。作为新模型中最重要的参数，α控制漂移项中的速度、曲率和高阶信息。图1说明了e的函数-2αxtoα的不同选择。我们可以看到，作为Xt的函数，小α在漂移中产生轻微的线性衰减。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:05:10

这扩大了维持正回报的过程的范围。另一方面，大α产生明显的指数衰减。在这种情况下，漂移符号对Xt值敏感，正漂移范围被压缩。图1:e的functoid图-2αx，α=0.1、0.5、1、2。绿色区域：正向漂移；红色区域：负漂移。图2:Xtin 4年时间的样本路径。参数选择为α=1， = 0.1，c=0.5，X=0，dt=。为了以更直观的方式说明新的过程，我们绘制了4年时间内α=1的XT模拟路径（图1中的绿色曲线）。其他参数选择如下 = 0.1，c=0.5，X=0。绿色、黑色和红色的三个阈值（从下到上）表示该过程的不同状态：I）根据SDE，当XT为负值或接近0（绿线）时（1）该过程嵌入了巨大的正趋势；二）黑线绘制了平衡水平，其中e-2αXt=c，长期来看，Xt围绕该位置振荡；三）红线显示XTE的级别，其中e-2αXt=0.1c，由于强烈的负趋势，过程被迫回落。此外，样本路径显示，从初始点访问平衡水平的时间比从对称高位返回的时间要少。考虑图1中的绿色曲线，这种不对称特征是对从XT水平到瞬时回报的指数变换的自然反映。因此，当XTingeral低于平衡水平时，它应该会快速增长，但是，即使XT超过平衡水平到更高的位置，也没有必要让XTingeral立即下降。这种行为本质上不同于我们的新模型和OU型均值回归过程。该模型特征与经济泡沫的观察结果一致。参考H.P.Minsky和H。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

mingdashike22

2022-6-9 20:05:13

考夫曼[30]。泡沫周期由五个步骤组成：流离失所、繁荣、欢欣、获利、恐慌。在第一步中，资产价格保持在较低水平，这一过程通常是一个“主动”增长的过程。这与我们模型中的制度I相对应。在繁荣阶段，价格对积极的市场消息变得敏感，并迅速上涨。虽然有时由于市场预期价格可能下跌，但在波动之后，资产价格将继续上涨。制度II对此进行了描述。在区域III中，显示出峰值，并累积了较大的负位移。这描述了资产价格达到历史高位的欢欣阶段；然而，由于市场资本的限制或风险规避，市场预期变得消极。在盈利阶段，资产价格对负面市场消息变得敏感，过程从制度III转移到制度II。最后，这个过程会回落到平均逆转水平，甚至继续下降到状态I。这描述了泡沫的最后一步。从校准角度来看，α缓解了瞬时收益对价格、均衡水平和平均回归率的依赖结构。考虑漂移函数，其中α被抑制，u（Xt）：=（e）-Xt公司- c）。在该模型中，一旦确定c，平衡水平Xt=-ln（c）成为固定数字。如果校准了较大的c，那么我们同时有一个较小的平衡水平-ln（c）。因此，当Xt很小时，其中e-Xt公司-c接近0，为了获得较大的瞬时回报，平均回归率也应该进行高度调整。但我们知道，泡沫通常会花费数年时间来完成其整个周期；因此，对于泡沫模型来说，不需要大的反转率。分析表明，α抑制模型不能标定气泡动力学。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:05:16

作为补充，需要额外的功能术语（参见[27]）。然而，在不引入额外功能的情况下，三参数模型扩展了模型校准的自由度。结合之前的讨论，wesee SDE（1）是描述经济泡沫的一个很好的候选者。否则，该过程将需要很长时间才能访问制度III），其中e-Xt公司≈ 0和-c成为主导。3理论合理性3.1存在性、唯一性和强马尔可夫性建议3.1存在唯一的强解{Xt}t≥0到SDE（1），其显式形式如下xt=x+Wt- ct+2αln1 + 2αe-2αxZte-2α（Ws-cs） ds公司;此外{Xt}t≥0是一个强马尔可夫过程。证明：我们考虑x上的指数变换，使得Y=e2αx，Y=e2αx。通过应用Ito引理，我们证明了Y的系数满足全局Lipschitz连续性和线性增长条件：dYt=2α[ + (α - c)Yt]dt+2αYtdWt。（2）根据[26]中的定理2.9，我们得出结论，存在唯一的强解{Yt}t≥0至SDE（2）。因此{Xt}t≥0是SDE（1）的唯一且强大的解决方案。另一方面，参考【43，第4.4节】Y，其明确形式如下：Yt=e2α（Wt-ct）Y+2α中兴通讯-2α（Ws-cs） ds公司.然后，将Yt=e2αXt代入上述方程，我们解出Xt。现在我们考虑强马尔可夫性质。注意，SDE（2）中的系数是连续的，因此有界于R的紧子集上。结合上面的适定证明，并参考[26，定理4.20]，我们显示{Yt}t≥0是一个强马尔可夫过程。因此{Xt}t的强马尔可夫性质成立≥0备注3.2证明描述了{Xt}t≥0从另一个方面。SDE（2）显示{Yt}t≥0是具有平均反向漂移的几何布朗运动。参考【40，等式（9）】，这确实是一个Shiryaev过程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-9 20:05:19

因此{Xt}t≥0是Shiryaev过程的对数。从命题3.1中的显式解可以看出{Xt}t≥0是一个半鞅，其中boundedvariation（BV）部分由严格递减函数和严格递增函数组成。依赖于指数积分中的布朗运动路径，当差值t>0时，BV部分可能是正的或负的。然而，通过观察，当c=0时，很明显，只给出了递增函数。这表示在特殊情况下{Xt}t≥0应该是子鞅。推论3.3如果c=0，则{Xt}t≥0是严格的子鞅。证明：当c被抑制时{Xt}t的解≥0 Becomesxt=x+Wt+2αln1 + 2αe-2αxZte-2αWSD. （3）从定义上看，其熟练程度是显而易见的。我们考虑了Xt的L-可积性。注意，通过对凹函数ln（·）应用Jensen不等式，我们得到自然对数1 + 2αe-2αxZte-2αWSD≤ 自然对数E1 + 2αe-2αxZte-2αWSD.通过改变积分和期望值，E中兴通讯-2αWSD=2αe2αt- 1.. （4）另一方面，当α， ∈ (0, +∞)1 + 2αe-2αxZte-2αWSD≥ 1.t型≥ 0.（5）因此自然对数1 + 2αe-2αxZte-2αWSD= 自然对数1 + 2αe-2αxZte-2αWSD. （6）结合（4）和（6），我们有2αE自然对数1 + 2αe-2αxZte-2αWSD≤2αln1 +αe-2αxe2αt- 1.. （7）最后，请注意e[| Wt |]=r2tπ。（8）因此，应用三角形不等式并结合（7）和（8），我们展示了XtbyE[| Xt |]的L-可积性≤ x+r2tπ+2αln1 +αe-2αxe2αt- 1.< +∞.最后，E的非递减条件期望Xt公司Fs公司, 对于0≤ s<t<+∞, 由againsing（5）给出，thatln1 + 2αe-2αxZte-2αWSD> 我们的证明到此结束。3.2{Xt}t的概率分布≥0我们考虑找出{Xt}t的分布≥通过命题3.1，我们可以看到XtinvolvesBrownian运动及其指数积分的解。A.Dassios和J也回答了类似的问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:05:23

Nagaradjasarma【13】表示平方根过程。G、 Peskir[33]在一种特殊情况下推导了Shiryaev过程的固定时间分布。但对于一般情况，只有拉普拉斯变换是有效的。这里，我们参考H.Matsumoto和M.Yor[29，45]中关于布朗运动及其指数积分的结果，并有以下命题。命题3.4固定t>0和u∈ R、 Xt的概率密度由P（Xt）给出∈ du）=αdu·Z∞ζ（u；cα、 y）经验值-ct+1/y+ζ（u；2，y）θζ（u；1，y），αtdy公司,式中θ（r，s）=r√2πseπ2sZ∞e-v2s-r cosh（v）sinh（v）sinπvsdvandζ（u；u，y）=1 + 2αe-2αxyue-u·α（u-x） y.证明：设s=αt，那么对于另一个标准布朗运动Bs，概率为1，下面的方程保持trueBs+cαs=-α（重量- ct）。用u表示：=cα、 B（u）s：=Bs+us，A（u）s：=Zse2B（u）vdv。（9）然后参考[29，45]，我们有A（u）s∈ dy，B（u）s∈ dz公司=yexp是的uz-us-1+e2z2y· θezy，sdydz，（10），其中θ（r，ξ）=rp2πξeπ2ξZ∞e-v2ξ-r cosh（v）sinh（v）sinπvξdv。另一方面，用B（u）砂A（u）s重新表示。注意A（u）s=Zαtexp-2αWvα- cvαdv。通过改变变量w=vα，我们得到（u）s=αZte-2α（Ww-cw）数据仓库。（11）重写{Xt}t≥0在命题3.1中，使用（9）和（11），我们得到xtp=x-B（u）sα+2αln1 + 2αe-2αxA（u）s. （12）现在我们考虑Xt的密度函数。请注意，对于固定u∈ R和Xt≤ u、（12）表示α（x- u） +项次1 + 2αe-2αxA（u）s≤ B（u）s.用g表示u、 A（u）s:= α（x- u） +项次1 + 2αe-2αxA（u）s.考虑到（10），我们有p（Xt≤ u） =Zy∈(0,∞)Zz公司≥g（u，y）PA（u）s∈ dy，B（u）s∈ dz公司. （13）取u上的导数，我们进一步得到p（Xt∈ du）=-Zy公司∈(0,∞)yexp是的ug（u，y）-us-1+e2g（u，y）2y· θeg（u，y）y，sdy·gu（u，y）du（14）=αZy∈(0,∞)yexp是的ug（u，y）-us-1+e2g（u，y）2y· θeg（u，y）y，sdydu。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:05:27

（15）引入ζ（u；u，y）：=eug（u，y）y的函数ζ（u；u，y）=1 + 2αe-2αxyue-u·α（u-x）是的，然后重新安排（15）我们有经验ug（u，y）-us-1+e2g（u，y）2y·θeg（u，y）y，s= ζ（u；u，y）exp-us-1/y+ζ（u；2，y）·θ（ζ（u；1，y），s）。通过替换u=c得出结论α和s=αt，转化为上述方程。备注3.5函数θ（r，s）与Hartman-Watson分布的研究密切相关【19】。正如H.Matsumoto、M.Yor【29】和其他研究人员【3，23】所注意到的，θ（r，s）是高度振荡的，尤其是对于较小的s。因此，计算密度的准确值并不容易。在实践中，提供概率分布函数比密度函数更有意义。这需要P（Xt）上的额外积分∈ du）。考虑到θ（r，s）中包含的积分，以及θ（r，s）上的积分，我们总共需要计算分布函数P（Xt）的三个积分≤ du）。因此，直接有限差分方案将产生计算效率问题。相反，我们考虑通过蒙特卡罗模拟计算概率。参考等式（13）和命题3.4中的密度函数，我们在开发模拟算法时有两种选择。根据（13），我们可以通过考虑z和g（u，y）之间的相对位置来遵循接受-拒绝方法。然而，在本文中，我们将采用显式密度函数集中于直接采样方案。命题3.6，固定t>0和u∈ R、定义（z，y）=αζ（z；cα、 y）经验值-ct+1/y+ζ（z；2，y）·^θζ（z；1，y），αt,式中^θ（r，s）：=r2seπ2sEV e-r cosh（V）sinh（V）sincVs公司sinc（w）：=sin（wπ）wπ和V~ N（0，√s）。然后两个i.i.d。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:05:31

均匀分布随机变量Uand Y，x的概率分布由p（Xt）给出≤ u） =E“m-U+U+1，Y- 1.UY#。证明：首先我们证明了^θ（r，s）和θ（r，s）之间的恒等式。回想命题3.4，θ（r，s）=r√2πseπ2sZ∞e-v2s-r cosh（v）sinh（v）sinπvsdv。重写得到的函数θ（r，s）=rseπ2sZ∞ve公司-r cosh（v）sinh（v）sincvs公司·√2πse-v2sdv=r2seπ2sEV e-r cosh（V）sinh（V）sincVs公司=:^θ（r，s）。注意，第二个等式成立是因为（v sinh（v））·e-r cosh（v）·sincvs公司是一个偶数函数。现在让m（z，y）如命题3.6所示定义。基于θ（r，s）和^θ（r，s）之间的恒等式，并参考命题3.4，我们可以写出XtasP（Xt）的概率分布≤ u） =Zu-∞Z∞m（z，y）dydz。（16）更改U=-z- u- 1，Y=1+Y。然后用（16）中的U，Y重新表示z，Y，我们有p（Xt≤ u） =-ZZm公司-U+U+1，Y- 1.杜杜伊。注意到均匀分布具有恒定的概率密度dU=dY=1，我们得出了证明。备注3.7涉及sinc（·）的主要考虑是减少函数sin（·）的振荡影响。从数值计算的角度来看，该函数虽然不能完全解决振荡问题，但可以在一定程度上缓解混沌。t提案3.8↑ +∞, X的平稳分布∞:= 限制↑+∞x由p（x）给出=Zy公司∈Rw（x）w（y）dy-1，其中w（x）=expnαe-2αx+2cxo。证明：考虑t=+∞:p（x）- （e）-2αx- c） p（x）+2αe-2αxp（x）=0。定义命题中的w（x）。求解无边界条件的常微分方程，我们得到p（x）=CRx-∞w（y）dy+Cw（x）。请注意，w（y）↑ +∞ 当y↓ -∞. 同w（y）≥ 0 onR，因此对于x>-∞ 积分不存在：Zx-∞w（y）dy=+∞.因此，为了得到有效的密度函数，我们将C设置为0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:05:34

根据完全可积条件确定cb，我们给出了证明。备注3.9由于双指数函数的发散速度远远快于指数函数，平稳分布是右偏的。在固定收益模型中，双指数函数也用于期限结构校准（参见Nelson-Siegel模型[21]）。3.3首次通过时间的存在在下一节中，我们将推导{Xt}t的FPT概率密度函数≥0.在进行计算之前，我们证明了FPT存在于任何常数水平a∈ R、命题3.10{Xt}t≥0是R上的一个循环过程。证明：考虑zt=e的替换-2αXt，Z=e-2αx.（17）应用Ito引理，我们得到dzt=2αZt(-Zt+c + α） dt公司- 2αZtdWt。（18）根据命题3.1，我们知道{Zt}t≥0是一个具有独特和强大解决方案的分散过程；此外，强马尔可夫性质也成立。我们的构造表明{Zt}t≥0仅在正半平面上取值。此外，通过检查（18），我们可以看到Zt=0是一个吸收界。So considerI=（0+∞)作为{Zt}t的域≥我们显示{Zt}t≥0是使用[26]中讨论的比例函数在I上重复出现的。对于任何固定参数A∈ 一、我们定义（z）：=ZzAexp(-ZξA(-ζ+c + α） αζdζ）dξ，z∈ 一、（19）事实上，人们甚至可以通过参考[43]中的随机Verhulst方程找到Zt的显式解。请注意，对于任何z∈ I非退化条件4αz>0成立。此外，对于固定的z∈ 一、考虑δ>0足够小，以至于z- δ ∈ 一、然后通过显示ZZ+δz来满足局部可懂性条件-δ1 + 2αζ |(-ζ+c + α） | 4αζdζ≤δ2α（z- δ)+αδ+c + α2αlnz+δz- δ< +∞.因此，很好地定义了比例函数（19）。现在，我们计算I边界处标度函数的极限值。将s（z）改写为（19）ass（z）=A1+cαe-A.αZzAeαξξ1+cαdξ。（20）设l+：=0+和r-:= ∞-.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:05:39

将边界值代入（20），我们得到（l+）=-A1+cαe-A.αZAeαξξ1+cαdξ=-∞,ands（r-) = A1+cαe-A.αZ∞-Aeαξξ1+cαdξ=+∞.因此，根据[26]中的命题5.22，我们得出结论{Zt}t≥0在I上循环。{Xt}t的循环≥R上的0后跟（17）。推论3.11对于任何a，X=X∈ R、 {Xt}t的第一次命中时间≥0从x到a存在。证明：这直接来自命题3.10。备注3.12注意推论3.11中对FPT的方向没有限制。更具体地说，定义τax↑:= inf{t≥ 0:Xt=a | x<a}，τax↓:= inf{t≥ 0：Xt=a | x>a}分别为从下方和从上方的FPT。然后τax↑< +∞X=X）=1和Pτax↓< +∞|X=X= 1.4{Xt}t向下第一次通过时间≥0根据我们之前的分析{Xt}t≥0是一个明确的扩散过程。因此，存在相应的微型发电机。用Ct表示R上定义的两次可微分和连续函数的集合。对于f∈ C、 {Xt}t的最小生成元≥0由AF（x）=（e）-2αx- c） f（x）+f（x）。（21）4.1 Dirichlet问题根据我们的设置，过滤F在两侧都是连续的。因此，将FPTto视为开集或闭集是等价的。W、 l.o.g.，用于∈ R我们定义u：={x∈ R:x>a}，Dl：={x∈ R:x<a}是a的上下区域的域。为了便于记法，我们用D表示du或Dl。允许D是D的边界集。然后Du：={a+∞}, Dl：={a，-∞}.{Xt}t的FPT≥0，X=X∈ D可以相应地定义为τax：=inf{t≥ 0:Xt∈ D} 。对于短符号，我们抑制x，a并写入τ：=τax。τ的存在性由推论3.11给出。在这一节中，我们遵循G.Peskir和A.N.Shiryaev【34】推导出τ的拉普拉斯变换的Dirichlet型边值问题。考虑确定的停车时间{σn}1的任意序列≤n≤+∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-9 20:05:42

定义σ：=limn↑+∞σn.注意{Xt}t≥0是一个连续的过程。因此{Xt}t≥0在所有停止时间内都是连续的，即limn↑+∞Xσn=Xσ。此外，根据命题3.1{Xt}t≥0是一个强马尔可夫过程。对于固定β≥ 0，定义（x）=Exe-βτ, x个∈ D、（22）式中，Ex[·]：=E[·| X=X]=E[·| F]。那么参考[34]f（x，β）是以下方程的唯一解af（x）=βf（x，x∈ D（23）具有Dirichlet型边界条件f(D） =（1，0）T.（24）备注4.1上述结果来自于电势理论的终止版本。请注意，强马尔可夫性和所有停止时间的连续性对于通过（22）表示Dirichlet问题的唯一解至关重要。备注4.2边界条件（24）暗示f中的有界性，尽管集合Cdoes不明确要求有界性。因此，通过构造一个适当的鞅，我们可以使用费曼-卡克定理来推导类似的结论。然而，为了采用最优抽样定理，应进一步证明τ中与边界相关的性质。4.2 Dirichlet问题的直接解法m：=√c+2β-c2α，n：=√c+2β+αα,ψ :=e-2αxα，λ：=x(c-pc机+ 2β).（25）参考[2]。通过将（21）代入，得到（23）的解为f（x）=CeλM（M，n，ψ）+CeλU（M，n，ψ），（26），其中M（M，n，ψ）和U（M，n，ψ）是Kummer方程【11】ψU（ψ）+（n）的解- ψ） u（ψ）=au（ψ）。现在确定常数C和C。考虑从下面的情况下撞击，即边界istaken在Dl。替换x=-∞ 我们看到ψ=+∞和λ=+∞像c-pc机+ 2β < 0. 参考文献[28]，大ψ的U（m，n，ψ）的渐近式由U（m，n，ψ）给出~ ψ-m、 ψ↑ +∞.虽然m>0，U（m，n，ψ）对于大ψ收敛到0，但eλU（m，n，ψ）在λ↑ +∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-9 20:05:45

另一方面，再次参考[28]，我们有m（m，n，ψ）~eψψm-nΓ（m），ψ↑ +∞.因此，x处的极限值=-∞ 不存在eλM（M，n，ψ）或eλU（M，n，ψ）。从下方击球的唯一解决方案是F（x）≡ 0。这表明向上FPT的LT实际上不存在。另一方面，从上面考虑FPT的解决方案，即边界的向下撞击时间杜。通过替换x=+∞ 我们得到ψ=0和λ=-∞.参考【28，第13.2（iii）节】，根据β的选择，ψ=0+时U（m，n，ψ）的极限有不同的版本。为了保证解的唯一性，我们将C设置为0。对于m（m，n，ψ）的极限，我们得到m（m，n，ψ）=1+O（ψ），ψ↓ 0.LT中涉及参数β。我们需要一个在函数形式上与所有β唯一的解f（x）的函数≥ 因此+∞ 边界给出了解f（x）=CeλM（M，n，ψ）。考虑x=a的边界条件^ψ :=e-2αaα，^λ：=a(c-pc机+ 2β).那么f（a）=1给定sf（x）=eλM（M，n，ψ）e^λMm、 n，^ψ. （27）备注4.3根据我们的分析，目前的问题只存在向下的LT。实际上，我们更感兴趣的是经济泡沫的破裂时间，而不是预测泡沫将达到多高的历史记录。因此，向上LT中缺少的解决方案将是一个小问题。方程式（27）显示了第一次下击时间的LT。由于函数的特殊性，很难找到显式逆变换。对于数值反演格式，我们参考文献[1]，其中提供了三种有效算法。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-9 20:05:49

然而，考虑到复杂的函数形式，可以想象，数值反演的速度和精度可能并不理想。4.3微扰FPTD微扰技术最早和最成功的应用可以追溯到为中等复杂度的哈密顿量找到薛定谔方程的解[37，42]。在数学金融领域，微扰理论得到了广泛的研究；参见【17、14、15】。灵感来自A。Dassios和S.Wu【14】，J.Fouque等人【17】，我们对平均回归参数应用扰动并找到{Xt}t向下FPT的闭合形式密度≥0.W.l.o.g.我们假设a=0，FPT问题在Du上定义。考虑函数f∈ C、假设存在一系列C函数{fi}i≥0，这样F=∞Xi=0ifi。（28）将（28）替换为（23）：∞Xi=0iAfi=∞Xi=0iβfi。（29）对于任何f∈ C、简介gf（x）：=f（x）。重新安排（29）中的条款我们有GF- βf+∞Xi=1我Gfi公司- βfi+（e-2αx- c）金融机构-1.= 通过指定适当的边界条件，我们将原始Dirichlet问题（23）和（24）分解为递归表示：o（1）：Gf- βf=0，f(D） =（1，0）T，（30）和i≥ 1个(i）：Gfi- βfi+（e-2αx- c）金融机构-1=0，fi(D） =（0，0）T.（31）备注4.4 o（1）问题实际上是布朗运动向下FPT的相应边值问题。引入τW：=inf{t≥ 0：Wt=0 | Wt=x>0}。那么f（x）=Exe-βτW. 此外，对于我≥ 1该函数包含以下表达式[34]fi（x）=ExZτWe-βse-2αWs- c金融机构-1（Ws）ds.根据【34】o（1）和o(i），我≥ 1，是唯一的。因此{fi}i的存在≥1保证，扰动表示（28）有效。在本文中，我们求解了i=1的递归系统，并给出了o()-准确的FPTDestimation。参考文献[5]，对于o（1），我们有f（x）=e-γx，（32），其中γ：=√2β. 进一步设f=fg。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-9 20:05:52

然后求解o() we getg（x）=γe-2αx- 1.2α（γ+α）+cx。（33）命题4.5 Letτ*是τ的一阶近似值。那么τ的FPTD*由px（τ）给出*∈ dt）=1+cx公司+1.- e-2αx（αt- x） 2αx！！p（t）-α1.- e-2αxeαx（αt2x+1）Erfcx√2t+αrt！，其中Px（·）=P（·| X=X）=P（·| F），P（t）是布朗运动P（t）=X的向下FPTD√2πt-e-x2t。Erfc（·）是Erfc（z）给出的互补误差函数=√πZ∞ze公司-伊迪。证明：参考（28）、（32）和（33）。向下FPT的一阶扰动LT由f（x）=f（x）（1+cx）+f（x）γe-2αx- 1.2α(α + γ). （34）注意γ=√2β. 因此f（x）也是β的函数。为了强调变换参数，我们分别用f（β）和f（β）表示。如备注4.4所述，f（β）只是布朗运动向下FPT的LTT。根据[4]这一给定sp（t）：=L-1{f（β）}（t）=x√2πt-e-x2t。现在考虑（34）中第二项的逆变换。定义l（β）：=√βe-√βαx+√β. （35）那么第二项可以重写为asf（β）γe-2αx- 1.2α（α+γ）=e-2αx- 12α·l（2xβ）。（36）参考【4】。（35）的倒数由l给出-1nl（β）o（t）=αxeαx（αxt+1）Erfc√t+αx√t型-2αxt- 1.√πt-e-4吨。（37）根据拉普拉斯逆变换的性质[31]，对于常数cL-1.clβc（t） =L-1nl（β）o（ct）。所以让c=2xwe haveL-1n▄l（2xβ）o（t）=2xL-1nl（β）ot2x型. （38）总结（36）、（37）、（38）给出了（34）中第二项的逆变换。到此结束。备注4.6作为近似值，一阶扰动提供了一个连续函数，但不一定是有效的概率密度函数。实际上，Ex[τ*] = limβ↓0f（β）=1+cx。在c>0的情况下，一阶扰动将提供极小的概率cx。我们将在后面的命题中讨论准确性问题。直接遵循第4.5条建议。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:05:56

明确给出了runningminimum的尾部渐近性和概率分布。推论4.7 Px（τ）的尾部渐近*∈ dt）由px（τ）给出*∈ dt）~1 + cx公司-1.- e-2αx2αp（t）~ p（t），t↓ 0+，（左尾渐近）和px（τ*∈ dt）~1 + cx+（1- αx）1.- e-2αx2αx！！p（t）~ p（t），t↑ +∞. （右尾渐近）证明：左尾渐近由参考[9]Erfcx的计算给出√2t+αrt！~ 经验值-x个√2t+αrt！, t型↓ 0+. （39）考虑右尾。注意，如果我们重复使用（39），Px（τ）的第二项*∈ dt）将在第一项消失时保持不变。这导致t的尾部渐近为常数↑ +∞, 然而，Px（τ*∈ dt）↓ 确实是0。请参阅另一个事实，即：~e-yy年√π1.-2年, y↑ +∞. （40）还要注意Px（τ）的第一项*∈ dt）可重新表示为1+cx公司+1.- e-2αx（αt- x） 2αx！！p（t）=1+cx公司-1.- e-2αx2α!!p（t）+1.- e-2αxt2xp（t）。（41）然后将（40）和（41）代入Px（τ∈ dt），我们发现为t↑ +∞,Px（τ*∈ dt）~1 + cx公司-1.- e-2αx2α!!p（t）+1.- e-2αxe-x2t型√2πt- α1.- e-2αx·√2e类-x2t型√πtα+α1.- e-2αx·√2e类-x2t型√παt=1+cx公司-1.- e-2αx2α!!p（t）+0+1.- e-2αx2xαp（t）。这就完成了证明。备注4.8推论4.7表示τ的FPTD*具有与布朗运动的FPTD相同的尾部。我们知道布朗运动是一个零递归马尔可夫过程。因此，我们可以推断Ex[τ*] =+∞. 事实上，根据一阶矩规则和（34），我们可以检查*] = -f（β）ββ=0= +∞.固定t的推论4.9≥ 0和a<x，表示运行最小byX*t： =最小0≤u≤t{Xu}。同时写入Px（τ*∈ dt）带参数, x、 α，c asp（t|, x、 α，c）。然后，X的一阶扰动分布*由px（X）给出*t型≤ a） =Ztpu型|e-2αa，x- a、 α，ce2αa杜。证明：引入{Yt}t≥0使YT=Xt- 一t型≥ 0.Ytis的SDE由DYT=e给出-2αae-2αYt- ce2αadt+dWt，Y=Y=x- a、（42）类似定义*t： =最小0≤u≤t{Yu}。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:05:59

然后px（X*t型≤ a） =Py（Y*t型≤ 0) . （43）另一方面，设τ为y到0的y的FPT。请注意py（Y*t型≤ 0）=Py（τ≤ t）。（44）将（42）中的参数代入命题4.5，考虑到（44）和（43）之间的等价性，我们证明了结果。现在我们考虑扰动估计的精度。表示τbyPx（τ）的实际FPTD∈ dt）。将绝对误差表示为qτ（t）：=Px（τ∈ dt）- Px（τ*∈ dt）。（45）然后我们证明qτ（t）是o()-精确的命题4.10对于任何t>0，存在一个常数M>0，使得| qτ（t）|≤ M.此外，qτ（t）的概率表示由qτ（t）=前任Zt公司∧τe-2αXu- cη（t- u、徐）杜,式中η（t，x）=-αcosh（αx）M（t，x）+1- e-2αx√2παM（t，x）+e-2αx√2πM（t，x）+c2.-xt公司p（t）带M（t，x）=Erfcx个√2t+αqteαtM（t，x）=e-x2t型αt- （αx+1）t+xt型-M（t，x）=e-x2t（αt- x） t型-.证明：为了强调x，β的函数的双重作用，用f（β，x）表示：=f（x）=f（β）。设η（t，x）：=L-1.xf（β，x）（t）是f（x）的逆变换。考虑在命题4.5的证明中使用相同的技巧。经过标准计算，我们发现η（t，x）嵌入了上述显式形式。现在我们证明了概率表示和一致有界性。设h（x）：=（e-2αx- c）。由η（t，x）的解可知↑+∞|h（x）η（t，x）|=0，x个∈ 杜。另一方面，根据推论3.11，Px（τ<+∞) = 1、限制↑+∞Zt公司∧τ| h（Xu）η（t- u、 Xu）| du=Zτlimt↑+∞|h（Xu）η（t- u、 Xu）| du=0。SinceRt公司∧τ| h（Xu）η（t- u、 Xu）| du在t和limt上连续↓0Zt∧τ| h（Xu）η（t- u、 Xu）| du=0，因此存在M>0，使得zt∧τ| h（Xu）η（t- u、徐）|杜≤ Mt型≥ 0和{Xu}0≤u≤t型∈ 杜。（46）设qτ（t）由qτ（t）=前任Zt公司∧τh（Xu）η（t- u、徐）杜.通过（46），我们立即得到了|▄qτ（t）|≤ M.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:06:02

（47）对于β∈ C和实数（β）≥ 0，考虑▄qτ（t）L{▄qτ（t）}（β）=Z∞e-βtExZt公司∧τh（Xu）η（t- u、徐）杜dt。基于（46）和支配收敛定理，我们改变了积分的阶，期望l{qτ（t）}（β）=前任Z∞Zt公司∧τe-βth（Xu）η（t- u、 Xu）dudt. （48）此外，（46）还给出了Fubini定理soZ∞Zt公司∧τe-βth（Xu）η（t- u、 Xu）dudt=Z∞Zτ{u≤t} e类-βth（Xu）η（t- u、 Xu）dudt=ZτZ∞{u≤t} e类-βth（Xu）η（t- u、 Xu）dtdu=ZτL{u≤t} η（t- u、徐）（β） h（徐）杜。注1{u≤t} 是指示器功能，也可以写为Heaviside阶跃函数Hu（t）。考虑这样一个事实，即l{Hu（t）η（t- u、 x）}（β）=e-βuL{η（t，x）}（β），其中用我们的符号L{η（t，x）}（β）=LL-1.xf（β，x）（t）(β) =xf（β，x）。因此，（48）可以重新表示为l{qτ（t）}（β）=前任Zτe-βuh（Xu）xf（β，Xu）du. （49）在下一步中，我们将证明L{qτ（t）}（β）确实是误差函数qτ（t）的LT。然后，逆LT的唯一性总结了我们的证明。要看到这一点，letQ（β，x）：=f（β，x）- f（β，x），（50），其中遵循类似约定f（β，x）：=f（x），f（x）如（34）中所述。注意f（β，x）=L{Px{τ∈ dt}}（β）和f（β，x）=LPx{τ*∈ dt}(β). 因此，根据LT的线性，我们有q（β，x）=L{qτ（t）}（β）。（51）作为f，f∈ C、 Q（β，x）也是如此∈ C、将微型生成器A应用于Q（β，x）。然后通过（23），（30）和（31），i=1，经过标准计算，我们得到aq- βQ=-hf，x∈ 杜。（52）注（52）是关于x和fis的方程式xf（β，x）。由于f和f具有相同的边界条件，因此ODE（52）的边界条件由Q给出(Du）=（0，0）T.（53）根据[34]，边值问题（52）和（53）具有以下唯一解q（β，x）=前任Zτe-βuh（Xu）xf（β，Xu）du.ODE解的唯一性和LT逆解的唯一性表示SQτ（t）=qτ（t）。备注4.11命题4.10表明误差界在t上一致有效≥ 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-9 20:06:06

什么时候 ↓ 0+，则误差收敛到0。当Xt→ WT顺时针，参考命题4.5，我们有px（τ*∈ dt）→ p（t），t型≥ 备注4.12另一方面，命题4.10中的结论并不限制对 > 1、事实上，给出了一个精确的误差函数，我们可以通过仿真来估计误差水平。即使在这种情况下 > 1、有可能前任Zt公司∧τe-2αXu- cη（t- u、徐）杜<<, t型∈ (0, +∞).5模型实施5.1具有恒定波动性的扩展SDE出于实际目的，考虑波动性更有趣。我们通过添加常数波动率σ>0来扩展SDE（1）：dXt=（e）-2αXt- c） dt+σdWt，X=X∈ R、（54）介绍{Xt}t的缩放版本≥0和definenXtot≥0as▄Xt：=Xtσ。然后通过设置 :=σ、 α：=ασ和▄x=xσ，我们看到▄Xot≥0确实是DE（1）描述的扩散过程：dXt=~e-2▄α▄Xt- cdt+dWt，￠X=￠X∈ R、此外，对于≤ x、通过让▄a=aσ，推论4.9中运行最小值的结果可以相应地扩展。5.2模型校准在本节中，我们提供了扩展SDE的校准方案（54）。表示资产价格的观察值{Pt}t=0,1，。。。，NbyPt=Pe^Xt，t=0，1。。。，N、（55）N^Xtot=0，。。。，n表示^X=0的标准化原木价格。设{rt}t=1，。。。，为{Pt}t=0,1，…，的日志返回值，。。。，N、根据定义，我们有^rt=^Xt-^Xt-1，t=1。。。，N、（56）考虑基于{rt}t=1，…，的校准，。。。，N、从数学上讲，有4个参数需要确定。因此，应提供至少4个不同的统计数量。自然候选者是{rt}t=1，…，的前四个矩，。。。，N、然而，一方面，正如我们在第2节中所讨论的，不同制度下的泡沫动力学可能具有完全不同的统计行为。因此，整个时间系列的全局时刻可能并不具有代表性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:06:10

另一方面，根据命题3.4，{Xt}t≥0具有非常复杂的概率密度。按照这个命题，我们无法轻易地得到明确的表达，即使是在第一时刻。我们提供了一种在不同泡沫状态下使用分段时间序列的替代方案，而不是使用传统的矩校准。回想一下{Xt}t的这三种状态≥0在泡沫周期中，根据泡沫周期，我们作出以下假设：o状态I），位移。在此期间，我们假设Xt≈ 0.SDE（54）则可以简化为SDEXT≈ (1 - c） dt+σdWt。（57）o工况II），动臂。在此阶段，动态遵循SDE（54），但将访问平衡水平。用XR表示级别，我们有-2αXR=c.（58）o制度III）欣快感（和利益接受）。在这两个步骤中，XT达到了创纪录的高水平。假设e-2αXt≈ 0则SDE（54）退化为XT≈ -cdt+σdWt。（59）此外，我们进一步假设可以从数据中识别每种制度。设{0，1，…，t}，{t，…，t}，{t，…，t}为区域I、II和III的时间段。然后用^XI表示每个区域中的分段时间序列：=n^Xtot=0，。。。，t、 ^XII：=n^Xtot=t，。。。，t、 ^XIII：=n^Xtot=t，。。。，t、日志返回的相应时间序列由^rI：={rt}t=1，。。。，t、 ^rII：={rt}t=t+1，。。。，t、 ^rIII：={rt}t=t+1，。。。，t、还假设平衡水平是可观测的，并用^XR表示观测值。我们现在考虑参数估计。从^开始和^c.总体思路是考虑制度I和III的预期对数回报。Let’rI：=平均值^rI和'rIII：=平均值^rIII为回报的年化样本平均值。通过将样本平均值与dXtin（57）和（59）的理论期望值进行匹配，我们得到以下方程式^(1 - ^c）=rI-^^c=(R)rIII。求解我们得到的方程^ = ？rI- \'rIII^c=-“rIII”rI-？rIII。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:06:14

（60）备注5.1注意，根据我们的假设，制度I应提供积极趋势（(R)rI≥ 0）而制度III产生负面影响（(R)rIII≤ 0). 因此^ 和^c保证为正。此外，自0≤ -？rIII≤ ？rI- ？rIII，so 0≤ ^c≤ 1、备注5.2为了进行更有效的校准，在RIA和RIII估计中，我们可以（*）只取制度I中正回报的平均值，而只取制度III中负回报的平均值。此外，我们更感兴趣的是长期趋势，而不是每日趋势。因此（**）使用月度滚动回报将有助于增强估计的稳定性。我们在算法中添加（*）和（**）作为特殊的数据清理处理。考虑^σ。通过观察（57）和（59），我们看到^rian和^riii中的波动性仅由布朗运动部分提供。Let^rI&III：=^rI∪ ^rIII。然后我们可以通过^σ=StdDev来计算^σ^rI和III.作为替代方案，请注意，通常情况下，制度III的时间序列更不稳定。因此，为了获得更显著的波动性，我们选择使用^riiiiOnly：^σ=STDEV^rIII. （61）给定^c，最后一个参数^α易于计算。根据（58），我们立即得到^α=-ln（^c）^XR。（62）我们总结了算法1中的校准算法。算法1{Xt}t≥0参数校准1。确定制度I-III的时间范围，并相应地计算流动原木价格^XI、^XII、^XIIIby（55）。确定平衡水平^XR。2、分别计算^rim和^rIIImfrom^XIand^xiii的月度滚动日志收益。计算“rIand”rIIIvia？rI=平均值^轮辋^轮辋≥ 0×12'rIII=平均值^rIIIm^rIIIm≤ 0×12，并使用方程式（60）校准^, ^c.3。计算从^XIII开始的每日日志返回时间序列^riiidf。计算年化收益率^rIIIvia^rIII=^rIIId×√260，并使用方程式（61）校准^σ。4.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:06:17

将步骤1中的^xrf和步骤2中的^c代入方程式（62），以校准^α。备注5.3我们需要强调算法1依赖于两个判断决策，即1）不同制度的时间范围和2）平衡水平。在资产价格上涨期间（流离失所、繁荣、兴奋），从经济角度来看，区分这三种制度并不困难。即使没有明确的经济信号，我们仍然可以将时间序列等分为三部分。然而，对于^XR来说，如果没有显著的价格下跌，从数学上来说，决定均衡水平是非常有挑战性的。因此，可能需要从经济学角度进行基本分析。算法1的增强将保留在未来的工作中。5.3数值示例我们提供了三个数值示例。前两个练习性质相似，根据历史数据，我们验证了{Xt}t的有效性≥0捕捉气泡动力学。在第三个练习中，我们预测了比特币的下拉概率。5.3.1 1997年1月2日至2003年12月30日纳斯达克综合指数从以科技为主的纳斯达克综合指数（美国股票代码^IXIC）可以观察到美国网络泡沫。从90年代中期开始，^IXIC从1000美元以下呈指数级增长至5000美元左右。该指数在2000-03-10年达到历史最高水平，当日交易总额超过10万亿美元（根据雅虎财经）。此后，市场迅速崩溃，2002年又回落到1000美元左右。在本练习中，我们使用了1997年1月2日至2003年12月30日调整后的^IXIC每日收盘价。数据是从雅虎财经下载的。注意，为了预测突发时间，没有必要使用全周期数据校准模型。因此，在模型校准中仅使用截断的时间序列。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:06:20

为了更具体，我们选择了以下校准制度^XI：1997-01-02（P=1280）至1997-06-26（Pt=1436）；^XII:1997-06-26（Pt=1436）至1999-02-10（Pt=2309）；^XIII:1999-02-10（Pt=2309）至2000-10-18（Pt=3171）。（63）图3中的红色曲线绘制了n^Xtot=0,1，。。。，N、通过观察，我们将平衡水平设置为^XR=0.67（PR=2502）。为了与现有模型进行比较，我们还引入了OU过程和漂移布朗运动（DBM）。用于校准这两个模型的时间序列与{Xt}t中的时间序列相同≥0校准，即从1997年1月2日至2000年10月18日。对于MLE OU校准算法，参见【41】。我们直接在DBM中估计平均值和波动率。1997-01-02和2003-12-30之间的1000条路径由三种不同的模型模拟。在图3中，除了^IXIC的历史价格外，我们还展示了每个模型1000个模拟中的最佳路径。从图中可以清楚地看出，我们的新模型比现有模型提供更好的fit。为了定量地观察不同路径与历史动态的接近程度，计算了每个模型的相关性：{Xt}t≥0:91.20%，OU:81.01%，DBM:72.03%。正如所料，{Xt}t≥0的相关性最高，而DBM的相关性最差。为了进一步解释我们的算法，我们在图4中绘制了校准区域。我们还显示了{Xt}t的10000条向前模拟路径≥0，X=^Xt。从图中我们可以看到，模拟路径完全覆盖了历史价格。这表明我们的模型是有效的。图3:1997年1月2日至2003年12月30日纳斯达克指数（美国股票代码^IXIC）的模型校准比较。红色曲线：历史调整原木价格；蓝色曲线{Xt}t的1000个模拟中的最佳≥0; 橙色曲线：OU流程1000个模拟中的最佳；绿色曲线：DBM 1000个模拟中的最佳。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:06:24

校准参数，{Xt}t≥0: (^, ^α，^σ，^c）=（0.39，0.23，0.43，0.73）；OU：（κ、u、σ）=（0.47、1.09、0.31）；BM：（u，σ）=（0.25，0.31）。数据来源于雅虎财经。图4：基于^IXIC和从X=^Xt开始的10000条路径模拟的算法1说明。绿色区域表示工况I，位移阶段；黄色区域表示工况II，即动臂阶段；红色区域表示第三种状态，即欣快感和幸福感阶段。蓝色曲线显示用于校准的历史数据。被阴影区域覆盖的红色曲线显示了t之后的历史数据。阴影区域绘制了10000条模拟路径。5.3.2 2006年1月4日至2008年12月31日上海证券交易所综合指数我们使用第二个例子来证实我们在第5.3.1节中的观察结果。2007年中国股市崩盘发生在2008年全球金融危机之前。从2006年初开始，上海证券交易所综合指数（美国股票代码SSEC，中国股票代码000001.SS）从约1000元人民币上涨至2007年10月中旬的6092元人民币。在2007年10月至2008年10月的一年时间内，价格跌至1800元人民币以下。与^IXIC的模式类似，SSEC的历史价格在突然达到峰值后迅速下降，在此之前出现了大幅上涨。练习设置与第5.3.1节中的设置相同。我们只提及政权设置，并在必要时发表评论。^XI：2006-01-04（P=1180）至2006-03-06（Pt=1288）；^XII:2006-03-06（Pt=1288）至2007-05-30（Pt=4053）；平衡水平^XR=1.23（PR=4040）；^XIII:2007-05-30（Pt=4053）至2008-04-21（Pt=3116）。（64）图5展示了最佳模拟路径和历史原木价格之间的比较。我们可以立即看到，OU过程提供了比价格动态所反映的更快的平均回归率。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:06:28

这表明OU过程无法在校准气泡动力学方面提供足够的自由度。不同模型与实际数据的相关性如下：{Xt}t≥0:96.11%，OU:88.00%，DBM:84.42%。图6给出了算法说明和10000条模拟路径的类似图。通过这一练习，我们进一步确认，我们的新模型是描述经济泡沫的一个很好的候选者。图5:2006年1月4日至2008年12月31日上海证券交易所综合指数（美国股票代码SEC，中国股票代码000001.SS）的模型校准比较。红色曲线：历史调整对数价格；蓝色曲线{Xt}t的1000个模拟中的最佳≥0; 橙色曲线：OU过程1000次模拟中的最佳曲线；绿色曲线：DBM 1000个模拟中的最佳。校准参数，{Xt}t≥0:(^, ^α，^σ，^c）=（0.32，0.14，0.56，0.70）；OU：（κ、u、σ）=（3.30、0.97、1.20）；BM：（u，σ）=（0.44，0.33）。数据来源于雅虎财经。图6：基于000001的算法1说明。SS和10000路径模拟，从X=^Xt开始。绿色区域表示工况I，位移阶段；黄色区域表示第二阶段，即繁荣期；红色区域表示第三种状态，即欣快感和幸福感阶段。蓝色曲线显示用于校准的历史数据。被阴影区域覆盖的红色曲线显示了t之后的以下历史数据。阴影区域绘制了10000条模拟路径。5.3.3比特币下行概率估计2017年是比特币的一年。2017年第一个交易日，1比特币的价格为995.44美元。虽然花费1000美元购买一种加密货币让人难以置信，但在一年内，价格达到了19345.49美元。图7显示了2016年1月1日至2017年12月10日期间的价格和交易量模式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-9 20:06:32

推动近20倍增长的潜在原因有很多，例如，机构投资者的投资不断增加，立法者的思维更加开放等等。。我们想知道在不久的将来价格是否会下降。在此练习中，我们进行了分析，预测了下个月比特币的最低价格，有效期为2017年12月10日至2018年1月12日。图7:2016年1月1日至2017年12月10日比特币历史日价格和交易量。数据源来自Yahoo Finance。模型校准基于2016年1月1日至2017年12月10日之间的时间序列：^XI：2016-01-01（P=433）至2016-05-30（P=528）；^XII：2016-05-30（Pt=528）至2017-08-13（Pt=4327）；平衡水平^XR=2.30（PR=4327）；^XIII:2017-08-13（Pt=4327）至2017-12-10（Pt=14371）。（65）在不提及太多细节的情况下，我们总结了以下算法1的输出 = 0.51; ^α = 0.08; ^σ = 0.91; ^c=0.69。（66）预测时间为2017年12月10日，价格为Pt=14371。我们认为Pt下降了0%-60%。要转换{Pt}t=0,1，…，的下降百分比，。。。，到对数价格空间，{Xt}t=0,1，。。。，N、请注意，我们记录中的数据与2017年12月10日的收盘价不一致。事实上，这些数据是在市场仍在交易时下载的。我们通过（55）计算了命中等级a。参考第5.1节，我们将（66）中的参数以及a从扩展SDE（54）转移到标准SDE（1）中的参数。根据推论4.9，最终我们能够在一个月内得到最低价格的概率分布。另一方面，应给出扰动FPTD的误差评估。请参阅位置4.10。相对误差由（t）给出：=P（τ*∈ dt）P（τ*∈ dt）+qτ（t）.利用概率表示，我们通过10000条路径的模拟来估计qτ（t）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝