频谱正Levy的最优定期补货策略

2022-6-10 05:25:19

特别是，对于短期到期情况，根据经验，可以通过简单地用指数随机变量替换常数来获得准确的近似值【20】。虽然泊松假设简化了所考虑的问题，但与连续监测案例相比，它仍然具有更大的挑战性和有趣性。这些解直接取决于泊松到达率，因此，研究其敏感性很有意义。在这项研究中，我们关注由谱正L'evydemand过程驱动的贴现连续时间模型。换言之，在没有控制的情况下，库存遵循一个只有负跳跃的L'evy过程。正如文献中通常假设的那样，库存成本由凸函数建模，并且补货成本假设与订单金额成比例。在这些假设下，经典的连续监测案例有一个简单的解决方案（见[21]第7节）：在适当选择的屏障上反映库存过程是最佳的，价值函数用所谓的规模函数简洁地表示（对于成本固定的案例，也见[7]和[21]第4-6节）。本研究旨在证明定期障碍补货政策的最优性，即在每个补货机会将任何短缺补货到某个阈值以下。相应的受控库存过程成为【4，18】中研究的巴黎反射过程。我们证明了在所有可容许的策略集合上，周期性障碍补充策略确实是最优的。我们遵循经典的猜测和验证程序来解决这个随机控制问题：（1）第一步是计算定期障碍补货政策下补货和库存成本的预期净现值（NPV）。

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2022-6-10 05:25:22

补货成本是巴黎总贴现反射的预期量，已在【4】中计算。库存成本需要预解式等式，我们使用与[4]中类似的方法计算预解式等式。这些函数允许用尺度函数编写半显式表达式。（2）在第二步中，我们选择最佳的周期势垒，我们称之为b*在目前的研究中。我们选择它的值，使候选值函数在障碍处的斜率等于单位补充成本的负值。（3）在最后一步中，我们确认所选候选最优策略的最优性。为此，我们获得了一个验证引理（最优性的充分条件），该引理要求值函数充分光滑并满足某些变分不等式。通过利用规模函数的现有分析特性以及一些假设恒等式，我们确定候选值函数确实满足这些条件。应用这三个步骤的一个主要优点是，可以解决一般谱正L'evy需求过程（有界和无界变化）的问题，而无需指定特定类型的L'evy度量。通过将问题简化为对潜在L'evy过程的标度函数的某些分析，我们避免了使用积分-微分方程技术，这往往很困难，尤其是当L'evy度量具有有限的活动时。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们对所考虑的问题进行建模。第3节给出了验证引理。在第4节中，我们研究了定期障碍补充政策，并计算了总成本的相应预期NPV。

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2022-6-10 05:25:25

在第5节中，我们选择了候选屏障。在第6节中，所选政策的最优性在数值上得到了显示和确认。详细的证明和技术结果推迟到附录中。在整篇论文中，上标x+：=max（x，0）和x-:= 最大值(-x、 0）分别表示x的正部分和负部分。左侧和右侧限值写为f（x-) := 石灰↑xf（y）和f（x+）：=石灰↓xf（y），当它们存在时。2、具有定期补货机会的库存模型let(Ohm, F、 P）是随机过程D=（D（t）的概率空间；t型≥ 0）当D（0）=0时，定义了单个项目的总需求建模。在条件概率Px，forx下∈ R、库存的初始水平由x给出（特别是，我们让P≡ P）。因此，在没有控制的情况下，库存遵循随机过程x（t）：=x- D（t），t≥ 0、我们考虑这样一种情况，即物品只能在到达时间Tr=（T（i）时补充；我≥ 0）的泊松过程Nr=（Nr（t）；t型≥ 0），强度r>0，与X（和D）无关。换句话说，到达间隔时间T（i）- T（i- 1），我≥ 1（T（0）：=0）是独立的，并以平均值1/r指数分布。设F：=（F（T）；t型≥ 0）是流程生成的过滤（X，Nr）。在此设置中，一种可接受的策略，表示累计补货量π：=（Rπ（t）；t型≥ 0）是一个非减量的、右连续的、F适应的过程，使得rπ（t）=Z[0，t]νπ（s）dNr（s），t≥ 0，对于c'agl'ad过程νπ。特别是，第i次补货机会T（i）的补货由每个i的νπ（T（i））给出≥ 1、受控库存过程Uπ变为suπ（t）：=X（t）+Rπ（t）=X（t）+∞Xi=1νπ（T（i））1{T（i）≤t} ，t≥ 0.4 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANWe fix A贴现系数q>0和控制成本的单位成本/报酬∈ R

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2022-6-10 05:25:28

与策略π关联∈ A、库存成本按∞e-可测函数f:R的qtf（Uπ（t））dt→ 控制的Rand由CR[0，∞)e-qtdRπ（t）。问题是最小化他们期望的sumvπ（x）：=ExZ∞e-qtf（Uπ（t））dt+CZ[0，∞)e-qtdRπ（t）, x个∈ R、在满足上述所有约束andEx的所有可容许策略A集合上Z[0，∞)e-qtdRπ（t）< ∞.（2.1）问题是计算值函数（2.2）v（x）：=infπ∈Avπ（x），x∈ R、并得到最优策略π*如果存在这样的政策，那就达到了。2.1. 光谱单边L'evy过程。我们将考虑需求D遵循方面正L'evy过程，或等效X是光谱负L'evy过程的情况。我们排除了情况X是从属函数的负，因此它没有单调路径a.s。我们用κ表示X的拉普拉斯指数：[0，∞) → R使得E[EθX（t）]=t的etκ（θ），θ≥ 0，其l'evy Khintchine分解κ（θ）=σθ+γθ+Z(-∞,0）[eθy- 1.- θy1{y>-1} ]π（dy），θ≥ 0.这里，σ≥ 0, γ ∈ R、和L'evy测度∏满意度(-∞,0)(1 ∧ y） π（dy）<∞.已知（例如，参见[13]中的引理2.12]）X具有有界变化路径当且仅当σ=0andR(-1,0）| y |∏（dy）<∞. 对于有界变化情况，X可以写成X（t）=ct- S（t），t≥ 0，其中c：=γ-Z(-1,0）y∏（dy）和（S（t）；t型≥ 0）是无漂移从属项。这里，假设X不是asubordinator的负数，我们必然得到c>0.2.2。假设。我们在以下关于L'evyprocess X和运行成本函数f的长期假设下解决了问题（2.2）。假设2.1。我们假设存在'θ>0这样的r(-∞,-1] exp（(R)θ| z |）∏（dz）<∞. 这保证了E[X（1）]=κ（0+）>-∞.假设2.2。（i）我们假设f是凸的，并且尾部最多有多项式增长。

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2022-6-10 05:25:31

也就是说，存在k，k，m＞0和N∈ N使得| f（x）|≤ k+k | x |对于所有x∈ R因此| x |>m.（ii）我们假设f(-∞) < -Cq<f(∞) 其中f(∞) := 林克斯→∞f（x）∈ (-∞, ∞] andf公司(-∞) := 林克斯→-∞f（x）∈ [-∞, ∞).最佳定期补货政策5这些假设对我们的分析至关重要，现有文献中也有类似的假设（参见，例如，[7，11]）。备注2.1。根据假设2.1和2.2，我们得到R∞e-qt | f（X（t））| dt< ∞ 对于所有x∈ R、关于它的证明，请参见[21]中引理7.5的证明。3、验证引理我们首先获得所考虑问题的验证引理。在整篇论文中，当X具有有界（或无界）变化路径时，如果g是C（R）（或C（R）），我们称之为R上的可测函数g充分光滑。设L为作用于充分光滑函数g的算子，由g（x）定义：=γg（x）+σg（x）+Z(-∞,0）[克（x+z）- g（x）- g（x）z1{-1<z<0}]π（dz）。此外，我们定义了作用于可测函数g的算子M，Mg（x）：=infl≥0{Cl+g（x+l）}。（3.1）引理3.1（验证引理）。假设^π∈ A是这样的：w：=v^π在R上充分平滑，具有多项式增长（见假设2.2），并且满足（L- q） w（x）+r（Mw（x）- w（x））+f（x）=0，x∈ R、（3.2）然后v（x）=w（x），对于所有x∈ 因此，^π是一个最优策略。备注3.1。（1）等式（3.2）可以用贝尔曼原理直观地解释。以较小的时间间隔t、相应的Bellman方程预计近似为asv（x）=e-r特克斯[东]-q电视（X(t））]+（1- e-rt） Ex[e-qtMv（X(t） ]+ExZte公司-qsf（X（s））ds+ o(t），其中e-r是指超过（0，t），和1- e-r山雀补足。因此，使用It^o公式，除以经纬仪测量t型↓ 0，我们得到（3.2）。（2）定义集合C：={x∈ R：（L）- q） v（x）+f（x）=0}。

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2022-6-10 05:25:34

然后，C可以理解为连续区域，D：=R\\C是控制区域，每当补货机会到来时，在该区域进行补货。在本文中，我们旨在证明C=[b*, ∞) 和D=(-∞, b*) 对于一些b*∈ R、这一性质与v的凸性及其在b的斜率密切相关*. 要看到这一点，如果v是凸的，并且v（b*) = -C、那么我们必须有Mv（x）- v（x）=0当且仅当x≥ b*.（3）与经典的奇异控制情况和控制过程必须在有界密度下绝对连续的版本既有相似之处，也有不同之处（见[11]的（4.2））。尽管变分不等式的形式不同，但候选载体的凸性和斜率条件是本文所需的关键要素。6引理3.1的J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANProof。通过将v定义为一个整数，可以得出w（x）≥ v（x）表示所有x∈ R、因此，有必要显示相反的不平等。修复x∈ R和π∈ A及其对应的库存过程Uπ。

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2022-6-10 05:25:37

让（Tn）n∈Nbe定义为：=inf{t>0：| Uπ（t）|>n}；在这里和整个过程中，让inf = ∞.因为Uπ是半鞅，而w在R上是充分光滑的，所以变量的变化/It^o\'s公式（见[22]的定理II.31和II.32）在px下给出-q（t∧Tn）w（Uπ（t∧ Tn））- w（x）=-Zt公司∧Tne公司-qsqw（Uπ（s-))ds+Z[0，t∧Tn]e-qsw（Uπ（s-))dX（s）+σZt∧Tne公司-qsw（Uπ（s-))ds+X0≤s≤t型∧Tne公司-qs公司wUπ（s-) + νπ（s）Nr（s）+X0≤s≤t型∧Tne公司-qs公司wUπ（s-) + X（s）- w（Uπ（s-))X（s）=Zt公司∧Tne公司-qs（L- q） w（Uπ（s-))ds公司- CZ[0，t∧Tn]e-qsνπ（s）dNr（s）+Zt∧Tne公司-qsrCνπ（s）+wUπ（s-) + νπ（s）- w（Uπ（s-))ds+M（t∧ Tn）我们定义的地方≥ 0，带▄N（ds×dy）：=N（ds×dy）- π（dy）ds，M（t∧ Tn）：=Zt∧Tnσe-qsw（Uπ（s-))dB（s）+limε↓0Z[0，t∧Tn]Z(-1.-ε） e类-qsw（Uπ（s-))yN（ds×dy）+Z[0，t∧Tn]Z(-∞,0）e-qs公司w（Uπ（s-) + y）- w（Uπ（s-)) - w（Uπ（s-))y1{y∈(0,1)}~N（ds×dy）+Z[0，t∧Tn]e-qs公司Cνπ（s）+wUπ（s-) + νπ（s）- w（Uπ（s-))d（个）- 卢比）。此处，（B（s）；s≥ 0）是标准布朗运动，N是度量空间中的泊松随机测度（[0，∞) × (-∞, 0），B[0，∞) ×B(-∞, 0），ds×π（dx））。根据（3.1）中M的定义，w（x）≤ -Zt公司∧Tne公司-qsh（L- q） w（Uπ（s-)) + rMw（Uπ（s-)) - w（Uπ（s-))ids+CZ[0，t∧Tn]e-qsνπ（s）dNr（s）- M（t∧ Tn）+e-q（t∧Tn）w（Uπ（t∧ Tn））。使用假设（3.2），以及过程（M（t∧ Tn）；t型≥ 0）是一个零均值x鞅（见[13]的推论4.6），在考虑期望后，我们得到（3.3）w（x）≤ 前任Zt公司∧Tne公司-qsf（Uπ（s））ds+CZ[0，t∧Tn]e-qsνπ（s）dNr（s）+e-q（t∧Tn）w（Uπ（t∧ Tn））.我们现在取t，n↑ ∞ 在上述不等式中完成证明。首先，假设（3.2）和Mw≤ w表示（L- q） w（y）+f（y）≥ y为0∈ R

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2022-6-10 05:25:40

由于w是充分的mooth并且是多项式增长的，根据It^o公式和支配收敛，我们得到了最优的周期补充策略7w（x）≤ Ex[右]∞e-所有X的qsf（X（s））ds]∈ R（有关更多详细信息，请参见[21]中引理7.5的证明）。这一点，再加上强马尔可夫性质，意味着e-q（t∧Tn）w（Uπ（t∧ Tn））≤ ExhZ公司∞t型∧Tne公司-qsf公司Rπ（t∧ Tn）+X（s）dsi。（3.4）现在，按照与[21]定理7.1的证明相同的步骤，我们得到了exhz∞t型∧Tne公司-qsf公司Rπ（t∧ Tn）+X（s）dsi公司≤ ExhZ[t∧田纳西州，∞)e-qs公司f（Uπ（s））ds+CdRπ（s）i+ExhZ∞t型∧Tne公司-qs公司f（X（s））+CqX（s）dsi。通过使用（3.3）中的和（3.4），我们得到w（x）≤ vπ（x）+Ex[R∞t型∧Tne公司-qs（f（X（s））+CqX（s））ds]。因为Ex[R∞t型∧Tne公司-qs | f（X（s））+CqX（s）| ds]<∞ （注2.1）取t，n↑ ∞通过单调收敛，我们得到了w（x）≤ vπ（x），根据需要。4、周期性障碍补充策略本文的目的是证明周期性障碍补充策略πb，b的最优性∈ R、这会在观察时间Tr将库存推高至b，无论何时低于b。由此产生的库存过程正是[4]的巴黎反射L'evy过程。我们用Rbrand Ubr分别表示补货总额和产生的库存。更具体地说，我们有UBR（t）=X（t）和Rbr（t）=0，0≤ t<t-b（1）式中T-b（1）：=inf{S∈ Tr:X（S-) < b} 是第一次补货时间。然后按金额推高库存Rbr（T-b（1））=b- X（T-b（1）-) 因此Ubr（T-b（1））=b.对于T-b（1）≤ t<t-b（2）：=inf{S∈ Tr：S>T-b（1），Ubr（S-) < b} ，我们有Ubr（t）=X（t）+（b- X（T-b（1）-)) andRbr（t）=Rbr（t-b（1））。

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2022-6-10 05:25:43

可通过重复此过程来构建受控库存流程。我们有以下分解：Ubr（t）=X（t）+Rbr（t），t≥ 0，带RBR（t）=∞Xi=1（b- Ubr（T-b（一）-))1{T-b（一）≤t} =Z[0，t]（b- Ubr（s）-))+dNr（s），t≥ 0，其中补货次数（T-b（n）；n≥ 1）可通过T感应构造-b（1）上述定义和T-b（n+1）：=inf{S∈ Tr：S>T-b（n），Ubr（S-) < b} 对于n≥ 1、我们将从（4.12）中看到，政策πb：=（Rbr（t）；t型≥ 0）满足（2.1），因此可接受。在本节中，我们通过比例函数计算πb下总成本的预期NPV：vb（x）：=ExhZ∞e-qtf（Ubr（t））dt+CZ[0，∞)e-qtdRbr（t）i、b、x∈ R、（4.1）8 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSAN4.1。缩放功能。我们假设q，r>0。比例函数W（q）：R→ [0, ∞) 的X取零(-∞, 0），并在[0，∞) 这是一个严格递增函数，由其拉普拉斯变换定义：Z∞e-θxW（q）（x）dx=κ（θ）- q、 θ>Φ（q）：=sup{λ≥ 0：κ（λ）=q}。（4.2）此外，let，对于x∈ R、 W（q）（x）：=ZxW（q）（y）dy，Z（q）（x）：=1+qW（q）（x），Z（q）（x）：=ZxZ（q）（Z）dz。注意，对于x≤ 0，W（q）（x）=0，Z（q）（x）=1，Z（q）（x）=x。我们还定义了θ≥ 0和x∈ R、 Z（q）（x，θ）：=eθx1+（q- κ（θ））Zxe-θzW（q）（z）dz.（4.3）特别是对于x∈ R、 Z（q）（x，0）=Z（q）（x）和Z（q）（x，Φ（q+R））=eΦ（q+R）x1.- rZxe公司-Φ（q+r）zW（q）（z）dz,Z（q+r）（x，Φ（q））=eΦ（q）x1+rZxe-Φ（q）zW（q+r）（z）dz.（4.4）最后，letZ（q，r）（x）：=rq+rZ（q）（x）+qq+rZ（q）（x，Φ（q+r）），x∈ R、对于所有x，y∈ R、 W（q，R）y（x）：=W（q+R）（x- y）- rZxW（q）（x）- z） W（q+r）（z- y） dz=W（q）（x- y） +rZ-yW（q）（x）- u- y） W（q+r）（u）du，（4.5），其中第二个等式由[15]中的（7）保持，尤其是W（q，r）y（x）=W（q）（x- y）对于y≥ 0.在本小节的其余部分，我们列出了本文后面使用的几个函数恒等式。

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2022-6-10 05:25:46

对于光谱负L'evy过程X，定义τ-a： =inf{t>0:X（t）<a}和τ+a：=inf{t>0:X（t）>a}，a∈ R、通过使用[3]中的标识（3.19），对于x∈ R和θ≥ 0，H（q+r）（x，θ）：=排气-（q+r）τ-+θX（τ-){τ-<∞}i=Z（q+r）（x，θ）-κ(θ) - （q+r）θ- Φ（q+r）W（q+r）（x），（4.6），其中，H（q+r）（x，Φ（q））=Exhe-（q+r）τ-+Φ（q）X（τ-){τ-<∞}i=Z（q+r）（x，Φ（q））-rW（q+r）（x）Φ（q+r）- Φ（q），H（q+r）（x）：=H（q+r）（x，0）=排气-（q+r）τ-i=Z（q+r）（x）-q+rΦ（q+r）W（q+r）（x）。（4.7）任何Borel集合A的最优定期补货策略9 (-∞, 0]和x≤ 0，根据[12]中的定理2.7（ii），（4.8）ExhZτ+e-（q+r）t{X（t）∈A} dti=ZAΘ（q+r）（x，y）dy，其中我们定义x，y∈ R、 Θ（q+R）（x，y）：=eΦ（q+R）xW（q+R）(-y）- W（q+r）（x）- y）。（4.9）备注4.1。（i）对于x，y≤ 0，根据恒等式（4.8），Θ（q+r）（x，y）≥ 0。（ii）另一方面，对于x>0和y≤ x、 Θ（q+r）（x，y）≤ 实际上，通过（4.8），0≤ EhZτ+xe-（q+r）t{X（t）∈dy}dti=-e-Φ（q+r）xΘ（q+r）（x，y）dy.（4.10）设x是x的运行极限过程，且eq+rbe是一个具有参数q+r的独立指数随机变量。根据[12]的推论2.2，对于[0]上的Borel子集，∞),P(-X（等式+r）∈ dy）=q+rΦ（q+r）W（q+r）（dy）- （q+r）W（q+r）（y）dy，（4.11），其中W（q+r）（dy）是指W（q+r）（y）=r[0，y]W（q+r）（dz）（见[13，（8.20）]）的度量。备注4.2。（1）根据[13]中的（8.26），W（q）的左、右导数总是存在于r{0}上。此外，如[10，定理3]中所述，如果X是无界变差或L'evymeasure是无原子的，则我们有W（q）∈ C（R \\{0}）。（2）正如在[12]的引理3.1和3.2中，W（q）（0）=（0如果X是无界变化，cif X是有界变化，W（q）0（0+）=σ如果σ>0，∞ 如果σ=0且∏(-∞, 0) = ∞,q+π(-∞,0）cifσ=0和∏(-∞, 0) < ∞.（3）如[12]中引理3.3所示，WΦ（q）（x）：=e-Φ（q）xW（q）（x）%k（Φ（q））-1，作为x↑ ∞.4.2. vb的计算。我们现在将总成本的预期净现值vbas写在（4.1）中。

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kedemingshi

2022-6-10 05:25:49

对于控制成本，已经在【4】的推论3.2（iii）中得出，对于b，x∈ R、 Ex公司Z[0，∞)e-qtdRbr（t）=Φ（q+r）- Φ（q）Φ（q+r）Φ（q）Z（q，r）（x）- （b）-rq+rnZ（q）（x）- b） +κ（0）+qo。（4.12）因此，需要计算库存成本的预期净现值。回想（4.6）中的H（q+r），为了得到vblet的简明表达式，我们定义x，y∈ R、 Υ（x，y）：=-Θ（q+r）（x，y）+rZxW（q）（x）- z） Θ（q+r）（z，y）dz（4.13）=W（q，r）y（x）- Z（q）（x，Φ（q+r））W（q+r）(-y），（4.14），其中第二个等式由（4.4）和（4.9）确定。10 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANRemark 4.3。（i）使用（4.3），对于x<0，H（q+r）（x，θ）=eθx>0，对于θ≥ 0。（ii）使用（4.14）和（4.5），我们得到Υ（x，y）=W（q）（x- y）对于y>0。备注4.4。函数Υ（x，y）将是本文其余分析的关键函数。它与-Θ（q+r）（x，y）当x<0且W（q）（x）时- y）对于y>0，如上所述。要查看与这些函数的进一步关系，请参见附录中的（A.4）和引理A.1。附录A.1给出了以下定理的证明。定理4.1。对于x，b∈ R、以及R上具有紧支撑的正有界可测函数hZ∞e-qth（Ubr（t））dt=Z∞-∞h（y）r（q，r）b（x，y）dy，（4.15），其中，对于x，y∈ R、 R（q，R）b（x，y）：=q+rqrΦ（q）（Φ（q+R）- Φ（q））Φ（q+r）Z（q，r）（x- b） H（q+r）（b）- y、 Φ（q））- Υ（x- b、 y型- b）。现在使用（4.12）和定理4.1，以及引理B.1（在附录中给出），我们得到（4.1）的表达式。提案4.1。对于x，b∈ R、函数vb（x）是有限的，可以写vb（x）=F（b）Z（q，R）（x- （b）-Z∞-∞f（y）Υ（x- b、 y型- b） dy公司-Crq+rnZ（q）（x）- b） +κ（0）+qo（4.16），其中f（b）：=Φ（q+r）- Φ（q）Φ（q+r）hq+rqrΦ（q）Z∞-∞f（y）H（q+r）（b）- y、 Φ（q））dy+CΦ（q）i，（4.17），由引理B.1和备注4.3（i）定义和定义。

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2022-6-10 05:25:53

特别是，对于x<b，从（4.13），（4.18）vb（x）=F（b）r+qeΦ（q+r）（x-b） q+r+Zb-∞f（y）Θ（q+r）（x- b、 y型- b） dy公司-Crq+rnx- b+κ（0+）qo。证据根据定理4.1和支配收敛（由于引理B.1和B.2），恒等式（4.15）适用于h=f。根据这和（4.12），简化后的结果适用。4.3. vb的多项式增长。我们用验证引理（引理3.1）中要求的vb的以下特性来结束本节。引理4.1。对于每个b∈ R、 x 7→ vb（x）是多项式增长的。证据在P下，其中X（0）=0和z∈ R、设Ub，zrbe为带势垒b的巴黎反射过程∈ r除以（X（t）+z；t型≥ 0）并以类似方式定义Rb，zr，以便Ub，zr（t）=z+X（t）+Rb，zr（t），t≥ 0.然后，Ub，yr（t）- Ub，xr（t）=（y- x） +（Rb，年（t）- Rb，xr（t）），x<y.（4.19），我们首先表明，对于y>x，Ub，yr（t）- Ub，xr（t）≥ 0，t≥ 0。（4.20）最优定期补货策略11让σ：=inf{t>0:Ub，xr（t）>Ub，yr（t）}，并假设σ<∞. 因为Ub，xrand Ub，yr的增量只能在Rb，xrand Rb，yr的跳跃时间不同，所以我们必须有Rb，xr（σ）>0和Ub，xr（σ-) < b、如果Ub，yr（σ-) ≤ b然后Ub，xr（σ）=Ub，yr（σ）=b。如果Ub，yr（σ-) > b thenUb，xr（σ）=b<Ub，yr（σ-) = Ub，yr（σ）。在这两种情况下，Ub、xr（σ）≤ Ub，yr（σ）和不等式一直保持到σ之后的下一个泊松到达时间，这与σ的定义相矛盾。因此，我们必须有σ=∞ 或等效（4.20）。另一方面，让σ：=inf{t>0:Ub，xr（t）=Ub，yr（t）}，我们有，对于i≥ 1带T（i）≤ σ,Rb，xr（T（i））=（b- Ub，xr（T（i）-))+≥ （b）- Ub，yr（T（i）-))+= Rb，yr（T（i）），而对于T≥ σ、我们一定有Rb，xr（t）=Rb，年（t）。这与（4.20）一起意味着0≤ Rb、xr（t）- Rb，年（t）≤ y- x、 t型≥ （4.21）通过（4.19）和（4.21），我们也有0≤ Ub，年（t）- Ub，xr（t）≤ y- x、 t型≥ 0。（4.22）根据这些界限和假设2.2（i），我们得到了多项式增长的VBI。5.

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2022-6-10 05:25:56

b的选择*在本节中，出于备注3.1（2）中所述讨论的动机，我们寻求我们的候选人barrierb*这样vb*（b）*) = -C、并显示其存在。vb的凸性*将在本文后面显示。我们首先得到以下两个引理，其证明推迟到附录C.1和C.2。引理5.1。定义，用于x、y∈ R、 ψ（x，y）：=W（q，R）y（x）-Φ（q+r）q+rZ（q）（x，Φ（q+r））Z（q+r）(-y）。（5.1）然后，对于y<b，zΥ（z，y- （b）z=（x-b） +=-zψ（x- b、 z）z=（y-（b）-= W（q+r）0（（x- y） +）- rZxbW（q）（x）- z） W（q+r）0（z- y） dz公司- Φ（q+r）W（q+r）（b）- y） Z（q）（x）- b、 Φ（q+r））。（5.2）备注5.1。根据引理B.1和命题4.1，我们必须有limy↓-∞f（y）H（q+r）（b）- y、 θ）=0表示θ≥ 0和石灰↓-∞f（y）Υ（x- b、 y型- b） =0。此外，因为ψ（x- b、 y型- b） =Υ（x- b、 y型- （b）-Φ（q+r）q+rZ（q）（x）- b、 Φ（q+r））H（q+r）（b- y），（5.3）我们还有石灰↓-∞f（y）ψ（x- b、 y型- b） =0.12 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANLemma 5.2。固定x、b∈ R、我们可以选择-M≤ b∧ x足够小，以便xZ公司-M-∞f（y）Υ（x- b、 y型- b） dy=Z-M-∞f（y）xΥ（x- b、 y型- b） dy.利用引理5.1和5.2，我们得到了关于vb一阶导数的结果。引理5.3。固定b、x∈ R、（i）我们有Vb（x）=（qF（b）- f（b））Φ（q+r）q+rZ（q）（x- b、 Φ（q+r））-ZxbW（q）（x）- y） f（y）dy-Zb公司-∞f（y）ψ（x- b、 y型- b） dy公司-Crq+rZ（q）（x）- b）。（5.4）（ii）我们有Exhz∞e-qtf（Ubr（t））dti- vb（x）=Z（q，r）（x）- b） q+rqΦ（q）Φ（q+r）- Z（q）（x）- b、 Φ（q+r））M（q，r）（b），其中M（q，r）（b）：=Φ（q+r）- Φ（q）rZ∞-∞f（y）H（q+r）（b）- y、 Φ（q））dy+qq+rΦ（q+r）Φ（q）C.（5.5）证明。

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2022-6-10 05:25:59

（i）通过部件集成，对于x 6=b，xZ公司∞bf（y）W（q）（x）- y） dy=f（b）W（q）（x- b） +ZxbW（q）（x）- y） f（y）dy.（5.6）微分（4.16）并使用（5.6）和引理5.2（导数可与积分互换），以及Υ（x- b、 y型- b） | y=x+- Υ（x- b、 y型- b） | y=x-= -W（q+r）（0），对于x 6=b，vb（x）=F（b）Z（q，r）0（x- （b）- f（b）W（q）（x）- （b）-ZxbW（q）（x）- y） f（y）dy-Zb公司-∞f（y）xΥ（x- b、 y型- b） dy公司- f（x）W（q+r）（0）1{x<b}-Crq+rZ（q）（x）- b）。通过引理5.1、备注5.1和分部积分，并注意到ψ（x- b、 y型- b） | y=x+- ψ（x- b、 y型-b） | y=x-= -W（q+r）（0），Zb-∞f（y）xΥ（x- b、 y型- b） dy=-Zb公司-∞f（y）yψ（x- b、 y型- b） dy=-f（b）ψ（x- b、 0）+Zb-∞f（y）ψ（x- b、 y型- b） dy公司- f（x）W（q+r）（0）1{x<b}，其中ψ（x- b、 0）=W（q）（x- （b）-Φ（q+r）q+rZ（q）（x）- b、 Φ（q+r））。这个加上Z（q，r）0（x- b） =qq+rΦ（q+r）Z（q）（x）- b、 Φ（q+r））显示（5.4）。对于x=b的情况，在对右手和左手导数进行相同的计算后，可以确定它们都符合（5.4）。最优定期补货政策13（ii）按部件整合∞bf（y）e-Φ（q）（y）-b） dy公司=f（b）+Z∞bf（y）e-Φ（q）（y）-b） dy公司/Φ（q），（5.7），注意H（q+r）（z）：=H（q+r）（z，Φ（q））-rq+rΦ（q+r）Φ（q+r）-Φ（q）H（q+r）（z）/Φ（q），z∈ R、是H（q+R）（·，Φ（q））的反导数，并通过备注5.1，Zb-∞f（y）H（q+r）（b）- y、 Φ（q））dy=-f（b）Φ（q）1.-rq+rΦ（q+r）Φ（q+r）- Φ（q）+Zb公司-∞f（y）H（q+r）（b）- y） dy.因此，使用（4.17）中的先前恒等式以及备注4.3（i），我们得到f（b）=qf（b）-Zb公司-∞f（y）H（q+r）（b）- y） dy公司+Φ（q+r）- Φ（q）Φ（q+r）q+rqrZ∞-∞f（y）H（q+r）（b）- y、 Φ（q））dy+CΦ（q）.（5.8）现在使用（5.4）和定理4.1以及（5.3）和备注4.3（ii），我们得到Z∞e-qtf（Ubr（t））dt- vb（x）=Crq+rZ（q）（x- b） +q+rqrΦ（q）（Φ（q+r）- Φ（q））Φ（q+r）Z∞-∞f（y）Z（q，r）（x）- b） H（q+r）（b）- y、 Φ（q））dy+Φ（q+r）q+rZ（q）（x- b、 Φ（q+r））f（b）-Zb公司-∞f（y）H（q+r）（b）- y） dy公司- qF（b）,其中（ii）由（5.8）表示。

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2022-6-10 05:26:02

从（5.3），ψ（0，y- b） =-Φ（q+r）q+rH（q+r）（b）- y）。因此，对于任何b∈ R、 vb（b）=-Crq+r+Φ（q+r）q+r-Zb公司-∞f（y）H（q+r）（b）- y） dy+qΦ（q+r）- Φ（q）Φ（q+r）CΦ（q）+q+rqrZ∞-∞f（y）H（q+r）（b）- y、 Φ（q））dy+Φ（q+r）q+rZb-∞f（y）H（q+r）（b）- y） dy=M（q，r）（b）- C、（5.9）鉴于此和备注3.1（2），我们对候选屏障b的自然选择*使得M（q，r）（b*) =有了这个选择，引理5.3（ii）可以立即得到以下结果。引理5.4。如果b*∈ R等于M（q，R）（b*) = 0，然后是vb*（x） =Ex[R∞e-qtf（Ub*x的r（t））dt]∈ R、 14 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSAN5.1。最优势垒b的存在性*. 我们首先展示以下两个引理。第一个引理的证明推迟到附录C.3。引理5.5。修复b∈ R和θ≥ 0、我们可以选择-M<b足够小，以便bZ公司-M-∞f（y）H（q+r）（b）- y、 θ）dy=Z-M-∞f（y）bH（q+r）（b- y、 θ）dy.Lemma 5.6。对于所有b∈ 存在f（b）的R，（e-Φ（q）bM（q，r）（b））=-e-Φ（q）bΦ（q+r）q+r（Cq+E[f（X（eq+r）+b）]）。证据使用引理5.5和备注4.3（i）和（4.11），M（q，r）0（b）=Φ（q+r）- Φ（q）r“- f（b）+Φ（q）Z∞bf（y）e-Φ（q）（y）-b） dy+f（b）1.-rW（q+r）（0）Φ（q+r）- Φ（q）+Zb公司-∞f（y）Φ（q）Z（q+r）（b）- y、 Φ（q））+rW（q+r）（b- y）-rW（q+r）0（b- y） Φ（q+r）- Φ（q）dy#=Φ（q）M（q，r）（b）-Φ（q+r）q+rqC+E[f（X（eq+r）+b）].这样，就可以立即获得所需的结果。提案5.1。存在唯一的b*使得M（q，r）（b*) = 0.证明。（i）首先我们注意到-Φ（q）bZb-∞|f（y）| H（q+r）（b- y、 Φ（q））dy=Z-∞e-Φ（q）b | f（y+b）| H（q+r）(-y、 Φ（q））dy.（5.10），因为f是非减量的，也是多项式增长的，f（（y+b）+）+≤P0≤m级≤NCm | y | mbN-m+K，y∈ R、对于某些N∈ N和Cm，K＞0；对于f（（y+b）+），可以得到类似的界-.因为bke-Φ（q）bis每k在b>0范围内有界≥ 0，我们看到e-Φ（q）b | f（（y+b）+）|由y的多项式（与b无关）限定。

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kedemingshi

2022-6-10 05:26:05

这与引理B.1一起允许我们应用支配收敛，因此（5.10）消失为B→ ∞. 因此，根据（5.5），我们得到（5.11）肢体→∞e-Φ（q）bM（q，r）（b）=0。（ii）引理5.6和假设2.2（i），b 7→ l（b）：=eΦ（q）b（e-Φ（q）bM（q，r）（b））不递增。此外，单调收敛与假设2.2（ii）给定边↓-∞l（b）=-Φ（q+r）q+rhCq+f(-∞)i> 0，肢体↑∞l（b）=-Φ（q+r）q+rhCq+f(∞)i<0。（5.12）根据exp（Φ（q）b）的正性，存在b∈ R使得（e-Φ（q）bM（q，r）（b））≥ 0 a.e.开启(-∞, b）和（e）-Φ（q）bM（q，r）（b））≤ 0 a.e.开（b，∞); 相当于b 7→ e-Φ（q）bM（q，r）（b）在(-∞, b）（分别为，∞)). 根据此和（5.11），存在-∞ < b*≤ b使最优定期补货政策15e-Φ（q）bM（q，r）（b）（因此M（q，r）（b）也是非正的(-∞, b*) 和非负on（b*, ∞).根据M（q，r）（b）的连续性，我们必须有M（q，r）（b*) = 最后，我们证明了b的唯一性*. 因为b*≤ b、（根据b的定义）我们必须（e-Φ（q）bM（q，r）（b））；b=b*+≥ 因此，有必要表明（e-Φ（q）bM（q，r）（b））；b=b*+6=0（当量l（b*+) 6= 0). 假设l（b*+) = 那么，因为l在（b）上是非递增的*, ∞), l（b）≤ 0 a.e.开（b*, ∞) 因此e-Φ（q）bM（q，r）（b）≤ b为0∈ [b]*, ∞). 因为这也是非负的*已选择，e-Φ（q）bM（q，r）（b）=0均匀分布在[b]上*, ∞), 暗示（e-Φ（q）bM（q，r）（b））=0 a.e.开（b*, ∞),或者等价地，通过引理5.6，Cq+E[f（X（eq+r）+b）]=0表示a.E.（b）*, ∞), 这与（5.12）相矛盾。备注5.2。

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2022-6-10 05:26:08

在（5.5）中使用恒等式（5.7）导致q+rΦ（q+r）M（q，r）（b）=CqΦ（q）+q+rr（Φ（q+r）- Φ（q））Φ（q+r）×h- f（b）+Φ（q）Z∞bf（y）e-Φ（q）（y）-b） dy+Zb-∞f（y）H（q+r）（b）- y、 Φ（q））dyi。因为单调收敛和表达式（4.7）给出了limr→∞Rb型-∞|f（y）| H（q+r）（b-y、 Φ（q））dy=0和limr→∞Φ（q+r）=∞, 我们有Limr→∞q+rΦ（q+r）M（q，r）（b）=M（q）（b）：=Φ（q）Z∞bf（y）e-Φ（q）（y）-b） dy+CqΦ（q）- f（b）。这与文献[21]一致，其中经典情况下的最佳势垒是M（q）（b）=0.6的根。b的最优证明*∈ 在上一节中选择R，我们将证明我们的候选值函数vb*满足引理3.1中要求的条件，因此策略πb*是最佳的。我们首先确认vb所需的平滑度*; 我们将证明推迟到附录C.4。引理6.1。函数vb*在R上充分平滑。现在为了验证等式（3.2），我们证明以下内容。引理6.2。函数vb*是凸的，vb*（b）*) = -C、证明。（i）根据假设2.2（i），fis增加了Lebesgue-a.e.，因此，使用引理5.4，以及Ub的单调性*在（4.20）中的起点处，我们得到Vb*（x） =ExhZ∞e-qtf（Ub*r（t））dti≤ EyhZ∞e-qtf（Ub*r（t））dti=vb*（y）对于x<y。因此vb*是凸面的。（ii）如何b*选择M（q，r）（b*) = 0和（5.9），vb*（b）*) = -C接下来，通过应用引理6.2，可以立即得到以下结果。16 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANProposition 6.1。对于x∈ R、我们有（6.1）Mvb*（十）- vb*（十）=C（b*- x） +vb*（b）*) - vb*（x）如果x∈ (-∞, b*),如果x，则为0∈ [b]*, ∞).现在我们显示以下辅助结果。提案6.2。（i）对于x<b*, 我们有（L- q） vb*（x） +f（x）=-qrq+rF（b）*)1.- eΦ（q+r）（x-b*)+ C（b*- x）+ rZb公司*-∞f（y）Θ（q+r）（x- b*, y- b*)dy.（ii）代表x≥ b*, 我们有（L- q） vb*（x） +f（x）=0。证据（i）假设x<b*.

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2022-6-10 05:26:11

直接计算得出（L- （q+r））eΦ（q+r）（x-b*)= 0，因此（L- q）r+qeΦ（q+r）（x）-b*)= qr（eΦ（q+r）（x-b*)- 1).让我们定义，对于固定z≤ b*,G（q+r）（z）：=EzhZτ+b*e-（q+r）tf（X（t））dti=Zb*-∞f（y）Θ（q+r）（z- b*, y- b*)dy，（6.2），其中最后一个等式为（4.8），并且对所有z都有很好的定义和定义≤ b*备注2.1。WithT公司(-N、 b类*):= inf{t>0:X（t）6∈ [-N、 b类*]} 对于-N<x，定义过程i（t）：=e-（q+r）（t∧T型(-N、 b类*))G（q+r）（X（t∧ T型(-N、 b类*))) +Zt公司∧T型(-N、 b类*)e-（q+r）sf（X（s））ds，t≥ 0，I(∞) := 限制→∞I（t）=e-（q+r）T(-N、 b类*)G（q+r）（X（T(-N、 b类*))) +ZT公司(-N、 b类*)e-（q+r）sf（X（s））ds。由强马尔可夫性质可知，G（q+r）（x）=Ex[I(∞)].带（G（t）；t型≥ 0）作为X的自然过滤，我们定义Px鞅：~I（t）：=Ex[I(∞)|G（t）]，t≥ 0.对于x<b*并且t>0，通过X的强马尔可夫性质，因为，在{t≥ T型(-N、 b类*)},I（t）=I(∞) =~I（t），我们可以写~I（t）=1{t<t(-N、 b类*)}氖-（q+r）tEX（t）[I(∞)] +中兴通讯-（q+r）sf（X（s））dso+1{t≥T型(-N、 b类*)}I（t）。另一方面，因为Px-a.s.{t<t(-N、 b类*)}I（t）=1{t<t(-N、 b类*)}氖-（q+r）tEX（t）[I(∞)] +中兴通讯-（q+r）sf（X（s））dso，我们有I=~I，这意味着它是Px鞅。最优定期补货策略17通过引理6.1以及表达式（4.18）和（6.2），我们得出G（q+r）是充分的。因此，利用这个鞅性质和It^o公式，我们得出结论（L-q-r） G（q+r）（x）=-f（x），或等效使用（6.2），（L）的最后一个等式- q） Zb公司*-∞f（y）Θ（q+r）（x- b*, y- b*)dy+f（x）=rZb*-∞f（y）Θ（q+r）（x- b*, y- b*)dy.最后，直接计算得出（L- q）b*- x个-κ（0+）q= -q（b）*- x）。因此，把这一部分放在一起，我们完成了情况x<b的证明*.（ii）固定x>b*. 与上文所述类似，流程-q（t∧T（b*,N））vb*（X（t∧ T（b*,N）））+Zt∧T（b*,N） e类-qsf（X（s））ds，t≥ 0，其中T（b*,N）：=inf{t>0:X（t）6∈ [b]*, N] }当N>x时，是Px鞅。

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2022-6-10 05:26:14

因此使用了Matingale属性和It^o公式（由于vb*是充分光滑的，如引理6.1），我们得出结论（L- q） vb*（x） +f（x）=0，根据需要。对于x=b的情况*, 因为vb*是足够平滑的，我们在取x后得到结果→ b*.现在，我们准备展示本文的主要结果。定理6.1。政策πb*是最优的，值函数由v（x）=vb给出*（x）对于所有x∈ R、证明。根据引理6.1，足以验证（3.2）。（i）假设x<b*. 使用命题6.1和（4.18），我们有MVB*（十）- vb*（x） =qq+rC（b*- x） +F（b*)1.- eΦ（q+r）（x-b*)-Zb公司*-∞f（y）Θ（q+r）（x- b*, y- b*)因此，利用这一点和命题6.2（i），我们推导出x<b的（3.2）*. （ii）对于案例x≥ b*, 使用命题6.2（ii）和（6.1），我们还有（3.2）。备注6.1。所考虑问题的一个自然扩展是允许在每次下单时产生额外的固定订购成本。在这种情况下，“定期（s，s）-策略”预计是最优的。此策略在每个观察时间tr，当项目低于S级时，将其补充至库存水平S。这是一个有趣且具有挑战性的问题，我们将其留给进一步的工作。6.1. 数值示例。现在，我们使用二次库存成本f（x）=x对获得的结果进行数值验证。在这种情况下，一个简单的计算得出b*= Φ（q+r）-1.- Φ（q）-1.-κ（0+/（q+r）- qC/2。我们假设X（t）=X（0）+t+0.2B（t）-PN（t）n=1Zn，对于0≤ t<∞. 这里，B是标准布朗运动，N是到达率为1的泊松过程，Z是相位型随机变量的i.i.d.序列（其参数在[20]中给出），分别用形状和尺度参数2和1近似威布尔分布。相应的缩放函数允许使用关闭的表单表达式，如[8]所示。

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2022-6-10 05:26:17

除非另有说明，否则我们将q=0.05，r=0.5，C=1。18 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANIn图1，我们绘制了x 7→ b=b时的vb（x）*对于b 6=b*以及点（b，vb（b））。已证实vb*确实是凸的（如引理6.2所示），并且在x中均匀地最小化b。在图2中，我们显示了vb*对于单位补给成本/报酬C和泊松到达率r的各种值，以及连续监测情况下的值【21】。对于前者，随着c的增加，值函数vb*增加（x均匀），而b*减少。另一方面，当R增加时，vb和*和b*减少作为r→ ∞, 与案例[21]的一致性也得到了证实-10-8-6-4-2 0 2x4005006007008009001000值图1。vb绘图*（实心）与vbfor b=b相比*- 2，b*- 1，b*+ 1，b*+ 2（虚线）。点（b*, vb*（b）*)) 由正方形表示，而点（b，vb（b））由向下和向上指向的三角形表示，表示b<b*和b>b*, 分别为-10-8-6-4-2 0 2x-400-200020040060080010001200value-10-9-8-7-6-5-4-3-2x400450500550value图2。（左）vb图*对于C=-100, -90, . . ., 90、100和（b*, vb*（b）*)) 用正方形表示。（右）vb的绘图*（虚线）对于r=0.1，0.2。，0.9, 1, 2, . . ., 9, 10, 20, . . ., 90, 100, 200, . . ., 900、1000带（b*, vb*（b）*)) 用三角形表示，以及点位于正方形表示的最佳屏障处的连续监测案例（实心）。最优定期补货政策19附录A.定理4.1的证明，如[13]的推论8.7和8.8所述，对于[0]上的任何Borel集A，∞) 在R上，分别为ExhZτ-e-qt{X（t）∈A} dti=扎赫-Φ（q）yW（q）（x）- W（q）（x）- y） idy，x≥ 0，（A.1）ExZ∞e-（q+r）t{X（t）∈A} dt公司=ZA公司eΦ（q+r）（x-y） κ（Φ（q+r））- W（q+r）（x）- y）dy，x∈ R、（A.2）A.1。定理4.1的证明。

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2022-6-10 05:26:20

对于x∈ R、让我们用gb（x）表示（4.15）的左侧，特别是g（x）：=g（x）。我们将证明b=0的结果；一般情况如下，因为L'evy过程的空间同质性意味着gb（x）=Ex-bR∞e-qth（Ur（t）+b）dt.（i）对于x∈ R、根据强马尔可夫性质，g（x）=ExhZτ-e-qth（X（t））dti+Exhe-qτ-g（X（τ-))1{τ-<∞}i、（A.3）特别是，对于x<0，再次通过强马尔可夫性质，因为Ur=x on[0，T（1）∧ τ+，g（x）=A（x）g（0）+B（x），其中，对于x≤ 0，A（x）：=Exhe-q（τ+∧T（1））i=rq+r+qq+reΦ（q+r）x，B（x）：=ExhZτ+e-qt{t<t（1）}h（X（t））dti=Z-∞h（y）Θ（q+r）（x，y）dy。在这里，前者的第二个等式成立，因为T（1）是一个具有参数r和定理3.12的独立指数随机变量。后者的第二个等式为（4.8）。现在应用[3]中的标识（3.19），Exhe-qτ-A（X（τ-))1{τ-<∞}i=rq+rZ（q）（x）-qΦ（q）W（q）（x）+qq+rZ（q）（x，Φ（q+r））-rW（q）（x）Φ（q+r）- Φ（q）= Z（q，r）（x）-qrq+rΦ（q+r）Φ（q）（Φ（q+r）- Φ（q））W（q）（x）。此外，利用文献[1]中的恒等式（5）和文献[15]中的引理2.1，我们得到了对于c>x，Exhe-qτ-B（X（τ-))1{τ-<τ+c}i=Z-∞h（y）排气-qτ-Θ（q+r）（X（τ-), y） 1{τ-<τ+c}y=-Z-∞h（y）Υ（x，y）dy+W（q）（x）W（q）（c）Z-∞h（y）Υ（c，y）dy.（A.4）20 J.L.P'EREZ，K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANBy（4.4）和备注4.2（3），表示y∈ R、林克斯→∞W（q，r）y（x）/W（q）（x）=Z（q+r）(-y、 Φ（q））。

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可人4

2022-6-10 05:26:24

同样，根据文献[4]中推论3.2（iii）的证明，我们得到了limx→∞Z（q）（x，Φ（q+r））/W（q）（x）=r/（Φ（q+r）- Φ（q））。因此，取c↑ ∞ 在（A.4）中，使用这些限制，我们得到-qτ-B（X（τ-))1{τ-<∞}i=-Z-∞h（y）Υ（x，y）dy+W（q）（x）Z-∞h（y）h（q+r）(-y、 Φ（q））dy.将（A.3）和（A.1）中的这些替换为（A.1）和备注4.3，（A.5）g（x）=g（0）Z（q，r）（x）-qrq+rΦ（q+r）Φ（q）（Φ（q+r）- Φ（q））W（q）（x）+ W（q）（x）Z∞-∞h（y）h（q+r）(-y、 Φ（q））dy-Z∞-∞h（y）Υ（x，y）dy.（ii）另一方面，通过强马尔可夫性质，我们也可以写出eg（0）=γ+γg（0）+γ，（A.6），其中γ：=EhZT（1）e-qth（X（t））dti，γ：=Ehe-qT（1）{X（T（1））≤0}i，γ：=Ehe-qT（1）g（X（T（1））1{X（T（1））>0}i，其值将在下面计算。（1）我们得到γ=ER∞{t<t（1）}e-qth（X（t））dt= E【R】∞e-（q+r）th（X（t））dt]。（2）利用（A.2），我们得到γ=rq+r- EZ∞e-（q+r）s{X（s）≥0}ds= rq+r-κ（Φ（q+r））Φ（q+r）.（3）再次通过（A.2），γ=rEhZ∞e-（q+r）sg（X（s））1{X（s）>0}dsi=rκ（Φ（q+r））Z∞e-Φ（q+r）yg（y）dy，（A.7），我们将使用（A.5）中的g表达式进行计算。首先，通过部件集成，Z∞e-Φ（q+r）yZ（q）（y）dy=Φ（q+r）1+qZ∞e-Φ（q+r）uW（q）（u）du=Φ（q+r）q+rr。因为（4.2）和（4.4）给出了e-Φ（q+r）yZ（q）（y，Φ（q+r））=rR∞ye公司-Φ（q+r）zW（q）（z）dz，z∞e-Φ（q+r）yZ（q）（y，Φ（q+r））dy=rZ∞Z∞ye公司-Φ（q+r）zW（q）（z）dzdy=rZ∞ze公司-Φ（q+r）zW（q）（z）dz=κ（Φ（q+r））r，（A.8），其中第二个等式通过变量的变化保持不变，最后一个等式由于单调收敛而保持不变，（4.2）给出∞ze公司-θzW（q）（z）dz=-θR∞e-θzW（q）（z）dz。引理A.1。对于y∈ R、 R∞e-Φ（q+r）xΥ（x，y）dx=[e-Φ（q+r）y- W（q+r）(-y） κ（Φ（q+r））]/r.最优定期补货策略21Proof。对于θ>Φ（q+r），根据卷积定理，Z∞e-θxW（q，r）y（x）dx=Z∞e-θxW（q+r）（x- y） dx公司1.- rZ公司∞e-θxW（q）（x）dx=e-θyκ（θ）- q- r-Zy公司∧0e-θxW（q+r）（x- y） dx公司κ(θ) - q- rκ（θ）- qθ↓Φ（q+r）-----→e-Φ（q+r）yr。这与（A.8）一起完成了证明。

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2022-6-10 05:26:27

通过这个引理，Fubini定理和（A.2），Z∞e-Φ（q+r）yZ∞-∞h（z）Υ（y，z）dzdy=κ（Φ（q+r））rEZ∞e-（q+r）th（X（t））dt.用（A.7）中的（A.5）替换，γ=g（0）rκ（Φ（q+r））hΦ（q+r）+qq+rκ（Φ（q+r））r-qq+rΦ（q+r）Φ（q）（Φ（q+r）- Φ（q））i- EZ∞e-（q+r）th（X（t））dt+κ（Φ（q+r））Z∞-∞h（y）h（q+r）(-y、 Φ（q））dy。现在替换（A.6）中γ、γ和γ的计算值，简化后，我们得到g（0）=g（0）-rqq+rΦ（q+r）Φ（q）（Φ（q+r）- Φ（q））g（0）κ（Φ（q+r））+κ（Φ（q+r））Z∞-∞h（y）h（q+r）(-y、 Φ（q））dy，因此，求解g（0），我们得到g（0）=q+rqrΦ（q）（Φ（q+r）- Φ（q））Φ（q+r）Z∞-∞h（y）h（q+r）(-y、 Φ（q））dy。根据需要，在（A.5）中用（4.15）代替b=0。附录B.可积性结果引理B.1。考虑g:R→ R满足假设2.2（i）。那么，对于任何b∈ R和θ≥ 0，wehaveRb-∞|g（y）| H（q+r）（b- y、 θ）dy<∞.证据按身份（4.6），Zb-∞|g（y）| H（q+r）（b- y、 θ）dy=Zb-∞|g（y）| Eb-yhe公司-（q+r）τ-+θX（τ-){τ-<∞}田园诗≤Zb公司-∞|g（y）| P(-X（等式+r）>b- y） dy=Zb-∞|g（y）| Z∞b-yP公司(-X（等式+r）∈ dz）dy=Z∞|g（b- u） | Z∞向上(-X（等式+r）∈ dz）du=Z∞P(-X（等式+r）∈ dz）Zz | g（b- u） |杜。这里，如[11]的（3.11）所示（使用假设2.1），我们有E[E-θX（eq+r）]<∞ 对于0<θ<θ。这加上假设2.2（i）中g的多项式增长，意味着上述是有限的。22 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANLemma B.2。修复任何b∈ R、（i）对于任何x≥ b、 supz公司∈[0，x-b] Rb型-∞|f（y）| |Θ（q+r）（z，y- b） | dy<∞. （ii）对于任何x∈ R、 Rb型-∞|f（y）| |Υ（x- b、 y型- b） | dy<∞.证据（i）回顾备注4.1。对于z∈ [0，x- b] ，因为b≤ z+b，由（4.8）和（4.10）中的类似参数组成，Zb-∞|f（y）| |Θ（q+r）（z，y- b） | dy≤Zz+b-∞|f（y）| |Θ（q+r）（z，y- b） | dy=eΦ（q+r）zEbhZτ+z+be-（q+r）t | f（X（t））| dti≤ eΦ（q+r）（x-b） EbhZτ+xe-（q+r）t | f（X（t））| dti，因此我们得到了注释2.1的结果。（ii）固定x<b。然后通过注释4.1（i）和（4.13），我们得到y<b的|Υ（x- b、 y型- b） |=Θ（q+r）（x- b、 y型- b）。

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2022-6-10 05:26:30

亨塞兹布-∞|f（y）| |Υ（x- b、 y型- b） | dy=Zb-∞|f（y）|Θ（q+r）（x）- b、 y型- b） dy=ExhZτ+be-（q+r）t | f（X（t））| dti，由备注2.1确定。另一方面，对于x≥ b、我们注意到，通过应用Fubini定理和（i），Zb-∞|f（y）| Zx-bW（q）（x）- b- z） |Θ（q+r）（z，y- b） | dzdy=Zx-bW（q）（x）- b- z） Zb公司-∞|f（y）| |Θ（q+r）（z，y- b） | dydz≤W（q）（x）- b） supz公司∈[0，x-b] Zb公司-∞|f（y）| |Θ（q+r）（z，y- b） | dy<∞.鉴于（4.13）和（i）中的形式，证明是完整的。附录C.其他证明。引理5.1的证明。对于y<b，因为uW（q，r）u-b（x- （b）u=y-= -W（q+r）0（（x- y） +）+rZxbW（q）（x- z） W（q+r）0（z- y） dz，我们有-zψ（x- b、 z）| z=（y-（b）-减小到（5.2）的右侧。另一方面，我们通过分部积分获得zW（q，r）y-b（z）z=（x-b） +=W（q+r）0（x- y） +）- rW（q）（x）- b） W（q+r）（b）- y）- rZxbW（q）（x）- z） W（q+r）0（z- y） dz。（C.1）使用zZ（q）（z，Φ（q+r））=Φ（q+r）z（q）（z，Φ（q+r））- rW（q）（z）和（C.1）在（4.14）中，我们有zΥ（z，y- b） | z=（x-b） +等于（5.2）的右侧。最优定期补货政策23C。引理5.2的证明。（i）固定y<b∧ x和ε>0。WΦ（q+r）定义见备注4.2（3），（C.2）Θ（q+r）（x- b+ε，y- （b）- Θ（q+r）（x）- b、 y型- b） ε=eΦ（q+r）ε- 1εΘ（q+r）（x- b、 y型- （b）- eΦ（q+r）（x+ε）-y）WΦ（q+r）（x+ε）- y）- WΦ（q+r）（x）- y） ε.这里我们注意到ε7→ （eΦ（q+r）ε-1） /ε在（0，∞), 还有那个RB-∞f（y）| |Θ（q+r）（x）-b、 y型- （b）dy<∞ 引理B.2（i）。如【11】的附录A.1（第1150页）所示，我们有7→ |f（y）| e-Φ（q+r）yWΦ（q+r）（u+ε）- y）- WΦ（q+r）（u- y） ε在ε>0范围内有一个可积函数(-∞, -M）对一些人来说-M<b∧ x、因此，优势收敛xZ公司-M-∞f（y）Θ（q+r）（x- b、 y型- b） dy=limε↓0Z-M-∞f（y）Θ（q+r）（x- b+ε，y- （b）- Θ（q+r）（x）- b、 y型- b） εdy=Z-M-∞f（y）xΘ（q+r）（x- b、 y型- b） dy.（C.3）（ii）固定x>b，并考虑（4.13）中Υ的第二项。我们取δ>0足够小，以便x- b- δ > 0.

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2022-6-10 05:26:33

由Fubini的theoremZ-M-∞f（y）Zx-bW（q）（x）- b- z） Θ（q+r）（z，y）- b） dzdy=Zx-bW（q）（x）- b- z） z-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz。另一方面，根据中值定理和引理B.2（i），对于0<z<x-b-δ和0<ε<ε，W（q）（x）- b- z+ε）- W（q）（x）- b- z） εz-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dy公司≤ supu公司∈[δ，x-b+？ε]W（q）0（u+）supz∈[0，x-b]Z-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dy公司< ∞.这与主导收敛implylimε↓0Zx-b-δW（q）（x- b- z+ε）- W（q）（x）- b- z） εz-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz=Zx-b-δW（q）0（x- b- z） z-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz。24 J.L.P'EREZ、K.YAMAZAKI和A.BENSOUSSANOn，Zx公司-bx公司-b-δW（q）（x- b+ε- z）- W（q）（x）- b- z） εz-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz公司≤supz公司∈[0，x-b] Z-M-∞|f（y）| |Θ（q+r）（z，y- b） | dyZx公司-bx公司-b-δW（q）（x- b+ε- u）- W（q）（x）- b- u） εdu，作为ε消失↓ 0，然后是δ↓ 0，因为l\'Hopital的规则给定了szx-bx公司-b-δW（q）（x- b+ε- z）- W（q）（x）- b- z） εdz=W（q）（ε+δ）- W（q）（δ）- W（q）（ε）ε↓0--→ W（q）（δ）- W（q）（0）。将各部分放在一起，我们得到a：=limε↓0Zx-bW（q）（x）- b+ε- z）- W（q）（x）- b- z） εz-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz=直线度δ↓0limε↓0Zx-b-δW（q）（x- b+ε- z）- W（q）（x）- b- z） εz-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz+limδ↓0limε↓0Zx-bx公司-b-δW（q）（x- b+ε- z）- W（q）（x）- b- z） εz-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz=Zx-bW（q）0（x- b- z） z-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz。另一方面，通过（C.2）映射z 7→R-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dy是连续的，henceA：=limε↓0εZx-b+εx-bW（q）（x）- b+ε- z） z-M-∞f（y）Θ（q+r）（z，y- b） dydz=W（q）（0）Z-M-∞f（y）Θ（q+r）（x- b、 y型- b） dydz。因此（C.4）xZ公司-M-∞f（y）Zx-bW（q）（x）- b- z） Θ（q+r）（z，y）- b） dzdy=A+A=Z-M-∞f（y）xZx公司-bW（q）（x）- b- z） Θ（q+r）（z，y）- b） dzdy。现在，我们通过恒等式（C.3）、（C.4）和（4.13）得出结论。C、 3。引理5.5的证明。

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