部分信息控制的反向SDE

2022-6-10 07:32:24

投资者有一个凹效用函数U（x），通过求解其最优值函数V（t，x）=supπEhU（xπ（t））来找到一个最优πFSt公司∨ {Xπ（t）=X}i，其中上确界接管所有FSt适应的π。这是一个非马尔可夫控制问题，因为最优π（t）将取决于整个历史FSt。尤其是，Y（t）的滤波器是一个非马尔可夫过程，由于最优控制将依赖于该滤波器，因此会导致整个问题是非马尔可夫的。本文分析了这个非马尔可夫问题，特别关注部分信息的影响。作为FSt 只有FSt的投资者被称为部分知情，当然，没有完整的Ft信息是一个劣势。特别是，如果投资者拥有Ft中包含的信息，那么（1）和（2）中的所有过程都会得到遵守，在这种情况下，这证明了她的最佳FSt适应值函数会有所改进。一位在Ftis中观察信息的投资者称其信息完全不完整。部分知情的投资者将计算给定FSt的Y（t）的后验分布，她可以使用后验分布以反馈形式写出她的最优策略，但这种特征是概率度量的函数，这意味着它是有限维输入的函数。功能【Car15】【第2章】和【Bj"o09】【第19章】给出了“反馈表”的定义。有限维输入是解决部分信息投资问题的主要困难：最优控制取决于传统意义上无法区分的测度值状态，因此无法使用汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程解决问题。

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2022-6-10 07:32:27

本文通过使用反向随机微分方程（BSDE）克服了这一困难。在解决部分信息问题时，我们有必要认识到市场是完整的（见[KX91，SH04]），然后解决双重问题。事实上，在某些基本假设（见条件2.1）下，部分信息允许资产价格以完整的市场形式书写，dSi（t）Si（t）=^hi（t）dt+dνi（t），其中^hi（t）=E[hi（Y（t））| FSt]，而νi（t）是由νi（t）=Zt给出的创新dSi（u）Si（u）-^hi（u）du,使σ-1ν（t）是d维FSt适应的布朗运动。市场的完整性导致了相当大的简化，因为有一个唯一的等价鞅测度（EMM）（即，一个等价测度，其中e-rtS（t）是一个局部鞅），使得对偶函数成为一个简单的条件表达式（即，EMM集上的对偶问题的最小值很小，因为该集是一个包含唯一EMM的单子）。由于条件期望可以表示为BSDE的解，因此，对偶值函数就是ABDE的解，由此可以计算出初始值函数和最优策略。与部分知情的投资者相比，完全知情的投资者不需要过滤，因为他观察到了完整的金融时报，因此选择了从有限状态HJB方程中获得的最佳金融时报适应π，并将其写成Xπ（t）和Y（t）的函数。然而，全信息模型仍然是一个不完整的市场模型，因为Y过程不能买卖，因此解决全信息HJB方程有点技术性。当SDE系数满足特定假设时，可以显示该HJB方程解的存在性和规律性（见[Pha02]）。

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2022-6-10 07:32:30

如果它们存在，那么基于HJB的解决方案很方便，但使用BSDE解决完整信息问题仍然很有用，因为它允许从部分信息与BSDE进行比较。投资者对因素延迟的量化是所谓的信息溢价，或部分信息导致的预期效用损失。从部分信息的角度来看，fullinformation是一种改进，即ehvfull（t，x，Y（t））FSti公司≥ V（t，x），x个≥ 0和t型∈ [0，T]，其中Vfull（T，x，y）是完全知情投资者的价值函数。这种不平等符合常识直觉，即更好地了解Y因子的准确值，但有意思的是，这种不平等表明了一个完整的市场投资者如果被允许切换到一个不完整的市场，可以期望得到改善。还应指出，这是一种预期，Vfull（t，x，Y（t））<V（t，x）可能是可能的（参见示例4.3）。信息溢价的量化是本文使用BSDE解决的一个重要问题。1.1文献综述投资组合优化以控制理论为基础，并依赖于对偶性和凹性等概念，这些概念在许多书籍和论文中都有介绍，包括[KS99]和[Rog02]。

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2022-6-10 07:32:33

关于部分信息下的消费组合选择和资产定价的初始工作包括【Gen86】，他提出了一个分离定理：代理先过滤，然后优化；【Det86】部分信息下具有高斯信息结构的经济体的结果，其中卡尔曼滤波器适用；[Bas00、Bas05、DM94]具有多个异构代理的市场结果，这些代理随着金融创新的到来更新其信念；[DF86]显示了部分信息下的均衡利率如何在潜在变量持续性和参数控制推断之间进行权衡；还有[Fel89]，这表明只有当利率是非随机的时，预期假设才成立。在[KX91]中，部分信息投资组合优化问题被简化为一个完整的市场问题，其结果也显示在[BDL10]中。[Bre06、Car09、LP16、WW08]中完成了部分信息和过滤的投资组合优化，但仅适用于线性高斯情况。[Lak98，Pha01]中考虑了鞅和对偶理论的更大通用性和作用。还有大量文献涉及有限状态马尔可夫链之后的部分信息和（未观察到的）状态，如[BR05，SH04]。完整信息问题的线性版本在[KO96]中进行了阐述，并关注了所谓的涅磐案例，其中投资者的预期效用是有限的。前向-后向动力学在投资组合优化中的作用在[DZ91]中通过Malliavan微积分的一种新用途得到了展示。

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2022-6-10 07:32:36

【MS10】中考虑了具有非线性滤波、BSDE和差异定价的部分信息，但假设σ有界-1h，这是本文未做的假设。[CSTV07、CDET13、Car15、EKPQ97、Kob00、PR14、Pha09]中涵盖了反向SDE，包括解的存在性和唯一性的重要结果，[EKR00]和[HIM05]中的BSDE应用于随机控制或效用最大化问题。[MPZ15]中的BSDE也应用于波动性不确定性下的稳健效用最大化。Pen92中考虑了具有随机系数的路径依赖和HJB方程，可以将其与非马尔可夫控制问题中的BSDE进行比较。另一种可能性是使用主方程编写部分信息的有限维程序，类似于[BFY15]；主方程在HJB型方程中使用G’teaux导数，并对值输入进行微分。控制理论的两个重要资源是[FS05]和[Ben92]，用于研究具有部分信息的控制问题。还有[BKS09]，在一篮子商品价格嘈杂的市场中，部分信息控制方法的应用被用于优化，并获得了修正的共同基金定理。最后，Zakai和Kushner-Stratonovich方程的非线性滤波回顾见[Ben92，FL91]，近似的蒙特卡罗方法（即粒子滤波）见[CMR05]。1.2本文的主要结果本文综合了滤波、对偶和BSDE理论的结果，并用它们来解决非线性部分信息最优投资组合问题。由于考虑了（1）中函数h（y）的无界性，本文对BSDEsis的应用具有重要意义。如果h有界，则应用[HIM05，MS10]的结果。

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2022-6-10 07:32:40

his的无边界性引起了人们极大的兴趣，因为它允许投资者以低风险厌恶度进行极端行为，但它在证明BSD解的存在性和唯一性方面引入了一些技术困难；本文提供的证明依赖于部分信息融资问题的某些特定特征。当与完整信息进行比较并量化信息溢价时，也会使用BSDE方法。使用BSDE解决完整信息问题，并使用BSDE系数动态表示informationpremium。信息溢价很重要，因为它提供了信息重要性的定量证据；部分知情的投资者对完全知情的投资者不利。本文的其余部分组织如下：第2节形式化了过滤和控制问题，并介绍了对偶公式；第3节s介绍了当U（x）是一个电力公司时，如何使用BSDES解决问题，并验证了从BSDES获得的解决方案π实际上是最优的，无论是部分信息还是全部信息；第4节通过考虑高斯线性情况的例子提供了见解；第5节给出了一个模拟BSDE的非线性示例。附录A、B和C包含第3.2节过滤和控制的提议和定理的技术证明。在整个过程中，假设h满足Novikov条件2.1（Novikov）。函数h是这样的，即e exp2ZTkh（Y（t））- rkdt公司< ∞ , （5）式中，r=（r，r，…）。

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2022-6-10 07:32:43

，r）∈ Rd，k·k表示欧几里德范数，>0表示边界康斯坦丁（3）。显然（5）支持h有界，但考虑h无界和低风险厌恶将是一件有趣的事（这些想法将在后面的章节中变得更清楚）。2.1过滤在矩阵/向量形式中，观测值由ds（t）S（t）=h（Y（t））dt+σwdW（t）+σydB（t）给出。过滤器定义为适当的测试函数g，即^g（t）=Ehg（Y（t））FSti，对于任何g，支持∈[0，T]Ekg（Y（T））k<∞. 使用^h（t）=E[h（Y（t））| FSt]，过滤理论的一个重要特征是创新过程ν（t）=ZtdS（u）S（u）-^h（u）du, （6）这是一个高斯过程，即ζ（t）=σ-1ν（t）是FSt适应的d维布朗运动。创新过程用于以完整的市场形式重写方程式（1），dS（t）S（t）=^h（t）dt+σdζ（t）。（7）这是一个完整的市场，因为有一个独特的等价鞅测度（EMM），名为dQdP=Z（t），由Dolean Dade分量（根据条件2.1）dQdP给出FSt=Z（t）=exp-Zt公司σ-1（^h（u）- r）杜邦-Zt（σ-1（^h（u）- r）（）dζ（u）. （8） 2.2具有部分信息的最优终端财富控制投资者选择FSt适应策略（π（t））t≤Tand有一个自筹财富过程，如等式（4）所示，可以使用创新过程dXπ（t）Xπ（t）=rdt+dXi=1πi（t）（^hi（t））来编写- r） dt+dXi=1πi（t）dνi（t）。投资者的策略是从A给定的容许集合A中选择的=FSt适应π：[0，T]×Ohm → Rd，s.t.ZTXπ（t）kπ（t）kdt<∞ a、 s。, （9）（见[KK07，KS99]）。对于任意π∈ A财富过程几乎肯定是非负的，这就控制了套利策略的成倍增长。投资者具有效用函数U:R+→ R+为凹形，满足附加条件：条件2.2。

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2022-6-10 07:32:46

效用函数U（x）是连续可微的，对于所有x，U′（x）>0且U′（x）<0≥ 0，并满足Inada条件，limx∞U′（x）=0且limx0U′（x）=∞.本文中使用的效用函数为常数相对风险规避（CRRA），或表示幂效用，U（x）=1- γx1-γ、对于γ>0和γ6=1。投资者寻求最大化贴现财富的预期终端效用，其控制权从（9）中给出的可接受策略类别中选择。这导致投资者找到她的最优值函数V（t，x），该函数形式上写为a，V（t，x）=supπ中的上确界超策略∈AEhU（Xπ（T））FSt公司∨ {Xπ（t）=X}如果所有X>0。通过考虑该问题的对偶形式，可以避免上确界引入的非线性。让V表示双值函数的解（见[Lak98，Rog02，KS99]），V（t，p）=infQ<<PE“U体育课-r（T-t） dQdPFST公司FSt#=E“U体育课-r（T-t） Z（t）Z（t）FSt#，（10）对于所有p>0，其中Q<< P表示whiche下的等价概率测度族-rtS（t）是一个FSt（局部）鞅。很明显，市场的完整性和等式（8）给出的唯一EMM是（10）中下降的原因。

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2022-6-10 07:32:50

双值函数V也是一个非马尔可夫过程，但从第3节可以看出，它可以用BSDE表示，因此可以获得部分信息控制问题解决方案的可处理表示。对于布朗运动驱动的连续过程，V和V之间的一般关系在【Rog02】中讨论，即（t，p）=supx>0（V（t，x）- xp）对于所有p>0。一般V（t，x）≤ infp（V（t，p）+xp），但如果条件2.2成立，且如果V（t，x）<∞对于某些x>0，然后是V和V是共轭（即，它们是彼此的芬切尔-勒让德变换），V（t，x）=infp>0（V（t，p）+xp）对于所有x>0。对于电力公司，一阶条件产生变压器（p） =γ1- γp-1.-γγ，并且（10）中的表达可以被重写为asV（t，p）=U体育课-r（T-t）ξ（t）=γ1- γ体育课-r（T-t）-1.-γγξ（t），（11），其中ξ（t）=Z（t）1-γγEhZ（T）-1.-γγFSti。对于p>0，很明显V如果ξ（t）|<∞ 几乎可以肯定。为确保ξ（t）的完整性，模型参数和风险规避必须允许以下条件：条件2。（1）、（2）中的模型参数和电力公司的风险规避γ如下所示2|γ -1||γ - 2 |γZTk^h（t）kdt< ∞ ,式中，>0是（3）中给出的边界常数，该边界的推导遵循命题A.3。此界限确保| V（t，p）|<∞ 对于所有p∈ (0, ∞).条件2.3适用的h函数集不为空，如以下备注所示。备注1（非线性h满足条件2.3）。通过多次应用Jensen不等式，E exp2|γ -1||γ - 2 |γZTk^h（t）kdt≤TZTE经验2T |γ- 1||γ - 2 |γkh（Y（t））kdt。Inada条件和凹度是完整市场中共轭的主要要求。

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2022-6-10 07:32:53

相比之下，不完全市场中的共轭性需要渐近弹性的附加条件limx→∞xU′（x）/U（x）<1如[KS99]所示。因此，条件2.3适用于任何支持∈[0，T]E经验2T |γ- 1||γ - 2 |γkh（Y（t））kdt<∞ .当然，这包括有界非线性函数。一维中的一个明确例子是Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程，dY（t）=κ（(R)Y- Y（t））dt+apY（t）dB（t），其中κ>0，(R)Y>0，0<a≤ 2’Yκ和h（Y）=√y、条件2.3的有效条件为2t |γ-1||γ-2 |γ<2κa。请注意，此示例没有infy的条件∈Rqaa（y） >0，但这并不构成问题，因为y（t）的SDE对于≤ 2’Yκ。第5节将进一步探讨这个例子。附录A中命题A.3的证明中说明了条件2.3的必要性，从中可以看出E支持∈[0，T]|ξ（T）|≤ E支持∈[0，T]Z（T）Z（T）-21-γγ≤ E经验值2|γ -1||γ - 2|γZT（k^h（t）k+krk）dt< ∞ , （12）在第3节中，重要的是要有E支持∈[0，T]|ξ（T）|<∞ 作为ξ是BSDE解的存在唯一性理论的一部分。此外，将G（t）定义为beG（t）=ξ（t）γ，由于条件2.3，等式（12）中的一致性意味着勒让德变换的共轭性，V（t，x）=infp>0（V（t，p）+xp）=infp>0γ1 - γ体育课-r（T-t）-1.-γγξ（t）+xp= Uxer（T-t）G（t）。（13）方程（13）允许通过求解对偶问题获得最优解，最优V通过芬切尔-勒让德变换V的直接（数值）计算获得. 无论选择何种计算函数，非线性滤波都会导致V和V由于条件中的维数有限，需要专门设计的反向递归算法。

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2022-6-10 07:32:55

更准确地说，对有限维对象和数值方法的条件需要用有限维近似来代替。有时，有方法以有限维形式（例如，使用卡尔曼滤波器[Bre06]或有限维马尔可夫链[BR05]）编写过滤分布，但一般的非线性过滤没有这种形式。在开始下一节之前，必须明确投资者n irvana的概念。[KO96]对涅磐的定义如下：定义2.1（投资者涅磐）。对于无界U，投资者在（t，x）ifV（t，x）=∞. 对于有界U，当V（t，x）=maxxU（x）时，涅盘就实现了。涅盘可以在各种参数状态下出现（见[KO96]），特别是电力公司风险厌恶程度低的投资者可以在线性问题中实现涅盘（见第4节）。在比较部分知情投资者和完全知情投资者的价值函数时，第3.4节将使用定义2.1。在考虑以下情况时，也将使用定义2.1：（t，p）=∞因为可能不清楚是否存在涅盘或二元间隙（即严格的不等式，使得V（t，x）<在fp中>0（V（t，p）+xp）=∞ f或某些x>0）。提案2.1。在部分信息情况下，γ不会出现投资者涅盘∈ （0，1）如果条件2.3成立，并且在给定（5）的γ>1时不会发生。证据对于γ>1，从方程式（11）和（13）可以看出，uxer（T-t）≤ V（t，x）≤ infp（V（t，p）+xp）=Uxer（T-t）ξ（t）γ≤ 0，对于所有x∈ (0, ∞), 表示0≤ ξ（t）≤ 1、从方程式（5）可以得出P输入∈[0，T]log（Z（T）/Z（T））=-∞= 0，因此P（Z（T）/Z（T））-1.-γγ>0 | FSt> 0几乎可以肯定。这意味着ξ（t）=E“Z（T）Z（T）-1.-γγFSt#>0几乎可以肯定。对于γ∈ （0，1）在不违反条件2.3的情况下，可以得出等式（12）成立，因此ξ（t）<∞ 几乎可以肯定∈ [0，T]。

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2022-6-10 07:32:58

高度，V（t，x）≤ infp（V（t，p）+xp）<∞ 对于allx∈ (0, ∞).备注2（其他实用功能）。本文只考虑功率效用函数的问题。然而，对于指数效用，应该有类似于γ>1的电力效用的结果，尽管在使INDA条件和财富过程适应整个实线方面可能存在一些技术困难。Log utility是一个简单的情况，不需要BSDE，因为最佳解决方案是s，意味着myopi c策略（参见[GKSW14，Lak98]）。3使用反向随机微分方程（BSDE）的解部分信息对偶函数V（t，p）可通过求解BSDE得到。SDES的解决方案是在以下函数空间中构造的，Pd=一组d维FSt适应的可测量过程Ohm ×[0，T]oHT（Pd）=y∈ Pds。t、 EZTky（t）kdt<∞ST（Pd）=（y∈ Pd公司∩ C（[0，T]；Rd）s.T.E支持∈[0，T]ky（T）k<∞)S∞T（Pd）=（y∈ Pd公司∩ C（[0，T]；Rd）s.T.支持∈[0，T]ky（T）k<∞ a、 s.）。（14）本节推导了V的BSDE（t，p）由（11）给出，并将给出存在唯一性的条件。3.1部分信息值函数定义鞅（t）=EhZ（t）-1.-γγ0的FSTIF≤ t型≤ 所以ξ（T）=Z（T）1-γγM（t）。条件2.3确保M（t）是平方可积的，EM（t）<EM（t）=EZ（t）-21-γγ< ∞, 并允许M（t）asM（t）=EhZ（t）的唯一表示-1.-γγi+dXi=1ZtM（u）θi（u）dζi（u），0≤ t型≤ T，（15）其中θ（T）是唯一的FSt适应过程，ERTM（u）kθ（u）kdu<∞ （见【BDL10】）。实际上，θ本身是平方可积的，θ∈ HT（Pd）（见附录A中的提案A.1）。

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2022-6-10 07:33:01

（15）中的表示不应与标准鞅表示定理混淆，因为由ζ生成的过滤可能小于FSt。使用（15）的表示，双值函数V（t，p）由ansatz（11）和对（ξ，α）给出∈ 求解BSDE的ST（P）×HT（Pd）。定理3.1。假设条件2.3。V表示中的过程ξ（t）in（11）由唯一对（ξ，α）给出∈ 求解BSDE的ST（P）×HT（Pd），-dξ（t）=β（t，α（t），ξ（t））dt-dXi=1αi（t）dζi（t），（16）ξ（t）=1，其中β（t，α（t），ξ（t））=1- γγdXi=1σ-1（^h（t）- r）iαi（t）+1- γγσ-1（^h（t）- r）ξ（t）=1- γσ-1^h（t）- rγ+α（t）ξ（t）ξ（t）-1.- γ2 |ξ（t）| kα（t）k。在开始定理3.1的证明之前，一些注释是有序的。备注3（16）解的存在性）。应该注意，（16）的解的存在是由于条件2.3，因为它考虑到（15）中的鞅表示，根据θ和^h，ξ（t）=M（0）exp构造了一个解-Ztβ（u，α（u），ξ（u））ξ（u）+α（u）ξ（u）!du+Ztα（u）ξ（u）dζ（u）！（17） α（t）ξ（t）=θ（t）-1.- γγσ-1.^h（t）- r, （18）其中可以检查ξ（t）=Z（t）1-γγM（t）和α（t）是d的差值的差值项Z（t）1-γγM（t）, 因此，从条件2.3可以得出（ξ，α）∈ ST（P）×HT（Pd）。然而，还应该指出，θ不是很容易从鞅表示定理中获得的，而是通过求解BSDE来获得的。另一方面，BSDE在极少数情况下具有显式解，因此应使用数值方法来查找（ξ，α）和θ。备注4（16）解的唯一性）。公式（17）和（18）表明，当条件2.3成立时，方程（16）存在解。如果函数h是有界的，则系数β是一致Lipschitz，唯一性来自现有理论的应用（参见[Car15，EKPQ97，Pha09]）。

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2022-6-10 07:33:04

h无界的证明使用截断参数来证明解是一系列有界问题的唯一极限（见命题a.2和a.3）。备注5。γ接近零时可能违反条件2.3，在这种情况下，公式（17）和（18）不能提供解决方案，可能存在投资者涅盘。从（17）可以看出，就α（t）而言，投资者涅盘m eansP（logξ（t）=∞)= P-Ztβ（u，α（u），ξ（u））ξ（u）+α（u）ξ（u）!du+Ztα（u）ξ（u）dζ（u）=∞!> 0，对于某些t∈ [0，T），这当然不是任何θ的情况∈ HT（Pd）。定理3.1的证明。（15）中的鞅表示用于写出正向SDEdξ（t）=M（t）dZ（t）1-γγ+ Z（t）1-γγdM（t）+dM（t）·dZ（t）1-γγ= Z（t）1-γγM（t）dXi=1-1.- γγσ-1（^h（t）- r）i+θi（t）dζi（t）-1.- γγZ（t）1-γγM（t）dXi=1σ-1（^h（t）- r）iθi（t）dt+（1- γ)(1 - 2γ）γZ（t）1-γγM（t）σ-1（^h（t）- r）dt=-ξ（t）dXi=11.- γγσ-1（^h（t）- r）我- θi（t）|{z}=-αi（t）dζi（t）-1.- γγξ（t）dXi=1σ-1（^h（t）- r）iθi（t）-1.- 2γγσ-1（^h（t）- r）!|{z}=β（t，α（t），ξ（t））dt，这是（16），相应地给出了α（t）和β（t，α，ξ）。如果h是无界的，则方程（16）具有非Lipschitz系数，因此[Car15，EKPQ97，Pha09]中给出的BSDE解的一般理论不包含解的唯一性。相反，唯一性是使用一个迭代参数和（11）中给出的ξ的概率表示来表示的。对于某些正K<∞, 定义截断滤波器，^hK（t）=K^h（t）K^h（t）K，如果K^h（t）K≥ K^h（t），否则，考虑有界BSDE-dξK（t）=βK（t，αK（t），ξK（t））dt-dXi=1αiK（t）dζi（t），（19）ξK（t）=1，其中βKis是来自（16）的相同漂移函数，但用^hK（t）替换无界^h（t）。

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2022-6-10 07:33:07

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2022-6-10 07:33:10

此外，还有过程M（t），Z（t）-1.-γγИξ（t）=Z（t）-1.-γγξ（t）=M（t）。然后从它的引理，dM（t）=M（t）Иα（t）~ξ（t）+1- γγσ-1（^h（t）- r）dζ（t）=M（t）θ（t）dζ（t）=dM（t），但θ是空间HT（Pd）中M（t）的唯一鞅表示（关于任何θ在HT（Pd）中的证明，请参见命题A.1），因此|α（t）=ξ（t）θ（t）-1.- γγσ-1（^h（t）- r）= ξ（t）θ（t）-1.- γγσ-1（^h（t）- r）= α（t），几乎可以肯定所有t∈ [0，T]。3.2部分信息最优策略letπ*表示最优策略。从方程（13）V（t，x）=EhUXπ*（T）FSt公司∨nXπ*（t） =xoi=Uxer（T-t）G（t）和过程V（t，Xπ*（t））是真正的鞅。对于任何策略π∈ A过程V（t，Xπ（t））是一个超鞅，f可以计算SDE，并选择最优策略，使SDE具有零漂移。找到最佳π的方法*产生与[EKR00]和[HIM05]中相同的最优值，并且是用于证明以下结果的方法，即定理3.2。设∑=σ. 最优策略为π*（t） =∑-1^h（t）- rγ+（σ-1)α（t）ξ（t），（20），其中∑-1^h（t）-rγ是所谓的近视策略和（σ-1)由于漂移的随机性，α（t）/ξ（t）是一个动态套期保值成分（见[DRM03，Mer71]）。证据由于power utility的特性，请注意（1- γ） V（t，x）≥ 0表示所有x≥ 0且所有γ>0，γ6=1。对于任意π∈ A V（t，Xπ（t））的SDE isdV（t，Xπ（t））=dU（Xπ（t））er（1-γ）（T-t） ξ（t）γ= V（t，Xπ（t））（1- γ） π（t）（^h（t）- r）-γ(1 - γ） kσπ（t）k+γ（1- γ） π（t）σα（t）ξ（t）-γβ（t，α（t），ξ（t））ξ（t）-γ(γ -1)α（t）ξ（t）!!dt+V（t，Xπ（t））(1 - γ） π（t）σ+γα（t）ξ（t）dζ（t）≤ (1 - γ） γV（t，Xπ（t））supπ（t）π（t）^h（t）- rγ-kσπ（t）k+π（t）σα（t）ξ（t）-1.- γβ（t，α（t），ξ（t））ξ（t）+α（t）ξ（t）!!dt+V（t，Xπ（t））(1 - γ） π（t）σ+γα（t）ξ（t）dζ（t）=V（t，Xπ（t））(1 - γ） π（t）σ+γα（t）ξ（t）dζ（t）。

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2022-6-10 07:33:13

（21）通过使二次型π最大化得到最大化的dt项*（t） =arg maxπ（t）-kσπ（t）k+2σ-1^h（t）- rγ+α（t）ξ（t）！σπ（t）- 2β（t，α（t），ξ（t））（1- γ） ξ（t）-α（t）ξ（t）!, （22）其中一阶条件产生π*（t）如（20）所示。这个最大化器是根据α（t）、filter^h（t）和模型参数编写的，当在π（t）=π时，很容易检查（22）的右侧是否等于零*（t）其中β（t，α（t），ξ（t））由定理3.1给出。因此，V（t，Xπ*（t））是一个超鞅，如果可以证明它是一个真鞅，那么可以证明π*是一种最佳策略（见[BMZ11]）。插入π的表达式（20）*（t）在（21）中，然后使用θ（t）中α（t）的表达式（18），这里有SDEdV（t，Xπ*（t））=V（t，Xπ*（t）（）(1 - γ)π*（t）σ+γα（t）ξ（t）dζ（t）=V（t，Xπ*（t））θ（t）dζ（t），其中θ（t）是（15）中的鞅表示。求解此SDE yieldsV（t，Xπ*（t））=V（0，Xπ*（0）经验-Ztkθ（u）kdu+Ztθ（u）dζ（u）= V（0，Xπ*（0））M（t）M（0），这是真鞅，因为M（t）是真鞅。因此，超高压（T，Xπ*（T））FSt公司∨ {Xπ*（t） =x}i=V（t，xπ*（t））+EZTtV（u，Xπ*（u））θ（u）dζ（u）FSt公司∨ {Xπ*（t） =x}|{z}=0=V（t，Xπ*（t））。这验证了π*是一种最佳策略。3.3“完整信息”下的完整信息价值功能投资是指FTI中的信息可供市场参与者使用；没有隐藏状态，因为（W（u），B（u））u≤t型∈ Ft.在充分信息的情况下，财富过程isdXπ（t）Xπ（t）=rdt+dXi=1πi（t）（hi（Y（t））- r） dt+dXi=1dXj=1πi（t）σijwdWj（t）+dXi=1qXj=1πi（t）σijydBj（t），其中π从全信息策略集合中选择=Ft适应π：[0，T]×Ohm → Rds。t、 ZT公司Xπ（t）kπ（t）kdt<∞ a、 s。. （23）那么最优投资是一个马尔可夫控制问题，Vfull（t，x，y）=supπ∈阿富勒胡（X（T））X（t）=X，Y（t）=yi。（24）提案3.1。

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2022-6-10 07:33:16

给定（5），在γ>1的完整信息情况下，投资者涅盘不可能发生。证据市场是不完整的，但（5）中的Novikov条件意味着一个可能的等价鞅测度是具有Radon-Nikodym导数ee（t）=exp-Zt公司σ-1（h（Y（u））-r）杜邦-Zt（h（Y（u））- r）(σ-1w）dW（u）+（σ-1年）dB（u）,i、 e.最小熵鞅测度。现在，应该很清楚，E（t）可以是非零的，即PE（T）/E（T）>0Y（t）=Y> 0和soEhE（T）γ-1γY（t）=yi>0，由此可知，全信息值函数具有以下对偶界：Vfull（t，x，Y）≤ infp公司EU体育课-r（T-t） E（t）E（t）Y（t）=Y+ xp系统= infpU公司（pe-r（T-t））E“E（T）E（T）γ-1γY（t）=Y#+xp！<0 .因此，定义2.1意义上的涅盘不会发生。全信息值函数满足Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，t+rxx+LVfull+supπxπΣπxVfull+xπ（h（y）- r）xVfull+xπσya（y）x个Vfull= 0（25）V满t=t=U，其中∑=σ, 表示y中的梯度，andL=qXi，j=1aa公司（y）ij公司易yj+qXi=1bi（y）易。如果（25）有经典解，则最优策略以反馈形式写成π*（t，x，y）=-Σ-1（h（y）- r）xVfull（t，x，y）xxVfull（t，x，y）- σya（y）x个Vfull（t，x，y）xxVfull（t，x，y）！。（26）根据[FS05]第III.8章中的定理8.1，如果π*由（26）给出的是一个完全可接受的策略，那么目标在上确界内的严格凹性意味着（25）的经典解将满足验证引理。对于电力公司的情况，方程（25）的解有一个简化的ansatz，Vfull（t，x，y）=Uxer（T-t）Gfull（t，y），（27），表示Gfull满足方程t+LGfull+（1- γ）最大π∈Rdf公司y、 π，Gfull，aG全部= 0（28）Gfullt=t=1，其中，对于任何（y，π，g，η），目标函数f在π中严格凹∈ Rq×Rd×R+×Rq，asf（y，π，g，η）=-γπΣπ + π（h（y）- r）g+πσyη。

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2022-6-10 07:33:19

（29）（29）中的目标可以在一阶条件下最大化，其中最大化器为π*（t，y）=∑-1.h（y）- rγ+σyηγg, （30）从中可以看出，最大化目标为f（y，g，η）=maxπ∈Rdf（y，π，g，η）=g2γ（h（y）- r） +σyηgΣ-1.（h（y）-r） +σyηg≥ 0 . （31）如果方程（28）有经典解，则通过在（g，η）=（Gfull，a）处计算（30）找到最优策略Gfull），π*（t，y）=∑-1h（y）- rγ+γGfull（t，y）σya（y）Gfull（t，y）！，这可以被视为由两个部分组成：一个是由标准默顿问题的最优解给出的短视部分，另一个是由Y（t）中的随机波动激励的动态套期保值项。备注6（其他非线性HJB方程的示例）。金融文献中出现类似（28）的非线性HJB方程的一些例子包括：消费和不可边际收入流的最优投资组合分配[DFSZ97]；[SZ05]中标量Y（t）问题（24）的推广。其他示例包括线性情况（即，h（y）和b（y）线性，y中的a（y）常数），其中（28）的解可以通过a ffne ansatz找到（参见[Ben92，Bre06]）；如果风险厌恶程度较低，这些线性模型可以让投资者获得涅盘（见[KO96]或本文第4节）。方程（28）是一个具有一致椭圆算子的半线性偏微分方程，对于该方程，在相对一般的情况下已证明存在经典解。光滑解的存在性[Pha02]，对于标量情况，如[Zar01]所示，gfull的偏微分方程简化为解到线性偏微分方程的幂变换。具体而言，对于y中的（y）常数，[Pha02]给出了HJB光滑解的充分条件，条件3.1。

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2022-6-10 07:33:22

如果方程式（2）中的扩散矩阵a在y中为常数，则wi thb（y）和h（y）在y中为Cand Lipschitz，kσ-1h（y）k在y中为Cand-Lipschitz，则t中存在一个可微分的函数Д（t，y），y中存在两个可微分的函数，使得gfull（t，y）=exp(-ν（t，y）），即方程（28）存在经典解，且|Д（t，y）|≤ C（1+| y |）适用于所有t∈ [0，T]和所有y∈ Rq。备注7。对于非常数a（y），[Pha02]解释了如何重新参数化y（t）的SDE，以使条件3.1适用，即通过寻找具有φ（y）=a（y）-1i。e、，矩阵a（y）的逆，因此y（t）=φ-1（▄Y（t））wi thd▄Y（t）=▄b（▄Y（t））dt+dB（t），其中▄b（▄Y）=φ（y）b（y）+迹线a（y）φ（y）a（y）y=φ-1（y）。从这里必须检查▄b是Cand Lipschitz。解gfull是值函数gfull（t，y）=1+（1- γ） ×supπ∈AfullE“ZTtfY（u），π（u），Gfull（Y（u）），a（Y（u））Gfull（u，Y（u））杜邦Y（t）=Y#。如【Pha09】第6章第143页所述，Gfull有一个非线性Feynman-Kac表示，其中Gfull（t，Y（t））=χ（t），其中χ（t）表示以下BSDE，-dχ（t）=（1- γ） F（Y（t），χ（t），ψ（t））dt- ψ（t）dB（t），对于t≤ Tχ（T）=1。（32）（32）的解是一对（χ，ψ）∈ ST（Pfull）×HT（Pfullq），Pfullq=一组q维FBt适应的可测量过程Ohm ×[0，T]o，其中，除Pfullq外，标准值与（14）中规定的值相同。给出（32）的解，最优策略为π*（t） =π*（t，Y（t），χ（t），ψ（t））=∑-1.h（Y（t））- rγ+σyψ（t）γχ（t）, （33）类似于（30）中的公式，是一种可接受的策略（即S-可积），因为χ（t）>0 a.S。

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2022-6-10 07:33:24

根据【Pha09】第6章第142页定理6.2.2中解释的比较原则。[Car15，EKPQ97，Pha09]中的一般理论没有涵盖（32）的解的存在性，因为F（t，y，g，p）没有统一的Lipschitz常数，而[Kob00]没有涵盖，因为Fh是一个gterm。然而，可以在Y（t）处计算经典解Gfullto（28），以获得BSDE的解，χ（t）=Gfull（t，Y（t））（34）ψ（t）=a（Y（t））Gfull（t，Y（t）），前提是该溶液为ST（Pfull）×HT（Pfullq）。提案3.2。假设条件3.1。IfE经验2δ|γ - 1||γ - 2 |γZTkh（Y（t））kdt< ∞ , 和EZTkY（t）k2δdt<∞ , T（35）对于某些δ，δ>1，δ+δ=1，则等式（34）给出的对在ST（Pfull）×HT（Pfullq）中，因此是BSDE（32）的解。证据如果条件3.1成立，则log gfull的梯度有一个线性增长界，因此可积性条件ztka（Y（t））Gfull（t，Y（t））kdt≤ CEZT | Gfull（t，Y（t））|（1+kY（t）k）dt≤ CEZT | Gfull（t，Y（t）））| 2δdt1/δEZTk1+Y（t）k2δdt1/δ，（36），其中δ，δ≥ 1，δ+δ=1。从对偶边界full（t，x，y）≤ U（pe-r（T-t））E“E（T）E（T）γ-1γY（t）=Y#+xp，我们有E支持∈[0，T]| Gfull（T，Y（T）））| 2δ<∞ 如果E支持∈[0，T]EE（T）E（T）γ-1γY（t）2δ< ∞, 与命题A.3证明中的步骤相似，因此得出不等式（36）完整性的充分条件是（35）的不等式；因为δ≥ 1根据（35）的f/s等式，可以得出Gfull（t，Y（t）））∈ ST（Pfull）。在文献中，【Pha09】第6.3章中的命题6.3.2表明，如果Gfull（t，y）在y中具有最多的线性增长，并且如果梯度具有多项式增长ka（y）的界限，则等式（34）为inST（Pfull）×HT（Pfullq）Gfull（t，y）k≤ C（1+kykn）对于某些C≥ 0和n≥ 0、提案3.3。

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2022-6-10 07:33:28

如果存在（32）的唯一解，则π*（t） =π*（33）给出的（t，Y（t），χ（t），ψ（t））是U（Xπ*（t））χ（t）满足验证引理，因此π*是最佳策略。证据（见附录B）。如果BSDE（32）存在一个解，那么它是唯一的：定理3.3。如果存在（χ，ψ）∈ ST（Pfull）×HT（Pfullq）是BSDE（32）的一个解决方案，那么它也是唯一的解决方案。证据（见附录C）。备注8。条件3.1、命题3.2、命题3.3和定理3.3促成了BSDE解决方案的广泛存在，以解决完全信息控制问题。第4节和第5节为财务示例提供了经典解决方案的显式公式。备注9（在没有经典解的情况下存在）。（32）的解可以存在，而不存在（28）的经典解。一个解（χ，ψ）与（28）的粘性解相关联，即存在一个确定性函数Gfull，使得χ（t）=Gfull（t，Y（t）），其中Gfull是（28）的粘性解，（见[Pha09]第6.3章中的命题6.3.3）。然而，粘度解的存在可能不足以证明（32）的解的存在，因为（i）gfull必须是平方可积的，（ii）不清楚如何从粘度解构造ψ。此外，如果粘度解是唯一的，则可以确定（32）的解，但当前关于粘度解唯一性的理论要求PDE满足最严格的比较原则，以及一些非线性项F（t，y，g，η）不满足的增长条件【Kob00，Pha09】。

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2022-6-10 07:33:31

最后，应该指出的是，算子L是所谓的退化椭圆，因此（28）的经典解也是粘性解（见[CIL 92]），如果存在正则性，则证明（34）是合适的公式。3.4信息前提是，完整信息似乎比部分信息好，或者至少它不会妨碍投资。这是正确的，但完整信息市场是不完整的，因为Y（t）是不可交易的，并且不能简化为（7）中给出的完整市场。一般来说，当模型不完整时，会增加保费，降低效用。然而，部分信息是一个例外，因为事实证明，部分知情的投资者希望充分信息具有优势。从部分知情投资者的角度来看，信息溢价（即部分信息导致的效用损失）为∏（t，x），EhVfull（t，x，Y（t））-V（t，x）FSti=U（xe-r（T-t））EhGfull（t，Y（t））-G（t）FSti。这类似于[Bre06，Car09]中针对线性高斯问题量化的信息损失，但对于一般非线性情况，使用BSDE进行量化。提案3.4。信息溢价等于∏（t，x）=（1- γ） U（xer（T-t））×E“ZTtF（Y（u），χ（u），ψ（u））- γβ（u，α（u），ξ（u））（1- γ） ξ（t）+α（u）ξ（u）!G（u）{z}≥0!杜邦FSt公司#≥ 0，（37），其中（1- γ） U（x）≥ 所有x的定义为0≥ 0.证明。

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2022-6-10 07:33:34

完全知情的投资者可以选择遵循部分知情的最优策略，因此，EhVfull（t，x，Y（t））FSt公司∨ {Xπ（t）=X}i=E“supπ∈阿富勒胡（Xπ（T））英尺∨ {Xπ（t）=X}iFSt公司∨ {Xπ（t）=X}#≥ Esupπ∈AEhU（Xπ（T））英尺∨ {Xπ（t）=X}iFSt公司∨ {Xπ（t）=X}≥ supπ∈AEhEhU（Xπ（T））英尺∨ {Xπ（t）=X}iFSt公司∨ {Xπ（t）=X}i=V（t，X），（38）对于所有t∈ [0，T]和所有x≥ 0和∏（t，x）≥ 0表示所有x>0和t∈ [0，T）。使用（32）的BSDE和（38）中所示的不等式，信息溢价被写为∏（T，x）=U（xer（T-t））EGfull（t，Y（t））-G（t）| FSt= (1 - γ） U（xer（T-t））×E“ZTtF（Y（u），χ（u），ψ（u））- γβ（u，α（u），ξ（u））（1- γ） ξ（t）+α（u）ξ（u）!|{z}≥0G（u）！杜邦FSt公司#≥ 0，其中（1- γ） U（x）≥ 所有x的定义为0≥ 0，F（Y（t），χ（t），ψ（t））≥ 0表示所有t∈ [0，T]和β（T，α（T），ξ（T））（1- γ） ξ（t）+α（t）ξ（t）=σ-1^h（t）- rγ+α（t）ξ（t）≥ 0根据定理3.1中给出的β（t，α（t），ξ（t））公式。（37）的重要性在于它显示了信息量是如何随时间递增的。或者，可以看看dEGfull（t，Y（t））-G（t）| FSt, 但BSDE提供了不同的视角，因为系数提供了保费增长的细分。在进入下一节之前，应该指出信息溢价是如何确定的或未确定的。明显的下限V（t，x）≥ U（xer（T-t））由π获得≡ 0，并导致上限∏（t，x）≤ Uxer（T-t）EhGfull（t，Y（t））FSti公司- 1..这些界限取决于完整信息价值函数的不确定性，因此投资者对于以非零概率出现的完整信息的涅盘结果是∏（t，x）=∞ 因为V（t，x）<∞ E[Vfull（t，x，Y（t））| FSt]=∞,o ∏（t，x）=∞ - ∞ （未定义）因为V（t，x）=∞ E[Vfull（t，x，Y（t））| FSt]=∞.这两种情况在第4节末尾讨论。

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2022-6-10 07:33:37

还应指出，信息溢价通常为正值，如[FPS15、FPS17、Pap13]中的数字所示。4线性情况考虑h（y）=u+y的线性情况。假设y（t）∈ 这是一个Ornstein-Uhlenbeckprocess过程，只有一种风险资产，所以S（t）∈ R、 SDE为（t）S（t）=（u+Y（t））dt+σp1级- ρdW（t）+ρdB（t）（39）dY（t）=- κY（t）dt+adB（t），（40），其中κ，a，σ>0，ρ∈ (-1、1）和u∈ R是长期平均回报率。财富过程isdXπ（t）Xπ（t）=rdt+π（t）dS（t）S（t）- rdt公司=π（t）（u+Y（t））+r（1- π（t））dt+π（t）σp1级- ρdW（t）+ρdB（t）.为简单起见，取r=u=0。该模型是[Bre06，Car09，WW08]中所考虑模型的标量版本，除了他们通过考虑γ>1的情况来避免涅盘情况。实际上，本节考虑了γ<1，并检查了标量Riccati方程的稳定性，而[Bre06，Car09]中矩阵Riccati方程的稳定性需要进行更为困难的分析。4.1完全知情投资者完全信息的最优投资问题isV（t，x，y）=supπEhU（x（t））X（t）=X，Y（t）=yi，这是H JB方程vt+aVy Y的解V（t，X，Y）- κyVy-（yVx+ρσaVxy）2σVxx=0Vt=t=U，其中最优投资组合为π*= -xyVx+ρσaVxyσVxx。对于电力设施U（x）=1-γx1-γHJB方程的解由ansatzV（t，x，y）=U（x）G（t，y）给出，从而得出G的以下方程：Gt+aGy y- κyGy+1- γγ（yG+ρσaGy）2σG=0Gt=t=1，其中π*=yγσ+ρaGyγσG。我们现在应用另一个ansatz，G（t，y）=expA（t）y+H（t）,其中有普通微分方程a′（t）+2a1 +(1 - γ)ργA（t）- 2.κ -(1 - γ） ρaγσA（t）+1- γ2γσ=0（41）H′（t）+aA（t）=0，（42），终端条件A（t）=0=H（t）适用。

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大多数88

2022-6-10 07:33:40

那么最优控制是π*（t） =yγσ+2ρayA（t）γσ。设A±为多项式2a的根1 +(1-γ)ργA（t）-2.κ -(1-γ） ρaγσA（t）+1-γ2γσ. 从二次方程中，发现这些根为±=κ -(1-γ） ρaγσ±rκ -(1-γ） ρaγσ- 4(1-γ） aγσ1 +(1-γ)ργ4a级1 +(1-γ)ργ, （43）Riccati方程（41）写成asA′（t）=-c（A（t）- A+（A（t）- A.-) , （44）其中c=4a1 +(1-γ)ργ.4.1.1复合根和涅盘策略方程式（43）中给出的根A±为实i ff0≤κ -(1 - γ） ρaγσ-(1 - γ） aγσ1 +(1 - γ)ργ= κ-(1 - γ） aγσ2κρ+aσ. （45）如果根是复杂的，则可能出现不稳定性。了解原因的最佳方法是查看Riccati方程的线性化（41）。让v（t）b为以下线性方程的解，v′\'- 2.κ -(1 - γ） ρaγσv′+（1- γ） aγσ1 +(1 - γ)ργv=0，在适当的终端条件v′（T）=0和v（T）6=0时，Riccati方程（41）的解为A（T）=v′（T）/（2av（T））。对于具有复根的特征方程，解为v（t）=eκ-(1-γ） ρaγσ（T-t）CCO（Ξ（T- t））+Csin（Ξ（t-t）（）,式中，Ξ是虚部Ξ的绝对值=sκ-(1 - γ） aγσ2κρ+aσ,其中常数的选择与终端条件相匹配κ -(1-γ） ρaγσ= C、投资者涅盘之所以出现，可能是因为某些t的v（t）=0∈ [0，T]。如果是这种情况，那么a（t）将在某个特定时间爆炸0≤ t<t。这种不稳定性的一个例子是2κρ+aσ>0，γ趋于零。随着γ常数的增加，κ趋向于零，出现另一种不稳定性∈ (0, 1).4.2部分知情的投资者通过（t）=E[Y（t）| FSt]，创新过程为ν（t）=ZtdS（u）S（u）-（u）du,其中σν（t）是布朗运动。

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