关于重排不变量中律不变凸集的闭性

718

收藏 2022-06-11

英文标题：
《On closedness of law-invariant convex sets in rearrangement invariant
spaces》
---
作者：
Made Tantrawan, Denny H. Leung
---
最新提交年份：
2019
---
英文摘要：
This paper presents relations between several types of closedness of a law-invariant convex set in a rearrangement invariant space $\\mathcal{X}$. In particular, we show that order closedness, $\\sigma(\\mathcal{X},\\mathcal{X}_n^\\sim)$-closedness and $\\sigma(\\mathcal{X},L^\\infty)$-closedness of a law-invariant convex set in $\\mathcal{X}$ are equivalent, where $\\mathcal{X}_n^\\sim$ is the order continuous dual of $\\mathcal{X}$. We also provide some application to proper quasiconvex law-invariant functionals with the Fatou property.
---
中文摘要：
本文给出了在重排不变空间$\\数学{X}中一个律不变凸集的几种闭性之间的关系。特别地，我们证明了$\\mathcal{X}、$\\mathcal{X}、$\\mathcal{X}n ^\\sim）$-闭和$\\sigma（\\mathcal{X}，L ^\\infty）$-闭是等价的，其中$\\mathcal{X}n ^\\sim$是$\\mathcal{X}的顺序连续对偶。我们也给出了具有Fatou性质的拟凸律不变泛函的一些应用。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--
一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Functional Analysis 功能分析
分类描述：Banach spaces, function spaces, real functions, integral transforms, theory of distributions, measure theory
Banach空间，函数空间，实函数，积分变换，分布理论，测度理论
--

---
PDF下载：
-->

On_closedness_of_law-invariant_convex_sets_in_rearrangement_invariant_spaces.pdf
大小:(345.73 KB)

马上下载

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

全部回复

mingdashike22

2022-6-11 00:29:15

关于环变不变空间中律不变凸集的闭性，Made TANTRAWAN和DENNY H.LEUNGAbstract。本文给出了在重排不变空间X中一个律不变凸集的几种闭性之间的关系。特别地，我们证明了阶闭度σ（X，X~n） -闭合度和σ（X，L∞)-X中一个定律不变凸集的闭度是等价的，其中X~是X的连续对偶阶。我们还提供了具有Fatou性质的拟凸律不变量泛函的一些应用。1、引言1.1。出身背景风险测度理论提出的一个重要问题是，Banach函数空间X中的凸集的阶闭性是否保证与σ（X，X）有关的闭性~n） -拓扑结构（[11]）。对这个问题的肯定回答将保证Fenchel-Moreau对偶表示具有FatoupProperty的适当凸泛函（特别是一致风险测度）的准入。众所周知，这个问题对于Lpspaces有一个肯定的答案（关于X=L，请参见[3]）∞). 然而，在一般的Orlicz空间（[5]）中，它可能有一个否定的答案。2018年，Gao等人[4]表明，当假设凸集具有定律不变性时，该问题对于任何Orlicz空间仍然有一个肯定的答案。本文的一个主要结果将其推广到一般重排不变（r.i.）空间，这是一类最大的Banach函数空间，其中定律不变量条件适用。我们的论文组织如下。在第2节中，我们证明了对于r.i.空间X，阶闭度σ（X，X~n） -闭合度和σ（X，L∞)-法律不变量的封闭性日期：2019年12月20日。2010年数学学科分类。46A55、46E30、46A20。关键词和短语。凸集，定律不变，重排不变空间，FatoupProperty。第一作者得到了国立大学研究奖学金的支持。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-11 00:29:18

第二作者部分得到AcRF grant R-146-000-242-114.2 M.TANTRAWAN和D.Leung X中的凸集是等价的。我们还刻画了一个律不变凸集的序闭性和范数闭性等价的情况。在第三节中，我们应用上述结果来获得Fatou性质与其他类型的下半连续性之间的关系，即σ（X，X~n） -下半连续，σ（X，X~uo）-低连续性σ（X，L∞)-下半连续性、范数下半连续性和强Fatou性质。1.2. Banach函数空间和重排不变空间。在本文中，我们总是研究非原子概率空间(Ohm, Σ, u). LetL=L(Ohm, ∑，u）是Ohm. Banach函数空间XoverOhm 是一种理想的借贷方式，有一个完整的规范，例如kfkX≤ kgkxf，g时∈ X和| f |≤ |g |。X中的序列{fn}称为顺序收敛于f∈ X，写为fno-→ f、如果fna。e--→ f和| fn |≤ 对于某些h∈ 十、阶连续对偶X~n（分别为无界阶连续对偶X~uo）of X是X上所有线性泛函的集合，使得→ 0无论何时fno-→ 0（分别为fna.e。--→ 0和{fn}是normbounded）。两个X~nand X~范数对偶X中的uoare理想*共X个。用X表示X的顺序连续部分，即所有f的集合∈ X使得kfχAnkX→ 0每当↓ . 对于任意Banach函数空间X，X~UO是X的顺序连续部分~n（[6，定理2.3]）。Banach函数空间X是阶连续的ifXa=X，或等价的X~n=X*（[10，定理2.4.2]）。顺序continuousdual X~nis等距同构于X的关联空间Xof，即所有g的空间∈ l使关联normkgkX=supZOhmfgdu：kf kX≤ 1.是有限的（[10，定理2.6.4]）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-11 00:29:21

我们将识别X~n具有Banach函数空间X。重排不变（r.i.）空间X是上的Banach函数空间Ohm 这样X 6={0}并且对于每个g∈ 五十、 g级∈ 当g与一些f具有相同的分布时，X和kgkX=kfkx∈ 十、Orlicz空间、Lorentz空间、Marcinkiewicz空间和Orlicz Lorentz空间是r.i.空间的一些示例。对于任意r.i.space X，L∞ 十、 L（[1，推论6.7，第78页]）。自X起~nis是一个r.i.空间（[1，命题4.2，第59页]），我们还有L∞ 十、~n 五十、 r.i.空间中的集E，如果g，则称之为律不变凸集3的XON闭性是律不变的∈ E代表每个g∈ 具有相同分布的X∈ E、关于Banach函数空间和重排不变空间的更多细节，请参考文献[1，9，10]。2、定律不变凸集的闭性在本文的其余部分，我们总是假设X是一个r.i.空间。回想一下如果X的顺序closureEo={f，则X是顺序闭合的∈ X：{fn} E s.t.fno-→ f} 等于E本身。观察任何E X，Ek·kX Eo公司 Eσ（X，X~n） Eσ（X，L∞).因此，每个σ（X，L∞)-闭集为σ（X，X~n） -闭合，每个σ（X，X~n） -闭集同序闭，且每个序闭集都是范数闭的。我们将写出π来表示Ohm 其成员具有非零度量。用σ（π）表示由π生成的有限σ-子代数。对于任何f∈ X，E[f |π]：=E[f |σ（π）]=nXi=1ROhmfχAidu（Ai）χAi∈ L∞,其中π={A，A，…，An}。所有此类π的集合∏由re-nement指导。当X=L时∞, 已知E[f |π]k·k∞--→ f（见[8]和[13]），特别是任何f∈ L∞是{E[f |π]}序列的序极限。最后一个性质也适用于Orlicz空间，即Orlicz空间X中的任何元素f都是{E[f |π]}（[4]）序列的阶极限。到目前为止，还不知道相同的属性是否适用于一般的r.i.空间（见[2]）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-11 00:29:26

然而，以下较弱的属性适用于任何r.i.空间。提案2.1。对于每个f∈ X，存在序列{πn} π和{fn} X设置为0≤ |fn |≤ |f |对于每n，E[f- fn |πn]o-→ f和E[fn |πn]σ（X，X~n）-----→ 在[1]中，假设所有Banach函数空间X都满足以下条件：f∈ X和kfkX=supnkfnkx，只要{fn}是X+上的递增范数有界序列，f是{fn}的点态极限。我们从[1]中引用的结果仍然是正确的，没有假设这种附加条件。4 M.TANTRAWAN和D.LEUNGProof。让f∈ 十、将fn=fχ{| f |>n}设为每n。观察f- fn公司∈ L∞对于每个n，那么我们可以找到πn∈ ∏这样的话- fn |πn]- （f）- fn）k∞≤对于每n，则E[f- fn |πn]- （f）- fn）o-→ 0、自fno起-→ 0，我们得到- fn |πn]o-→ f、对于任何h∈ 五十、用h表示*: [0, ∞) → R h的递减重排，即h*（t） =inf{λ：u（{x∈ Ohm : |h（x）|>λ}）≤ t} ，t≥ 0.根据[1，命题3.7，第57页]，Za（E[fn |πn]）*（t） dt公司≤Za（fn）*（t）任何a的DTA∈ [0, 1]. 让g∈ 十、~n、根据哈代引理（[1，命题3.6，第56页]），我们得到了thatZ（E[fn |πn]）*（t） g级*（t） dt公司≤Z（fn）*（t） g级*（t） dt。自fna以来。e--→ 0和| fn |≤ |f |，我们看到f*不适用。e--→ 0和0≤ f*n≤ f*（请参见属性o和12o[9，第63-67页]）。因为X是一个r.i.空间，Rf*（t） g级*（t） dt<∞.通过Hardy-Littlewood不等式（[1，命题2.2，p.44]）和支配收敛定理，我们得到ZOhmE[fn |πn]gdu≤Z（E[fn |πn]）*（t） g级*（t） dt公司≤Z（fn）*（t） g级*（t） dt公司→ 因此，我们得出结论，E[fn |πn]σ（X，X~n）-----→ 0请注意，以下属性适用于任何r.i.空间X。引理2.2。（1） X=L∞或L∞ Xa。（2） X=L或L∞ 十、~uo。证据第一部分是[2，引理a.2]的直接结果。事实上，如果我∞6. Xa，然后是χOhm/∈ Xaor等效limu（A）→0kχAkX>0。通过[2，引理A.2]，我们得出X=L的结论∞. 对于第二部分，假设∞6. 十、~uo。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-11 00:29:29

我们有关于定律不变凸集的闭性，即χOhm/∈ 十、~uo=（X~n）因此，limu（A）→0kχAkX~n> 0。由[2，引理A.2]，X~n=L∞与规范等效。显然，X 6=L∞. 第一部分，L∞ Xa，因此，（Xa）~n=（Xa）*= 十、~n=L∞by（[1，推论4.2，第23页]）。自（Xa）*抽象M-空间L的等态性∞, XA同构于抽象的L-空间[10，命题1.4.7]。从[12，命题8.2，第113页]可以看出，xa是单调完备的，即supαfα∈ X+中的每一个递增范数有界网{fα}。因此，Xa=（（Xa）~n）~n=Lby【10，定理2.4.22】。SinceL=Xa 十、五十、我们得出结论，X=L。利用命题2.1、引理2.2和[2，命题2]，我们得到了[4，推论4.5]从Orlicz空间类到所有r.i.空间的以下推广。定理2.3。设C是X上的一个凸阶闭律不变集。然后是f∈ Cif且仅当E[f |π]∈ C表示任意π∈ Π.证据我们只需要证明E[f |π]∈ C表示任意π∈ ∏表示f∈ Cas【2，命题2】中已经给出了反向含义。假设thatf∈ X和E[f |π]∈ C表示任意π∈ Π. 如果X=L∞, f是{E[f |π]}序列的阶数极限。由于C是闭序的，我们推导出f∈ C、现在假设X 6=L∞. 引理2.2，L∞ Xa。根据命题2.1，存在序列{πn} π和{fn} X使得0≤ |fn |≤ |f |对于每n，E[f- fn |πn]o-→ f和E[fn |πn]σ（X，X~n）-----→ 0、观察E[fn |πn]∈ L∞ X从X开始~NCA可以与X进行规范识别*a（[1，推论4.2，p.23]），{E[fn |πn]}在X中弱收敛于0，因此在X中弱收敛。用co（E）表示E中元素的所有凸组合的集合。由于{E[fn |πn]}弱收敛到0，我们得到0∈ co（{E[fn |πn）]：n≥ k} ）σ（X，X*)= co（{E[fn |πn）]：n≥ k} ）k·KX每k≥ 1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

能者818

2022-6-11 00:29:31

然后我们可以找到一个严格递增的序列{pk}和hk∈co（{E[fn |πn）]：pk-1<n≤ pk}）（p：=0）使得khkkX≤kfor every k.以下为hko-→ 0、Writehk=pkXn=pk-1+1aknE【fn |πn】6 M.TANTRAWAN和D.Leung，其中0≤ akn公司≤ 1和PKXn=pk-1+1akn=1，自E[f]起，每k=1- fn |πn]o-→ f、 pkXn=pk-1+1aknE[f- fn |πn]o-→ f、因此，pkXn=pk-1+1aknE[f |πn]=pkXn=pk-1+1aknE[f- fn |πn]+ 香港天文台-→ f、 SincePpkn=pk-1+1aknE[f |πn]∈ 对于每一个k和C都是序闭的，我们得出结论f∈ C现在，我们已经证明了本节的主要结果。这个结果推广了文献[4]中的推论4.6。定理2.4。对于凸律不变集C inX，以下是等价的：（1）C是阶闭的。（2） C是σ（X，X~n） -关闭。（3） C是σ（X，L∞)-关闭如果X 6=L，则它们也等效于以下内容：（4）C是σ（X，X~uo）-关闭。证据如本节开头所述，（3）==> (2) ==> （1）总是很好。如果X 6=L，L∞ 十、~uo公司十、~nby引理2.2，因此，（3）==> (4) ==>(2). 因此，足以表明（1）==> (3). 假设C是orderclosed。设f是σ（X，L）中的一个元素∞)-C的闭包。有一个网{fα} Cσ（X，L∞)-收敛到f。观察{E[fα|π]}弱收敛到E[f |π]。实际上，对于一个分区π={a，…，An}∈ ∏和Д∈ 十、*, 我们有ν（E[fα|π]）=ZOhmfαnXi=1Д（χAi）u（Ai）χAidu→ZOhmfnXi=1Д（χAi）u（Ai）χAidu=Д（E[f |π]）。由于C是序闭的，所以它是弱闭的。结合每个E[fα|π]都位于C中的事实（定理2.3），我们得到了E[f |π]∈ C表示所有π∈ π，因此，f∈ C、这证明了C是σ（X，L∞)-关闭关于律不变凸集的闭性，7引理2.2也可以用来刻画律不变凸集的序闭性和范数闭性之间的等价性。定理2.5。以下是等价的：（1）X上的每个范数闭律不变凸集都是序闭的。（2） X=L∞或者X是顺序连续的。证据(1) ==> (2).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-11 00:29:36

假设X 6=L∞X不是顺序连续的。我们将证明X中存在一个非序闭的范数闭律不变凸集。首先，观察Xais定律不变性。要看到这一点，让g∈ X与一些f具有相同的分布∈ Xa。对于每n，fχ{| f|≤n} 和gχ{| g|≤n} 在L中∞它们有相同的分布。接下来就是那个Limn→∞gχ{| g|≤n}X=极限→∞fχ{| f|≤n}X=kfkX=kgkXby Xa的顺序连续性。自L起∞ Xaby引理2.2和Xais范数闭，我们推导出g∈ Xa。因此，Xais定律是不变的。现在，setC=f∈ Xa：ZOhmfdu≥ 0.显然，af+bg∈ 每f，g取C∈ C和a、b≥ 特别地，C是凸的。因为XA是定律不变量，所以C也是定律不变量。现在让f是C的norm闭包中的一个元素。然后有一个序列{fn} 其中范数收敛于tof。自χ起Ohm∈ 十、*,ZOhmfndu-ZOhmfdu≤ kfn公司- fkXkχOhmkX公司*→ 因此，ROhmfdu≥ 由于Xais norm闭合，我们看到f∈ Xa。因此，f∈ C、这表明C是范数闭的。仍需说明C未关闭订单。假设订单已关闭。设g是X和λ中的非负元素≥ROhmgdu。Setfn=λχOhm- gχ{g≤n} 对于每n∈ N和f=λχOhm- g、很明显，fno-→ f、自{fn} L∞ XaandR公司Ohmfndu≥ λ -ROhmgdu≥ 0，我们得到{fn} C，因此，f∈ 通过C的有序闭度，可以得出f∈ 因此，g=λχOhm- f∈ Xa，A冲突。8 M.TANTRAWAN和D.LEUNG（2）==> (1). 如果X=L∞, 那么（1）由[8，备注4.4]和定理2.4成立。如果X是顺序连续的，那么σ（X，X~n）就是X上的弱拓扑。因此，X上的任何范数闭凸都是σ（X，X~n） -关闭，因此订单关闭。3.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-11 00:29:40

具有Fatou性质的拟凸律不变泛函我们称一个泛函ρ：X→ (-∞, ∞] 如果不相同，则为正确∞.如果ρ（λf+（1），则它是凸的（对应于拟凸的- λ） g）≤ λρ（f）+（1- λ） ρ（g）表示任意f，g∈ X和λ∈ [0，1]（分别为子级集{ρ≤ λ} ：={f∈ X：ρ（f）≤ λ} 每个λ的isconvex∈ R）。当f和g具有相同的分布时，如果ρ（f）=ρ（g），则是定律不变的。注意，ρ是定律不变的当且仅当每个子级集{ρ≤ λ} 是定律不变的。如果τ是X上的拓扑，我们说ρ是τ-下半连续的，如果子级集{ρ≤ λ} 对于每个λ是τ-闭合的∈ R、回想一下，如果ρ（f），函数ρ被称为具有Fatou性质≤ lim infnρ（fn）当fno时-→ f、因为Fatou性质等价于{ρ的序闭性≤ λ} 对于每个λ∈ R、定理2.4给出了以下结果，推广了文献[4]中的定理1.1和文献[2]中的命题11。这特别表明，X上任何具有Fatou性质的真凸律不变泛函通过X加入Fenchel-Moreau对偶表示~n、定理3.1。设ρ：X→ (-∞, ∞] 是真拟凸律不变泛函。那么以下是等价的：（1）ρ具有Fatou性质。（2） ρ是σ（X，X~n） -下部半连续。（3） ρ是σ（X，L∞)-下部半连续。如果X 6=L，则它们也等效于以下内容：（4）ρ是σ（X，X~uo）-下半连续。请注意，任何具有Fatou属性的函数都自动为norm lowersemicontinuous，当X为顺序连续时，反之亦然。在[8]中，Jouini等人证明，对于任何适当的凸律，不变泛函ρ：L∞→(-∞, ∞], ρ的范数下半连续性意味着Fatou性质。但是，这可能会在Orlicz空间中失败。事实上，Gao等人。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-11 00:29:43

在[4]中，证明了当且仅当φ满足条件，或等价地，Lφ同序连续。我们将这个结果推广到一般r.i.空间。关于律不变凸集的闭性9定理3.2。设X 6=L∞订单不连续。在X上存在一个适当的范数半连续凸律不变泛函，该泛函不满足fatoupproperty。证据设C为定理2.5中构造的集。定义函数ρ：X→[-∞, ∞] 由ρ（f）=inf{m∈ R：f+mχOhm∈ C} 如果f+mχOhm∈ C代表somem∈ R和ρ（f）=∞ 在别处很明显，ρ是正确的，没有达到值-∞. 由于C是凸的且律不变，ρ是凸的且律不变。观察C {ρ ≤ 0}. 如果ρ（f）<0，则存在m<0，使得f+mχOhm∈ C、自-mχOhm∈ C、我们得到f=f+mχOhm- mχOhm∈ C、如果ρ（f）=0，则f位于C的范数闭包中。由于C是范数闭包，因此f紧随其后∈ C、因此，我们推断C={ρ≤ 0}. 因此，每个子级集{ρ≤ λ} ={f∈ X：ρ（f+λχ）Ohm) ≤ 0}是范数闭合的，因此ρ是范数下半连续的。然而，由于{ρ≤ 0}=C不是顺序闭合，ρ使FatoupProperty失效。在本节结束时，我们提供了Fatou属性与Gao和Xantos[7]介绍的另一种Fatou类型属性之间的关系，即强Fatou属性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-11 00:29:46

如果ρ（f），则称X上的函数ρ具有强Fatouproperty≤ 每当fna时，lim infnρ（fn）。e-→ f和{fn}是范数有界的。显然，任何具有强Fatou属性的函数都具有Fatou属性。当X 6=Lis-an-Orlicz空间时，对于X（[4]）上的任何拟凸律不变泛函，Fatou性质和强Fatou性质都是等价的。当X=L时，凸律不变泛函ρ：X→ (-∞, ∞], 定义为ρ（f）=ZOhmfdu，f∈ 五十、具有Fatou属性，但不具有强Fatou属性（参见[2，示例7]）。在X 6=一阶连续r.i.空间的情况下，Chen等人[2]证明了相同的等价性仍然成立。下面的定理表明，事实上，对于任何r.i.空间X 6=L，都是等价的。定理3.3。设X 6=L。对于任意真拟凸律不变泛函ρ：X→ (-∞, ∞], ρ的Fatou性质与强Fatou性质等价。证据这足以证明任何适当的拟凸律不变泛函ρ：X→ (-∞, ∞] 具有法头属性的有法头属性强。设M.TANTRAWAN和D.LEUNG{fn}是X中的范数有界序列，其收敛于a.e.到f∈ 十、然后fnσ（X，X~uo）-----→ f、因为ρ是σ（X，X~uo）-下半连续（定理3.1），则ρ（f）≤ lim infnρ（fn）。因此，ρ具有很强的Fatou性质。参考文献[1]C.Bennett和R.Sharpley，《算子插值》，学术出版社，波士顿，1988年。[2] 风险度量的强大法头属性S.Chen、N.Gao和F.Xanthos取决于。模型6 (2018), 183–196.[3] F.Delbaen，《一般概率空间上的一致风险度量》，载于：金融和随机学的进展，柏林斯普林格出版社，2002年，第1-37页。[4] N.Gao、D.Leung、C.Munari和F.Xanthos，《一般Orlicz空间上法律不变风险度量的表示和扩展》，金融与随机22（2018），395–415。[5] N.Gao、D.Leung和F。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-11 00:29:49

xantos，Orlicz空间中凸集的闭性及其在风险测度对偶表示中的应用。学习数学。（显示）。[6] -–，《无界阶收敛的对偶性及其应用》，正数22（2018），711–725。[7] N.Gao和F.Xanthos，关于C-性质和w*-《风险度量表示》，数学金融28（2018），748–754。[8] E.Jouini、W.Schachermayer和N.Touzi，法律不变风险度量具有Fatouproperty，Adv.Math。经济。9 (2006), 49-71.[9] S.G.Krein、Y.J.Petunin和E.M.Semenov，《线性算子插值》，Translt。数学Monogr公司。54、美国。数学Soc。，普罗维登斯，1982年。[10] P.Meyer Nieberg，Banach Lattices，Universitext，Springer，柏林，1991年。[11] K.Owari，单调凸函数的最大Lebesgue扩张，J.Func。肛门。266(2014), 3572–3611.[12] H.H.Schaefer，Banach格和正算子，柏林斯普林格，1974年。[13] G.Svindland，L上不变（拟）凸风险函数的连续性性质∞,数学财务部。经济。3 (2010), 39-43.a新加坡国立大学数学系，b新加坡数学系，印尼加贾马达大学数学与自然科学学院55281E邮箱：made。tantrawan@ugm.ac.idDepartment新加坡国立大学数学系，邮编：119076电子邮件地址：matlhh@nus.edu.sg

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

分享

扫码加好友，拉您进群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群