猫爪 发表于 2009-10-27 01:20 b 偏好的凸性是一个非常“苛刻”的假设：必须建立于众多假设的基础之上，例如连续性，非饱和性，且不能从经验中获得完全的支持。

sungmoo 发表于 2009-10-27 18:59

猫爪 发表于 2009-10-27 01:20 b 偏好的凸性是一个非常“苛刻”的假设：必须建立于众多假设的基础之上，例如连续性，非饱和性，且不能从经验中获得完全的支持。

凸性，不必要求连续性与局部非饱和性。

判断连续性的前提是给出关于消费集的拓扑。

若R+n上的所有点对消费者而言无差异，则消费者的偏好不是“局部非饱和的”，但该偏好是凸的。

凸偏好的前提是，消费集是凸集。

猫爪 发表于 2009-10-27 19:41 如果没有连续性作为凸性的基础，上等值集不可能是凸集

猫爪 发表于 2009-10-27 19:41 覆盖整个空间的无差异的偏好，确实是一个凸的“关系”，但这不就等于说，这个偏好没有上等值集了吗？

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 有理数集也是凸集

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 无理数集和复数集，应该也是凸集

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 根据凸集的定义，似乎凸集可以是无界开集，但是我想象不出这个直观的形态，大家自己找找感觉就行了

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 R2（二维空间）上，例子就有趣多了，比如，圆饼是凸集，圆不是；每个正多边形（含内部）都是凸集，等等。。。

猫爪 发表于 2009-10-27 01:20

c 函数的凸凹性只能是全局的（当然可以通过分割一个非凸非凹函数的定义域来做到“先凸后凹”，但那就是两个函数了），在经济学的结构这本书上的2.2，有函数在某点上“向下凹，简称凹”的说法，不过很怀疑翻译者在这里没有很好体会作者试图“用一个附录中有精确概念来分析一个直观形式”的思路，反而造成了一定的混淆。

d 拟凸拟凹同样是全局的，虽然一个函数可以是既拟凸又拟凹的，但不能说，它是“先拟凸后拟凹”。

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 通俗的讲，某个集合中的任意两点之间的连线，都在这一个集合之内，那么这一个集合就是凸集了

sungmoo 发表于 2009-10-27 22:45

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 有理数集也是凸集

凸集是连通的。有理数集在实数轴上是不连通的，不是凸集。

x与y都是有理数，若t∈[0, 1]，tx+(1-t)y未必是有理数。

sungmoo 发表于 2009-10-27 22:57

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 无理数集和复数集，应该也是凸集

无理数集在实数轴上也不是连通的。

x与y都是无理数，若t∈[0, 1]，tx+(1-t)y未必是无理数。

猫爪 发表于 2009-10-27 23:25 有理数在t为有理数的条件下，对四则运算来说，应该是封闭而稠密的集合吧。不过，无理数确实不是封闭的，因为对称的无理数可以落到有理数的集合中，这样就形成了“空洞”。所以应该说有理数为凸集，无理数为非凸集，总起来的实数集也是凸集。

sungmoo 发表于 2009-10-27 23:31

猫爪 发表于 2009-10-27 23:25 有理数在t为有理数的条件下，对四则运算来说，应该是封闭而稠密的集合吧。不过，无理数确实不是封闭的，因为对称的无理数可以落到有理数的集合中，这样就形成了“空洞”。所以应该说有理数为凸集，无理数为非凸集，总起来的实数集也是凸集。

前面说了“在实数轴上”（当有理数集作为实数集的子集时）。

“两点间的线段”这种提法，应该默认了在实数集（实数轴）上讨论。

猫爪 发表于 2009-10-27 23:40 但无论如何计算，tx+（1-t）y，不会落到有理数这个子集以外的地方吧。

sungmoo 发表于 2009-10-27 23:45

猫爪 发表于 2009-10-27 23:40 但无论如何计算，tx+（1-t）y，不会落到有理数这个子集以外的地方吧。

x=2, y=4, t=2^0.5

两个互异的有理数中间不可以有无理数吗？

（以两个互异的有理点为端点的线段上没有无理点吗？）

sungmoo 发表于 2009-10-27 23:05

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 根据凸集的定义，似乎凸集可以是无界开集，但是我想象不出这个直观的形态，大家自己找找感觉就行了

对于欧氏空间，有界闭集即紧集。

Rn中完全可能想像紧凸集。

猫爪 发表于 2009-10-27 01:25 R2（二维空间）上，例子就有趣多了，比如，圆饼是凸集，圆不是；每个正多边形（含内部）都是凸集，等等。。。

这些都是紧凸集的直观例子。

凸集的定义与开集或闭集无关。