Doob分解定理的推广

2022-5-10 15:04:36

现代随机：理论与应用0（0000）0–0DOI：Doob分解定理的推广。尼古拉斯·冈查拉，*阿博戈柳波夫NAS理论物理研究所，基辅，Ukrainemhonchar@i.ua（N.Gonchar）摘要在本文中，我们引入了与等价测度凸集相关的局部正则上鞅的概念，并证明了它在离散情况下是一个可选的Doobdecomposition。这个定理是著名的关于相对于等价测度凸集的超鞅分解的推广。关键词随机过程，等价测度凸集，任意组合，正则上鞅，鞅。2010 MSC 60G07，60G421简介。在本文中，我们将关于一个测度的超鞅的Doob分解推广到了关于一个等价测度凸集的超鞅的情形。对于与连续时间的一个测度有关的超鞅，Doob的结果在文献[12,13]中得到了推广。首先，我们证明了辅助陈述，给出了极大链中极大元素存在的充分条件，以及非零非递减过程存在的充分条件，使得一个上鞅与这个过程的和相对于主要定理所需的一组等价测度的凸集，再次是一个上鞅。在定理2中，我们给出了特例的可选Doob分解存在的充分条件*通讯作者。预印本提交给VTeX/Modern Stochastics:Theory and Applications<2018年9月5日>www.i-journals。org/vmsta2 N.Goncharas这组测度由一组等价测度组成，其上下边界为氡-尼克松导数。然后，我们引入正则上鞅的概念。定理3描述了正则上鞅。

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2022-5-10 15:04:39

在定理4中，我们给出了上鞅正则性的必要条件和充分条件。Theorem5描述了正则上鞅的非递减过程的结构。然后我们介绍了局部正则上鞅相对于等价测度的凸集的概念。最后，我们证明了定理6，即如果超鞅的可选分解是有效的，那么它是局部正则的。从本质上讲，定理6和7给出了上鞅局部正则性的充分必要条件。然后，我们证明了描述局部正则超鞅所需的辅助语句。定理8给出了一类特殊的非负超鞅为低正则超鞅的必要条件和充分条件。在定理9和定理10中，我们描述了一类广泛的局部正则律。在这些定理的基础上，我们引入了一类局部正则上鞅，并证明了定理11，给出了非负一致可积上鞅属于这类的充分必要条件。利用所得结果，我们给出了构造局部正则超鞅的例子。最后，我们还证明了构造局部正则超马氏体的可能性。对于不完全市场[6]、[7]、[8]、[9]的风险评估，超级马丁格尔的可选配置起着基础性作用。本文所考虑的问题是对数学金融中出现的相应问题的推广，即超鞅的可选分解，它与不完全金融市场上超边缘策略的构造有关。首先，ElKaroui N.和Quenez M.C.[2]为扩散过程开启了超级马丁格尔的可选分解。之后，克拉姆科夫。O。

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能者818

2022-5-10 15:04:43

[11] [5]证明了非负有界上鞅的可选分解。Folmer H.和Kabanov Yu。M[3]，[4]证明了任意超鞅的类似结果。最近，Bouchard B.和Nutz M[1]考虑了一类离散模型，并证明了可选分解有效性的必要条件和充分条件。我们对这个问题的描述不同于上述描述，它更一般：给出了与等价测度凸集相关的上鞅，并且有必要在存在可选分解的情况下找到上鞅和测度集的条件。我们对这个问题的陈述的一般性是，我们不要求所考虑的测度集是由随机过程生成的，这是一个局部鞅，正如文献[1,2,11,4]中所做的那样，这对于证明这些文献中的可选分解很重要。2.离散情况。我们假设在可测空间上{Ohm, F} 过滤Fm Fm+1F、 m=0，∞, 给出了F上的一系列测度M。此外，我们假设F={, Ohm}. 一个随机过程ψ={ψm}∞m=0被认为是相对于过滤{Fm}的样本文档3改编的∞m=0如果ψ为所有m=0的不可测随机值，∞.定义1。自适应随机过程f={fm}∞m=0被认为是相对于过滤Fm的一个可分割变量，m=0，∞, 以及度量族M if EP | fm |∞, m=1，∞, P∈ M、以及不平等≤ fk，0≤ K≤ m、 m=1，∞, P∈ M、（1）有效。我们认为过滤比n Fm，m=0，∞, 这是固定的。

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kedemingshi

2022-5-10 15:04:47

此外，对于超鞅f，我们使用{fm，fm}∞m=0，表示{fm}∞m=0。在下面的几个定理中，我们考虑了满足条件的等价测度的凸集：任意测度Q的Radon–Nicody m导数∈ 关于任何测度Q∈ 满足不平等0<1≤dQdQ≤ L<∞, Q、 Q∈ M、（2）其中实数l，l不依赖于Q，Q∈ M.定理1。让{fm，fm}∞m=0是关于满足条件（2）的等价测度m的凸集的上鞅。如果为了某种程度∈ 存在一个自然数1≤ m<∞, 和Fm-1测量非负性随机值μm，P（μm>0）>0，使得不等式Fm-1.- EP{fm | fm-1} ≥ νm，有效，则为Fm-1.- 等式{fm | fm-1} ≥l1+L~nm，Q∈ Mε，其中Mε={Q∈ M、 Q=（1）- α） P+αP，0≤ α ≤ ε，P∈ M} ，P∈ M、 ε=L1+L.证明。让B∈ 调频-1和Q=（1）- α） P+αP，P∈ M、 0<α<1。ThenZB[fm-1.- 等式{fm | fm-1} ]dQ=ZBEQ{[fm-1.- fm]| fm-1} dQ=ZB[fm-1.- fm]dQ=4 N.贡查尔（1）- α） ZB[fm-1.- fm]dP+αZB[fm-1.- fm]dP=（1）- α） ZB[fm-1.- EP{fm | fm-1} ]dP+αZB[fm-1.- EP{fm | fm-1} ]dP≥(1 - α） ZB[fm-1.- EP{fm | fm-1} [dP=（1）- α） ZB[fm-1.- EP{fm | fm-1} ]dPdQdQ≥(1 - α） lZBmdQ≥ (1 - ε）lZB~nmdQ=l1+lZB~nmdQ。B的任意性∈ 调频-1改善所需的不平等。引理1。任何超级马丁格尔{fm，fm}∞m=0相对于一系列测量值m而言，这些测量值的EPfm=f，m=1，∞, P∈ M、是amartingale关于这一系列的米苏尔和过滤Fm，M=1，∞.证据引理1的证明见[10]。备注1。如果引理1的条件有效，则有hold等式ep{fm | Fk}=Fk，0≤ K≤ m、 m=1，∞, P∈ M.（3）设f={fm，fm}∞m=0是相对于等价测度m和过滤Fm的凸集m=0的超鞅，∞.

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2022-5-10 15:04:51

让G b e是一组适应的非递减过程G={gm}∞m=0，g=0，这样f+g={fm+gm}∞m=0是一个关于度量值m和过滤Fm系列的超级鞅，m=0，∞.引入偏序在一组适应的非递减过程中，例如样本文件5定义2。我们说一个适应的非递减过程g={gm}∞m=0，g=0，g∈ G、不执行适应的非递减过程G={gm}∞m=0，g=0，g∈ G、如果P（gm- 转基因的≥ 0=1，m=1，∞. 这个偏序由g g、对于每个非负适应的非递减过程g={gm}∞m=0∈ 存在极限极限极限→∞我们用g来表示∞.引理2。设G是G中的一个最大链，对于某个Q∈ 我是supg∈~GEQg=αQ<∞. 然后存在一个序列gs={gsm}∞m=0∈~G，s=1，2。。。，诸如此类∈~GEQg=sups≥1eqg，其中eqg=∞Xm=0EQgmm，g∈ G.证据。设0<εs<αQ，s=1，∞, 是满足条件εs>εs+1，εs的实数序列→ 0，作为s→ ∞. 当存在元素gs时∈那么αQ- εs<EQgs≤ αQ，s=1，∞. 序列∈~G，s=1，∞,满足引理2条件。引理3。如果一个超鞅{fm，fm}∞m=0相对于等价测度的凸集m是| fm |≤ ψ，m=0，∞, 等式η<T<∞, Q∈ M、（4）其中实数T不依赖于Q∈ M、然后每个最大链G G包含一个极大元。证据设g={gm}∞m=0属于G，则等于（fm+~n+gm）≤ f+T，m=1，∞, Q∈ M然后是fm+~n≥ 0，m=1，∞, YieldQGM≤ f+T，m=1，∞, {gm}∞m=0∈ G.为一个确定的问题而介绍∈ M是g={gm}的一个期望∞m=0∈ 格格=∞Xm=0EQgmm，g∈ G.让G G是某个极大链。因此，我们有不平等∈~GEQg=αQ≤ f+T<∞,6 N.贡沙尔Q∈ M并且是固定的。由于外稃2，谢谢∈~GEQg=sups≥1EQgs。由于G元素的线性排序，max1≤s≤kgs=gs（k），1≤ s（k）≤ k、其中s（k）是集合{1，2。

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可人4

2022-5-10 15:04:54

，k}上的考虑最大值，即1≤ s（k）≤ k、此外，gs（k） gs（k+1）。很明显，max1≤s≤kEQgs=EQgs（k）。所以，我们得到了支持≥1EQgs=limk→∞max1≤s≤kEQgs=limk→∞EQgs（k）=EQlimk→∞gs（k）=EQg，其中g=limk→∞由于gs（k）的单调性，存在。因此，大家好≥1EQgs=EQg=αQ.证明g={gm}∞m=0是G中的一个最大元素。很明显，G延伸到G。对于每个元素G={gm}∞m=0∈两种情况是可能的：1）k使得g gs（k.2）k gs（k） g、在第一种情况下，g g、在第二个从2）我们有g g、在sametimeEQgs（k）≤ EQg。（5）通过达到（5）中的极限，我们得到≤ EQg。（6）（6）中的严格不等式是不可能的，因为EQg=supg∈~GEQg。因此，EQg=EQg。（7）不平等性 g和等式（7）意味着g=g。一个样本文档7M是一个等价概率测度的凸集{Ohm, F} 。引入M度量| Q- Q |=supA∈F | Q（A）- Q（A）|，Q，Q∈ 引理4。让{fm，fm}∞m=0是相对于满足条件（2）的等价测度的紧凸集的上鞅。如果对于每一组测度{P，P，…，Ps}，s<∞, 圆周率∈ M、 i=1，s，存在一个自然数1≤ m<∞, 根据这一系列的衡量标准-1测量非负性随机变量sm，P(sm>0）>0，满足条件Fm-1.- EPi{fm | fm-1} ≥ sm，i=1，s，（8）然后在递减过程G={gm}∞m=0，g=0，其中{fm+gm}∞m=0是与包含非零元素的度量集m相对的素数。证据

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2022-5-10 15:04:58

任何一点P∈ 让我们定义一组度量标准，ε={Q∈ M、 Q=（1）- α） P+αP，P∈ M、 0≤ α ≤ ε}，（9）ε=L1+L.证明被测物s MP，ε的se t包含一个正半径的球，也就是说，存在一个实数ρ>0，使得MP，ε C（P，ρ），其中C（P，ρ）={P∈ M、 |P- P |<ρ}。设C（P，ρ）={P∈ M、 |P- P |<ρ}是一个以M为单位的开放球，中心位于点Pof a半径0<ρ<1处。把集合M的一个映射看作是由以下定律给出的：f（P）=（1）- ε）P+εP，P∈ 映射f（P）映射一个开球C（P′，δ）={P∈ M、 |P′- P |<δ}中心在ra-diusδ>0的点P′变成中心在点（1）的开放球- r半径εδ的ε）P+εP′，自|（1）- ε）P+εP′- (1 - ε）P- εP |=εP′- P |<εδ。因此，一个openset M的图像 M是开集f（M） M、因此f（P）是一个开放映射。Sincef（P）=P，那么球的图像C（P，*ρ）={P∈ M、 |P- P |<ρ}是一个球C（P，\'ερρ）={P∈ M、 |P- P |<ερ}，它包含在f（M）中。因此，夹杂物MP，\'-ε f（M） C（P，¨ε¨ρ）是有效的。让我们把ερ=ρ。然后我们有MP，ε C（P，ρ），其中C（P，ρ）={P∈ M、 |P- P |<ρ}。考虑一个开放的封面∈紧集M的MC（P，ρ）。由于M的紧性，存在一个有限子覆盖M=v[i=1C（Pi，ρ）（10），其中心位于Pi点∈ M、 i=1，v，a覆盖集MPi，εC（Pi，ρ），i=1，v，M=v[i=1MPi，\'-ε（11）8n.考虑度量值Pi的集合∈ M、从引理4的条件来看，存在一个自然数1≤ m<∞, 取决于一组测量值Pi∈ M、 i=1，v，Fm-1可测非负随机变量vm，P(vm>0）>0，例如-1.- EPi{fm | fm-1} ≥ vm，i=1，v.（12）由于定理1，我们有fM-1.- 等式{fm | fm-1} ≥l1+Lvm=νvm，Q∈ M.（13）最后一个不等式-1 | Fs}- EQ{fm | Fs}≥ 等式{~nvm|Fs}，Q∈ M、 s<M.（14）但EQ{fm-1 | Fs}≤ fs，s<m。

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2022-5-10 15:05:02

因此，财政司司长- EQ{fm | Fs}≥ 等式{~nvm|Fs}，Q∈ M、 s<M.（15）Sincefm- 等式{fm | fm}≥ 0，Q∈ M、 M≥ m、（16）我们有eq{fm|Fs}- EQ{fm | Fs}≥ 0，Q∈ M、 s<M，M≥ m、（17）在（15）中加上（17），我们得到- EQ{fm | Fs}≥ 等式{~nvm|Fs}，Q∈ M、 s<M，M≥ m、（18）ORF- EQ{fm | Fs}≥ 等式{~nvm|Fs}χ[m，∞)（m）- νvmχ[m，∞)（s），（19）Q∈ M、 s≤ m、 m≥ m、引入一个自适应的非递减过程gm={gmm}∞m=0，gmm=~nvmχ[m，∞)（m），其中χ[m，∞)（m）是集合[m]的指示函数，∞). 然后（19）意味着eq{fm+gmm|Fk}≤ fk+gmk，0≤ K≤ m、 Q∈ M.一个样本文档9在定理2中，一个等价度量的凸集M={Q，Q=nXi=1αiPi，αi≥ 0，i=1，n，nXi=1αi=1}（20）满足条件0<1≤民主党≤ L<∞, i、 j=1，n，（21），其中l，l是实数。用G表示所有适应的非递减过程的集合e s G={gm}∞m=0，g=0，这样{fm+gm}∞m=0是相对于m中所有度量的超鞅。定理2。让一个超级艺术家{fm，fm}∞m=0相对于度量集（20）满足条件（4），且存在一个自然数1≤m<∞, 和Fm-1可测量的非负随机值φnm，P（φnm>0）>0，如Fm-1.- EPi{fm | fm-1} ≥ νnm，i=1，n.（22）如果对于最大imal元素g={gm}∞在某个最大链G中m=0 g等式epi（f∞+ G∞) = f、圆周率∈ M、 i=1，n，（23）有效，其中f∞= 林姆→∞fm，g∞= 林姆→∞gm，然后有hold等式ep{fm+gm |Fk}=Fk+gk，0≤ K≤ m、 m=1，∞, P∈ M.（24）证据。在引入的度量拓扑中，se t M是紧的。从不等式（22）和公式eq{fm |fm-1} =nPi=1αiEP{~ni|Fm-1} EPi{fm | fm-1} nPi=1αiEP{~ni|Fm-1} ，Q∈ M、（25）式中φi=dPidP，我们得到Fm-1.- 等式{fm | fm-1} ≥ νnm，Q∈ 不平等导致不平等≤dQdP≤ nL，P，Q∈ M.（27）不等式（26）和（27）意味着L e mma 4的条件对于任何一组度量Q，Qs∈ 因此，集合G包含10 N.Goncharnonzero元素。

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2022-5-10 15:05:06

让我们来看看 G是G中满足REM2条件的最大链。用g={gm}表示∞m=0，g=0，g中的最大元素定理2和引理3得出{fm}∞m=0和{gm}∞m=0与m的每一个度量值都是统一的，因此m是有限的→∞fm=f∞, 林姆→∞gm=g∞概率为1。由于定理e m2条件，在这个最大imal chainEPi（f∞+ G∞) = f、圆周率∈ M、 i=1，n.自{fm+gm}∞m=0是一个关于m、Wehavepi（fm+gm）的所有度量的超级鞅≤ EPi（fk+gk）≤ f、 k<m，m=1，∞, 圆周率∈ M.（28）通过传递到（28）中的极限，作为M→ ∞, 我们得到f=EPi（f∞+ G∞) ≤ EPi（fk+gk）≤ f、 k=1，∞, 圆周率∈ M.（29）So，EPi（fk+gk）=f，k=1，∞, 圆周率∈ M、考虑到备注1，我们有epi{fm+gm | Fk}=Fk+gk，0≤ K≤ m、 m=1，∞, 圆周率∈ M、因此，EP{fm+gm | Fk}=nPi=1αiEP{|i | Fk}EPi{fm+gm | Fk}nPi=1αiEP{|i | Fk}=Fk+gk，0≤ K≤ m、 P∈ M、（31）式中φi=dPidP，i=1，n.定理2得到证明。设M是等价测度的凸集。下面是一组适应的非递减过程{gm}∞m=0，g=0，其中{fm+gm}∞m=0是相对于^Ms={Q，Q=sXi=1γi^Pi，γi的所有度量值的一个参数≥ 0，i=1，s，sXi=1γi=1}，（32）式中^P，^Ps∈ M并满足条件0<l≤d^Pid^Pj≤ L<∞, i、 j=1，s，（33）l，l是实数，取决于测度集^P，^Ps∈ M.样本文件11定义3。让一个超级艺术家{fm，fm}∞相对于等价测度m的凸s集，m=0满足条件（4）。如果满足条件的每一组测度都存在一个自然数1，我们称之为正则测度≤m<∞, 和Fm-1可测量的非负随机值^sm，^P（^sm>0）>0，使得不等式Fm-1.- E^Pi{fm |fm-1} ≥ 对于最大元素gs={gsm}∞在某个最大链中m=0 等式e^Pi{fm+gsm |Fk}=Fk+gsk，0≤ K≤ m、 i=1，s，m=1，∞, （34）是有效的。

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2022-5-10 15:05:11

此外，还存在一个ada-pted非负过程`g={`gm}∞m=0，\'g=0，EP\'gm<∞, m=1，∞, P∈ M、不取决于一组测量值^P，^Pssuch that^Pi{gsm- gsm-1 | Fm-1} =E^Pi{gm|Fm-1} ，m=1，∞, i=1，s.（35）下一个定理描述正则超鞅。定理3。让{fm，fm}∞m=0是相对于等价测度m的凸集的正则上鞅。然后对于最大元素g={gm}∞在某个最大链G中m=0 G等式ep（fm+gm）=f，m=1，∞, P∈ M、是有效的。存在一个鞅{Mm，Fm}∞m=0相对于测量系列m，使得Fm=Mm- gm，m=1，∞.此外，对于鞅{Mm，Fm}∞m=0表示法\'Mm=EP{f∞+ G∞|Fm}，m=1，∞, P∈ M、保持，其中f∞+ G∞= 林姆→∞（fm+gm）。证据对于任何有限的测量集，Pn，Pi∈ M、 i=1，n，让我们考虑两组度量n={P，P=nXi=1αiPi，αi≥ 0，i=1，n，nXi=1αi=1}，~Mn={P，P=nXi=1αiPi，αi>0，i=1，n，nXi=1αi=1}，^pse可以是Mn中度量的某个子集。对于每一个衡量标准^Pi∈~mn表示^Pi=nPk=1αikpki是有效的，其中αik>0，i=1，s，k=1，n。表示^Pi，i=1，s意味着不等式0<l=mini，jminkαikmaxkαjk的有效性≤d^Pid^Pj≤ maxi，jmaxkαikminkαjk=L<∞, i、 j=1，s.用一组适应的非递减过程{gm}∞m=0，g=0，其中{fm+gm}∞m=0是相对于^Ms={Q，Q=sXi=1γi^Pi，γi的所有度量的超鞅≥ 0，i=1，s，sXi=1γi=1}。根据正规供应链的定义，存在一个自然数1≤ m<∞, 和Fm-1可测量的非负随机值^sm，^P（^sm>0）>0，使得其中的不等式成立-1.- E^Pi{fm |fm-1} ≥ νsm，i=1，s，对于最大元素gs={gsm}∞在某个最大链中m=0 他们保持相等（34），（35）。

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2022-5-10 15:05:15

等式（35）产生等式eq{gsm- gsm-1 | Fm-1} =sPi=1γiE^P{^|i|Fm-1} E^Pi{gsm- gsm-1 | Fm-1} sPi=1γiE^P{^~ni|Fm-1} =sPi=1γiE^P{^|i|Fm-1} E^Pi{gm|Fm-1} sPi=1γiE^P{^~ni|Fm-1} =EQ{gm|Fm-1} ，（36）m=1，∞, Q∈其中i=d^Pid^P，i=1，n.考虑等式（34），我们得到eq{fm+gsm|fm-1} =sPi=1γiE^P{^|i|Fm-1} E^Pi{fm+gsm|fm-1} sPi=1γiE^P{^~ni|Fm-1} =样本文档13fm-1+gsm-1，m=1，∞, Q∈^Ms.（37）因此，我们有eq{gsm- gsm-1 | Fm-1} =EQ{gm|Fm-1} ，m=1，∞, Q∈^Ms.（38）EQ{fm+gsm |fm-1} =调频-1+gsm-1，m=1，∞, Q∈^Ms.（39）让我们考虑一个随机过程{Nm，Fm}∞m=0，其中n=f，Nm=fm+mXi=1’gm，m=1，∞.很明显，EQ | Nm |<∞, m=1，∞, Q∈^女士{Nm，Fm}的定义∞m=0和公式（38），（39）yieldq{Nm-1.- 纳米|调频-1} =EQ{fm-1.- 调频- “gm|Fm”-1} ==等式{gsm- gsm-1.- “gm|Fm”-1} =0，m=1，∞, Q∈最后的等式是{Nm | Fm-1} =纳米-1，m=1，∞, Q∈^Ms.由于一组度量^P…的任意性，^Ps，^Pi∈~Mn，我们有ep{Nm|Fm-1} =纳米-1，P∈~Mn，m=1，∞. （40）因此，集合Gof适应了非递减过程{gm}∞m=0，g=0，其中{fm+gm}∞m=0是一个相对于所有度量值的辅助变量，该度量值来自于<<Mncontains non-zero element>>g={gm}∞m=0，g=0，gm=mPi=1，m=1，∞,它是包含这个元素的最大链中的最大元素。真的，如果g={gm}∞m=0，g=0，是最大链g中的最大元素 G、然后是不平等现象ep{fm+gm|Fk}≤ fk+gk，m=1，∞, 1.≤ K≤ m、 P∈~Mn，（41）EP（fm+gm）≤ f、 m=1，∞, P∈~Mn。（42）和不平等 gm指的是gm≤ gm，m=0，∞. 等式（40）Yieldp（fm+~gm）=f，m=1，∞, P∈~Mn。不平等和平等≥ EP（fm+gm）≥ EP（fm+~gm）=f，m=1，∞, P∈~Mn。最后的不平等导致了平等- ~gm=0，m=1，∞, P∈~Mn。（45）Butgm- ~gm≥ 0，m=0，∞.

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2022-5-10 15:05:18

（46）等式（45）和不等式（46）产生gm=~gm，m=0，∞, 证明Gn=g，其中gni是一组非递减过程g={gm}∞m=0使得{fm+gm}∞m=0是相对于Mn的所有测量值的一个超鞅。真的，如果g={gm}∞m=0是Gn的一个非递减过程，因此它属于G，因为它是Mn~mn和Gn 假设G={gm}∞m=0，g=0，是g的一个非递减过程。这意味着eq{fm+gm|Fk}≤ fk+gk，m=1，∞, 0≤ K≤ m、 Q∈~Mn。（47）最后的不等式可以用formnXi=1αiZA（fm+gm）dPi表示≤nXi=1αiZA（fk+gk）dPi，m=1，∞, 0≤ K≤ m、 A∈ Fk，αi>0，i=1，n。通过传递到极限，如αj→ 0，αj>0，j6=i，αi→ 1.我们获得了（fm+gm）dPi≤ZA（fk+gk）dPi，i=1，n，A∈ Fk，m=1，∞, 0≤ K≤ m、最后的不等式产生不等式nxi=1αiZA（fm+gm）dPi≤nXi=1αiZA（fk+gk）dPi，m=1，∞, 0≤ K≤ m、 A∈ Fk，αi≥ 0，i=1，n，orEQ{fm+gm|Fk}≤ fk+gk，m=1，∞, 0≤ K≤ m、 Q∈ 明尼苏达州。这意味着g={gm}∞m=0属于Gn。在上述基础上，对于最大元素∧g={gm}∞最大链中的m=0G GtheequalitiesEQ{fm+~gm | Fk}=Fk+~gk，m=1，∞, 1.≤ K≤ m、 Q∈~Mn，（48）EQ（fm+~gm）=f，m=1，∞, Q∈~Mn，（49）样本文件是有效的。根据已证明的等式Gn=G，可以得出Gis是Gn中的max imal chain。就目前而言，Gcoincides与Gnwe证明了Gnsatis中的最大元素gina等于ep{fm+~gm | Fk}=Fk+~gk，m=1，∞, 1.≤ K≤ m、 P∈ Mn，（50）EP（fm+~gm）=f，m=1，∞, P∈ 明尼苏达州。（51）由于测度集P的任意性，Pn，Pi∈ M、集合G在最大链G中包含非零元素G G包含元素G最大元素G={gm}∞m=0，g=0，与g重合。最后一个陈述可以被证明为在最大链g的情况下。因此，EP{fm+gm | Fk}=Fk+gk，m=1，∞, 1.≤ K≤ m、 P∈ M、（52）EP（fm+gm）=f，M=1，∞, P∈ M

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2022-5-10 15:05:22

（53）用{Mm，Fm}表示∞m=0a鞅，相对于度量值集m，其中\'Mm=fm+gm，m=1，∞. 根据定理3的条件，上鞅{fm，fm}∞m=0和非递减过程g={gm}∞m=0相对于m的任何度量都是统一的，因为对于非递减过程g={gm}∞m=0保持边界EPgm<T+f，m=1，∞, P∈ 因此，鞅{Mm，Fm}∞m=0相对于m中的任何测度都是一致可积的。因此，相对于m中的每个测度，概率为1，存在极限→∞\'Mm=M∞= F∞+ G∞, 林姆→∞fm=f∞, 林姆→∞gm=g∞.此外，r e表示`Mm=EP{（f∞+ G∞)|Fm}，m=1，∞, P∈ M、（54）保持，当e\'M={Mm}∞m=0不依赖于P∈ 在下一个定理中，我们给出了上鞅正则性的充分必要条件。定理4。让一个超级艺术家{fm，fm}∞m=0相对于等价测度m的凸集满足条件（4）。它成为正则过程的必要条件和充分条件是存在适应的非负过程`g={gm}∞m=0，\'g=0，EP\'gm<∞, m=1，∞, P∈ M、这样的平等-1.- fm | fm-1} =EP{gm|Fm-1} ，m=1，∞, P∈ M、（55）是有效的。16 N.防弹。必要性。如果{fm，fm}∞m=0是正则上鞅，则存在鞅{Mm，Fm}∞m=0和一个非递减非负随机过程{gm，Fm}∞m=0，g=0，这样Fm=Mm- gm，m=1，∞. 如前所述，等式（56）产生不等式EPgm≤ f+T，m=1，∞, andequalitiesEP{fm-1.- fm | fm-1} ==EP{gm- 转基因的-1 | Fm-1} =EP{gm|Fm-1} ，m=1，∞, P∈ M、（57）我们在其中引入了“gm=gm”的含义- 转基因的-1.≥ 0.很明显，EP’gm≤ 2（f+T）。效率。如果存在一个适应的非负随机过程`g={`gm}∞m=0，\'g=0，EP\'gm<∞, m=1，∞, 这样等式（55）是有效的，那么让我们考虑一个随机过程{Mm，Fm}∞m=0，其中m=f，\'Mm=fm+mXi=1\'gm，m=1，∞.

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2022-5-10 15:05:26

（58）很明显，EP | | Mm |<∞ 安第普{Mm-1.-\'毫米|调频-1} =EP{fm-1.- 调频- “gm|Fm”-1} = 0.理论4得到了证明。在下一个定理中，我们描述了正则上鞅的非退化过程的结构。定理5。让一个超级艺术家{fm，fm}∞m=0相对于等价测度的凸集m满足条件（4）。它成为正则过程的必要条件和有效条件是存在一个非递减的适应过程g={gm}∞m=0，g=0，和适应过程¨ψj={ψjm}∞m=0，ψj=0，j=1，n，这样在元素gm之间，m=1，∞, 非递减过程g={gm}∞m=0关系- 转基因的-1=调频-1.- EPj{fm | fm-1} +ψjm，m=1，∞, j=1，n，（59）对每一组度量值P，Pn∈ M，其中EPj |ψjm |∞,EPj{ψjm|Fm-1} =0，j=1，n，m=1，∞.证据必要性。让{fm，fm}∞m=0是一个普通的超级艺人。然后表示为Fm+gm=Mm，m=1，∞, j=1，n，（60）有效，其中{gm}∞m=0，g=0，是一个非递减适应过程，{Mm，Fm}∞m=0是相对于度量集m的鞅。对于度量集P的任何单位，Pn∈ M、我们有EPJ{fm+gm|fm-1} =调频-1+总经理-1，m=1，∞, j=1，n.（61）一个样本文档17因此，我们有epj{gm- 转基因的-1 | Fm-1} =调频-1.- EPj{fm | fm-1} ，m=1，∞, j=1，n.（62）让我们把¨ψjm=gm- 转基因的-1.- EPj{gm- 转基因的-1 | Fm-1}. （63）在定理5和引理3的假设下，表示（63）的形式为pj|ψjm|<4（f+T），EPj{ψjm|Fm-1} =0，j=1，n，m=1，∞. 这证明了必要性。效率。对于任何一组测度sp，Pn∈ M非递减适应过程g={gm}的表示（59）∞m=0，g=0是有效的。因此，我们得到（62）和（61）。等式（62）、（61）和公式{fm+gm|fm-1} =nPi=1αiEP{~ni|Fm-1} EPi{fm+gm|fm-1} nPi=1αiEP{~ni|Fm-1} ，P∈ Mn，~ni=dPidP，i=1，n，implyEP{fm+gm|fm-1} =调频-1+总经理-1，m=1，∞, P∈ 明尼苏达州。测度集P的任意性。

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2022-5-10 15:05:30

，请注意∈ M和充分的条件（4）为超级马丁格尔{fm，fm}∞m=0表示其规律性。进一步，我们考虑了满足条件SSUPP的一类超鞅∈MEP | fm |∞, m=0，∞.定义4。A上鞅f={fm，fm}∞m=0∈ 如果非随机停止时间τks=ks，ks<∞, s=1，∞, 林斯→∞ks=∞, 这样停止的进程fτks={fm∧τks，Fm}∞对于每个τks=ks，ks，m=0是一个常规的辅助变量<∞, s=1，∞.定理6。让{fm，fm}∞m=0是相对于等价测度m的凸集的上鞅，属于F类，其表示形式为Fm=Mm- gm，m=0，∞, （64）有效，其中{Mm}∞m=0是相对于等价测度m的凸集的鞅，使得EP | Mm |<∞, m=0，∞, P∈ M、 g={gm}∞m=0，g=0，是一个非递减适应过程。然后{fm，fm}∞m=0是一个局部正则的超级鞅。18.防弹。定理6的表示（64）和假设暗示了不等式EPgm<∞, m=1，∞, P∈ M.对于任何度量值P∈ M、因此，我们拥有{fm+gm|fm-1} =毫米-1=调频-1+总经理-1，m=1，∞. （65）考虑一系列停止时间τs=s，s=1，∞. 平等（65）Yieldp{fm∧τs+gm∧τs | Fm-1} =M（M）-1)∧τs=f（m）-1)∧τs+g（m）-1)∧τs，（66）m=1，∞, P∈ M.为停止的supermartingale{fm∧τs，Fm}∞m=0，适应的非减损过程的set G为G={gm}∞m=0，g=0，这样{fm∧τs+gm，Fm}∞m=0isa相对于等价测度凸集m的上鞅，包含nzero元g0，τs={gm∧τs}∞m=0，g=0。考虑一个max imal链G g包含这个元素，让g={gm}∞m=0，g=0，是自停止的上鞅{fm}以来存在的最大元素∧τs，Fm}∞m=0就是| fm∧τs|≤sPi=0 | fi |=~n，m=0，∞, EP~n≤sPi=0supP∈MEP | fi |=T<∞.然后{fm∧τs+gm | Fm-1} ≤ f（m）-1)∧τs+gm-1，m=1，∞.

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2022-5-10 15:05:35

（67）等式（66）和不等式g0，τs g implyf=EP{fm∧τs+gm∧τs}≤ EP{fm∧τs+gm}≤ f、 m=1，∞, P∈ M.（68）最后的不平等∧τs+gm}=f，m=1，∞, P∈ M.（69）等式（69），不等式g0，τs g、和等式{fm∧τs+gm∧τs}=M=f，M=1，∞, P∈ M、（70）暗示t g0，τs=g。因此，我们证明了停止的支持向量{fm∧τs，Fm}∞m=0是每个停止时间τs的规定值，s=1，∞, 融合到整体，如s→ ∞.这证明了定理。定理7。让一个超级艺术家{fm，fm}∞相对于可测空间上等价测度m的凸集m=0{Ohm, F} 属于一个类，存在一个非负适应随机过程{gm}∞m=1，EP/gm<∞, m=1，∞, P∈ M、 su ch thatfm-1.- EP{fm | fm-1} =EP{gm|Fm-1} ，m=1，∞, P∈ M、（71）然后{fm，fm}∞m=0是一个局部正则的超级鞅。一份证明文件样本。为了证明定理7，让我们考虑一个随机过程ss\'Mm=fm+mXi=1\'gi，m=1，∞, P∈ M、 f=\'M。很明显，EP | | Mm |∞, m=1，∞, P∈ M、和EP{Mm|Fm-1} =毫米-1，m=1，∞, P∈ M.因此，对于Fm，代表Fm=\'Mm- gm，m=0，∞, （72）有效，其中gm=mPi=1’gi。Supermartingale（72）满足了Theorem 6的条件。理论7得到了证明。下面我们将介绍当地的常规超级啤酒。为此，我们需要一些辅助语句。N=[1,2，…]，∞) 在可测量的spa ce上的一组正自然数{Ohm, F} 让我们考虑两个子σ-代数Gn GNofσ-代数F。我们假设N>Nσ-代数a GNis由集Es生成，s=1，∞, 满足条件Ej∩ Em=, j6=m，∞Ss=1Es=Ohm.我们假设GNI由集合Fj生成，j=1，∞, 满足条件∩ Fm=, j6=m，∞Sj=1Fj=Ohm, 这样Fj=Ss∈IjEs，j=1，∞, 其中i是集合N，Ir的子集∩ Il=, R6=l，∞Sj=1Ij=N.引理5。让P，pk可以是可测空间上的一组等价测度{Ohm, F} 。

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2022-5-10 15:05:39

如果P（Es）>0，s=1，∞, 然后是公式sepl{dPidPl | GN}EPl{dPidPl | GN}=∞Xj=1Xs∈IjPi（Es）Pl（Fj）Pi（Fj）Pl（Es）χEs（ω），l=1，k，（73）是有效的。证据很明显，EPLdPidPl | GN=∞Xs=1Pl（Es）ZEsdPidPldPlχEs（ω）=∞Xs=1Pi（Es）Pl（Es）χEs（ω），（74）EPldPidPl | Gn=∞Xj=1Pi（Fj）Pl（Fj）χFj（ω）。（75）因为χFj（ω）=Ps∈IjχEs（ω）我们有epldPidPl | Gn=∞Xj=1Xs∈IjPi（Fj）Pl（Fj）χEs（ω）。（76）20 N.Gonchart因此，EplndPidl | GnoEplndPidl | Gno=∞Ps=1Pi（Es）Pl（Es）χEs（ω）∞Pj=1Ps∈IjPi（Fj）Pl（Fj）χEs（ω）=∞Pj=1Ps∈IjPi（Es）Pl（Es）χEs（ω）∞Pj=1Ps∈IjPi（Fj）Pl（Fj）χEs（ω）=∞Xj=1Xs∈IjPi（Es）Pi（Fj）Pl（Fj）Pl（Es）χEs（ω）。（77）引理被证明了。引理6。设一组等价测度P，普肯{Ohm, F} 在某种程度上是这样的≤ 我≤ k有条件的measu resPi（As）Pi（Fj），As Fj，j=1，∞, i=1，k，满足条件spi（As）Pi（Fj）≤Pi（As）Pi（Fj），As Fj，[s]∈IjAs=Fj，j=1，∞, i=1，k.（78）然后不等式EPl{dPidPl | GN}EPl{dPidPl | GN}≤EPl{dPidPl|GN}EPl{dPidPl|GN}，i=1，k，l=1，k，（79）是有效的。证据引理6的证明来自公式（77）。定义5。过滤Fn Fn+1，n=1，∞, 关于可测spa-ce{Ohm, F} 满足条件A，if1）σ-代数F与属于该集合的集合生成的最小σ-代数共边∞Sn=0Fn；2） Fnis由集合Ans生成 F、 s=1，∞, n=1，∞, 就这样∩ Anj=, m6=j，∞[s=1Ans=Ohm, Ans=[j]∈英萨+1j，s=1，∞,Ins∩ Inm=, s6=m，∞[s=1Ins=N，N=1，∞.定义6。以可测量的速度{Ohm, F} 在过滤条件满足的情况下，一组等效测量，如果P（Ans）>0，s=1，∞, n=1，∞,一份样本文档21和一个特定的1≤ 我≤ k不等式Pi（An+1j）Pi（Ans）≤Pi（An+1j）Pi（Ans），j∈ Ins，n=1，∞,是有效的。引理7。让一个过滤Fn和一组等效度量P，可测空间{Ohm, F} 相应地满足条件A和B。

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2022-5-10 15:05:43

然后每1≤ L≤ k和1≤ N≤ ∞ 不平等≤dPidPlEPl{dPidPl|Fn}，i=1，k，l=1，k，（80）是有效的。证据考虑到每1的引理6≤ L≤ k和N≥ N≥ 1我们得到了不等式EPl{dPidPl | FN}EPl{dPidPl | FN}≤EPl{dPidPl | FN}EPl{dPidPl | FN}，i=1，k，l=1，k.（81）由于一个随机值dpidplis相对于σ-代数F是可测的，关于测度Pl是不可测的，那么Lev y理论的条件是有效的。这意味着概率为1 limN→∞EPl{dPidPl | FN}=dPidPl。超过不等式（81）的极限，如N→ ∞, 我们得到了不等式（80）和lemma7的证明。让P，pk可以是一系列可测量s步上的等价度量{Ohm, F} 让我们引入表示nM=（Q，Q=kXi=1αiPi，αi≥ 0，i=1，k，kXi=1αi=1）。引理8。如果ξ是相对于等价测度集P，…，的可积随机值，Pk，然后是公式SUPQ∈MEQ{ξ| Fn}=max1≤我≤相对于测度P证明，kEPi{ξ| Fn}（82）几乎在任何地方都是有效的。使用公式eq{ξ| Fn}=kPi=1αiEP{|i | Fn}EPi{ξ| Fn}kPi=1αiEP{|i | Fn}，Q∈ M、（83）22 N.gonchari=dPidP，我们得到不等式eq{ξ| Fn}≤ max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}，orsupQ∈MEQ{ξ| Fn}≤ max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}。另一方面{ξ|Fn}≤ supQ∈MEQ{ξ| Fn}。因此，max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}≤ supQ∈MEQ{ξ| Fn}。引理8得到了证明。引理9。设G是F和F的次σ-代数，fn是相对于M的每个测度的非负可积随机值≥ max{EP{f|G}，EP{fn|G}，P∈ M.（84）证据。来自不等式max1≤我≤nfi≥ fj，j=1，n，（85）我们有ep{max1≤我≤nfi | G}≥ EP{fj|G}，j=1，n.（86）最后一个implyEP{max1≤我≤nfi | G}≥ max1≤我≤nEP{fi|G}。（87）在下一个引理中，我们给出了相对于M.引理10的另一个度量的条件经验的计算公式。

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2022-5-10 15:05:51

设M是等价测度的凸集，η是相对于可测空间上M的每个测度的可积随机值{Ohm, F} 。那么下面的公式EP{η|Fn}=EPη|Pn | Fn, n=1，∞, （88）有效，其中φPn=dpdpdpEPdPdP | Fn-1，P，P∈ M.证明。引理10的证据是显而易见的。示例文档23Lemma 11。假设过滤Fn和等价测度集{P，…，Pk}{Ohm, F} 相应地满足条件A和B。设ξ为可测空间上的非负有界随机值{Ohm, F} 。然后是公式{max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}| Fm}=max1≤我≤kEPl{ξ|Pin | Fm}，n>m，l=1，k，（89）是有效的，其中φPin=dPidPlEPldPidPl | Fn-1.证据。从引理中我们得到了max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}=max1≤我≤kEPl{ξ|Pin |Fn}，l=1，k。让我们介绍Ti=ξ|Pin的表示。那么Ti是一个可积随机值max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}=max1≤我≤kEPl{ξ|Pin |Fn}=max1≤我≤kEPl{Ti|Fn}，l=1，k。由于引理9，我们得到了不等式epl{max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}| Fm}=EPl{max1≤我≤kEPl{Ti|Fn}|Fm}≥max1≤我≤kEPl{EPl{Ti|Fn}|Fm}=max1≤我≤kEPl{Ti|Fm}。让我们证明倒数不等式epl{max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}| Fm}≤ max1≤我≤kEPl{Ti|Fm}。最后一个不等式来自max1≤我≤kEPl{Ti|Fn}=EPl{Ti|Fn}。真的吗，EPl{max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}| Fm}=EPl{EPl{Ti | Fn}| Fm}=EPl{Ti | Fm}≤max1≤我≤kEPl{Ti|Fm}。引理11得到了证明。下一个引理是引理11的结果。引理12。在可测空间上，设一个过滤函数fn和一组等价测度{P，…，Pk}{Ohm, F} 相应地满足条件A和B，并设ξ为上的非负有界随机值{Ohm, F} 。然后等式epl{ξmax1≤我≤k|Pin | Fn}=max1≤我≤kEPl{ξ|Pin |Fn}，l=1，k，n=0，∞, （90）有效，其中φPin=dPidPlEPldPidPl | Fn-1.24 N.防弹。max1≤我≤kEPl{ξ|Pin |Fn}≤ EPl{ξmax1≤我≤k|Pin|Fn}≤EPl{ξ|Pin |Fn}≤ max1≤我≤kEPl{ξ|Pin |Fn}，l=1，k，n=0，∞. （91）最后的不等式证明了引理。引理13。

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2022-5-10 15:05:56

在可测空间{Ohm , F} 相应地满足条件A和B。对于每一个非负可积随机值ξ，相对于测度集P，pk不等式epl{max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}| Fm}≤ max1≤我≤kEPi{ξ| Fm}，n>m，l=1，k，（92）是有效的。证据首先，考虑有界非负随机值ξ的情况。可以证明以下等式k[i=1ω、 EPldPidPl | Fn≥ EPldPidPl | Fm= Ohm, n>m，（93）是有效的。对于每一个ω，由于（93）∈ Ohm 存在1≤ 我≤ k使得ξdPidPlEP{dPidPl|Fn}≤ξdPidPlEP{dPidPl|Fm}。（94）因此，max1≤我≤kξdPidPlEPl{dPidPl|Fn}≤ max1≤我≤kξdPidPl{dPidPl|Fm}。（95）从（95）中我们得到不等式epl（max1）≤我≤kξdPidPlEPl{dPidPl|Fn}|Fm）≤ EPl（max1≤我≤kξdPidPlEPl{dPidPl|Fm}|Fm）。（96）引理11、12和不等式（96）证明了引理13，因为ξ是b边界随机值。让我们把这个情况看作max1≤我≤kEPiξ<∞. Le tξs，s=1，∞,是单调收敛到ξ的有界随机值序列。ThenEPl{max1≤我≤kEPi{ξs |Fn}|Fm}≤ max1≤我≤kEPi{ξs | Fm}，l=1，k.（97）由于ξstoξ的单调收敛，作为s→ ∞, 我们可以通过不等式（97）中的条件期望，证明引理13。示例文档25Lemma 14。在可测空间上设一个过滤函数fn和一组等价测度{P，…，Pk}{Ohm, F} 相应地满足条件A和B，并设ξ是相对于等价测度集的可积随机值，Pk。然后不等式eq{supP∈MEP{ξ| Fn}| Fm}≤ 晚餐∈MEP{ξ| Fm}，n>m，Q∈ M、是有效的。证据来自equalitysupQ∈MEQ{ξ| Fn}=max1≤我≤kEPi{ξ| Fn}我们得到不等式eqmax1≤我≤kEPi{ξ| Fn}| Fm=kPj=1αjEP{~nj | Fm}EPjmax1≤我≤kEPi{ξ| Fn}| FmkPj=1αjEP{~nj|Fm}≤≤ max1≤我≤kEPi{ξ| Fm}=supP∈MEP{ξ| Fm}。引理14得到了证明。引理15。

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2022-5-10 15:05:59

在可测空间{Ohm , F} 相应地满足条件A和B，并让ξ是关于这组测度的非负可积随机值，使得Epiξ=M，i=1，k，（98）然后随机过程{Mm=supP∈MEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是相对于等价测度凸集m的鞅证明。由于引理14，随机过程s{Mm=supP∈MEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0是一个超鞅，即EP{Mm|Fm-1} ≤ 嗯-1，m=1，∞, P∈ M.或EPMm≤ M.从另一边[max1]≤我≤kEPi{ξ| Fm}]≥ max1≤我≤kEPsEPi{ξ| Fm}≥ M、 s=1，k。上述不等式表示EPsMm=M，M=1，∞, s=1，k。最后的等式导致等式EPMm=M，M=1，∞, P∈ M.mmis是相对于测度集sm的一个超鞅的事实以及上述等式证明了引理15.26 N.冈沙尔定理8。在可测空间{Ohm , F} 相应地满足条件A和B。假设ξ是相对于这组测度的非负可积随机值。如果ξ是FN可测的，则对于某个N<∞, 然后是一个超级马丁格尔{fm，fm}∞m=0，其中Fm=supP∈MEP{ξ| Fm}，m=1，∞, max1≤我≤kEPiξ<∞,是局部正则的当且仅当ifEPiξ=f，i=1，k.（99）证明。必要性。

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2022-5-10 15:06:03

让{fm，fm}∞m=0是本地正规的超级艺人。然后存在一系列非随机停止时间τs=ns，s=1，∞, 这样，对于每一个n，都存在满足不等式max1的φ=nsPm=1kPi=1EPi{ξ| Fm}≤J≤kEPj~n≤nsXm=1kXi=1max1≤J≤kEPjEPi{ξ| Fm}≤nsXm=1kXi=1max1≤J≤kEPjmax1≤我≤kEPi{ξ| Fm}≤nsXm=1kXi=1max1≤J≤kEPjmax1≤我≤kEPiξ=nsk max1≤我≤kEPiξ，补充∈欧洲议会联盟≤ max1≤J≤kEPj~n≤ nsk max1≤我≤kEPiξ与非负适应随机过程{gm}∞m=0，\'g=0，EPi\'gm<∞, 0≤M≤ NSFm+mXi=1\'gi=\'Mm，EP\'Mm=f，0≤ M≤ ns，P∈ M.如果ns>N，则EPi（ξ+NXi=1\'gi）=EPiξ+EPiNXi=1\'gi=f。但存在1≤ 我≤ k使得EPiξ=f。因此，epipi=1gi=0。由于度量Pi，i=1，k的等价性，我们得到了epiξ=f，i=1，k，（100）一个样本文档，其中f=supP∈MEPξ。效率。如果满足条件（100），则“Mm=支持”∈MEP{ξ| Fm}是一个鞅。最后一个表示{fm，fm}的局部正则性∞m=0。证明了该理论。定理9。让过滤在一个可测量的空间上{Ohm, F} 满足条件A，设M是该可测空间上等价测度的凸集。假设P（Ans）>0，P∈ M、 s=1，∞, n=1，∞,在一定程度上，π∈ M不等式P（An+1j）P（Ans）≤Pi（An+1j）Pi（Ans），i=1，k，An+1j Ans，Ans=[j∈英萨+1j，P∈ M、是有效的。如果一组可积非负随机值ξ满足条件ξ=1，P∈ M、（101）然后随机过程{EP{ξFm}，Fm}∞m=0，ξ∈ G、是一个当地的正规超级艺人。证据让P，pn可以是M中包含度量Pi的度量的某个子集。用等价测度的Mna凸集MN={P表示∈ M、 P=nXi=1αiPi，αi≥ 0，i=1，n，nXi=1αi=1}。（102）由于引理15{Mm}∞m=0是一个相对于度量值集mn的鞅，其中“Mm=supP”∈MnEP{ξ| Fm}，ξ∈ G.让我们考虑一个任意度量P∈ M和letMPn={P∈ M、 P=nXi=0αiPi，αi≥ 0，i=0，n，nXi=0αi=1}。

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2022-5-10 15:06:06

（103）然后{MPm}∞m=0，其中“MPm=supP”∈MPnEP{ξ| Fm}，是一个与测度集MPn有关的鞅。很明显，嗯≤\'MPm，m=0，∞. （104）由于EP’Mm=EP’MPm=1，m=0，∞, P∈ Mn，不等式（104）给出“Mm=”MPm。类似地，EP{ξ| Fm}≤“MPm。从等式EPEP{ξ| Fm}=EP\'MPm=1，我们得到EP{ξ| Fm}=\'MPm=\'Mm。由于度量Pis是任意的，它意味着EP{ξ| Fm}，m=0，∞, 是相对于M的所有测度的鞅。根据定理7，它是一个局部正则超鞅，具有随机过程“gm=0，M=0，∞. 证明了定理9。28 N.贡沙尔提姆10。让我们在一个可测量的空间上进行过滤{Ohm, F} 满足条件A，设M是该可测空间上等价测度的凸集。假设P（Ans）>0，P∈ M、 s=1，∞, n=1，∞,在一定程度上，π∈ M不等式P（An+1j）P（Ans）≤Pi（An+1j）Pi（Ans），i=1，k，An+1j Ans，Ans=[j∈英萨+1j，P∈ M、是有效的。如果{fm，fm}∞m=0是一个满足条件的自适应随机过程≤ 调频-1，EPξ| fm |<∞, P∈ M=1，∞, ξ ∈ G、（105）式中G={ξ≥ 0，EPξ=1，P∈ M}，然后是随机过程{fmEP{ξ| Fm}，Fm}∞m=0，P∈ M、（106）是相对于M.Proof的所有度量的局部正则上鞅。根据定理9，Random过程{EP{ξFm}，Fm}∞m=0与m的所有度量值都相关。因此，fm-1EP{ξ| Fm-1} - EP{fmEP{ξ| Fm}Fm-1} =EP{（fm）-1.- fm）EP{ξ| fm}fm-1} ，m=1，∞. （107）那么，如果把‘gm=（fm-1.- fm）EP{ξ| fm}，m=1，∞, 然后是“通用汽车”≥ 0，它是FM可测量和EP¨gm≤ EPξ（| fm）-1 |+| fm |）∞. 它证明了必要的陈述。推论1。如果fm=α，m=1，∞, α ∈ R、然后{αEP{ξ| Fm}∞m=0是一个局部正则上鞅。

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2022-5-10 15:06:11

如果ξ=1，那么{fm}∞m=0也是一个局部正则超鞅。用f表示适应的进程集f={f={fm}∞m=0，P（|fm |<∞) = 1，P∈ M、调频≤ 调频-1，m=1，∞}.每ξ∈ 请让我们介绍一组自适应过程SLξ={f={fmEP{ξ| Fm}∞m=0，{fm}∞m=0∈ F、 EPξ| fm |∞, P∈ M、 M=1，∞},andV=[ξ∈GLξ。示例文档292。集合K中的每个随机适应过程，其中K=（mXi=1Ci\'fi，\'fi∈ 五、词≥ 0，i=1，m，m=1，∞),是一个当地的正规超级艺人。证据证据很明显。定理11。让我们在一个可测量的空间上进行过滤{Ohm, F} 满足条件A，设M是该可测空间上等价测度的凸集。假设P（Ans）>0，P∈ M、 s=1，∞, n=1，∞,在一定程度上，π∈ M不等式P（An+1j）P（Ans）≤Pi（An+1j）Pi（Ans），i=1，k，An+1j Ans，Ans=[j∈英萨+1j，P∈ M、是有效的。如果{fm}∞m=0是与m的测度集有关的非负一致可积上鞅，则它是局部正则测度集的充分必要条件是它属于集合K。必要性。很明显如果{fm}∞m=0属于K，那么它是一个局部正则上鞅。效率。假设{fm}∞m=0是一个局部正则的超级鞅。然后存在非负适应过程{gm}∞m=1，EP“gm<∞, m=1，∞, 和一个鞅{Mm}∞m=0，这样Fm=Mm-mXi=1’gi，m=0，∞.然后嗯≥ 0，m=0，∞, EPMm<∞, P∈ M.因为0<EPMm=f<∞ 我们有EPmPi=1’gi<f。让我们把g∞= 林姆→∞mPi=1’gi。利用fm的均匀性，我们可以通过等式Ep（fm+mXi=1’gi）=f，P达到极限∈ M、作为M→ ∞. 在最后一个等式中达到极限，如m→ ∞, 我们得到了∞+ G∞) = f、考虑一个随机值ξ=f∞+G∞f、那么EPξ=1，P∈从她的e中我们得到ξ∈ GandMm=fEP{ξ| Fm}，m=0，∞.30 N.冈沙雷我们把‘fm=-mPi=1’gi。

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2022-5-10 15:06:14

很容易看出，一个ada pted随机过程`f={`fm}∞m=0属于F。因此，对于超马氏体，F={fm}∞m=0表示式f=\'f+\'f是有效的，其中\'f={fEP{ξ| Fm}∞m=0属于Lξ，其中ξ=f∞+G∞fandfm=f，m=0，∞. 该名称对ξ=1的¨f有效。这意味着这一理论与K有关。这一理论得到了证明。下面我们给出了描述集合G所需的一些结果。我们考虑这种情况，因为Theo rems9、10、11的条件是有效的。L t u考虑特定固定n的方程组≥ 1.∞Xj=1Pi（Anj）ξj=1，i=1，k.（108）如果存在非负解{ξj}∞j=1的方程组（108），然后是随机值ξ=∞Pj=1ξjχAnjis Fn是可测的，并且对集合G是长的。如果把aj={Pi（Anj）}ki=1，j=1，∞, 然后方程组（108）可以写成∞Xj=1ajξj=a（109），向量a={ei}ki=1，ei=1，i=1，k。显然，同态方程组∞Xj=1ajξj=0（110）总是有界非零解。那么如果用u={uj}来表示它∞j=1，那么由于这个解的有界性，即| uj |≤ C<∞, j=1，∞,存在一个实数t>0，使得ξj=1- 图吉≥ 0，j=1，∞.这样的向量{ξj}∞j=1是方程组（109）的非齐次非负解。下面我们证明定理12，帮助我们描述集合方程（109）的严格正解。定义7。向量A∈ Rk+属于向量aj生成的非负电子的内部∈ Rk+，j=1，∞, 如果有正数αj>0，j=1，∞, 以至于∞Xj=1αjaj=a.（111）样本文件31下一个定理概括了[6]中的一个定理，并描述了方程组（109）的所有严格正解。定理12。让一个向量或abelongs指向由向量aj生成的圆锥体的内部∈ Rk，j=1，∞, 圆锥体的尺寸为1≤ R≤ k、让r线性独立向量a。

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能者818

2022-5-10 15:06:18

，使向量与这些向量生成的圆锥体的内部相等。然后存在线性独立非负解的有限个zi，i=r，∞, 在方程组（109）中，其中Zr={ha，fi，…，ha，fri，0，0，…，}，zi={ha，fi- 海，菲*我哈，周五- 海，周五*i、 0，0，y*i、 0，…}，i=r+1，∞,Y*i=（minl）∈Kiha，flihai，fli，Ki={l，hai，fli>0}，1，hai，fli≤ 0, l=1，r，{f，…，fk}是一组满足条件shfi，aji=δij，i，j=1，r，hfi，aji=0，j=1，r，i=r+1，k.（112）方程组（109）的严格正解由公式z给出=∞Xi=rγizi，（113），其中向量或γ={γr，…，γi，…}满足条件∞Xi=rγi=1，γi>0，i=r+1，∞,∞Xi=r+1aiγiy*我∞,*A.-∞Xi=r+1aiγiy*i、 fk+>0，k=1，r.（114）证明。在定理12中，在不丧失一般性的情况下，我们假设r线性相关向量a，这样向量就延伸到由这些向量生成的圆锥体的内部。如果不是这样，那么这些向量就是ai，空气，然后通过重新编号矢量aj，j=1，∞,我们到了定理12的情形。让我们指出方程组（109）存在严格正解的必要条件。由于（109）非负解的存在，级数∞Pi=1ξiai为收敛1。自从人工智能∈ 我们有这个系列∞Pi=r+1ξ也是收敛的。用{f，…，fd}表示一组32个满足条件（112）的N.向量。我们得到一组方程（109）等价于一组方程*∞Xi=r+1ξiai，fj++ξj=ha，fji>0，j=1，r.（115），其中ha，bi表示向量a和b的标量积。从这里我们有*a-∞Xi=r+1ξiai，fj+=ξj，j=1，r。

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能者818

2022-5-10 15:06:21

（116）这意味着不平等*a-∞Xi=r+1ξiai，fj+>0，j=1，r，（117）是有效的。如果严格正向量{ξr+1，…，ξm，…}就是这样的系列∞Pi=1ξi是收敛的，不等式（117）是有效的，那么向量z=（*a）-∞Xi=r+1ξiai，f+*A.-∞Xi=r+1ξiai，fr+，ξr+1，ξl，…）是方程组（109）的一般严格正解。证明了如果把{ξr+1，…，ξm，…}使得ξi=0，i6=l，ξl=y*l、这些解是非负的和线性无关的。显然，如果选择向量γ={γr，…，γi，…}，那么∞Xi=r+1aiy*iγi<∞,∞Xi=rγi=1，γi>0，i=r，∞, （118）然后我们得到不等式*a-∞Xi=r+1aiy*iγi，fj+>0，j=1，r.（11.9）是有效的。这里有一个向量∞Pi=rγ是方程组（109）的正解。显然，这些条件也很有效。证明了定理12。很容易看出，向量abelongs到由向量aj={Pi（Anj）}ki=1，j=1，∞. 向量s e t中r线性独立子集{ai，…，air}的存在性aj=样本文件33{Pi（Anj）}ki=1，j=1，∞, 这样，向量与这个向量子集生成的向量的内部是测度{P，…，Pk}的条件。证明[6]中包含的某个向量ais属于圆锥内部的一个简单判据。最后，让我们给出一个可测空间的例子{Ohm, F} 过滤onit和一系列措施P，满足条件A和B.Le t usputOhm = [0，1）.选择任意单调递增序列{xk}∞k=0，比如x=0，xk<xk+1，limk→∞xk=1。表示为As=[As，bs）=[xs-1，xs），s=1，∞.

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2022-5-10 15:06:24

设置为，s=1，∞, 我们的施工方法是尽快将间隔分成两半。让我们给你一些建议，由集Ans生成，s=1，∞. 关于se t[0，1]的Borelσ-代数B（[0，1]），让我们通过它们的Radon-Nicodym导数dpidp=ixi给出一组测度sp，…，pk-1，x∈ [0，1），i=1，k，其中Pis-Lebesgue测度在[0，1]上。考虑到该测度对σ-代数a Fn的限制。很容易看出，在指数i=1的情况下，给定的测度满足条件B。所得结果在数学金融中的应用将在单独的论文中给出。参考文献[1]Bouchard，B.，Nu tz，M.：非支配离散时间模型中的套利和对偶性。《应用概率年鉴》25.2823–859（2015）[2]El Karoui，N.，Quenez，M.C.：不完全市场中偶然目标的动态规划和定价。暹罗J.控制优化。33,27–66（1995）[3]福勒默，H。，卡巴诺夫，Y.M.：离散时间中的可选分解定理。帕多瓦奥诺尔·奥利维耶罗·莱西（onore di Oliviero Lessi，Padova，25-26 marzo，47-68（1996）[4]福勒，H.，卡巴诺夫，Y.M.：可选分解和拉格朗日乘数。金融随机性。2,69–81（1998）[5]Folmer，H.，Kramkov，D.O.：约束条件下的可选分解定理。概率论与相关领域109,1–25（1997）[6]新南威尔士州贡查尔：信息经济学的数学基础。博戈柳波夫学院。物理。，基辅（2008）[7]冈查尔，N.S.：资产投资的动态风险模型。控制和信息学问题3，109–127（2014）[8]新南威尔士州贡查尔：银行运营的数学模型。控制论与系统分析51378–399（2015）。doi:10.1007/s10559-015-9730-0[9]冈查尔，新南威尔士州，特伦特埃瓦，路易斯安那州：通过内部收益率的特殊过程对公司进行违约风险评估。

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