存在方向可预测性时的计时：最佳停止

2022-5-25 14:07:59

它的分析可处理性和计算能力使其成为一个引人注目的模型，具有许多令人满意的特性，从其元素的独立性到其概率分布的高斯性。不幸的是，对于许多基本回报变量，驱动动力的自相关和/或概率分布的偏斜构成了一个规则，而不是一个例外。因此，在这种情况下，依赖简单的高斯结构可能会导致有关估值和投资机会时机的错误结论。与标准高斯框架相比，最近的实证研究表明，尽管资产的确切价值不可预测，但资产价值的预期发展方向在某种程度上可能是可预测的（参见，例如，[3]、[2]、[9]、[10]、[13]、[15]、[16]、[30]、[34]、[39]）。更准确地说，将资产回报率表示为其符号和绝对值的乘积，并分别研究这些因素的行为表明，捕获回报率方向性行为的符号变量可以正确预测，准确率在52%到60%之间（最近一项专注于方向可预测性的研究调查，请参见[25]）。这种经验观察在理论金融研究中并没有被完全忽视，它导致了对驾驶动力学的介绍和分析，至少具有在金融数据中遇到的偏斜和局部（空间）预测特性。提出的建模方法之一是基于一般的斜B-rownian运动和斜扩散过程（参见[17]、[20]、[21、22]和[33]）。

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2022-5-25 14:08:02

基本上，斜布朗运动的行为类似于原点以外的普通布朗运动（例如，参见[4]、[5]、[6]、[11]、[12]、[24]、[26]、[27]、[28]、[31]、[40]、[41]）。然而，在原点，这个过程更倾向于向上移动，比如说，向上移动，而不是向下移动，从而导致从原点开始的正偏移量大于负偏移量。通过这种方式，它为驱动

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2022-5-25 14:08:06

这种配置不能出现在依赖标准BM的模型中。我们还证明，最优政策价值的依赖性和潜在差异的严重性的迹象是积极的。因此，偏斜度越大，最优策略的值越大，延续区域越大。这一观察结果的一个有趣含义是，正偏斜BM的最佳停车策略值支配标准BM的相应值。本研究的内容如下。第2节讨论了基本动力学的基本性质，即斜布朗运动。第3节介绍了考虑到的停止问题和一些关键事实。第4节总结了我们关于斜布朗运动最优停止的主要发现。这些结果在第5节中的显式参数化分段ise线性模型中进行了数值说明。最后，第6节总结了我们的研究。2基本动力学：倾斜布朗运动我们的主要目标是研究潜在方向不对称的潜在差异如何影响最佳运动策略及其价值。为了完成这项任务，我们假设潜在的扩散过程是一个斜布朗运动（从现在起缩写为SBM），其特征是SDE的唯一强解（参见[24]）Xt=x+Wt+（2β- 1） lXt，（1）其中x∈ R是过程s的初始值，β∈ [0，1]是一个捕捉过程s，{Wt}t的偏度的参数≥0是标准布朗运动且{lXt}t≥0是进程{Xt}t的本地时间为零≥0根据Lebesgue度量标准化。从（1）中可以清楚地看到，进程{Xt}t≥0当β=1/2时与标准布朗运动结合，当β=0或β=1时与反射布朗运动结合。

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2022-5-25 14:08:10

进程{Xt}t≥0的行为类似于斜交点0外的普通布朗运动，并且对于所有t>0，都具有属性P[Xt≥ 0]=β（参见[11]，第130页）。因此，当β>1/2时，该过程从原点向上移动的趋势大于向下移动的趋势。此外，利用已知的跃迁概率密度（参见，例如，[11]，p.130或[27]，p.420）Px[Xt∈ dy]=√2πte-（十）-y） 2t+（2β- 1） sgn（y）√2πte-（| x |+| y |）2tSBM yieldsEx的dy，（2）【Xt】=x+2（2β- （1）√tφ|x个|√T- 2（2β- 1）| x |Φ-|x个|√T, （3）其中Φ是标准的单变量正态分布函数，φ是其密度。设置x=0 in（3）yieldsE[Xt]=（2β- 1） r2tπ。力矩生成函数依次读取asExeλXt= eλx+λt1+（2β- 1） e类-λ（| x |+x）Φλt- |x个|√T- （2β- 1） eλ（| x|-x） Φ-λt+| x|√T.X的标度函数和速度度量由s（X）给出=x/β，x≥ 0，x/（1）- β），x≤ 0，andm（dx）=2βdx，x>0,2（1- β） dx，x<0。S（x）的事实→ ±∞ 作为x→ ±∞ 意味着t X是连续的。最后，与X相关的递增和递减基本解是（参见[11]，第130页）ψr（X）=eθX-1.-2βeθx- E-θx+=2βeθx+1.-2βE-θx，x≥ 0，eθx，x≤ 0，（4）和Дr（x）=e-θx+2β- 12（1- β）（e）-θx- eθx）+=E-θx，x≥ 0,2（1-β）（1）- 2β）eθx+e-θx, 十、≤ 分别为0，（5），其中θ=√2r是关于标度函数的基本解的所谓Wronskian。

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2022-5-25 14:08:14

很容易看出，ψrandνrare相对于Severywhere（也在0）是可微的，但在0.3的问题设置和一些初步结果下，这不是一般意义上的。我们的任务是研究β>1/2的SBM X的偏度和由此产生的潜在位置方向可预测性如何影响最佳停车问题（OSP）中的值和最佳运动策略：找到停车时间τ*这样V（x）：=supτ∈特克斯E-rτg（Xτ）= Exhe公司-rτ*g（Xτ*)i、（6）如果r>0表示普遍的分离率，则T是关于X和g所产生的自然过滤的所有停止时间集：r 7→ R+是令人满意的运动奖赏：（g1）g是连续的、非递减的、非负的，并且有明确的左右导数，（g2）limx→∞g（x）/ψr（x）=0和limx→-∞g（x）/ψr（x）=0。在（6）中，我们使用的约定是，如果τ（ω）=∞ thene公司-rτ（ω）g（Xτ（ω）（ω））：=lim supt→∞E-rtg（Xt（ω））。正如关于最优停车的文献所知，V是g的最小r-过量主值（参见[38]第124页的定理1）。通常，我们将Γ：={x:V（x）=g（x）}称为停止区域，将C：={x:V（x）>g（x）}称为连续区域。LetM：=argma xx∈R{g（x）/ψR（x）}（7）表示比率g/ψris最大化的点集。我们现在可以证明如下：引理3.1。最优策略的值是有限的，即V（x）<∞ 对于所有x∈ R、并且停止区域是非空的，即Γ6=.证据假设（g1）和（g2）保证最大化器M的集合是非空的。因此，对于所有x∈ R它认为v（x）=supτ∈特克斯E-rτg（Xτ）ψr（Xτ）ψr（Xτ）≤ 苏比∈Rg（y）ψr（y）supτ∈特克斯E-rτψr（Xτ）≤ ψr（x）supy∈Rg（y）ψr（y）。（8）对于（8）中的最后一个不等式，我们使用了自{e-rtψr（Xt）}t≥0是一个正的超级鞅。这证明V（x）<∞ 对于所有x∈ R

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2022-5-25 14:08:17

为了表明Γ6= 让x*∈ M和利用（8）获得V（x*) ≤ ψr（x*)g（x*)ψr（x*)= g（x*)证明x*∈ Γ。接下来，我们使用结果d来验证候选策略是否是最优的。这基本上是第124页【38】中的科罗·拉里。我们给出了可读性和完备性的证明。引理3.2。让A I是I和τa的非空Borel子集：=inf{t≥ 0:Xt∈ A} 。假设函数^V（x）：=ExE-rτAg（XτA）是r-过量且支配g。那么，V=^V和τAis是最佳停止时间。此外，几乎可以肯定τ是有限的。证据显然，τA<∞ 几乎可以肯定，因为X是循环的，而A是非空的。根据V的定义，它适用于所有xV（x）=supτ∈特克斯E-rτg（Xτ）≥ Ex公司E-rτAg（XτA）=^V（x）。另一方面，^V是g yieldsV（x）=supτ的r-超常量∈特克斯E-rτg（Xτ）≤ supτ∈特克斯-rτ^V（Xτ）i≤^V（x）。因此，V=^V和τAis是最佳停止时间。在许多最优停止问题中，引理3.2中的集合A是用来解释术语“停止集”的。这也是我们的子序列分析中的主要内容，我们在子序列分析中建立了最优停止规则等于τ的条件。4主要结果（6）类典型的最优停止问题可以通过利用变分不等式和利用与基础微分发生器相关联的微分算子的方法进行非常有效的研究。不幸的是，由于在斜交点处存在涉及当地时间项的额外漂移分量，这些方法在BM中的使用具有挑战性，请参见SDE（1）。为了避免这个问题，我们首先关注r-过量函数的一般性质，并刻画了斜交点（即理论原点）位于连续区域的一般条件。提案4.1。假设0≤ g′（0-) < g′（0+）或0<g′（0-) ≤ g′（0+）。

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2022-5-25 14:08:20

然后，对于β>1/2的BM，对于连续区域C={x：V（x）>g（x）}中的所有r>0，st ate 0。证据由于ψrandИrare在任何地方都可以对尺度函数S进行微分，因此任何r-过量函数h都具有左、右尺度导数d-h/dS和d+h/dS分别满足所有x（参见[35]中的推论3.7）d-hdS（x）≥d+hdS（x）。（9）设V为（6）中定义的值函数，回想一下，V是g的小部分。现在假设0∈ Γ。那么V（0）=g（0），并且因为V（x）≥ g（x）表示所有x∈ 对于δ>0V（0），我们有R- 五(-δ） S（0）- S(-δ）≤g（0）- g级(-δ） S（0）- S(-δ）。让δ↓ 0产量SD-VdS（0）≤ （1）- β） g′（0-).类似地，对于δ>0V（δ）- V（0）S（δ）- S（0）≥g（δ）-g（0）S（δ）- S（0）超前，当δ↓ 0，tod+VdS（0）≥ βg′（0+）。因此，使用g，d上的假设-VdS（0）-d+VdS（0）≤ （1）- β） g′（0-) - βg′（0+）≤ （1）-2β）g′（0+）<0，因为β>1/2。但这与（9）相矛盾，因此与0.6相矛盾∈ Γ。备注4.2。1、在命题4.1的证明中，我们不依赖于BM的特殊性质，因此，可以将结论推广到所有适当定义的一般偏微分。2、命题4.1的结论也可以通过研究λ（x）：=g（x）λψr（x）+（1- λ） νr（x），其中λ∈ [0，1]。根据【14】0中的定理2.1∈ Γ当且仅当存在λ∈ [0，1]这样0∈ argmax{uλ（x）}。假设情况如此，则意味着u′λ（0+）≤ 0≤ u′λ（0-) 可显示符合要求βg′（0+）≤ （1）-β） g′（0-).

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2022-5-25 14:08:24

注意，在命题4.1的条件下，这种不平等无法得到满足，这表明0∈ C如所述。提案4.1基本上规定，如果运动支付在原点的某个小开放邻域内增加，则歪斜点始终包含在延续区域中。换言之，基本过程基因的方向可预测性激励人们在运动奖励局部增加时，在基本过程更倾向于向上移动而不是向下移动的状态下，在斜角点附近等待。由于在当前环境中，向上移动对决策者的个人观点更有利，因此，即使在没有偏斜的情况下执行是最佳的情况下，等待也是最佳的。这是一个有趣且不平凡的特性，由原点处的过程的奇异性生成。下面的命题4.3给出了价值和最佳练习策略的关键比较静态特性。值函数V作为β的函数是不递减的，作为r的函数是不递增的。因此，更高的偏度（贴现）会扩大（收缩）或改变延续区域。特别是，β>1/2的SBM的OSP值函数支配标准BM{Wt}t的相应OSP值≥0，即V（x）≥ J（x）：=supτ∈TE公司E-rτg（x+Wτ）（10）因此，{x:J（x）>g（x）} C={x:V（x）>g（x）}。证据设^r>r>0和τ∈ 这不是一个任意的停止时间。

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2022-5-25 14:08:28

运动报酬的非负性意味着E-^rτg（Xτ）= Exhe公司-（^r-r） τ-rτg（Xτ）i≤ Ex公司E-rτg（Xτ）对于所有x∈ R、证明递增贴现会降低最优保单的价值，因此不会扩大延续区域。为了分析偏度对最优定时策略值的影响，我们注意到使用（2）表示可测函数h:R 7→ R屈服强度[h（Xt）]=E[h（x+Wt）]+（2β-1） Z∞√2πte-（| x |+y）2t（h（y）- h类(-y））如果存在预期。因此，对于非递减h，它认为βEx[h（Xt）]=2Z∞√2πte-（| x |+y）2t（h（y）- h类(-y））dy≥ 0。（11）考虑函数序列{Fn}n≥0感应定义（参见[38]，第121-12页2）byF（x）：=g（x）Fn+1（x）：=支持≥0ExE-rtFn（Xt）.然后Fn+1（x）≥ Fn（x）表示所有x和n。此外，x 7→ Fn（x）对于每n是非递减的，因为假设g是非递减的，并且期望保持序。因此，IncreasedSkowness不会将其预期值减少（11）。另一方面，sinc e fn沿点方向收敛到V（参见[38]，第121页的引理5）。我们注意到，增加的偏度会增加或保留不变的V，从而扩展延拓区域。不等式（10）随后设置β=1/2。提案4.3表明，增加的倾斜度与最佳运动策略值之间的关系为正。这一结果从直觉上看是清楚的，因为它本质上表明，向上漂移的可能性越大，r越大，这是等待更有利的状态产生更高回报的值。值得强调的是，对于偏度和值的依赖性的正性，不需要正偏度，只要β∈ [0，1]。

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2022-5-25 14:08:31

命题4.3还表明，较高的折扣通过降低未来支付的预期现值来加速理性行使。在说明我们关于单停边界的主要结果之前，我们引入了可微分函数F（LψF）（x）：=ψr（x）s′（x）ddxF（x）ψr（x）=eθx（F′（x）- θF（x））+（2β- 1） e类-θx（F′（x）+θF（x））, x>0，（1- β） eθx（F′（x）- θF（x）），x<0，（12）和（LДF）（x）：=Дr（x）S′（x）ddxF（x）Дr（x）=βe-θx（F′（x）+θF（x）），x>0，E-θx（F′（x）+θF（x））- （2β- 1） eθx（F′（x）- θF（x））, x<0。（13）回想一下，如果F是X的r次幂函数，那么LψF和LДF与F的相应度量相关联（关于过度函数的精确表征和积分表示，请参见[11]，第3页，[35]（3.3）位置和[37]定理2.4）。在命题4.4和命题n 4.6的证明中，我们使用表示理论来验证所提出的值函数的超越性。提案4.4。（A）让x*∈ M、然后(-∞, 十、*) \\M C、（B）假设M={x*}, 其中x*> 0，并且除了（g1）和（g2）之外，rewardfunction g还具有以下属性（i）g∈ C（[x*, ∞)) i、例如，g在[x]上连续可差两次*, ∞),（ii）g′（x）- 2rg（x）≤ 0表示所有x≥ 十、*.然后，τx*= inf{t≥ 0:Xt≥ 十、*} 是最佳停止时间，该值读取为asV（x）=ExE-rτx*g（XτX*)=g（x），x≥ 十、*,ψr（x）g（x*)ψr（x*), x<x*.（14）证明。（A）让x∈ (-∞, 十、*) \\ M、很明显，由于x 6∈ MV（x）≥ Ex公司E-rτx*g（XτX*)= ψr（x）g（x*)ψr（x*)> g（x）（15）证明x∈ C也是。（B）设V表示（14）右侧的建议值函数。SinceV（x）：=supτ∈特克斯E-rτg（Xτ）,我们发现V≥V。为了证明V=~V，我们应用引理3.2，并确定~V是g的一个r-过大的主要变量*∈ M立即▄V（x）≥ g（x）表示所有x∈ R（参见（15））。

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2022-5-25 14:08:36

为了证明￠V的过度性，我们使用了过度函数的表示理论（参见[35]）。设x>x*因此g（x）>0并定义映射H:R 7→ R+作为H（x）：=▄V（x）/▄V（x）=▄V（x）/g（x）。此外，设x≥ xσHx（（x，∞]) :=βψr（x）θg（x）νr（x）~V′（x）- Д′r（x）~V（x）=ψr（x）θg（x）（LДg）（x）（16）和x≤ xσHx([-∞, x））：=βДr（x）θg（x）ψ′r（x）~V（x）- ψr（x）~V′（x）=-νr（x）θg（x）（Lψg）（x），x∈ （十）*, x] ，0，x≤ 十、*.（17）我们现在表明，这些定义在[-∞, +∞]. 首先，根据g的单调性和非负性，我们得到g′（x）+θg（x）≥ 0.因此，（LДg）（x）≥ 0对于所有x≥ 十、*, i、 e.，σHx（（x，∞]) ≥ 0表示所有x≥ x、此外，根据假设（i）和（ii）（LДg）′（x）=（g′（x）- 2rg（x））Дr（x）β≤ 0对于所有x≥ 十、*意味着x 7→ σHx（（x，∞]) 是非递增的。其次，由于x*∈ 我们有（Lψg）（x*) = 假设（i）和（ii）保证（Lψg′（x）=（g′（x）- 2rg（x））ψr（x）β≤ 0，因此，（Lψg）（x）≤ 0表示所有x≥ 十、*, i、 e.，σHx([-∞, x）（）≥ 0表示所有x≤ x、和x 7→σHx([-∞, x））是非递减的。第三，根据Wronskian的定义，我们得到了σHx([-∞, x））+σHx（（x，∞])=ψr（x）θg（x）g′（x）S′（x）Д（x）-Д′（x）S′（x）g（x）-Дr（x）θg（x）g′（x）S′（x）ψ（x）-ψ′（x）S′（x）g（x）=θψ′（x）S′（x）Дr（x）-Д′r（x）S′（x）ψ（x）= 现在将上述三个步骤结合起来，并设置σHx（{x}）=0，表明σHx构成[-∞, +∞]. 因此，σhxin通过Martin表示法引入了一个与H重合的递推函数（参见[11]，第33页和[35]）。由于▄V（x）=▄V（x）H（x），建议的值▄V也过大。调用引理3.2完成了证明。备注4.5。（B）部分的结论在较弱的假设下也有效：（i）g∈ C（[x*, ∞)),（ii）LДg和Lψg在[x]上不增加*, ∞).在命题4.4的证明中，可以看出σhxin在[-∞, +∞].实际上，σHx({-∞}) = 0和σHx({+∞}) = 0

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2022-5-25 14:08:39

事实上，第一句话是从（17）开始的。第二个在if limx之后→+∞（LДg）（x）=0（参见（16））。为了验证这一点，回顾命题4.4的证明，（Lψg）（x）≤ 0表示x>x*, 因此，g′（x）≤ψ′r（x）ψr（x）g（x）=eθx- （2β- 1） e类-θxeθx+（2β- 1） e类-θxθg（x）≤ θg（x）。因此，对于x≥ x（LДg）（x）=β（g′（x）+θg（x））eθx≤ 2βθe-θxg（x）。（18）因为limx→∞E-θxψr（x）=1，假设limx→∞g（x）/ψr（x）=0我们有σHx({∞}) = 林克斯↑∞σHx（（x，∞]) = 0，如所述。命题4.4的（A）部分展示了如何利用比率g/ψrcan来刻画连续区域的子集。这些发现的一个有趣含义是(-∞, inf M） C、因此，如果最大化阈值x*在比率g/ψris负、唯一、an中，运动支付是增加的，并且在原点处是可微的或局部凸的，那么连续区域必须包含这两个集合(-∞, 十、*) 以及一个开放的起源社区。这一结果很好地说明了与倾斜点处潜在差异的奇异性相关的复杂性。正如我们稍后将观察到的，这种现象甚至出现在分段线性奖励函数中。命题4.4的第（B）部分依次陈述了一组条件，在这些条件下，一般的最佳时机问题构成了一个标准的单一练习边界问题，其中基础过程在达到临界阈值x时立即停止*> 0时，比率g/ψRis最大化。第（B）部分的结果自然可以扩展到最大化阈值为负的情况，即x*< 0

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2022-5-25 14:08:43

然而，从命题4.1中可以清楚地看出，在这种情况下，行使支付必须在斜交点附近保持不变，因为从另一方面来说，原点不能属于停止集。关于x的主要结果*< 0现在总结在以下命题中。提案4.6。假设M={x*}, 其中x*< 0，且除条件（g1）和（g2）外，行使支付满足条件（i）g∈ C（[x*, ∞)),（二）（1）-β） θe-θx*g（x*) > βg′（0）>0，（iii）g′（x）- 2rg（x）<-ε表示所有x≥ 十、*有些ε>0。然后，方程组（Lψg）（x）=（Lψg）（y）（LДg）（x）=（LДg）（y）（19）具有唯一解y*= （y）*, Y*) 这样y*∈ （十）*, 0）×（0，∞). 此外，τ*= inf{t≥ 0:Xt∈ A} A=[x*, Y*] ∪ [是*, ∞) 是最佳停止时间，值为asV（x）=g（x），x∈ [x*, Y*] ∪ [是*, ∞),g（x*)ψr（x）ψr（x*), 十、∈ (-∞, 十、*),g（y*) Exhe公司-r^τy*; ^τy*< ^τy*i+g（y*) Exhe公司-r^τy*; ^τy*< ^τy*i、 x个∈ （y）*, Y*),（20） whereExhe公司-r^τy*; ^τy*< ^τy*i=Дr（x）ψr（y*) - ψr（x）Дr（y*)ψr（y*)^1r（y*) - ^1r（y*)ψr（y*)Exhe公司-r^τy*; ^τy*< ^τy*i=ψr（x）Дr（y*) - ψr（x）ψr（y）*)ψr（y*)^1r（y*) - ^1r（y*)ψr（y*).证据我们首先确定方程组（19）具有唯一解y*∈ （十）*, 0）×（0，∞).为了完成这项任务，我们首先观察到（19）可以用（12）和（13）表示为（1）- β）（q（x）+q（x））=β（q（y）+q（y））q（x）- q（x）=q（y）- q（y），（21），其中q（x）：=eθx（g′（x）- θg（x））和q（x）：=e-θx（g′（x）+θg（x））。现在考虑函数h：=q+q和h：=q的行为- q、自x起*< 0和（Lψg）（x*) = 0从（12）到q（x*) = 0，因此h（x*) = -h（x*) = E-θx*2θg（x*) > 此外，h（0）=2g′（0）>0，h（0）=-2θg（0）<0，且h′（x）=（eθx+e-θx）（g′（x）- 2rg（x））（22）h′（x）=（eθx- E-θx）（g′（x）- 2rg（x））。（23）我们的假设（iii）保证所有x>x的h′（x）<0*.

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2022-5-25 14:08:46

以完全类似的方式，我们发现，对于x>0，h′（x）<0，对于x，h′（x）>0∈ （十）*, 0）。此外，如果x>z>0，则应用标准中值定理yieldsh（x）- h（z）=Zxz（eθt+e-θt）（g′（t）- 2rg（t））dt=（g′（ξ）- 2rg（ξ））θ（eθx- E-θx）- （eθz- E-θz）证明limx→∞h（x）=-∞. 以类似的方式，我们发现limx→∞h（x）=-∞也现在考虑给定的x∈ [x*, 0]方程h（yx）=h（x），其中yx∈ [0，∞). h（x）在原点的连续性意味着x=0时，y=0。反过来，利用（23）意味着对于所有x∈ （十）*, 0）存在唯一的▄yx∈ （0，yx*) 满足h（~yx）=h（x）（s自h（x）起）↓ -∞ 作为x↑ ∞). 隐式差异产生y′x=h′（x）h′（~yx）<0。考虑给定x的下一步∈ [x*, 0]方程l（x）=l（^yx），其中l（x）=βh（x），x>0，（1- β） h（x）、x<0和^yx∈ [0，∞). h（x）的单调性意味着l（x）在（x）上单调递减*, 0）∪ （0，∞). 此外，sincel（0+）- l（0-) = βh（0）- （1）- β） h（0）=（2β- 1） 2g′（0）>0，l（x*) - l（0+）=2（1- β） θe-θx*g（x*) - βg′（0））>0和l（x）↓ -∞ 作为x↑ ∞ 我们注意到必然存在唯一的^x∈ （十）*, 0）因此l（^x）=l（0+，因此，使得^y^x=0。另一方面，因为l（x）<0 forx>l-1（0）我们注意到有一个唯一的^y∈ （0，l-1（0））这样的时间l（^y）=l（0-). 此外，隐式差异产生^y′x=（1- β） h′（x）βh′（^yx）>0。综合这些发现，y=0<和yx*> y^x>0=^y^x.解曲线的连续性和单调性x 7→ yx和x 7→ ^yx，x∈ （十）*, 0）然后证明他们有唯一的拦截点x**∈ （^x，0）使得yx**= ^yx**因此，使（21）成立。我们现在证明（20）构成值和τ*（6）的最优停车策略。最后，让▄V表示（20）右侧的建议值函数，y*:= 十、**和y*:= yx**= ^yx**.

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2022-5-25 14:08:50

很明显，V≥V。为了证明逆不等式，我们首先注意到▄V是连续且非负的。为了证明￠V是r-过量，请将x>y*并确定映射^H:R 7→ R+as^H（x）：=V（x）/V（x）=V（x）/g（x。与命题4.4的证明一样，定义x≥ xσ^Hx（（x，∞]) :=ψr（x）θg（x）（LДg）（x）和x≤ xσ^Hx([-∞, x））：=Дr（x）θg（x）~V（x）d-ψrdS（x）- ψr（x）d-VdS（x）=-νr（x）θg（x）（Lψg）（x），x∈ （y）*, x] ，则，-νr（x）θg（x）（Lψg）（y）*), 十、∈ （y）*, Y*],-νr（x）θg（x）（Lψg）（x），x∈ （十）*, Y*],0，x∈ (-∞, 十、*],式中，恒等式（Lψg）（y*) = （Lψg）（y）*) 已使用。我们现在表明，这些定义在[-∞, +∞]. 首先，练习payoff g的单调性和非负性意味着g′（x）+θg（x）>0，因此，从（13）（Lνg）（x）≥ llx为0≥ Y*, i、 e.，σ^Hx（（x，∞]) ≥ x为0≥ x、此外，（LДg′（x）=β（g′（x）- 2rg（x））~nr（x）<0所有x∈ [x，∞) 意味着x 7→ σ^Hx（（x，∞]) 是非增量的。其次，因为（Lψg）（x*) =0和（Lψg）′（x）=β（g′（x）- 2rg（x））ψr（x），x∈ （0，∞),（1）- β）（g′（x）- 2rg（x））ψr（x），x∈ （十）*, 0），（24）通过应用假设（iii）Lψg减且在（x）上为负*, ∞). 因此，x 7→ σ^Hx([-∞, x））对于x为非负且非递减≤ x、第三，我们应该检查σ^Hx([-∞, x））+σ^Hx（[x+∞]) = 1，但这与利用沃伦斯基关系的命题4.4的证明类似。这就得出了∑^hx构成概率测度的证明[-∞, + ∞]. 概率测度σ^hx通过Martin r表示引入了一个与^H一致的r-exc递推函数（参见[11]，第33页和[35]）。由于▄V（x）=▄V（x）H（x），我们发现提议的值▄V（x）也是r-excessive。仍需证明▄V支配着执行支出。很明显▄V≥ g代表allx∈ (-∞, Y*] ∪ [是*, ∞).

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2022-5-25 14:08:55

因此，有必要分析差异（x）：/V（x）- g（x）在（y）上*, Y*). 请注意（y）*) = （y）*) = 0、应用[35]中的公式（3.4），其中我们选择性别=y*结果为▄V（x）▄V（x）=σ^Hx([-∞, x））^1r（y）*)Дr（x）+σ^Hx（（x，∞])ψr（y*)ψr（x），x∈ （y）*, Y*).自σ^Hx（[y*, Y*]) = 0该表达式简化并产生▄V（x）=g（y*)-^1r（y*)θg（y*)（Lψg）（y）*)Дr（x）Дr（y*)+ g（y*)ψr（y*)θg（y*)（Lхg）（y）*)ψr（x）ψr（y*)= -（Lψg）（y）*)θДr（x）+（LДg）（y*)θψr（x）。此外，利用（24），假设（iii），并注意到DDX（x） ψr（x）=S′（x）ψr（x）（（Lψg）（y*（一）- （Lψg）（x））对于x∈ （y）*, 0）∪（0，y*) 显示/ψris在（y）上增加*, 0）因此（x） >0表示所有x∈ （y）*, 0）。以完全类似的方式，我们发现（x） /ψr（x）为x递减∈ （0，y*) 因此（x） >0表示所有x∈ （0，y*) 也的连续性然后证明（x） >0表示所有x∈ （y）*, Y*) 因此，建议的d值V支配着运动支付。我们现在可以调用引理3.2来完成对建议的证明，备注4.7。命题4.6的结论来自于超越映射的一般性质及其表示度量，因此，除了斜交点的奇异性和驱动过程的生成器之外，不需要详细的过程特定信息。在这方面，即使在比SBM设置更一般的情况下，开发的证据也适用。正如命题4.6的证明所表明的，在某些情况下，当下边界x*= Y*构成价值的一个切入点。下面的推论陈述了这一观察结果成立的一组条件。推论4.8。假设M={x*, Y*}, 其中x*< 0<y*. 还假设命题4.6的条件（i）-（iii）满足。

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2022-5-25 14:08:58

那么Γ={x*} ∪ [是*, ∞), C=(-∞, 十、*) ∪ （十）*, Y*),和值isV（x）=g（x），x∈ {x*} ∪ [是*, ∞),ψr（x）g（y*)ψr（y*), 十、∈ (-∞, 十、*) ∪ （十）*, Y*).（25）证明。该声明是第4.4条和第4条提案（a）部分的直接含义。6.5明确说明我们的目标是通过假设运动奖励读数为s g（x）：=（x+K）+，K>0来明确说明第4节中的主要结果。回想一下，M表示比率g/ψr的最大点集，参见（7）。我们关于价值和最优停车策略的主要结果如下：命题5.1。对于所有β∈ （1/2，1）且K>0存在一个满足等式β+βln的唯一临界贴现率^r=^r（β，K）β+qβ+（2β- 1） e2级(√2^rK-（1）=qβ+（2β- 1） e2级(√2^rK-1）。（26）此外，^r作为β的函数而增加。（A）假设r<^r.那么，M={x*} 带x*> 0、最优停车策略为τ*= inf{t≥ 0:Xt≥ 十、*} 该值如（14）所示。（B）假设r=^r。那么M={x*, 十、*}, 其中x*> 0和X*=θ- K<0。（27）最优停车策略为τ*= inf{t≥ 0:Xt∈ {x*} ∪ [x*, ∞)} 该值如（25）所示。（C）假设r>^r。那么，M={x*} 其中x*如（27）所示。最佳停止策略为τ*= inf{t≥ 0:Xt∈ [x*, Y*] ∪ [是*, ∞)}, 其中（y*, Y*) ∈ （十）*, 0）×（0，∞) 构成方程s系统（19）的唯一解，其值如（20）所示。证据在接下来的内容中，我们将展示上述三种不同的情况（A）-（C），并与命题4.4、推论4.8和命题4.6中描述的情况相对应，这取决于关键参数β、r和K的精确大小。我们首先提供任何β的值∈ （1/2，1）和K>0方程（26）有唯一解^r。

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2022-5-25 14:09:01

为此，fixk>0，并考虑θ>0和β∈ [1/2，1]函数c（θ，β）：=β+βlnβ+qβ+（2β- 1） e2（θK-（1）-qβ+（2β- 1） e2（θK-1）。标准差异屈服强度cθ（θ，β）=-（2β- 1） e2（θK-1） Kβ+pβ+（2β- 1） e2（θK-1） <0（28）Cβ（θ，β）=1+lnβ+qβ+（2β- 1） e2（θK-（1）+β-pβ+（2β- 1） e2（θK-1） 2β- 因此，从（28）开始，C作为θ的函数单调递减。尤其是对于所有β∈ （1/2，1）我们有c（1/K，β）=β+βlnβ+pβ+2β- 1.-pβ+2β-1>0，C（θ*, β） =βln公司β1- β-2β- 11- β< 0，其中θ*=1+lnβ1- βK> K.（30）调用C的单调性和连续性作为θ的函数，表明方程（26）有唯一的解，如所述。接下来我们展示β7→ ^r（β）正在增加。要了解情况确实如此，请考虑函数^θ：=√2^r，观察方程C（^θ，β）=0的隐式微分得出^θ′=-Cβ（^θ，β）Cθ（^θ，β）。（31）由于Cθ<0乘以（28），因此有必要沿解析曲线β7研究Cβ的符号→^θ（β）。自^θ<θ*和^θK-1<ln（β/（1- β），我们从（29）中得到，使用恒等式C（^θ，β）=0表示Cβ（^θ，β）=1- ββ（2β- （1）β1- β-qβ+（2β- 1） e2（^θK-（1）> 因此，从（31）和（28）可以得出^θ′>0，因此，^r在增加。我们现在开始证明（A）-（C）。根据我们的一般分析，我们知道我们应该考虑函数ur（x）的最大点：=（x+K）+ψr（x）=2β（x+K）eθx+（2β- 1） e类-θx，x>0，e-θx（x+K）+，x≤ 0、标准偏差yieldsl（x）：=ψr（x）u′r（x）=2βeθx（1- θ（x+K））+1.-2βE-θx（1+θ（x+K）），x>0，eθx（1- θ（x+K）），-K<x<0,0，x<-K、我们立即通知如下l（0-) = 1.- θK，l（0+）=1-β- 1.θK，l（0+）- l（0-) =2β- 1βθK>0，且limx→∞l（x）=-∞. 此外，因为对于x>-Kl′（x）=-θ（x+K）2βeθx+1.-2βE-θx, x>0，-eθxθ（x+K），-K<x<0，根据θ、β和K的精确值，可能会出现两种不同的配置。

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2022-5-25 14:09:04

Fir st，ifθK≤ 1，然后是l（0-) ≥ 0和l的单调性保证了urattains在x处有唯一的全局最大值*> 0满足普通一阶条件u′r（x*) = 0，等于θx*（1）- θ（x*+ K））+（2β-1） e类-θx*（1+θ（x*+ K））=0。（33）这种情况对应于命题4.4第（B）部分所描述的情况，因此，当θK≤ 1.其次，如果θK>1，则l(-K） =e-θK＞0与l的单调性(-K、 0）确保urattains在点X处达到局部最大值*=θ- K<0。如果l（0+）=1-β- 1.θK>0，则urattains在阈值x处出现局部最大值*> 0也令人满意（33）。但是，如果l（0+）≤ 0，那么l的单调性意味着x*构成urand的全局最大点M={x*}. 因此，在l（0+）>0的情况下，设置MHA最多为两个点。为了确定M={x的参数值*, 十、*} 我们考虑方程（x*) - ur（x*) = 0。（34）自u′r（x*) = u′r（x*) = 0它认为ur（x*) = 1/ψ′r（x*) 和ur（x*) = 1/ψ′r（x*). 因此，（34）与ψ′r（x）等价*)-ψ′r（x*)=2βθ（eθx*- （2β- 1） e类-θx*)-θeθK-1=0。（35）因此，M={x*, 十、*} 带x*> （33）中的0当且仅当x*satis（35），与E2θx相等*- 2βe1-θKeθx*- （2β- 1） =0（36），表示X*=θlnβe1-θK+qβe2（1-θK）+（2β- （1）. （37）将表达式替换为2β-1从（36）到（33）yieldseθx*= βe1-θK（1+θ（x*+ K））。（38）通过在（38）中应用（37），我们得出结论，M={x*, 十、*} 当且仅当β∈ 如权利要求所述，[1/2，1]和θ>0等于C（β，θ）=0。这证明了情况（B），以及（A）和（C），因为该值是r的非递增函数。备注5.2。对于β=1方程（26）和θ：=√2^r读数为1+ln1+q1+e2（^θK-（1）=q1+e2（^θK-1），唯一解由^θK给出≈ 1.64132。注意β7→ θ（β）将θ（β）的极限增加为β↓ 1/2存在。Asβ↓ 1/2，则必须x*in（37）趋向于0。

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2022-5-25 14:09:08

因此，limβ↓1/2θ（β）=1/K。因此，临界参数边界β7→ θ（β）是连接极值点（1/2，1/K）和（1，1.64132/K）的递增函数。当K=1时，如图1所示。在K=1和0的假设下，与最优ex-ercise策略相关的最优边界如图2中偏度参数β的函数所示。60.70.80.91。Β0.250.50.751.1.251.5Θ三边界问题单边界问题图1：临界边界；K=1r=0.95。从图中可以看出，只要偏度参数β保持在临界水平β以下，所考虑的停止问题就构成了一个三边界问题*在我们的参数假设下是β*≈ 0.7445。一旦偏度超过这个临界水平，问题就变成了一个单边界问题，决策者等待，直到底层达到最大化比率（x+K）+/ψr（x）的上限阈值。这一观察结果的原因很清楚：由于β的值非常低，通过等待并将时机决定推迟到未来，可获得的跨期收益将超过在原点附近立即行使的回报。随着偏度参数的增加，预计越来越多的偏移将结束于正方向，从而增加了等待更高回报的意愿。0.60.70.80.91。图2：最佳停车边界；K=1，r=0.95。在K=1和β=0.55的假设下，与最佳运动策略相关的最佳边界依次为图3中参数θ的函数。与偏态参数β的影响相反，较高的折扣会加速最佳时机，从而降低等待的动机。

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2022-5-25 14:09:12

因此，我们现在从图3中注意到，所考虑的问题仅在非集中度低于临界水平r时才构成单一边界问题≈ 0.5983。在这一临界水平以上，等待未来潜在的更高回报不再是所有状态下的最优选择，最优运动策略变成了三边界停止规则。0.60.70.80.91。r-0.3-0.2-0.10.1xx1*y1*y2*x*r`图3：最佳停车边界；K=1，β=0.55.6结论我们研究了一类SBM的最优停车问题。我们发现，由于歪斜点的存在而产生的局部方向性可预测性对基础差异的最优停止策略有着不平凡且有些令人惊讶的影响。更准确地说，我们创建了一组相对较弱的单调性条件，这些条件由一大类的exercisepayoff满足，在此条件下，斜交点总是包含在连续区域中。在这种情况下，在斜交点附近推迟理性练习总是值得的。这一发现的一个有趣的含义是，即使运动支付是线性的，这个问题也可能成为一个三边界问题。我们还分析了价值和最佳时机政策的相对静态特性，并确定价值是增加支付的倾斜度的n递增函数。根据这一观察结果，更高的偏度扩展了持续区域，从而增加了等待的动机。我们的分析可以向两个自然方向扩展。首先，考虑到偏态也可用于其他偏离布朗运动，考虑潜在偏离的奇异性如何在更一般的模式框架内影响最佳停止策略及其值，这自然是令人感兴趣的。

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2022-5-25 14:09:14

其次，考虑到最优停止与脉冲控制和基础变量控制问题之间的密切联系，研究偏度如何影响这些相关问题中的最优策略自然是有意义的。这两个扩展都超出了本研究的范围，有待于将来的研究。致谢：作者感谢S¨oren Christensen提出的建设性意见。参考文献[1]Alvarez E.，L.H.R.关于一类分歧的R-过度映射的性质，2003年，《应用概率年鉴》，131517–1533年。[2] Anatolyev，S.和Gospodinov，N.《通过分解建模财务回报动态》，2010年，《商业和经济统计杂志》，28232-245。[3] Anatolyev，S.和Gerko，A.《预测性测试的交易方法》，2005年，《商业和经济统计杂志》，23455–461。[4] Appuhamillage，T.、Bokil，V.、Thomann，E.、Waymire，E.和Wood，B.《斜布朗运动的职业和当地时间及其在界面分散中的应用》，2011，《应用概率年鉴》，21，2050–2051。[5] Appuhamillage，T.和Sheldon，D.《斜布朗运动的首次通过时间》，2012年，《应用概率杂志》，49685-696。[6] Barlow，M.《斜布朗运动与一维随机微分方程》，1988年，《随机学》，25，1–2。[7] Beibel，M.和Lerche，H.R.《关于随机贴现下规则差异最优停止的说明》，1997年，中国统计局，7，93–108。[8] Beibel，M.和Lerche，H.R.《关于随机贴现下规则差异最优停止的说明》，2001年，《概率理论及其应用》，45547–557。[9] Bekiros，S.D.和Georgoutsos，D.《金融资产回报的非线性动力学：CBOE波动率指数的预测力》，200 8，《欧洲金融杂志》，14397–408。[10] Be kiros，S.D.和Georguotsos，D。

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2022-5-25 14:09:17

使用基于波动率的电流神经网络预测变化方向，200 8，《预测杂志》，27，407–417。[11] Borodin，A.和Salminen，P.《布朗运动手册-事实和公式》，第2版。（第二次印刷），2015年，巴塞尔Birkhaus-er。[12] Burdzy，K.和Che n，Z.-Q。与斜布朗运动相关的当地时间流，2001年，《概率年鉴》，291693-1715年。[13] Chevapatrakul，T.《基于条件风险的回报信号预测：来自英国股市指数的证据》，2013年，《银行与金融杂志》，372342–2353。[14] Christensen，S.和Irle，A.《用于最优停止干扰的调和函数技术》，2011年，《随机：概率与随机过程国际杂志》，83347–363。[15] Christo Offersen，P.F.和Diebold，F.X.《金融资产回报、变化方向预测和波动动力学》，2006年，《管理科学》，521273-1287。[16] Christo Offersen，P.F.、Diebold，F.X.、Mariano，R.S.、Tay，A.S.和Tse，Y.K基于条件方差、偏度和峰度动力学的变化预测方向：国际证据，2006年，《金融预测杂志》，1，3–24。[17] Corns，T.R.A.和Satchell，S.E.《斜布朗运动与欧洲期权定价》，2007年，《欧洲金融杂志》，13，52 3–544。[18] Crocce，F.和Mordecki，E.《一维差分的单侧最优停止问题的显式解》，2014，《随机：概率与随机过程国际杂志》，8 6，491–509。[19] Dayanik，S.和Karatzas，I.《关于一维差分的最优停止问题》，2003年，《随机过程及其应用》，107，173–212。[20] Deca mps，M.、de Schepper，A.、Goovaerts，M.和Schoutens，W.《关于一些新永续财产的说明》，2005年，《斯堪的纳维亚精算杂志》，4261-270。[21]Deca mps，M.、Goovaerts，M.和Schoutens，W。

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2022-5-25 14:09:21

不对称斜贝塞尔过程及其在金融中的应用，2006，《计算与应用数学杂志》，186130–147。[22]Deca mps，M.、Goovaerts，M.和Schoutens，W.《自激的阈值利率模型》，2006年，载于《国际理论与应用金融杂志》，第9期，第1093-1122页。[23]Ekstrom，E.和Villeneuve，S.关于最优停止博弈的价值，2006，《应用概率年鉴》，1 61576-1596。[24]Harrison，J.M.和Shepp，L.A.，关于斜布朗运动，1981，《可能性年鉴》，9309-313。[25]H¨am¨al¨ainen，J.《带方向回报估计的投资组合选择》，2015年，可在SSRN上获得：http://ssrn.com/abstract=2279823【26】Ito，K.和McKean，H.P.，Jr.Diffusion processes and t heir sample paths，1974，SecondPrinting，Springer，Berlin。【27】Lejay，A.《关于斜布朗运动的构造》，200 6，《概率调查》，3413–466。[28]Lejay，A.、Mordecki，E.和Torres，S.是布朗运动S基尤吗？，2014年，斯堪的纳维亚统计杂志，41346-364。【29】Matom–aki，P.《边界附近的最优停止和控制》，2015年，arXiv:1308.2478【30】Nyber g，H.《用动态二元概率模型预测美国股市的方向》，20 11，《国际预测杂志》，27，561–578。[31]OukineY.S kew Brownian运动和导出过程，1991，概率理论和应用，35163–169。【32】Protter，P.《随机积分和微分方程》，2004年，Springer-Verlag，第2版。【33】Ro sello，D.《斜布朗运动模型中的套利》，2012年，《保险：数学与经济学》，第50、50–56页。[34]Rydberg，T.H.和Shepa rd，N.D yn amics of trade by trade price movements：分解和模型，2003年，《金融计量经济学杂志》，1，2–25。【35】萨尔米宁，P。

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