非流动资产的最优组合

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收藏 2022-05-26

英文标题：
《Optimal Portfolios of Illiquid Assets》
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作者：
T. R. Hurd, Quentin H. Shao, Tuan Tran
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
This paper investigates the investment behaviour of a large unregulated financial institution (FI) with CARA risk preferences. It shows how the FI optimizes its trading to account for market illiquidity using an extension of the Almgren-Chriss market impact model of multiple risky assets. This expected utility optimization problem over the set of adapted strategies turns out to have the same solutions as a mean-variance optimization over deterministic trading strategies. That means the optimal adapted trading strategy is both deterministic and time-consistent. It is also found to have an explicit closed form that clearly displays interesting properties. For example, the classic constant Merton portfolio strategy, a particular solution of the frictionless limit of the problem, behaves like an attractor in the space of more general solutions. The main effect of temporary market impact is to slow down the speed of convergence to this constant Merton portfolio. The effect of permanent market impact is to incentivize the FI to buy additional risky assets near the end of the period. This property, that we name the Ponzi property, is related to the creation and bursting of bubbles in the market. The proposed model can be used as a stylized dynamic model of a typical FI in the study of the asset fire sale channel relevant to understanding systemic risk and financial stability.
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中文摘要：
本文研究了具有CARA风险偏好的大型无监管金融机构（FI）的投资行为。它展示了金融机构如何通过扩展多重风险资产的Almgren-Chris市场影响模型来优化其交易，以应对市场流动性不足。在一组适应策略上的预期效用优化问题与确定性交易策略上的均值-方差优化问题具有相同的解。这意味着最佳适应交易策略既具有确定性又具有时间一致性。还发现它有一个显式的闭合形式，可以清楚地显示有趣的特性。例如，经典的常数Merton投资组合策略是问题无摩擦极限的一种特殊解决方案，其行为类似于更一般解空间中的吸引子。临时市场影响的主要影响是减缓收敛到该恒定默顿投资组合的速度。永久性市场影响的效果是激励金融机构在接近期末时购买额外的风险资产。这种财产，我们称之为庞氏财产，与市场泡沫的产生和破裂有关。该模型可以作为典型金融机构的程式化动态模型，用于研究与理解系统风险和金融稳定性相关的资产抛售渠道。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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mingdashike22

2022-5-26 18:34:14

非流动资产的最佳组合t。R、 Hurd，Quentin H.Shao，Tuan Tran加拿大麦克马斯特大学数学与统计系，2016年10月4日摘要本文研究了具有CARA风险偏好的大型无监管金融机构（FI）的投资行为。它展示了金融机构如何通过扩展多重风险资产的Almgren-ChrisMarket影响模型来优化其交易，以应对市场流动性不足。在一组适应策略上的预期效用优化问题与确定性交易策略上的均值-方差优化问题具有相同的解决方案。这意味着最佳的交易策略既具有确定性又具有时间一致性。还有一个显式的封闭形式可以清楚地显示有趣的属性。例如，经典的常数Merton投资组合策略是问题无摩擦极限的一种特殊解决方案，其行为就像是更一般解空间中的吸引子。暂时性市场影响的主要影响是减缓与默顿不变投资组合的趋同速度。永久性市场影响的效果是激励金融机构在接近周期结束时购买额外的风险资产。这种财产，我们称之为庞氏财产，与市场中泡沫的产生和破裂有关。在研究与了解系统风险和金融稳定性相关的资产转售渠道时，所提出的模型可以作为典型金融机构的风格化动态模型。1简介在马科维茨均值方差策略（Markowitz[11]）和默顿投资组合模型（Merton[12]）等具有里程碑意义的贡献之后很久，我们对最优投资组合选择的理解不断发展。

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nandehutu2022

2022-5-26 18:34:17

我们现在已经学会了如何分析不完美市场中的投资，这些不完美市场具有摩擦，如交易成本（Davis和Norman【8】、Perold【14】）和价格影响（Almgrenand Chriss【1】、Almgren【3】、Schoneborn【18】），以及复杂的动态，如跳跃（Cartea和Jaimungal【6】、Moazeni等人【13】、Pham和Tankov【15】）。事实上，这个问题已经产生了数百篇研究论文。我们现在的目标是为多资产环境下的大型金融机构（FI）提供一个可解的最优投资模型。它基于预期效用最大化标准，并考虑了市场流动性不足，这意味着要支付的交易成本以及交易对价格有永久影响的事实。潜在的投资资产可能流动性很差，被假定遵循Bachelier动力学，这意味着它们是由相关的算术布朗运动建模的。为了使这些假设具有财务意义，最优策略只能在足够短的时间范围内实施，以使学士动力学保持合理的近似值（在我们的示例中，我们将T=1/2年作为基准）。我们得到的这类最优策略具有几个显著的性质。首先，一般多维问题有一个封闭形式的解，可以用矩阵值方程表示，该方程可以在可控误差下高效计算。其次，解决方案取决于一系列重要参数：临时价格影响、永久影响、风险规避、初始投资组合权重、无风险利率和Bachelier动力学的基本参数。第三，最优策略是一种先验适应的过程，用于解决梅顿问题的一个版本，在有限的时间范围内具有确定性，并可解决马科维茨均值-方差优化的厌恶。

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nandehutu2022

2022-5-26 18:34:20

这一性质意味着我们的投资策略与动态规划完全一致，尽管它是一个时间不一致的均值-方差优化问题的确定性解。本文旨在研究市场流动性不足对金融机构行为的影响。资金流动性不足（例如，见Brunnermeier和Pedersen[5]）是金融机构资产负债表可能遭受存款人意外提款导致的资金冲击的显著影响。为了保持票据交换所关注的市场流动性，假设存款是固定的，并且足以支持金融机构的所有资产购买，就排除了资金流动性不足的可能性。提出的模型及其解决方案与现有文献的一些重要贡献密切相关。当假设永久和临时影响均为零时，我们的解决方案简化为马科维茨最优投资组合，或等效于默顿最优解决方案。所提出的融资问题受到Almgren和Chris研究的均值-方差最优清算问题的启发[1]，但不同之处在于，在最终时间T时，投资组合持有量没有受到限制。最后，在某些初始条件下，金融机构将寻求清算大量头寸，形成所谓的资产再出售。我们的策略扩展到了这种情况，并给出了类似于Brown等人讨论的自然标准，解决了不同资产清算顺序的问题。2最优投资组合策略本论文将研究具有CARA风险偏好的大型金融机构（FI）的投资策略（CARA是常数绝对风险厌恶的缩写，在不完全流动的市场中在有限的时间范围内持续交易。这与Zhang[19]中研究的问题类似。

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nandehutu2022

2022-5-26 18:34:24

通过平衡大型金融机构的投资组合所导致的变化可能占这些资产每日总交易量的很大一部分，并对这些资产的价格产生重大影响。众所周知，这种影响将导致金融机构将大订单分解为小部分，随着时间的推移分散开来，以降低市场流动性成本，同时仍旨在重新平衡其投资组合。通过花更多时间降低流动性成本，金融机构现在面临着资产价格的传统不确定性。为了处理流动性成本和价格不确定性之间的微妙平衡，金融机构将倾向于考虑效用优化。使用指数（CARA）效用函数进行优化有很好的经济原因：它导致了一个易于处理的时间一致性策略，其中额外的信息不会提供额外的效用，并且类似于Almgren和Chriss的原始平均方差优化[1]。由于该策略仅在[0，T]期间实施，金融机构将在T时更新其信息，并以类似的方式继续在后续期间进行平衡。这种重新平衡对于解释模型的短缺、资产负债表的变化以及导致价格动态参数发生根本变化的意外事件是必要的。关于这个问题，我们将进行一些简化。金融机构在任何给定时间t内可用的总信息由过滤{Ft}t建模≥给定概率空间上的0(Ohm, F、 P）。市场由零利率的无风险资产和真实价格过程为（S（1）t，…）的风险资产组成。。。，S（d）t），其交易价格过程为▄St=（▄S（1）t。。。，S（d）t）。在这里和下面，我们采用矩阵表示法，其中Mdenotes是M的矩阵转置。

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大多数88

2022-5-26 18:34:28

让我们用（qu）u表示风险资产中持有金额的向量∈[t，t]和vu得出的大交易者交易率向量：=˙qu：=dqu/du，u∈ [t，t]。像Almgren和Chris等人一样，我们假设风险资产的价格遵循d-同时具有线性永久和线性临时市场影响的维度Bachelier模型（分别由∧和Γ参数化）：dSt=（λvt+u）dt+∑dBt，~St=St+Γvt.（1）这里，Btis a d-维布朗运动与∑∈ Rd×dis波动率矩阵。漂移项u=b-d+λQ∈ Rdi假定为常数。它考虑了趋势率b、股息率d和外部交易者Q造成的累计永久市场价格影响。当然，不需要线性市场影响的更一般模型是可能的，并且不会改变许多相同的基本属性。然而，线性影响的假设会导致更易处理的最优策略。此外，如Gatheral和Schied所示[9]，通过选择线性的永久影响，可以排除所谓的动态冲击。进一步假设永久和临时影响矩阵∧和Γ对称且非负定义。Γ对称的假设没有失去一般性。另一方面，并非出于经济原因，而是为了方便起见，假设∧是对称的：当它有一个反对称部分时，可以得到更复杂的显式解。Almgren和Lorenz【2】、Gatheral和Schied【9】以及Schied和Schoneborn【16】研究了与我们相似的模型。我们参考Hurd等人[10]的评论，了解这些模型和其他类似模型的进一步背景和合理性。2.1默顿问题默顿问题（Merton’s problem）介绍于默顿（Merton）[12]，旨在确定连续时间市场模型中效用优化投资者所遵循的策略。

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能者818

2022-5-26 18:34:31

为此，我们现在考虑最一般的投资组合策略或控制过程，即在一段时间间隔内根据市场影响模型（1）进行交易 R+。在我们的环境中，每种可能的策略都将是简单的d- 维度交易率过程V=（vu）u∈适应信息过滤{Ft}的[s，t]：我们用∏ad[s，t]表示此类可接受策略的集合。确定性策略的子类，其中每个值vu，u∈ [s，t]是fs可测量的，用∏det[s，t]表示。给定任何控制过程v∈ πad[0，s]对于0<t<s，所欠债务的现金净额t：=Cv并标记为市场权益，或所欠债务的资产净额，Xt：=Xvt：=Ct+qtStare，由：Ct=C给出-ZtvuSudu=C-ZtvuSudu-ZtvuΓvudu，（2）Xt=X+ZtqudSu-ZtvuΓvudu。（3）其中，第二个方程通过分段积分得到。请注意，这里和以后，将省略标记由v控制的进程的上标v。根据公司资产负债表，对（2）和（3）的解释是，由于s的波动，资产是随机的，而债务（被认为是存款）被认为是恒定的，并且足以为所有交易提供资金。换句话说，我们关注的是市场流动性不足，而不是资金流动性不足。当一家公司的权益X变为负值时，该公司就会破产，这符合有限责任原则。在下文中，如果一家破产企业的负资产XT在时间T小于0，则该企业将被视为违约，这意味着破产法将适用于该企业。金融机构现在可以尝试解决CARA投资者的Merton最优问题，在任何时期内，绝对风险规避参数λ>0【t，t】。对于每个t，它们可以用确定性等价值Wt，Jt：=-e-λWt：=supv∈πad[t，t]-E类[-e-λXT | Ft].

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nandehutu2022

2022-5-26 18:34:34

（4）如果存在上确界，则通过采用V表示的最优控制来实现*（t） =（v*u（t））u∈[t，t]，这将是一个在[t，t]之上的自适应过程。CARA投资问题通常满足动态规划原则（seeSchied等人[17]），这意味着对于任何≤ t型≤ T，v*u（t）=v*u代表所有u≥ 坦德- e-λWs=supv∈πad【s，t】-E【E】-λWt | Fs]. （5）限制于[t，t]上确定性策略的投资者无法获得比方程（4）更高的确定性等价值。因此，IFFWT定义为- e-λfWt：=supv∈πdet[t，t]-E类[-e-λXT | Ft]（6） THINFWT公司≤ Wt。本文的第一个结果（下一个结果）是，（4）总是通过确定性策略进行优化，因此Wt=fwt≥ 此外，在后续章节中会发现，最优控制函数和值函数可以用封闭形式表示，其中包含一维积分，用于求解Riccati型普通微分方程组。然而，首先，有一个关于符号的注释：因为v*和q*事实证明，这是确定性的，因此，我们将用随机过程符号vuby函数符号v（u）代替，并且抑制对投资周期的依赖性[t，t]。定理2.1。在上述建模假设下，存在（可能是有限的）最大时间T*∈ R+∪ {∞}) 因此，对于任何有限时间范围[t，t]，0≤ t型≤ T≤ T*:1、最优策略v*（u），u∈ [t，t]存在，是唯一的，是可测量的，甚至是确定的。2、[t，t]上的值函数fwatchieved，当限制为确定性策略时，等于Wt.3。值函数的形式为Wt=Xt+V（T-t、 q）式中V（τ，q），τ=t-t求解非线性偏微分方程- τV+qu-λq∑∑q+（λq+qV）Γ-1（λq+在域[0，T]×Rd.4上，qV）=0，V（0，q）=0（7）。

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何人来此

2022-5-26 18:34:37

给定时间t的初始持股量q，最优投资组合持股量q*（u）对于u∈[t，t]求解常微分方程组：dqdu=Γ-1.qV（T- u、 q）+∧q, q（t）=q。（8）这个定理的证明见附录。正如我们将在第3节中看到的，V（τ，q）是q中的二次型，具有随时间变化的系数，因此是q的ODE（8）*是线性的，可以显式求解。2.2平均值、方差、违约概率和时间一致性从方程（2）和（3）我们可以推断，如果v是确定性的，那么对于任何0≤ s≤ t型≤ T，以Fs为条件的权益Xt正态分布，平均值和方差为[Xt | Fs]=Xs+Ztsq（u）（λv（u）+u）- v（u）Γv（u）du，（9）Var[Xt | Fs]=Ztsq（u）∑∑q（u）du。（10）特别是，XT | Ftis始终正常这一事实意味着e-λXT | Ft]=e-λ（E[XT | Ft]-λVar[XT | Ft]（11），因此从（6）和定理2.1可以推断出wt=fWt=supv∈πdet[t，t]E[XT | Ft]-λVar【XT | Ft】. （12）这证明了众所周知的CARAoptimization确定性等价值与Markowitz均值-方差（M-V）优化值函数的相等性，以及当所考虑的最优均衡过程均为正态分布时，它们的最优策略的一致性。在实践中，对于机构投资者来说，企业违约概率（DP），即XT<0的概率，可能比方差更适合作为风险度量，因为它提供了需要控制的不良情景的更多信息。

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大多数88

2022-5-26 18:34:40

在Bachelier模型中，确定性策略遵循的正态性意味着在任何时间范围内[t，t]，平均方差（M-V）标准问题M-VVV（t，t，q，x，E）：=最小值∈πdet[t，t]Var[XT | Ft]（13）受E[XT | Ft]=E和平均违约概率（M-DP）标准问题M-DPWDP（t，t，q，x，E）：=minv∈πdet[t，t]P[XT<0 | Ft]（14）受E[XT | Ft]=E影响，当E[XT | Ft]=E>0时，均采用相同的最优交易策略求解。这是因为只要E[XT | Ft]>0是固定的，P[XT<0 | Ft]在Var[XT | Ft]中严格增加。此外，如果v*（λ）表示（12）和X的优化器*T（λ）是它所达到的最优公平，那么v*（λ）还优化了问题（13），前提是E=E（λ）：=E[X*T（λ）| Ft]，以及（14），如果加上E（λ）>0。由于默顿最优问题（4）始终满足Bellman的动态规划原则，其最优策略是“时间一致的”，这意味着为任意两个周期（t，t）和（s，t）计算的最优策略总是在交叉点（s）上重合∨t、 t）]。另一方面，众所周知（]）均值-方差优化通常是时间不一致的，从一次开始的最优适应策略通常不会在以后出现最优。令人惊讶的是，定理2.1结合方程式12表明，在目前的情况下，如果优化限于确定性策略，则平均方差和平均违约概率问题（13）和（14）实际上是时间一致的。以下结果汇总了这些关系。推论2.1.1。对于任何固定的时间范围【t，t】，设E（λ）=E【X】*T（λ）| Ft]是为最优策略v计算的预期权益值*（λ）具有风险规避参数λ的CARA投资问题（12）的。设E和E是E（λ）的上确界和上确界，当λ变化超过[0，∞). 然后：1。

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大多数88

2022-5-26 18:34:43

对于任何E∈ （E，E），存在唯一的λ=λ（E），使得E（λ）=E.2。对于E（λ）的所有可能值，确定性最优策略v*问题M-V与唯一自适应最优策略V相吻合*（λ）共（12）页。3、为任意两个时段（t，t）和（s，t）计算的最优策略是时间一致的，这意味着它们在交叉点（s）上重合∨ t、 t）]。4、如果E（λ）>0，则确定性最优策略v*问题M-V和问题M-DP也相互吻合。3明确的最优策略我们现在利用市场影响设置中默顿问题的可处理性，得出金融机构（FI）最优交易曲线的闭合公式（涉及矩阵代数和一维积分）。本节引用的技术与中针对最优清算问题开发的方法密切相关。提案3.1。在定理2.1的建模假设下，对于任何具有T≤ T*, 值函数Wt：=W（t，t，q，x）=x+V（τ，q），τ=t- 对于任何t∈ [0，T]的形式为v（τ，q）=qA（τ）q+B（τ）q+C（τ）（15），其中A，B，C分别是维数为[d，d]、[1，d]和[1，1]的矩阵值函数，具有对称性。对于τ>0，这些函数满足Riccati型常微分方程：A.τ- （A+λ/2）Γ-1（A+λ/2）+λ∑∑=0，A（0）=0，（16）Bτ- BΓ-1（A+λ/2）- u=0，B（0）=0，（17）Cτ-BΓ-1B=0，C（0）=0。（18）下一个定理（其证明见附录A）以闭合形式求解了这个Riccati方程组，即E：=Γ-1/2（λ/2）Γ-1/2和对称平方根D of D：=λΓ-1/2∑∑Γ-1/2。它还为最优策略q提供了一个闭合形式*.定理3.2。1.

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何人来此

2022-5-26 18:34:47

Riccati方程组（16）–（18）在最大区间[0，T]上的解*] 由a（τ）=Γ给出V（τ）U（τ）-1.- EΓ（19）B（τ）=uE- V（τ）U-1（τ）Γ（20）C（τ）=uZτE- 五（s）U（s）U（s）-1（E）- V（s））dsu（21），其中u：=D-2Γ-1/2u和矩阵值函数U，V由U（τ）=cosh（Dτ）给出- D-1sinh（Dτ）E（22）V（τ）=- sinh（Dτ）D+cosh（Dτ）E.（23）2。最大时间范围T*isT公司*= inf{τ>0:U（τ）不可逆}。T*如果D<E且∞ 如果D>E.3。对于任何（t，t，q，x），最优交易曲线q*（u）在[t，t]isq期间*（u） =Γ-1/2U（T- u） u型-1（T- t） Γ1/2q（24）+Γ-1/2U（T- u）祖图-1（T- r） Γ-1/2B（T- r） dr（25）4。对于任意（t，t，q，x），最优终端等式的期望值和方差为：E[x*T（λ）| Ft]=x+qA（T- t）-λL（T- t）q（26）+B（T- t）-λM（T- t）q+C（T- t）-λN（T- t），Var[X*T（λ）| Ft]=qL（T- t） q+M（t- t） q+N（t- t），（27）其中L、M、N的公式在附录A中给出。在D和E是交换矩阵的特殊情况下，这些公式解耦为一维问题，每个问题类似于我们接下来讨论的单个风险资产情况。3.1单一风险资产的情况在单一风险资产的情况下，可以验证标量函数a、B、C和最优交易策略q*（u）通过推导定理3.2中给出的公式得到相对简单的公式。注意，几个不同的可能性是由D=∑qλ2Γ和E=∧2Γ之间的关系确定的。提案3.3。在单一资产的情况下，1。当D>E或2λΓ∑>∧时，表示K=tanh-1（E/D）我们有U（τ）=cosh（Dτ-K） cosh K公式可以用双曲函数改写为followsa（τ）=-ΓD[tanh（Dτ- K） +tanh K]（28）B（τ）=uDsinh Kcosh（Dτ- K） +tanh（Dτ- K）（29）C（τ）=u4ΓD（sinh（Dτ- K）- 1）（tanh（Dτ- K） +tanh K）- Dτ（30）+u2ΓD（tanh K-sinh Kcosh（Dτ- K））。

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可人4

2022-5-26 18:34:52

（31）最优交易策略由Q（u）给出*=cosh（Dτu- K） cosh（Dτt- K） q+u2ΓD1.-cosh（Dτu- K） cosh（Dτt- K）（32）+usinh K cosh（Dτu- K） 2ΓD（tanh（Dτu- K）- tanh（Dτt- K）），（33），其中τs=T- s、 2。当D=E或2λΓ∑=∧A（τ）=0（34）B（τ）=uD时eDτ- 1.（35）C（τ）=u2Dλ∑e2Dτ- 2eDτ+Dτ+. （36）3。当D<E或0<2λΓ∑<∧时，表示K=coth-1（E/D）我们有U（τ）=-sinh（Dτ-K） sinh K.公式可以用双曲函数改写为followsa（τ）=-ΓD[coth（Dτ- K） +coth K]（37）B（τ）=uD-cosh Ksinh（Dτ- K） +coth（Dτ- K）（38）C（τ）=-u4ΓD（cosh（Dτ- K） +1）（coth（Dτ- K） +coth K）+Dτ（39）+u2ΓD（coth K+cosh Ksinh（Dτ- K））。（40）最优交易策略由Q（u）给出*=sinh（Dτu- K） sinh（Dτt- K） q+u2ΓD1.-sinh（Dτu- K） sinh（Dτt- K）（41）-ucosh K sinh（Dτu- K） 2ΓD（coth（Dτu- K）- coth（Dτt- K）），（42），其中τs=T- s、 4。当λ=0时，U（τ）=1- Eτ和V（τ）=E.MoreoverA（τ）=∧（1- U（τ）U（τ））（43）B（τ）=Γ∧（1- U（τ）U（τ））（44）C（τ）=uΓ6∧-U（τ）+6U（τ）- 8U（τ）+3U（τ）. （45）最优交易策略由Q（u）给出*= U（τU）qU（τt）+u4ΓEU（τt）+U（τt）- U（τU）-U（τU）. （46）第三和第四种情况是T*< ∞, 我们发现溶液变得无界：limτ→T*A（τ）=∞. 在情况1和2中，所有τ和T的解都有界*= ∞.3.2默顿解的小扰动在其原著《默顿》[12]中，罗伯特·默顿给出了资产价格遵循几何布朗运动的无摩擦市场中最优投资问题的精确解。他的解决方案技术还使我们的当前模型在零市场影响的极限下得到了精确的解决方案∧=0，Γ=0，我们称之为“默顿解决方案”。将上一节中的显式一般解视为默顿解的扰动，并研究其在市场影响为零时收敛的性质，这是一个有趣的问题。

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大多数88

2022-5-26 18:34:55

我们假设∧=∧，Γ=Γ带小用W（t，t，x，q，) 确定等价值函数及其依赖关系. 为简单起见，我们将注意力集中在上一节的单一资产案例上。初始条件为Xt=x，qt=qin的周期[t，t]上的默顿解将产生无交易成本的瞬时交易，达到最佳值qm：=uλ∑。然后该投资组合保持不变。可以看出，该策略实现了确定性等价值函数W（t，t，x，q，0）=x+u（t-t） 2λ∑，我们注意到它与q无关。现在，对于小, 我们模型的一般解由命题3.3的情况1给出，这导致了以下微扰展开式W（t，t，x，q，) = W（t，t，x，q，0）+1/2Q（q）+o(3/2）。（47）式中q（q）：=ΓDq+uDq+（2E- 1） D.（48）这里我们定义了D=σqλ2Γ，它不依赖于我们有D=-1/2天→∞ 像 → 很明显，E不依赖于任何一个因此，我们问题的值函数以收敛速度收敛到默顿解的值函数1/2。终端时间的最佳保持由Q给出*T=qM+（qt- qM）cosh Kcosh（Dτ- K） +EqM1- tanh（Dτ- K） D（1- tanhK）。（49）此处τ：=T- t、很简单，lim→0K=0，因此lim→0季度*T=qM。设A（τ）：=U（τ）V（τ）=D tanh（Dτ-K），初始时间t的交易率为给定的nbyvt=lims→t˙qs（50）=qtA（τ）+U（τ）u2ΓD[E（D- （￠A（τ）））D- E-A（τ）U（τ）]（51）=（qt- qM）D tanh（Dτ- K） +uE cosh K2ΓDcosh（Dτ- K）。（52）注意lim→0tanh（Dτ- K） =1和lim→0cosh（Dτ- K） =∞, 我们有Lim→0vt=±∞ 取决于qt>qM或qt<qM，即最佳策略是在开始时快速交易。

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nandehutu2022

2022-5-26 18:34:58

然后我们得出结论，最优轨迹q*（u，)当市场影响趋于零时，收敛到L形或Γ形曲线。这一结果意味着，当市场影响较低时，企业将遵循最优性交易策略，非常接近默顿问题的持续持有策略。一个更令人惊讶的事实是，如果永久影响∧=0，从默顿投资组合开始的投资组合将保持不变，并且所有策略，无论初始投资组合如何，都将在最初的一段时间内转向默顿投资组合。在下面的小节中，我们将显示多资产情况下的类似结果。4数字调查我们现在考虑假设的未受监管金融机构的投资行为，如对冲基金或共同基金。该公司在无风险回报率为0%的市场中交易单一风险资产，初始价格S=100美元。他们使用我们的CARA最优投资模型在不重叠的半年交易期内进行交易：我们在这里关注的是[0，T]，T=1/2。CARA风险规避参数λ的选择与每个时期1%的目标违约概率一致。因此，该公司将积极交易，以最大化其预期回报，并对潜在违约具有相当高的容忍度。表1中给出的模型校准参数在t=0的周期开始时固定。请注意，该公司仅在短期内使用Bachelier模型，并期望在每个成功期开始时重新校准。

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大多数88

2022-5-26 18:35:01

由于风险资产是非流动性的，因此存在与交易速度和交易总额相关的市场影响：假设这些因素会给出临时和永久市场影响参数估计值Γ=10美元-7年/（交易单位）和∧=4美元* 10-8个/单元。将考虑小型、中型和大型企业的资产负债表，所有资产与权益比率均为arisky 4:1。初始股票持有量为q=【50000、200000、800000】，由此确定初始公司股权和净债务现金为beX=0.25* q* S、 C=-0.75* q* S、如上所述，在所有三种情况下，金融机构都以最优策略下的固定违约概率为目标。这是通过选择内部风险规避参数λ来实现的，因此WDP（0，T，q，X，E（λ））=0.01。请注意，尽管最优策略不取决于X或固定λ，但λ的这一规定取决于X。因此，仅在Xdo中有所不同的公司采用不同的投资策略。表1：基准参数校准参数模型参数值初始股价S=100美元交易期[0，T]，T=0.5年20%年化波动率∑=20美元/单位/√年4%年增长u=4/单位/年临时市场影响Γ=10美元-7年/（单位）永久市场影响∧=4美元* 10-8/单位λ，违约概率=0.0005λ变量初始持有量q=[50000、200000、800000]初始现金净债务C=-0.75* q* 原始权益X=0.25* q* S4.1有效前沿图1显示了三家公司的预期净资产收益率（ERR）和违约概率（DP）在其CARA/MV/DP最优策略中如何取决于λ在一组可行值上的变化【0，∞). 这些量由公式R（λ）=T（E（λ）X计算- 1），DP（λ）=N-E（λ）pV（λ）！（53）其中N（·）表示标准法线的CDF，E（λ），V（λ）由（26）和（27）给出。

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mingdashike22

2022-5-26 18:35:05

这种图被称为有效前沿，它总结了企业通过采用不同的风险规避参数可能获得的结果。如前所述，三家公司各自选择由λ值给出的最佳投资策略，该值导致DP（λ）=0.01：根据表1中给出的基准参数，他们计算的三个值为λ=[2.56×10-7，6.7×10-8，1.83×-8] 。虽然图1表明，在其他条件相同的情况下，大型企业的效率边界较低，但可以通过增加永久冲击参数来反转这种排序。4.2最优交易曲线的性质为了更好地理解我们的方法产生的最优投资策略的性质，我们现在研究三个假设公司在单一资产情况下的最优交易是如何比较的，因为重要的模型参数与表1的基准参数不同。图2和图3总结了四个实验的结果，并显示了随着资产收益率、资产波动率、暂时性市场影响和永久性市场影响每次发生变化，企业在[0，1/2]年内的最佳交易策略是如何变化的。在每个图中，红色曲线表示基准参数化，而其他两条曲线显示结果，因为一个特定参数向上（蓝色曲线）和向下（绿色曲线）变化。需要重申的一点是：对于除风险规避参数λ之外的一组参数的每次选择，计算λ以确保公司的违约概率（DP）恰好为1%。因此，这些图中的每条曲线对应不同的λ值。图2显示了改变资产收益率u和波动率∑的最佳策略的影响。不足为奇的是，随着回报率的提高或波动性的降低，最优策略将包括更多的风险资产。

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可人4

2022-5-26 18:35:09

有一个∑的阈值，低于该阈值，公司将从sellstrategies转换为buy strategies。尽管图中未显示，但我们发现u的情况正好相反。最后，在这些变化下，销售策略的速度似乎随着时间的推移保持着相似的形状。对这些参数的依赖性进行了更广泛的调查，证实了上述每一项观察结果。违约概率0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05年化预期回报率00.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2q（0）=50000q（0）=200000q（0）=800000图1：三家公司的效率边界，参数见表1，显示了它们的违约概率和预期股本回报率，当采用风险规避参数λ大于[0]的最优投资组合时，∞).在图3a中，减少临时影响Γ的主要影响是在该时期早期更快地达到最终持有水平。这可以理解为减少临时影响成本和资产波动导致的价格不确定性之间最佳平衡的变化。在较小程度上，我们还可以在这些例子中看到，随着Γ的增加，最终持有量略有下降。永久影响∧对战略的影响更为微妙。从图3B中可以看出，较高的永久冲击参数∧会导致最优策略，并以较高的保持水平结束。这也会导致交易策略更加弯曲，尤其是在收盘时，所有交易曲线似乎都有正斜率。事实上，直接从（8）得出的交易速度的一般公式可以验证，在周期结束时，dqdu | u=T=Γ-1∧。这意味着只要∧为正，持有多头头寸的每一位交易员，无论是杠杆上升还是下降，都会通过购买更多股票来结束这一时期。

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nandehutu2022

2022-5-26 18:35:13

原因是永久冲击（permanentimpact）给了任何交易者一个很小的机会，让他们在最后时刻将资产价格推向有利的方向。我们将其称为市场影响模型的庞氏性质：它所暗示的收益不能转化为现金，除非打破交易者所创造的小价格泡沫。时间0.1 0.2 0.3 0.4倍（q）#105024687=17=47=8（a）时间0.1 0.2 0.3 0.4倍（q）#10600.511.52’=10’=20’=30（b）图2：参数向上（蓝色曲线）和向下（绿色曲线）变化对三家公司基准最佳交易曲线（红色曲线）的影响。（a）显示风险资产平均回报率u变化的影响；（b）显示了改变∑的影响，即风险资产的波动性。纵轴显示q，即交易期间任何时候持有的天空资产的数量。这两个数据均使用半年的交易期进行计算，同时所有交易曲线的违约概率均保持在1%。4.3小型市场影响第3.2节的扰动分析为理解永久和临时市场影响的影响提供了一个替代框架。我们调查了q=2×10的中型企业和市场影响参数() = ×10-7，λ() = ×4×10-8对于值序列n=10-n、 n=0，1。接近零。图4（a）显示了最佳策略如何收敛于 → 0到u的恒定默顿解∈ （t，t），但对两个端点均表现出快速的瞬态效应。u=T附近的小庞氏效应可以通过∧来改变() = 0，如图4（b）所示。这些数据表明，对于合理的参数值和较小的市场影响，我们的模型将提供有效类似于默顿解决方案的策略。

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kedemingshi

2022-5-26 18:35:16

观察到的最优策略和Mertonsolution之间的关系对较小的市场影响有效，实际上对于中等水平的市场影响（如我们的基准参数化）仍然有效。在图2和图3中可以观察到，所有策略都会随着u接近T而发生变化，尽管在这一时期结束时会产生小的庞氏效应。值得研究的是，梅顿解决方案在多大程度上很好地逼近了战略所涉及的持股价值。随着市场影响参数的减少，曲线的fl-at部分变得更宽，更接近默顿解。类似于第3.2节的分析使我们能够理解多时间0.1 0.2 0.3 0.4折叠（q）#10502468！=2e-08！=1e-07！=5e-07（a）时间0.1 0.2 0.3 0.4持股（q）#10502468$=8e-09$=4e-08$=2e-07（b）图3：参数向上（蓝色曲线）和向下（绿色曲线）变化对三家公司基准最佳交易曲线（红色曲线）的影响。（a）显示更改临时影响参数Γ的效果；（b）显示了改变永久冲击参数∧的影响。纵轴显示q，即交易期内任何时候持有的风险资产的金额。这两个数据均使用半年的交易期进行计算，同时所有交易曲线的违约概率均保持在1%。小市场冲击体制下的资产投资问题。图5，我们使用标准资产参数作为资产2，资产1是具有先前案例中较低扰动参数的资产，资产3具有先前案例中较高扰动参数的资产。图5（a）将不相关案例与默顿解进行了比较。图5（b）将恒定成对相关性ρ=0.5的情况与默顿解进行了比较。在这两种情况下，我们都可以看到类似于上述One asset案例的行为。

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nandehutu2022

2022-5-26 18:35:19

应该注意的是，与单一资产不同，当有多个资产可用时，可以使用heddingstrategy，因此非流动资产类别的卖空可能是最优的。我们在多资产问题中再次观察到，当市场影响较小时，一般最优策略接近默顿解。4.4有界最优交易策略我们在第4.2节中已经看到，在单一资产的情况下，正∧创造了庞氏财产，使任何交易者都有机会在接近期末时将价格推向有利于自己的方向。命题3.3的情况1表明只要∧<√2λΓ∑，在任何有限周期内计算的最优策略[0，T]保持有界。然而，当∧>√2λΓ∑，命题3.3的情况3意味着对于周期[0，T*] withT公司*=K/D，最优策略q*（u）值函数W都在u=0时爆炸。时间0 0.1 0.2 0.3 0.4焊接（q）#1051.41.61.820=10=0.50=0.25Merton（a）∧=∧，Γ=ΓTime0 0.1 0.2 0.3 0.4焊接（q）#1051.41.61.820=10=0.50=0.25Merton（b）∧=0，Γ=Γ图4：第4.3节所述市场影响参数递减序列的最佳交易策略行为。它们收敛于康斯坦特默顿解。多资产投资问题也存在类似的可能性。随着∧的增加，最终矩阵函数U（t）对于某些有限的t=t变得奇异*. 再一次，我们发现[0，T*], 最优策略q*（u）而价值函数W在u=0.5时都会爆炸。备注和结论第4节中研究的三个假设金融机构面临着一个典型的投资问题，即在下行风险的上限下最大化其股本回报，此处定义为违约概率。

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mingdashike22

2022-5-26 18:35:23

我们提出了最优投资组合问题的分析可处理版本，可通过三种不同的方式进行调整：效用优化、均值方差优化和均值违约概率优化。数值结果表明，该方法生成的解具有令人满意和有趣的特征。也许最重要的是，我们了解到，这些策略密切跟踪零市场影响模型中出现的经典默顿解。三家基准公司的有效边界如图1所示，通过提高违约容忍度来量化其回报率将增加多少。我们观察到，考虑市场影响的最佳交易策略往往会在交易期间转向默顿解决方案。如果它们最初与默顿解接近，它们将倾向于保持接近，这意味着默顿解对扰动具有鲁棒性。接近速度随着时间冲击参数Γ的减小而增大。此外永久影响∧的主要影响是庞氏财产，其表现为在接近尾声时的一些购买量0.1 0.2 0.3 0.4持有量（q）#10466.26.46.66.87资产类别=1资产类别=2资产类别=3资产类别=3资产类别（a）3不相关资产时间0.1 0.2 0.3 0.4持有量（q）#105-2-1012资产类别=1资产类别=2资产类别=3资产类别=3资产类别（b）3正相关资产图5：与默顿解相比，最优三资产交易策略在不相关和相关情况下的行为。期间的。这种庞氏效应通常很小，但正如命题3.3所示，当∧变得足够大，足以引发资产价格泡沫时，它将主导解决方案的特征。如果让这些金融机构自行其是，它们几乎没有动力限制风险寻求。

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何人来此

2022-5-26 18:35:26

通过选择较低的λ值，或等效地接受较高的杠杆率，他们可以实现较高的资本回报率。由于较低的暂时性影响和较高的永久性影响对大型企业来说都相对更有利，因此，在大型企业实施积极的庞氏策略的情况下。在资产表现不佳的情况下，有可能出现严重的资产价格反馈，可能对持有普通资产的其他金融机构产生不利影响。此类价格反馈（包括泡沫和破裂）在文献中已被确定为系统性风险的关键渠道，尤其是Cifuntes等人【7】，通常被称为资产再销售渠道。我们的模型的一个应用（尚待详细探讨）将用于指定大型金融系统中银行和金融机构的自然行为，然后查看由于市场影响而导致的资产出售对系统性风险度量的影响。在这种系统性风险背景下，通过对存款的随机性建模，引入资金流动性不足的影响也很重要。如果大银行被允许在不考虑其系统影响的情况下以自身利益行事，它们将对金融稳定构成不可接受的威胁。因此，所有银行都受到严格的金融监管制度的约束，其中最重要的是对其资本资产比率和流动性覆盖率的限制。在这种监管约束下，金融机构的投资策略将与本文提出的最优策略截然不同。此类受监管金融机构的最佳行为将是未来建模研究的目标。参考文献【1】R.Almgren和N.Chriss。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，2001年3:5-40。[2] R.Almgren和J.Lorenz。自适应到货价格。

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大多数88

2022-5-26 18:35:29

《贸易》，2007年（1）：59–66，2007年。[3] R.F.阿尔姆格伦。具有非线性影响函数和交易增强风险的最优执行。《应用数学金融》，10（1）：1–18，2003年。[4] D.B.Brown、B.I.Carlin和M.S.Lobo。具有遇险风险的最优投资组合清算。《管理科学》，56（11）：1997-2014、2010。[5] M.K.Brunnermeier和L.H.Pedersen。市场流动性和资金流动性。《金融研究回顾》，22（6）：2201–22382009。[6] \'A.Cartea和S.Jaimungal。限制和市场订单的最优执行。《定量金融》，15（8）：1279–12912015。[7] R.Cifuntes、G.Ferrucci和H.S.Shin。流动性风险和传染。《欧洲经济协会杂志》，3（2-3）：556–5662005。[8] M·H·戴维斯和A·R·诺曼。具有交易成本的投资组合选择。运筹学数学，15（4）：676–7131990。[9] J.Gatheral和A.Schied。almgren和chriss框架下几何布朗运动下的最优交易执行。《国际理论与应用金融杂志》，14（03）：353–3682011。[10] T.R.Hurd、Q.H.Shao和T.Q.Tran。审查非流动性市场中的投资组合策略。有效期至2016年6月日。[11] 马科维茨。投资组合选择。《金融杂志》，7（1）：77–911952年。[12] R.C.默顿。不确定性下的终身投资组合选择：连续时间模型。修订版。经济学。统计员。，51:247–2571969年。[13] S.Moazeni、T.F.Coleman和Y.Li。跳跃模型下不确定价格影响的最优执行。《计算金融杂志》，16（4）：1–442013年。[14] A.F.Perold公司。实施不足：纸面与现实。《投资组合管理杂志》，14（3）：4–92988年。[15] H.Pham和P.Tankov。具有随机交易时间的流动性风险下的最优消费模型。《数学金融》，18（4）：613–6272008。[16] A.Schied和T.Schoneborn。

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能者818

2022-5-26 18:35:33

非流动性市场中的风险规避和最优清算策略动态。《金融与随机》，13（2）：181–2042009。[17] A.Schied、T.Schoneborn和M.Tehranchi。福卡拉投资者的最优一揽子清算是确定性的。应用数学金融学，17（6）：471–4892010。[18] T.Schoneborn。非流动市场中的交易执行：最优随机控制和多代理均衡。博士论文。2008年【19】张铁军。市场影响模型中的纳什均衡：差异博弈、瞬时价格影响和交易成本，博士论文。曼海姆大学博士论文。，2014年，2014年。附录：主要结果的证明定理2.1的证明：在这个证明中，我们定义了它。极大T的存在性*是解（7）的结果，这在命题3.1的证明中进行了分析。与（5）相关的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程源于DPP，假设马尔可夫控制vt=v（t，t，Xt，qt），确定性函数v，W的值函数Wt：=W（t，t，Xvt，qvt）。为便于解释，我们省略了依赖股价表的可能性：本论证结尾使用的标准验证结果表明这是一致的。在这些假设下，民进党暗示-e-λW（t，t，Xvt，qvt）是所有v的上鞅，是最优v的鞅*, 这导致了W的HJB方程tW+XW qu+q∑∑q[XXW型- λ(XW）]+supv[(qW+XW q∧）v- vΓvXW]=0。W（T，T，X，q）=X。ansatz W（T，T，X，q）=X+V（T，T，q）得出V的方程tV+qu-λq∑∑q+supv[(qV+q∧）v- vΓv]=0。V（T，T，q）=0。因此，最优反馈控制为v*=Γ-1个(qV+λq），它独立于x和价格过程，因此具有确定性。使用此控件将导致tV+qu-λq∑∑q+(qV+λq）Γ-1个(qV+λq）=0。

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kedemingshi

2022-5-26 18:35:38

（54）正如我们将很快在命题3.1的证明中看到的那样，该ODE具有唯一的光滑解，该解在任何有限时间间隔[t，t]上都是确定性的，对于t小于可能的有限最大t*. 因此，根据经典验证定理，我们得到了W=~W，该定理的其他陈述如下。命题3.1的证明：根据定理2.1，[t，t]上Merton\'s问题的值函数的形式为W（t，t，X，q）=X+V（t，t，q），其中V满足ODE（54）。该常微分方程和形式（15）导出了具有A、B、C初始条件的Riccati方程τA-（A+A+λ）Γ-1（A+A+λ）+λ∑=0，A（0）=0（55）τB-BΓ-1（A+A+λ）- u=0，B（0）=0（56）τC-BΓ-1B=0，C（0）=0。（57）注意，如果A是（16）的解，那么A也是：根据常微分方程解的唯一性定理，A=A，因此A是对称的。定理3.2的证明：第1部分：注意λΓ-1/2∑∑Γ-1/2为正定义，定义为其对称平方根。如果▄A（τ）：=Γ-1/2（A（τ）+∧/2）Γ-1/2（16）变成τИA-A+D=0，<<A（0）=E：=Γ-1/2（λ/2）Γ-1/2。（58）现在可以检查（58）的解的形式为▄A=V U-1，其中U，v满足以下带终端条件的线性ODEτUτV=0--D×紫外线,U（0）V（0）=E.使用q的块对角化=1 1D-D, Q-1个=D-1.-D-1.一次结束0--D= Q-D 00 DQ-1因此，矩阵ODE的解为U（τ）V（τ）= Qe-Dτ0 eDτQ-1×E.从显式公式su（τ）=cosh（Dτ）- sinh（Dτ）D-1E（59）V（τ）=- sinh（Dτ）D+cosh（Dτ）E（60）一个finds A（τ）=Γ1/2（ΓA（τ）- E） Γ1/2式中▄A（τ）=[- sinh（Dτ）D+cosh（Dτ）E][cosh（Dτ）- sinh（Dτ）D-1E]-1.

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能者818

2022-5-26 18:35:42

（61）B的Riccati方程（17）可以通过注意▄B=BΓ来求解-1/2索尔维斯特颂歌τИB-BA- Γ-1/2=0。自从τU=-~AU，我们发现τ（￠BU）=(τИB-BA）U=uΓ-1/2U，可进行积分，得出▄B（τ）U（τ）=uΓ-1/2（RτU（s）ds）和thusB（τ）=uΓ-1/2ZτU（s）dsU-1（τ）Γ1/2。rτU（s）ds=D很简单-2[E-V（τ）]，给出所需公式b（τ）=uΓ-1/2天-2[E- V（τ）]U-1（τ）Γ1/2。以类似的方式，一个结果sc（τ）=ZτB（s）Γ-1B（s）ds（62）=uZτ（E- V（s））（U（s）U（s））-1（E）- V（s））dsu，（63），其中u：=D-2Γ-1/2u。第2部分：这一部分很简单。第3部分：从定理2.1的第4部分，最优控制q*（u）在[t，t]解决uq公司- Γ-1（A（T- u） +λ/2）q=Γ-1B（T- u）当该线性ODE在左侧乘以积分因子u时-1（T-u） Γ1/2，左侧变为精确导数：uhU-1（T- u） Γ1/2qi=u-1（T- u） Γ1/2×Γ-1B（T- u）。[t，u]givesU上该方程的积分-1（T- u） Γ1/2q（u）- U-1（T- t） Γ1/2q=ZutU-1（T- r） Γ-1/2B（T- r） dr得出所需的公式。第4部分：方差直接计算如下*T） =ZTtq*（s） ∑∑q（s）*ds=qL（T- t） q+M（t- t） q+N（t- t）。重写q*（u） =▄u（T- u） u-1（T- t） q+~U（t- u） I（u），其中▄u（T- u）：=Γ-1/2U（T-u）和I（u）：=车辙▄u-1（T-r） Γ-1B（T-r） L、M、Nare的dr显式形式计算如下。L（T- t） =（▄U-1（T- t）（）ZTtU（T- r） ∑∑U（T- r） dr公司U-1（T- u）。利用Fubini公式，我们得到了m（T- t） =ZTt▄U-1（T- t） U（t- r） ∑U（T）- r） I（r）dr=ZTtZTs▄U-1（T- t） U（t- r） ∑∑U（T- r） dr公司U（T- s）-1Γ-1B（T- s） ds=~U（T- t）-1ZTtU（T- s） L（T- s） Γ-1B（T- s） ds。SimilarlyN（T- t） =ZTtI（r）~U（t- r） ∑∑U（T- r） I（r）dr=ZTtZTsI（r）~U（T- r） ∑∑U（T- r） dr公司U-1（T- s） Γ-1B（T- s） ds=ZTtM（T- s） Γ-1B（T- s） ds。

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