微分方程在投影生长轨迹中的应用

2022-5-31 19:42:58

描述了基于直接或间接增长率分析的微分方程在预测增长轨迹中的应用。它展示了如何使用简单的假设和相对简单的分析来描述数学上复杂的趋势和预测增长。只需要微积分的基本知识。基于此类简单初始假设的投影轨迹比基于更复杂假设和更复杂计算程序的备选复杂投影更容易接受和理解。用人口增长和国内生产总值增长的例子来说明这种预测方法的应用。关键词预测；微分方程；增长率分析；增长趋势1。趋势的数学分析可能很复杂，也可能过于简单。复杂的分析可以基于蒙特卡罗模拟（Rubinstein和Croese，2016）或统计建模（Hyndman和Arthanasopoulos，2014；Makidakis，Wheelwright和Hyndman，1998），而过于简单的分析通常是基于将直线或其他一些分布直接设置为与时间相关的凹痕序列。直接应用于数据的数学模型可以用来描述数据，但它们在预测中的应用有限。特别是，高阶多项式不适用，因为它们的参数强烈依赖于时间序列的范围。

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2022-5-31 19:43:01

基于蒙特卡罗计算或统计模型的复杂分析可能被认为更可靠，但由于更复杂，它们更不容易获得，甚至可能更不可靠。我想提出另一种分析时间依赖性序列和预测的方法，即基于增长率数学分析的方法。所提出的方法得到了基本观察的支持，即增长率的波动和振荡对相关趋势没有本质影响（尼尔森，2016a，2016b）。增长率的分析可以大大简化。他们，或他们合适的精确替代品，甚至可以用直线来拟合。澳大利亚昆士兰州黄金海岸校区格里菲斯大学环境期货研究所suchAKA Jan Nurzynski使用基本微积分。电子邮件：r。nielsen@griffith.edu.au，则，ronwnielsen@gmail.comHow引用本文：Nielsen，R.W.（2017）《微分方程在预测增长轨迹中的应用》。《经济目录学杂志》，4（3）。即将到来的https://arxiv.org/pdf/1705.06557RON尼尔森（W.NIELSENsimple）对数据的初始描述可以转化为在数学上更复杂的趋势描述，并用于预测。在科学中，与基于复杂假设和复杂数学程序的解释相比，基于简单假设的描述和解释总是更可取、更容易被接受。趋势可能很复杂，但这并不意味着它们的描述必须基于复杂的假设。很容易引入一系列复杂的假设，然后导出tr端的复杂描述。真正的挑战是使用尽可能最简单的假设，同时还要描述最复杂的趋势。

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2022-5-31 19:43:05

本文的目的是想知道如何做到这一点。通常建议将数据分析简化为直线，原因有三：（1）直线是最简单的数学函数，（2）数据与直线的任何偏差都可以很容易地检测出来，（3）描述直线的参数不严重依赖于数据的范围。数据的直线描述还包括指数表示，因为通过使用分析数据的对数算法，可以将指数函数完全导出为线性函数。我将展示如何将趋势分析简化为时间依赖性事件的简单表示，以及如何使用基于这种简单假设的参数来描述更复杂的数学趋势。2、数学方法——基本增长率由以下方程式定义：1 dSRS dt≡（1）其中（）是所属实体的大小，t是时间。根据数据进行的直接计算为：1111IIII ISRST t+++-=-. （2）例如，可以表示总生产量（GDP）或人口的规模。增长率分析在预测增长中的应用应该是显而易见的，因为增长率决定了我们未来的预期。例如，指数增长以恒定的增长率为特征。这种增长在足够长的时间内是不可持续的。

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2022-5-31 19:43:08

因此，如果我们能够看到描述经济增长率（例如，经济增长率）的var i和Constan t Value，我们可以将这种模式视为警告信号，因为uc h a增长必然会放缓。因此，很明显，如果增长率不是恒定的，而是随着时间的推移而增加，那么增长会更加糟糕，因为它甚至会变得不可持续。唯一可以长期持续甚至在适当的情况下独立调节的增长是由一个下降的增长率引起的增长特征。如果增长率下降到零，则增长率将达到最大值；如果增长率渐近接近零值，则增长率将达到一定的平衡水平。因此，即使没有进行任何elabora计算，我们也无法预测增长是否可能是可持续的。然而，增长率的数学分析有助于更准确地预测增长。然后，我们不仅可以判断增长可能是可持续的还是不可持续的，还可以更密切地研究公共信息和通信技术的发展轨迹。S u ch S研究可以帮助确定项目经济不可持续的时间，或者如何调节增长率以达到所需的最大值或所需的平衡水平，以及何时。此处描述的Mathemati ca l方法是一种gen-er-al应用，可用于数据的y型，如在足够的深度变量上使用气体，以便使用方程（2）计算生长大鼠的eby。所述方法可用于任何类型的生长。

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2022-5-31 19:43:12

如果我们有足够多的数据，我们可以使用它们来确定经验增长率，进行数学分析，使用theRON W.NIELSENdi ffer en tia l cal cul t t t t来记录这种分析在趋势描述和预测中使用我称之为确定分布的数学模型。如果使用适当定义的分布（而不是S）来进行数据分析，则起点是计算（F）的增长率：1（）1（）（）dFS FSRFS dt FS t≡≈. （3）同样，我们可以使用方程（2）来计算增长率R，但现在我们在这个方程中都使用（）fs，而不是S。无论我们在此类计算中使用的是S还是（）Fs，它们通常都会产生S的强烈波动。如果数据质量非常好，波动S将很小或可以忽略不计。然而，一般来说，它们将非常大，并且它们将沿着生长大鼠e的总体趋势。我们仍然可以根据这种波动的生长率拟合一条直线，并用它来预测生长，但如果我们想揭示生长大鼠e的总体趋势，我们就必须消除局部梯度/St的观察效应或/英尺通过多项式插值。增长率可以表示为时间的函数，也可以表示为增长实体大小的函数。我们现在将讨论这两种可能性。表1总结了在趋势描述和预测中，差异因素在预测中的基础应用。如果经验确定的增长率可以用一个特定的时间相关函数来描述，即if1（）dSftS dt=，（4），那么为了找到数据的数学表示，我们必须求解以下微分方程：（）dSftS dtS=。

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nandehutu2022

2022-5-31 19:43:16

（5）它的解是（）exp（）S t f t dt=∫. （6）如果（）f t r const==，（7）等式（4）的解由指数函数（）rtS t Ce=，（8）给出，其中C与积分常数有关。方程（8）描述了指数增长，if0r>或减少if0r<。如果经验确定的增长率可以用一条标准线来表示，即If（）f t a bt=+，（9）其中a和b是常数s，则thenRON W.NIELSEN2（）在bt下的经验t C为0.5S= +. （10）在这种情况下，（）Stis2（）（）exp 0.5dS tC a bt在btdt的梯度=++. （11）对于参数a和b的适当组合，方程（10）给出的分布将在a bt+=时达到最大值，即。at/t ab=-.如果经验上确定的增长率可以用一个与大小相关的函数（）fS来描述，即if1（）dSfSS dt=，（12）我们可以将这个等式表示为（）dSdtS fS=·. （13）我们现在有一个数学上更复杂的问题，因为这类微分方程的解没有单一的公式。在这个例子中，当f s r const==解再次由一个表达式表示时。如果下一个最不复杂的步骤是由直线表示的，即如果f s a bS=+，（14），则我们有以下微分方程：（）dSdtS a bS=+。

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2022-5-31 19:43:19

（15）为了找到如何积分等式的左侧h和侧面，我们考虑一个一般情况：（）（）（）dxa bx c ex++，（16）其中a、b、c和e是常数。为了积分这个分数，我们将它分为两个分数：1（）（）（）（）（）ABa bx c ex a bx c ex=+++，（17）其中a和b是常数，我们现在必须确定。方程式（17）的钻机ht-h和sid e可表示为（）（）（）（）（）（）（）（）（）A B c ex A bx Ba bx c ex A bx c ex A bx c ex+++=+++。（18） RON W.Nielsenb通过比较等式（17）和（18），我们可以看到（）（）1c ex A bx B++=，（19）wh ich给我们提供了两个方程组：1cA aB+=，（20a）0eA bB+=。（20b）他们在isbA上的SOL uti=, （21a）eB=-, （21b）其中CB ae= -. （22）现在，方程（17）可以由1 11（）（）（）（）替换为bea bx c ex a bx c ex=-+ + + +. （23）该方程左侧的积分被两个简单fr动作的积分所取代。积分可以通过替换s来完成。因此，例如，如果我们使用a bx=+我们得到1 11ln ln（）dudx u a bxa bx b u b===++∫∫. （24）因此，1ln（）（）dx a bxa bx c ex c ex+=+++∫. （25）我们得到了一个有用的一般形式的积分。在par ti cul ar中，我们可以看到以下内容：dx a bxx a bx a x+=-+∫, （26）因为0c=、1e=和con s eq u entlya=-.我们现在已经开始解方程（15）。方程两边的积分（）dSdtS a bS=+∫∫（27）RON W。

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nandehutu2022

2022-5-31 19:43:22

NIELSENgives1lna bStCaS公司+-=+, （28）其中C i是整合常数。简单的算术运算可以得到以下等式（15）的解：1atbS Cea--= -. （29）常数C可以通过对特定时间0t，001atbCeSa的数据进行标准化计算来确定= +, （30）其中，是所选时间段内增长实体（如GDP）的经验大小。如果b s r const+=，即如果增长率为constant t，则等式（29）表示单一增长。Ifa bS const+≠我们有两种可能性：由bS+表示的增长率可以随增长实体的大小增加或减少：1 dSa bSS dt=+。（31）如果0b<，则等式（29）表示增长的逻辑类型。这类增长的特征是其线性下降的增长率。增长实体的相应大小S在符号上接近ASB的最大值∞=. （32）等式（32）定义了生长的数学极限，通常将其错误地描述为承载能力，但只有当参数a和b与定义明确且充分探索的生态极限明确且令人信服地相关时，它才是承载能力；否则，计算的限值∞只是计算出的增长极限，它可能代表也可能不代表承载能力。例如，如果我们考虑GDP的增长，如果我们根据经验确定参数a和增长率的经验值，那么计算结果将是正确的∞因为过去的经济增长可能是在不安全的情况下发生的，甚至在达到计算极限之前，经济崩溃也可能发生∞.

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2022-5-31 19:43:25

因此，将物流限制描述为承载能力可能很难，最好不要这样描述。使用等式（10）时，同样的注释也适用于计算的最大值。calculatedmaximum，即使基于经验确定的参数a和b，也只是calculatedmaximum。它也没有描述承载能力。在资源有限的情况下，甚至在使用emp ir ICAL确定的所有参数计算出最大值之前，增长可能会持续。如果0b>那么，根据等式（29），增长在时间上接近奇点（逃逸到i nfinity）a Ron W.NIELSEN1lnsbtta aC==-. （33）这种类型的增长类似于双曲线增长，其特征是历史经济增长和人口增长（von F oe r st er，Mor a&Ami ot，1960；Nielsen，2014，2016c，2016d，2016e）。超bolicgrowt h（或更精确地说，一阶超bolic生长）由以下简单等式给出：1（）S C bt-= -, （34）其中0b>。当Tttb===时，双曲线i c增长es cap es至无穷大。（35）表1。基金在预测趋势时使用增长率的线性近似值的基本方程。Lini ar A ppr o x im at ion相应的分配建议1DSA btS dt=+2exp 0.5S C at bt= +当a bt+=1 dSbSS dt=1（）S C bt时，S达到最大值-= -If0b>，双曲线增长。/st处的奇点Cb=。倒数值，1/S，d随时间递减。1 dSa bSS dt=+1atbS Cea--= -If0b>：伪超曲线增长。奇点at1lnsbta aC=-. 倒数值在li n早期下降至/ba-whentt公司∞→.If0b<：物流增长。

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2022-5-31 19:43:29

S逐渐增加至/abwhentt∞→.双曲分布是下列微分方程的解：1 dSbSS dt=。（36）如果我们将这个方程与方程（31）进行比较，我们可以看到它们是相似的。在这两种情况下，对于0b>，增长率随增长实体的大小线性增加。然而，对于双曲线增长[方程（36）（0b）>]而言，增长率与S成正比，而对于方程（31）所描述的增长而言，线性增长的增长率被参数a所取代。这是一个很小的差异，但对于循环值而言，具有显著的con S等式。对于微分方程（36）及其解（34）所描述的分布，r eciprocal值随时间提前减小，可以用作双曲分布的唯一识别特征（Nielsen，2014）。对于微分方程（31）及其解（29）所描述的分布，以及对于0b>，生长实体大小的倒数值不会随时间线性减小。它们逐渐接近/ba的极限-.罗恩·W·尼尔森·霍弗（RonW.Nielsenhower），广义上，方程式s（29）和（34）给出的溶液s看起来很相似。y在长时间内缓慢增加，在短时间内快速增加，并且在固定时间内都增加到无穷大。因此，方程（2 9）给出的解都是伪双曲分布。方程（31）和（36）的居里差分不能视为方程（36）的推广。这两个方程必须单独求解。方程（31）的解不能用于推导方程（36）的解。虽然求解方程（31）很困难，但求解方程（36）很简单。其解可通过替换1SZ获得-=.3.

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2022-5-31 19:43:32

数学方法-替换拟合数据和预测增长也可以通过用合适的定义函数替换S或增长率R来执行，然后检查此类替换是否可以用线性近似来描述。表e 2中列出了一些示例。这里的目的是再次寻找增长率的最简单数学描述。如果S增长率的数学描述很复杂，那么（）Fs增长率的数学描述可能会更简单。通过寻找数据的交替表示，可以简化数据分析，总体思路是尽可能将分析简化为最简单的数学表达式——直线。因此，例如，IFLFS≡, 式中，S表示根据经验确定的成长实体的规模，如果1 dFa btF dt=+，（37）则在bt=+，（38）和2EXP exp exp（0.5）S C在bt=+，（38）和2EXP exp exp（0.5）S C= +. （39）新的常数现在比等式（3 8）有所不同，但它并不好。这是一个正常的情况，通过将计算的分布与数据进行比较来确定。IflnFS≡i f1 dFa bFF dt=+，（40），然后1atbf Cea--= -, （41）和1 Expatbs Cea--= -. （42）等式（39）和（42）给出的S的RON W.Nielsen数学表示并不简单，但它们是可以接受的，因为它们基于将数据的数学分析简化为astraight li ne给出的F增长率的最简单表示。我们还可以通过用适当定义的函数（）FR替换增长率R来扩展这些替代表示。

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2022-5-31 19:43:35

如果S增长率的数学描述变得复杂，那么一个合理定义的函数（）fR可能会简化分析。因此，例如，对S的经验增长率的目视检查可能表明，它在很大程度上取决于时间。我们可以尝试将双曲分布与经验上的最小增长率拟合。通过检查R的倒数值来检查该分布是否确实是双曲线也是一个好主意，如果1/R应遵循直线，则该分布是双曲线的（尼尔森，2014）。所以，如果1（）F R a btR==+，（43）那么11dsrs dt a bt==+。（44）双曲线分布不像直线那么简单，但它可以简化为一条直线，这条直线在标准下更容易接受。这样的精确性使人们相信，这种分布实际上是一种更高的boli cor，因为它可以很好地与双曲线分布相匹配。微分方程（4 4）可以表示为ds dtS a bt=+，（45），当积分d时，给定1ln ln（）S a bt Cb=+。（46）因此，1/（）bS C a bt=+（47）因为EExp（ln）zz=。最后两个方程中的常数C不同，但也没关系。使用它们只是一个标准化常数，它必须通过将计算的S与其相应的理论值进行比较来确定。方程（47）并不简单，但它是通过将数学分析简化为方程（43）给出的最简单的数学表达式而获得的，该表达式确定了R的双曲分布。

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2022-5-31 19:43:38

有趣的开始步骤是简单的，即使是复杂的操作，也可以通过高可靠性来接受。如果目视检查电磁增长率R表明它遵循指数分布，我们可以尝试将指数函数拟合到R，或使用半对数参考刻度来显示它。I flnR a bt=+，（48）thenRON W.NIELSEN1exp（）dSa btS dt=+（49），该方程的解为expabtesc eb=（50）同样，它不是对S的简单描述，而是使用R vialn R的模拟表达式来实现的复杂表达式。这里给出的S的所有数学描述[等式（10）、（29）、（34）、（39）、（42）、（47）和（50）]都不简单，但它们都是使用相关量的最简单数学表示得出的。构造复杂但可疑的公式是很容易的，但即使是复杂的公式，如果使用简单的假设推导出来，也是可以接受的。如果S的增长率直接由指数分布表示，即if1btdSaeS dt=，（51），那么，使用一般方程（6），我们可以发现=. （52）等式（50）和（52）给出的解是相同的。不同之处在于参数s a和b的定义方式。使用等式（48）给出的线性表示的优点是，它可以清楚地证明增长率是否遵循指数分布。例如，数据的指数描述适用于1963年至2017年的增长率，描述世界人口的增长。表2：。

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2022-5-31 19:43:41

描述复杂分布的线性近似扩展应用示例。行ar Ap pr o ximat ion相应的分布NFS≡;1 dFa btF dt=+2exp exp（0.5）S C在bt= +lnFS公司≡;1 dFa bFF dt=+1expatbS Cea--= -1F a btR≡=+;1 dSRS dt≡1/（）bS C a bt=+ln R a bt=+；1 dSRS dt≡expabteSeb=我们还可以有其他增长率的例子，其描述可以简化为线性近似。例如，对世界国内生产总值（GDP）的分析表明，增长率遵循一种熟悉的数学分布（Nielsen，2015a）。RON W.NIELSEN11（）rtdSR a beS dt--≡=-（53）通过使用以下等式，也可以将此分布减少为线性分布≡ -=-. （54）这听起来可能会使它变得更复杂，但这并不是因为，如前所述，数据与直线的偏差可以很容易地检测出来，而使用直线可以作为一种方便的测试，来检验我们对增长率数据的数学解释是否正确。在全球经济增长的情况下，由等式（54）给出的线性分布证实了由等式（53）描述增长率的假设是正确的。微分方程（5 3）的解为（）1（）exp lnrttS t C a bea ra-= +-. （55）随着1/a的增长率，该分布逐渐变为指数分布。例如，要理解只有增长率的总体趋势才能决定相应增长项目的总体趋势，这一点很重要。

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2022-5-31 19:43:44

因此，只有增长率的一般趋势才能用于预测增长结构，因为它们不会影响一般增长趋势。此外，在再现增长率的一般趋势时，必须使用不严重依赖于数据范围的函数。合适的函数是直线、指数函数或任何其他可以简化为直线的函数，例如等式（53）所描述的函数。不应使用高阶多项式。它们适用于再现生长轨迹或将其用于梯度多项式插值，但不适用于预测，因为它们的形状严重依赖于数据范围。图1-3说明了差异方程在趋势分析和预测中的应用。图1：。本文基于Maddison（2010）的数据，提出了两组联合王国人均总产值（GDP/cap）增长率的计算方法。R（Direct）是使用等式（2）直接从GDP/cap数据计算的增长率。R（精化）是使用GDP/c ap数据和平滑梯度计算的。它显示了精细的结构，其被R（直接）的流动所掩盖。RON W.NIELSENFigure 1显示了1830年至2008年间，使用Maddison的数据计算得出的英国人均国内生产总值（GDP/cap）的增长率（Maddison，2010）。该图中有两组计算，分别为R（直接）和R（精确）。R（Direct）是使用等式（2）从数据中直接计算的增长率。这种计算结果受到局部梯度的强烈影响。

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可人4

2022-5-31 19:43:48

GDP/cap经验值的微小偏差可能会在大鼠的生长中产生较大的差异。相反，可以预期，增长率的波动仅反映在数据描述增长轨迹的微小变化中。R（精化）是使用多项式互极化产生的梯度计算的增长率。然后过滤掉随机局部梯度产生的噪声，并显示出明显的趋势。我们现在可以看到，增长率实际上是在缓慢振荡。这些温和的振荡被R（直接）的强烈波动所掩盖。我们现在的第一步是直接或通过使用插值梯度和d，使用增长率的离散值，计算数据，来计算增长实体的增长轨迹，在我们的情况下是GDP/cap。为此，我们必须对以下微分方程进行数值积分：1edSRS dt=，（56），其中r表示r（直接）或r（精化）的离散值。这些计算结果如图e 2所示。与方程（56）的数值积分结果相比，这些图的顶部部分显示了完整的数据范围。不幸的是，计算结果在a处被忽略了。为了更好地查看它们，我们必须显示较小的数据部分，如图2的下半部分所示。我们现在可以看到，随着数据的增长率（直接）的大幅波动，GD P/cap ar e Association的增长轨迹出现了小幅度的波动。缓慢变化的增长率R（精确）很好地再现了GDP/cap的一般趋势。图2：。

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2022-5-31 19:43:51

使用增长率Sr（直接）和R（精炼）对方程（56）进行数值积分的结果如图1所示。人均国内生产总值（GDP/c ap）以1990年国际货币卡米元计算。计算结果被数据所掩盖。为了更清楚地看到它们，图的下半部分显示了数据a范围的较小部分。绿线表示使用R（Direct）波动值计算的曲线。它不是通过数据绘制的线。罗恩·W·尼尔森（RonW.NIELSENOur）下一步是看看增长率的分析表示如何反映在GDP/cap的增长轨迹中。为此，我们必须解析地求解以下微分方程：1（）dSftS dt=，（57），在我们的例子中，（）fts要么是拟合到R（精化）的直线，如图3顶部所示，要么是生成R（精化）的第六或第三多项式。对R（直接）的最佳线性拟合是虚拟的，而对R（精确）的最佳线性拟合也是虚拟的。这些分布由以下方程式给出：（）f t a bt=+（58）和60（）iif t at==∑. （59）其参数为：28.964 10a-=-×，55.459 10b-= ×，601.41012a-= ×，314.3318 0a=×，025.5 1051a-= ×，333.78 17 0a-= ×641.45 103a--= ×1052.974 10a-= ×和1462.53 15 0a-×-=.图3：。方程式（57）的分析解显示在该图的下半部分，其中（）ftrepresentedeith er b y a str a right lin e r b y the si xth-order poly-nomial fitted to r（finished），如上半部分所示。直线拟合到R（直接）与直线拟合到R（精确）在虚拟上是相同的。为了显示这两种分析解决方案之间的差异，下面部分的数据以10年为单位显示。

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2022-5-31 19:43:54

虽然对应于六阶多项式的解在GDP/cap的增长轨迹上再现了温和的振荡，但对应于增长率的直线表示的解再现了经济增长的一般趋势，因此非常适合预测增长轨迹。方程（57）的RON W.Nielse解由方程（6）给出。它们位于图3的下部。与六阶多项式相关的解精确地跟踪数据，并再现生长曲线中的小振荡。不幸的是，由于计算的目标端在数据范围内，因此无法使用高解决方案进行预测，正如我们在图3的op p ar t中所看到的那样。通过六阶多项式计算的增长率仅在速率数据的严格范围内是真实的。因此，我们只剩下e解，它并不严重依赖于增长率数据的范围，该解对应于描述增长率的直线（见图3顶部）。正如我们在图3的下半部分所看到的，该解决方案对增长轨迹进行了很好的描述，可以用于预测。一般来说，只要R（精化）围绕或紧随一条直线或一些其他函数缓慢振荡，而这并不依赖于数据的变化，R（精化）的s u ch简化表示不仅可以成功地用于描述时间依赖性服务，而且可以用于ecast In g的可靠性。然而，对于较大的振荡，对趋势的预测是不可靠的。

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2022-5-31 19:43:57

趋势必须表现出一定程度的稳定性才能预测。既然我们了解了增长率的哪些特征在预测中很重要，我们就可以开始使用世界增长率的anex。我们可以将我们的计算与联合国最近进行的工业计算相比较（2 0 1 5）。图4的顶部显示了直接根据人口数据计算的世界人口增长率（美国人口普查局，2017年）。在这种情况下，数据的质量非常好，因此没有必要进行梯度插值。图4：。世界人口增长预测。根据美国人口普查局（2017年）的数据，使用增长率的两种表示（指数和线性近似）来生成世界人口增长轨迹。这些计算结果与联合国项目（2015年）一致。联合国出版物没有提供关于22世纪人口增长的信息。RON W.NIELSENIn为了预测增长，我们似乎有两个明显的选择：（1）使用1963年至2016年的各种增长率数据，这可以用指数函数很好地描述，或者（2）假设从2000年左右开始，增长率现在沿着一个早期下降的轨迹稳定下来。基于指数分布与增长率拟合的世界人口增长预测可以被认为是更可靠的，因为它是基于广泛的数据，但仍然有可能增长率现在将遵循alinearly递减轨迹。计算结果如图4的下半部分所示。对应于指数递减增长率的轨迹由等式（52）给出。

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2022-5-31 19:44:01

这是一条伪logistic轨迹，因为它逐渐增加到由归一化常数C给出的常数值。其参数为：102.179 10a×=和21.406 10b--×=其渐近值为156亿。方程（10）给出了与增长率线性拟合对应的轨迹y。其参数为：12.520 10a-×=和41.197 10b--×=。到2106年，其最大值达到1240亿欧元。图4所示的计算结果与联合国的预测（2015年）吻合良好。考虑到这一问题，“世界人口预计将在未来15年内增加10亿人，2030年将增加850亿，2050年将减少970万，2100年将减少1120万”（联合国，2015年，第2页）。2030年，我的人口为84亿，2050年为98亿，2100年为118亿，这是导致局部最大值的轨迹。如果世界人口的增长沿着渐进最大值的轨迹前进，那么2030年将达到84亿，2050年将达到98亿，但到2100年将略微增加124亿。在2100年，信息和通信技术的价值相差如此之小，以至于我们要到下个世纪才能知道，如果有足够的资源来支持大规模的生产，我们是否有可能达到120亿美元的本地化最大值，或者将总利润增加到大约156亿美元的渐进规模。表1总结了所有这些预测。联合国的预测没有提供22世纪人口增长的信息。在21世纪，这两个独立计算之间的协议非常接近。表1：。

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2022-5-31 19:44:04

世界人口增长预测来源SMAXSaun8.59.711.2nica8.49.811.811.9NACA8.49.812.4NA15.6UN–联合国，2015年；CA——电流分析；NI–无信息；NA–不适用；Smax–最大值；Sa–渐近值这些计算应被视为预测最有可能的未来，其中ich仍然可以更改。未来取决于我们的行动，更安全的未来将是在项目人口规模较小的情况下。我们有能力做到这一点，但我们必须更加努力地减少全球人口的增长。你的注意力显然应该放在贫穷国家，而实现这一点的方法是提高他们的生活水平（尼尔森，2016f）。本文件中描述的数学预测方法应用的另一个很好的例子是日本的经济增长，因为我们很快就会看到，未来已经到来，我们可以利用数据来了解经济增长的情况。图5显示了日本GDP的增长率随时间的变化。我们可以看到，随着R（精炼）的增加，增长率有所下降，但在2007年左右开始增加。然而，在1975年至2007年期间，它遵循了一个大约lin的早期下降轨迹。在此之前，我们可以问，如果日本的增长率继续沿着这种线性下降的轨迹增长，那会发生什么变化？答案是，它会达到最大值，因为在2007年左右，直线与水平轴相交。从那时起，日本的GDP将开始下降。

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2022-5-31 19:44:07

然而，日本国内生产总值的增长率接近于零，并且比每一个最大值都要快，因此日本国内生产总值的增长率在继续增长，这是很难超越的，因为只要有可能，总是避免负增长率。我们还可以通过将GDP增长率绘制为GDP规模的函数来检验GDP增长率是否遵循逻辑轨迹。图6给出了这样一个曲线图，它表明增长率在很长一段时间内确实呈线性下降，因此GDP的增长可能是逻辑的。沃伦·W·尼尔森（WeronW.NIELSENshould）应该理解，不同轨迹之间的区别并不是很明显。长期以来，与增长率的差异表示相对应的增长部门是无法区分的。只有当增长达到最大值或接近其渐近值时，我们才能看到两个内部变量之间的区别。我们可以在图4的下方看到这一壮举，我们很快就会看到GDP增长的相同特征。图5：。日本GDP增长率随时间的变化。数据来自世界银行（2017年）。图6：。日本GDP增长率是GDP规模的函数。数据来自世界银行（2017）。当生长速率下降到1.4%时，它变得不稳定。同样的过程也发生在Reece（尼尔森，2015b）。雅邦不应通过努力提高增长率而获得与希腊相同的mi股份。为了经济的安全增长，日本的GDP增长率现在应该保持在0到1%之间。罗恩·W·尼尔森（RonW.NIELSENIt）需要注意的是，当增长率达到一个较低的值时，经济增长可能会不稳定。

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2022-5-31 19:44:11

如果接近最大值，那么它应该很快变为负值，但世界上没有一个国家愿意持续负增长。因此，可以预期将尽一切努力保持增长率为正。如果GDP的增长接近其渐近值，则其应渐近降至零。这种微调实际上是不可能的，增长率可能会在一个较小的正值附近随机变化，或者可能被迫大幅增加，从而偏离其逻辑轨迹。这种情况发生在希腊（尼尔森，2015b）。它们的增长率沿着与规模相关的线性轨迹快速下降，达到一个较低的值，变得不稳定，被迫沿着线性轨迹增加，并在很大程度上导致了经济增长。我们现在可以使用图5和图6所示的直线曲线来预测经济增长。结果如图e 7所示。图7：。日本国内生产总值的增长。预测增长与数据进行比较。GDP值接近预测的逻辑轨迹。只要增长率保持在零以上但低于1%左右，日本的经济增长将保持可持续性。我们可以看到，如前所述，长期以来，逻辑轨迹和导致局部极大值的轨迹之间没有区别。只有当增长接近于局部最大值时，两个方向之间的差异才会清晰。逻辑轨迹由等式（29）和参数28.411 10a描述-= ×和21.279 10b-=-×。其渐近值为12美元6.573 10×（2010美元）。由方程（10）描述的目标或y导致的最大位置，参数为03.452 10a=×和31.726 10b-=-×。

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2022-5-31 19:44:14

2006年的最高限额为12美元5.469 10×10。图7显示，基于所述方法的增长预测再次给出了可靠的结果。它不仅描述了替代轨迹无法区分时的增长，而且还可靠地预测了差异明显时的增长。如今，日本的经济增长与物流轨迹密切相关。如前所述，很难精确地了解这一理论，因为需要对生长物进行微调。然而，准确地遵循它并不重要。正如这些计算所表明的，关键是将增长率保持在较低水平。一个小的常量值将产生缓慢的指数增长，在很长一段时间内，这可能足够接近逻辑轨迹。无论如何，增长率都不应强制提高1%，而只能暂时降低。总结：我描述了分析生长和预测生长的数学方法。增长可以表示为时间的函数，也可以表示为增长实体大小的函数。一般的做法是找到增长率的线性表示，然后使用微分方程将早期的增长率转换为数学上更复杂的增长轨迹描述，在turnRON W.Nielsenca中，可以将其用于其他研究，也可以使用不依赖于数据运行的数据。这些替代代表的相似之处是指数函数。另一个例子是等式（53）描述的一个有趣的动作。不应使用增长率的多项式描述，因为它们强烈依赖于数据范围。

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2022-5-31 19:44:17

它们不适合预测趋势，但适合更精确地描述增长率。本文件中描述的方法通过表I和II以及图1-7中列出的许多示例进行了说明。这是一种简单易行的方法。预测未来可以作为塑造未来的重要工具。它可以说明应该采取什么措施来控制增长，以及如何避免不良后果。并非所有的关键趋势都能成功，但如果我们能够了解它们的动态，我们可能会更好地寻求成功的解决方案。参考文献Hyndman，R.J.&Arthanasopoulos，G.（2014）。预测：原则与实践。Otexts公司。组织。https://www.otexts.org/book/fppMaddison，A.（201 0）。世界经济的历史统计：公元1-2008年。http://www.ggdc.net/maddison/HistoricalStatistics/horizontal-file_02-2010.xlsMakidakis，S.，Wheel wright，S.C.&Hyndman，R.J.（1998）。预测：方法和应用。新泽西州霍博肯：J ohn Willey&Sons，Inc.Niels e n，R.W.（201 4）。改变范式。1950年至1963年，在ics应用了它们。http://dx.doi.org/10.4236/am.2014.513188Rubinstein，R.Y.和Cr oese，D.P.（2016）。Simu la tions and Mon te Ca rlo Me Method（第三条）。新泽西州霍博肯：J ohn Willey&Sons，股份有限公司.Niels e n，R.W.（2015a）。世界经济增长的未来保障。《经济和社会思想杂志》，2（4），242-255。Nielsen，R.W.（2015b）。经济危机的早期预警迹象：对其他国家和地区的预警。《经济学和政治经济学杂志》，2（4），4 60-466。http://kspjournals.org/index.php/JEPE/article/view/562Nielsen，R.W.（2016a）。从理论上描述经济增长，并将其与历史原始经济增长联系起来。

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