扩散过程首次通过时间的显式渐近性

2022-6-10 05:14:10

我们要求这些SDE至少有弱解，并且是强马尔可夫的：Xt=h（Xt）dt+dWt，X=X∈ D、（1）在我们的设置下，是一个实参数，它应该正确定义{Xt}t≥域上的0。为了便于推导，我们将波动率设置为常数。如果给出了时间齐次扩散系数σ（x），可以参考[39，定理1.6]，使用时变布朗运动检索（1）中的SDE。此外，考虑命中等级a∈ R、我们在D上指定了两种类型的边界：Dua：={a+∞}, Dla：={-∞, a} ，即上部和下部区域的边界。对于速记，我们使用Dato表示没有标记方向的单边边界。通过抑制x和a，我们确定了{Xt}t的FPT≥0从x到τ：=inf{t>0:Xt∈ Da}。注意，布朗过滤{Ft}t≥0在两侧连续。因此，根据[37]，τ定义良好（规则）。此外，对于x∈ D保证px（τ>0）=1。对于几乎肯定是（a.s.）有限的FPT，即Px（τ<+∞) = 1，我们有兴趣了解它们的显式分布。显然，当h（x）时≡ 0（标准布朗运动）τ的分布由反高斯（或反伽马，等效）给出[9]。然而，对于大多数非平凡漂移，没有封闭形式的解决方案。例如，h（x）=x，对应于OrnsteinUhlenbeck（OU）过程。在这种情况下，仅通过限制a=0[21]来获得显式密度。本文应用摄动技术[23]求解Dirichlet型边值问题。通过从频域反转受扰动的LTs，这些LTs通常具有更简单的形式，然后我们可以在时域中导出闭合形式的密度。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:14:13

本文的主要贡献是为解决单个障碍物碰撞问题提供了一个统一的递归框架。根据位势理论的killed版本[37]，我们证明了收敛性和误差估计结果。作为例子，我们在本文中展示了OU和贝塞尔过程上的扰动FPTDs。符号Px（·）：=P（·| F）=P（·| X=X）遵循马尔可夫性质。文献[13]讨论了气泡（指数Shiryaev）过程的应用。在本文的最后，通过数值计算对理论部分进行了验证。论文的其余部分组织如下：第2节介绍了主要结果；第3节和第4节演示OU和贝塞尔过程的应用；在第5节中，我们展示了基于OU流程的基准测试（更多结果见附录）；第6节结束。2主要结果2.1扰动Dirichlet问题我们遵循之前的设置。进一步让Cbe表示具有二阶连续导数的函数的集合。对于任何f∈ C、还假设{Xt}t的最小生成器Af（x）≥0存在于所有x∈ D、那么A·由af（x）=h（x）f（x）+Gf（x），其中G·是标准布朗运动的极小生成元Gf（x）=f（x）；素数表示法是指导数w.r.t.x。除非另有规定，否则我们将在本文中使用此常规表示法。考虑β∈ C带实数（β）≥ 0，定义，f（x，β）：=Exe-βτV（Xτ）, （2）其中V（·）是一个有限函数。我们工作的第一步是找到一个满足F（x，β）的适当BVP。要看到这一点，我们首先需要显示{Xt}t≥0在所有停止时间内都是连续的。实际上，考虑停止时间序列{σn}1≤n≤+∞这样，Limn↑+∞σn=：σ。自{Xt}t起≥0具有连续路径解决方案n↑+∞Xσn=Xσ。另一方面，根据我们的假设，{Xt}t≥0是一个强马尔可夫过程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-10 05:14:16

根据位势理论的killedversion[37]，f（x，β）是以下Dirichlet问题的唯一解：Af（x）=βf（x，x∈ D、（3）此外，相应的边界条件由F给出(Da）=V。（4）在我们的符号V中：=[V（a），V（±）∞)]这是一个取决于交叉方向的边界值向量。参考（2），通过设置V（a）=1和V（±）∞) = 0我们立即发现，解toBVP（3）和（4）是τ：f（x，β）=Ex的密度函数的LTe-βτ.在第二步中，我们对并相应地找到扰动BVP。摄动法是求解复杂系统渐近性的常用方法。它已成功应用于量子物理和数学金融领域【42、16、19】。传统上，要求微扰参数应较小。然而，我们将表明，在我们的情况下，这是不必要的。作为缩写，我们忽略以下内容中的函数参数。默认情况下，所有操作都是w.r.t.x。请考虑一系列C函数{fi}i≥0以便f可以表示为f=∞Xi=0ifi。（5）将（5）替换为（3），我们有∞Xi=0我hfi+Gfi=∞Xi=0iβfi，x个∈ D、（6）重新排列（6）中的项，我们进一步得到gf- βf+∞Xi=1我hfi公司-1+Gfi- βfi= 0, x个∈ D、注意，通过提取0阶并指定适当的边界条件，我们可以得到标准布朗运动的BVP（其中LT逆已知）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

何人来此

2022-6-10 05:14:19

高阶可以通过一个递归系统来求解，该系统从FAN和漂移函数h中积累信息。用o（1）项表示i=0的BVP，通过指定与初始问题相同的边界条件，我们有o（1）：Gf=βf，x∈ Df公司(Da）=[1，0]T≥ 1，我们使用符号o(i）和Defineo我: Gfi=βfi- h·fi-1，x∈ Dfi公司(Da）=[0，0]T。基于初始BVP的解是唯一的这一事实，可以通过将递归系统解为有限阶（不一定是小阶）进行检查) 序列{fi}i≥0再现初始解F，即方程（5）始终成立。然而，在实践中，拥有有限的订单解决方案是不现实的。同样在非常常见的情况下，可能无法保证级数的收敛性。因此，我们需要确定截断顺序并估计相应的误差。2.2截断误差和收敛性进一步引入了一些符号。让N≥ 1是固定整数，对于i=1。。。，N我们表示初始LT的N-thorder截断byfN：=NXi=0ifi。（7）假设f、fNand的LTs为逆xfN（x，β）存在，用pτ（t）=L表示-1{f（β）}（t），pNτ（t）=NXi=0伊利诺伊州-1{fi（β）}（t），η（x，t）=L-1{xfN（x，β）}（t），（8）。通过qτ（t）确定两个FPTDs之间的差异（绝对误差）：=pτ（t）- pNτ（t），（9）那么我们得到以下结果。命题2.1（截断误差的概率表示）适用于所有t∈ (0, +∞)和所有β∈ 实数（β）>0的C，ifZ+∞e-βtExZτ∧t | h（Xu）η（Xu，t- u） | dudt<+∞, （10） thenqτ（t）=N+1倍Zτ∧th（Xu）η（Xu，t- u）杜邦. （11）此外，如果对于某些常数M<+∞前任Zτ∧th（Xu）η（Xu，t- u）杜邦≤ M、（12）然后| qτ（t）|≤ N+1M。（13）证明：将η（x，t）定义为（8），并引入▄qτ（t）：=N+1倍Zτ∧th（Xu）η（Xu，t- u）杜邦.我们首先证明了▄qτ（t）是f的逆LT-fN。然后，根据（逆）LT的唯一性，qτ（t）是（9）中的误差函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-10 05:14:22

考虑~qτ（t）的LT。根据（10）和Fubini定理，我们得到∞e-βtExZτ∧th（Xu）η（Xu，t- u）杜邦dt=ExZτh（Xu）Z∞e-βt{u≤t} η（Xu，t- u） dtdu= 前任Zτh（Xu）L{u≤t} η（Xu，t- u）（β）杜邦.根据事实{u≤t} η（x，t- u）（β） =e-βuL{η（x，t）}（β），通过η（x，t）的定义，我们得出{qτ（t）}（β）=N+1倍Zτh（Xu）e-βuxfN（Xu，β）du. （14）在下面的第二部分中，我们显示（14）的右侧确实是f- fN。LetQ（x，β）：=f（x，β）- fN（x，β）。根据LT的线性，我们得到q（x，β）=L{pτ（t）}（β）- LpNτ（t）（β） =L{qτ（t）}（β）。由于f和fn都在C中，Q也是。在Q yieldsAQ上应用算子A- βQ=Af- βf-AfN公司- βfN= 0-“Gf- βf+NXi=1我Gf公司- βf+h·fi-1.+ N·hfN#=-N+1h·fN。注意，f和fn共享相同的边界条件，因此对于Q（x），我们有Q(Da）=[0，0]T。根据[37]，Q（x）的ODE是Dirichlet问题的killed版本，其解具有以下概率表示：Q（x，β）=N+1倍Zτe-βuh（Xu）xfN（Xu，β）du.这确实是（14）的右侧。通过BVP解的唯一性和（逆）LT的唯一性，我们得出qτ（t）=qτ（t）的结论。最后，（13）是假设（12）和（11）的直接结果。备注2.2适用于小型在条件（12）下，根据命题2.1，我们看到N阶扰动fptd在O(N+1）。此外，这种收敛在t上是一致的。另一方面，即使对于大的, 可以使用（11）检查错误级别。2.3频域下的递归在本节中，我们提供了求解递归BVP的一般机制。为简单起见，我们考虑FPT从上方击中0，即τ：=inft型≥ 0：Xt=0X=X>0. （15）在这种处理下，域由D=（0+∞).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:14:25

我们抑制了符号a（注意a=0），并通过以下方式表示边界D：=Da={0+∞}.引理2.3（布朗运动FPTD的拉普拉斯变换）theo（1）BVP的唯一解由f（x，β）=e给出-√2βx。对于任意命中级别a，我们可以使用a ffne转换来检索0命中情况。虽然并非总是如此，但对于从下方撞击（x<0）的情况，我们可以考虑{Xt}t的镜像反射≥0、证明：这是[9]的标准结果。引理2.4（o的递归解我) 对于i≥ 1，设γ：=p2β。o的独特解决方案我由fi（x，β）=f（x，β）给出·Zx2e2γyZyh（z）ki（z，β）e-2γzdzdy+e2γx- 1γci（β）,式中，ki（x，β）=2γZxe2γyZyh（z）ki-1（z，β）e-2γzdzdy-2e2γxZxh（y）ki-1（y，β）e-2γydy-e2γx+1ci公司-1（β）和Ci（β）=-γlimx↑+∞e-2γxZx2e2γyZyh（z）ki（z，β）e-2γzdzdy.证明：Dirichlet型BVP的五个定理的唯一性[37]。考虑以下形式的FII：=fgi。（16）然后将（16）替换为o我-yieldsgi颂歌- γgi=hhγgi-1.- gi公司-1i。（17）注释gi-1及其导数按i阶确定。我们表示byki：=γgi-1.- gi公司-1.（18）那么方程（17）可以重写为gi- γgi=hki。（19）乘以e-2γx取（19）两边的积分，我们有zgie-2γxdx-Zγgie-2γxdx=Zhkie-2γxdx+C。按部分应用积分，对于左侧，我们得到zgie-2γxdx-Zγgie-2γxdx=gie-2γx+γZgie-2γxdx-Zγgie-2γxdx=gie-2γx。进一步乘以2e2γx并在两侧取积分，gi=ZxA2e2γyZyAhkie-2γzdz+Cdy+C.（20）W.l.o.g.，我们假设A=A=0，通过考虑x=0时的边界条件，我们得到C=0。另一方面，请注意，对于固定i，Cis是一个与i阶相关的函数，依赖于β，因此我们重写ci（β）：=C。使用新的符号进一步简化gi，我们得到gi=Zx2e2γyZyhkie-2γzdzdy+e2γx- 1γci。（21）为了确定ci，我们使用+∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:14:29

通过求解limx↑+∞fi（x，β）=0 we getci=-γlimx↑+∞e-2γxZx2e2γyZyhkie-2γzdzdy. （22）将（21）代入方程式（18），经过标准计算，我们得到Ki=2γZxe2γyZyhki-1e级-2γzdzdy- 2e2γxZxhki-1e级-2γydy-e2γx+1ci公司-我们的证明到此结束。备注2.5潜在地，使用引理2.4，我们可以将扰动FPTD的LT解到我们想要的任意阶数。借助符号计算软件（如Maple、Python），计算将变得更加简单。3 Ornstein-Uhlenbeck过程首次引入OU过程来描述遵循布朗运动的粒子的速度【45】。后来，该过程广泛出现在神经科学[47，31]和数学金融[46，27，43，22]等领域。根据我们的设置，OU过程的h函数由h（x）=θ给出- x、（24）其中θ是OU模型中的平衡参数。请注意，上述函数是一阶多项式，在积分和微分下仍然是多项式。由于我们的递归框架主要涉及这两个操作，因此我们可以从扰动中得到一个漂亮的结果。参考【45，48】，OU SDE有一个独特而强大的解决方案。此外，作为一个强马尔可夫过程，它在概率上是循环的和连续的。因此，我们的框架可以应用。允许 > 0是平均恢复率，最小生成器由AF给出=fx+(θ - x）fx、考虑在（15）中从上方击球。初始BVP（3）和（4）的解由[9]给出。对于初始LT的数值逆，可以在[1]中找到。在θ=0的特殊情况下，显式FPTD由[21，3]给出。现在，我们使用微扰技术求解显式FPTD。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:14:32

遵循引理2.4，对于i=1，我们立即得到f（x，β）=e-γxx+（1- 2θγ）x2γ.命题3.1（递归多项式）≥ 2、o的解(i） -OU过程的BVP由fi（x，β）=f（x，β）gi（γx）给出，其中gi（y）：=2iXj=1p（i）jyj。（25）系数{p（i）j:i≥ 2, 1 ≤ j≤ 2i}由下式给出：j=2i:p（i）2i=p（i-1） 2i-22iγj=2i- 1:p（i）2i-1=（2i-1） γp（i-1） 2i-3+2γ-γθ+（2i-2）（2i-1)γp（i-1） 2i-22<j<2i- 1:p（i）j=（j+1）p（i）j+1+γjp（i）-1） j-2.-j-1+γθγjp（i-1） j-1+θγp（i-1） jj=2：p（i）=p（i）-1+γθ2γp（i-1） +θγp（i-1） j=1：p（i）=p（i）+θγp（i-1).证明：可以尝试从引理2.4中的递归算法中求解系数。另一种更简单的方法是直接从ODE（19）派生结果。我们把证据的细节留给读者。命题3.1使我们能够将扰动LT扩展到任意阶。然而，我们的最终目标是找到它的倒数，而命题中的系数是参数β的函数。为了避免不必要的符号计算，我们进一步分解了系数NP（i）j:i≥ 0, 1 ≤ j≤ 2io。引理3.2（递归多项式分解）对于每个p（i）jinnp（i）j:i≥ 1, 1 ≤ j≤ 2io，存在一个三索引实数序列nc（i，j）k:i≥ 1, 1 ≤ j≤ 2i，0≤ k≤ （2i- j）∧ iosuch thatp（i）j=（2i-j）∧iXk=0c（i，j）kγ2i-k（θ）k.证明：nc（i，j）ko的递归结构可以在附录的推论A.1和A.2中看到。通过将推论A.1与fand f进行比较，可以立即得到推论A.1。对于推论A.2，可以通过将引理3.2中的分解替换为命题3.1来获得结果。引理3.2中的存在性由推论A.1和A.2证明。备注3.3注意nc（i，j）ko与参数无关。因此，我们可以预先计算序列并将其保存在内存中。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:14:39

稍后，这将有助于提高FPTD的计算效率。命题3.4（OU过程的N阶摄动FPTD）设N∈ Z+，OU过程isp（N）τ（t）=e的N阶向下扰动FPTD-x4t√2π2N-1Xn=0hntn-1D-n+1x个√t型,式中，hn=Xi，j，k；2i-j-k=nic（i，j）kθkxj，D·（·）是抛物柱面函数。证明：使用（7）和（16）表示截断的LT。根据命题3.1和引理3.2，fN=NXi=0ie-γx2iXj=1（2i-j）∧iXk=0c（i，j）kγ2i-k-jθkxj。（26）对于0≤ n≤ 2N个-1，定义hn：=2-nhn。然后经过标准计算，我们可以写出（26）asfN=2N-1Xn=0^hn·e-√2βxβ-n、（27）注意，^hn独立于β。通过参考[7]，我们发现0≤ n≤ 2N个- 1，L-1ne-√2βxβ-否（t）=ntn-1.√2πe-x4tD-n+1x个√t型. （28）这立即给出了结果。备注3.5根据【9】，OU FPTD的初始LT由两个抛物面圆柱函数的比率给出。最后，通过应用扰动，我们发现FPTD本身（它是一个逆ELT）被表示为一系列抛物线柱面函数，第一个参数为整数。整数值D函数与Hermite多项式密切相关【33，12.7（i）】。基于偏差[33，12.7.1]，即d（z）=e-z、（29）根据[33，12.7.2]我们已经x个√t型=x个√te公司-x4t。（30）使用上述表达式，我们可以写出（N）τ（t）=（h+hxt）p（0）τ（t）+e-x4t型√2π2N-1Xn=2hntn-1D-n+1x个√t型, （31）式中，p（0）τ（t）是击中0的标准布朗运动的FPTD，遵循逆Gamma分布。从这个角度来看，N阶OU扰动FPTD实际上是布朗运动加上高阶修正的FPTDof。命题3.6（OU扰动FPTD的尾部渐近）≥ 1，由p（N）τ（t）给出了时阶摄动OU-FPTD的尾部渐近性~ p（0）τ（t），作为t↓ 0+，（左尾）p（N）τ（t）~ 田纳西州-, 作为t↑ +∞. （右尾）证明：我们从左尾开始。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-10 05:14:42

当t↓ 0+，从（31）可以清楚地看出，（h+hxt）p（0）τ（t）~ p（0）τ（t）。我们需要进一步检查D-函数级数的渐近性。用z表示：=x√串联a=n-(2 ≤ n≤ 2N个- 1). 参考【2，19.8.1，第689页】和【33，12.9.1】，当z↑ +∞ （即t↓ 0）我们已经-一-（z）~e-zz公司-一-1+O（z）.因此√2π2N-1Xn=2hntn-1e级-x4tD-n+1x个√t型~2N个-1Xn=2tn-e-x2t（1+O（t））~p（0）τ（t）（t+o（t））。这证明了左尾结果。现在我们考虑一下右尾。再次，到（31）时，我们立即h+hxtp（0）τ（t）~hxtp（0）τ（t）~ t型-, 对于t↑ +∞. （32）对于D函数系列，我们使用[2，19.12.3]和D-一-（z）=√π2-ae-z-Γ+一Ma+、z-zΓ+一Ma+、z!,其中M（·，·，·）是Kummer函数（反超几何函数f（·，·，·））。引入旋转ζ（a，s）：=√π--aΓ+一（a+）s（）sss！，ξ（a，s）：=-√π-aΓ+一（a+）s（）sss！，式中（·）s：=πs-1k=0（·+k）。根据[33，13.2.2]，我们可以重新表述D函数asD-n+1x个√t型= e-x4t型∞Xs=0ζ（n-, s） x2sts+∞Xs=0ξ（n-, s） x2s+1ts+！。现在让t↑ +∞, 然后它就屈服了-1e级-x4tD-n+1~田纳西州-1.∞Xs=0ζ（n-, s） x2sts+∞Xs=0ξ（n-, s） x2s+1ts+！。请注意，对于固定的n，上面的前导项是tn-因此，考虑到最高阶数n=2N-1在D函数系列中，我们得到√2π2N-1Xn=2hntn-1e级-x4tD-n+1x个√t型~ 田纳西州-. （33）我们的证明到此结束。从右尾渐近，我们发现N≥ 2，受扰FPTD将在t=+∞. 在N=1的情况下，尽管由于t的肥尾效应，p（1）τ（t）收敛到0-我们仍然期待一个完整的整体。因此，扰动FPTD的总概率为所有N≥ 确实，LT的极限值说明了所有N≥ 1.Z∞p（N）τ（t）dt= limβ↓0+fN（β）= ∞.另一方面，左尾渐近证明了OU和布朗运动fptds之间的等价性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:14:45

与谱分解相反[32，3]，我们的分析表明，扰动可能对大t不起作用，但它为小t提供了光滑密度。引理3.7（η-OU过程函数）对N≥ 1，η-函数由η（x，t）=e给出-x4t型√2π2N-1Xn=0tn-1.(xln）D-n+1x个√t型-自然对数√tD公司-n+2x个√t型, （34）式中ln=Xj，k；j+k=2N-nc（N，j）kθk·xj。（35）证明：我们从η-函数的定义开始（命题2.1）。fN（x，β）的偏导数如下所示：xfN（x，β）=e-√2βx2N-1Xn=0-nx（ln）β-n- 2.-n-1lnβ-n-1、其余的证明通过再次使用（28）得出结论。命题3.8（OU过程的一阶误差估计和收敛性）对于N=1和所有t∈ [0, +∞), 扰动OU FPTD的误差估计（11）是有效的。此外，对于任何T>0和T∈ [0，T]，扰动为o()-精确的证明：回忆（24）中的h函数和（34）中的η函数。在证明的第一部分中，我们证明了（10）的第2.1条是满足的。作为（10）的有效条件，我们需要找到一个边界Zτ∧t | h（Xu）η（Xu，t- u） | du≤ 所有t的M（t）∈ [0, ∞), 使得M（t）的增长小于指数增长。对于所有固定x∈ D、可以检查h（x）η（x，t）→ 0作为t↑ +∞. 设K>1是一个大且可执行的常数。h（x）η（x，t）是连续的，所以对于所有（x，t）存在一个常数M，w.l.o.g∈ [0，K]×[0+∞),因此h（x）η（x，t）1{x≤K}≤ M{x≤K} 。（36）注意Px（Xu≤ K）≤ 1，因此（36）yieldsExZτ∧t | h（Xu）η（Xu，t- u） | 1{徐≤K} 杜邦≤ZtMEx{徐≤K}杜邦(37)≤ 另一方面，对于x>K，通过附录中的引理B.1，我们得到了Zτ∧t | h（Xu）η（Xu，t- u） | 1{徐>K}杜≤ C+C√t+Ct。（39）合并（38）和（39），我们得到Zτ∧t | h（Xu）η（Xu，t- u） | du≤ C+C√t+（C+M）t。这是第一部分证明的结论。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:14:48

证明的第二部分是通过显示，对于t∈ [0，T]，前任Zτ∧th（Xu）η（Xu，t- u）杜邦≤ C+C√T+（C+M）T。4贝塞尔过程[34]中引入贝塞尔过程作为n维布朗运动的范数。用BES（n）表示（有时用带ν=n的BES（ν）表示-2），贝塞尔过程已在【39，XI章】中进行了广泛讨论。在数学金融中，贝塞尔过程家族与短期利率和随机波动率模型密切相关【10、12、11、22、15】。注意，对于开放层段上的t和x，h（0）η（0，t）和h（x）η（x，0）都有很好的定义。唯一的奇点是由（x，t）=（0，0）生成的。然而，在概率空间下，Xu=0，t- u=0仅在t=τ时发生，而X（τ=t）=0。因此，我们可以定义h（0）η（0，0）=0。平方贝塞尔过程出现在恒定方差弹性（CEV）模型和考克斯-英格索尔-罗斯（CIR）过程（或赫斯顿模型）中。在本节中，我们考虑阶数为n=1+, 哪里-1 < < 1、《福布斯》（1+), h函数由h（x）=2x指定。（40）BES的域（1+) 是D=[0+∞). 根据【26，28】{∞} 是所有人的自然边界 ∈ R对于-1 < < 1（0<n<2），{0}是具有出口和入口两种类型的规则边界。Weassume该过程在0处进行瞬时反射。参考【28】，然后为D上的所有C函数定义了微型生成器。用AF（x）表示=2倍fx个+fx、我们认为一般命中水平为0<a<x，而不是a=0。通过抑制a，我们重新定义τ=inft>0:Xt=aX=X.根据[39]，BES（1+) 在D上反复出现 ∈ (-1, 1). 这保证τ是有限的a.s.因此存在相应的BVP。（4）中的BVP边界由f（a）=1规定。参考文献[28]，初始LT由第二类修正贝塞尔函数的比率给出。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:14:51

与OU过程类似，初始LT可以通过【1】或使用谱分解进行数值求解【32】。我们将重复之前的工作，通过摄动求解一阶向下FPTD。引理4.1（一阶BVP解）一阶扰动LT由f（x，β）=f（x，β）ln（ax）+e2γaE（2γa）给出- e2γxE（2γx），其中E（·）是指数积分函数，f（x，β）=E-γ（x-a）。证明：遵循我们的递归框架。用f（x，β）=e表示布朗运动FPTD的LT-γ（x-a） [9]。召回（18），k=γ规定的kis。遵循（20），通过指定不同的积分下限，我们得到g=Zx2e2γyγZy+∞2ze-2γzdz+Cdy+C.（41）经过标准计算，内部积分得到γZy+∞ze公司-2γzdz=-γE（2γy）。简化（41）we getg=Zx-γe2γyE（2γy）dy+Ce2γx- 1γ+C.（42）参考[20，方程式（5），4.2]，对于（42）中的积分，我们有zx-γe2γyE（2γy）dy=-ln（x）+e2γxE（2γx）+C。结合C和C，（41），然后变为G=-ln（x）+e2γxE（2γx）+Ce2γx- 1γ+C。通过o()-问题我们从上边界开始{+∞}. 根据L\'H^opital规则f（x）ln（x）→ 0作为x↑ +∞. 参考【20，方程式（5），3.3】，我们得到的E项limx↑+∞f（x）e2γxE（2γx）=0。因此，唯一满足条件f的C(+∞) = 0是0。类似地，求解f（a）=0给出了c=ln（a）+e2γaE（2γa）。我们在这里总结证明。推论4.2（完全可积性）BES（1+) 是完全可积的。证明：推论由showinglimβ证明↓0+f（x，β）=1。自limβ↓0+f（x，β）=1，仅能证明LIMβ↓0+g（x，β）=0。事实上，通过考虑[20，等式（1），3.3]，e（x）=-c- ln（x）+Zx1- e-uudu，其中c=0.5772是欧拉常数，可以立即证明结果。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:14:54

命题4.3（BES（1+)) BES（1+) 由p（1）τ（t）给出=1 +ln（ax）p（0）τ，x，a（t）+（十）- （a）√2π·tZ∞（十）-a） pΓ（y，1,2t）dy(√y- x+3a）(√y+x+a）dy，（43），其中p（0）τ，x，a（t）：=x- 一√2πt-e-（十）-a） 2t（44）和pΓ（y，1,2t）：=2te-y2t（45）分别是逆伽马分布和伽马分布的密度函数。证明：按一阶LT，f（x，β）=f（x，β）重新排列术语1 +ln（ax）+ f（x，β）e2γaE（2γa）- e2γxE（2γx）。（46）（46）中第一项的倒数由反伽马分布给出[9]。现在考虑第二学期。回想一下E（z）的定义，即E（z）：=z+∞ze公司-uudu。乘以ezwe haveezE（z）=z∞e-uzu+1du。（47）假设我们可以改变积分的顺序，然后将（47）代入（46）yieldsL的第二项-1ne-√2β（x-a） ez公司√2βE（zp2β）o（t）=Z∞L-1ne-√2β（x-a+uz）o（t）u+1du（48）=Z∞p（0）τ，x-a+uz，0（t）u+1du，（49），其中p（0）τ，x-a+uz，0（t）由（44）定义；更准确地说，通过lettingy：=（x- a+uz），（50）（49）进一步给定-1ne-√2β（x-a） ez公司√2βE（zp2β）o（t）=√2π·tZ∞（十）-a） pΓ（y，1,2t）√y- （十）- a） +zdy，（51），其中pΓ（y，1,2t）是伽马分布的密度函数，形状参数为1，速率参数为2t。将z=2a和z=2x分别替换为（51），从而得出证明的其余部分。备注4.4 BES的扰动密度（1+) 在（0+∞). 作为有效但非必要的条件，只要1+ln（ax）≥ 0，则函数p（1）τ（t）保证为正。因此，结合推论4.2，一阶扰动FPTD是一个有效的概率密度函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:14:57

另一方面，通过使用[49，第三章]中的integerbasel函数的性质，可以潜在地导出BES（n+) 和n∈ Z+。命题4.5（BES（1+) 扰动FPTD）初始扰动BES（1+) FPTD由p（1）τ（t）给出~ p（0）τ，x，a（t），作为t↓ 0+，（左尾）p（1）τ（t）~ O（t-1.-α），作为t↑ +∞, （右尾），其中0<α<。事实上，在这种情况下 < 0（这给出了一个介于0和1之间的贝塞尔过程）该不等式对anya成立≤ x、证据：我们从左尾开始。p（1）τ（t）中的第一项与布朗运动的FPTD具有相同的顺序。我们只需要检查第二个项，它包含一个Gammavariable的期望。考虑（49）的卷积表示。从（48）开始，我们有√2π·tZ∞（十）-a） pΓ（y，1,2t）dy(√y- x+3a）(√y+x+a）dy=Ztp（0）τ，x，a（v）Z∞p（0）τ，2ua，0（t- 五）- p（0）τ，2ux，0（t- v） 2（u+1）dudv。（52）用λ（t）表示：=t-e-（十）-a） 2t（53）和u（t）：=Ztλ（v）Z∞p（0）τ，2ua，0（t- 五）- p（0）τ，2ux，0（t- v） 2（u+1）dudv（54）分别表示逆伽马密度和卷积的渐近性。让t↓ 0+，则（54）产生u（t）~Ztλ（v）Z∞p（0）τ，2ua，0（v）- p（0）τ，2ux，0（v）2（u+1）dudv。（55）定义（t）：=u（t）λ（t）。首先，请注意，0处r（t）的极限是type。要了解这一点，请考虑u（t）的LT。基于初值定理，我们得到了↓0+u（t）=limβ↑+∞βe-√2β（x-（a）e2a√2βE（2ap2β）- e2x公司√2βE（2xp2β）.根据【33，6.12.1】，我们进一步得到↓0+u（t）=limβ↑+∞βe-√2β（x-（a）2a级√2β-2倍√2β= 0。（56）现在对r（t）应用L\'H^opital规则。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:15:00

基于（55）中的渐近性，r（t）的极限由Limt给出↓0+u（t）λ（t）=极限↓0+λ（t）R∞p（0）τ，2ua，0（t）-p（0）τ，2ux，0（t）2（u+1）duλ（t）=limt↓0+t-R∞uau+1e-2uat-uxu+1e-2xatdut公司-=因此u（t）=o（λ（t）），左尾渐近为1 +ln（ax）p（0）τ，x，a（t）。对于右尾，考虑（52），我们还有∞p（0）τ，2ua，0（t- 五）- p（0）τ，2ux，0（t- v） 2（u+1）du=t-Z∞wφ（w）（w+2a√t）（宽+2倍√t）数据仓库≥ 0，其中φ（w）是标准正态分布的密度。因此，λ（v）Z∞p（0）τ，2ua，0（t- 五）- p（0）τ，2ux，0（t- v） 2（u+1）du≥ 0, v∈ （0，t）。设K<<t为一个较大但固定的常数，然后为u（t）≥ZKλ（v）Z∞p（0）τ，2ua，0（t- 五）- p（0）τ，2ux，0（t- v） 2（u+1）dudv。（57）用uK（t）表示（57）的右侧。对于0≤ v≤ K<<t，我们还有uK（t）~Z∞p（0）τ，2uz，0（t）2（u+1）du~ t型-Z∞uu+1e-utdu。（58）自t-是大t的λ（t）的渐近，andlimt↑+∞uK（t）t-=Z∞uu+1du=∞,因此，根据（57），我们发现↑+∞u（t）λ（t）≥ 限制↑+∞uK（t）λ（t）=∞. （59）该屈服点sp（1）τ（t）~ u（t）。下一步是确认u（t）是一个有效的渐近值，即它本身不会发散。事实上，应用终值定理一立即就有局限性↑+∞u（t）=0。此外，请注意，前面在推论4.2中，我们展示了NLIMβ↓0+f（x，β）=limβ↓0+f（x，β）g（x，β）=0，进一步屈服∞L-1{f（x，β）}（t）dt=0。（60）因为（60）中的倒数是由byL给出的-1{f（x，β）}（t）=ln（ax）p（0）τ，x，a（t）+（x- （a）√2πu（t）,我们进一步了解∞u（t）dt=√2π2（x- a） ln（xa）Z∞p（0）τ，x，a（t）dt（61）=√2π2（x- a） ln（xa）。（62）等式（62）来源于p（0）τ，x，a（t）是逆伽马分布的p.d.f.这一事实。作为（62）成立的必要条件，u（t）的收敛速度应为u（t）=O（t-1.-α），对于某些α>0。结合（59），最后我们显示0<α<。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:15:03

命题4.6（BES（1+)) η-函数由η（x，t）=ln（xa）ρ（x，a，t）给出-4tZ∞（十）-（a）pΓ（y，，2t）- pΓ（y，，2t）√y- x+3a+pΓ（y，，2t）- pΓ（y，，2t）√y+x+ady，（63），其中ρ（x，a，t）：=√2πt-（十）- （a）- t型e-（十）-a） 2t；pΓ（y，α，s）是伽马分布的密度，形状参数α和速率参数s∈ [0, +∞), 概率表示（11）是有效的。对于t∈ [0，T]固定T>0时，BES的一阶扰动FPTD（1+) 以o速率收敛().证明：对f（x，β）进行偏导数xf（x，β）=-γf（x，β）ln（xa）+e2γaE（2γa）+e2γxE（2γx）。根据[7]，对于某些正z，我们有-1np2βe-√2βzo（t）=√2πt-z- t型e-z2t。然后利用（49）中的相同技巧，我们证明了η-函数的结果。考虑（40）中所示h函数的误差估计。第一部分（当x∈ 对于一些大K）证明，给出的证明与命题3.8的证明类似。当x>K且K很大时，我们有ln（xa）≤ （十）- a）。因此4xln（xa）ρ（x，a，t）≤4K√2πt-（十）- a） +t（x- （a）e-（十）-a） 2吨。（64）的有界性由引理B.1中的证明给出。剩下的唯一一件事是，在（63）满意度（10）和（12）中显示伽马密度部分。首先请注意，y≥ （十）-a） >0和x>a，thereforemax√y- x+3a，√y+x+a≤2a。对于积分的其余部分，考虑形状参数α>0。然后对于x>K，这样x-a>1，给定y>（x- a） >1，我们有4TZ∞（十）-a） pΓ（y，α，2t）dy=2Γ（α）Z∞（十）-a）（2t）α+1yα-1e级-y2αdy≤Γ（α+1）2Γ（α）Z∞（十）-a） yαΓ（α+1）（2t）α+1e-y2αdy≤Γ(α + 1)2Γ(α).最后一个不等式来自伽马分布的c.d.f。将α=和α=代入上述的IneQuality中，即可得出我们的证明。在这一节中，我们通过两组OU过程练习来说明我们的框架。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:15:06

注意，通过我们的讨论，受扰的OU FPTD是唯一一个可能不会收敛或缓慢收敛于胖尾渐近的OU FPTD（见命题3.6）。因此，在这种极端情况下，检查框架的效果更有意义。更多的数值结果，包括在指数Shiryaev过程中的应用，可以在附录中找到。我们考虑一个具有常数波动率的广义OU模型：dXt=(θ - Xt）dt+σdWt。起点是X=X，命中水平用l<X表示。a ffne转换Yt=Xt-lσyieldsdYt=(^θ - Yt）dt+dWt，其中Y=x-lσ和^θ=θ-lσ。通过考虑新的命中水平^l=0，x到l的初始命中时间与Yt到Yt^l的问题等效。然后，可以通过第3节中的结果轻松解决Yt命中时间。除了微扰方法外，还有许多其他研究发现OU过程的FPTD。为了进行基准测试，我们在下面列出了它们。数值反演的Talbot方法LT[1]ii）。使用谱分解的FPTD表示法【3】iii）。三维布朗桥模拟[24]iv）。特殊情况下的闭式解l=θ[21]注意，iv）中的闭式密度不涉及任何数值近似。因此，我们可以将其视为“真实”密度。在l 6=θ的一般情况下，还没有找到闭式解。作为替代方案，我们使用Talbot方法作为基准。模型参数选择如下 = 0.1，θ=0.3，σ=0.3，x=0.5。我们进行两组练习。在第一种情况下，我们认为l=0.3。在第二组中，我们将l=0.2.5.1作为l=θ的基准比较。在本节中，我们仅将Talbot方法和一阶摄动与闭式解进行比较。图1和图2显示了密度及其相对误差（w.r.t。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:15:09

方法iv）在5年时间内。图1中的绿点表示“真实”密度。蓝色线和橙色段曲线分别绘制Talbotinverse和一阶扰动。通过目视观察，我们发现三种密度相互吻合。这证实了我们的扰动FPTD是有效的。为了比较准确度并验证我们的误差估计公式，我们在图2中展示了相对误差。蓝色和黄色的点表示实现的误差，这些误差是根据Talbot逆和图1：OU过程的FPT密度计算得出的。图2：通过在封闭形式的解决方案上对它们进行基准测试，得出与iv）扰动密度的相对误差。红点是命题2.1和引理3.7的数值计算。我们称之为理论错误。在计算qτ（t）时，我们模拟了1000条dt=t的路径。理论误差由ERR计算=qτ（t）p（1）τ（t）+qτ（t）.从图2中我们可以看到，除了小t有一个峰值外，塔尔博特逆通常非常精确。事实上，通过检查附录中的图6，我们发现扰动方法优于左尾的塔尔博特逆。考虑到扰动在左尾上提供了光滑的渐近性（命题3.6），这个结果并不令人惊讶。另一方面，当t变大时，扰动的误差函数发散。虽然这不是很令人鼓舞，但它证实了我们对右尾渐近的分析。在图2中，通过进一步比较理论误差和实际误差，我们发现它们以相同的速度增长。这验证了命题2.1为误差水平提供了合理的估计。欧拉模拟方案的局限性可以解释它们的传播。理论上，通过将dt减少到0，我们应该能够匹配红色和橙色曲线。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:15:12

然而，在实践中，我们更感兴趣的是误差范围，而不是精确的误差值；否则，该问题将等效于通过蒙特卡罗模拟求解FPTD。在计算速度方面，我们提供了计算100个密度点的时间。在不考虑C（i，j）k序列的初始化的情况下，微扰的速度与显式密度的速度相同。它们都花费了大约0.001秒。塔尔博特逆算法耗时约1.371秒，大约是其他两种方法的1371倍。该序列不涉及OU模型中的任何参数。因此，它只初始化一次并预先保存在磁盘中。5.2 l 6=θ的一般情况比较在第二个练习中，我们考虑l 6=θ，并以与之前相同的方式说明结果。注意，对于l 6=θ，我们对“真实”密度没有任何了解。考虑到在最后一节中，Talbot反演几乎与闭式解相同，因此我们将其用于基准测试。图3：一般情况下OU过程的FPTD图4：一般情况下与i）的相对误差图3中的即时观察结果是，谱分解无法提供左尾的良好估计。通过检查[3]，可以发现这是由于光谱序列的发散att=0。除了绿色曲线外，其余三种方法提供的结果几乎相同。这证明了摄动法适用于一般情况。图4中的结果与我们在第5.1节中看到的结果相似。我们重点解释了谱方法和布朗桥模拟。从误差图观察，对于大t，这两种方法可以提供非常精确的估计。然而，我们必须提到，它们的准确性是基于需要额外计算资源的成本。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:15:15

就微扰法而言，尽管它不如其他方法准确（相对误差<2.5%），但它在不计算效率方面保持着压倒性的优势。6结论在本文中，我们提供了一种系统的方法来解决FPTDs上的闭式渐近问题。我们证明了在扰动下的收敛性，并推导了误差估计的概率表示。由闭式解产生的扰动不仅提高了计算效率；但也提供了在极端情况下理解FPT分布的分析可处理性。使用该框架，我们找到了Ornstein-Uhlenbeck、Bessel和指数Shiryaev FPTDs的有效近似值。此外，通过考虑时间变化，贝塞尔过程的结果可以很容易地推广到考克斯-英格索尔-罗斯过程。最后，通过数值计算验证了理论工作。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-10 05:15:18

本文的潜在应用可以在生存分析、债券期权定价和许多其他方面找到。OU扰动的递归结构I=1和I=2的推论A.1（分解结构I），nc（I，j）Ko显式给出如下：c（1,2）=；c（1,1）=；c（1,1）=-1.c（2,4）=；c（2,3）=；c（2,3）=-; c（2,2）=-; c（2,2）=0；c（2,2）=；c（2,1）=-; c（2,1）=；c（2,1）=-.i的推论A.2（分解结构II）≥ 3，nc（i，j）ko递归确定为j=2i：c（i，2i）=c（i-1,2i-2） 2ij=2i- 1:c（i，2i-1） =（2i-1） c（一）-1,2i-3)-2i-32（2i-1） c（一）-1,2i-2); c（i，2i-1） =（2i-1)c（一）-1,2i-3)- c（一）-1,2i-2)2<j<2i- 1 :k=（2i- j）∧ 一：c（i，j）2i-j=jc（一）-1，j-2） 2i-j- c（一）-1，j-1） 2i-j-1., 如果j>ic（i，i）i=-ic（i-1，我-1）我-1，如果j=ic（i，j）i=（j+1）c（i，j+1）i-jc（一）-1，j-1）我-1+c（i-1，j）i-1，如果j<i0<k<（2i- j）∧ i:c（i，j）k=（j+1）c（i，j+1）k+jc（i-1，j-2） k级-j-1jc（i-1，j-1） k级-jc（一）-1，j-1） k级-1+c（i-1，j）k-1k=0：c（i，j）=（j+1）c（i，j+1）+jc（i-1，j-2)-j-1jc（i-1，j-1） j=2：k=i：c（i，2）i=c（i，3）i-c（一）-1,1）i-1+c（i-1,2）i-10<k<i：c（i，2）k=c（i，3）k-c（一）-1,1）k-c（一）-1,1）k-1+c（i-1,2）k-1k=0：c（i，2）=c（i，3）-c（一）-1,1）j=1：k=i：c（i，1）i=c（i，2）i+c（i-1,1）i-10<k<i：c（i，1）k=c（i，2）k+c（i-1,1）k-1k=0:c（i，1）=c（i，2）。B命题3.8引理B.1的补充证明，设h（x）η（x，t）在命题3.8的证明中给出，τ是与0相交的输出过程的向下FPT。对于常数K>1，我们有Zτ∧t{Xu>K}| h（Xu）η（Xu，t- u） | du≤ C+C√t+Ct，其中C，C表示正常数。证明：根据（34）、（29）、（30）和[33，12.7.2]，我们可以写出eh（x）η（x，t- u） =θ- x个√2πe-x2（t-u）x个xl（t- u）-l（t- u）xt公司- u- 1.+xl（t- u）-xl（t- u）.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:15:21

（65）对于r∈ Z+和x≥ 0，我们发现e-x2（t-u） xr公司≤ rr·（t- u） r、（66）和x*=pr（t- u）是e的转折点-x2（t-u） xr。基于（65）、（66）和（35），对于（x，t）∈D×[0+∞) 和u∈ [0，t]，我们得到h（x）η（x，t- u） 1{x>K}≤ C+C√t型- u型+Cx（t- u） +Cx（t- u）e-x2（t-u） {x>K}，（67）式中，i=0，1。。。，3为正常数。请注意，将（66）替换为（67）中的最后两项-u、在下面的积分中发散。因此，需要格外小心。对于α>0，我们考虑一个更一般的函数：mr，α（x，u，t）：=xr（t- u） 1+αe-x2（t-u）。（68）首先注意，当t≤Kr，所有u∈ [0，t]，我们有pr（t- u）≤ K<x。通过考虑转折点后mr，α（x，u，t）的单调性，我们发现mr，α（x，u，t）1{x>K}≤Kr（t- u） 1+αe-K2（t-u） {x>K}（69）=2αΓ（α）Kr-2αIG（t- u、 α，K）1{x>K}，（70），其中Γ（·）是伽马函数，IG（t，α，K）是具有形状参数α和尺度参数K的反伽马分布的密度函数。另一方面，当t>Kr时，我们考虑两个独立区间的最大值。如果u∈ [t-Kr，t]，通过通知PR（t- u） <K<x，我们发现（70）仍然有效。如果，否则，u∈ [0，t-Kr），再次使用（66）yieldsmr，α（x，u，t）1{x>K}≤rr（t- u） 1+α-r{x>K}。（71）进一步，如果1+α-r> 0，然后是u∈ [0，t-Kr），mr，α（x，u，t）1{x>K}≤r1+αK2+2α-r{x>K}。（72）遵循（70）和（72），通过取（68）的积分并考虑条件期望，我们得到Ztmr，α（Xu，u，t）1{Xu>K}du=nt公司≤克朗+1nt>克朗·ZtEx公司mr，α（Xu，u，t）1{Xu>K}杜邦≤ 2αΓ（α）Kr-2αZtIG（t- u、 α，K）Px（Xu>K）du·1nt≤Kro+2αΓ（α）Kr-2αZtt-克里格（t- u、 α，K）Px（Xu>K）du·1nt>Kro+Zt-Krr1+αK2+2α-rPx（Xu>K）du·1nt>Kro≤αΓ（α）Kr-2α-rαK2α-r+r1+αK2+2α-r·t。最后一个不等式为真，因为IG（t，·，·）是密度函数，Px（Xu>K）≤ 1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-10 05:15:24

现在，将上述和（67）结合起来，对于我们得到的原始问题Zτ∧t{Xu>K}| h（Xu）η（Xu，t- u） | du≤ 前任Zt{Xu>K}| h（Xu）η（Xu，t- u） | du≤ C+C√t+Ct。我们的证明到此结束。C进一步的数值结果C。1 OU过程的左尾放大图5：l=θ的OU左尾密度图6：l=θ的OU左尾误差图7：l 6=θ的OU左尾密度图8：l 6=θC的OU左尾误差。2本节和C.3节的Bessel过程误差数值结果显示理论误差小于实际误差。这是因为塔尔博特逆本身有数值误差。从结果可以看出，对于BES（1.5）和指数Shiryaev过程，微扰比Talbot逆更精确。图9：贝塞尔密度 = 0.1，x=0.7，l=0.1图10：贝塞尔密度误差 = 0.1，x=0.7，l=0.1图11：贝塞尔左尾密度图12：贝塞尔左尾相对误差C。3指数Shiryaev过程的数值结果图13：指数Shiryaev密度 =0.1，α=0.5，c=0.2，σ=0.5，x=0.7，l=0.2图14：密度误差 = 0.1，α=0.5，c=0.2，σ=0.5，x=0.7，l=0.2图15：指数Shiryaev左尾密度图16：左尾密度误差参考文献【1】Joseph Abate和Ward Whitt。用于数值反转拉普拉斯变换的统一框架。《计算机学报》，18（4）：408-4212006。[2] 米尔顿·阿布拉莫维茨和艾琳是一把猎枪。数学函数手册：含公式、图表和数学表格，第55卷。快递公司，1964年。[3] Larbi Alili、P Patie和Jesper Lund Pedersen。Ornstein-Uhlenbeck过程首次命中时间密度的表示。随机模型，21（4）：967–9802005。[4] 迈克尔·阿比卜。一维微分的碰撞和鞅特征。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:15:27

Zeitschriftf–ur Wahrscheinlichkeitsforerie und Verwantte Gebiete，4（3）：232–2471965年。[5] 路易斯·巴塞勒。这是一个很好的例子。Gauthier Villars，1900年。[6] 保罗·巴尔迪、露西亚·卡拉梅利诺和玛丽亚·加布里埃拉·伊奥维诺。一般障碍期权定价：使用大偏差的数值方法。《数学金融》，9（4）：293–3211999年。[7] 哈里·贝特曼。积分变换表【第一卷和第二卷】，第1卷。麦格劳·希尔图书公司，1954年。[8] 伊恩·布莱克和威廉·林赛。随机过程的平交问题。IEEE TransactionsonInformation theory，19（3）：295–3151973。[9] Andrei N Borodin和Paavo Salminen。布朗运动事实和公式手册。Birkh–auser，2012年。[10] Peter Carr和Vadim Linetsky。跳转到默认的扩展CEV模型：BesselProcess的应用。《金融与随机》，10（3）：303–330，2006年。[11] Ren Raw Chen和Louis Scott。在期限结构的双因素Cox–Ingersoll–Ross模型中定价利率期权。《金融研究回顾》，5（4）：613–6361992年。[12] 约翰·C·考克斯、乔纳森·E·英格索尔和斯蒂芬·A·罗斯。利率期限结构理论。《估价理论》，第129-164页。《世界科学》，2005年。[13] Angelos Dassios和Luting Li。经济泡沫模型及其首次通过时间。arXiv预印本XIV:1803.081602018。[14] Angelos Dassios和Jia Wei Lim。双势垒巴黎停止时间的递推公式。《应用概率杂志》，55（1）：282–301，2018年。[15] Angelos Dassios、Yan Qu和Jia Wei Lim。Az'ema鞅和贝塞兰CIR过程的巴黎漂移。工作文件，2018年。[16] Angelos Dassios和Shanle Wu。扰动布朗运动及其在巴黎期权定价中的应用。《金融与随机》，14（3）：473–4942010。[17] Angelos Dassios和You You Zhang。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 05:15:30

布朗运动的巴黎时间和击中时间的联合分布及其在巴黎期权定价中的应用。《金融与随机》，20（3）：773–8042016。[18] 约瑟夫·杜布。经典势理论及其概率对应物：高级问题，第262卷。Springer Science&Business Media，2012年。[19] Jean-PierreFouque、GeorgePapanicolaou、RonnieSircar和Knut Solna。股票、利率和信贷衍生品的多尺度随机波动性。剑桥大学出版社，2011年。[20] Murray Geller和Edward W Ng。指数积分的积分表。国家标准局研究杂志，73（3）：191–2101969。[21]Anja G–oing Jaeschke和Marc Yor。关于OrnsteinUhlenbeck过程命中时间密度的澄清说明。《金融与随机》，7（3）：413–4152003年。史蒂文·赫斯顿。随机波动率期权的闭式解，应用于债券和货币期权。《金融研究回顾》，6（2）：327–3431993年。[23]马克·H·霍姆斯。摄动方法简介，第20卷。Springer Science&BusinessMedia，2012年。【24】一叶智之（Tomoyuki Ichiba）和卡达拉斯（Constantinos Kardaras）。通过蒙特卡罗模拟有效估计一维扩散信息时间密度。应用概率杂志，48（3）：699–7122011。[25]池田信辅和渡边信三。随机微分方程和微分过程，第24卷。Elsevier，2014年。[26]Kiyosi It^o，P Henry Jr，et al.扩散过程及其样本路径。Springer Science&BusinessMedia，2012年。罗伯特·阿贾罗和斯图亚特·特恩布尔。受信贷风险影响的金融证券衍生工具定价。《金融杂志》，50（1）：53–851995年。约翰·肯特。贝塞尔函数的一些概率性质。《概率年鉴》，第760-7701978页。约翰·T·肯特。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝